Chương 9 Giới Thiệu Phương Pháp Monte Carlo Giáo Trình Mô Phỏng Hệ Thống Viễn Thông Và Ứng Dụng Matlab.pdf

Chương 9 Giới thiệu phương pháp Monte Carlo 235 Chương 9 GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP MONTE CARLO 9 1 Mở đầu Mục đích của chương là giới thiệu vắn tắt các cơ sở của kỹ thuật Monte Carlo để ước tính giá trị[.]

Chương 9: Giới thiệu phương pháp Monte Carlo 235 Chương GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP MONTE CARLO 9.1 Mở đầu Mục đích chương giới thiệu vắn tắt sở kỹ thuật Monte Carlo để ước tính giá trị tham số Vì thế, ta đề cập vài khía cạnh quan trọng kỹ thuật ước tính Monte Carlo nhằm định nghĩa phương pháp Monte Carlo nghiên cứu số kỹ thuật cách đơn giản dễ hiểu Ta đề cập ngắn gọn vấn đề quan trọng khoảng tin cậy, tính hội tụ Trong tồn chương ta coi rằng, quan trắc ước tính độc lập Giả định giảm nhẹ chương sau xét kỹ thuật mô chi tiết Muốn vậy, chương đề cập mơ ước tính Monte Carlo sử dụng số minh họa đơn giản Ta thấy rằng, kỹ thuật Monte Carlo dựa hiệu thí nghiệm ngẫu nhiên (stochatic) Nhận biết kiện nghiên cứu thí nghiệm ngẫu nhiên tái tạo nhiều lần Tỉ số số lần xuất kiện nghiên cứu với tổng số lần tái tạo thí nghiệm ngẫu nhiên cho ta tần xuất tương đối kiện nghiên cứu Tần xuất tương đối biến ngẫu nhiên ước tính xác suất kiện nghiên cứu Đối với ước tính kiên định khơng chệch, tần xuất tương đối hội tụ đến xác suất kiện xét số lần tái tạo lớn Các kết đạt chương minh họa cho việc phân biệt quan trọng mô stochastic phân tích tốn học truyền thống Khi dùng phân tích tốn học truyền thống để xác định giá trị thơng số, kết tuyệt đại đa số số Ví dụ phân tích hệ thống truyền thông số cho ta kết PE =1,7638-3 tất nhiên số Tuy nhiên, dùng kỹ thuật Monte Carlo cho ta kết biến ngẫu nhiên Các thuộc tính biến ngẫu nhiên như: trung bình, phương sai, hàm mật độ xác suất cho ta nhiều thông tin chất lượng kết mô 9.2 Khái niệm Các mô Monte-Carlo dựa trò chơi may rủi Tất nhiên, lý tên “Monte Carlo”, thành phố thuộc Địa trung hải tiếng casino Ta sử dụng hai thuật ngữ quan hệ mật thiết “ước tính Monte Carlo” “mơ Monte Carlo”, thay cho Mô Monte Carlo mô tả mô tham số hệ thống tỷ số lỗi bit (BER) ước tính cách sử dụng kỹ thuật Monte Carlo Ước tính Monte Carlo q trình ước tính giá trị tham số cách thực trình stochastic hay thí nghiệm ngẫu nhiên 9.2.1 Tần suất tương đối Chương 9: Giới thiệu phương pháp Monte Carlo 236 Ước tính Monte Carlo dựa biểu diễn tần suất tương đối xác suất Trong trình xác định tần suất tương đối ta thực sau: Trước hết cần phải xác định rõ thí nghiệm ngẫu nhiên kiện quan tâm A Thấy rõ từ lý thuyết xác xuất bản, thí nghiệm ngẫu nhiên thí nghiệm kết (hoặc kết cục) việc thực thí nghiệm khơng thể dự đốn xác xác định cách thống kê Thí nghiệm ngẫu nhiên tung đồng xu có hai kết cục quan tâm định nghĩa tập {xấp, ngửa} Trước tung đồng xu, ta hồn tồn khơng thể biết trước kết cục xẩy Tuy nhiên, biết đồng xu “trung thực” (khơng thiên vị), xác suất kết cục tập {xấp, ngửa} xẩy với khả kết cục độc lập Hiệu thí nghiệm ngẫu nhiên xác định kết cục Một kiện một tập kết cục liên quan với thí nghiệm ngẫu nhiên Chẳng hạn, hệ thống viễn thơng số, thí nghiệm ngẫu nhiên việc phát bit nhị phân Kết đầu máy thu ước tính bit nhị phân phát (là 1) Trong trình truyền dẫn