skkn cấp tỉnh phương pháp khai thác bài toán theo định hướng phát triển các mối liên hệ giữa các dối tượng toán học trong sự vận động và phát triển của chúng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP KHAI THÁC BÀI TOÁN THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN CÁC MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC ĐỐI TƯỢNG TOÁN HỌC TRON

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHƯƠNG PHÁP KHAI THÁC BÀI TOÁN

THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN CÁC MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC ĐỐI TƯỢNG TOÁN HỌC TRONG SỰ VẬN ĐỘNG

VÀ PHÁT TRIỂN CỦA CHÚNG

Người thực hiện: Lê Văn Chí Chức vụ: P Hiệu Trưởng SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HÓA, THÁNG 5 NĂM 2024

1 Mở đầu Trang

2.3 Một số ví dụ điển hình về sử dụng Phương pháp khai thác bài

toán theo định hướng phát triển các mối liên hệ giữa các dối tượng

trong sự vận động và phát triển của chúng

3

2.3.1 Bài toán xuất phát từ định lý Pytago trong hình học phẳng 3

2.3.2 Bài toán xuất phát từ định lý Thales trong hình học phẳng 9

2.3.4 Dạy nội dung về Mặt cầu hãy xuất phát từ nội dung Đường

tròn

14

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo

dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

Các đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã được hội đồng đánh giá xếp

loại cấp phòng GD & ĐT, cấp Sở GD & ĐT và cấp cao hơn xếp

loại từ C trở lên

21

Tất cả những đối tượng đó đúng như triết học đã nói “tồn tại khách quan, độc lập với ý thức của con người, không ai sáng tạo ra và không ai có thể tiêu diệt được” [1]

Trong nội tại toán học có rất nhiều mối liên hệ: “mối liên hệ giữa nộidung - hình thức; mối liên hệ giữa bản chất - hiện tượng; mối liên hệ giữa cáichung - cái riêng; mối liên hệ giữa nguyên nhân và kết quả… ” Các nhà triếthọc, nhà khoa học dựa trên nền tảng các mối liên hệ, để nghiên cứu làm sâu sắchiểu biết về thế giới Các nhà sư phạm Toán trên cơ sở của các mối liên hệ, làmsâu sắc thêm quan hệ giữa các đối tượng toán học Trên cái nhìn tổng quát củamôn học trong quá trình dạy học Thầy cô giáo hướng dẫn học sinh nhữngphương pháp và cách thức để các em tìm ra qui luật và chân lý Đó cũng chính

là mục đích cao cả của dạy học Một trong những phương pháp thể hiện rõ nét làviệc nghiên cứu các mối liên hệ của các đối tượng toán học trong sự vận động

và phát triển theo nhiều chiều hướng khác nhau Qua nhiều năm giảng dạy, cánhân tôi tâm đắc với phương pháp đó Tôi xin được trao đổi với các đồng

nghiệp, những người yêu toán và các em học sinh bài viết “Phương pháp khai

thác bài toán theo định hướng phát triển các mối liên hệ giữa các dối tượng toán học trong sự vận động và phát triển của chúng” Do khuôn khổ bài viết

tôi chỉ giới hạn ở một số bài toán hình học trong chương trình toán THPT Ngoài

ra đề tài tập trung vào việc định hình phương pháp nên có khai thác một phầnkiến thức hình học cấp 2 làm nền tảng để phát triển Việc triển khai đề tài với sựthống nhất ý tưởng của cả tổ chuyên môn là định hướng chuyển dạy học theochuyên đề

1.2 Mục đích nghiên cứu

- Giúp các em học sinh có phương pháp học, phương pháp nghiên cứukhoa học, có cách nhìn sâu sắc để khám phá ra các qui luật tự nhiên, nhận ra vẻđẹp của Toán học

- Tạo hứng thú học tập, nghiên cứu, tìm tòi sáng tạo trong giải toán cũngnhư trong quá trình học tập của các em

- Hướng dẫn học sinh phương pháp phát triển bài các bài toán theo hướng

mở rộng các góc nhìn trong mối liên hệ của các đối tượng toán học Đặt nó trong

sự vận động và phát triển từ đơn giản đến phức tạp, từ cái cụ thể đến cái chung

và tổng quát

- Học sinh có thể vận dụng phương pháp để liên hệ sang các bài toán khácnói riêng, các môn học khác, các vấn đề khác nói chung

