skkn cấp tỉnh khai thác bài toán diện tích thể tích và ứng dụng trong thực tiễn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG PT NGUYỄN MỘNG TUÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KHAI THÁC BÀI TOÁN DIỆN TÍCH THỂ TÍCH VÀ ỨNG DỤNG TRONG THỰC TIỄN

Người thực hiện: Trần Thị TrangChức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường PT Nguyễn Mộng TuânSKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 3

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 3

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 4

2.2.1 Thời gian và các bước tiến hành 4

2.2.2 Khảo sát chất lượng đầu năm môn đại số 4

2.2.3 Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết quả trên 4

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giảiquyết vấn đề 5

2.3.1 Cơ sở lí thuyết 5

2.3.2 Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề 7

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 20

3 Kết luận - Kiến nghị 20

3.1 Kết luận 20

3.2 Những kết luận trong quá trình nghiên cứu, triển khai SKKN 21Các tài liệu tham khảo

DANH MỤC VIẾT TẮT

1 SGK : Sách giáo khoa 2 PT : Phổ thông 3 HSG : Học sinh giỏi4 NXB : Nhà xuất bản

5 CNTT : Công nghệ thông tin6 THPT : Trung học phổ thông 7 HH : Hình học

8 ĐH : Đại học 9 PP : Phương pháp

1 Mở đầu

1.1 Lý do chọn đề tài

Luật giáo dục 2005 đã nói rõ, mục tiêu của giáo dục phổ thông là giúp họcsinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơbản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhâncách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệmcông dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động,tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc Giáo dục trung học phổ thông nhằm giúphọc sinh củng cố và phát triển những kết quả của giáo dục trung học cơ sở, hoànthiện học vấn phổ thông và có những hiểu biết thông thường về kỹ thuật vàhướng nghiệp, có điều kiện phát huy năng lực cá nhân để lựa chọn hướng pháttriển, tiếp tục học đại học, cao đẳng, trung cấp, học nghề hoặc đi vào cuộc sốnglao động Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác,chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, mônhọc; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹnăng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui,hứng thú học tập cho học sinh.

Đối với các môn học khác thì các ứng dụng thực tế là rất dễ thấy Bằngcách sử dụng Hoá học, Vật lý hay Sinh học, chúng ta có thể giải thích được cáchiện tượng, sự việc trong đời sống, chẳng hạn tại sao que diêm lại cháy được, tạisao khi nấu canh cá ta thường cho chất chua vào, … Học Địa lý giúp chúng ta cóthể hiểu về các hiện tượng mưa, gió, ngày đêm, … Ngược lại, bản thân mônToán học thì sao Đại đa số các em học sinh đều có suy nghĩ Toán học ngoài cácphép toán cơ bản ra thì còn lại là các kiến thức phức tạp, trừu tượng Các emnhận ra học chỉ để thi cử vậy thôi chứ các em không biết học các kiến thức phứctạp kia để làm gì Đặc biệt hơn nữa là khi học về một số nội dung của chươngtrình lớp 12 như hàm số, tích phân, số phức, thể tích …

Sự thật là Toán học có rất nhiều ứng dụng vào thực tế và nó thể hiện rất rõtrong cuộc sống hằng ngày của con người nhưng chúng ta không để ý mà thôi.Nguồn gốc của toán học cũng như các ngành khoa học đều là các vấn đề thực

tiễn mà loài người cần tìm hiểu để cải thiện cuộc sống Vì thế dùng các thí dụthực tiễn trong giảng dạy sẽ giúp học sinh và sinh viên hiểu rõ các định nghĩa vàcác qui luật và định lý Các thí dụ thực tiễn còn giúp các bài giảng trở nên sinhđộng và đưa lớp học đến gần cuộc sống xung quanh hơn Các thí dụ thực tiễncòn giúp cho học sinh nhận ra kiến thức có thể cải thiện cách giải quyết các vấnđề thường ngày trong cuộc sống.

Với mục đích giúp cho học sinh thấy Toán học nói chung, bài toán tíchphân và bài toán diện tích, thể tích nói riêng rất gần gũi với cuộc sống xungquanh, hoàn toàn rất thực tế Việc tiếp thu các kiến thức đó không chỉ để thi cửmà nó còn là công cụ đắc lực để giúp các em giải quyết các vấn đề tình huống

đơn giản trong thực tế Vì thế bản thân mạnh dạn đề xuất đề tài “Khai thác bài

toán diện tích, thể tích và ứng dụng trong thực tiễn”.1.2.Mục đích nghiên cứu

Với các lý do trên, đề tài đã đề ra một số mục đích sau:

- Giúp học sinh thành thạo kỹ năng tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể.- Giúp học sinh biết vận dụng bài toán diện tích, thể tích vào trong cuộc sống.- Giúp học sinh có hứng thú trong quá trình học tập, các em nhận thức đượchọc Toán học không khô khan, không xa rời thực tế như các em đã từng nghĩ.