bit kiện quan tâm xẩy lỗi Việc xác định hiệu BER hệ thống bao gồm ước tính xác suất có điều kiện xác suất thu bit biết (với điều kiện) bit phát Sau đó, định nghĩa thí nghiệm ngẫu nhiên kiện quan tâm, thực thí nghiệm ngẫu nhiên N lần Đếm số lần xảy kiện quan tâm A với kết NA Sau cùng, xác định xác suất xẩy kiện quan tâm theo định nghĩa tần suất tương đối xác suất Xác suất xảy kiện A xấp xỉ hóa tần suất xuất tương đối kiện A NA/N Xác suất xảy kiện A định nghĩa theo tần suất tương đối cách tái tạo thí nghiệm ngẫu nhiên với vơ hạn lần: NA N  N Pr( A)  lim (9.1) Trong ước tính xác suất lỗi hệ thống truyền dẫn số, N tổng số bit ký hiệu (thực tế phát mô phỏng) NA số lỗi (được đo mô phỏng) Khi N<  , hiển nhiên mô Monte Carlo đại lượng NA/N ước tính ˆ ( A) Lưu ý rằng, thí nghiệm ngẫu nhiên thực N hữu hạn Pr(A) ký hiệu Pr ˆ ( A) biến ngẫu nhiên lần nên NA biến số ngẫu nhiên, kết ước tính Pr Tính thống kê biến ngẫn nhiên xác định tính xác ước tính chất lượng mơ 9.2.2 Bộ ước tính không chệch kiên định Để hữu hiệu, ước tính Monte Carlo phải thỏa mãn số tính chất Bộ ước tính khơng chệch Chương 9: Giới thiệu phương pháp Monte Carlo 237 Ta mong muốn có ước tính Monte Carlo phải khơng chệch, nghĩa Aˆ ước tính tham số A, thì:  E Aˆ  A (9.2) Nói cách khác, phương diện trung bình đạt kết xác Bộ ước tính kiên định Giả sử thực mơ Monte Carlo số lần nhận tập hợp ước tính biến ngẫu nhiên quan tâm Rõ ràng ta mong muốn ước tính có phương sai nhỏ Nếu ước tính khơng chệch có phương sai nhỏ ước tính tạo ước tính tập trung quanh giá trị tham số ước tính, trải rộng ước ước tính nhỏ Việc xác định phương sai ước tính Monte Carlo theo phương pháp giải tích tốn khó, trừ kiện độc lập thống kê Tuy nhiên, hầu hết phương sai giá trị ước tính giảm tăng thời gian mơ (tăng số lần thực lại thí nghiệm ngẫu nhiên đó) Ta coi ước tính thỏa mãn tính chất ước tính kiên định Đối với ước tính kiên định  A2ˆ  N   , N số lần thí nghiệm ngẫu nhiên tái tạo Bộ ước tính khơng chệch kiên định Khi ước tính vừa có tính khơng chệch vừa có tính kiên định, lỗi : e  A  Aˆ (9.3) Có trung bình khơng phương sai  hội tụ N   Đáng tiếc hội tụ e thường chậm 9.2.3 Ước tính Monte Carlo Xét ví dụ đơn giản ước tính Monte Carlo, xác định diện tích vùng có hình dạng khơng bình thường Giả sử vùng ước tính hồn tồn giới hạn diện tích hộp biết Định nghĩa thí nghiệm ngẫu nhiên là: lấy mẫu ngẫu nhiên hộp giới hạn định nghĩa kiện quan tâm A (sự kiện mà mẫu nằm vùng diện tích xác định) Vì ước tính vùng khơng biết khơng chệch, nên điểm mẫu ngẫu nhiên phân bố vùng lấy giới hạn diện tích cho Điều thực cách dễ dàng chương trình máy tính với hai tạo số ngẫu nhiên Kết việc tạo N = 500 điểm lấy mẫu phân bố minh họa hình 9.1 Mã chương trình Matlab thực cho vấn đề này: x = rand(1,500); y = rand(1,500); plot(x,y,'k+'); axis square Chương 9: Giới thiệu phương pháp Monte Carlo 238 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Hình 9.1: Minh họa điểm ngẫu nhiên phân bố Bước định nghĩa kiện A Ta mong muốn ước tính diện tích hình bơi đen minh họa hình 9.2 Định nghĩa đại lượng Nhộp Nsao số điểm mẫu nằm hộp bao vùng hình Vì điểm mẫu phân bố hộp bao, nên tỉ số diện tích hình diện tích hộp bao A sao/Ahộp xấp xỉ tỉ số số điểm mẫu nằm diện tích hình số điểm mẫu nằm diện tích hộp bao N