skkn cấp tỉnh rèn luyện cho học sinh một số phương pháp giải toán xác định đa thức trong bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường thpt chuyên lam sơn

Xác định Đa thức là loại toán phổ biến trong các bài toán về Đa thức Phương pháp giải các bài toán xác định Đa thức rất đa dạng, đòi hỏi học sinh phải có một chuỗi bài tập phù hợp thì mớ

I Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài

Bồi dưỡng học sinh giỏi là một nhiệm vụ quan trọng trong việc nâng cao chất lượng giáo dục, bồi dưỡng nhân tài cho trường THPT Chuyên Lam Sơn nói riêng, cho địa phương nói chung Bồi dưỡng học sinh giỏi là một công việc khó khăn và lâu dài, đòi hỏi nhiều công sức của thầy và trò

Phần Đa thức trong chương trình toán chuyên sâu là phần khó đối với các

em học sinh Các đề thi học sinh giỏi Quốc gia, Quốc tế thường xuyên có bài Đa thức, đặc biệt trong đề thi học sinh giỏi Quốc gia năm học 2023-2024 có 7 bài thì có đến 3 bài liên quan đến Đa thức Các bài toán loại này mang tính tổng hợp

và trừu tượng hóa cao Vì vậy nhiều học sinh học đến phần này thường ngại, sự say mê, sáng tạo giảm Thời gian đầu tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi của trường, bản thân tôi gặp nhiều khó khăn trong việc hướng dẫn học sinh giải quyết các bài toán về phần này

Xác định Đa thức là loại toán phổ biến trong các bài toán về Đa thức Phương pháp giải các bài toán xác định Đa thức rất đa dạng, đòi hỏi học sinh phải có một chuỗi bài tập phù hợp thì mới hình thành được kĩ năng giải các loại bài toán này Đặc biệt với việc trang bị cho học sinh lối tư duy tổng quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự hoá học sinh sẽ tạo được nhiều bài toán mới và có thêm nhiều hứng thú trong sáng tạo toán học

Để giúp học sinh có sự say mê, tư duy sáng tạo trong việc học phần Đa thức Tôi đã đọc tài liệu, nghiên cứu, phân tích, cải tiến cách dạy, tìm tòi thêm các phương pháp giải toán khác nhau Đồng thời hệ thống hoá các bài tập, trang

bị cho các em lượng kiến thức để các em vận dụng làm bài tập một cách khoa học hơn, sáng tạo hơn Tạo ra sự hứng thú trong học tập đồng thời giúp các em rèn luyện phương pháp giải bài tập không những loại bài tập này mà còn vận

dụng cách tư duy đó cho các loại bài tập khác Trong khuôn khổ đề tài “Rèn luyện cho học sinh một số phương pháp giải toán xác định đa thức trong bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường THPT chuyên Lam Sơn” tôi chỉ nêu được một số

phương pháp để Học sinh vận dụng giải quyết một số lớp bài toán xác định Đa thức với hệ số thực một cách khoa học và có tính sáng tạo hơn Từ đó để các em củng cố kiến thức, rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học, đồng thời cũng trang bị thêm kiến thức nhằm chuẩn bị tốt cho các kỳ thi học sinh Quốc gia và Quốc tế

1.2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu là tìm ra phương pháp dạy học phù hợp dành cho bồi dưỡng học sinh giỏi một số nội dung trong phần Đa thức ở Trường THPT Chuyên Lam Sơn

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là các học sinh Chuyên Toán, Trường THPT Chuyên Lam Sơn

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về phần Đại số, Đa thức, Phương pháp dạy học môn Toán có liên quan đến đề tài Sáng kiến kinh nghiệm

Quan sát: Quan sát thực trạng bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán nói chung

và bồi dưỡng phần Đa thức nói riêng ở Trường THPT Chuyên Lam Sơn

Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi

và hiệu quả của việc rèn luyện cho học sinh một số phương pháp giải toán xác định

đa thức trong bồi dưỡng học sinh giỏi toán ở Trường THPT Chuyên Lam Sơn

II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Trước hết, ta sẽ tìm hiểu những nội dung cơ bản về Đa thức một biến với

hệ số thực

2.1.1 Định nghĩa đa thức một biến với hệ số thực

Hàm số được gọi là đa thức một biến với hệ số thực nếu const

hoặc tồn tại và các số thực với sao cho

Khi đó là các hệ số; là hệ số của bậc cao nhất và là hệ số tự do

- Với thì được gọi là bậc của đa thức , kí hiệu là

- Khi thì đa thức trên được gọi là đa thức chuẩn tắc hay đa thức monic bậc

- Tập hợp các đa thức một biến với hệ số thực kí hiệu là

2.1.2 Nghiệm của đa thức một biến với hệ số thực

a Định nghĩa

Cho và Ta nói là nghiệm thực của nếu

b Định lí Bezout

Cho và là nghiệm thực của khi và chỉ khi

c Nghiệm bội

Cho , và Ta gọi là nghiệm thực bội của nếu chia hết cho nhưng không chia hết cho tức là

d Tính chất nghiệm của đa thức một biến với hệ số thực

- Cho có các nghiệm với bội tương ứng là thì

- Mọi đa thức bậc đều có tối đa nghiệm thực

- Nếu đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng và có ít nhất nghiệm

