phương trình đạo hàm

Cấp cao nhất của đạo hàm riêng của , có mặt trong phương trình được gọiuChẳng hạn, phương trình cấp một của hàm hai biến có dạng:F x,y,u,∂u∂y = 0.. 1.3Ví dụ: ∆u = 0 phương trình Laplace,

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ******************

PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG-1

Hà Nội, 2022

Mục lục

1 Đại cương về phương trình vật lý toán 4

1.1 Đại cương về phương trình vật lý toán 4

1.1.1 Các định nghĩa 4

1.1.2 Một số ví dụ giải phương trình đạo hàm riêng 5

1.1.3 Thiết lập một số phương trình đạo hàm riêng 6

1.2 Phân loại phương trình đạo hàm riêng cấp hai 8

1.2.1 Trường hợp hai biến số 8

1.2.2 Dạng chính tắc 8

1.2.3 Đưa phương trình về dạng chính tắc 9

1.2.4 Phân loại phương trình 10

1.3 Trường hợp nhiều biến số 13

1.3.1 Nhắc lại kết quả về đại số 13

1.3.2 Phân loại phương trình tuyến tính cấp 2 14

1.4 Khái niệm về mặt đặc trưng 15

1.4.1 Khái niệm về mặt đặc trưng 15

1.4.2 Bài toán Cauchy và bài toán Cauchy với dữ kiện cho trên các mặt đặc trưng 16

1.5 Ba loại phương trình vật lý toán cơ bản Bài toán đặt chỉnh 17

1.5.1 Ba loại phương trình cơ bản 17

1.5.2 Các dạng bài toán có điều kiện biên, điều kiện ban đầu 19

1.5.3 Bài toán đặt chỉnh 19

1.6 Phương pháp đặc trưng 20

2 Phương trình truyền sóng 212.1 Phương trình dao động của dây, của màng 21

2.2 Bài toán biên ban đầu (Bài toán hỗn hợp) 23

2.2.1 Định luật bảo toàn năng lượng 23

2.2.2 Tính duy nhất nghiệm 24

2.2.3 Đánh giá tiên nghiệm Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào điều kiện ban đầu 25

1

2.3 Bài toán Cauchy Công thức Kirchoff 26

2.4 Công thức Poisson, công thức Dalembert 28

2.4.1 Công thức Poisson 28

2.4.2 Công thức Dalembert 28

2.5 Phương pháp tách biến (Fourier) 32

2.5.1 Dao động tự do của dây 32

2.5.2 Phương trình không thuần nhất 34

3 Phương trình truyền nhiệt 373.1 Thiết lập phương trình truyền nhiệt 37

3.2 Bài toán biên ban đầu (Bài toán hỗn hợp) 38

3.2.1 Nguyên lý cực đại 39

3.2.2 Tính duy nhất nghiệm 41

3.2.3 Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào điều kiện biên và ban đầu 42

3.2.4 Phương pháp tách biến 42

3.2.5 Bài toán biên loại hai 47

3.3 Sự truyền nhiệt trong thanh vô hạn Bài toán Cauchy 48

3.3.1 Nguyên lý cực đại Tính duy nhất nghiệm 49

3.3.2 Biến đổi Fourier giải bài toán Cauchy 49

3.3.3 Giải bài toán Cauchy 51

3.3.4 Sự truyền nhiệt trong nửa thanh vô hạn 51

3.3.5 Bài toán Cauchy trong không gian hai chiều và ba chiều 53

4 Phương trình Laplace và phương trình Poisson 554.1 Phương trình Laplace Nghiệm cơ bản 55

4.2 Các bài toán biên: Bài toán biên Dirichlet, bài toán biên Neumann 58

4.2.1 Bài toán biên Dirichlet 58

4.2.2 Bài toán biên Neumann 58

4.2.3 Bài toán biên Robin 59

4.2.4 Bài toán Cauchy 59

4.3 Phương pháp hàm Green để giải bài toán Dirichlet Công thức Poisson 59

4.3.1 Hàm Green đối với hình cầu và công thức Poisson 60

4.4 Giải bài toán Dirichlet trong mặt tròn 62

4.5 Các tính chất của hàm điều hòa 65

4.6 Lý thuyết thế vị 67

4.7 Nghiệm yếu Phương pháp biến phân 67

4.7.1 Bài toán biên Dirichlet 67

4.7.2 Không gian Sobolev H1(Ω) 68

4.7.3 Toán tử Elliptic 68

4.7.4 Bài toán yếu 69

Chương 1

Đại cương về phương trình vật lý toán

1.1Đại cương về phương trình vật lý toán

1.1.1Các định nghĩa

Định nghĩa 1 Mộtphươngtrìnhliênhệgiữaẩnhàmu(x1,x2, ,xn), các biến độc lập x1,x2, ,xnvà cácđạohàmriêngcủanógọilàphươngtrìnhviphânđạohàmriêng(gọitắtlàphươngtrìnhđạohàmriêng).Nócódạng