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức Toán học và các bài toán có nộidung thực tiễn liên quan đến diện tích, thể tích và ứng dụng trong thực tiễn

- Phạm vi nghiên cứu: Chương trình lớp 12: Diện tích, thể tích, Ứng dụngtích phân, ứng dụng trong thực tiễn

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp sau:

a Nghiên cứu tài liệu :

- Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục có liên quan đến nội dung đề tài.- Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo.

b Nghiên cứu thực tế :

- Tổng kết rút kinh nghiệm trong quá trình dạy học.

- Tổ chức và tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án đã thông quacác tiết dạy) để kiểm tra tính khả thi của đề tài.

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Trong nhiều năm dạy lớp 12, tôi nhận thấy học sinh gặp rất nhiều khó khănkhi học bài toán diện tích, thể tích và ứng dụng trong thực tiễn, các em nghĩmình không học được chủ đề này do khối kiến thức khó đòi hỏi nhiều tư duy,nên các em bỏ qua không quan tâm Bản thân tôi qua nghiên cứu các bài tậptrong sách giáo khoa, các đề thi trong những năm gần đây, và nhận thấy :

- Phần lớn học sinh chưa có phương pháp học phù hợp để học bài toándiện tích, thể tích và ứng dụng trong thực tiễn.

- Tài liệu tham khảo còn hạn chế, việc đầu tư thời gian vào bộ môn còn ít.- Trong tiết học lí thuyết học sinh chủ yếu nắm được lí thuyết với một sốdạng bài tập áp dụng đơn giản, chưa thể rèn luyện được kĩ năng giải toán mộtcách thành thạo Khi về nhà các em không tự mình rút ra được một số vấn đề,một số dạng bài toán cơ bản cần rèn luyện

- Các em còn thiếu ý thức trong học tập, chưa hiểu rõ được sự quan trọngcủa học tập, nên khi giáo viên yêu cầu học sinh về chuẩn bị bài, hay soạn bàitheo nội dung giáo viên hướng dẫn có một số học sinh vẫn chưa tích cực làmtheo, thậm chí có học sinh không làm hoặc làm dưới dạng đối phó.

- Khi học xong tiết lí thuyết học sinh không biết cách tự mình nắm chắc líthuyết, rõ ràng sau đó hệ thống lại kiến thức mình học một ngắn gọn vào sổ taycá nhân của mình

- Học sinh không biết cách tự mình tham khảo sách giáo khoa một cáchchọn lọc, học sinh quá lệ thuộc vào sách giáo khoa, chưa chú trọng những gìthầy cô giảng trên lớp

- Đại đa số học sinh không được tiếp thu nhiều với các dạng toán trong quátrình học tiết lý thuyết ( thời gian ít), khả năng tư duy nhìn chung còn thấp nênthấy lạ với nhiều bài toán.

- Học sinh ít chịu tư duy, lập luận không có tính lôgic, thiếu tính cần cù,kiên nhẫn và nhạy bén trong khi giải bài tập Vì đa số học sinh thường có tâm lísợ sệt, rất ngại khi gặp phải những dạng bài tập khó, phức tạp nên dần dần tạothành một thói quen là học theo kiểu đối phó.

- Phần lớn học sinh không biết cách nhận dạng đề, không nắm bắt đượcphương pháp giải Chưa biết cách vận dụng lí thuyết vào bài tập, chưa biết nhìnbài toán theo ứng dụng thực tiễn và khả năng để vận dụng vào các bài toán tínhdiện tích, thể tích nói chung và các bài toán ứng dụng trong thực tiễn nói riêngcòn rất kém.

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm2.2.1 Thời gian và các bước tiến hành

Tìm hiểu đối tượng học sinh khối 12 các năm học :2021-2022; 2022-2023; 2023-2024

2.2.2 Khảo sát chất lượng đầu năm môn đại số

Theo số liệu thống kê trước khi dạy đề tài này ở ba lớp tôi kiểm tra đầunăm học 2023-2024 : 12 ;12 ;12A1 A2 A trường PT Nguyễn Mộng Tuân, kết quả3

2.2.3 Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết quả trên

Tôi nhận thấy đa số học sinh có kết quả chưa cao Vì vậy việc lĩnh hội kiếnthức và rèn luyện kĩ năng ở học sinh đòi hỏi nhiều công sức và thời gian Sựnhận thức của học sinh thể hiện khá rõ ở các điểm sau:

- Kiến thức cơ bản nắm chưa chắc.

- Ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt.- Học sinh có tâm lí sợ học phần ứng dụng thực tiễn.

Đây là môn học đòi hỏi tư duy, thực sự khó đối với học sinh Nhiều em hổngkiến thức từ lớp dưới, ý thức học tập chưa cao nên chưa xác định được động cơ họctập, chưa thấy được ứng dụng của môn toán trong đời sống hàng ngày

Giáo viên cần nắm rõ tình hình từng đối tượng học sinh, để có biện phápgiúp đỡ các em, song song với việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi cần giúp đỡ họcsinh yếu kém Bằng biện pháp rèn luyện tích cực và phân tích nội dung một cáchthích hợp.

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giảiquyết vấn đề

2.3.1 Cơ sở lí thuyết

2.3.1.1 Bài toán diện tích hình phẳng

Bài toán 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

yf x y  x a x b a b   : ( )

ba

V  Bh

Bài toán 6. Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B, chiều cao h:

V  R

2.3.1.3 Thể tích vật thể tròn xoay

Bài toán 10 Thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các

đường yf x y( ); 0;x a x b a b ;  (  ) quay xung quanh Ox:

2( )

V fx dx.

Bài toán 11 Thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các

đường yf x y g x x a x b a b( );  ( );  ;  (  ) quay xung quanh Ox:

V fx dx.

c) Nếu  x [ ; ]:a b  g x( )f x( ) 0 g x( ) thì 2( )

V g x dx.

d) Nếu  x [a b f x; : ( ) 0]  g x( ) thì 2( )

V h x dx.

Trong đó h x( ) max  f x( ) ; ( ) ,g x  x[ ; ]a b

Bài toán 12 Thể tích vật thể giới hạn bởi 2 mặt phẳng song song (P) và

(Q): Dựng 1 trục Ox vuông góc với 2 mặt phẳng (P) và (Q) Giả sử Ox cắt (P),(Q) lần lượt tại x a x b ;  Không mất tính tổng quát, giả sử a < b Dựng mặtphẳng (R) vuông góc với Ox tại x, x  [a;b] Gọi S(x) là diện tích thiết diện của(R) và vật thể Giả sử S(x) liên tục trên [a;b] Khi đó, thể tích vật thể giới hạn bởi(P) và (Q) xác định bởi công thức:

( )

ba

 

c Hình phẳng giới hạn bởi các đường yf x y g x( );  ( ).

Bài tập 3. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = x4 + 5x2 – 4 và trục hoành

6

y f x y x a x b  quay xung quanh Ox

Với bài toán này, ta luôn có công thức: 2( )

V fx dx.Ta xem xét vài ví dụ sau:

Bài tập 4. Tính thể tích vật thể khi cho hình phẳng giới hạn bởi Parabol

V    Đáp án A.

y f x y g x x a x b   quay xung quanh Ox

Ở phần này, các đáp án trắc nghiệm đưa ra sẽ tương ứng với các tích phânkiểu như:

nhỏ, trong đó xi là các nghiệm của các phương trình ( ) 0; ( ) 0f x  g x 

Chính vì vậy sau đây, ta chỉ xét hình phẳng giới hạn bởi

y f x y g x x a x b   trong trường hợp các biểu thức f x g x( ); ( ) chỉ

mang 1 dấu trên (a;b).

a) Xét bài toán yf x y g x x a x b( );  ( );  ;  trong trường hợp

( ); ( )

f x g x cùng dấu trên (a;b)

Bài tập 5. Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi

y  y   x x x quay xung quanh Ox.

A 27 11ln 2 3

D 63 92ln 2

b) Xét bài toán y f x y g x x a x b( );  ( );  ;  trong trường hợp f x g x( ); ( )trái dấu trên (a;b):

Giả sử rằng  x ( ; ) : ( ) 0a b g x  f x( ).

Để ý rằng, hình tròn xoay khi cho hình thang cong

y g x Ox x a x b   quay xung quanh Ox cũng chính là ta cho hình thang

cong y g x Ox x a x b( ); ;  ;  quay xung quanh Ox Chính vì thế ta phải xét vị

trí tương đối giữa đồ thị hàm số y f x y( ),  g x( ) xem đồ thị hàm số nào nằmtrên Từ đó ta cần phải xét phương trình f x( ) g x( ).

 Trên (a;b), đồ thị hàm số yf x( ) nằm phíatrên đồ thị hàm số y  g x( )

Khi đó cho hình phẳng giới hạn bởi y f x y g x x a x b( );  ( );  ;  quay

xung quanh Ox cũng chính là cho hình phẳng giới hạn bởi

y f x Ox x a x b  quay xung quanh Ox

 Thể tích cần tìm là 2( )

V fx dx − Trong trường hợp  x ( ; )a b :

quanh Ox cũng chính là cho hình phẳng giới hạn bởi y g x Ox x a x b ( ); ;  ; 

quay xung quanh Ox.

