chất lượng làm việc của htđktđ dưới tác động của tín hiệu ngẫu nhiên

 Các đặc trưng thống kê của tín hiệu ngẫu nhiên Các quá trình ngẫu nhiên dừng egodic, tạp trắng Các QTNN ở đầu ra HTĐKTĐ Bộ lọc tạo hình dừng Phân tích thống kê độ chính xác của HTĐ

Chất Lượng Làm Việc Của HTĐKTĐ Dưới

Tác Động Của Tín Hiệu Ngẫu Nhiên

 Các đặc trưng thống kê của tín hiệu ngẫu nhiên

 Các quá trình ngẫu nhiên dừng (egodic, tạp trắng)

 Các QTNN ở đầu ra HTĐKTĐ

 Bộ lọc tạo hình dừng

 Phân tích thống kê độ chính xác của HTĐKTĐ khi cáctác động độc lập với nhau

 Hàm ngẫu nhiên là hàm mà giá trị của nó đối với mỗi giátrị của biến số là một đại lượng ngẫu nhiên.

 Quá trình ngẫu nhiên là hàm ngẫu nhiên mà biến số của

nó là thời gian

 Hiện thực ngẫu nhiên là hàm nhận được bằng mỗi thínghiệm riêng biệt

Các hiện thực

t

X(t)

1 2

 Theo dạng quy luật phân bố tọa độ của hàm ngẫu nhiên: Người ta phân biệt các quá trình ngẫu nhiên thành: chuẩn(Gauss), puacon, đều …

 Theo sự có (không có) sự phụ thuộc xác suất phân bố tọa

độ của hàm ngẫu nhiên vào xác suất trên nghiệm của nó

người ta phân biệt các quá trình ngẫu nhiên Markov vàkhông Markov

 Nếu trạng thái của quá trình ngẫu nhiên ở thời điểm kếtiếp không phụ thuộc vào giá trị của nó ở thời điểm trước

đó mà chỉ được xác định bằng giá trị ở thời điểm hiện tại

và xác suất có điều kiện chuyển tiếp sang thời điểm kếtiếp thì nó được gọi là quá trình Markov

 Theo sự phụ thuộc các đặc tính của quá trình ngẫu nhiênvào điểm bắt đầu tính thời gian người ta phân biệt cácquá trình ngẫu nhiên dừng và không dừng.

 Theo sự có (không có) mối liên hệ giữa giá trị trung bìnhtheo tập hợp và trung bình theo biến số người ta phân biệt các quá trình ngẫu nhiên Egodic và không Egodic

 Quá trình ngẫu nhiên có thể được đặc trưng bằng hàmphân bố xác suất một chiều và mật độ xác xuất nhiềuchiều.

 Quy luật phân bố của tập hợp các giá trị X(t1), …., X(t ) ncủa hàm ngẫu nhiên X(t) được lấy từ giá trị bất kỳ t , …, 1

tn của biến số t được gọi là quy luật phân bố n chiều Thông thường quy luật phân bố n chiều của hàm ngẫunhiên X(t) được đặc trưng bằng mật độ xác suất n chiềucủa nó:

 Để đánh giá độ chính xác của các HT tuyến tính chỉ cầnphân biệt kỳ vọng toán học và hàm tương quan của quá

) ,

,

; ,

,

trình ngẫu nhiên.

+ ( ) Kỳ vọng toán học1

+ (2) Hàm ngẫu nhiên trung tâm

+ (3) Hàm tương quan và tự tương quan

+ (4) Phương sai

+ (5) Sai lệch bình phương trung bình (độ lệch chuẩn)+ (6) Mật độ phổ

 Ví dụ

 Ví dụ

 Kỳ vọng toán học (giá trị trung bình tập hợp) của quátrình ngẫu nhiên X(t).

