rèո luyệո kĩ ոăոg giải toáո cho học siոh lớp 11 troոg dạy học chủ đề giới hạո của hàm số luận văn thạc sĩ sư phạm toán học

số từ cơ bản đến nâng cao rất đa dạng, phong phú, là nền tảng để học các nội dung trong mạch Một số yếu tố giải tích sau này, thường xuyên gặp trong các kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ t

ĐẠI HỌC QUÔC GIA HÀ NỘI

NGUYỄN TRUNG HIẾU

TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐÈ GIỚI HẠN CỦA HÀM SÓ

Cuối cùng, xin cảm ơn tập thể lóp Cao học Toán 2 đã luôn giúp đờ, hồ trợ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn Tôi đã học hỏi được nhiều điều từ các học viên tronglớp.

Hà Nội, ngày 26 tháng 12 năm 2023

Học • viên thực • •hiện

1

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i

MỞ ĐẦU 1

Lí do chọn đề tài 1

Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2

Mục đích nghiên cứu 2

Nhiệm vụ nghiên cứu 2

Khách thể, đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu 2

Khách thể nghiên cứu 2

Đối tượng nghiên cứu 2

Phạm vi nghiên cứu 2

Vấn đề nghiên cứu 2

Giả thuyết khoa học 3

Phương pháp nghiên cứu 3

Những đóng góp của luận văn 4

Cấu trúc luận văn 4

CHƯƠNG 1 Cơ SỞ Lí LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Các vấn đề chung về kĩ năng 5

1.1.1 Khái niệm kĩ năng 5

1.1.2 Sự hình thành kĩ năng 8

1.1.3 Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kĩ năng 9

1.1.4 Các mức độ của kĩ năng 10

1.2 Kĩ năng giải Toán 13

1.2.1 Khái niệm kĩ năng giải toán 13

1.2.2 Các kĩ năng giải toán cần thiết trong nội dung giới hạn hàm số 14

1.2.3 Rèn luyện kĩ năng giải toán 14

1.2.4 Các mức độ của kĩ năng giải toán 15

1.2.5 Vai trò, ý nghĩa của rèn luyện kĩ năng giải toán 15

1.3 Thực tiễn dạy học giải các bài toán tìm giới hạn trong chương trình Toán 11 16

1.3.1 Yêu cầu cần đạt, nội dung giới hạn hàm số lớp 11 16

1.3.2 Những kĩ năng cở bản thuộc nội dung chương giới hạn lớp 11 17

1.3.3 Tìm hiểu thực trạng dạy học nội dung giới hạn của hàm số ở các trường phổ thông 18

1.3.4 Cách thức rèn luyện kĩ năng giải toán chủ đề giới hạn hàm số 24

Kết luận chương 1 26

CHƯƠNG 2 CÁC Kĩ NĂNG GIẢI TOÁN TIM GIỚI HẠN CỦA HÀM số 27

• • 11

2.1 Kĩ năng tính giới hạn của hàm số dạng 00 27

2.2 Kĩ năng tính giới hạn của hàm số dạng 37

/(x)

2.2.1 —-'■ là hàm phân thức hữu tỉ

là hàm số lượng giác

38

50

2.3 Kĩ năng tính giới hạn của hàm số dạng 00 — 00 56

2.4 Kĩ năng tính giới hạn của hàm số dạng 0 • 00 66

Kết luận chương 2 71

CHƯƠNG 3 THỤC NGHIỆM SƯ PHẠM 72

3.1 Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm 72

3.1.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 72

3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 72

3.2 Hoạt động thực nghiệm sư phạm 73

3.2.1 Địa điểm đối tượng và bố trí thực nghiệm 73

3.2.2 Chuẩn bị 73

3.2.3 Nội dung thực nghiệm sư phạm 74

3.3 Kết quả thực nghiệm sư phạm 75

3.3.1 Đánh giá định lượng 77

3.3.2 Đánh giá định tính 85

3.3.3 Kết luận về kết quả thực nghiệm 86

Kết luận chương 3 88

KÊT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 89

1 Kết luận 89

2 Khuyến nghị 90

TÀI LIỆU THAM KHẢO 91

PHỤ LỤC 93

số từ cơ bản đến nâng cao rất đa dạng, phong phú, là nền tảng để học các nội dung trong mạch Một số yếu tố giải tích sau này, thường xuyên gặp trong các kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông, thi học sinh giỏi toán cấp quốc gia, quốc tế cũng như trong các bài khảo sát đánh giá năng lực.

Thực tế khi học sang chương Giới hạn - hàm số liên tục, HS thường gặp khó khăn khi giải các bài toán chú đề Giới hạn của hàm số HS có thể thuộc các định lí, hệ quả nhưng lạikhông biết cách vận dụng để giải toán hoặc vận dụng vào giải toán một cách máy móc,không có định hướng

Đối với GV, việc hướng dẫn HS giải toán chủ đề Giới hạn của hàm số cũng thườnggặp một số hạn chế trong việc rèn luyện các kì năng giải toán Việc đó đòi hởi phải tìm raphương pháp hiệu quả hơn, thuận tiện hơn trong việc giải các bài toán chú đề Giới hạn củahàm số

Nhằm hiểu thấu đáo hơn về kĩ năng giải các bài toán chù đề Giới hạn củahàm số và dưới sự hướng dẫn, định hướng của thầy giáo TS Lê Đình Định, tôi quyết định chọn đề tài "Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh lóp 11 trong dạy học chủ đề Giói hạn của♦ • hàm số" cho luận văn thạc • sĩ cùa mình

1

- Hệ thống hóa cơ sở lí luận về kĩ năng giải toán

- Nghiên cứu kĩ năng giải toán nội dung Giới hạn của hàm số

- Nghiên cứu nội dung, mục tiêu dạy học của bài Giới hạn của hàm số

- Đề xuất một số biện pháp rèn luyện kĩ nàng giải toán bài Giới hạn cùa hàm số cho học sinh lớp 11 THPT

- Thực nghiệm sư phạm nhằm kiếm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài

Khách thể, đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

Khách thể nghiên cún

- Tình hình dạy học ở trường THPT Phùng Khắc Khoan

Đối tượng nghiên cún

- Quá trình dạy học nội dung bài Giới hạn của hàm số

Giả thuyêt khoa học

Nếu vận dụng các kĩ năng được hệ thống trong luận văn thì sè rèn luyện cho HS lớp

11 kĩ năng giải toán thồng qua các bài toán giới hạn của hàm số, góp phần nâng cao hiệu quả quá trình dạy Đại số và Một số yếu tố Giải tích ở THPT

- Phương pháp nghiên cứu lí luận:

• Phân tích tài liệu: Nghiên cứu các tài liệu tham khảo, sách giáo khoa, tài liệu đào tạo,

và nghiên cứu trước đây về giáo dục toán học và việc giải toán về giới hạn của hàm số

- Phương pháp điều tra quan sát:

• Xây dựng và sử dụng những mẫu phiếu điều tra về tình hình dạy và học bài Giới hạn của hàm số (điều tra qua giáo viên và điều tra qua HS)

• Dự giờ, trao đổi kinh nghiệm với các đồng nghiệp trong trường và các đồng nghiệp

ở trường khác

• Điều tra thực trạng tiếp thu kiến thức về bài Giới hạn của hàm số

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm:

• Thiết kế các hoạt động thực nghiệm: Xây dựng các hoạt động giảng dạy và rèn luyện

kĩ năng giải toán về giới hạn của hàm số dựa trên các nguyên tắc sư phạm và kiến thứcchuyên môn Thiết kế các bài tập, ví dụ minh họa, và hoạt động thực hành phù hợp vớimục tiêu học tập và nhu cầu của học sinh

• Thực hiện thử nghiệm trong lớp học: Áp dụng các hoạt động và phương pháp giảngdạy đã thiết kế vào thực tiễn trong lớp học Quan sát và ghi nhận các phản hồi từ giáo viên

và học sinh trong quá trình thực hiện

• Thu thập dữ liệu: Thu thập dữ liệu về hiệu quả của các hoạt động giảng dạy và rèn luyện thông qua việc quan sát, ghi chú, bảng ghi, cuộc trò chuyện, hoặc cuộc khảo sát

3

• Phân tích và đánh giá: Phân tích dữ liệu thu thập được đê đánh giá hiệu quả của cáchoạt động giảng dạy và rèn luyện Xác định các điếm mạnh, điềm yếu, cơ hội và thách thức trong quá trình giảng dạy và học tập.