- Nếu đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng và nhận giá trị như nhau tại điểm khác nhau của biến thì

- Nếu hai đa thức và có bậc nhỏ hơn hoặc bằng và nhận giá trị như nhau tại điểm khác nhau của biến thì

2.1.3 Một số định lí thường gặp

a Định lí Lagrange Giả sử xác định và liên tục trên , khả vi trên

b Định lí Rolle Giả sử xác định và liên tục trên , khả vi trên

Nhận xét: Áp dụng vào đa thức liên tục trên và có đạo hàm Nếu thì tồn tại nghiệm của thuộc khoảng Nếu

có nghiệm thì có nghiệm, có nghiệm,…

c Định lí Viet

- Định lí Viet thuận: Cho đa thức có bậc Nếu

có nghiệm thực (không cần phân biệt) thì

- Định lí Viet đảo: Cho số thực Đặt

Khi đó là nghiệm của đa thức

2.1.4 Một số khai triển thường gặp

a Khai triển Abel Cho đa thức bậc n và n số thực Khi đó tồn tại duy nhất số thực sao cho

Hệ quả Cho đa thức bậc n và số nguyên thỏa mãn

b Khai triển Taylor Cho bậc không vượt quá n, Khi đó

( là đạo hàm cấp i của đa thức tại điểm x).

c Công thức nội suy Lagrange Cho đa thức bậc không vượt quá n, và

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Khi bồi dưỡng học sinh giỏi phần Đa thức đối với học sinh chuyên toán trường THPT Chuyên Lam Sơn, trong giai đoạn đầu khi học về phần này, học sinh thường gặp nhiều khó khăn để chiếm lĩnh tri thức

Nhiều học sinh học đến phần này cảm thấy rắc rối và dẫn đến ngại Một số học sinh khi gặp các bài toán mà các em chưa có hướng giải, các em hay bỏ cuộc ngay, không có tính kiên trì để tìm tòi cách giải, các học sinh đó hay ỷ lại, chờ giáo viên chữa Thời gian đầu, bản thân tôi gặp nhiều khó khăn trong việc hướng dẫn học sinh giải quyết các bài toán về phần này Điều đó thôi thúc tôi tìm ra một hướng giải quyết bài toán với một số phương pháp cụ thể nào đó làm tiền đề và sau đó kết hợp với những phương pháp khác để hướng dẫn học sinh giải quyết những bài toán đã đặt ra

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

Qua nhiều băn khoăn trăn trở, tôi đã nghiên cứu, tìm tòi và đưa ra được một

số phương pháp giải toán xác định đa thức để giải quyết một số dạng toán xác định đa thức trong bồi dưỡng học sinh giỏi toán nhằm khắc phục vấn đề đã nêu Trong khuôn khổ SKKN, tôi chỉ nêu được một số phương pháp để học sinh vận dụng giải quyết một số lớp bài toán xác định Đa thức với hệ số thực thông qua các ví dụ cụ thể

2.3.1 Phương pháp sử dụng tính chất nghiệm

Một số tính chất về nghiệm của đa thức thường được dùng để khai thác trong giải bài toán xác định Đa thức như:

- Cho có các nghiệm với bội tương ứng là thì

- Mọi đa thức bậc đều có tối đa nghiệm thực

- Nếu đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng và có ít nhất nghiệm

- Nếu đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng và nhận giá trị như nhau tại điểm khác nhau của biến thì

- Nếu hai đa thức và có bậc nhỏ hơn hoặc bằng và nhận giá trị như nhau tại điểm khác nhau của biến thì

Ví dụ 1 Tìm tất cả các đa thức thoả mãn:

là nghiệm của , vì thế dựa vào tính chất nghiệm thì có thể viết

thành Thế lại phương trình ban đầu ta lại thấy cũng là nghiệm của , vì thế có thể viết thành từ đó ta

đi đến lời giải bài toán như sau

Lời giải Giả sử là một đa thức thỏa mãn

(1)