Trong đó: w1(x,t) là mật độ xác suất một chiều

 Kỳ vọng toán học là hàm không ngẫu nhiên của biến sốthời gian

 Kỳ vọng toán học có thể được xác định theo các hiệnthực Khi này cần cố định biến số t

 Khi t = t1 giá trị của các hiện thực x1(t1), x2(t1), …, xN(t1) chính là kết quả quan sát quá trình ngẫu nhiên tại thờiđiểm t1 Kỳ vọng toán học được xác định như sau:

1 1

1 x t N

 Hàm ngẫu nhiên trung tâm X0(t): là hàm có kỳ vọng toánhọc bằng 0.

 Một hàm ngẫu nhiên bất kỳ có thể được xem như là tổng

kỳ vọng toán học và hàm ngẫu nhiên trung tâm

) ( )

( )

X  x 

) ( )

(

 Hàm tương quan chéo: Đặc trưng cho mối liên hệ

thống kê giữa các quá trình ngẫu nhiên khác nhau tácđộng lên cùng một hệ thống

+ Ký hiệu hàm tương quan chéo: Rxy(t ,t1 2)

+ Hàm tương quan chéo Rxy(t1,t ) của hai quá trình ngẫu2nhiên X(t) và Y(t) được xác định bằng kỳ vọng toán họccủa tích các giá trị hàm ngẫu nhiên trung tâm được lấy ở hai thời điểm t1 và t 2

14.2.4 Hàm Tương Quan

)]

( 0 ) ( 0 [ )

,

 Hàm tương quan chéo:

Trong đó:

Hoặc:

Trong đó:

) ( )

( )

,

) ( )

( )

) , ,

( )]

( )][

( [

) ,

 Hàm tự tương quan Rxx(t ,t1 2) được xác định như sau.

 Hàm tự tương quan là hàm liên hệ các độ lệch của hàmngẫu nhiên so với kỳ vọng toán học của nó tại 2 thờiđiểm t1 và t 2

14.2.4 Hàm Tương Quan

dx dx t

x t x w t m x t m x

t X t X M t

t R

x x

xx

2 1 2 2 1 1 2 2 2

1 1

2 1

2 1

) , ,

( )]

( )][

( [

)]

( 0 ) ( 0 [ )

, (

 Phương sai Dx(t) của hàm ngẫu nhiên X(t) là giá trị trungbình của bình phương hiệu giữa hàm ngẫu nhiên và giátrị trung bình của nó.

 Sai lệch bình phương trung bình δx(t)

( )

)()

x 



 Quá trình ngẫu nhiên dừng theo nghĩa rộng là quá

trình ngẫu nhiên X(t) mà kỳ vọng toán học của nó khôngđổi, còn hàm tự tương quan Rx(t ,t1 2) chỉ phụ thuộc vàohiệu τ=t –t1 2; khi đó hàm tương quan được ký hiệu là

Rx(τ)

 Chú ý: Các quá trình vật lý thực tế ở mức độ nhiều hoặc

ít được làm gần đúng với quá trình dừng

14.3 Các Quá Trình Ngẫu Nhiên Dừng

.

;

; )

(

) ( )

( )

, (

) (

) ( ]

[

2 1 2

t R t

t R

const D

t D

const m

t m t

X M

x x

x

x x

x

x x

 Biểu thức hàm tương quan có dạng

hoặc

khi τ=0 hàm tương quan có giá trị cực đại:

]}

) ( {[

0 )

m t

X t X M t

X t X M

2

)]

( ) ( [ )]

( 0 ) ( 0 [ )

m t

X t X M t

X t X M

2

0 ( ) 0 ( )] [ ( ) ( )]

[ )

 Thí dụ quá trình ngẫu nhiên dừng: nhiễu nhiệt, daođộng của máy bay so với trạng thái xác lập khi bay

ngang, dao động của tầu, nhiễu tạp trong các thiết bị điệntử

 Thí dụ quá trình ngẫu nhiên không dừng: các quátrình quá độ của HTĐKTĐ dưới tác động của các quátrình ngẫu nhiên bất kỳ

