sử dụng giải hệ 3 đường chéo 5 đường chéo giải phương trình vi phân cấp 2 điều kiện biên và matlab

LỜI CẢM ƠNTrước khi đi vào nội dung bài báo cáo, nhóm chúng em xin gửi lời tri ânchân thành đến thầy Đậu Thế Phiệt là giảng viên dạy môn Phương Pháp Tính, nhờsự chỉ dạy tận tình qua bài

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN HỌC PHƯƠNG PHÁP TÍNH

Thành phố Hồ Chí Minh – 2023

BẢNG PHÂN CÔNG NHIỆM VỤ VÀ THEO DÕI TIẾN ĐỘ LÀM VIỆC CỦA

NHÓM

1 2211282 Trần Khắc Anh Huy

2 2213615 Trần Hoàng Triển

3 2211293 Trương Gia Huy

4 2212838 Phan Cường Quốc

5 2212936 Đoàn Thanh Sơn

6 2212206 Vũ Phương Nghi

MỤC LỤC

Lời cuối, xin một lần nữa gửi lời biết ơn sâu sắc đến thầy Sự hướng dẫn củathầy là kim chỉ nam để nhóm chúng em có thể đạt được kết quả này.

1

PHẦN 1 SỬ DỤNG GIẢI HỆ 3 ĐƯỜNG CHÉO

1.1 Cơ sở lí thuyết

Phương pháp sai phân hữu hạn là một trong những giải pháp để giải các phương trình vi phân, giúp đơn giản hóa phương pháp từ phương trình vi phân đến phương trình ma trận Một nhược điểm có thể là khi kích thước vấn đề tăng lên đếnmột mức rất lớn, cách triển khai này có thể không phải là tốt nhất

Bài toán biên của phương trình vi phân:

Kết quả nhận được là một loạt số mà ta có thể dùng để vẽ đồ thị, và đócũng là câu trả lời cho vấn đề của chúng ta.

1.2 Hàm rời rạc

Với phương pháp sai phân hữu hạn, chúng ta làm việc với các hàm số và dữ liệu chỉ tại các điểm rời rạc Cụ thể, thay vì có thông tin về hàm số tại mọi điểm trên một khoảng liên tục, chúng ta chỉ biết giá trị của nó tại các điểm cụ thể, gọi là các điểm rời rạc Đây là cách ta tiếp cận để giải các phương trình vi phân

Để hàm số có thể được giải một cách chính xác hơn, chúng ta sẽ sử dụng nhiều điểm hơn nhưng việc đó sẽ đòi hỏi có nhiều phương và nhiều tài nguyên , tính toán hơn Đây là một sự đánh đổi

Các điểm rời rạc được lưu trữ dưới dạng cột vector

3

Chúng ta có phương trình vi phân ban đầu:

1.3 Thiết lập bài toán

Bước 1: Xác định phương trình vi phân và giá trị biên

Bước 4: Thiết lập lưới

Giải phương trình này trên một lưới với 21 điểm, có nghĩa là chúng ta sẽ có

20 khoảng cách

Δx=xb −x a

N−1=

10−0 21−1=0,5

Bước 5:

5

Thay Δx (Δx=0,5) vào phương trình (*)

→( 1 0,5 2 + 1

2 ⋅0,5)y i−1 +(1− 2

0,5 2)y i +( 1 0,5 2 − 1

1.4 Bài toán cụ thể thường gặp

Xét bài toán biên của phương trình vi phân thường tuyến tính cấp 2 với điều kiện biên được cho ở hai điểm có dạng:

{p( x) y '' ( x )+q (x ) y ' ( x)+r (x) y (x )=f (x ),a<x <b.

y (a )=α, y ( b)=β. (1) Với phương pháp sai phân hữu hạn 3 điểm:

Chọn số tự nhiên bất kỳ n > 0 Chia đều đoạn [a, b] thành n đoạn bởi các điểm chia x = a, x = x + kh, k = 1, 2, , n − 1, x = b với h =0 k 0 n

b a −

n Tại các nút x , k = 1, 2, , n − 1 bên trong đoạn [a, b] sử dụng công thức k

sai phân hướng tâm, ta có:

y '(x k) ≈y(x k +1) − y (x k−1 )

yk +1− yk−1

2 h

7

Dạng đạo hàm cấp 2:

y ''(x k) ≈y(x k+1) −2 y(x k) + y (x k−1 )

h 2 =yk +1 −2 y k + y k−1

h 2Thay vào phương trình (1), ta có:

Sử dụng lại bài toán trên với bước nhảy h=1

Với h=0.5: {y −2 y y + =xe x −

y( 0)=0 ,y ( 2)=−4 n=b a−

2−0 1 3

11

−23

4

−43

3

2

−23

4

−43

12 y4−17 y5=5

3

5

−53+24

Vì đây là hệ phương trình 5 ẩn, không bấm được máy tính nên ta tìm cách thu gọn Xét phương trình (*) ta có :

−17 y1+6 y2=1

3

1

−13

⟺ y 1 =

1 3

+13

PHẦN 3 SỬ DỤNG NGÔN NGỮ LẬP TRÌNH MATLAB GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 BẰNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN 3 ĐIỂM

3.1 Xây dựng dữ liệu lập trình trên matlab

17

Xét bài toán sau:

Sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn giải bài toán :

TÀI LIỆU THAM KHẢO