- Phương pháp phân tích thống kê toán học và kiếm định giả thuyết khoa học:

• Thu thập dữ liệu: Thu thập dữ liệu từ các hoạt động giảng dạy và rèn luyện, bao gồm điếm số của học sinh, kết quả của các bài kiểm tra, và các phản hồi từ giáo viên và học sinh

• Mô tả dừ liệu: Mô tả dữ liệu thu thập được bằng cách sử dụng các độ đo thống kê cơ bản như điểm trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn để hiểu về phân phối và tính biếnđộng của dữ liệu

• Kiểm định giả thuyết: Sử dụng phương pháp kiểm định giả thuyết t-test, để kiểm tra tính đáng tin cậy của các kết quả và đưa ra kết luận về sự khác biệt giữa lớp thực nghiệm

và lớp đối chứng

• Tổng hợp kết quả và đưa ra kết luận: Tổng hợp kết quả của phân tích thống kê và kiểm định giả thuyết để đưa ra kết luận về hiệu quả của các phương pháp giảng dạy và hoạt động rèn luyện kĩ năng giải toán

Những đóng góp của luận văn

Đề tài có giá trị về mặt lí thuyết Có thể sử dụng luận văn như là tài liệu tham khảo cho học sinh, sinh viên ngành sư phạm toán nói riêng và sinh viên ngành Toán nói chung, giáoviên phổ thông và các đối tượng quan tâm đến các kiến thức mạch Giải tích, chủ đề Giớihạn nói chung và bài Giới hạn của hàm số nói riêng

Cấu trúc luận văn

Mở đầu

Chương 2: Các kĩ năng giải toán trong việc tìm giới hạn của hàm sô

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Kết luận

4

CHƯƠNG 1 Cơ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỤ C TIỄN

1.1 Các vấn đề chung về kĩ năng 1.1.1 Khái niệm kĩ năng

Trong cuộc sống, con người liên tục được học hỏi, trau dồi nhừng tri thức mới, nhữngkinh nghiệm từ thế hệ trước đế lại Đồng thời, chúng ta cũng liên tục phải thực hiện cácnhiệm vụ từ sự phát triển bản thân và từ yêu cầu của xã hội Các nhiệm vụ từ cơ bản đến phức tạp đều đòi hỏi chúng ta vận dụng một số vốn tri thức, kinh nghiệm nhất định để giảiquyết Điều cơ bản là chúng ta phải khéo léo và linh hoạt khi vận dụng các lí thuyết cơ bản

đề đưa vào từng trường họp cụ thế Thông qua quá trinh học hỏi và vận dụng như vậy, con người dần hình thành các khả năng vận dụng lí thuyết cần thiết để giải quyết các vấn đề gặp phải Các khả năng đó được gọi chung lại là kĩ năng

Theo Từ điên tiếng Việt [24, tr 426], "kĩ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đỏ vào thực tế".

Khi nghiên cứu về kĩ năng, có rất nhiều quan điểm đã được đưa ra, tùy thuộc vào quan điếm của từng người và tùy vào mỗi lĩnh vực, khái niệm kĩ năng chưa thực sự thống nhấtthành một khái niệm chung Chắng hạn trong lĩnh vực tâm lí học đề cập một số khái niệm

về kĩ năng được sử dụng như sau:

Trong Tâm lí học đại cương [2, tr 149], tác giả Nguyễn Quang uẩn định nghĩa "kĩ năng

là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay khải niệm đã có, năng lực vận dụng chủng

đế phát hiện những thuộc tính, bản chất của sự vật và giải quyết thành công những nhiệm

vụ lí luận hay thực hành xác định".

Trong Tâm lí học lứa tuổi và Tâm lỉ học Sư phạm [6, tr 131], tác giả Lê Văn Hồng cho rằng "kĩ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khải niệm, cách thức, phươngphảp) đê giải quyết một nhiêm vụ mới

Trong khi đó, p A Rudich đưa ra quan điếm: "kĩ năng là động tác mà cơ sở của nó là

sự vận dụng thực tế các kiến thức đã tiếp thu đê đạt được kết quả trong một hình thức hoạt

5

động vật chất cụ thế Với quan niệm như vậy thuận lợi cho việc hình thành những kĩ năngvận động, những thao tác kĩ thuật,

Quan niệm thứ hai coi kĩ năng là khả năng thực hiện một công việc hay việc thực hiệnmột hoạt động nào đó một cách có chất lượng và hiệu quả theo yêu cầu, theo mục đích xácđịnh trong những điều kiện nhất định (thời gian, phương tiện, môi trường hoạt động, nguồn lực, ) Hoặc kĩ năng là khả năng của con người thực hiện công việc một cách có hiệu quả

và chất lượng trong một khoảng thời gian thích hợp, trong những điều kiện nhất định, dựavào tri thức và thói quen hình thành được Như vậy, quan niệm kĩ nàng là quan niệm rộnghơn, không chỉ coi kì năng đơn thuần là hành động vật chất hay là động tác cụ thể, mà còn bao gồm cả hành động trí óc Theo từ điến, "kĩ năng là năng lực sử dụng các dữ liệu, cáctri thức hay các khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng đế phát hiện nhừng thuộc tính, bản chất của các sự vật và giải quyết thành công nhiệm vụ lí luận hay thực hành xác định"

Như vậy, dù phát biếu dưới góc độ nào, các tác giả đều thống nhất rằng, kĩ năng là khảnăng vận dụng các kiến thức, kinh nghiệm đà học đề giải quyết nhiệm vụ đặt ra Nói đến

kĩ năng là nói đến cách thức, thủ thuật và trình tự thực hiện các thao tác hành động để đạttới mục đích đã định

Đặc điểm của kĩ năn

Dựa trên khái niệm, tác giả đưa ra một số đặc điểm của kĩ năng như sau:

- Kĩ năng được hình thành dựa trên cơ sở lí thuyết Bất cứ kĩ năng nào cũng phải dựatrên một hoặc một nhóm kiến thức cụ thế Đe tạo nên một kĩ năng từ một cơ sở lí thuyết,

ta cần hiếu mục đích cùa việc tạo nên kĩ nàng đó, đồng thời biết cách thức tạo quy trình các thao tác đế hình thành kĩ năng, cũng như cần phải nắm được các yếu tố điều kiện cóthế ảnh hưởng đến các thao tác đó

- Kiến thức là cơ sở của kĩ năng khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các thuộc tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức với tư cách củahành động

- Kĩ năng của con người không phải là yếu tố bất biến trong suốt cuộc đời mà phụ thuộc vào người học thông qua chính hoạt động của họ trong mối quan hệ của họ với cộng đồng

6

Tuy nhiên thực tiễn giáo dục cho thấy, học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc vậndụng những khái niệm và những kiến thức đã lĩnh hội được đế giải quyết dấu hiệu bản chấtcủa đối tượng, từ đó phát hiện nhừng mối liên hệ bản chất giừa tri thức đã có với đối tượng