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Phương pháp dạy học theo khuynh hướng vận dụng lý luận triết học duyvật biện chứng trong khai thác mối liên hệ giữa các đối tượng toán học trong sựvận động và phát triển từ thấp đến cao, từ đơn giản đến phức tạp trong nội hàmmột số bài toán phổ thông

- Đối tượng áp dụng để nghiên cứu là học sinh trường THPT Hoằng Hóa

4 các năm 2021-2022 và 2022- 2023

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận về các cặp phạm trù và mối liên hệ phổbiến trong triết học duy vật biện chứng Nghiên cứu đối tượng luôn trong sự vậnđộng và phát triển

- Phương pháp thực nghiệm, Sử dụng kết quả phân tích các bộ số liệu liênquan

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lý luận

Trong triết học, phương pháp luận biện chứng xem xét sự vật, hiện tượngtrong sự ràng buộc lẫn nhau, trong sự vận động và phát triển không ngừng củachúng Trong toán học, tất cả các chứng minh đều là phương pháp luận biệnchứng Khi chứng minh, đương nhiên các sự vật (ở đây là các đối tượng toánhọc) được nhà toán học dựa trên sự ràng buộc và trong sự vận động khôngngừng Tất cả các đối tượng trong toán học đều có mối quan hệ biện chứng.Điều này dẫn chúng ta đến một kết luận có tính quy luật các kết luận toán họcluôn trong mối liên hệ với nhau, chúng vận động và phát triển từ thấp đến cao,

từ đơn giản đến phức tạp Các bài toán hình học ở phổ thông phản ánh rõ nétmối liên hệ đó Trong chương trình hình học phổ thông, việc xây dựng và phát

triển từ không gian một chiều (Trục) đến không gian 2 chiều (Hệ trục tọa độtrong mặt phẳng) và cuối cùng là không gian 3 chiều (Hệ trục tọa độ trongkhông gian) thể hiện rõ nét điều đó.

sử dụng các dự đoán mang tính cảm tính và hình thành thói quen để chọn đáp sốcho các bài toán

Ngoài ra một bộ phận thầy cô giáo hiện nay ít để tâm, ít khi liên hệ đếnkiến thức triết học duy vật biện chứng Nhiều thầy cô mặc định đó là kiến thứccủa môn học Triết học, kiến thức vượt với mức độ hiểu biết của học sinh phổthông Lẽ hiển nhiên các em học sinh sẽ không có nhiều cơ hội tiếp cận với líluận, cũng như việc vận dụng triết học vào học tập, công việc hàng ngày Chínhnhững lí do trên là một trong những nguyên nhân dẫn tới hạn chế sự phát triển tưduy logic, thế giới quan Biện chứng của học sinh

Trên cơ sở của một số định lý hay kết quả của một số bài toán có nhiềuthầy cô cũng chưa hệ thống, chưa khái quát thành một mạch kiến thức hoànchỉnh Khi học sinh làm toán, nhất là toán trắc nghiệm các em cần có nhữngcông thức, những kết luận ngắn gọn để có thể vận dụng và sử dụng ngay khi cóthể Thì trong quá trình giảng dạy, nếu thầy cô có thể hướng dẫn học sinh xâydựng được các công thức, các kết luận có tính hệ thống Có thể áp dụng hữuhiệu khi làm toán sẽ giúp ích được cho các em rất nhiều Đặc biệt khi phải chạyđua với thời gian và một số những phát triển mới từ các đề thi

2.3 Một số ví dụ điển hình về sử dụng Phương pháp khai thác bài toán theo định hướng phát triển các mối liên hệ giữa các dối tượng trong sự vận động và phát triển của chúng

2.3.1 Bài toán xuất phát từ định lý Pytago trong hình học phẳng

Định lý Pytago được giới thiệu từ lớp 7 Đây là một định lý được sử dụng nhiều trong hình học

