skkn cấp tỉnh rèn luyện cho học sinh một số phương pháp giải toán xác định đa thức trong bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường thpt chuyên lam sơn

I Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài

Bồi dưỡng học sinh giỏi là một nhiệm vụ quan trọng trong việc nâng caochất lượng giáo dục, bồi dưỡng nhân tài cho trường THPT Chuyên Lam Sơn nóiriêng, cho địa phương nói chung Bồi dưỡng học sinh giỏi là một công việc khókhăn và lâu dài, đòi hỏi nhiều công sức của thầy và trò

Phần Đa thức trong chương trình toán chuyên sâu là phần khó đối với cácem học sinh Các đề thi học sinh giỏi Quốc gia, Quốc tế thường xuyên có bài Đathức, đặc biệt trong đề thi học sinh giỏi Quốc gia năm học 2023-2024 có 7 bàithì có đến 3 bài liên quan đến Đa thức Các bài toán loại này mang tính tổng hợpvà trừu tượng hóa cao Vì vậy nhiều học sinh học đến phần này thường ngại, sựsay mê, sáng tạo giảm Thời gian đầu tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi củatrường, bản thân tôi gặp nhiều khó khăn trong việc hướng dẫn học sinh giảiquyết các bài toán về phần này

Xác định Đa thức là loại toán phổ biến trong các bài toán về Đa thứcPhương pháp giải các bài toán xác định Đa thức rất đa dạng, đòi hỏi học sinhphải có một chuỗi bài tập phù hợp thì mới hình thành được kĩ năng giải các loạibài toán này Đặc biệt với việc trang bị cho học sinh lối tư duy tổng quát hoá,đặc biệt hoá, tương tự hoá học sinh sẽ tạo được nhiều bài toán mới và có thêmnhiều hứng thú trong sáng tạo toán học.

Để giúp học sinh có sự say mê, tư duy sáng tạo trong việc học phần Đathức Tôi đã đọc tài liệu, nghiên cứu, phân tích, cải tiến cách dạy, tìm tòi thêmcác phương pháp giải toán khác nhau Đồng thời hệ thống hoá các bài tập, trangbị cho các em lượng kiến thức để các em vận dụng làm bài tập một cách khoahọc hơn, sáng tạo hơn Tạo ra sự hứng thú trong học tập đồng thời giúp các emrèn luyện phương pháp giải bài tập không những loại bài tập này mà còn vận

dụng cách tư duy đó cho các loại bài tập khác Trong khuôn khổ đề tài “Rènluyện cho học sinh một số phương pháp giải toán xác định đa thức trong bồidưỡng học sinh giỏi ở trường THPT chuyên Lam Sơn” tôi chỉ nêu được một số

phương pháp để Học sinh vận dụng giải quyết một số lớp bài toán xác định Đathức với hệ số thực một cách khoa học và có tính sáng tạo hơn Từ đó để các emcủng cố kiến thức, rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học, đồng thời cũngtrang bị thêm kiến thức nhằm chuẩn bị tốt cho các kỳ thi học sinh Quốc gia vàQuốc tế

1.2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu là tìm ra phương pháp dạy học phù hợp dành cho bồidưỡng học sinh giỏi một số nội dung trong phần Đa thức ở Trường THPTChuyên Lam Sơn.

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là các học sinh Chuyên Toán, Trường THPT ChuyênLam Sơn.

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về phần Đại số, Đa thức,Phương pháp dạy học môn Toán có liên quan đến đề tài Sáng kiến kinhnghiệm.

Quan sát: Quan sát thực trạng bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán nói chungvà bồi dưỡng phần Đa thức nói riêng ở Trường THPT Chuyên Lam Sơn.

Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thivà hiệu quả của việc rèn luyện cho học sinh một số phương pháp giải toán xác địnhđa thức trong bồi dưỡng học sinh giỏi toán ở Trường THPT Chuyên Lam Sơn.

