Đang tải... (xem toàn văn)
Chương 3 Lấy mẫu và lượng tử 44 Chương 3 LẤY MẪU VÀ LƯỢNG TỬ 3 1 Mở đầu Mục đích chính của cuốn sách là nghiên cứu các kỹ thuật cơ bản để mô phỏng hệ thống truyền thông trên máy tính điện tử số ở mức[.]
Chương 3: Lấy mẫu lượng tử 44 Chương LẤY MẪU VÀ LƯỢNG TỬ 3.1 Mở đầu Mục đích sách nghiên cứu kỹ thuật để mô hệ thống truyền thông máy tính điện tử số mức xác Hầu hết ứng dụng, phải tạo xử lý dạng sóng Máy tính xử lý số (biểu diễn mẫu tín hiệu) Ngồi ra, tính hữu hạn độ dài từ mã máy tính, nên giá trị mẫu có độ xác hữu hạn Nói cách khác, giá trị mẫu lượng tử hóa Do vậy, lấy mẫu lượng tử hóa hoạt động q trình mơ phỏng, chúng gây thêm sai số vào kết mô Việc khử hồn tồn sai số khơng thể, cần phải có giải pháp dung hịa Có thể thấy rằng: cách tốt giảm thiểu ảnh hưởng gây sai số trình lấy mẫu lượng tử Cũng cần lưu ý rằng, hệ thống vật lý sử dụng kỹ thuật xử lý tín hiệu số DSP phải chịu ảnh hưởng sai số lượng tử lấy mẫu Vì vậy, chương xét số chủ đề lấy mẫu trình bày giá trị mẫu mô hệ thống truyền thông Xét vắn tắt hai định lý lấy mẫu định lý lấy mẫu thông thấp định lý lấy mẫu thơng dải Vì tín hiệu thơng dải thường biểu diễn tín hiệu thơng thấp mô hệ thống, nên định lý lấy mẫu thông thấp định lý quan trọng Ta thấy rằng, lấy mẫu tín hiệu thơng thấp băng tần hạn chế, khơi phục tín hiệu thông dải từ giá trị mẫu tần số lấy mẫu lớn lần độ rộng băng tần tín hiệu thơng thấp hạn băng Định lý lấy mẫu thông dải, không hữu dụng so với định lý thông thấp mô phỏng, mang lại kết tương đương Tín hiệu thơng dải lấy mẫu tái tạo tần số lấy mẫu nằm khoảng 2B 4B B độ rộng băng tần tín hiệu thông dải lấy mẫu Tiếp theo xét trình lượng tử Sai số lượng tử xuất mơ phỏng, giá trị mẫu biểu diễn từ mã chiều dài hữu hạn Xét hai loại sai số lượng tử: sai số biểu diễn số với dấu phẩy tĩnh sai số lượng tử biểu diễn số dấu phẩy động Ta thấy rằng, sử dụng biểu diễn số dấu phẩy tĩnh, tỉ số tín hiệu tạp âm lượng tử tăng dB chiều dài từ mã tăng thêm bit Nói chung, mơ máy tính sử dụng biểu diễn dấu phẩy động, thường bỏ qua tạp âm lượng tử Tuy nhiên, tạp âm không 0, tích lũy dần làm giảm đáng kể độ xác kết mơ Ta nên cảnh giác với nguồn nhiễu Sau đề cập vấn đề tái tạo nội suy Ta thấy rằng, lấy mẫu tín hiệu thơng thấp hạn băng với tần số lấy mẫu lớn lần độ rộng băng thơng tín hiệu đó, khơi phục (tái tạo) tín hiệu liên tục mà khơng có sai số cách đánh trọng số cho mẫu với sóng dạng sin( x ) / x , tương đương với việc cho mẫu tín hiệu qua lọc thơng thấp lý tưởng Kết dạng sóng xác định cho tất giá trị theo thời Chương 3: Lấy mẫu lượng tử 45 gian cách tách mẫu "mới" mẫu gốc, ta tạo mẫu nội suy Quá trình gọi tăng mẫu, làm tăng tần số lấy mẫu hiệu Quá trình ngược lại giảm mẫu thực cách trích (tách) mẫu thứ M từ tập mẫu gốc Triển khai sử dụng tăng mẫu (upsampling) giảm mẫu (downsampling) mô dẫn đến xuất nhiều tần số lấy mẫu, chúng hữu hiệu mô hệ thống tín hiệu băng tần khác lớn ví dụ hệ thống thơng tin trải phổ Chủ đề quan trọng quan hệ tần số lấy mẫu với dạng xung sử dụng để truyền dẫn dạng sóng Dạng xung giả thiết giới hạn thời gian, khơng thể giới hạn băng (băng tần vơ hạn) Vì vậy, xuất sai số chồng phổ Tiêu chuẩn để lựa chọn tần số lấy mẫu xác định tỉ số