Phần đông học sinh vận dụng định lý rất thuần thục để làm toán Tuy

nhiên không mấy em đặt cho mình câu hỏi hay nghi vấn rằng: Định lý chỉ đúng với Tam giác vuông, tam giác vuông là trường hợp đặc biệt (trường hợp riêng) của tam giác, vậy có mối liên hệ tổng quát nào đúng cho các tam giác thường (cái tổng quát) không? Thông thường khi dạy phần này một số thầy cô thường

giới thiệu và chứng minh cho học sinh định lý cosin

+ Định lý cosin đúng cho tam giác bất kỳ: Do đó cũng sẽ đúng cho tam

giác vuông, tam giác cân, tam giác đều, tam giác nhọn và tam giác tù

+ Nếu xem tam giác là trường hợp đặc biệt của tứ giác: Chúng ta sẽ

phát triển bài toán và có niềm tin tìm ra công thức mới cho tứ giác

D

A

B <-D

C C

B

A

 Với trường hợp tam giác vuông:

Ta xem tam giác vuông ABC là trường hợp đặc biệt có được từ hình chữ nhật ABDC suy biến thành tam giác ABC, tức khi điểm D trùng với B Không

khó khăn học sinh sẽ tìm ra được công thức:

A

D

C B

A

Khi B, D trùng O định lý Pytago sẽ được phát biểu là: Trong một tứ giác

có hai đường chéo vuông góc thì tổng bình phương của hai cạnh đối diện nàybằng tổng bình phương của hai cạnh đối diện kia

Tức là: AB2  CD2  BD2  AC2

Chứng minh:

Sử dụng định lý Pytago cho các tam giác vuông OAC, ODB, OAB và OCD ta có:

Cộng theo vế (1) với (2); (3) với (4) ta được đpcm

 Với trường hợp tam giác bất kỳ:

D

A

B <-D

C C

Tứ giác ABCD là hình bình hành khi đó hai đường chéo bằng nhau Gọi

I, J lần lượt là trung điểm hai đường chéo BC, AD Độ dài các cạnh được như trên hình vẽ AB= a, BD = b …, IJ =p Khi ABCD là hình bình hành ta có

BC AD AC AB BD DC khi đó(và) giá trị p = 0

n

m d

c b

B

A

Lý luận là ánh sáng chỉ đường để học sinh tìm chân lý Có thể khẳng định

sự tồn tại của một hệ thức tổng quát cho tứ giác bất kỳ

Lúc này với các em học sinh khá giỏi, yêu thích môn toán sẽ dự đoán đếnmột biểu thức dạng:

a2 b2 c2 d2 m2 n2 kp2

Vấn đề là giá trị “k” sẽ tìm ra như thế nào?

Nếu nghĩ đến việc tứ giác ABCD suy biến thành tam giác ABC (điểm D trùng với B) khi đó: b=0, c= m, a = n, ta có hệ thức

Kết quả này đưa các em đến dự đoán và chứng minh công thức(định lý):

Tứ giác lồi bất kỳ ABCD ta luôn có:

a  b  c  d  m  n  p

Việc chứng minh công thức này không khó khăn Chỉ cần áp dụng công thứcđường trung tuyến trong tam giác suy ra điều phải chứng minh

+ Kết quả trên sẽ dẫn đến suy nghĩ táo bạo cho nhiều học sinh rằng Nếu

xem tứ giác là trường hợp suy biến của ngũ giác, lục giác hay đa giác nói chungthì tổng bình phương độ dài các cạnh sẽ liên hệ được với hệ thức với các đườngchéo, đường trung đoạn (đường nối trung điểm các đường chéo) Trong khảnăng của mình các em không khó tìm ra công thức liên hệ ở các hình đặc biệtnhư Ngũ giác đều, Lục giác đều …

+ Mở rộng ta sẽ nhìn bài toán ở khía cạnh không gian:

Giờ hãy xem hình bình hành ABCD là trường hợp riêng của hình hộp ABCD.MNPQ Khi các điểm M A N, B P C Q D,  , 

d

c

b a

Q

P N

B A

M

8Trong hình bình hành thì tổng bình phương các cạnh bằng tổng bìnhphương các đường chéo Vậy trong hình hộp liệu tổng bình phương các cạnh cóbằng tổng bình phương các đường chéo?

