Chương 7 Tạo và xử lý tín hiệu ngẫu nhiên 168 Chương 7 TẠO VÀ XỬ LÝ TÍN HIỆU NGẪU NHIÊN 7 1 Mở đầu Ta đã xét các tín hiệu tất định trong mô phỏng Trong tất cả các hệ thống truyền thông thực tế, các ản[.]
Chương 7: Tạo xử lý tín hiệu ngẫu nhiên 168 Chương TẠO VÀ XỬ LÝ TÍN HIỆU NGẪU NHIÊN 7.1 Mở đầu Ta xét tín hiệu tất định mô Trong tất hệ thống truyền thông thực tế, ảnh hưởng ngẫu nhiên tạp âm kênh, nhiễu, pha đinh, làm suy thối tín hiệu mang tin Để mơ xác hệ thống mức dạng sóng cần phải mơ hình hóa xác ảnh hưởng ngẫu nhiên Vì vậy, cần có thuật tốn để tạo ảnh hưởng ngẫu nhiên Khối tảng tạo số ngẫu nhiên Tồn nhiều tài liệu viết cho tạo số ngẫu nhiên, chương tập trung vào việc sử dụng tạo số ngẫu nhiên mơ Vì vậy, ta tập trung nghiên cứu việc tạo phiên mẫu dạng sóng ngẫu nhiên (tín hiệu, nhiễu, tạp âm, ) để sử dụng chương trình mơ Trong mơi trường mơ phỏng, tất trình ngẫu nhiên biểu diễn chuỗi biến ngẫu nhiên Tạo kiểm tra chuỗi ngẫu nhiên chủ đề chương Nhiều ngơn ngữ lập trình hữu hiệu để triển khai chương trình mơ (như Matlab) có sẵn tạo số ngẫu nhiên thư viện Hiểu khái niệm tạo số ngẫu nhiên, giúp hiểu tồn chương trình mơ Nói cách xác, tạo số ngẫu nhiên khơng thể tạo số hoàn toàn ngẫu nhiên tạo chuỗi số xuất ngẫu nhiên khoảng thời gian quan sát (mô phỏng), cho chúng dùng để xấp xỉ hàm mẫu q trình ngẫu nhiên chương trình mơ cụ thể Do “xuất ngẫu nhiên” nghĩa chuỗi số tạo khoảng thời gian mơ có đặc tính cần thiết để mơ hình hóa q trình ngẫu nhiên mức độ xác cần thiết cho ứng dụng cụ thể Những chuỗi số coi chuỗi số giả ngẫu nhiên, chúng tất định chúng xuất ngẫu nhiên dùng ứng dụng cụ thể Yêu cầu độ xác phụ thuộc vào ứng dụng Ví dụ, ta phải tạo dạng sóng để biểu diễn tạp âm đầu vào PLL, u cầu độ xác để mơ hình hóa dạng sóng tạp âm SNR đầu vào 50 dB cao trường hợp dB Yêu cầu độ xác để mơ hình hóa thành phần tạp âm hệ thống truyền tham số cho trường hợp xác suất lỗi bit 10-7 cao so với trường hợp xác suất lỗi bit 10-3 Trước tiên ta xét việc tạo hàm mẫu trình ngẫu nhiên Ngiên cứu khái niệm dừng mơi trường mơ Sau đó, ta xét vắn tắt mơ hình mơ cho điều chế số Vì vậy, chương tập trung chủ yếu vào vấn đề sau đây: - Tạo số ngẫu nhiên không tương quan phân bố khoảng (0,1) - Ánh xạ số ngẫu nhiên không tương quan phân bố thành số ngẫu nhiên không tương quan có hàm mật độ xác suất pdf tuỳ ý (mong muốn) - Tạo số ngẫu nhiên không tương quan có pdf phân bố Gausơ Chương 7: Tạo xử lý tín hiệu ngẫu nhiên 169 - Tạo số ngẫu nhiên tương quan có pdf phân bố Gausơ - Tạo số ngẫu nhiên tương quan có pdf tuỳ ý (mong muốn) - Sau xét vắt tắt việc tạo chuỗi giả ngẫu nhiên PN ứng dụng Lưu ý rằng: Do tính ngẫu nhiên tín hiệu hệ thống truyền thông, nên để triển khai mơ xác hiệu cần phải hiểu sâu rộng khái niệm như: trình ngẫu nhiên, biến ngẫu nhiên, hàm mẫu trình ngẫu nhiên, số thực, tham số đặc trưng Tồn nhiều tài liệu cho chủ đề này, để tiện bạn đọc tham khảo Phụ lục 7B1 7B2 cần, trình bày súc tích, đọng cách biến ngẫu nhiên, trình ngẫu nhiên, phân loại nhiều ứng dụng minh họa Theo quan điểm tác giả nên đọc phần phụ lục đặc biệt sinh viên 7.2 Quá trình dừng Ergodic Các quan hệ trình ngẫu nhiên, biến ngẫu nhiên, hàm mẫu số thực (phức) cho hình 7.1 Ta nên tham khảo Phụ lục 7B1 7B2 Nếu cho Q không gian mẫu gán cho kết cục i Q thí nghiệm ngẫu nhiên hàm thời gian x (t, i ) theo quy tắc, với i Q , hàm x (t, i ) ký hiệu cho ánh xạ IR đến IR (hay C) theo: x (., i ) : IR IR ( hay C ), t x (t , i ) Các hàm x (t, i ) phụ thuộc vào thời gian gọi thực hay hàm mẫu Một trình ngẫu nhiên x (t, ) họ (hay tập hợp hàm mẫu x (t, i ) , nghĩa x (t, ) x(t, i ) i Q x(t, 1 ), x(t, 2 ), Mặt khác, thời điểm t = t0 IR, trình ngẫu nhiên x (t0 , ) phụ thuộc vào kết cục , biến ngẫu nhiên Vì với t0 IR, x (t0 , ) ký hiệu cho ánh xạ từ Q vào IR (hay C) theo quy tắc: x (t0 ,.) :Q IR (hay C ), s x (t0 , ) Hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên x (t0 , ) xác định xuất kết cục Vì trình ngẫu nhiên hàm hai biến: t IR Q, nên ký hiệu xác x (t, ) Tuy nhiên thực tế để đơn giản ký hiệu thường viết x (t ) Vì vậy, kết luận q trình ngẫu nhiên thể sau: Nếu t biến biến ngẫu nhiên, x (t ) thể họ hay tập hợp hàm mẫu x (t, ) Nếu t biến số, x (t ) x (t, ) thực hay hàm mẫu trình ngẫu nhiên Chương 7: Tạo xử lý tín hiệu ngẫu nhiên 170 Nếu t = t0 số biến ngẫu nhiên x (t0 ) biến ngẫu nhiên Nếu t = t0 số, x (t0 ) số thực (hoặc phức) Quan hệ trình ngẫu nhiên, biến ngẫu nhiên, hàm mẫu số thực (phức) cho hình 7.1 Khi mơ hệ thống truyền thơng, hàm mẫu tạo để biểu diễn tín hiệu, tạp âm, nhiễu thường coi ergodic Cần có giả định ta xử lý mẫu dạng sóng qua hệ thống cách liên tiếp và, điểm hệ thống có dạng sóng (hàm mẫu) Ta giả định dạng sóng xử lý mơ phận điển hình tồn định nghĩa mơ hình thống kê Các đại lượng thống kê khác như: moment, SNR, BER tính tốn đại lượng trung bình thời gian Khi so sánh kết mô với kết lý thuyết tương ứng, thường giả định trung bình thời gian tính mơ tương đương với trung bình tồn Kết là, có giả định trình ngẫu nhiên trình ergodic Quá trình ngẫu nhiên x(t ) x(t , ) t t0 Biến ngẫu nhiên x (t0 ) Hàm x(t ) x(t , ) mẫu