II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Trước hết, ta sẽ tìm hiểu những nội dung cơ bản về Đa thức một biến vớihệ số thực.

2.1.1 Định nghĩa đa thức một biến với hệ số thực

Hàm số được gọi là đa thức một biến với hệ số thực nếu const

hoặc tồn tại và các số thực với sao cho.

Khi đó là các hệ số; là hệ số của bậc cao nhất và là hệ số tự do.- Với thì được gọi là bậc của đa thức , kí hiệu là

- Khi thì đa thức trên được gọi là đa thức chuẩn tắc hay đa thức monic bậc - Tập hợp các đa thức một biến với hệ số thực kí hiệu là

2.1.2 Nghiệm của đa thức một biến với hệ số thựca Định nghĩa

Cho và Ta nói là nghiệm thực của nếu

d Tính chất nghiệm của đa thức một biến với hệ số thực

- Cho có các nghiệm với bội tương ứng là thì

- Mọi đa thức bậc đều có tối đa nghiệm thực.

- Nếu đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng và có ít nhất nghiệm

2.1.3 Một số định lí thường gặp

a Định lí Lagrange Giả sử xác định và liên tục trên , khả vi trên

b Định lí Rolle Giả sử xác định và liên tục trên , khả vi trên

Nhận xét: Áp dụng vào đa thức liên tục trên và có đạo hàm Nếu thì tồn tại nghiệm của thuộc khoảng Nếu

có nghiệm thì có nghiệm, có nghiệm,…

c Định lí Viet

- Định lí Viet thuận: Cho đa thức có bậc Nếu có nghiệm thực (không cần phân biệt) thì

.- Định lí Viet đảo: Cho số thực Đặt

Khi đó là nghiệm của đa thức

2.1.4 Một số khai triển thường gặp

a Khai triển Abel Cho đa thức bậc n và n số thực Khi đó tồn tại duy nhất số thực sao cho

Hệ quả Cho đa thức bậc n và số nguyên thỏa mãn

b Khai triển Taylor Cho bậc không vượt quá n, Khi đó

( là đạo hàm cấp i của đa thức tại điểm x).

c Công thức nội suy Lagrange Cho đa thức bậc không vượt quá n, và

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Khi bồi dưỡng học sinh giỏi phần Đa thức đối với học sinh chuyên toántrường THPT Chuyên Lam Sơn, trong giai đoạn đầu khi học về phần này, họcsinh thường gặp nhiều khó khăn để chiếm lĩnh tri thức.

Nhiều học sinh học đến phần này cảm thấy rắc rối và dẫn đến ngại Một sốhọc sinh khi gặp các bài toán mà các em chưa có hướng giải, các em hay bỏcuộc ngay, không có tính kiên trì để tìm tòi cách giải, các học sinh đó hay ỷ lại,chờ giáo viên chữa Thời gian đầu, bản thân tôi gặp nhiều khó khăn trong việchướng dẫn học sinh giải quyết các bài toán về phần này Điều đó thôi thúc tôitìm ra một hướng giải quyết bài toán với một số phương pháp cụ thể nào đó làmtiền đề và sau đó kết hợp với những phương pháp khác để hướng dẫn học sinhgiải quyết những bài toán đã đặt ra

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

Qua nhiều băn khoăn trăn trở, tôi đã nghiên cứu, tìm tòi và đưa ra được mộtsố phương pháp giải toán xác định đa thức để giải quyết một số dạng toán xácđịnh đa thức trong bồi dưỡng học sinh giỏi toán nhằm khắc phục vấn đề đã nêu.Trong khuôn khổ SKKN, tôi chỉ nêu được một số phương pháp để học sinh vậndụng giải quyết một số lớp bài toán xác định Đa thức với hệ số thực thông quacác ví dụ cụ thể

2.3.1 Phương pháp sử dụng tính chất nghiệm

Một số tính chất về nghiệm của đa thức thường được dùng để khai thác tronggiải bài toán xác định Đa thức như:

- Cho có các nghiệm với bội tương ứng là thì

- Mọi đa thức bậc đều có tối đa nghiệm thực.