Không khó khăn cho việc chứng minh đẳng thức:

4(AB2BC2AM2)AP2BQ2 CM2DN2

Đương nhiên khi đúng với hình hộp thì hình hộp chữ nhật, hình lập phương

là hiển nhiên Các em có được ngay kết quả quen thuộc

- Với hình hộp chữ nhật:

AB2 BC2 AM2 AP2

- Với hình lập phương:

3AB2 AP2Tương tự như hình bình hành Đối với tam giác có thể xem là trường hợp

suy biến của một tứ diện Tam giác ABC có được từ tứ diện ABDC khi điểm D trùng với điểm B (hoặc C)

Ta hãy xét trường hợp tam giác ABC vuông tại A theo định lý Pytago ta

có

AB  AC  BC

C B

A

D

C B

Vậy liệu có hay không một đẳng thức liên quan đến diện tích tam giác Liệu

tổng bình phương diện tích các mặt bên ABC, ACD và ABD có bằng bình

phương diện tích mặt đáy không?

Tức là:

ABC ABD ADC BCD

S  S  S  S

Đây là một hệ thức đã được chứng minh và sử dụng khá nhiều trong các

bài toán hình học không gian Nó được xem như là định lý Pytago trong không

gian Hệ thức này mở ra cho học sinh khát khao tìm kiếm các hệ thức mới mạnh

hơn, tổng quát hơn đối với các hình như Tứ diện (tứ diện đều, gần đều, tứ diệnvuông hay tứ diện bất bất kỳ và ngay cả là hình chóp nói chung…), Hình chóp,

…Rõ ràng đây sẽ là đề tài mở để tìm tòi, khám phá vô tận cho học sinh mà xuấtphát từ việc phát triển định lý Pytago trong hình học phẳng

2.3.2 Bài toán xuất phát từ định lý Thales trong hình học phẳng

Với phương pháp phát triển bài toán từ các mối liên hệ và sự mở rộng nhưđịnh lý Pytago cho phép học sinh có thể nghĩ ngay đến việc phát triển:

+ Định lý Thales, từ định lý Thales trong mặt phẳng các em có thể mởrộng thành định lý Thales trong không gian

+ Từ tỉ lệ diện tích trong tam giác đến tỉ lệ thể tích trong tứ diện

+ Từ các bài toán về đường tròn đến các bài toán về mặt cầu

+ Từ Vectơ trong mặt phẳng đến Vectơ trong không gián

……

Trong hình phẳng ngoài định lý Pytago ta còn định lý Thales là hai định

lý được sử dụng khai thác nhiều Học sinh học lên chương trình cấp trung họcphổ thông được mở rộng và giới thiệu các ứng dụng của định lý khá nhiều trongchương trình hình học không gian

Ví dụ: Định lý Thales

Nếu 1 đường thẳng song song với 1 cạnh của tam giác đó và cắt 2 cạnhcòn lại thì nó định ra trên 2 cạnh đó những đoạn thẳng tỉ lệ

Tức là Trong tam giác ABC, d là đường thẳng song song với cạnh đáy BC cắt

AB, AC lần lượt tịa M, N Khi đó ta có tỉ số

N M

d

N M

Q

P N M

2.3.3 Bài toán về khoảng cách

Bài toán: Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm trên cạnh của một tam giác đều đến các cạnh còn lại là không đổi.

J I A

K

H

M

C B

A

Tức là: Tam giác ABC đều, lấy điểm M bất kỳ trên cạnh AC H, K là hình chiếu của M lần lượt lên BC, AB Ta sẽ chứng minh MK + MH là không dổi.

Thầy cô có thể hướng dẫn học sinh dự đoán kết quả này thông qua trường

hợp riêng [2] Khi điểm M trùng với đỉnh A, hoặc C Ta được ngay kết quả MK + MH = AN (đường cao của tam giác) Như vậy nếu đại lượng không đổi mà ta

cần tìm có thể là đường cao của tam giác

Chứng minh: Kẻ MJ song song BC cắt AN tại I Khi đó MK= AI, MH

=IN Do đó MK +MH = AI +IN = AH (đpcm).

Nếu việc gắn điểm M trên cạnh tam giác là trường hợp riêng khi điểm M bất kỳ trong tam giác đều ABC Liệu kết quả tổng khoảng cách từ M đến các cạnh có là đại lượng không dổi? Tức là MK + MP + MH không đổi.

