skkn cấp tỉnh giải pháp nâng cao chất lượng dạy học bài hoán vị chỉnh hợp tổ hợp

Trong quá trình dạy học phần này tôi nghĩ mìnhphải có những bài giảng và phương pháp dạy học phù hợp để học sinh dễ tiếpthu kiến thức, quan tâm đúng mức đến đối tượng giáo dục, dùng các

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

GIẢI PHÁP NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG DẠY HỌC BÀI HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP

Người thực hiện: Lê Đức HuyChức vụ: Tổ trưởng chuyên mônSKKN thuộc lĩnh vực: Toán học

THANH HÓA, NĂM 2024

MỤC LỤCST

TRANG

GIẢI PHÁP NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG DẠY HỌC BÀI HOÁN VỊ,CHỈNH HỢP, TỔ HỢP

I Mở đầu:

1 Lý do chọn đề tài.

Đại số tổ hợp là một trong các phần mà học sinh thường dễ nhầm lẫn giữacác khái niệm: Quy tắc cộng, quy tắc nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, … dẫnđến các kết quả bài làm sai Trong quá trình dạy học phần này tôi nghĩ mìnhphải có những bài giảng và phương pháp dạy học phù hợp để học sinh dễ tiếpthu kiến thức, quan tâm đúng mức đến đối tượng giáo dục, dùng các phươngpháp khác nhau tuỳ theo đối tượng học sinh để học sinh ngày càng yêu thíchmôn toán đặc bịêt là phần đại số tổ hợp.

Từ mục đích dạy học phát huy tính tích cực của học sinh nhằm giúp họcsinh xây dựng các kiến thức, kỹ năng tư duy tổng kết, hệ thống lại các kiến thức,thì việc sử dụng sơ đồ tư duy trong dạy học nói chung và dạy học môn toán nóiriêng đặc biệt là phần đại số tổ hợp sẽ giúp học sinh hình thành thói quen suynghĩ, tư duy theo một sơ đồ cụ thể đối với từng bài toán.

Nhằm mục đích gắn liền với thực tiễn, giáo dục toàn diện và hỗ trợ choviệc dạy và học các môn khác, đại số tổ hợp đã được đưa vào chương trình lớp10 chương trình giáo dục phổ thông mới, áp dụng các kiến thức toán học vào đờisống, về việc giải các bài toán về khoa học thực nghiệm Thực tế dạng toán nàycũng có nhiều trong các kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi.Trong khi đa số học sinh nói chung, học sinh THPT nói riêng không có hứng thúvới loại toán đại số tổ hợp, bởi lẽ hầu hết các em đều cảm thấy khó khăn khi giảicác bài toán này và cũng không biết kết quả mình tìm ra đúng hay sai

Để giúp học sinh nhìn nhận dễ dàng và nhận biết được phải sử dụng cách

giải nào cho đúng thì tôi chọn đề tài “Giải pháp nâng cao chất lượng dạy họcbài hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp” hướng tới dạy cho học sinh các phân tích bài

toán theo sơ đồ Với mong muốn thay đổi cách giảng dạy, truyền thụ tri thứcmột chiều sang cách tiếp cận kiến tạo kiến thức và suy nghĩ

2 Mục đích nghiên cứu.

Nghiên cứu đến một số vấn đề liên quan đến nội dung hoán vị, chỉnh hợp,tổ hợp trong SGK và các tài liệu liên quan nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyênmôn và rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy đồng thời nghiên cứu chủ đềnày để đề xuất những vấn đề cơ bản thuộc về phương pháp hướng dẫn học sinhgiải toán đại số tổ hợp.

3 Đối tượng nghiên cứu.

- Học sinh khối 10 trường THPT Hoằng Hóa.

- Nội dung phần hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp trong chương trình toánTHPT.

4 Phương pháp nghiên cứu.

+ Phương pháp nghiên cứu lí luận.+ Phương pháp khảo sát thực tiễn.+ Phương pháp phân tích - tổng hợp.+ Phương pháp so sánh đối chiếu.+ Phương pháp thực nghiệm.

+ Xây dựng một hệ thống bài tập hợp lý, phân loại các dạng bài tập từ đólựa chọn các ví dụ cụ thể hướng dẫn cụ thể từng dạng toán, phân tích tỉ mỉ sailầm để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán.

5 Điểm mới của sáng kiến.

Dạy theo hướng phát huy tính tích cực của học sinh thông qua việc chohọc sinh sử dụng sơ đồ để phân tích bài toán và lựa chọn các phép toán đại số tổhợp.