sao/Nhộp Nói cách khác ta có: DiƯn tÝch h×nh  DiÖn tÝch hép bao Asao Ahép  NN Số điểm mẫu hình (9.4) Số điểm mẫu hình bao hộp Với điều kiện điểm mẫu phân bố hình bao Phép xấp xỉ xác số điểm mẫu lớn  Asao  Ahép N N hép (9.5) 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Hình 9.2: Ước tính Monte Carlo diện tích Với điều kiện điểm mẫu phân bố đều, phép xấp xỉ xác số điểm mẫu tăng lên Chương 9: Giới thiệu phương pháp Monte Carlo 239 Để minh họa kĩ thuật Monte Carlo theo cách đơn giản dễ hiểu, ta xét ước tính Monte Carlo cho giá trị  Lưu ý rằng, ước tính mơ ngẫu nhiên mơ thí nghiệm ngẫu nhiên Vì ví dụ tạo để trình bày chương sau 9.2.4 Ước tính  Một phương pháp ước tính giá trị  bao diện tích hình dạng trịn, tương ứng với góc phần tư thứ vịng trịn bán kính đơn vị, hộp diện tích đơn vị Điều minh họa hình 9.3 với toàn Nhộp điểm mẫu Nếu hộp mở rộng phạm vi (0,1) trục x (0,1) trục y, thấy rõ Ahộp = diện tích vùng hình dạng trịn (1/4 hình trịn) là: Giả sử mẫu phân bố đồng đều, tỉ số N 1/4 hình trịn/Nhộp tạo thành ước tính kiên định khơng chệch A1/4 hình trịn/Ahộp Vì vậy: 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 R=1 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Hình 9.3: Ước tính N1/4 hình tròn A1/4 hình tròn N hộp Ahộp Diện tích 1/4 hình tròn Diện tích 1/4 hình tròn Diện tích hộp bao A1/4 hình tròn (9.8) R2 R 4 A1/4 hình tròn   Ahép (9.6) (9.7) Ước tính  ký hiệu ˆ là: ˆ   Sè ®iĨm mẫu cung phần tư thứ hình tròn Số điểm mẫu hộp bao N1/4 hình trßn N hép (9.9) Chương 9: Giới thiệu phương pháp Monte Carlo 240 Theo đó, ước tính giá trị  cách che phủ hộp bao điểm phân bố đồng đều, sau đếm số điểm nằm vòng tròn nội tiếp áp dụng (9.9) Ví dụ 9.1: Chương trình Matlab thực toán cho Kết cho hình 9.4 tạo ước tính khác  với ước tính dựa 500 thí nghiệm ngẫu nhiên Năm kết giá trị ước tính  xác định nghĩa véc-tơ: ˆ  3,0960 3,0720 2,9920 3,1600 3,0480 (9.10) Nếu lấy trung bình ước tính kết ˆ = 3,0736 Kết tương đương ước tính dựa 2500 thử nghiệm Chương trình Matlab để tạo kết cho NVD9estimatepi.m (có Phụ lục 9A) Trong ví dụ đơn giản, chia sẻ số thuộc tính quan trọng với tất mô Monte Carlo Một điều kiện kiểm tra cặp đếm Bộ đếm tăng lên thí nghiệm ngẫu nhiên thực đếm lại tăng lên điều kiện kiểm tra thỏa mãn Trong mô hệ thống truyền thơng số, với mục đích ước tính BER, điều kiện kiểm tra xác định xem xảy lỗi trình truyền bit ký hiệu tin không Bộ đếm thứ tăng lên bít ký hiệu liệu xử lý mô Bộ đếm thứ hai tăng lên quan trắc lỗi Vấn đề sáng tỏ cặp ví dụ phần sau Trước hết ta xét đặc tính kênh AWGN Hình 9.4: Ước tính Monte Carlo  9.3 Ứng dụng vào hệ thống truyền thông - Kênh AWGN Để ước tính hiệu hệ thống truyền thơng số dùng mơ Monte Carlo, ta cho N ký hiệu qua hệ thống (hình hóa mơ hệ thống máy tính), sau đếm số lỗi truyền dẫn Ne Nếu xảy Ne lỗi N lần truyền ký hiệu, ước tính xác suất lỗi ký hiệu là: N PˆE  e N Ước tính có bị chệch hay khơng chệch? Ước tính có kiên định không? (9.11) Chương 9: Giới thiệu phương pháp Monte Carlo 241 Để trả lời câu hỏi quan trọng ngữ cảnh đơn giản có thể, ta coi kênh AWGN (kênh tạp âm Gausơ trắng cộng) Trong môi trường kênh AWGN, kiện lỗi tạp âm gây độc lập số lỗi Ne truyền dẫn N ký hiệu mô tả phân bố nhị thức Vì vậy, ta xét phân bố nhị thức mức chi tiết Sau đó, ta xét biểu thức (9.11) ước tính xác suất lỗi ký hiệu hai hệ thống truyền thông lý tưởng hóa cao 9.3.1 Phân bố nhị thức Phần xác định tính cách thống kê ước tính xác suất lỗi ký hiệu PˆE Muốn vậy, (1) Trước tiên xác định trung bình phương sai Ne Vì kiện lỗi độc lập, nên xác suất xẩy Ne lỗi N lần truyền dẫn ký hiệu cho phân bố nhị thức: N  N N pN  N e     PENe 1  PE  e  Ne  (9.12) N  N!    