F (x1,x2, ,xn,u,∂u∂x1, ,∂u

∂xn, , ∂ku∂xk1

) = 0, (1.1)trong đó F là một hàm nào đó Cấp cao nhất của đạo hàm riêng của , có mặt trong phương trình được gọiu

Chẳng hạn, phương trình cấp một của hàm hai biến có dạng:F (x,y,u,∂u

∂y) = 0. (1.2)Ví dụ: Phương trình chuyển dịch tuyến tính: ut+ ni=1

biuxi= 0, phương trình Burger (sửa đổi): ut+u.ux= 0.Phương trình cấp hai của hàm hai biến số có dạng

F (x,y,u,∂u∂x,

∂2u∂x2, ∂2u

∂y2) = 0 (1.3)Ví dụ: ∆u = 0 (phương trình Laplace, được nhà toán học người Pháp là Pierre-Simon Laplace (1749-1827)nghiên cứu vào khoảng năm 1780 khi nghiên cứu trọng lực) Nghiệm của phương trình Laplace gọi là hàm điềuhòa.

Hệ phương trình đạo hàm riêng là hệ gồm các phương trình đạo hàm riêng của một hay nhiều ẩn hàm vàcác đạo hàm của chúng.

Phương trình đạo hàm riêng được gọi là tuyến tính, nếu như nó tuyến tính đối với ẩn hàm và tất cả cácđạo hàm của nó với các hệ số phụ thuộc vào các biến độc lậpx1,x , 2 Trong trường hợp tổng quát ta có thểviết nó dưới dạng

5Ví dụ:

∆u = f phương trình Poisson,ut− ∆u = f phương trình truyền nhiệt,utt− ∆u = f phương trình truyền sóng,ihψt= −h22m∆ψ + Vψ phương trình Schrodinger,

d un

dxn= g(x).

Phương trình đạo hàm riêng cấpmđược gọi là nửa tuyến tính (semi-linear) nếu nó tuyến tính với các đạohàm cấp m với các hệ số phụ thuộc vàox1,x , 2 , được gọi là tựa tuyến tính nếu nó tuyến tính với các đạohàm cấpmvới các hệ số phụ thuộc vàox1,x , 2 và các đạo hàm cấp bé hơn Phương trình đạo hàm riêngmkhông phải là phương trình tuyến tính được gọi là phương trình phi tuyến Ví dụ:

|Du| = 1 phương trình Eikonal,

ut+ cuux+uxxx= 0 phương trình Korteweg-de Vries,

det(D2u) = f phương trình Monge-Ampere, được đưa ra từ năm 1775.

Nghiệm của phương trình đạo hàm riêng là một hệ bất kỳ các hàm sao cho khi thay vào phương trình (1.1)trở thành đồng nhất thức trong miềnΩnào đó của các biến số độc lập Để đơn giản, ta giả sử rằngx1,x , 2

là thực và các đạo hàm của trong phương trình (1.1) liên tục theo các biếnu x1,x , 2 trong miền ΩChú ý 1 Số chiều không gian của các biến độc lậpx1,x , 2 có thể là vô hạn Ngoài ra, cấp của đạo hàmtrongphươngtrình(1.1) cóthểlàvôhạn.Khiđó,tacóphươngtrìnhđạohàmriêngcấpvôhạn.

1.1.2Một số ví dụ giải phương trình đạo hàm riêng

Ví dụ 1: Giải phương trìnhuxy= 0, x,ylà các biến số độc lập.Ta có ux= (x) =⇒ u =c Rx c(ξ) dξ+ g(y)ở đó c(x), g y) là các hàm tùy ý.(

Ví dụ 2: Phương trìnhuxx(x,y) + (x,y) = 0u có nghiệm làu(x,y) = f(y) cos x + g y) sin x( , trong đófvà làgcác hàm bất kỳ.

Ví dụ 3: Giải phương trìnhuxx−uyy= 0.Đổi biến số, đặtξ = x+ y,y = − yx , ta có

4uξη= 0 ⇒ u =Zξ

c(t) dt+ g(η) =Zx+y

0 c(t) dt+ g(x − y) = h(x + y) + g(x − y).Ví dụ 4: Phương trình tuyến tính cấp 1 hệ số hằng Xét phương trình

aux+buy= 0, (1.5)trong đóa,blà các hằng số không đồng thời bằng không.

Phương pháp hình học: Biểu thứcau bux+ ylà đạo hàm theo hướng của hàm theo véctơu →−V = (a,b) = a→−i +b→j −Do đó, từ phương trình (1.5), hàmu(x,y)là hằng số theo hướng→−V Đường thẳng song song với véctơ→−V cóphương trình làbx−ay= cvà dọc theo đường thẳng này, hàm là hằng số Như vậy,u u(x,y) = f(c) = f( − )bx ayvới c bất kỳ Vậy nghiệm là

u(x,y) = f(bx−ay) với mọi x,y.