II Nội dung sáng kiến.

1 Cơ sở lý luận của sáng kiến.1.1 Cơ sở lý luận.

- Muốn đổi mới phương pháp dạy học phù hợp với mục tiêu của chươngtrình và nội dung của SGK mới thì giáo viên trước hết phải dạy cho học sinhnhững tri thức, phương pháp để học sinh biết cách học, biết cách đọc tài liệu ,biếtcách suy luận và phát hiện kiến thức mới Bên cạnh đó đòi hỏi học sinh phải cốgắng, nổ lực trong quá trình học tập và nghiên cứu kiến thức mới Muốn dạy chohọc sinh nắm được tri thức về phương pháp học tập thì người giáo viên phảithường xuyên suy nghĩ dạy một vấn đề, một đơn vị kiến thức đặt ra trước mắttheo cách nào, theo hướng nào để học sinh hiểu và vận dụng đạt được hiệu quảcao nhất.

1.2 Cơ sở thực tiễn.

- Trong khoa học cũng như trong đời sống chúng ta thường gặp bài toánxác định số lượng các đối tượng có một tính chất nào đó và để giải quyết ta dùngkiến thức toán tổ hợp Kĩ năng và kiến thức của toán tổ hợp là rất cần thiết cho

nhiều môn khoa học từ kinh tế tới sinh học, hóa học, tin học, quản trị kinhdoanh,…

- Các đề thi học sinh giỏi, TN THPT các năm gần đây và có thể các nămtới phần đại số tổ hợp cũng không thể thiếu trong đề thi

2 Thực trạng tại trường trước khi thực hiện sáng kiến.

2.1 Thuận lợi:

- Nhà trường đầu tư cơ sở vật chất cho học tập và rèn luyện tương đối đầy đủ.

- Ban giám hiệu nhà trường quan tâm đến công tác giáo dục và phát triểntoàn diện cho học sinh, xây dựng nền tảng vững chắc cho học sinh về cả tri thứcvà kĩ năng sống.

- Giáo viên trường yêu nghề, nhiệt tình, có trách nhiệm trong nhiệm vụđược giao Các giáo viên toán luôn nhiệt tình trao đổi chuyên môn, giúp đỡ nhautrong công việc.

- Bản thân là giáo viên được đào tạo chính quy, đúng chuyên ngành,

chuyên môn Trải qua 13 năm công tác đã dần dần tích lũy được một số kinhnghiệm trong giảng dạy

- Kỹ năng tư duy phân tích giả thiết và các mối quan hệ của bài toán tổhợp của các em học sinh còn hạn chế.

- Phần lớn học sinh khi gặp các bài toán tổ hợp kết quả các em làm ra màchưa dám khẳng định kết quả mình làm ra là đúng.

3 Một số giải pháp nâng cao chất lượng dạy học bài hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Để giải quyết các thực trạng trên, giúp học sinh có được những kiến thứccơ sở vững chắc của chương mà cụ thể là giúp học sinh học tốt bài “Hoán vị,chỉnh hợp, tổ hợp”.

Để học tốt bài “Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp” thì trước hết học sinh phảinắm rõ và phân biệt các khái niệm sau đó là biết sử dụng đúng các phép toán đạisố tổ hợp vào bài toán cụ thể Bản thân tôi, khi dạy bài “Hoán vị, chỉnh hợp vàtổ hợp” tôi đã thực hiện những giải pháp sau:

Công việc

Phương án 1:có m cách

Phương án 2:có n cách

Công việc Công đoạn 1:có m cách

Công đoạn 2:có n cách

Có m.n cách thực hiện công việc

3.1 Giải pháp 1: Giúp học sinh phải nắm chắc khái niệm các phép toán đạisố tổ hợp

- Quy tắc cộng: Hướng dẫn học sinh theo cách nhìn “công việc”: Một

công việc được thực hiện theo một trong hai phương án Phương án 1 có m

cách thực hiện, phương án hai có n cách thực hiện (không trùng với bất kì cáchthực hiện nào của phương án 1) Khi đó công việc có thể được thực hiện theom+n cách.

Khi dạy ta có thể lập sơ đồ như sau để học sinh dễ hiểu và ghi chép dễ dàng:

Từ đó ta có thể mở rộng quy tắc cộng ra nhiều phương án.

- Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành qua 2 công đoạn liêntiếp nhau Công đoạn 1 có m cách thực hiện, với mỗi cách thực hiện công đoạn 1,

có n cách thực hiện công đoạn 2 Khi đó, số cách thực hiện công việc là m.n cách.