N e  N e ! N  N e ! (9.13) Trong đó: Là hệ số nhị thức PE xác suất lỗi lần truyền dẫn Dễ dàng rút trung bình phương sai biến ngẫu nhiên tuân theo phân bố nhị thức Trung bình phương sai Ne cho bởi: E  Ne   N PE (9.14)  N2  NPE 1  PE  (9.15) e (2) Sau đó, xác định trung bình phương sai ước tính xác suất lỗi ký hiệu PˆE Sử dụng kết (9.11), trung bình ước tính Monte Carlo cho xác suất lỗi là: E Ne  E PˆE  N   (9.16) Thay (9.14) vào (9.16) ta có:   NP E PˆE  e  PE N (9.17) Thấy rỗ ước tính xác suất lỗi Monte Carlo loại không chệch Phương sai ước tính Monte Carlo cho xác suất lỗi là:  P2ˆ  E  N2 e N2 Thay (9.15) vào (9.18) ta có: (9.18) Chương 9: Giới thiệu phương pháp Monte Carlo  P2ˆ  E PE 1  PE  N 242 (9.19) Cho thấy ước tính loại kiên định N   Cần lưu ý rằng, (9.17) (9.19) nhận phân bố nhị thức kiện lỗi độc lập Khi dùng mơ Monte Carlo để ước tính tham số hệ thống truyền thông số chẳng xác suất lỗi ký hiệu, ta mong muốn có ước tính khơng chệch kiên định Trên phương diện trung bình, ước tính khơng chệch, mơ Monte Carlo cho ta kết xác Ngồi ra, ước tính hữu hiệu, phải có phương sai nhỏ với xác suất lớn, ước tính nằm lân cận giá trị Nếu ước tính khơng bị chệch kiên định, cần phải mơi nhiều lần truyền dẫn ký hiệu để đếm nhiều lỗi lần mô phỏng, làm giảm phương sai ước tính Phương trình (9.19) cho ta cảm nhận số lỗi phải đếm để ước tính có phương sai cho trước thời gian mô cần thiết Tuy nhiên, vấn đề thực tế (9.19) khơng thể sử dụng để xác định giá trị yêu cầu N phương sai cho trước trước mơ ta chưa biết PE Tuy nhiên nhiều tốn thực tế, ta xác định giá PE phạm vi thao tác ứng dụng giới hạn công cụ phân tích khác cho sử dụng (9.19) Các ước tính bị chệch lại có tính kiên định hội tụ vào giá trị sai, điều không mong muốn trừ ta biết làm để loại bỏ chệch Mặc dù cần phải biết đặc tính ước tính, nhiều trường hợp cho thấy, cho trước ước tính khơng chệch kiên định nhiệm vụ khó Cần nhấn mạnh tất kết đạt phần này, lỗi gây tạp âm kênh độc lập cho phân bố lỗi nhị thức Nếu kiện lỗi bị tương quan (như trường hợp kênh bị hạn chế băng), kết đưa khơng cịn hợp lệ ta phải giải tốn khó nhiều Tuy nhiên, kiện lỗi không độc lập (9.11) ước tính xác suất lỗi hợp lệ Ví dụ 9.2: Khi kiện lỗi độc lập, truyền dẫn nhị phân mơ hình hóa thí nghiệm tung đồng xu Khi này, truyền dẫn N ký tự mơ hình hóa N lần tung đồng xu Giả sử kết cục xuất “mặt sấp” lần tung thứ i tương ứng với "quyết định đúng" lần truyền thứ i, kết cục xuất "mặt ngửa" lần tung thứ i tương ứng với "lỗi" xảy lần truyền thứ i Trong ví dụ này, thống kê liên quan với thí nghiệm tung đồng xu xác định mô Vì việc tung đồng xu độc lập, nên thí nghiệm mơ hình hóa cho truyền dẫn liệu nhị phân kênh AWGN Giả sử kết cục “mặt sấp” (không lỗi) xuất với xác suất (1-p) kết cục “mặt ngửa” (có lỗi) xuất với xác suất p, ta muốn ước tính giá trị p cách tung đồng xu N lần Ước tính Monte Carlo p là: N ngưa N (9.20) p lỗi N N Chng 9: Gii thiu phương pháp Monte Carlo 243 Trong Nngửa biểu thị cho số “mặt ngửa” xuất M lần tung Tất nhiên, với N lần tung, giá trị Nngửa thay đổi từ  N xác suất xuất k lần “mặt ngửa” N lần tung là: N pN (k )    p k (1  p ) N  k k xác suất xảy k lần mặt ngửa N lần tung (9.21) p xác suất xuất mặt ngửa (lỗi) Vỡ vy ta phi thc hin thớ nghiệm N lần để ước tính phân bố thống kê Nngửa,  xác định ước tính p p Chương trình Matlab mơ thí nghiệm tung đồng xu cho NVD9cointoss.m (có Phụ lục 9A) Kết chạy chương trình Matlab NVD9cointoss.m cho hình 9.5 Cho thấy đồ thị (hình 9.5(a)) kết cục thí nghiệm riêng biệt, với kết lý thuyết minh họa (hình 9.5(b)) Lưu ý kết lý thuyết xấp xỉ Gausơ Hệ số nhị thức tính cách sử dụng hàm NVD9nkchoose.m Hình 9.5: Kết thí nghiệm tung đồng xu Hệ số nhị thức tính theo cách nhằm minh họa thuật toán xem hữu hiệu giá trị k lớn Mặc dù Matlab có dải động lớn, kỹ thuật minh họa mã chương trình khơng cần thiết cho ví dụ này, hữu hiệu dùng ngôn ngữ khác 9.3.2 Hai mô Monte Carlo đơn giản Phần này, ta dùng phương pháp Monte Carlo để mô hệ thống truyền thông với giả định sau:  Không thực định dạng xung máy phát  Kênh kênh AWGN  Các ký hiệu liệu đầu nguồn độc lập đồng xác suất  Hệ thống khơng lọc khơng có giao thoa ký hiệu ISI Các giả định làm đơn giản hệ thống chương trình mơ Dễ dàng xử lý hệ thống theo cách giải tích (hệ thống thuộc loại xử lý theo phép giải tích, liên hệ với chương 1) dễ dàng có xác suất lỗi Chương 9: Giới thiệu phương pháp Monte Carlo 244 Nguồn tạp âm nd [n] xd [n] Nguồn liệu yd [ n ] dˆ  n  d [ n] MÁY THU MÁY PHÁT xq [n] yq [ n ] nq [n] Nguồn tạp âm Trễ So sánh ký hiệu PˆE Hình 9.6: Mơ hình mơ hệ thống truyền thơng đơn giản Mặc dù ví dụ đơn giản quan trọng quan trắc hữu hiệu cho phần sau Ngồi ra, thiết lập cấu trúc chương trình mơ Ta thấy tính cách mô Monte Carlo áp dụng vào toán trọng vào chủ đề nghiên cứu, cụ thể hệ thống viễn thông số Mô hình mơ minh họa hình 9.6 Do không lọc nên trễ qua hệ thống Vì vậy, khối trễ (được đề cập chương 1) nối tắt Tuy nhiên, khối trễ thấy hình 9.6 nhằm nhấn mạnh cần phải có phần tử quan trọng hầu hết mơ Do giả định trên, nên có nguồn gây lỗi kênh tạp âm Vì vậy, ta chọn giải pháp xác định thành phần đồng pha vuông pha xd(t) xq(t) để rõ thành phần khơng gian tín hiệu tín hiệu khơng phải mẫu dạng sóng miền thời gian Ưu điểm giải pháp thành phần khơng gian tín hiệu rõ cách cần dùng mẫu ký hiệu phát Việc xử lý mô theo mẫu/ký hiệu mang lại thời gian mô nhanh Theo giải pháp này, tín hiệu thơng dải đầu điều chế biểu diễn dạng: x(t , n)  Ac cos 2 f c t  km d  n     (9.22) Trong Ac biên độ sóng mang, km số phụ thuộc điều chế, d[n] ký hiệu liệu thứ n (d[n] = 1),  pha tham chiếu Theo đó, đường bao phức x[ n ] x(t,n) hàm số n cho bởi: x  n   Ac e m k d  n  (9.23) Các ví dụ xét ta giả thiết  =0 Vì vậy, hình 9.6 có thành phần đồng pha vuông pha: xd  n   Ac cos  km d  n  (9.24) xq  n  Ac sin  km d  n  (9.25) Chương 9: Giới thiệu phương pháp Monte Carlo 245 Để xác định vẽ đồ thị BER hàm Eb/N0 cho hệ thống minh họa hình 9.6, giá trị Eb giữ không đổi công suất nhiễu gia tăng dải xét Muốn vậy, phải điều chỉnh công suất tạp âm đầu tạo tạp âm hình 9.6 Từ chương cho thấy, quan hệ phương sai tạp âm mật độ phổ công suất tạp âm (PSD) cho