tín hiệu tạp âm cần thiết, nguồn tạp âm gây sai số chồng phổ (sai số chồng phổ tạo thành nguồn tạp âm) Phương pháp chung để xác định PSD tín hiệu điều chế tích phân số PSD xác định tỉ số tín hiệu tạp âm chồng phổ 3.2 Lấy mẫu Q trình biến đổi tín hiệu tương tự thành tín hiệu số theo trình tự: lấy mẫu, lượng tử hóa mã hóa minh họa hình 3.1 Tín hiệu tương tự x(t) liên tục thời gian độ lớn Kết trình lấy mẫu tín hiệu rời rạc thời gian liên tục biên độ gọi tín hiệu số liệu mẫu Tín hiệu số tạo từ tín hiệu liệu mẫu cách mã hóa giá trị mẫu thành tập giá trị hữu hạn Ta thấy, lỗi xảy bước trình 3.2.1 Định lý lấy mẫu thơng thấp Bước q trình tạo tín hiệu số từ tín hiệu liên tục x(t) lấy mẫu x(t) điểm cách theo thời gian để tạo giá trị mẫu xs t x kTs x k Tham số Ts chu kỳ lấy mẫu, nghịch đảo tần số lấy mẫu fs Mô hình lấy mẫu minh họa hình 3.2 Tín hiệu x(t) nhân với xung tuần hoàn p(t) tạo tín hiệu mẫu xs(t) Nói cách khác: x s ( t ) x ( t ) p( t ) (3.1) Hàm lấy mẫu p(t) giả thiết xung hẹp nhận giá trị Theo đó, xs(t) = x(t) p(t) = xS(t) = p(t) = Cần đặc biệt lưu ý đến chu kỳ hàm lấy mẫu p(t) cịn dạng sóng p(t) tùy chọn Hàm lấy mẫu minh họa hình 3.2, trực giác, thể chuyển mạch thời điểm lấy mẫu Chương 3: Lấy mẫu lượng tử x(t) 46 x[k] Lấy mẫu Tín hiệu tương tự (liên tục thời gian biên độ) Lượng tử Mã hóa Tín hiệu biên độ rời rạc thời gian rời rạc Tín hiệu liệu mẫu (rời rạc thời gian & liên tục biên độ) Tín hiệu số Hình 3.1: Lấy mẫu, lượng tử, mã hóa p(t) xs(t) x(t) t Ts p(t) a) Hoạt động lấy mẫu 2Ts 3Ts b) Hàm lấy mẫu Hình 3.2: Lấy mẫu hàm lấy mẫu Vì p(t) hàm tuần hoàn, nên biểu diễn chuỗi Fourier: p(t) C e j 2 nfs t (3.2) n n Trong đó, hệ số chuỗi Fourier cho bởi: Cn Ts Ts / p(t).e j 2 nf t dt s (3.3) xs (t ) x(t) Cn e j 2 nf t (3.4) Ts / Thay (3.2) vào (3.1) ta có: s n Để rút định lý lấy mẫu điều kiện để khơi phục tín hiệu x(t) từ mẫu x(kTs), cần phải xác định phổ xs(t) x(t) khôi phục từ xs(t) với điều kiện cần thiết Muốn vậy, cần phải xác định: (i) phổ tín hiệu mẫu xs(t); (ii) phổ tín hiệu thơng tin x(t); (iii) phổ xung lấy mẫu p(t); (iv) mối quan hệ từ tìm điều kiện lấy mẫu hay định lý lấy mẫu Theo đó, ta tiến hành sau: Phổ tín hiệu xs(t): Theo định nghĩa, biến đổi Fourier tín hiệu mẫu là: Chương 3: Lấy mẫu lượng tử 47 X s (f) x t Cn e j 2 nfs t e j 2 ft dt (3.5) n xs ( t ) Chuyển đổi thứ thự lấy tích phân lấy tổng ta được: X s (f) C n n x(t) e j 2 f nfs t dt (3.6) Phổ tín hiệu tương tự x(t): Phổ x(t) xác định theo định nghĩa biến đổi Fourier là: X (f) x(t) e j 2 ft dt (3.7) Từ (3.6), ta có biến đổi Fourier tín hiệu mẫu viết sau: X s (f) C X ( f nf ) n n s (3.8) Từ (3.8), thấy rõ quan hệ phổ tín hiệu mẫu xs(t) phổ tín hiệu tương tự x(t) Theo đó, ảnh hưởng việc lấy mẫu tín hiệu liên tục tái sinh phổ tín hiệu lấy mẫu xung quanh tần số (f = 0) tất hài tần số lấy mẫu (f = nfs) Phổ dịch, đánh trọng số hệ số chuỗi Fourier Cn xung lấy mẫu p(t) tương ứng Phổ xung lấy mẫu p(t): Vì mẫu liệu phải có giá trị với giá trị tín hiệu lấy mẫu thời điểm lấy mẫu phải có chu kỳ lặp lại với chu kỳ xung lấy mẫu, nên định phù hợp cho xung lấy mẫu p(t) là: p(t) (t-kT ) (3.9) s k coi lấy mẫu hàm xung kim giá trị mẫu thể trọng số hàm xung kim Thế (3.9) vào (3.3), nhận