14.3 Các Quá Trình Ngẫu Nhiên Dừng

 Các quá trình ngẫu nhiên Egodic Là các quá trình ngẫunhiên dừng mà các đặc trưng thống kê nhận được bằngcách lấy trung bình theo thời gian một hiện thực (trongkhoảng thời gian quan sát đủ lớn) gần bằng các đặc trưngnhận được bằng cách lấy trung bình theo tập hợp cáchiện thực

 Các đặc trưng thống kê nhận được:

+ Phần lớn các quá trình ngẫu nhiên dừng có tính Egodic

+ Điều kiện đủ của tính Egodic là:

14.3.1 Các Quá Trình Ngẫu Nhiên Egodic

,)]

()

([

21

lim

),()]

()

([}

)]

()

([{

2

2

} {

2 )

(

dttmt

xT

dxtxwt

mt

xt

mt

XM

t

D

T T T

x

x T

x x

1

)]

( 0 ) ( 0 [ )

T T

x T

T T

T dx

t x w t x

m ( ) ( , ) lim 2 1 ( ) ,

0

lim ( ) 



 

 Rx

 Mật độ phổ: Các quá trình ngẫu nhiên có thể được biểudiễn ở trong miền tần số bằng cách sử dụng khái niệmmật độ phổ Sx( ).ω

 Mật độ phổ là biến đổi Fourier của hàm tự tương quan

 Mật độ phổ: của quá trình ngẫu nhiên dừng X(t) là đạilượng

14.3.1 Các Quá Trình Ngẫu Nhiên Egodic

, 2

)

( lim

2

)(

XT(jω) - phổ tần số của hiện thực xT của hàm X(t)

là năng lượng tập trung trên tần số ω,

sx(ω) - phổ năng lượng của hàm số X(t)

(đặc trưng cho sự phân bố năng lượng của quá trình X(t)theo tần số các thành phần điều hòa)

 Quan hệ giữa phổ năng lượng và hàm tương quan:

deS

j x

( )

( )

( )

) (

T

j Y j

X

T xy

của hai quá trình ngẫu

nhiên dừng liên quan X(t)

và Y(t):

2   

 Tạp trắng là quá trình ngẫu nhiên với mật độ phổ có giá trị không đổi s(ω)=s =const và độ rộng lớn vô cùng, còn 0hàm tương quan bằng s0δ.



s0s(ω)

ω

) (

 Tạp trắng mang tính trừu tượng toán học, vì công suấtcủa nó phải lớn vô cùng.

 Người ta sử dụng mô hình tạp trắng và bộ lọc tạo hình

để tạo ra mô hình các quá trình ngẫu nhiên dừng kháckhi nghiên cứu sai số ngẫu nhiên của các HTĐKTĐ

14.3.2 Tạp Trắng

 Ví dụ:

 Xét các đặc trưng thống kê của quá trình ngẫu nhiên ở đầu ra KĐH (HT) tuyến tính dừng khi có một lượng vào.

 Trong miền thời gian:

Giả thiết rằng KĐH (HT) tuyến tính dừng có hàm quá độxung g(t) và HST tần số:

chịu tác động của tín hiệu ngẫu nhiên X(t) với kỳ vọngtoán học mx, hàm tương quan Rx(τ), mật độ phổ S (ω).x+ Xác định các đặc trưng thống kê của lượng ra của nó

trong chế độ xác lập?

14.4 Các QTNN Ở Đầu Ra Của HTĐKTĐ TT

dt e

t g j



+ Biểu diễn X(t) như sau:

+Thành phần ngẫu nhiên trung tâm của lượng ra

+ Kỳ vọng toán học của lượng ra

trong đó: W(0) là HST tần số tại tần số ω=0

+ Hàm tương quan của lượng ra

Khi τ=0 nhận được phương sai Dy = Ry(0)

.)