bởi:  n2  N0 f s  N0   n2  (9.26) fs (9.27) Tỷ số tín hiệu tạp âm SNR định nghĩa Eb/N0 fs tần số lấy mẫu Vì vậy: SNR  f s Eb   n2 (9.28) Nếu chuẩn hóa lượng Eb tần số lấy mẫu fs, ta có: n  1  SNR (9.29) Biểu thức sử dụng để thiết lập độ lệch chuẩn tạp âm mơ Ví dụ 9.3: Khóa dịch pha nhị phân, BPSK Để tạo thành phần khơng gian tín hiệu đồng pha vng pha tín hiệu BPSK, ta cho Ac = km =  (9.24) (9.25) Ta được: d [ n]  1, xd  n   cos  d  n    (9.30) d [ n]  1, 0, xq  n  sin  d  n    0, d [ n]  d [ n]  (9.31) xq(t) = hai trường hợp d[n] = d[n] = Theo đó, biểu diễn khơng gian tín hiệu BPSK cho hình 9.7,  hàm sở khơng gian tín hiệu Vì khơng gian tín hiệu chiều (được tạo hàm sở) nên cần tạo thành phần đồng pha tín hiệu tạp âm mô phỏng, loại bỏ thành phần vng pha Hình 9.7 minh họa vùng định A0 A1 Nếu điểm tín hiệu thu rơi vào vùng A0 (vùng  bên phải) máy thu định d [n] = Nếu điểm tín hiệu thu rơi vào vùng A1 (vùng  bên trái) máy thu định d [n] = Ngưỡng thu tín hiệu đồng xác suất, lượng nhau, môi trường kênh AWGN Vì vậy, nguyên tắc định là: yd [ n ]  0, dˆ  n    (9.32) yd [ n ]  1, Chương 9: Giới thiệu phương pháp Monte Carlo 246 A1 A0  E E ` d  n  1 d  n  0 Hình 9.7: Biểu diễn khơng gian tín hiệu tín hiệu BPSK Chương trình mơ Matlab thực tốn cho NVD9MCBPSK.m (có Phụ lục 9A) Chạy chương trình Matlab, N = 1000 ký hiệu cho giá trị SNR, kết minh họa hình 9.8 Lưu ý rằng, độ tin cậy mô BER giảm SNR tăng lên thực tế đếm lỗi Điều gợi ý có quan hệ số ký hiệu mơ với SNR tiếp tục thực mô đến số lỗi đếm giống giá trị SNR Hình 9.8: Kết mơ BER hệ thống BPSK Ví dụ 9.4: Khóa dịch tần nhị phân BFSK Để tạo thành phần đồng pha vng pha khơng gian tín hiệu BFSK, ta đặt k m   / (9.24) (9.25), này:   1, d [n]  xd  n   cos  d  n     2  0, d [n]    0, xq  n   sin  d  n     2  1, d [ n]  d [ n]  (9.33) (9.34) Chương 9: Giới thiệu phương pháp Monte Carlo A1 2 d  n  247 Ranh giới định  E A0 E 1 d  n  0 Hình 9.9: Biểu diễn khơng gian tín hiệu cho tín hiệu BFSK Suy khơng gian tín hiệu BFSK cho hình 9.9, 1  hàm sở khơng gian tín hiệu (nhớ lại từ chương không gian hai chiều, hàm sở thấy định nghĩa thành phần đồng pha vng pha tín hiệu đường bao phức thơng thấp) Vì khơng gian tín hiệu BFSK hai chiều, nên mô phải tạo thành phần đồng pha vng pha tín hiệu BFSK tạp âm Hình 9.9 minh họa vùng  định Nếu điểm tín hiệu thu rơi vào vùng A0, máy thu định d [n] = Nếu điểm  tín hiệu thu rơi vào vùng A1, máy thu định d [n] = Lưu ý rằng, cho trước điểm khơng gian tín hiệu thể tín hiệu thu (yd[n] yq[n] hình 9.9), luật định là: Hình 9.10: Kết mô BER cho hệ thống BFSK  0, dˆ  n    1, yd [n]  yq [n] yd [n]  yq [n] (9.35) Chương trình Matlab thực mơ cho NVD9MCBFSK.m (có phụ lục 9A) Chạy chương trình Matlab với thơng số N = 10.000 ký hiệu cho giá trị Chương 9: Giới thiệu phương pháp Monte Carlo 248 SNR, kết cho hình 9.10 Một lần lưu ý rằng, độ tin cậy ước tính giảm SNR tăng (do thực tế đếm lỗi hơn) Cần phải có hoạt động hiệu chỉnh thích hợp ví dụ trước 9.4 Tích phân Monte Carlo Tích phân Monte Carlo chủ đề quan trọng nghiên cứu viễn thông Nhớ lại rằng, môi trường kênh AWGN, số V tạo cách lấy mẫu tín hiệu đầu tách sóng tích hợp kết xuất (integrate-and-dump detector) biến ngẫu nhiên Gausơ có trung bình xác định giá trị ký hiệu liệu phương sai xác định tạp âm