x (t0 , ) 0 x(t0 ) x(t0 , ) Số thực (phức) Ergodic SS WSS trình ngẫu nhiên t t0 All Random Processes: Mọi trình ngẫu nhiên WSS: Quá trình ngẫu nhiên dừng nghĩa rộng SS: Quá trình ngẫu nhiên dừng chặt Ergodic: Quá trình Ergodic Hình 7.1: Quan hệ trình ngẫu nhiên, biến ngẫu nhiên, hàm mẫu số thực (phức) Các trình ergodic ln ln q trình dừng Vì vậy, hàm mẫu tạo mô luôn coi thành phần trình ngẫu nhiên dừng Từ lý thuyết trình ngẫu nhiên định nghĩa vấn đề dừng: nghĩa tất đại lượng thống kê độc lập (không phụ thuộc) vào gốc thời gian Để rõ, ta xét số ví dụ đơn giản sau: Ví dụ 7.1.1: Trường hợp thứ nhất: Giả sử hàm mẫu trình ngẫu nhiên định nghĩa là: x t,i A cos 2 ft i (7.1) Trong i kết cục không gian mẫu thí nghiệm ngẫu nhiên bản, kết cục i xếp thành pha i Ta coi thí nghiệm ngẫu nhiên bao gồm việc lấy số từ tạo số ngẫu nhiên phân bố Kết việc rút kết cục i ui , ui phân bố khoảng (0,1) Sau ui ánh xạ Chương 7: Tạo xử lý tín hiệu ngẫu nhiên 171 lên pha i = kui Khi A f không đổi, giá trị i xác định dạng sóng Trong ví dụ cần lưu ý đến giá trị k k = k , k = pha phân bố pha phân bố khoảng 0, Trường hợp thứ hai: Giả sử trình ngẫu nhiên mơ tả biểu thức: khoảng (0,2 ), k x t,i A 1 ui .cos 2 ft (7.2) Trong trường hợp biên độ phân bố khoảng (A, 2A) Chương trình Matlab NVD7_ sinewave.m (có Phụ lục 7A) tạo tập hàm mẫu trình ngẫu nhiên Tập dạng sóng ký hiệu x(t) tương ứng với (7.1) k = Tập dạng sóng thứ ký hiệu y(t) tương ứng với (7.1) k = /2 Tập dạng sóng thứ ký hiệu z(t) định nghĩa (7.2) Tất có A = f = Hai giây (thời gian mô phỏng) liệu 20 hàm mẫu tạo cho mơ Kết chạy chương trình minh họa hình 7.2(a) Hình 7.2(a): Các hàm mẫu cho ba trình ngẫu nhiên khác % File: NVD7_sinewave.m f = 1; % Tần số hình sin fs = 100; % Tần số lấy mẫu t = (0:200)/fs; % vectơ thời gian for i = 1:20 x(:,i) = cos(2*pi*f*t+rand(1)*2*pi)'; y(:,i) = cos(2*pi*f*t+rand(1)*pi/2)'; z(:,i) = (1+rand(1))*cos(2*pi*f*t)'; end Chương 7: Tạo xử lý tín hiệu ngẫu nhiên 172 subplot(3,1,1); plot(t,x,'k'); ylabel('x(t)'); subplot(3,1,2); plot(t,y,'k'); ylabel('y(t)'); subplot(3,1,3); plot(t,z,'k'); ylabel('z(t)'); Các trung bình thời gian tất hàm mẫu x(t), y(t), z(t) Ta dễ dàng kiểm chứng cách lấy trung bình tồn x(t) xấp xỉ tính số lượng lớn điểm ti , ti Các trung bình thời gian hội tụ số hàm mẫu tiến đến Tuy nhiên, y(t) trung bình tồn xấp xỉ t lân cận 0,375; 1,875, xấp xỉ -1 t lân cận 0,375; 1,375 xấp xỉ t lân cận 0,125; 0,625; 1,125; 1,625 Đây ví dụ q trình dừng tuần hồn (cyclostationary process), moment tuần hồn (periodic) Để rõ hơn, bạn đọc