- Nếu đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng và có ít nhất nghiệm

là nghiệm của , vì thế dựa vào tính chất nghiệm thì có thể viết

thành Thế lại phương trình ban đầu ta lại thấy cũng lànghiệm của , vì thế có thể viết thành từ đó tađi đến lời giải bài toán như sau

Lời giải Giả sử là một đa thức thỏa mãn

Ví dụ 2 Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa mãn

Hướng dẫn: Ta không thể nhẩm được ngay nghiệm của giống như trongVí dụ 1, tuy nhiên ta thấy phương trình đã cho có thể viết dưới dạng

Qua đó giúp ta nghĩ đến việc đặt để đưa về bài toán như Ví dụ1 Từ đó ta đi đến lời giải bài toán như sau:

Lời giải Giả sử tồn tại đa thức thỏa mãn bài toán Viết phương trình đãcho dưới dạng

Khi sử dụng tính chất nghiệm của đa thức trong giải toán xác định đa thức,ta có thể phối hợp với nguyên lí cực hạn để đánh giá như trong ví dụ sau:

Ví dụ 3 Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực, khác hằng, sao cho với mọi

Lời giải Giả sử là một đa thức thỏa mãn bài toán.

Đặt và là nghiệm phức bất kỳ của Ta sẽ chứng minh Giả sử có nghiệm khác 1, trong các nghiệm đó, ta chọn saocho là nhỏ nhất

Xét số phức sao cho Thay vào phương trình đa thức banđầu, ta có

Hướng dẫn: Ta nhận thấy nếu thì

Từ đó ta nghĩ đến việc tách riêng ,và so sánh hệ số Từ đó ta đi đến lời giải bài toán như sau:

Lời giải Giả sử là một đa thức thỏa mãn

.Xét 2 trường hợp sau:

Thay vào ta được

So sánh luỹ thừa cao nhất hai vế của ta được So sánh hệ số ứng với luỹ thừa cao nhất hai vế của ta được

Tiếp tục so sánh hệ số của ta được

.

.Tóm lại

Thử lại thoả mãn phương trình đã cho.

Ví dụ 3 (HSG Hà Nội 2017) Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa

Do suy ra điều này vô lý với mọiVậy có hai đa thức thỏa mãn yêu cầu đề bài là và

2.3.3 Phương pháp so sánh bậc

Giống như phương pháp so sánh hệ số, phương pháp so sánh bậc là mộttrong những phương pháp hiệu quả khi giải toán xác định đa thức Nó xuất pháttừ tính chất là nếu hai đa thức bằng nhau thì hai đa thức đó phải cùng bậc

Ví dụ 1 Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa mãn điều kiện.

Hướng dẫn: Ta nhận thấy nếu thì vế trái là đa thức có bậc , vếphải là đa thức có bậc Từ đó ta đi đến lời giải bài toán như sau:

Nếu là đa thức hằng thì hoặc Gọi là bậc của

Thử lại chỉ có thỏa mãn.

Ví dụ 2 Tìm tất cả các đa thức thỏa mãn.

Trường hợp 1: Thay vào (1) luôn thỏa mãn.

Giải (2) bằng đồng nhất hệ số ta được với

2.3.4 Phương pháp sử dụng giá trị của dãy số vô hạn

Phương pháp sử dụng giá trị của dãy số vô hạn có nội dung là thay cho việctìm ta tìm với là dãy số phù hợp Từ kết quả của theo

và tính vô hạn số hạng của dãy ta suy ra đa thức cần tìm.

Ví dụ 1 Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa mãn điều kiện

Nhận xét: Trong lời giải trên, thay việc tìm ta đi tìm với dãy số

Xét dãy số Ta thấy là dãy số tăng.