kênh Các hàm mật độ xác suất có điều kiện pdf, điều kiện hóa d[n] = d[n] = minh họa hình 9.11, kT ngưỡng thu Xác suất lỗi có điều kiện với điều kiện d[n] = là:  v  v1 (T ) 2     2 n Pr  E d [n]     e dv lỗi k n T phát bit    (9.36)  Tương tự ta có biểu thức Pr E d  n   Theo đó, ước tính xác suất lỗi hệ thống là: PE       Pr E d  n   1  Pr  E d  n        ph¸t bit  ph¸t bit    (9.37) Bao gồm ước tính giá trị nguyên hàm Nghiên cứu tích phân Monte Carlo giúp hiểu sâu kỹ thuật mô Monte Carlo Chẳng hạn, nghiên cứu tích phân Monte Carlo tạo tình đơn giản minh họa tính chất hội tụ ước tính Monte Carlo Pr  E d [n]  1    f  v d [n]  1 dv V kT    kT    v  v1 (T ) 2  exp    dv 2 n 2 n    fV v d  n    fV v d  n   v1 (T ) kT v2 (T )  v Hình 9.11: pdf có điều kiện tín hiệu nhị phân kênh tạp âm Gausơ 9.4.1 Khái niệm Giả sử cần ước lượng tích phân: Chương 9: Giới thiệu phương pháp Monte Carlo 249 I   g ( x)dx (9.38) Trong g(x) hàm giới hạn phạm vi lấy tích phân Từ lý thuyết xác suất bản, giá trị kỳ vọng (trung bình tồn bộ) hàm g(x) là: E  g ( X )    g ( x) f X ( x)dx (9.39)  Trong fX(x) hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên X Nếu pdf X thỏa mãn fX(x) = khoảng (0,1) trường hợp lại, E  g  X   I Vì vậy, U biến ngẫu nhiên phân bố khoảng (0,1) thì: I  E  g U  (9.40) Sử dụng đối số tần suất tương đối ta viết: 1 N  lim   g (U i )   E  g (U )  I N  N  i 0  (9.41) Vì vậy, ta mơ hàm bị tích để lấy mẫu N điểm khoảng (0,1) Sau đó, giá trị trung bình mẫu cung cấp cho ước tính để có giá trị tích phân Mơ Monte Carlo hệ thống làm giống Vì thường khơng có biểu thức dạng kín cho số vùng lỗi, nên mẫu số tạo cách dùng mơ hệ thống Nếu tính giới hạn (9.41) sai (nó ln trường hợp ứng dụng thực tế), nhận kết xấp xỉ Ký hiệu phép xấp xỉ Iˆ ta có: N  g (U i )  Iˆ N i 0 (9.42) Cho ước tính tích phân Monte Carlo Tóm lại, ước tính tích phân thực cách ước lượng hàm g(x) N điểm ngẫu nhiên phân bố lấy trung bình Có thể áp dụng q trình cho tích phân phù hợp Bằng cách đổi biến số, tích phân thích hợp có giới hạn tùy ý ước lượng cách dùng kỹ thuật Monte Carlo Ví dụ: tích phân: b I   f ( x) d ( x) a (9.43) Có thể chuyển dạng chuẩn cách đổi biến y  ( x a ) (b a ) : I   b  a   f a   b  a  y  dy (9.44) Chương 9: Giới thiệu phương pháp Monte Carlo 250 Ví dụ 9.5: Để ước tính giá trị  tích phân Monte Carlo, cần tìm tích phân xác định mà giá trị hàm biết  Tích phân nhanh chóng trở thành: dx  I   (9.45) 1 x Vì vậy, ta dùng thuật tốn (9.42) để ước lượng tích phân I nhân kết với Hiển nhiên, tốt ta sử dụng giá trị N lớn hữu hạn Khi này, không đạt  giá trị xấp xỉ với  Vì vậy, giá trị tích phân, giá trị ước tính  biễn ngẫu nhiên (giá trị ngẫu nhiên) Các kết cho hình 9.12 ước tính  , ước tính dựa 500 thử nghiệm Năm ước tính là: ˆ  3,1418 3,1529 3,1517 3,1040 3,1220 (9.46) Hình 9.12: Ước tính  dùng tích phân Monte Carlo Nếu lấy trung bình kết ta được: ˆ = 3,1345 (4.47) Chương trình Matlab để ước tính  tích phân Monte Carlo cho NVD9example5.m (có Phụ lục 9A) 9.4.2 Tính hội tụ Giả sử giá trị tích phân I ước tính sẵn có N quan trắc ngẫu nhiên (hay mẫu) ký hiệu Xi Ta tạo ước tính I là: N Iˆ   X i N i 1 (9.48) Giả sử N quan sát Xi phân bố đồng độc lập thống kê Trung bình số học mẫu cho bởi: NI 1 N  N E   X i    EX i  I N  N i 1  N i 1 (9.49) Chương 