đó Trong trường hợp này, tri thức không biến thành công cụ cũa hoạt động nhận thức, vànhư vậy khối kiến thức mà họ có là khô cứng, không gắn với thực tiễn, không biến thành

cơ sở của các kĩ năng

Tri thức về các sự vật là rất đa dạng và phong phú, nó phản ánh nhừng thuộc tính khácnhau và những thuộc tính bản chất của các sự vật Như vậy đế tri thức trở thành cơ sở lựachọn đúng đắn cho các hành động thì cần biết lựa chọn tri thức một cách đúng đắn và hợp

lí, nói cách khác, cần lựa chọn tri thức phản ánh thuộc tính bản chất, phù hợp với mục tiêu của hành động

Ví dụ 1.1 Tìm giới hạn sau lim

7

1.1.2 Sự hình thành kĩ năng

Theo từ điển giáo dục học, để hình thành được kĩ năng trước hết cần có kiến thức làm

cơ sở cho việc hiều biết, luyện tập từng thao tác riêng rẽ cho đến khi thực hiện được hànhđộng theo đúng mục đích, yêu cầu Do kiến thức là cơ sở của kĩ năng cho nên tùy theo kiến thức học sinh cần nắm được mà có những yêu cầu rèn luyện kĩ nàng tương ứng

Kĩ năng chỉ được hình thành thông qua quá trình tư duy đế giải quyết các nhiệm vụ đặt

ra Khi tiến hành tư duy trên các sự vật thì chù thể thường phải biến đôi, phân tích đối tượng đế tách ra các khía cạnh và những thuộc tính mới Quá trình tư dưy điền ra nhờ cácthao tác phân tích, tống hợp trừu tượng hóa và khái quát hóa cho tới khi hình thành được

mô hình về một mặt nào đó của đối tượng mang ý nghĩa bản chất đối với việc giải bài toán

đã cho

Con đường hình thành kĩ năng rất phong phú và nó phụ thuộc vào các tham số như:Kiến thức xác định kĩ năng, yêu cầu rèn luyện kĩ năng, mức độ tích cực, chủ động của họcsinh Tác giả đề xuất ba con đường để hình thành kĩ năng cho học sinh:

Con đường thứ 1: Truyền thụ cho học sinh những trí thức cần thiết, rồi sau đó đề ra cho học sinh những bài toán vận dụng những tri thức đó Từ đó, học sinh sẽ phải tìm tòicách giải, bằng những con đường thử nghiệm đúng đắn hoặc sai lầm (Thử các phươngpháp rồi tìm ra phương pháp tối ưư), qua đó phát hiện ra các mốc định hướng tương ứng,những phương thức cải biến thông tin, những thủ thuật hoạt động

Con đường thứ 2: Dạy cho học sinh nhận biết những dấu hiệu mà từ đó có thể xácđịnh được đường lối giải cho một dạng bài toán và vận dụng đường lối giải đó vào bài toán

cụ thể

Con đưò ’ng thứ 3: Dạy cho học sinh chủ yếu là các hoạt động tâm lí cần thiết đối vớiviệc vận dụng tri thức Trong trường họp này giáo viên không những chỉ cho học sinh tìm hiểu các mốc định hướng đề chọn lựa các dấu hiệu và thao tác mà còn tố chức các hoạt động cho học sinh trong việc cải biến sử dụng thông tin thu được đế giải bài toán đặt ra

8

Thực chất của sự hình thành kĩ năng là tạo dựng cho học sinh khả năng nắm vững một

hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ các thông tin chứa đựng trong

bài toán

Khi hình thành kĩ năng cho học sinh cần tiến hành:

- Giúp học sinh biết cách tìm tòi để nhận ra các yếu tố đà cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng

- Giúp học sinh hình thành một mô hình khái quát đế giải các bài toán cùng loại

- Xác lập được mối liên quan giữa bài toán mô hình khái quát và kiến thức tương ứng

1.1.3 Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kĩ năng

Sự hình thành kĩ năng bị ảnh hưởng bởi các yếu tố sau đây:

- Độ phức tạp của hệ thống thao tác vận dụng kiến thức: Đe hình thành kĩ năng, ta cần tạo và hướng dẫn học sinh thực hiện nhiệm vụ thông qua một hoặc một nhóm các thao tác

Nếu các thao tác này có độ phức tạp quá cao sẽ gây cản trở trong việc hình thành kĩ năng

Ngay cả việc ghi nhớ đúng trình tự thao tác cũng đã phần nhiều ảnh hưởng đến sự hình

thành kĩ năng Tuy nhiên trên thực tế vẫn sẽ có một số nhiệm vụ đòi hỏi một quy trình thao

tác vận dụng kiến thức phức tạp Đe học sinh có thế giải quyết được các nhiệm vụ kiểu vậy

một cách thuận lợi, có một số cách giáo viên có thề áp dụng như: chia nhỏ nhiệm vụ thành

các đơn vị nhiệm vụ đơn giản hơn, từ đó chia nhở nhóm thao tác vận dụng nhàm dễ ghi

nhớ và dễ thực hiện hơn; rèn luyện cho học sinh các nhiệm vụ tương tự với độ phức tạp ở

mức thấp hơn, từ đó nâng dần trình độ kĩ năng của học sinh lên mức nhiệm vụ mong muốn

Quan trọng nhất là cần thiết kế các nhiệm vụ phù hợp với năng lực học sinh, tránh giao các

nhiệm vụ phức tạp khó khăn cho những học sinh không đủ năng lực

- Thông tin, dữ kiện chứa đựng trong các nhiệm vụ: Một nhiệm vụ có nội dung cụ thể, thông tin và dữ kiện đưa ra vừa đủ và tường minh sẽ tập trung được vào một nhóm các

thao tác mà giáo viên mong muốn học sinh thực hiện Khi đó sự hình thành kĩ năng sẽ

thuận lợi và nhanh chóng Đối với các kiếu nhiệm vụ có tính mở, học sinh sẽ cần nhiều

thời gian hơn khi phải tự xác định nhiệm vụ và lựa chọn các kĩ năng phù hợp Nếu nhiệm

9

vụ được mô tả một cách mơ hô hoặc chứa quá nhiêu thông tin, hoặc chứa thông tin gâynhiễu có thể cản trở đến sự hình thành kì năng của học sinh, thậm chí có thể làm chệch hướng tư duy có ảnh hưởng tới sự hình thành kĩ năng của học sinh.

- Tâm thế và thói quen của học sinh cũng ảnh hưởng tới sự hình thành kĩ năng Một học sinh sẵn sàng thực hiện nhiệm vụ và sẵn sàng thực hành các thao tác vận dụng kiếnthức đế giải quyết vấn đề sẽ dề dàng hình thành các kĩ năng hơn một học sinh chưa sẫnsàng, không tự muốn thực hiện nhiệm vụ Một học sinh tự cảm thấy không có nhu cầu giảiquyết vấn đề, thậm chí đang có tư tưởng bị ép buộc sè rất khó đế hình thành kĩ năng ngay

cả là đơn giản nhất Bên cạnh đó, nhừng thói quen tốt như làm bài tập về nhà đầy đủ, thường xuyên hay đọc trước nội dung bài học cũng sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh hình thành kĩ năng nhanh chóng, thuần thục Và ngược lại, các thói quen không tốt nhưkhông làm bài tập về nhà, không biết cũng như không quan tâm mình sắp học những gìcũng sẽ gây khó khăn trong quá trình hình thành kĩ năng của học sinh do học sinh không biết mình sẽ phải chuẩn bị những thao tác, những kĩ năng nào cho các nhiệm vụ sắp tới