 Thể tích cần tìm là 2( )

ba

phẳng yf x y g x x a x b( );  ( );  ;  quay xung quanh Ox là:

c Khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường

( ); ( )

a) Trước hết, ta xét bài toán trong trường hợp đặc biệt là y g x ( ) chính làtrục hoành, tức là hình phẳng giới hạn bởi yf x y( ); 0 Khi đó ta chỉ cần giảiphương trình f x ( ) 0 để tìm cận của tích phân Giả sử phương trình có cácnghiệm là x1x2   x nn, 2 Khi đó thể tích khối tròn xoay được xác địnhbởi công thức:

Bài tập 6. Cho D là hình phẳng giới hạn bởi y  x y; 4;x0 Tính

thể tích khối tròn xoay khi cho D quay xung quanh Ox.

A 10245

Các bài toán trên là trường hợp phương trình ( )f x g x( ) có 2 nghiệm vàtrên khoảng nghiệm, 2 biểu thức f x g x( ), ( ) mang cùng 1 dấu Hơn nữa, vìphương trình chỉ có 2 nghiệm nên trên khoảng nghiệm thì đồ thị của 1 trong 2hàm số sẽ nằm trên đồ thị hàm số còn lại Chính vì vậy ta sử dụng công thức

2( ) 2( )

Bài tập 7. Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi

2 đường y 8x 2 ;x y x2  2  4x quay xung quanh Ox.

A 204815

B 5125

C 51215

C 51215

D 60815

d Khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường

y f x y g x y h x  quay xung quanh Ox

Bài tập 9. Cho D là hình phẳng giới hạn bởi y 2x 1;y  2 x;

2.3.2.3 Khai thác ứng dụng diện tích, thể tích trong thực tiễn

Như đã nói ở phần đặt vấn đề, khi dạy học phần tích phân, dạy học phầnthể tích khối đa diện, khối tròn xoay, dường như đại đa số chúng ta và học sinhthấy rằng khá khô khan, chỉ là học về các công thức, tính toán, thậm chí có thểnói là rất hàn lâm Và điều đó làm cho sự hứng thú trong học tập Toán học của

các em Bằng việc đan xen dạy học với các bài toán có nội dung thực tiễn, tiếthọc được nhận định gần gũi hơn, góp phần tạo ra sự hứng thú học tập ở họcsinh Trong thực tiễn ta bắt gặp khá nhiều hình ảnh của các hình, các khối màchúng ta được biết, chẳng hạn như các khối về hình lăng trụ, hình hộp như viêngạch, hộp phấn, hộp sữa, … Hay là trong nghề thợ mộc, nghề làm gốm thì hìnhảnh các khối đa diện rất nhiều, … Kết hợp với các hình ảnh đó, người giáo viênđưa các đại lượng cần thiết vào để tạo ra một bài toán có nội dung thực tiễn.

a Giải bài toán diện tích trong thực tiễn

Với bài toán diện tích của hình đa giác, hình tròn là bài toán của THCS,chính vậy ở đây đề tài chỉ nghiên cứu bài toán diện tích của một số hình màmuốn tính ta phải sử dụng thể tích để tính Chẳng hạn hình elip, 1 phần của hìnhtròn bị cắt bởi 1 đường khác, hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số nhưParabol, hàm bậc 3, …

Bằng việc gắn hình elip vào thực tiễn, ta có thể xây dựng được một số bàitoán liên quan Chẳng hạn:

Bài tập 11. Trong một đợt đi du lịch, An bắt gặp 1 vườn hoa được trồngvới mật độ đều nhau An muốn ước lượng số bông hoa có trong vườn bằng cáchđếm số bông hoa trên 1 mét vuông đất Kết quả là trên 1 mét vuông đất có 55bông hoa Hỏi vườn hoa đó có khoảng bao nhiêu bông hoa Biết rằng vườn hoacó hình dạng elip và có độ dài trục lớn là 36 mét, trục bé là 20 mét.

Bước 1 Phân tích

Để xác định được số bông hoa, ta cần phải tính được diện tích của mảnhđất Bằng việc gắn hệ trục toạ độ và sử dụng tích phân ta sẽ tìm ra diện tích.Muốn vậy ta cần phải viết được phương trình elip Trong bài toán này elip biếtđộ dài 2 trục lớn và trục bé.

Bước 2 Giải

Gắn hệ trục toạ độ Oxy: O chính là tâm elip; trục lớn elip nằm trên Ox.

Khi đó phương trình elip là: 22 22 1 5 182 29

xy