6Phương pháp đổi biến: Đổi biến số

x′= ax+ by, y′= bx− ay.Ta có

∂y= aux′+ buy′và

∂y= bux′− auy′.

Do đó aux+buy= (a aux′+buy′) + (b bux′−auy′) = (a2+ b2)ux′ Doa2+b2 = 0nên ux′ = 0 Vậyu = f(y′) = (bx− ay).f

Các bài tập

Bài 1: Giải thích các đẳng thức vi phân sau có là phương trình đạo hàm riêng không?1 cos(ux+ uy) − cosuxcosuy+ sin uxsin uy= 0.

2 u2xx+ u2

yy− (uxx− uyy)2= 0.3.sin (2uxx+ uyy) + cos2(uxx+ uyy) − u = 1.Bài 2: Xác định cấp của các phương trình sau

1.log|u uxx yy|−log|uxx|−log|uyy| + ux+ uy= 0.2 uxu2

xy+ (u2xx− 2u2

xy+ uy)2− 2xy= 0.3.ut− ∆u = f.

4.utt− ∆u = f.

1.1.3Thiết lập một số phương trình đạo hàm riêng

Phương trình vận tải đơn giản

Xét một luồng chất lỏng, chẳng hạn là nước, chảy với tốc độ -hằng số, dọc theo ống nằm ngang theo hướngcdương x Một lượng chất bẩn nổi trên nước Gọiu(x,t)là mật độ của nó (g/cm) ở thời điểm Ta biết rằng,tlượng chất bẩn trong khoảng[0,b]ở thời điểmtlà M =Rbu(x,t) dx(g) Ở thời điểm t + h, lượng chất đó đãdi chuyển sang phải một đoạnc.h(cm) Do đó,

M =Zb

u(x,t) dx=Zb+ch

ch u(x,t + )h dx.Lấy đạo hàm theo , ta đượcb

u(b,t) = u(b +ch,t+ h )Lấy đạo hàm theo , và choh h = 0, ta được

0 = cux(b,t) + ut(b,t).

Do b là bất kỳ, nên phương trình mô tả bài toán vận chuyển đơn giản có dạng

ut+cux= 0 (1.6)

7Phương trình dao động

Phương trình khuếch tán (truyền nhiệt)

Bây giờ ta thiết lập phương trình truyền nhiệt hay phương trình khuếch tán Xét một vật rắn truyền nhiệtđẳng hướng Ký hiệuu(x,y,z,t)là nhiệt độ của một vật rắn tại điểm(x,y,z)ở thời điểm Chúng ta biếttrằng nhiệt sẽ truyền từ nơi có nhiệt độ cao sang nơi có nhiệt độ thấp hơn Sự truyền nhiệt này tuân theo địnhluật sau: nhiệt lượng∆Qđi qua một mảnh mặt khá bé∆Schứa điểm (x,y,z) trong một thời gian∆ttỷ lệvới ∆S, ∆t và đạo hàm theo pháp tuyến∂u , tức là

∆Q = −k(x,y,z t S.)∆∆ ∂u ∂n, (1.7)trong đó k(x,y,z) > 0 là hệ số truyền nhiệt trong (k không phụ thuộc vào hướng của pháp tuyến với∆Svìsự truyền nhiệt là đẳng hướng), −→nlà vectơ pháp tuyến của∆Shướng theo chiều giảm của nhiệt độ.Gọi q là dòng nhiệt, tức là nhiệt lượng đi qua một đơn vị diện tích trong một đơn vị thời gian Từ (1.7) ta suyra

q = −k∂u∂n.

Xét một thể tích tùy ýVcủa vật rắn giới hạn bởi một mặt kín, trơnSvà xét sự biến thiên của nhiệt lượngtrong thể tích đó trong khoảng thời gian từt1đến t2 Từ (1.7) ta suy ra rằng nhiệt lượng qua mặtSvàotrong, từ thời điểm t1đến thời điểmt2bằng

Q1= −

t1 dtZZ

trong đó −→nlà vectơ pháp tuyến hướng vào trong của mặt Áp dụng công thức Ostrogradsky, chuyển tíchSphân mặt sang tích phân ba lớp, ta được

t1 dtZ Z Z

div(k.gradu) dxdy dz.

Giả sử trong vật có nguồn nhiệt GọiF (x,y,z,t)là mật độ của nguồn nhiệt, tức là nhiệt lượng sinh ra haymất đi trong một đơn vị thể tích của vật thể và một đơn vị thời gian Nhiệt lượng sinh ra hay mất đi trongthể tích V từ thời điểm t1đến thời điểmt2bằng

t1 dtZ Z Z

F (x,y,z,t dxdy dz.)