Từ đó ta có thể mở rộng quy tắc nhân với công việc có nhiều công đoạn.

- Hoán vị: Mỗi hoán vị là một cách sắp xếp thứ tự của n phần tử (với n

là một số tự nhiên, n³ 1).

Tập hợp có n phần tửSắp thứ tự n phần tử

Có Pn=n! cách xếp

Tập hợp có n phần tửChọn k phần tử trong n phần tửSắp thứ tự k phần tử đã chọn

Tập hợp có n phần tửChọn ra k trong n phần tử

- Chỉnh hợp: Một chỉnh hợp chập k của n là một cách lấy ra và sắp xếpthứ tự k phần tử trong n phần tử (với n, k là các số tự nhiên, 0 k£ £n).

- Tổ hợp: Tổ hợp chập k của n là một cách lấy ra k phần tử trong tập

Giáo viên hướng dẫn học sinh thông qua sơ đồ từ đó học sinh rút ra cách giải,

đáp số và tự trình bày lời giải của mình.

Sơ đồ của bài toán như sau:

Ví dụ 2: Một đội thanh niên tình nguyện có 12 người Có bao nhiêu cách phân

công đi 3 tỉnh, mỗi tỉnh có 4 người.

Phân tích: Chúng ta thấy để phân công đi 3 tỉnh, mỗi tỉnh có 4 người thì cần

thực hiện 3 bước Bước 1: Chọn đội thứ nhất, bước 2: Chọn đội thứ 2 và còn lạiđội thứ 3.

Sơ đồ của bài toán như sau:

Ví dụ 3: Một lớp học có 35 học sinh Có bao nhiêu cách chọn ra một ban cán sự

lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 4 tổ trưởng cho 4 tổ? Biết rằng tất cả họcsinh đều có khả năng và mỗi bạn chỉ nhận nhiều nhất một nhiệm vụ.

Sơ đồ của bài toán như sau:

Chọn số cChọn số b

Chọn số a

3 52

Các bài toán đếm là có cùng bản chất và cách hiểu như nhau Chúng dễ

tương tự như nhau, các em học sinh chỉ cần nắm vững được những phươngpháp tư duy hệ thống thì các em hoàn toàn có thể làm được các bài toán đếm.

Học sinh cần hiểu được bản chất thông qua những ví dụ đơn giản từ đósẽ giúp các em làm được các bài toán trong những trường hợp khó và phức tạphơn.

Ví dụ 4 : Cho các số 0,1,2,3,4,5,6 Hỏi từ các chữ số trên có thể lập được bao

nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số khác nhau

Phân tích: Chúng ta thấy điều kiện chủ chốt của bài toán là “ số tự

nhiên chẵn” Như vậy thì chữ số hàng đơn vị phải là số chẵn Dẫn đến phảichọn d ngay từ bước đầu tiên.

Sơ đồ của bài toán như sau:

Lời giải:

 1;2

  ;12   ;1235

Vậy số các số cần tìm là: A63+3 5 A52=420 số.

Qua ví dụ trên ta thấy sau khi lập sơ đồ thiết kế, tính toán đưa ra được đáp số

chính xác thì việc trình bày lời giải là không khó Các em học sinh cần lựa chọntừ ngữ diễn đạt để trình bày lời giải Vì vậy ở các ví dụ sau tôi chỉ đưa ra cáchphân tích, thiết kế, lập sơ đồ của bài toán, từ đó các em sẽ diễn đạt trình bày lờigiải của bài toán.

Ví dụ 5: Cho các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 Từ các chữ số đó có thể lập được bao

nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số 1 và 2.

Phân tích: Điều kiện chủ chốt của bài là “phải có mặt chữ số 1 và 2” Do

đó trước hết phải chọn vị trí cho chữ số 1 và 2 Tuy nhiên do chữ số hàng chụcnghìn khác 0 nên việc 1 hoặc 2 rơi vào vị trí hàng chục nghìn sẽ ảnh hưởng tớibước xếp các chữ số 0,3,4,5,6 vào các vị trí còn lại.

Sơ đồ của bài toán như sau:

Ví dụ 6: Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ, 4 nhà vật lý nam Lập một

đoàn công tác gồm 3 người cần có cả nam và cả nữ, có nhà toán học lẫn nhà vậtlý học Hỏi có bao nhiêu cách lập đoàn công tác?