Vì thế, cần tạo tâm thế thuận lợi, những thói quen tích cực trong học tập cho học sinh, nhờ

đó sẽ có tác động giúp học sinh trong việc hình thành kĩ năng

1.1.4 Các mức độ của kĩ năn

Theo K.K.Platonov, G.G.Golubev, có năm mức độ hình thành kT năng như sau:

Mức độ 1: Kĩ năng ban đầu

Đầu tiên, học sinh biết được mục đích cùa nhiệm vụ, đối chiếu mục đích với quan sát quá trình làm mẫu/ trình diền của giáo viên đế biết được cách thức thực hiện hành động.Sau đó học sinh thực hành từng bước dưới sự chỉ dẫn của giáo viên, từ đó kĩ năng ban đầu được hình thành nhưng học sinh chưa tự tin và tập trung chú ỷ rất căng thẳng

Mức độ 2: Kĩ năng chưa khéo léo

Học sinh đã có kĩ năng ban đầu tiếp tục thực hành theo kế hoạch đến giai đoạn được

biết, mà hiếu được mục đích, cách thức thực hiện hành động, phối hợp vận dụng kiến thức

và kĩ năng, kĩ xảo đã có

10

Hành động được tiến hành còn biếu hiện vụng về Lúc này kĩ năng đạt được ở mức độchưa khéo léo Nếu gián đoạn trong tập luyện, kì năng này dễ mai một Vì thế một số học sinh nghỉ học thực hành một vài buổi (vì các lí do nhất định) sẽ phải luyện tập lại vất vả mới làm lại được các phần thực hành trước đó.

Mức độ 3: Kĩ năng tương đối ổn định

Học sinh hiểu rõ ràng về cách thức hành động Năng lực tư duy thực hành khá nhạybén Cùng với việc tập luyện, giảm dần sự vụng về và nâng dần sự khéo léo, học sinh có

kĩ năng ổn định dần Học sinh đà vận dụng được kĩ năng vào một số tình huống thực tế

Trong giai đoạn này nếu có sự gián đoạn luyện tập thì ảnh hưởng chỉ có ở mức độ nhất định đến sự suy giảm kĩ năng Khi tập luyện trở lại, học sinh nhanh chóng khôi phục được mức kĩ năng đã đạt được trước đó

Mức độ 4: Kĩ năng thành thạo

Học sinh được bước vào giai đoạn luyện tập độc lập với sự giám sát của giáo viên Saumột thời gian tập luyện nhất định, nhờ việc tiến hành hàng loạt các thao tác tư duy thựchành và phát huy năng lực thực hiện cúa bản thân, học sinh cảm nhận về bản thân sâu sắcđến mức độ tự tin, do đó biết vận dụng sáng tạo kĩ năng của mình Học sinh có kĩ năngphát triển và ổn định cao, khá bền vững, gọi là kĩ năng thành thạo Sự gián đoạn trong luyện tập ảnh hưởng không nhiều đến sự suy giảm kĩ năng

Mức độ 5: Kĩ năng thuần thục và có nhiều kĩ xảo

Học sinh tiếp tục được luyện tập độc lập với sự giám sát giảm dần của giáo viên, về mặt nhận thức, học sinh thực hiện tốt việc phân tích, tổng hợp, đánh giá các vấn đề liên quan đến kì năng Năng lực tư duy thực hành và sáng tạo thực hành thề hiện rõ và rất linh hoạt Với mức độ này học sinh dễ dàng thực hiện hành động một cách chính xác và nhanh chóng, tiết kiệm được sức lực Học sinh biết sử dụng một cách hợp lí và có hiệu quả kĩnăng của mình cho công việc, phối họp sử dụng sáng tạo kĩ năng mới với các kĩ năng khácvào hoạt động lao động một cách tổng thể nên có chất lượng sản phẩm đảm bảo và ổn định Lúc này có thể nói rằng kĩ năng của sinh viên phát triển đạt đến mức kĩ năng thuần thục

11

và có nhiều kĩ xảo Mức kĩ năng này có sự ốn định và bền vững hơn cả, mặc dù sự ốn định

và bền vững đó là không tuyệt đối

Cần chú ý, kill các học sinh có đuợc kĩ năng ở các mức 4 và 5 nhu trình bày trên đây

là có sự tự tin cao Yêu cầu cao nhất của dạy học thực hành là đào tạo học sinh vừa thànhthạo kĩ nàng vừa tự tin Tự tin trong hoạt động nghề nghiệp sau này là biếu hiện tâm lí rất quan trọng của người lao động Nó được hình thành và phát triến trên cơ sở thực hành sao cho:

- Có kĩ năng phát triển hợp lí

- Có khả năng nhìn nhận được mối quan hệ giữa mỗi kĩ năng và công việc như một tổng thể

- Có khả nàng điều chỉnh được các sai sót khi tập luyện

- Có khả năng hợp tác với các bạn học khi thực hành nghề

Theo Nguyễn Thị Hải Yến và các tác giả [25]:

- Mức độ thấp nhất của kĩ năng thế hiện ở việc thực hiện thao tác hành động một cáchrập khuôn, máy móc theo sự chỉ dẫn Các mức độ cao hơn của kĩ năng đạt được khi có sự

• _ A W _ _ _ Ã 4- Ạ _ á ' 1 Ã 9 1-2 _ _ 1- ' 1- -1- Ạ rT^1_ Ạ 1 _ 4- < 4- 5

gia tăng vê độ chính xác, tính trôi chảy cùa hành động Thêm vào đó, mức độ kì năng càngcao thì nhận thức của người học về cách thức hành động, về ý nghĩa của hành động trong bối cảnh thực ngày càng tăng Tuy nhiên, đối với kĩ năng phức tạp như đánh giá quá trinh,việc bắt đầu từ thao tác máy móc theo người hướng dẫn mà không dựa trên sự hiểu biết vềvai trò và ý nghĩa của hành động là không hợp lí và không có ý nghĩa về mặt sư phạm Do

đó, chúng tôi xác định rằng ngay từ cấp độ thấp nhất, người học cũng cần được trang bịnhững hiểu biết cơ bản về ý nghĩa của hành động

- Mức độ cao nhất của kĩ năng trong các thang đo của Dave, Harrow, Simpson vàDreyfrus đạt được chỉ khi có sự luyện tập và trải nghiệm trong bối cảnh thực tế lâu dài Do

đó, mức độ này khó có thể đạt được khi rèn luyện kĩ năng cho sV trong trường sư phạm

Dựa trên quan điếm trên, Nguyền Thị Hải Yến và các tác giả xây dựng 3 mức độ kĩ năng với các biếu hiện như sau:

12

Mửc độ 1: Mức độ sơ khởi:

• Thực hiện các thao tác theo tuần tự khi có sự hướng dẫn, giám sát

• Có sự hiếu biết sơ lược về hành động, tuy nhiên, vẫn xem hành động là các bước đơn

lẻ rời rạc và không gắn với một ngữ cảnh thực

• Các thao tác hành động thuần thục và đạt tiêu chuấn cao thường xuyên

• Có hiếu biết toàn diện về hành động và thực hiện hành động trong bối cảnh thực đạthiệu quả

1.2 /^ > JTf* Kĩ năng W • ■? • npi F giải Toán

1.2.1 Khái niệm kĩ năng giải toán

Theo Polya: “Trong toán học, kĩ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứngminh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được” Kĩ năng giải toán được hiểu là kĩ năng vận dụng các tri thức Toán học để giải các bài tập Toán học (bằng suy luận, chứng minh, )