9: Giới thiệu phương pháp Monte Carlo 251  Sao cho ước tính I ước tính khơng chệch Vì quan sát giả định độc lập, nên phương sai mẫu là:  I2  N N2  x2  i 1 N x2  x2  N2 N (9.50) Cho thấy ước tính tích phân loại ước tính kiên định Giả sử X i  g U i  , phương sai mẫu ký hiệu  x cho bởi: 1     g (u )du    g (u )du  0  x 2 (9.51) Vì vậy, cho trước hàm bị tích g(u), xác định giá trị N phương sai lỗi cho trước Vì ước tính thuộc loại kiên định, nên ta đạt ước tính xác tích phân I N đủ lớn Cũng theo đó, ta đạt ước tính xác tích phân I mẫu hàm g(ui) có phương sai nhỏ Vì vậy, ước tính Monte Carlo tích phân xác giá trị cho trước N g(ui) xấp xỉ số (mịn) khoảng lấy tích phân Mấu chốt thực tế là, g(ui) khơng đổi dải lấy tích phân,  ước tính I I xác N = 9.4.3 Khoảng tin cậy Chất lượng ước tính Iˆ thường biểu diễn dạng khoảng tin cậy, cho ta xác suất (1-  ) kiện mà ước tính rơi vào dải    Iˆ  cho trước giá trị Vì vậy, hai tham số cần lưu ý: xác suất cố định  dải cố định  Ở dạng phương trình, khoảng tin cậy định nghĩa biểu thức:   Pr  I   Iˆ  Iˆ  I   Iˆ     ­íc tÝnh cđa I   (9.52) Như mơ tả hình 9.13 Ta coi khoảng I   Iˆ khoảng tin cậy 1-  Tại đây, ta xét giá trị tham số  Phương trình (9.52) viết theo lỗi ( Iˆ  I ) sau:   Pr   Iˆ  Iˆ  I I lỗi   (9.53) Trong  Iˆ   x / N với  x xác định theo (9.51) Giả sử lỗi ( Iˆ  I ) biến ngẫu nhiên Gausơ (giả định hợp lý N lớn), hàm mật độ xác suất ( Iˆ  I ) tính xấp xỉ bởi: 2 Iˆ  e ( Iˆ  I )2 2 I2ˆ Chương 9: Giới thiệu phương pháp Monte Carlo 252 Lưu ý rằng, ( Iˆ  I ) biến ngẫu nhiên trung bình khơng ước tính tích phân khơng bị lệch Theo đó:   Pr  Iˆ  I   Iˆ   2 Iˆ note    e  t2 2 I2ˆ (9.54) dt  Iˆ Cùng với đổi biến số y = t/  Iˆ ta có:    y  e dy  Q( ) 2  Pr Iˆ  I   Iˆ  (9.55) Trong Q(.) biểu diễn hàm Q Gausơ Từ hình 9.13 ta có :  Pr Iˆ  I   Iˆ  Q(  )    (9.56) Vì tìm  là:    2   Q 1  (9.57) Vì vậy, cho hình 9.13, xác suất mà ước tính I nằm khoảng   N I  Q 1  x   N Q 1  x 1    ,  x cho (9.51) Các đại lượng xác định giới hạn giới hạn Để ước lượng đại lượng này, phải xác định  x 1   I   Iˆ   I  I    Iˆ Iˆ Hình 9.13: Khoảng tin cậy Ví dụ 9.6: Để minh họa khái niệm trên, ta xét tích phân: I   e  t dx (9.58) Chương 9: Giới thiệu phương pháp Monte Carlo 253 Sử dụng tích phân số (chẳng hạn hàm quad Matlab) giá trị I là: I  0,7468 (9.59) Tương tự:   dt  0, 5981 I   et 2 (9.60) Thay (9.59) (9.60) vào (9.51) ta có:  x2  0, 5981  (0, 7468)2  0, 0404 Vì vậy, độ lệch chuẩn ước tính tích phân là:  0, 2010  Iˆ  x  N N (9.61) (9.62) giới hạn tin cậy là: 1     0, 2010  I   Iˆ  0, 7468  Q     N  2  (9.63) Kết minh họa hình 9.14 Chương trình Matlab để tạo kết hình 9.14 cho NVD9examle6.m (có Phụ lục 9A)  ... Hình 9. 4: Ước tính Monte Carlo  9. 3 Ứng dụng vào hệ thống truyền thông - Kênh AWGN Để ước tính hiệu hệ thống truyền thơng số dùng mô Monte Carlo, ta cho N ký hiệu qua hệ thống (hình hóa mơ hệ thống. .. sai ước tính Monte Carlo cho xác suất lỗi là:  P2ˆ  E  N2 e N2 Thay (9. 15) vào (9. 18) ta có: (9. 18) Chương 9: Giới thiệu phương pháp Monte Carlo  P2ˆ  E PE 1  PE  N 242 (9. 19) Cho thấy... (9. 58) Chương 9: Giới thiệu phương pháp Monte Carlo 253 Sử dụng tích phân số (chẳng hạn hàm quad Matlab) giá trị I là: I  0,7468 (9. 59) Tương tự:   dt  0, 598 1 I   et 2 (9. 60) Thay (9. 59)