( 0 )

0

) ( )

g m

t j x

1 2 2

1 ) ( ) ( ) ( g  R    d  d  g

1 ) 1(

2 2

2

) (

) (

R

x x

) (

1 2

1 2

) (

Rd

etgd

etg

x j

j y

) (

1 2 2

2 1

1

1 2 2

) ( )

(

 Trong miền tần số:

+ Hàm tương quan của lượng ra:

+ Phương sai lượng ra:

j W d

e S

j y

 Ví dụ: cho khâu quán tính với HST tần số

+ Tín hiệu ngẫu nhiên ở đầu vào có mật độ phổ

+ Mật độ phổ của lượng ra của nó là

14.4 Các QTNN Ở Đầu Ra Của HTĐKTĐ TT

1

)

(

T j

k j

.

2

2 2

) (

2

) (

)

2

2 2

T

k D

- Bộ lọc tạo hình dừng là KĐH có HST tần số WL(jω) sao cho phản ứng của nó với tạp trắng ξx(t) (có mật độ phổ Nξ=1) sẽ là tín hiệu ngẫu nhiên dừng X(t) có mật độ phổ Sx(ω).

- Biểu diễn Sx(ω) dưới dạng tích liên hợp phức:

1

;) (

) ( )

( ) ( )

)

)()

 Ví dụ: cho quá trình ngẫu nhiên có mật độ phổ:

) (

D D

x x

) (

s

D s

W j

D j

L

x L

 Phân tích thống kê độ chính xác của HTĐKTĐ khi cáctác động độc lập với nhau:

 Xét HTĐKTĐ dưới tác động của lượng vào ngẫu nhiênX(t) và nhiễu loạn Fi(t) (i=1:n) Sai số của nó được phântích thành kỳ vọng toán học và thành phần ngẫu nhiêntrung tâm

 Khi các tác động là các quá trình ngẫu nhiên dừng thì

me(t)= m Tiêu chuẩn độ chính xác được xác định nhưesau:

14.6 Phân Tích Thống Kê Độ Chính Xác HTĐK

).

( )

( )

(t m t E0 t

;

2D m

Q  e  e

mex-kỳ vọng toán học của sai số theo lượng vào;

mef-kỳ vọng toán học của sai số theo nhiễu loạn;

 Khi các tác động độc lập với nhau:

14.6 Phân Tích Thống Kê Độ Chính Xác HTĐK

;

) ( ) (

) (

( )

( )

ex ex

n i ex

e

S j

W j

W S

j W

j

W

S S

S

f ef

ef

ef

i i

i i

1

1

) ( ) (

) (

) ( ) (

) (

) ( )

( )

) (

) ( ) (

) (

ex e

d S

j W

j W

d S

j W

j W D

f ef

 Phương pháp tính phương sai của sai số đo lượng vào:

) (

ex Lx

ex Lx

21

j

ds d

s

j   

.

) ( )

( )

( s W s W s

f  Lx ex

] [f (s ) I

(



sai số do nhiễu:

 Ví dụ: cho hệ thống với các tham số sau

Tìm phương sai của sai số do lượng vào và nhiễu gây ra

14.6 Phân Tích Thống Kê Độ Chính Xác HTĐK

W(s) x(s) f(s) e(s) y(s)

; )

(

s

k s

) (

 Giải: Phương sai của sai số do lượng vào gây ra.

)]

( )

( [W s W s I

Dex  Lx ex

s k

s s

W s

W a

s

W

h ex

( )

s

k s a

;

; 0

;

; 0

 Giải: Phương sai của sai số do nhiễu loạn gây ra.

14.6 Phân Tích Thống Kê Độ Chính Xác HTĐK

.

)]

( )

( [W s W s I

Def Lf ef

i i

i



s

D s

s

k k s

W s

W s

W

h

h ef

)

( )

(

1

] )

( [

]

s s k

k

D

k I

s k

k s

D I

;

;

; 0

; 0

; 2

ef

 Ôn tất cả nội dung đã học.

Ôn Tập