Mặt khác, nhiệt lượng cần cho thể tíchV của vật thể thay đổi nhiệt độ từu(x,y,z,t1)đếnu(x,y,z,t2)bằng

Q3=Z Z Z

[ (u x,y,z,t2) − u x,y,z,t( 1)] (c x,y,z ρ x,y,z) dxdy dz,) (

trong đóc(x,y,z)là nhiệt dung, ρ(x,y,z)là mật độ của vật Ta cóu(x,y,z,t2) − (x,y,z,tu 1) =

∂u∂tdt,nên có thể viết

Z Z Z cρ∂u∂tdxdy dz.

8Dĩ nhiên Q3=Q1+Q2hay Q3−Q1−Q2= 0, nên

t1 dtZ Z Z

∂t−div(k.gradu) − F x,y,z,t( ) dxdy dz = 0.

Vì khoảng thời gian(t1,t2)và thể tíchVđược chọn tùy ý, nên biểu thức dưới dấu tích phân bằng không,cρ∂u∂t=div(k.gradu) + F x,y,z,t( )

∂∂x k

∂u∂x +

∂∂y k

∂u∂y +

∂∂z k

∂z2 + f(x,y,z,t ,)trong đó a2=k

cρlà hệ số truyền nhiệt độ, f(x,y,z,t) =F (x,y,z,t)cρ

1.2Phân loại phương trình đạo hàm riêng cấp hai

1.2.1Trường hợp hai biến số

Định nghĩa 2 Xétphươngtrìnhtuyếntínhcấphaivớihệsốthực

a(x,y)uxx+ 2b(x,y)uxy+ c(x,y)uyy+ F (x,y,u,u ,uxy) = 0 (1.8)Xéttạimộtđiểm(x0,y0)cốđịnh.Phươngtrình(1.8) tạiđiểm(x0,y0) đượcgọilà:

a)thuộcloạielipnếunhưtạiđiểmđób2− ac<0,b)thuộcloạihypecbônnếunhưtạiđiểmđób2− ac>0,c)thuộcloạiparabônnếunhưtạiđiểmđób2− ac= 0.

Nếuphươngtrình(1.8) tạimọiđiểmcủamiền đềuthuộccùngmộtloại(elip,hypecbôn,parabôn)thìtanóiΩnóthuộcloạiđó(elip,hypecbôn,parabôn)trongmiềnđó.

Ví dụ: Phương trình

2uxx+ 7uyy= 0là elip trên toàn mặt phẳng.

uxx− 5uyy+ ux− 2uy+ u = 0là hypecbôn trên toàn mặt phẳng.uxx− 2uy+ 3u = 0là parabôn trên toàn mặt phẳng.

1.2.2Dạng chính tắc

a) Phương trình uxx−uyy+F (x,y,u,u ,uxy) = 0gọi là dạng chính tắc của phương trình loại hypecbôn Ngườita cũng gọi phương trìnhuxy+ F (x,y,u,u ,uxy) = 0là dạng chính tắc của phương trình loại hypecbôn.Chú ý rằng từ dạng đầu có thể suy ra dạng thứ hai bằng cách đổi biến sốξ = x+ y, η= − yx b) Phương trìnhuxx+ uyy+ F (x,y,u,u ,uxy) = 0là dạng chính tắc của phương trình loại elip.c) Phương trình uxx+ F (x,y,u,u ,uxy) = 0hay uyy+ G(x,y,u,u ,uxy) = 0gọi là dạng chính tắc của

phương trình parabôn.

uyy=uξξ.ξ2 + 2uξη.ξy.ηy+ uηη.η2

y+ uξ.ξyy+ uη.ηyy,Thay các đại lượng này vào phương trình (1.8) ta nhận được

a1(ξ,η)uξξ+ 2b1(ξ,η)uξη+ c1(ξ,η)uηη+F1(ξ,η,u,u ,uξη) = 0, (1.10)trong đó

a1= aξ2 + 2bξxy+ cξ2 ,b1= aξ ηx x+ (b ξxηy+ ξy xη) +cξyηy,c1=aη2 + 2bηxy+ cη2

Dễ thấy rằng b2− a1c1= (b2− ac ξ)(xηy− ξyηx)2> 0(do (1.9)) Do đó loại của phương trình không thay đổikhi dùng phép đổi biến trên.

Vấn đề đặt ra là tìm phép đổi biến thích hợp để phương trình (1.10) trong hệ tọa độ mới là đơn giản nhất Tacó bổ đề sau.