Như vậy, kĩ năng giải toán có cơ sở là các tri thức Toán học (bao gồm kiến thức, kĩ năng, phương pháp) Sau khi nắm vừng lí thuyết, trong quá trình luyện tập, củng cố kiếnthức Toán học thì kĩ năng được hình thành, phát triến đồng thời nó cũng góp phần củng

cố, cụ thế hóa kiến thức Toán học, hoạt động học tập môn Toán Kĩ năng Toán học đượchình thành và phát triển thông qua việc thực hiện các hoạt động Toán học, hoạt động học tập trong môn Toán Kĩ năng cũng có thể được rút ngắn, bổ sung và thay đối trong quá trình hoạt động

13

1.2.2 Các kĩ năng giải toán cân thiêt trong nội dung giới hạn hàm sô

Một yêu cầu quan trọng cần đạt được trong dạy học Toán là học sinh phải nắm vững kiến thức, có kĩ năng, kĩ xảo vận dụng trong thực hành giải toán Tùy theo từng nội dung,kiến thức truyền thụ cho học sinh mà có những yêu cầu rèn luyện kĩ năng tương ứng Trongchương trình Toán phổ thông nội dung giới hạn hàm số, ta có thể chỉ ra một số kĩ năng Cần thiết khi giải toán

1 Kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử

2 Kĩ năng đặt nhân tử chung

3 Kĩ năng nhân liên hợp

1.2.3 Rèn luyện kĩ năng giải toán

Các kĩ năng giải toán sẽ được cung cấp cho học sinh thông qua hai phương pháp cơbản sau:

- Phương pháp gián tiếp: Cung cấp cho học sinh một số các bài toán có cùng cách giải

đế sau khi giải xong học sinh tự rút ra kĩ năng giải toán Đây là phương pháp có hiệu quảnhất nhưng mất nhiều thời gian, khó đánh giá và không đầy đù, phụ thuộc nhiều vào năng lực • •trình độ • của học sinh

- Phương pháp trực tiếp: Giáo viên soạn thành những bài giảng về những kĩ năng một cách hệ thống và đầy đủ Phương pháp này hiệu quả hơn và dễ nâng cao độ phức tạp củabài toán cần giải quyết

Đe rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh cần quan tâm chú trọng nhừng vấn đề sau:

- Cần hướng cho học sinh biết cách tìm tòi để nhận xét ra yểu tố đà cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng Nói cách khác, hướng cho học sinh biết cách phân tích đặcđiểm bài toán

- Yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng Nói cách khác, hướng cho học sinh biết cách phân tích đặc điếm bài toán

14

- Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và các kiến thức tương ứng.

Ngoài ra, cần tạo nhu cầu hứng thú cho học sinh, khắc phục những ảnh hưởng tiêu cực của thói quen tâm lí bàng cách rèn luyện các mặt sau:

- Nhìn bài toán dưới nhiều khía cạnh khác nhau, từ đó so sánh các cách giải với nhau

để hiểu sâu sắc, vận dụng hợp lí kiến thức

- Quan sát tỉ mỉ và chú ý tìm ra đặc điếm của bài toán

- Tích cực suy nghĩ, tìm tòi cách giải ngắn gọn trong khi giải toán

1.2.4 Các mức độ của kĩ năng giải toán

Dựa trên các mức độ của kĩ năng được nêu trong phần trên, tác giả chia kĩ năng giảitoán thành 3 mức độ như sau:

- Mức độ biết làm: Nắm được qui trình giải một bài toán cơ bản nào đó tương tự như bài tập mẫu nhưng chưa nhanh

- Mức độ thành thạo: Biết giải nhanh, ngắn ngọn, chính xác theo cách giải như bài tậpmẫu nhưng chưa có nhiều biến đổi

- Mức độ mềm dẻo, linh hoạt sáng tạo: Đưa ra được cách giải ngắn gọn, độc đáo, kháclời giải mẫu do biết vận dụng vốn kiến thức kĩ năng, kĩ xảo không chỉ với các bài toán cơbản mà với cả bài toán mới

1.2.5 Vai trò, ý nghĩa của rèn luyện kĩ năn ỉảỉ toán

Rèn luyện kĩ nàng giải toán giúp học sinh:

- Nâng cao được mức độ kĩ năng giải toán của học sinh Việc rèn luyện kĩ năng giảitoán thường xuyên và liên tục sẽ giúp học sinh đạt được các mức độ kĩ năng từ biết làm đến thành thạo và sau cùng là mềm dẻo, linh hoạt có sáng tạo

- Kiện toàn hệ thống lí thuyết, liên hệ được lí thuyết với bài tập Thông qua bài tập, họcsinh được xét cụ thể lí thuyết hơn, vì thế rèn luyện kĩ năng giải toán thông qua giải quyếtcác nhiệm vụ thông qua các bài tập, học sinh sẽ hiểu sâu sắc hơn các nội dung toán học,

15

liên hệ được các nội dung toán học với nhau, từ đó đưa ra được các nhận định phân dạng,

hệ thống, tạo chiều sâu trong tư duy toán học

- Phát triền các năng lực chung, các năng lực đặc thù của môn toán Rèn luyện kĩ nănggiải toán là con đường đơn giản nhưng hiệu quả giúp học sinh phát triển các phẩm chất,

năng lực, từ đó giúp học sinh phát triến tư duy toán học

1.3 Thực tiễn dạy học giải các bài toán tìm giới hạn trong chương trình Toán 11

A

Nội dung giới hạn cùa hàm sô thuộc chương IV - Giới hạn trong chương trình lớp 11

Chương này gôm 3 bài: Giới hạn của dãy sô, Giới hạn của hàm sô, Hàm sô liên tục

Khái niệm giới hạn của hàm sô được định nghĩa thông qua giới hạn của dãy sô

Giới hạn của dãy sô các các khai niệm: giới hạn 0 , giới hạn là một sô thực, giới hạn là+OƠ, giới hạn là -oo y các định lí về giới hạn của dãy số

Giới hạn của hàm số có các khái niệm: giới hạn của hàm số tại một điếm, tại vô cực, giới hạn một bên của hàm số, giới hạn vô cực Tiếp đó là các khái niệm:

hàm số liên tục tại một điếm, trên một khoảng, một đoạn; các định lí về giới hạn của hàm

số; các quy tắc tìm giới hạn vô cực; một vài tính chất cơ bản của hàm số liên tục

Các yêu cầu cần đạt của học sinh đối với nội dung giới hạn hàm số bao gồm:

- Nhận biết được khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số, giới hạn hữu hạn một phía của hàm số tại một điếm

- Giải quyêt được một sô vân đê thực tiên gàn với giới hạn hàm sô.

Đe phù hợp với nhận thức của học sinh, chúng ta không đưa ra định nghĩa dãy số cógiới hạn 0 bằng ngồn ngữ 6 , mà định nghĩa theo kiểu mô tả như sau: Ta nói rằng dày số (í/n) có giới hạn 0 nếu với mọi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số kế

từ số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhở hơn số dương đó

Chú ý: Giới hạn là một khái niệm khó, nhưng lại hết sức quan trọng, là nền tảng cho ngành Giải tích Giới hạn của hàm số gắn kết chặt chẽ với nhiều nội dung khác trong chương trình toán phổ thông, có thể kể đến như:

- Chủ đề Hàm số và Đạo hàm: Hiếu biết về giới hạn của hàm số là cơ sở quan trọng cho việc hiếu định nghĩa và tính đạo hàm của hàm số Việc tính giới hạn của tỉ số đạo hàm khi tiến đến một giá trị cụ thế cũng thường được sử dụng đế xác định độ dốc của một đườngcong tại một điểm

- Chủ đề Tích phân: Trong tích phân, giới hạn của hàm số thường được sử dụng đề xácđịnh diện tích hình phắng giới hạn bởi các đường cong của hàm số trên một đoạn nhất định