nên tham khảo phần phụ lục 7B2, trình bày vắt tắt, súc tích, đặc biệt trực quan hóa nhiều hình vẽ Các hàm mẫu z(t) hàm mẫu từ q trình dừng tuần hồn Lưu ý rằng, việc lấy mẫu q trình t = 0,5k tạo biến ngẫu nhiên có trung bình xấp xỉ +1,5 k chẵn, xấp xỉ -1,5 k lẻ Trong ví dụ 7.1 ta sử dụng tạo số ngẫu nhiên rand có sẵn thư viện Matlab Trong ví dụ 7.2 ta minh hoạ việc sử dụng tạo số ngẫu nhiên để mơ hình hóa điều chế số Trong phần sau khảo sát chi tiết thuật toán thực tạo số Ví dụ 7.2: Ta thường cần có mơ hình điều chế số Khối cho điều chế hàm NVD7_random_binary.m, tạo dạng sóng nhị phân có giá trị +1 -1 Số bit tạo số mẫu bit đối số hàm Để dùng hàm chương trình mơ phỏng, phải nhập giá trị cho hai tham số là: số bit (nbit) số mẫu bit (nsamples) theo dòng lệnh sau: x, bits NVD7_ random _ binary nbit, nsamples kết mô Tên hàm tên file Các tham số đầu vào (hay đối số) hàm function [x, bits] = NVD7_random_binary(nbits,nsamples) % Hàm tạo dạng sóng nhị phân ngẫu nhiên dài nbits lấy mẫu tốc độ % nsamples/bit x = zeros(1,nbits*nsamples); bits = round(rand(1,nbits)); for m = 1:nbits for n = 1:nsamples index = (m-1)*nsamples + n; x(1,index) = (-1)^bits(m); end end Chương 7: Tạo xử lý tín hiệu ngẫu nhiên 173 Hàm NVD7_random_binary.m dùng để mô số điều chế số Ví dụ dùng câu lệnh sau để mơ điều chế QPSK x NVD7_ random _ binary nbit, nsamples i * NVD7_ random _ binary nbit, nsamples ; Chương trình Matlab NVD7_ sim2.m tạo tín hiệu QPSK cho 10 bit với tần số lấy mẫu mẫu bit Chạy chương trình tạo tín hiệu QPSK có thành phần đồng pha vng pha minh hoạ hình 7.2 (b) Lưu ý rằng, xét tín QPSK băng tần sở Hình 7.2(b): Các thành phần đồng pha vng pha tín hiệu QPSK % File: NVD7_sim2 nbits = 10; nsamples = 8; x = NVD7_random_binary(nbits,nsamples)+i*NVD7_random_binary(nbits, nsamples); xd = real(x); xq = imag(x); % ================== % Hiển thị kết % ================ subplot(2,1,1) stem(xd,'.'); grid; axis([0 80 -1.5 1.5]); xlabel('Chỉ số mẫu','fontname','.vntime','fontsize',12); ylabel('X_I','fontname','.vntime','fontsize',16) subplot(2,1,2) stem(xq,'.'); grid; axis([0 80 -1.5 1.5]); Chương 7: Tạo xử lý tín hiệu ngẫu nhiên 174 xlabel('Chỉ số mẫu','fontname','.vntime','fontsize',12); ylabel('X_Q','fontname','.vntime','fontsize',16); 7.3 Bộ tạo số ngẫu nhiên phân bố Biến ngẫu nhiên có hàm mật độ xác suất phân bố dễ dàng chuyển thành biến ngẫu nhiên có pdf mong muốn khác (khơng phải phân bố đều) Vì vậy, bước việc tạo biến ngẫu nhiên có pdf cụ thể tạo biến ngẫu nhiên phân bố khoảng (0,1) cách: trước hết tạo chuỗi