Thế vào (1) suy ra

Ví dụ 2 Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa mãn

Hướng dẫn: Ta không thể nhẩm được ngay nghiệm của giống như trong

Ví dụ 1, tuy nhiên ta thấy phương trình đã cho có thể viết dưới dạng

Qua đó giúp ta nghĩ đến việc đặt để đưa về bài toán như Ví dụ

1 Từ đó ta đi đến lời giải bài toán như sau:

Lời giải Giả sử tồn tại đa thức thỏa mãn bài toán Viết phương trình đã cho dưới dạng

Cho từ (1) suy ra

với là hằng số Do đó Thử lại thoả mãn

Khi sử dụng tính chất nghiệm của đa thức trong giải toán xác định đa thức,

ta có thể phối hợp với nguyên lí cực hạn để đánh giá như trong ví dụ sau:

Ví dụ 3 Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực, khác hằng, sao cho với mọi

Lời giải Giả sử là một đa thức thỏa mãn bài toán

Đặt và là nghiệm phức bất kỳ của Ta sẽ chứng minh

Giả sử có nghiệm khác 1, trong các nghiệm đó, ta chọn sao cho là nhỏ nhất

Xét số phức sao cho Thay vào phương trình đa thức ban đầu, ta có

suy ra

trình ban đầu, ta có

)

Vậy mọi nghiệm của là 1 và do đó

2.3.2 Phương pháp so sánh hệ số

So sánh hệ số là một trong những phương pháp hiệu quả khi giải toán xác định đa thức Nó xuất phát từ tính chất:

Thông thường ta hay cân bằng hệ số bậc cao nhất của hai vế trong phương trình đã cho

Ví dụ 1 Tìm tất cả các đa thức thoả mãn đẳng thức

Hướng dẫn: Ta nhận thấy nếu thì

Từ đó ta nghĩ đến việc tách riêng ,

và so sánh hệ số Từ đó ta đi đến lời giải bài toán như sau:

Lời giải Giả sử là một đa thức thỏa mãn

Xét 2 trường hợp sau:

Thay vào ta được

So sánh luỹ thừa cao nhất hai vế của ta được

So sánh hệ số ứng với luỹ thừa cao nhất hai vế của ta được

Kết luận:

Ví dụ 2 Tìm tất cả các đa thức sao cho

Lời giải Giả sử là một đa thức thỏa mãn

Nếu không là hằng số thì

, thay vào phương trình và so sánh hệ số của có

Tiếp tục so sánh hệ số của ta được

Tóm lại

Thử lại thoả mãn phương trình đã cho

Ví dụ 3 (HSG Hà Nội 2017) Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa

Từ (1) thay ta có

Thay vào (1) ta có

Do và nên phương trình trên có thể viết dưới dạng

Do suy ra điều này vô lý với mọi

Vậy có hai đa thức thỏa mãn yêu cầu đề bài là và

2.3.3 Phương pháp so sánh bậc

Giống như phương pháp so sánh hệ số, phương pháp so sánh bậc là một trong những phương pháp hiệu quả khi giải toán xác định đa thức Nó xuất phát

từ tính chất là nếu hai đa thức bằng nhau thì hai đa thức đó phải cùng bậc

Ví dụ 1 Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa mãn điều kiện

Hướng dẫn: Ta nhận thấy nếu thì vế trái là đa thức có bậc , vế phải là đa thức có bậc Từ đó ta đi đến lời giải bài toán như sau:

Nếu là đa thức hằng thì hoặc

Gọi là bậc của

Đặt

Trong (1) ta thấy: Vế trái là đa thức có bậc , vế phải là đa thức có bậc

So sánh bậc của hai vế ta được

(1) ta được

cho suy ra

Thử lại chỉ có thỏa mãn

Ví dụ 2 Tìm tất cả các đa thức thỏa mãn

Trường hợp 1: Thay vào (1) luôn thỏa mãn

Nếu , thì từ phương trình (1), ta có

Giải (2) bằng đồng nhất hệ số ta được với

2.3.4 Phương pháp sử dụng giá trị của dãy số vô hạn

Phương pháp sử dụng giá trị của dãy số vô hạn có nội dung là thay cho việc tìm ta tìm với là dãy số phù hợp Từ kết quả của theo

và tính vô hạn số hạng của dãy ta suy ra đa thức cần tìm

Ví dụ 1 Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa mãn điều kiện

Lời giải Giả sử có thỏa mãn

và (1)

Sử dụng phương pháp quy nạp ta chứng minh (*) Thật vậy:

Với (*) đúng

Giả sử đã có suy ra

Nhận xét: Trong lời giải trên, thay việc tìm ta đi tìm với dãy số

Ví dụ 2 Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa mãn điều kiện

Lời giải Giả sử có thỏa mãn

và (1)