Phân tích: Trước hết đoàn công tác cần có cả nam và nữ, sau lại có cả nhà

toán học lẫn nhà vật lý học Do đó số lượng nhà vật lý trong nhóm sẽ ảnh

Có 2.4 A53 + A42 .4 A42 =1056 số

Chọn đoàn

Chọn 2 nhà vật lýChọn 1 nữ toán học Chọn 2 nữ toán học, 1 vật lýChọn 1 nữ toán 1 nam toán, 1 lý

Sơ đồ của bài toán như sau:

3.3 Giải pháp 3: Giúp học sinh phân biệt được khái niệm hoán vị, chỉnhhợp, tổ hợp.

Học sinh khó khăn nhất khi phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp Vì các bài toánvề dạng này đều liên quan đến những tình huống thực tế cụ thể Học sinh nếuchỉ đơn thuần nắm được kiến thức mà không có sự liên hệ thực tế thì sẽ khó hiểuvà không biết phân biệt Ngoài ra giáo viên giúp học sinh phân biệt thông quacác dấu hiệu nhận dạng.

- Nhận dạng bài toán sử dụng hoán vị của n phần tử.+ Tất cả n phần tử đều có mặt.

+ Có sự phân biệt giữa thứ tự các phần tử.

- Nhận dạng bài toán sử dụng chỉnh hợp chập k của n phần tử+ Chọn k phần tử trong n phần tử.

+ Có sự phân biệt giữa thứ tự của k phần tử trong n phần tử.- Nhận dạng bài toán sử dụng tổ hợp chập k của n phần tử

+ Chọn k phần tử trong n phần tử.

+ Không có sự phân biệt giữa thứ tự của k phần tử trong n phần tử.

3.4 Giải pháp 4: Giúp học sinh sử dụng sơ đồ tư duy giúp học sinh phântích các bài vận dụng.

3.4.1 Vận dụng 1: Phương pháp sử dụng phần bù.

Cơ sở của phương pháp đếm là thay vì đếm số phần tử của tập A trực tiếp

thì ta sẽ đếm số phần tử của tập hợp Trong phương pháp này tôi sử dụng kíhiệu này để biểu thị phương pháp đếm phần bù

Ví dụ 1 : Cho các số 0,1,2,3,4,5,6 Hỏi từ các chữ số trên có thể lập được bao

nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số khác nhau?

Sơ đồ của bài toán như sau:

Phân tích: Đây là ví dụ 1 của phần phương pháp đếm trực tiếp Để sử dụng

phương pháp đếm phần bù, trước hết phân tích như sau Các bước thiết kế côngviệc hoàn toàn tương tự như cách giải trên Có thể thấy rõ điều khác căn bảncủa hai phương pháp đếm trên là thay vì tính số cách lập bằng phương phápnhân thì ta tính bằng phép trừ.

Ví dụ 2: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên

gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và không bắt đầu bởi 123?

Sơ đồ của bài toán như sau:

A

Ví dụ 3: Từ một tập thể 14 người gồm 6 nam và 8 nữ trong đó có A và B, người ta

muốn chọn một tổ công tác gồm 6 người Tìm số cách chọn trong mỗi trường hợp sau: a Trong tổ phải có cả nam và nữ.

b Trong tổ có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên hơn nữa A và B không đồng thời có mặt trong tổ.

Phân tích:

Với ý a, để đếm trực tiếp số cách chọn tổ có cả nam và nữ thì ta phải xâydựng được một sơ đồ công việc để chọn một tổ có cả nam và nữ chẳng hạnnhư: Bước1: chọn một bạn nam, bước 2: chọn một bạn nữ, bước 3: chọn 4 bạncòn lại Cách chọn trên đảm bảo điều kiện có “cả nam và nữ” tuy nhiên lạikhông thể dùng để đếm được vì hai cách chọn khác nhau lại cho cùng một đội.Vì vậy để giải quyết bài toán này ta dùng phương pháp đếm phần bù của trườnghợp cần đếm là các trường hợp “6 người toàn nam” và “6 người toàn nữ” Với ý b, ta vẫn có thể sử dụng phương pháp đếm trực tiếp Tuy nhiên cáchsử dụng phần bù giúp tiết kiệm được tính toán.

Sơ đồ của bài toán như sau:

Với ý a:

Chọn đội có nam và nữ

CC1 24

(C146 C124 

Với ý b:

3.4.2 Vận dụng 2 Phương pháp tạo vách ngăn

Bước 1: Sắp xếp m đối tượng vào mvị trí trên đường thẳng coi chúng là cácvách ngăn thì sẽ tạo được m 1vách ngăn Hoặc sắp xếp m đối tượng vào mvị trítrên đường tròn, coi chúng là các vách ngăn thì sẽ tạo được m vách ngăn.