số (nguyên) M sau chia phần tử chuỗi cho M Kỹ thuật thông dụng để thực tạo số ngẫu nhiên biết đồng dư tuyến tính 7.3.1 Đồng dư tuyến tính Bộ tạo đồng dư tuyến tính (LCG) định nghĩa phép toán: xi 1 axi c mod m (7.3) Trong a coi số nhân, c coi số gia, tham số m gọi modulus Tất nhiên, thuật toán tất định giá trị x tạo Giá trị khởi đầu x ký hiệu x0 gọi số gốc tạo số Giả thiết x0, a, c, m số nguyên, tất số tạo LCG số nguyên Tính chất mong muốn đầu tạo số có chu kỳ dài cho tạo nhiều số nguyên chuỗi đầu trước chuỗi lặp lại Với giá trị m cho trước chu kỳ cực đại hóa ta nói tạo số tuần hoàn đầy đủ (full period) Ngồi ra, ứng dụng vào chương trình mô cụ thể đặt yêu cầu khác lên LCG Ví dụ ta thường cần có mẫu xi xi+1 không tương quan Hơn nữa, tùy vào ứng dụng cụ thể mà đầu LCG phải qua phép thử thống kê khác LCG có nhiều dạng khác Trong phần này, xét thuật toán phổ biến Kỹ thuật A: Thuật toán đồng dư hỗn hợp Thuật toán đồng dư tổng quát thuật tốn đồng dư "hỗn hợp" c ≠ Sở dĩ gọi hỗn hợp phép cộng phép nhân dùng để tính xi+1 Thuật tốn tuyến tính hỗn hợp có dạng cho (7.3): xi 1 axi c mod m (7.4) Khi c ≠ tạo số có chu kỳ lớn m Đạt chu kỳ nếu: Gia số c nguyên tố tương đối m Nói cách khác c m khơng có thừa số nguyên tố chung a-1 bội số p, p thể thừa số nguyên tố mô đun m a-1 bội số m bội số m Ví dụ 7.3: Thiết kế tạo số đồng dư hỗn hợp có chu kỳ m = 5000 Vì: 5000 23 54 (7.5) Chương 7: Tạo xử lý tín hiệu ngẫu nhiên 175 Ta đảm bảo m c nguyên tố tương đối cách đặt c tích số nguyên tố Điều thoả mãn tính chất thứ Một nhiều khả đặt: c 32 72 1323 (7.6) Bây phải chọn giá trị a Tính chất thứ thoả mãn cách đặt: a k1 p1 (7.7) a k2 p (7.8) Trong p1 = p2 = (các thừa số m) k1 & k2 số nguyên tuỳ ý Vì thừa số m = 5000 nên ta làm thoả mãn chấm thứ cách đặt: a k3 (7.9) Trong k3 số nguyên tuỳ ý Một lựa chọn rõ ràng cho a đặt: a 4.k p1 p2 (7.10) a 2.4.5.k 40k (7.11) Hoặc: Trong k số nguyên Với k = a = 241 Vì vậy: xi1 241.xi 1323 mod 5000 (7.12) Là tạo số chu kỳ đầy đủ Lưu ý rằng, cịn có nhiều lựa chọn khác cho tham số để tạo tạo số chu kỳ đầy với m = 5000 Ví dụ 7.4: Ví dụ này, ta rằng, LCG thiết kế ví dụ 7.3 thực có chu kỳ m = 5000 Chương trình Matlab NVD7_LCGperiod.m (có Phụ lục 7A), nhập số gốc chương trình chạy số gốc lại xuất Nếu n số nguyên tạo n>m mà không xuất lại số gốc coi tạo số bị rơi vào vịng chuỗi ngắn tạo cách lặp Chạy chương trình Matlab, chương trình yêu cầu nhập tham số sau: >> NVD7_LCGperiod.m Nhập a: 241 Nhập c: 1323 Nhập m: 5000 Nhập số gốc: Kết chu kỳ là: 5000 Ta thấy chu 5000 mong đợi Kỹ thuật