- Chủ đề Dãy và Chuỗi: Trong chương trình toán phổ thông, giới hạn của hàm số được định nghĩa thông qua giới hạn của dãy số Vì thế để hiểu rõ lí thuyết giới hạn hàm số, ta đưa các nội dung cơ bản của giới hạn hàm số nghiên cứu thông qua giới hạn của dãy số

- Chù đề Các phương trình và bất phương trình: Trong việc giải các phương trình và bất phương trình, việc hiểu biết về giới hạn của hàm số có thế giúp xác định giá trị của biến

số khi tiến gần về vô cùng, từ đó giải quyết các bài toán phức tạp hơn

Ngoài ra, ở các chủ đê chuyên sâu bậc đại học, giới hạn của hàm sô thường được sử dụng trong việc chứng minh định lí của 1'Hôpital cũng như các chủ đề khác Bên cạnh đó, giới hạn của hàm số cũng ứng dụng trong vật lí, kinh tế và lĩnh vực khác

1.3.2 Những kĩ năng cở bản thuộc nội dung chương giói hạn lớp 11

Để giúp học sinh có kĩ năng giải các bài toán tìm giới hạn trong chương trình lớp 11trước hết học sinh phải được trang bị hệ thống kiến thức lí thuyết cơ bản và đầy đủ Giáo

17

viên cân phân loại bài tập một cách hệ thông Từ việc phân dạng bài tập, xác định kĩ năng

cơ bản, giáo viên xây dựng cho học sinh qui trình giải các dạng toán, từ đó giúp học sinhtích lũy được những kinh nghiệm thông qua quá trình giải một dạng toán cụ thế Vì vậytrong đề tài này, tôi đặc biệt quan tâm đến xây dựng một hệ thống hóa bài tập theo chủ đề,sắp xếp hệ thống bài tập từ dễn đến khó, từ đơn giản đến phức tạp Cụ thề là:

- Kĩ nàng phân tích định nghĩa khái niệm

- Kĩ năng phân tích nhừng sai lầm thường mắc phải trong quá trình giải các bài toán tìm giới hạn

- Kĩ năng hệ thống hóa các dạng toán tìm giới hạn

về chủ đề giới hạn của hàm số trong trường phổ thông, hiểu biết về dạy học rèn luyện kĩ năng, những biện pháp, quy trình giáo viên thường sử dụng khi tổ chức dạy học, những khó khăn gặp phải trong quá trình dạy học chù đề này

Vì vậy, chúng tôi tiến hành điều tra, phong vấn, lấy ý kiến học sinh và giáo viên trường THPT Phùng Khắc Khoan - Đống Đa - Hà Nội và các thầy cô giáo viên khác trên địa bànthành phố Hà Nội Và 200 học sinh khối 11, khối 12 trong trường THPT Phùng Khắc Khoan - Đống Đa - Hà Nội

Đôi với học sinh:

18

Câu hỏi 1. Em có thây hứng thú với chủ đê giới hạn hàm sô không?

A Rất hứng thú, yêu thích, muốn được tìm hiểu thêm (61%)

B Có một chút hứng thú (39%)

c Không quan tâm (0%)

Câu hỏi 2 Em thây giải bài toán giới hạn hàm sô dạng có khó không?

A Rất khó, thường không giải được (56%)

B Khó nhưng vân có thê giải được một sô dạng (44%)

c Không khó hiểu, dễ học dễ nhớ (0%)

Câu hỏi 3 Em thây giải bài toán giới hạn hàm sô dạng 33 có khó không?

A Rất khó, thường không giải được (69,5%)

B Khó nhưng vẫn có thể giải được một số dạng (30,5%)

c Không khó hiểu, dễ học dễ nhớ (0%)

Câu hỏi 4 Em thấy giải bài toán giới hạn hàm số dạng 00 - 00 có khó không?

A Rất khó, thường không giải được (64%)

B Khó nhưng vẫn có thể giải được một số dạng (36%)

c Không khó hiểu, dễ học dễ nhớ (0%)

Câu hỏi 5 Em thấy giải bài toán giới hạn hàm số dạng 0 • 00 có khó không?

A Rất khó, thường không giải được (67%)

B Khó nhưng vẫn có thể giải được một số dạng (33%)

c Không khó hiểu, dễ học dễ nhớ (0%)

Câu hỏi 6. Em hay mắc những lỗi sai nào khi giải các bài toán giới hạn hàm số? (Có thể chọn nhiều đáp án)

19

A Sai về kí hiệu, trình bày (56%)

B Nhầm lẫn, không phân biệt được giừa các dạng giới hạn (66,5%)

c Sai dấu, không nhớ các tính chất của các phép toán cơ bản (52,5%)

D Làm sai do áp dụng máy móc, rập khuôn, không đúng dạng bài (61%)

Câu hỏi 7 Em thấy càn tăng cường nhừng biện pháp nào đề khắc phục những khó khăn và rèn luyện kĩ năng giải toán chủ đề giới hạn hàm số? (Có thể chọn nhiều đáp án)

A Phân tích kĩ khái niệm, định nghĩa, định lí (65%)

B Phân loại các dạng bài tập và đưa ra phương pháp giải cụ thế (100%)

c Tăng cường các ví dụ từ đơn giản đến phức tạp theo từng dạng (100%)

D Phân tích các bài toán chứa lỗi sai và chỉ ra các sai lầm thường gặp (100%)

E Sử dụng thêm các phương tiện dạy học, thiết bị dạy học (bảng phụ, phiếu bài tập,trình chiếu, ) (60%)

F Rèn luyện các kĩ năng giải toán trong nội dung giới hạn hàm số (87,5%)

Phân tích định tính: Qua kết quả của bài khảo sát, ta thấy học sinh có sự hứng thú vớichủ đề này (trong đó: 61% học sinh tỏ ra rất hứng thú và 39% học sinh còn lại có quan tâm)

Dộ hứng thú của I IS với chủ đê giới hạn hàm sô

■ Rất hửng thú

■ Cỏ một chút hứng thú Không có hửng thú

Tuy nhiên, các em nhận thây đây là một chủ đê khó, trừu tượng, các em gặp nhiêu khókhăn trong việc tiếp thu và tìm phương hướng giải bài tập Trung bình với mồi dạng toán,

có đến 2/3 số học sinh được khảo sát đều cho rằng các dạng toán giới hạn quá khó và các

20

em không tự giải được, 1/3 số học sinh còn lại chỉ làm được các bài tập cơ bản và vẫn còntương đối mơ hồ về phương pháp giải.

■ Rất khó, không giải được

■ Khó, chỉ giải được một vài bài

■ Không khó

Hầu hết học sinh cảm thấy việc phân loại các dạng bài tập và đưa ra phương pháp giải

cụ thể; cũng như tăng cường các ví dụ từ đơn giản đến phức tạp theo từng dạng và phân tích các bài toán chứa lồi sai, chỉ ra các sai lầm thường gặp sẽ giúp các em hiểu bài hơn, học tập hiệu quả hơn

Đối vói giáo viên

Câu hỏi 1 Thầy/cô hãy cho biết nhận định của mình về các khó khãn cũa học sinh khi học nội dung giới hạn hàm số

Không khó

khăn

Một chút khó khăn

Khókhăn

Rất khókhăn

Học sinh có gặp khó khăn trong việc hiểu các

định nghĩa, các định lí, qui tắc nội dung giới

hạn hàm số không?

Học sinh có gặp khó khăn trong việc vận dụng

lí thuyết giới hạn để giải quyết bài tập phần này

không?

21

Học sinh có gặp khó khăn trong việc tìm giới

Học sinh có gặp khó khăn trong nhận dạng

nhân liên hợp của các giới hạn không?