X Y

A

I

Ta dự đoán kết quả MK + MP + MH bằng việc xét điểm M nằm trên đường cao AN Khi đó kết quả MK + MP + MH = AN Và dự đoán rằng trong trường hợp chung (tổng quát) với M bất kỳ trong tam giác thì MK + MP + MH

= AN Chứng minh kết luận này không khó khăn Qua M kẻ đường thẳng song song với BC và lần lượt cắt AB, AC tại Y, X Khi đó ta có MK+MP = AI, MH =

IN suy ra:

MK + MP + MH = AI+IN = AN (ĐPCM).

Kết luận 1: Tổng khoảng cách từ một điểm trong một tam giác đều đến các cạnh là không đổi.

Mở rộng bài toán vào không gian:

+ Nếu xem tam giác đều ABC là trường hợp suy biến của tứ diện đều ABCD khi

đỉnh D trùng với một trong ba đỉnh còn lại Vậy trong tứ diện đều kết luận trên

sẽ được phát triển như thế nào?

K

H M

C B

A

N

L L

D

Tứ diện đều ABCD, điểm M nằm trong tứ diện Gọi N,K,L và O lần lượt

là hình chiếu của M lên các mặt phẳng (ADC), (ABC), (ABD) và (BCD) Gọi H

là hình chiếu vuông góc của đỉnh A xuống mặt phẳng (BCD)

Liệu kết quả tổng khoảng cách từ M đến các mặt phẳng có không đổi? Tức là: MN+ MO+MK+ML không đổi?

Ta đi xét các trường hợp riêng đặc biệt sau

1 Khi điểm M trung điểm cạnh AB.

X L

D H

R

S I

R

N A

C M

H

D

Qua M dựng mặt phẳng song song với (BCD) cắt AD tại R, AC tại S, AH tại I

Ta có: MN+ MO+MK+ML = M0+MN = IH+AI = AH Điều này cho ta

3 Khi M nằm trong tam giác (ABC)

Bằng cách qua M dựng mặt phẳng song song với mặt (BCD) cắt AD tại R, AC tại

S, AH tại I và AB tại X Khi đó

MN+ MO+MK+ML = MO+ ML+MN = IH+ML+MN

Đến đây tổng ML+MN trở về với kết luận 2 là: ML+MN =AI

Do đó: MN+ MO+MK+ML = AH Kết quả này cho ta đi đến kết luận 4

Kết luận 4: M là điểm bất kỳ trên một mặt của tứ diện đều, tổng khoảng cách từ M đến các mặt của tứ diện còn lại bằng độ dài đường cao tứ diện.

Với cách xây dựng như vậy đưa chúng ta đến kết luận có tính chung, tổng quáthơn là:

Kết luận 5: M là điểm bất kỳ trong tứ diện đều, tổng khoảng cách từ M đến các mặt của tứ diện bằng độ dài đường cao tứ diện.

Tức là: MN+ MO+MK+ML = AH (đường cao tứ diện đều)

Vậy MN+ MO+MK+ML = AH không đổi.

Kết luận này cho học sinh một công thức thực sự giá trị Các em có thể sử dụngnhanh để làm các bài toán trắc nghiệm, vận dụng trong các bài toán tính toánkhoảng cách…

2.3.4 Dạy nội dung về Mặt cầu hãy xuất phát từ nội dung Đường tròn.

Khi nghiên cứu đến vấn đề Mặt cầu Giáo viên hoàn toàn có thể khai tháctrên nền tảng kiến thức các vấn đề liên quan đến Đường tròn để xây dựng Phảinói rằng đây là một trong những nội dung kiến thức có thể phát triển mối liên

hệ và mở rộng bài học rõ nét Chúng ta sẽ đồng thời đạt được nhiều mục đích

như “ôn kiến thức cũ, huy động xây dựng kiến thức mới, rèn luyện kĩ năng, phát huy được tư duy logic biện chứng…Đặc biệt là các em có thể hình dung

và liên hệ được từ cái biết đến cái chưa biết” Và điều quan trọng là kiến thức

các em được học luôn nằm trong mối liên hệ với nhau, chúng luôn vận động vàphát triển không ngừng