B: Thuật tốn nhân với mơ đun nguyên tố Chương 7: Tạo xử lý tín hiệu ngẫu nhiên 176 Bộ tạo số nhân định nghĩa là: xi 1 axi mod m (7.13) Là thuật toán hỗn hợp c = Lưu ý rằng, xi không c = Vì vậy, chu kỳ đầy m-1 khơng phải m trường hợp trước Thuật tốn nhân tạo chu kỳ đầy nếu: m nguyên tố (thường yêu cầu m lớn) a phần tử nguyên thuỷ mod(m) Biết rằng, số nguyên tố số chia hết cho Cần làm sáng tỏ tính chất thứ Ta hiểu a phần tử nguyên thuỷ mod(m) số m với i = m-1, khơng có giá trị i nhỏ Nói cách khác a phần tử nguyên thuỷ mod(m) nếu: a m 1 k m (7.14) Và: a i 1 k, m i =1, 2, , m-2 (7.15) với số nguyên k tuỳ ý Kỹ thuật C: Thuật tốn nhân với mơ đun phi ngun tố Quan trọng trường hợp mođun m số nguyên tố mà m luỹ thừa Nói cách khác: xi 1 axi mod 2n , với n số nguyên (7.16) Trường hợp định nghĩa (7.16), chu kỳ lớn n / n2 Đạt chu kỳ nếu: Số nhân a mod(8) Số gốc x0 lẻ Vì tích số lẻ số lẻ nên tất giá trị tạo (7.16) lẻ x0 lẻ Vì vậy, khơng có giá trị chẵn xi tạo ra, làm giảm chu kỳ hai lần Các số nguyên lẻ tạo (7.16) phân thành tập, tập tạo từ số gốc cho trước Điều làm giảm chu kỳ hệ số khác Tập số nguyên lẻ thực tạo phụ thuộc vào việc chọn số gốc Ưu điểm sử dụng m = 2k dùng tràn số nguyên để thực phép tốn mod(m), giảm thời gian tính tốn Thực mong muốn giảm thời gian tính tốn song chương trình khơng có khả chuyển tải dễ dàng 7.3.2 Kiểm tra tạo số ngẫu nhiên Chương 7: Tạo xử lý tín hiệu ngẫu nhiên 177 Phần trước cho ta công cụ tạo số giả ngẫu nhiên phân bố khoảng (0,1) Tại ta xét chu kỳ chuỗi số tạo LCG Ta vừa muốn có chu kỳ dài vừa muốn có thuộc tính đáp ứng cho ứng dụng cụ thể Ít cần có chuỗi số tương quan delta (trắng) Các yêu cầu khác cần đến cho ứng dụng Tồn nhiều thuật tốn để kiểm tra tính ngẫu nhiên chuỗi Thuật tốn thơng dụng kiểm tra Chi-square, kiểm tra Kolômgorov-Simirnov, kiểm tra phổ Việc nghiên cứu thuật toán nằm phạm vi sách Việc kiểm tra phổ coi hữu hiệu Vì vậy, mô tả vắt tắt việc kiểm tra phổ, áp dụng vào thuật toán Wichman-Hill Nhiều ứng dụng sau đây, thuộc tính quan trọng phải đáp ứng là: phần tử chuỗi cho trước độc lập, khơng tương quan Phần này, ta xét kiểm tra đơn giản: biểu đồ tán xạ kiểm tra Durbin-Watson Sẽ thấy rõ, tính chất chuỗi cho trước áp dụng cho chuỗi đầy đủ (chu kỳ đầy đủ) Nếu sử dụng phần chuỗi tính chất chuỗi đầy đủ không áp dụng Biểu đồ tán xạ Biểu đồ tán xạ minh hoạ tốt ví dụ Ví dụ 7.5: Biểu đồ tán xạ vẽ xi+1 theo xi (nghĩa xi+1 hàm xi), thể phép đo chất lượng tạo số Trong ví dụ này, ta xét tạo số ngẫu nhiên định nghĩa bởi: xi 1 65 xi 1 mod 2048 (7.17) xi 1 1229 