Mặt khác và Sử dụng phương pháp quy nạp ta chứng mính (*) Thật vậy: Với (*) đúng

Giả sử đã có suy ra

Suy ra mà là dãy tăng nên suy ra.

2.3.5 Phương pháp sử dụng tính chia hết của đa thức

Từ điều kiện đề bài ta chỉ ra được khi đó đặt để chuyển về bài toán tìm đa thức đơn giản hơn.

Ví dụ 1 Tìm tất cả các đa thức thoả mãn đẳng thức

Lời giải Giả sử có thỏa mãn

nghiệm của và cứ như vậy ta sẽ chỉ ra được đa thức có vô nghiệm,suy ra điều này mâu thuẫn, nên suy ra hay với

đa thức hằng Khi đó, ta được , mà và đều là các số nguyên Từ đó, ta tìm được bậc của mỗi đathức.

Lời giải Nếu , thì là một đa thức bất kì đều thỏa mãn yêu cầu bàitoán.

yêu cầu bài toán.

Đánh giá bậc: từ phương trình ban đầu, ta có:

là nghiệm bài toán.

.Thay (1) vào phương trình ban đầu, đồng nhất hệ số 2 vế, ta có:

Lời giải Ta thấy yêu cầu của bài toán tương đương với việc tìm tất cả đa thức

hệ số thực thỏa mãn

(1)

Nếu với là hằng số nào đó thì ta có đúng hai trường hợp sau

Trường hợp 1: thì với mọi , vô lý.Trường hợp 2: thì thay vào đẳng thức (1) có

Trong trường hợp , để ý rằng nếu thì với là đa thức hệ số thực Khi đó , đây là điều vô lí nên Đồngthời, dễ thấy nên kết hợp với việc bất khả quy trên

và , ta thấy tồn tại hằng số sao cho

Ví dụ 3 (HSG Trung Âu - 2017) Tìm tất cả các cặp đa thức với hệ số

Lời giải Giả sử có thỏa mãn

(1)+) Nếu là hàm hằng tức là , khi đó từ (1) ta có

Thay bởi ta có suy ra Thử lại thấy đúng.+) Nếu là hàm hằng thì tương tự như trường hợp trên ta cũng có được

+) Nếu và đều không phải là hàm hằng, đặt:;

Ta thấy:

là đa thức ẩn có bậc là và hệ số của số mũ cao nhất là là đa thức ẩn có bậc là và hệ số của số mũ cao nhất là Vì có (1) nên , khi đó:

; Suy ra

Nên hệ số của trong là

Tương tự hệ số của trong là Suy ra =

Thay bởi ta có

(luôn đúng).

2.3.7 Phương pháp xác định các đa thức thỏa mãn điều kiện có nhiều biến sốVí dụ 1 Xác định tất cả các đa thức thỏa mãn điều kiện

Tiếp tục lập luận này, ta có:

ta có cũng là nghiệm của phương trình.

Từ đây suy ra với mọi tùy ý.Thử lại đúng nên đa thức cần tìm là

Bình luận: Mấu chốt của bài toán này là ta chọn được bộ (a,b,c) phù hợp, thỏa mãn yêu cầu bài toán

2.3.8 Phương pháp xác định các đa thức với điều kiện là bất phương trìnhVí dụ 1 Tìm đa thức bậc ba có , và thỏa mãn

Hướng dẫn:

điều này luôn đúng khi Vậy việc đánh giá bậc chưa có kết quả khả thi.

của Hơn nữa, ta có thể chỉ ra rằng phương trình có 3 nghiệm biệt bằng định lí giá trị trung gian (nhưngthực ra, nó vẫn đúng trong trường hợp nghiệm phức) Khi đó, các đa thức

(sai khác hằng số ) Đến đây, ta tìm được các đa

Lời giải Xét phương trình

Đây là phương trình bậc 3, nên theo định lý giá trị trung gian, phương trình cónghiệm thực Khi đó

đa thức bậc ba và có 3 nghiệm thực phân biệt chung.