Bổ đề 1 Giả sửz = φ(x,y) ∈ C1(Ω), Ωlà một miền nào đó củaR2và giả sử(φx)2+ (φy)2> 0 Khi đóhàmz = φ(x,y) lànghiệmriêngnàođócủaphươngtrình

a z(x)2+ 2bz zx y+ c(zy)2= 0 (1.11)khivàchỉkhiφ(x,y) = Clàtíchphântổngquátcủaphươngtrìnhviphânthường

a dy( )2− bdxdy+ ( )2 c dx2= 0 (1.12)Chứngminh.a) Giả sử φ(x,y) là một nghiệm riêng của phương trình (1.11) và giả sửφy = 0 Khi đó từ (1.11)ta có

a −φx

− 2b −φx

φy + c = 0 (1.13)Theo định lý hàm ẩn, từ quan hệ φ(x,y) = C xác định một hàm ẩny = y(x)liên tục, khả vi vày′(x) = −φx

φy.Vậy từ (1.13) suy ra a( )y′ 2− 2by′+ c = 0haya dy( )2− 2bdydx+ ( )c dx2= 0.

Trường hợpφy= 0, do giả thiết suy raφx = 0 Khi đó ta cũng lý luận tương tự như trường hợpφy = 0.b) Giả sửφ(x,y) = Clà tích phân tổng quát của phương trình (1.12) Ta sẽ chứng minhz = φ(x,y)là nghiệm

10riêng của phương trình (1.11) trong miền Ω

Thật vậy, giả sửφ(x0,y0) = C0với (x0,y0) ∈ Ω Xét quan hệφ(x,y) =C0; giả sửφy = 0 Khi đó quan hệ nàyxác định một hàm ẩny = y(x)khả vi liên tục vày′(x) = −φx

φy Do vậy từ (1.12) ta có

a −φxφy

− 2b −φxφy + c = 0

và do vậy tại(x0,y0)ta có đồng nhất thức (1.11) Trường hợp tại(x0,y0)mà φy= 0thì từ giả thiết suy raφx = 0 Ta lại lập luận tương tự như đối vớiφy = 0.

1.2.4Phân loại phương trình

Trên cơ sở bổ đề 1 ta sẽ tìm cách đổi biến số sao cho một trong các hệ sốa1,b ,c1 1của phương trình (1.10)bị triệt tiêu Để làm điều đó ta sẽ nghiên cứu phương trình (1.12) mà cơ sở của nó là biệt thức∆ = b2−ac.Trường hợp∆ > 0:

Khi đó phương trình (1.8) là loại hypecbôn (hyperbolic) Lúc này phương trình

a(y′)2−2by′+ c = 0 (1.14)có hai nghiệm phân biệt.

a) Nếua = 0: Từ phương trình (1.14) suy ray′

1(x) =b +√

b2− aca , y

′2(x) =b −

√b2− ac

a .Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1.14) là

y1(x) =Z

b +√b2− ac

a dx+ C1, y2(x) =Z

b −√b2−aca dx+ C2,hay

φ(x,y) = y −Z

b +√b2− ac

a dx= C1, ψ(x,y) = y −Z

b −√b2− aca dx= C2

là các tích phân tổng quát của phương trình (1.12).

Khi đó ta dùng phép đổi biến ξ = φ(x,y ,η) = ψ(x,y)với φ,ψ ∈ C2(R2)vàD(ξ,η)

D(x,y)=φx φy

ψx ψy = 0(theo lý thuyết phương trình vi phân), vì y1′(x) = −φx

φy = y2(x) = −′ ψxψy.

Với phép đổi biến này thì các hệ số a1và c1của phương trình (1.10) bằng 0 Khi đó phương trình (1.10) trởthành

2b1uξη+ F1(ξ,η,u,u ,uξη) = 0 (1.15)với b1= aξxηx+ (b ξxηy+ξyηx) +cξyηy Lúc này b2

1− a1c1= (b2− ac)(ξxηy− ξyηx)2> 0 Vậyb1 = 0nênphương trình (1.15) có thể đưa về dạng

uξη= F2(ξ,η,u,u ,uξη) (1.16)b) Nếua = 0:

+) Khi c = 0, do phương trình (1.8) là phương trình cấp 2 nên suy rab = 0 Khi đó phương trình (1.8) là có

11dạng chính tắc.

+) Khi c = 0 thì phương trình (1.12) tương đương với phương trình c(x′(y))2− bx2 ′(y) = 0 Khi đó ta làmgiống như trường hợpa = 0.