xi 1 mod 2048 (7.18) và: Ứng dụng chương trình NVD7_LCGperiod.m ví dụ 7.2 cho thấy tạo số tạo số chu kỳ đầy đủ Mã chương trình Matlab để tạo biểu đồ tán xạ cho tạo số ngẫu nhiên cho file NVD7_LCGSim1.m (có Phụ lục 7A) Kết chạy chương trình NVD7_LCGSim1.m nhận biểu đồ tán xạ hoạ hình 7.3 Nó tìm biểu đồ tán xạ tất kết hợp tung độ x i+1 toạ độ xi xảy Trường hợp biểu đồ phân tán khơng có cấu trúc Thấy rõ từ hình 7.3 với a = 65 tạo tạo số có tính tương quan nối tiếp nhỏ tạo số có a = 1229 Chương 7: Tạo xử lý tín hiệu ngẫu nhiên 191 Cụ thể, từ (7.67) giá trị B là: B y 12 N (7.68) Vì vậy, pdf "xấp xỉ Gausơ" cắt cho khác khoảng: y N 12 y 3N N (7.69) Với N = 100 biến ngẫu nhiên Gausơ bị cắt 17,32 y Đối với số ứng dụng việc cắt 17 lần độ lệch chuẩn mang lại lỗi đáng kể Giá trị phù hợp N phụ thuộc ứng dụng Khó khăn việc cắt pdf tạp âm hệ thống truyền thông số minh hoạ hình 7.13, cho thấy pdf có điều kiện đầu máy thu lọc thích hợp SNR đầu vào máy thu nhỏ SNR đầu vào máy thu lớn (các đuôi pdf thực tế liên tục, hình 7.13 nhấn mạnh ảnh hưởng cắt xén) Các pdf với điều kiện bit nhị phân phát ký hiệu fV(v|0), với điều kiện bit nhị phân phát ký hiệu fV(v|1) Hình 7.13 xây dựng với giả định phương sai tạp âm không đổi SNR điều chỉnh cách thay đổi công suất tín hiệu Trường hợp SNR đầu vào máy thu đủ nhỏ hình 7.13(a) pdf điều kiện chồng lấn đáng kể xác suất lỗi xác định với độ xác hợp lý Khi cơng suất tín hiệu tăng, đẩy pdf điều kiện xa độ xác mơ giảm Do việc cắt đuôi pdf có điều kiện, tăng cơng suất tín hiệu dẫn đến tình pdf có điều kiện khơng cịn chồng lấn nữa, minh hoạ hình 7.13(b) Nếu pdf có điều kiện khơng chồng lấn xác suất lỗi độc lập với SNR, rõ ràng phi thực tế fV v | 1 fV v | k fV v | 1 fV v | v (a) pdf đầu lọc phối hợp SNR đầu vào máy thu nhỏ k v (b) pdf đầu lọc phối hợp SNR đầu vào máy thu lớn Hình 7.13: Ảnh hưởng việc cắt xén hàm mật độ xác suất pdf đầu lọc phối hợp SNR đầu vào máy thu thấp cao Thứ hai: chọn N lớn sử dụng (7.63) để xấp xỉ biến ngẫu nhiên Gausơ Vì thực N lần gọi tạo số ngẫu nhiên phân bố để tạo giá trị Y, nên dùng thuật toán (7.63) yêu cầu thời gian CPU vượt Hai đặc tính bù lại (7.63): (i) làm tốt việc xấp xỉ biến ngẫu nhiên Gausơ lân cận trung bình Y; (ii) Y xấp xỉ Gausơ pdf biến ngẫu nhiên Ui thành phần phân bố không Chương 7: Tạo xử lý tín hiệu ngẫu nhiên 192 Trong ta chủ yếu đề cập mô dùng xử lý nối tiếp CPU nhất, điều cho thấy thuật tốn khơng phù hợp với ứng dụng xử lý nối tiếp truyền thống phù hợp với chế xử lý song song Ví dụ chế xử lý song song sử dụng 100 CPU, tạo 