Dễ thấy không phải là đa thức hằng

Xét dãy số Ta thấy là dãy số tăng

Mặt khác và

Sử dụng phương pháp quy nạp ta chứng mính (*) Thật vậy:

Với (*) đúng

Giả sử đã có suy ra

Suy ra mà là dãy tăng nên suy ra

2.3.5 Phương pháp sử dụng tính chia hết của đa thức

Từ điều kiện đề bài ta chỉ ra được khi đó đặt

để chuyển về bài toán tìm đa thức đơn giản hơn

Ví dụ 1 Tìm tất cả các đa thức thoả mãn đẳng thức

Lời giải Giả sử có thỏa mãn

Thay vào (1) ta có

Vậy với là hằng số bất kỳ

Ví dụ 2 (HSG Hy Lạp 2014) Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa

Lời giải Giả sử có thỏa mãn

Đặt

Thật vậy, nếu suy sẽ có là nghiệm của (có thể là nghiệm thực hoặc phức) suy ra hay cũng là

nghiệm của và cứ như vậy ta sẽ chỉ ra được đa thức có vô nghiệm, suy ra điều này mâu thuẫn, nên suy ra hay với

là hằng số

Vậy với là hằng số bất kỳ

2.3.6 Phương pháp xác định các cặp đa thức

Thay vì tìm một đa thức, sau đây là các ví dụ về bài toán tìm một cặp đa thức

Ví dụ 1 Tìm tất cả các đa thức và thỏa mãn:

đa thức hằng Khi đó, ta được , mà

và đều là các số nguyên Từ đó, ta tìm được bậc của mỗi đa thức

Lời giải Nếu , thì là một đa thức bất kì đều thỏa mãn yêu cầu bài toán

yêu cầu bài toán

Đánh giá bậc: từ phương trình ban đầu, ta có:

là nghiệm bài toán

Thay (1) vào phương trình ban đầu, đồng nhất hệ số 2 vế, ta có:

Vậy: Nếu thì là một đa thức bất kì

Ví dụ 2 (HSG Quốc gia 2024) Tìm tất cả đa thức với hệ số thực sao cho với mỗi số thực thì là nghiệm của phương trình

Lời giải Ta thấy yêu cầu của bài toán tương đương với việc tìm tất cả đa thức

hệ số thực thỏa mãn

(1)

Nếu với là hằng số nào đó thì ta có đúng hai trường hợp sau

Trường hợp 1: thì với mọi , vô lý

Trường hợp 2: thì thay vào đẳng thức (1) có

Trong trường hợp , để ý rằng nếu thì với

là đa thức hệ số thực Khi đó , đây là điều vô lí nên Đồng thời, dễ thấy nên kết hợp với việc bất khả quy trên

và , ta thấy tồn tại hằng số sao cho

.

Thay vào đẳng thức (1), ta được

Điều này dẫn tới phải chia hết cho , kéo theo

.

thể xảy ra

Như vậy, tất cả các cặp đa thức thỏa mãn bài toán có dạng là

với

Ví dụ 3 (HSG Trung Âu - 2017) Tìm tất cả các cặp đa thức với hệ số

Lời giải Giả sử có thỏa mãn

(1) +) Nếu là hàm hằng tức là , khi đó từ (1) ta có

Thay bởi ta có suy ra Thử lại thấy đúng +) Nếu là hàm hằng thì tương tự như trường hợp trên ta cũng có được

+) Nếu và đều không phải là hàm hằng, đặt:

;

Ta thấy:

là đa thức ẩn có bậc là và hệ số của số mũ cao nhất là

là đa thức ẩn có bậc là và hệ số của số mũ cao nhất là

Vì có (1) nên , khi đó:

; Suy ra

Nên hệ số của trong là

Tương tự hệ số của trong là Suy ra

=

Thay bởi ta có

Chọn:

thức bậc nên

Thử (4), (5) vào (1) ta có:

(luôn đúng)

2.3.7 Phương pháp xác định các đa thức thỏa mãn điều kiện có nhiều biến số

Ví dụ 1 Xác định tất cả các đa thức thỏa mãn điều kiện

Lời giải Nhận thấy phương trình đã cho tương đương với

với (1)

Từ phương trình (1) cho , suy ra hay hoặc

Với , cho vào phương trình (1), ta có hay

Với , suy ra với có bậc nhỏ hơn một đơn vị Suy ra (1) tương đương với nhưng phương trình này

Tiếp tục lập luận này, ta có:

Hoặc với là một số nguyên dương thỏa mãn đề bài

Ví dụ 2 Tìm tất cả các đa thức sao cho:

Lời giải Trước hết ta tìm một nghiệm nguyên của phương trình

ta có cũng là nghiệm của phương trình

Ta xét các trường hợp của