Chú ý 2 Nếudùngphépđổibiếnξ = α+ β,η = − β thìphươngtrìnhα (4.42)sẽtrởthànhuαα−uββ= F3(α,β,u,uα,u β)

Trường hợp ∆ = 0:

Khi đó phương trình (1.8) thuộc dạng parabôn (parabolic).

a) Nếub = 0, do ∆ = b2− ac= 0suy raac= 0 Khi đó hoặc a = 0 hoặc c = 0 Do đó phương trình (1.8) códạng chính tắc cuyy+ F = 0hoặcauxx+ F = 0.

b) Nếub = 0, do∆ = b2− ac= 0suy raavà c khác 0 Khi đó do phương trình (1.14) có nghiệm kép lày′=b

a⇒ y =R b

adx+ C1suy ra (x,y) = y −φ R b a

dx= C1là tích phân tổng quát của phương trình (1.12).Ta chọn phép đổi biến sốξ = φ(x,y)còn η = ψ(x,y) ∈ C2(R2)tùy ý sao choD(ξ,η)

D(x,y)=ξ′x ξη′

x η′

y = 0 Khi đótheo bổ đề 1 ta có a1= 0và do b2− a1c1= (b2− ac)J2= 0, J =D(ξ,η)

D(x,y)nên b1= 0 Ta sẽ chỉ rac1 = 0 Thậtvậy, nếu c1= 0thì ta cóc1= (ηa x)2+ 2bηxηy+ (ηc y)2= 0 Do giả thiết∆ = b2− ac= 0nênb2= ac>0.Giả sửb>0, suy ra b =√ac Vậy

c1= (a ψx)2+ 2√acψxψy+ (c ψy)2= 0

aψx+ cψy)2= 0 nếu a>0,c > 0(√−aψx+ −cψy) = 0 nếu a< ,c < 0 0Tương tự ta có (√

aφx+ cφy)2= 0 nếu a>0,c > 0(√−aφx+ −cφy) = 0 nếu a< ,c < 0 0Từ đó ta có hệ (√

ac− b2

, y′

2(x) =b −i −√

ac b2

a .

12Do đó φ(x,y) = y−Rb+i√ac−b2

a dx= C1hay φ(x,y) = α(x,y)+ (x,y) = Ciβ 1và ψ(x,y) = y−Rb−i√ac−b2a dx=C2hay ψ(x,y) = α x,y) − iβ(x,y) = C( 2là các tích phân tổng quát của phương trình (1.12), trong đóα(x,y ,β x,y) ( )là các hàm thực và (φ′

x)2+ (φ′y)2> 0, và ta cũng có (ψ′

x)2+ (ψ′ y)2> 0 Khi đó ta chọn phép

ξ = α(η = β(x,y)x,y)Ta cóD(ξ,η)

D(x,y)= αxβy− αyβx= J Ta sẽ chứng minh J = 0.

Giả sử φy = 0 Theo định lý hàm ẩn từ quan hệφ(x,y) = C1ta có hàmy1= y1(x), y′ 1= −φφx

y =b + i√

−∆a ,suy ra aφx= (−b −i√−∆)φy Thay φx=αx+iβx, φy=αy+iβyvào biểu thức này và tách phần thực vàphần ảo, ta có

aφx= −bαy+ −∆βy, (1.17)aβx= −bβy− −∆αy (1.18)Sau khi nhân βyvào hai vế của (1.17) vàαyvào hai vế của (1.18) và trừ vế với vế ta đượcaJ=√−∆(α2 y+β2).Từ đó suy raJ = 0.

Theo bổ đề 1 thì hàmz = φ(x,y)thỏa mãn phương trìnha φ(x)2+ 2bφxφy+ c(φy)2= 0 Thayφ = α + iβvào ta có

a α(x)2+ 2bα αx y+ (αc y)2− (βa x)2− 2bβxβy− (βc y)2

+ 2i [aαxβx+ b(αxβy+ αyβx) +cαyβy] = 0.

Tách phần thực, phần ảo ta đượca1=c1,b1= 0 Vậy phương trình có dạnguαα+ uββ= −Fa1.Chú ý 3 Trongtrườnghợpnàychỉcầna,b,c ∈ C2.

Ví dụ 1: Đưa phương trình

uxx+ 2uxy− 3uyy+ 2ux+ 6uy= 0về dạng chính tắc.

Phương trình đặc trưng (y′)2− y2( ′) − 3 = 0, a = 1 = 1,b ,c = −3 Ta có∆ = b2− ac= 4 > 0 Vậy phươngtrình thuộc loại hypecbôn.

13Vậy ta nhận được dạng chính tắc là

4uξη+ 8uξ= 0 (1.19)Chú ý 4 Ta có thể giải phương trình(1.19) bằng cách đặtv = uξ, ta có phương trìnhvη+ 2v = 0, suy raln |v| = −2η + C1.Từđósuyrav = e−2ηC(ξ) vàdođó

uξ= e−2η φ ,Z

C(ξ) dξ+ (η)ởđóC(ξ) làhàmtùyýchỉphụthuộcvàoξ cònφ(η) làhàmtúyýchỉphụthuộcvào η

Bài tập:

Bài 1: Đưa các phương trình sau về dạng chính tắc1) uxx+ 2uxy+ 2uyy+ F1(u,u ,uxy) = 0.