100 giá trị biến ngẫu nhiên thời điểm Tổng 100 biến ngẫu nhiên dẫn đến xấp xỉ hoàn hảo cho biến ngẫu nhiên Gausơ hầu hết ứng dụng xử lý song song thực nhanh chóng Đây minh chứng cho việc lựa chọn thuật tốn phụ thuộc vào mơi trường tính toán 7.5.2 Ánh xạ biến ngẫu nhiên Rayleigh thành biến ngẫu nhiên Gausơ Từ ví dụ 7.8 cho thấy, biến ngẫu nhiên Rayleigh R tạo từ biến ngẫu nhiên U quan hệ R 2 ln U Tại đây, ta xét toán ánh xạ biến ngẫu nhiên Rayleigh sang biến ngẫu nhiên Gausơ Giả sử X Y biến ngẫu nhiên Gausơ độc lập có phương sai 2 Vì X Y độc lập nên pdf đồng thời tích pdf dun biên Vì vậy: f XY x, y 2 2 e e x2 2 2 e y2 2 x y2 2 (7.70) Với x = rcos y = rsin ta có: x y2 r2 (7.71) y tan 1 x (7.72) pdf đồng thời f R r , tìm từ fXY(x,y) phép biến đổi: fR r, dAR fXY x, y dAXY (7.73) Trong dAR dAXY biểu diễn diện tích vi phân mặt phẳng R, X,Y Theo (7.73) ta có: fR r, f XY x, y dAX Y dA R x r cos y r sin (7.74) Tỉ số diện tích vi phân Jacobian biến đổi, là: dAX Y x, y dx / dr dx / d dA R r, dy / dr dy / d Cho ta: (7.75) Chương 7: Tạo xử lý tín hiệu ngẫu nhiên cos dAX Y dA R sin 193 r sin r r cos (7.76) Vì thay (7.70), (7.71) (7.76) vào (7.74) ta kết quả: f R r , r 2 e r2 2 , r , 2 (7.77) Bây ta khảo sát pdf duyên biên R : pdf R là: fR r 2 r 2 e r2 2 d r 2 e r2 2 , 0r (7.78) pdf là: f r 2 e r2 2 dr , 2 2 (7.79) Do R biến ngẫu nhiên phân bố Rayleigh biến ngẫu nhiên phân bố Vì biến ngẫu nhiên Rayleigh tạo từ biến ngẫu nhiên Gausơ trực giao, theo phép chiếu trực giao biến ngẫu nhiên Rayleigh tạo cặp biến ngẫu nhiên Gausơ Vì vậy, giả sử R biến ngẫu nhiên Rayleigh biến ngẫu nhiên khoảng 0,2 , biến ngẫu nhiên Gausơ X Y tạo quan hệ sau: X R cos (7.80) Y R sin (7.81) Cả X Y biến ngẫu nhiên Gausơ trung bình có phương sai Vì chúng biến ngẫu nhiên Gausơ không tương quan, nên X Y độc lập thống kê (lưu ý rằng, tính chất biến ngẫu nhiên Gausơ khơng tương quan độc lập thống kê, tính chất khơng có phân bố khác) Vì vậy, cặp biến ngẫu nhiên Gausơ độc lập X Y tạo từ cặp biến ngẫu nhiên phân bố U1 U2 thuật toán: X 2 ln U1 cos 2 U2 (7.82) Y 2 ln U1 sin 2 U2 (7.83) ta sử dụng (7.46) cho R Chương trình Matlab thực thuật toán Box-Muller cho file NVD7_ boxmu1.m (có Phụ lục 7A) 7.5.3 Phương pháp cực Chương 7: Tạo xử lý tín hiệu ngẫu nhiên 194 Thuật toán khác để tạo cặp biến ngẫu nhiên Gausơ khơng tương quan trung bình phương pháp cực Thuật toán bao gồm bước sau: Tạo biến ngẫu nhiên độc lập U1 U2, hai phân bố khoảng (0,1) Đặt V1 = 2U1 - V2 = 2U2 - cho V1 V2 độc lập thống kê phân bố khoảng (-1,1) Tạo S V12 V22 Nếu S