Học sinh có gặp khó khăn trong việc xử lí các

bài toán cần chú ý về dấu (khi xét giới hạn tại

âm vô cùng, dương vô cùng, xét giới hạn trái,

giới hạn phải, biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt

đói, chứa căn, )

c Làm sai do không chú ý dấu (36%)

D Sai do áp dụng máy móc, rập khuôn, sai dạng (30%)

E Trình bày sai (70%)

22

Câu hỏi 3 Theo thầy/cô, nguyên nhân của những sai lầm trên là gì? (Có thế chọn nhiều đáp án)

A Học sinh khồng học kĩ định nghĩa, định lí, qui tắc trước khi làm bài tập (70%)

B Học sinh không đọc kĩ đề bài (60%)

c Học sinh không phân biệt được các dạng bài tập (66%)

D Học sinh thiếu các kĩ nãng giải các dạng toán giới hạn (70%)

Câu hỏi 4. Theo thầy/cô, đế giải các dạng toán giới hạn, học sinh cần trang bị và rèn luyện các kĩ năng nào?

A Kĩ năng tính toán và sử dụng được công cụ tính toán

B Kĩ năng sử dụng được ngôn ngữ và kí hiệu

c Kĩ năng biến đổi biểu thức đại số, phương trình, hệ phương trình

D Kĩ năng trình bày lời giải

Câu hỏi 5 Thầy/cô đã sử dụng biện pháp gì để khắc phục những khó khăn và lỗi sai thường gặp cùa học sinh?

A Phân tích kĩ khái niệm, định nghĩa, định lí (70%)

B Thiết kế bài giảng, xây dựng phương pháp dạy học họp lí, phù hợp với từng lớp học (70%)

c Phân loại các dạng bài tập và đưa ra phương pháp giải cụ thể (70%)

D Tăng cường các ví dụ từ đơn giản đến phức tạp theo từng dạng (70%)

E Phân tích các bài toán chứa lỗi sai và chỉ ra các sai lầm thường gặp (70%)

F Sử dụng thêm các phương tiện dạy học, thiết bị dạy học (bảng phụ, phiếu bài tập,trình chiếu, ) (70%)

G Rèn luyện các kĩ năng giải toán trong nội dung giới hạn hàm số (70%)

23

Phân tích định tính: Trong quá trình giảng dạy thực tế, giáo viên toán gặp nhiều khókhăn để truyền tải kiến thức chú đề này đến với học sinh Đa số các thầy cô có nhận định rằng học sinh khó hiếu, khó nhớ các định nghĩa, định lí, lúng túng trong các việc tìm lờigiải và trình bày lời giải các bài toán trong chủ đề này, cụ thế là bài toán tính các dạng vôđịnh của giới hạn hàm số Giải tích là bộ môn mới lạ đối với học sinh trong cả cách tư duy

và trình bày Các bài toán Giải tích rất đa dạng và thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi Nói chung, đây là một chủ đề "khó nhàn" đối với cả học sinh và giáo viên Bêncạnh đó, do hạn chế về mặt thời gian mà khối lượng kiến thức lại tương đối nặng, tư duyhọc sinh chưa tốt, đa số các thầy cô chọn phương pháp thuyết trình, vấn đáp trong giảngdạy Do đó, các thầy cô đều rất hứng thú với đề tài dạy học rèn luyện kĩ năng giải toán chủ

đề tính giới hạn của hàm sổ

Qua thực tế dạy học khái niệm giới hạn, chúng tôi nhận thấy rằng có nhiều học sinh còn bỡ ngờ, chưa quen với cách định nghĩa các khái niệm Giải tích, không hiếu rồ bản chất các khái niệm, định lí, quy tắc tính giới hạn Từ đó, dẫn đến những sai lầm khi giải bài tập,gặp nhiều khó khăn trong việc học chủ đề giới hạn và các chủ đề khác của Giải tích

1.3.4 Cách thức rèn luyện kĩ năng giải toán chủ đề giới hạn hàm số

Dựa trên khảo sát thực trạng dạy học giải toán chủ đề giới hạn hàm số, tác giả đề xuất cách thức rèn luyện kĩ năng giải toán cho chủ đề này như sau :

1 Hiểu rõ lí thuyết: Đầu tiên, cần đảm bảo học sinh hiểu rõ lí thuyết và các phươngpháp giải của từng dạng giới hạn

2 Thực hành nhiều bài tập: Thực hành là chìa khóa quan trọng đế cải thiện kĩ nănggiải toán Bắt đầu với các bài tập dễ và dần dần tăng độ khó Quan trọng là không chỉ giảibài tập, mà còn phải hiểu cách giải và lí do tại sao phương pháp đó hoạt động Bên cạnh

đó, cần đa dạng hóa các dạng bài toán, từ cơ bản đến phức tạp Điều này giúp học sinh làmquen với các phương pháp giải khác nhau và mở rộng kiến thức, từ đó rèn luyện linh hoạt được các kĩ năng và phân biệt được các dạng giới hạn thường gặp

3 Sử dụng tài liệu tham khảo: Giáo viên cần đưa thêm các phiếu bài tập tự luyện đếhọc sinh tự thực hành ngoài giờ lên lớp, từ đó giúp học sinh hiểu sâu sắc các vấn đề Bên

24

cạnh đó, giáo viên cũng cần hướng dẫn học sinh tìm kiếm và sử dụng các tài liệu tham khảo phong phú, bao gồm sách giáo khoa, sách tham khảo, bài giảng trực tuyến, video hướng dẫn, và các tài liệu khác để hỗ trọ quá trình học tập của học sinh.

4 Làm thêm các bài kiểm tra, đề thi minh họa: đây là một cách tốt để chuẩn bị cho các kỳ thi hoặc bài kiếm tra, giúp học sinh làm quen với định dạng của các bài toán và tăngcường khả năng làm việc dưới áp lực thời gian

5 Tổ chức làm việc nhóm: Giáo viên có thề đưa ra các nhiệm vụ nhóm, thông qua đó, học sinh tham gia thảo luận với nhau hoặc với giáo viên về các vấn đề học sinh gặp phải,

từ đó tháo gỡ và khắc phục dần những hạn chế cùa học sinh Thông qua quá trình làm việc nhóm, học sinh cũng có thể tự đánh giá bản thân và đánh giá bạn bè trong nhóm, từ đó tạo

cơ sở để giáo viên đưa ra nhận định đánh giá chính xác hơn

6 Tự đánh giá và cải thiện: Giáo viên cần thiết kế những hoạt động giúp học sinh cóthể xem xét lại các bài toán đã giải và phân tích những lỗi phổ biến hoặc điểm yếu của của học sinh Từ đó có thể phát hiện và tập trung vào việc cải thiện những hạn chế đó và điều chinh phương pháp giải của học sinh

25

Kêt luận chương 1

Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh THPT có ý nghĩa hết sức quan trọng, gópphần trang bị cho HS những tri thức toán học cơ bản nhất đề phát triển các kĩ năng củacuộc sống

Chương 1 của luận văn đã hệ thống lại và trình bày rõ ràng, làm sâu sắc thêm các vấn

đề lí luận của việc dạy học rèn luyện kĩ năng cho học sinh giải bài toán tính giới hạn hàm

số Cụ thể:

- Trình bày và phân tích khái niệm, đặc điểm, các yếu tổ ảnh hưởng đến sự hình thành

kĩ năng, từ đó cho thấy sự cần thiết của dạy học rèn luyện kĩ năng để phát triển tư duy cho học sinh

- Làm rõ khái niệm, vai trò, các thành phần liên quan đến kĩ năng giải toán, hệ thốngcác phương pháp và tiến trình dạy học rèn luyện kĩ năng