2)uxx− 4uxy+ 5uyy− 3ux+uy+ u = 0.3)uxx− 6uxy+ 9uyy−ux+ 2uy= 0.4)2uxy− 4uyy+ ux− 2uy+ u = 0.5)uxx−uyy+ux+uy− 4u = 0.

Bài 2: Quy các phương trình sau về dạng chính tắc, trong mỗi miền mà dạng của nó được bảo tồn1)(1 +x2)2uxx+ uyy+ 2 (1 +x x2)ux= 0.

2)y2uxx+ 2xyuxy+ x2uyy= 0.

1.3Trường hợp nhiều biến số

1.3.1Nhắc lại kết quả về đại số

với B là ma trận chéo (có dạng đường chéo) Số các phần tử dương, số các phần tử âm, số các phần tử bằngkhông trên đường chéo củaBlà một bất biến, không phụ thuộc vào ma trận , nghĩa là không phụ thuộc vàoTphép đổi biến số

Với phép đổi biến (1.22), dạng toàn phương (1.20) được đưa về dạng chính tắc

X a∗iy2

ilà nghiệm của phương trình det(A −λE) = 0.

Nếu dùng phép đổi biến thích hợp ta có thể đưa dạng (1.23) về dạng

trong đó các b∗i= ±1, nếu a∗

i> 0thì b∗i= 1, nếu a∗

i< 0thì b∗i= −1, nếu a∗

b)Phươngtrình(1.25)gọilàthuộcloạihyperbolictạiđiểmx0nếunhưtấtcả nghiệmcủaphươngtrìnhđặcntrưng(1.26) đềukháckhôngvàcó(n − 1)nghiệmcùngdấu,cònnghiệmcuốicùngcònlạikhácdấu.c) Phương trình(1.25)gọi là thuộc loại parabolic tại điểmx0nếu như trong nghiệm của phương trình đặcntrưng(1.26) cómộtnghiệmbằng0,còn(n − 1)nghiệmcònlạikháckhôngvàcócùngmộtdấu.

Tương tự như đối với phương trình tuyến tính cấp 2 hai biến ta cũng có khái niệm phương trình thuộc loạielliptic, hyperbolic, parabolic trong miền Liên hệ với phương trình tuyến tính cấp 2 hai biếnΩ

a(x,y)uxx+ 2b(x,y)uxy+ c(x,y)uyy+ F (x,y,u,u ,uxy) = 0.

Xét phương trình đặc trưngdet(A −λE) = 0.A = a(x0,y0) b x(0,y0)

b(x0,y0) c(x0,y0) , (x0,y0) ∈ Ω.

Phương trình trên tương đương với λ2− (a + c)λ + ac− b2= 0, có ∆ = (a+ c)2− 4ac+4b2= ( − c)a 2+4b2≥ 0.Chú ý: Khia = c,b = 0(khi đó b2− ac<0) thì phương trình thuộc loại elliptic Do vậy ta chỉ xét với∆ > 0.+) Khib2− ac<0thì phương trình đặc trưng có hai nghiệm cùng dấu nên phương trình thuộc loại elliptic.+) Khi b2− ac>0thì phương trình đặc trưng có hai nghiệm trái dấu nên phương trình thuộc loại hyperbolic.+) Khi b2− ac= 0thì phương trình đặc trưng có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm khác không, vì khôngxảy ra (a + c) = 0 Do đó phương trình thuộc loại parabolic.

1.4Khái niệm về mặt đặc trưng

1.4.1Khái niệm về mặt đặc trưng

aij(x)ω ωxixj= 0 (1.28)Phương trình (1.28) được gọi là phương trình các mặt đặc trưng (khin = 2được gọi là phương trình cácđường đặc trưng) của phương trình (1.27).

Mặt S nào đó có phương trìnhω(x1,x2, ,xn) = 0được gọi là mặt đặc trưng của phương trình (1.27) nếunhư trên mặt S hàm ω(x1,x2, ,xn)là nghiệm của phương trình (1.28) vàPn i=1ω2

i = 0.

Rõ ràng rằngω(x1,x2, ,xn)là một nghiệm của phương trình (1.28) thì họ các mặt cong xác định bởi phươngtrình ω = C, C là hằng số tùy ý, là họ các đường (n = 2), họ các mặt (n ≥ 3) đặc trưng của phương trình(1.27).

Vectơ ξ = (ξ1,ξ2, ,ξn) = 0được gọi là vectơ có hướng đặc trưng của phương trình (1.28) nếu ta cóPni,j=1aij(x)ξiξj= 0.

Do vậy mặt congS(không có điểm kỳ dị, nghĩa là tại mọi điểmx ∈ Snó đều có vectơ pháp tuyếnn(x) = 0)là mặt đặc trưng của phương trình (1.27) nếu như tại mọi điểmx ∈ S, vectơ pháp tuyếnn(x)có hướng đặctrưng.