Bước 2: Sắp xếp đối tượng khác theo yêu cầu của bài toán từ m 1 (hoặcm)vách ngăn.

Ví dụ: Cho một nhóm học sinh gồm 7 bạn nam và 12 bạn nữ Hỏi có bao nhiêu

cách sắp xếp các học sinh này trên một bàn dài sao cho không có 2 bạn nam nàongồi cạnh nhau?

Phân tích: Điều kiện chủ chốt của bài toán là “2 nam không cạnh nhau”.

Chúng ta thấy rằng không có 2 bạn nam nào ngồi cạnh nhau khi và chỉ khi giữa

Xếp học sinh Xếp 12 bạn nữ vào bạn: 12!cách 713

71 3

2 bạn nam bất kỳ luôn có ít nhất một bạn nữ, hay nói cách khác, trong mộtkhoảng giữa 2 bạn nữ liên tiếp không có nhiều hơn một bạn nam Từ đó ta giảiquyết bài toán này bằng cách đảm bảo rằng mỗi khoảng cách bất kì giữa 2 bạnnữ luôn có nhiều nhất 1 bạn nam.

Sơ đồ của bài toán như sau:

4 Hiệu quả của sáng kiến.

Tôi chọn 02 lớp 10 (lớp 10A1, 10A5) về môn toán có lực học tương đồng.- Lớp đối chứng (lớp 10A1): Dạy theo phương pháp truyền thống.

- Lớp thực nghiệm (lớp 10A5): Dạy theo hướng phát huy tính tích cực củahọc sinh thông qua việc cho học sinh sử dụng sơ đồ để phân tích bài toán và lựachọn các phép toán đại số tổ hợp Trong quá trình giảng dạy và cho học sinh làmbài tập rèn luyện sau bài học, Tôi nhận thấy dạng toán đại số tổ hợp sau khi tôiáp dụng phương pháp mới ở lớp 10A5 kết quả học tập của các em lớp 10A5 tiếnbộ hơn so với phương pháp truyền thống lớp 10A1 Để kiểm chứng sự tến bộcủa học sinh tôi tiến hành kiểm tra 45 phút bài quy tắc đếm và bài hoán vị, chỉnhhợp, tổ hợp với thang điểm 10 và kết quả tổng hợp cụ thể như sau:

ĐỀ KIỂM TRA 45 PHÚT

Phần 1 Trắc nghiệm lựa chọn 1 trong 4 phương án A, B, C, D.Câu 1: Có bao nhiêu cách xếp 8 học sinh thành một hàng dọc?

Câu 2: Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 học sinh (mỗi em một ghế)

ngồi vào 5 ghế trong một dãy 8 ghé?

Câu 3: Có bao nhiêu cách chọn một học sinh từ một nhóm gồm 5 học sinh nam

và 6 học sinh nữ?

Câu 4: Một lớp học có 18 nam và 12 nữ Số cách chọn hai bạn từ lớp học đó,

trong đó có một nam và một nữ tham gia đội xung kích của nhà trường là

A 30 B C C182 122 C C202 D 216 Câu5: Cho các số 1;5;6;7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số với

Câu 9: Từ thành phố A đến thành phố B có 4 con đường, từ thành phố B đến

thành phố C có 3 con đường, từ thành phố C đến thành phố D có 2 con đường.Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần?

Câu 10: Một dạ tiệc có 10 nam và 6 nữ giỏi khiêu vũ Người ta chọn có thứ tự

3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

A 86300 B 86500 C 86400 D 86600.Phần 2 Trắc nghiệm lựa chọn đúng-sai cho mỗi mệnh đềa), b), c), d) ở mỗi câu

Câu 1: Một hộp có 21 viên bi màu xanh và 17 viên bi màu vàng, các viên bi là

khác nhau Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:a) Số cách chọn 3 viên bi trong hộp là 3648

b) Số cách chọn 8 viên bi trong hộp có ít nhất 1 viên bi màu xanh là C388 c) Số cách chọn 8 viên bi trong hộp có ít nhất 1 viên bi màu vàng là: 24310 d) Số cách chọn 4 viên bi trong hộp có cả viên bi màu xanh và viên bi màu vàng là72468.

Câu 2: Một người có 7 đôi tất trong đó có 3 đôi tất trắng và 5 đôi giày trong đó

có 2 đôi giày đen Người này không thích đi tất trắng cùng với giày đen.