- Tìm hiểu về mục tiêu chương trình giáo dục phổ thồng hiện nay, một số vấn đề thựctiễn về việc dạy học giải bài tập tìm giới hạn của hàm số Thực tiễn cho thấy việc rèn luyện

và phát triển kĩ năng giải toán tìm giới hạn của hàm số cho học sinh chưa được các giáoviên quan tâm đúng mực, cần phải có những biện pháp tích cực nhằm khắc phục tình trạng

đó góp phần tháo gờ những khó khăn trong học tập cho học sinh và nâng cao chất lượngviệc học

- Đưa ra cách thức rèn luyện kĩ năng giải toán chủ đề giới hạn hàm số

Dựa trên những căn cứ lí luận trên, tác giả xác định phương hướng cho giải pháp rèn luyện kĩ năng giải các dạng toán tìm giới hạn của hàm số cho học sinh THPT sẽ được trình bày trong chương 2

26

CHƯƠNG 2 CÁC KĨ NĂNG GIẢI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

2.1 Kĩ năng tính ióì hạn của hàm số dạng

Cho hàm số với lim/ (x) = 00 và lim g (x) = 00 Khi này, giới hạn của hàm

X—>00 v 7 X—>00 v 7

sẽ có dạng Đê tìm giới2 hạn dạng này, ta chia làm các trường hợp sau:

2.2.1 Trưòn họp£ là hàm phân thức hữu tỉ

Cho 7 là hàm phân thức hữu tỉ, tức là / (x) và g (x) là các hàm đa thức Đe giải

quyết bài toán này, ta cần hướng học sinh chú ỷ đến bậc của tử và bậc của mẫu Ta có haihướng trình bày nhưng cùng một cách tư duy như sau:

Hưóng 1: Chia cả tử và mẫu thức cho lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu và áp dụng

tính chất lim— = 0 với mọi n e N* và kết luận

X—>00

Huong 2:

Bước 1: Đặt nhân tử chung là ấn có lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu ra ngoài

Bước 2: Giản ước nhân tử chung của tử và mẫu

Bước 3: Áp dụng tính chất lim-ỉ- = 0 với mọi n G N* và kết luận

Nhận xét 2.1 Một hàm sô được cho bởi dạng tích các đa thức thì sẽ có lũy thừa bậccao nhất là tích các lũy thừa bậc cao nhất cùa các đa thức đó.

Ở ví dụ này, lũy thừa bậc cao nhất của w(x) là X3, lũy thừa bậc cao nhất cùa v(x) làX4, nên lũy thừa bậc cao nhất của tử là X3 -X4 = X7 Khi này, lũy thừa bậc cao nhất cúa cả

tử và mâu là X , ta tiên hành đặt nhân tử chung là X cho cả tử và mâu Tuy nhiên, cân lưu

ý nhân từ chung X7 trên tử là tích của X3 tù' w(x) và X4 từ v(x) nên khi đặt nhân tử chung trên tử, ta sẽ rút X3 từ í/(x) và X4 từ v(x) như sau

Phân tích: Ở ví dụ này, ta thấy bậc của tử và bậc của mẫu không giống nhau Đến đâybắt đầu xuất hiện lỗi sai của học sinh khi đặt nhân tử chung là lũy thừa bậc cao nhất ra ngoài Học sinh thường mắc các sai lầm sau:

• Tử đặt nhân tử chung là bậc cao nhất cùa tử, mẫu đặt nhân tử chung là bậc cao nhấtcủa mẫu

• Tử và mẫu đều đặt nhân tử chung là bậc cao nhất của tử (trong khi bậc của mẫu lớn hơn) hoặc ngược lại, tử và mẫu đặt nhân tử chung là bậc cao nhất của mẫu (trong khi bậc của tử lớn hơn)

Đến đây, học sinh thường sẽ bế tắc không xử lí được bài toán, học sinh không hiểu bản chất vấn đề mà áp dụng rập khuôn máy móc thậm chí có thể đưa ra lời giải sai nghiêm trọng hơn Đe tránh các lồi sai trên, giáo viên càn hướng dần và nhấn mạnh cho học sinh nếu xk là bậc cao nhất của tử và mẫu thì cần phải đặt nhân tử chung cho cả tử và mẫu là

x k

Ở ví dụ này, ta thấy bậc cao nhất của tử là X 2, tuy nhiên bậc cao nhất của mẫu là X4 Nên bậc cao nhất của cả từ và mẫu là X4 Nên khi trình bày theo Hướng 2, ta đặt X4 làmnhân tử chung cho cả tử và mẫu và trình bày như sau:

29

Suy ra

Mở rộng ra, những phân thức hữu tỉ có bậc của tử lớn hơn bậc cùa mẫu đều có chung tình trạng như vậy Nên chúng ta sẽ khồng tiếp cận theo hướng tống quát của dạng này,

mà tạo lối đi riêng như sau:

Bước 1: Xác định bậc cao nhất của mẫu

Bước 2: Đặt nhân tử chung là bậc cao nhất của mẫu cho cả tử và mẫu, giản ước nhân

Phân tích: Ta thấy hàm mũ có cơ số lớn nhất là 5' nên ta tiến hành đặt nhân tử chung

là 5' cho cả tử và mẫu như sau

T > • _ • 2 •

Lời giải

31

Ví dụ 2.6 Tính lim

Phân tích: Ta thấy cơ số lớn nhất ở đây là 6 , tuy nhiên ta cần chú ý học sinh để ý kĩ hàm mũ lúc này không đơn giản là 6A mà là 6A+1 và 6x l Học sinh vội vàng áp dụng đặtnhân tử chung là 6' thường sai ở đoạn này Ta cần tránh lỗi sai này của học sinh bằng cáchlưu ý học sinh ngoài việc để cơ số của các hàm mũ, ta cần để ý cả phần biểu thức mũ Đe

có thế đặt nhân tử chung, ta cần biến đỗi theo công thức mũ - lũy thừa, đưa về các hàm mũ

có phần mũ giống nhau (thường sẽ đưa hẳn về dạng ax ).

Trước hêt, cân trang bị cho học sinh tính được bậc của một căn thức Giả sử bậc củacăn là bậc m, bậc cao nhất của đa thức trong căn là bậc n Vậy khi đó bậc của căn thức sẽ

Nhận xét 2.2.

• Với n là số tự nhiên lẻ thì yla"b = a\/b

khi ạặOkhi a < 0

\ĩí A -> Q T.' K i;m a/8x’ + 3x + 1

Vií dụ 2.8 Tính lim - —-

%->+00 X — 1

Phân tích: Lũy thừa bậc cao nhất của cả tử và mẫu là X nên ta sẽ đặt nhân tử chung là

X. Trước khi tính giới hạn, ta cần lưu ý cho học sinh cách đưa thừa số ra ngoài căn thức Đầu tiên ta cần tiến hành đặt nhân tử chung là X3 trong căn thức

33

Phân tích: Ví dụ này xuất hiện căn bậc hai của một đa thức bậc hai Ta cần phân tích

rõ các bước đưa X2 ra ngoài căn như sau: Đầu tiên, ta tiến hành đặt nhân tử chung là X2

trong căn thức

Tiếp theo ta đưa X 2 ra ngoài càn theo nhận xét

Đên dây, ta nhân mạnh học sinh đê ý X tiên đên đâu đê xét dâu cho chính xác ơ

ví dụ này, X > -oo nên X < 0 vì thế khi phá dấu giá trị tuyệt đối ta được

Lời giải

34

Nhận xét 2.3.

• Với n là số tự nhiên lẻ thì a'4b = \Ja"b.

35

Với nêu n là sô tự nhiên chăn thì asjb = khi