Bây giờ ta mô tả một số mặt đặc trưng của một vài phương trình quen thuộc Xét phương trình (1.27)trong một miềnΩnào đó.

a) Giả sử phương trình (1.27) thuộc loại elliptic trong miền Khi đó, dạng toàn phươngΩ Paij(x t)itjlà xácđịnh dương (hoặc âm), nênPaij(x)ti jt = 0chỉ xảy ra khi t1=t2= =tn= 0 Vậy phương trình (1.28)không xác định một mặt đặc trưng nào Ta nói rằng phương trình thuộc loại elliptic không có mặt đặc trưngthực.

b) Xét phương trình (1.27) (n = 2), thuộc loại hyperbolic Khi đó, phương trình đặc trưng có dạnga(ωx) +2

c) Xét phương trình (1.27), (khin = 3) thuộc loại hyperbolic, ví dụutt= a2(uxx+uyy) a>0, ( ) Phươngtrình các mặt đặc trưng của nó là

(ωt)2− a2[(ωx)2+ (ωy)] = 0.Dễ dàng thấy rằng ω(x,t) = t ±1

(x − x0)2+ (y − y0)2là nghiệm của phương trình này Do đó các mặtcong xác định bởi

t ±1p

(x − x0)2+ (y − y0)2= C, Clà hằng số,

16là các mặt đặc trưng LấyC = t0, ta viết phương trình này dưới dạng

(x − x0) + (y − y0) − a(t − t0) = 0.

Đây là phương trình mặt nón tròn xoay có đỉnh(x0,y ,t0 0)và trục song song vớiOt.

d) Xét phương trình (1.27), (khin = 2), thuộc loại parabolic Xét phương trình truyền nhiệtut−a u2xx=0,a > 0 Phương trình đặc trưng của nó là −a2(ωx) = 0hay ωx= 0 ⇒ ω(x,t) = g t( ) Vậy họ các đường đặctrưng là họ các đường song song vớiOx.

Trong lân cận của mặt , tìm một nghiệm của phương trình (1.29) thỏa mãn điều kiệnSu|S= (x),φ ∂u

∂r|S= ψ(x), (1.30)trong đó φ( )x, ψ(x) là những hàm tùy ý cho trên mặt Ta giả thiếtS ψ(x)là hàm liên tục cònφ(x)là mộthàm khả vi liên tục trên S

Các hàm φ( )x, ψ(x) gọi là các dữ kiện Cauchy, cònSgọi là mặt mang dữ kiện Cauchy Ta có hai kết quảquan trọng sau:

Định lý 2 BiếtdữkiệnCauchy,cóthểtìmđượccácđạohàmriêngcấp1củanghiệmtrênmặtCauchy.Định lý 3 Trênmặtđặctrưng,cácdữkiệnCauchyphụthuộclẫnnhau.(Khi làmặtđặctrưngthìS φ(x),ψ(x) khôngđượcchotùyý).

Ví dụ 1: Bài toán sau là bài toán Cauchyutt= auxx+ f(x,t)u(x,0) =φ0(x)ut(x,0) = φ1(x), t,x∈ R.

Đường thẳng t = 0 (hay trụcOx) đóng vai trò là mặt Cauchy, nhưng không là mặt đặc trưng Do vậyφ0(x),φ1(x)có thể cho tùy ý.

Ví dụ 2: Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thườngy′′= f(x,y,y′)y(x0) = y0

y′(x0) = y1.Các dữ kiện Cauchyy0,y1cho tùy ý.

17Bài toán Cauchy đối với phương trình cấp 2

0,t0), x′ 0= (x0, ,x0n−1).b)φ x( ) vàψ(x) làcáchàmgiảitíchtronglâncậncủađiểmx′

0trongRn−1.KhiđóbàitoáncóduynhấtnghiệmgiảitíchtronglâncậncủađiểmP (x′ 0,t0).

1.5Ba loại phương trình vật lý toán cơ bản Bài toán đặt chỉnh

1.5.1Ba loại phương trình cơ bản

Fđi qua ∂Ω bị triệt tiêu, nghĩa là ta có∂ΩR

F −→n ds= 0, −→ n là vectơ pháp tuyến đơnvị phía ngoài.

Theo định lý Gauss-Green, ta có Z

div→−F dx=

F −→n ds= 0,

do đó div→−F = 0trong Ω Do Ω bất kỳ nên div→F = 0 trong U Trong một số bài toán vật lý ta thường giải−thiết→−F tỷ lệ với chiều ngược lại củaDuvới ulà một hàm số nào đó, nghĩa là→F = −aDu,(a>0) Thay nó−vào div→−F = 0ta nhận được phương trình Laplace

div Du( ) = ∆u = 0.Phương trình Laplace được Laplace đưa ra vào khoảng năm 1780.Phương trình Poisson

−∆u = f.