+) Nếu là đa thức hằng, thì do nên Thay vào

ra với mọi số thực do vế trái là đa thức có bậc lẻ.+) Nếu không là đa thức hằng.

với mọi là các số thực Thay vào điều kiện đề bài:

Do là một nghiệm của đa thức vế trái, để vế trái không đổi dấu thì phải là nghiệm bội chẵn của đa thức vế trái.

Do đó, cũng là nghiệm của

(thỏa mãn)

Điều này không thể xảy ra.Trường hợp 2: Nếu

Do là một nghiệm của đa thức vế trái, để vế trái không đổi dấu thì phải là nghiệm bội chẵn của đa thức vế trái Do đó, cũng là nghiệm của

(không thỏamãn).

Điều này không thể xảy ra.

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, vớibản thân, đồng nghiệp và nhà trường

Với cương vị là người được giao nhiệm vụ bồi dưỡng Học sinh giỏi mônToán, sau khi triển khai những nội dung trong Sáng kiến kinh nghiệm này vàodạy cho các học sinh lớp 11 chuyên Toán 2 và các học sinh trong đội tuyểntrường THPT Chuyên Lam Sơn thi học sinh giỏi quốc gia năm học 2023-2024đã thu được những kết quả đáng khích lệ.

Trước hết, các em không còn thấy “ngại” khi gặp các bài về Đa thức.Không những vậy, các em còn rất hào hứng và muốn “chinh phục” dạng toánnày

Đối với các học sinh trong đội tuyển thi học sinh giỏi quốc gia năm học2023-2024 đã làm các bài về Đa thức rất tốt, góp phần đạt thành tích cao là10/10 học sinh đạt giải.

Đối với các học sinh lớp 11 chuyên Toán 2, kết quả làm các bài toán về Đathức rất cao trong các lần kiểm tra, đánh giá của nhà trường, trong lần thi họcsinh giỏi cấp trường, cấp tỉnh, trong lần thi Olympic Chuyên KHTN, thi Họcsinh giỏi khu vực Duyên Hải Bắc Bộ, thi Olympic Học sinh Sinh viên toànquốc Trong các lần thi, đa số học sinh lớp 11 chuyên Toán 2 tiếp cận được vớibài toán Đa thức và làm tốt loại bài toán này, góp phần đạt thành tích cao như:Kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh có 5 học sinh đạt giải với 1 giải Nhất, 2 giải Ba, 2giải Khuyến khích Kỳ thi học sinh giỏi cấp trường có 9 học sinh đạt giải với 1giải Nhất, 1 giải Nhì, 2 giải Ba, 5 giải Khuyến khích Thi Olympic Học sinh,Sinh viên toàn quốc có 2 học sinh dự thi và đều đạt Huy chương Bạc ThiOlympic chuyên Khoa học Tự nhiên với 4 học sinh đạt Huy chương trong đó có1 Huy chương Vàng, 3 huy chương Bạc Thi Học sinh giỏi khu vực Duyên HảiBắc Bộ có 2 học sinh dự thi và đều đạt Huy chương với 1 Huy chương Vàng, 1huy chương Đồng.

Sáng kiến kinh nghiệm này sẽ tiếp tục vận dụng để dạy cho đội tuyển Họcsinh giỏi của trường, hứa hẹn sẽ góp phần đem lại thành công cho nhà trường vàcho tỉnh nhà trong các kỳ thi Học sinh giỏi khu vực, cấp Quốc gia và Quốc tếtrong các năm học tiếp theo.

III Kết luận, kiến nghị3.1 Kết luận

Bồi dưỡng học sinh giỏi là là một nhiệm vụ chính trị quan trọng của trườngtrung học phổ thông Chuyên Lam Sơn nói riêng và của ngành giáo dục nóichung