được: Cn Ts Ts / Ts / (t) e j 2 nf t dt s (3.10) Áp dụng tính chất dịch hàm delta, ta có: Cn fs Ts (3.11) Sử dụng kết vào (3.2) biến đổi Fourier cho p(t) nhận được: P f fs f nf n s (3.12) Chương 3: Lấy mẫu lượng tử 48 Rút điều kiện lấy mẫu: Vì lấy mẫu hàm xung kim Cn fs , n Nên phổ tín hiệu mẫu Xs(f) theo (3.8) trở thành: X s f fs X f nf n s (3.13) Lưu ý, tìm phổ tín hiệu mẫu Xs(f) theo biểu thức sau: X s f X f P f (3.14) ký hiệu cho tích chập, tạo Xs(f) theo (3.14) cho hình 3.3 trường hợp tín hiệu giới hạn băng Định lý lấy mẫu triển khai từ việc quan sát hình 3.3 Để mẫu x(nTs) chứa tồn thơng tin tín hiệu x(t) (q trình lấy mẫu khơng làm thơng tin) lấy mẫu phải thực cho khơi phục x(t) từ mẫu x(nTs) mà khơng có lỗi Việc tái tạo x(t) từ x(nTs) thực cách tách thành phần n = từ Xs(f) cách lọc thông thấp Để khơi phục tín hiệu x(t) từ x(nTs) mà khơng có lỗi, vùng phổ Xs(f) định vị xung quanh f fs [thành phần n 1 (3.13)] không chồng lấn lên vùng phổ Xs(f) định vị xung quanh f = [thành phần n=0 (3.13)], nói cách khác, tất thành phần phổ dịch (3.13) phải không chồng lấn Vì cần phải đảm bảo điều kiện fs fh fh hay fs fh Định lý 3.1: Có thể khơi phục tín hiệu băng tần hạn chế từ mẫu tín hiệu mà khơng có lỗi tần số lấy mẫu fs lớn 2fh, fh tần số lớn tín hiệu lấy mẫu Định lý 3.1 thường gọi định lý lấy mẫu thông thấp, tín hiệu thơng dải Tuy nhiên, sử dụng định lý lấy mẫu thông thấp cho tín hiệu thơng dải dẫn đến tần số lấy mẫu cao Lấy mẫu tín hiệu thơng dải đề cập Nếu fs fh phần phổ có trung tâm f fs chồng lấn lên phần phổ có trung tâm f = dẫn đến hậu gây méo tín hiệu đầu x(t) lọc thơng thấp minh họa hình 3.4 (giả sử phổ x(t) thực) Méo dạng gọi chồng phổ Chương 3: Lấy mẫu lượng tử 49 X(f) A f P(f) fs fs fs fs f -fs fs 2fs X s (f) A.fs f -fs fh fs 2fs fs - fh Hình 3.3: Lấy mẫu miền tần số X s (f) Dải thông lọc khôi phục f -fs - fs/2 fs 2fs fs/2 Lỗi chồng phổ f Hình 3.4: Tần số lấy mẫu thấp dẫn đến lỗi chồng phổ Chương 3: Lấy mẫu lượng tử 50 3.2.2 Lấy mẫu tín hiệu ngẫu nhiên thơng thấp Dạng sóng x(t) giả thiết tín hiệu lượng hữu hạn tất định Kết giả định là, tồn biến đổi Fourier định lý lấy mẫu dựa vào phổ (biến đổi Fourier) tín hiệu Trong hầu hết ứng dụng, thường phải mô xử lý hàm mẫu trình ngẫu nhiên Vì vậy, thay chọn tần số lấy mẫu dựa vào phổ tín hiệu tương tự (bằng cách biến đổi Fourier hàm tất định), ta chọn tần số lấy mẫu dựa vào mật độ phổ cơng suất PSD tín hiệu ngẫu nhiên Trường hợp tín hiệu ngẫu nhiên ta viết: X S (t) X (t)P(t) (3.15) Hàm lấy mẫu P(t) viết là: P(t) (t kT D) s k (3.16) Trong D biến ngẫu nhiên phân bố khoảng (0,Ts) độc lập với X(t) Lưu ý tính giống (3.15) (3.1), (3.16) (3.9) Chỉ có điểm khác biệt là: (i) sử dụng chữ in hoa hàm thời gian X(t), P(t) XS(t) để ký hiệu cho trình ngẫu nhiên; (ii) sử dụng biến ngẫu nhiên D (3.16) nhằm đảm bảo cho Xs(t) q trình ngẫu nhiên dừng Nếu khơng có D, tín hiệu mẫu q trình dừng tuần hoàn (cyclostationary) Tác dụng D làm ngẫu nhiên gốc thời gian P(t) Mật độ phổ công suất Xs(t) tìm thơng qua hàm tự tương quan của: X s (t) X (t) (t kTs D) (3.17) k Biến đổi Fourier hàm tự tương quan ta mật độ phổ công suất PSD Xs (t) sau: SX (f) fS2 S S n X (f nfS ) (3.18) Trong SX (f) PSD X (t) Cần phải lưu ý: (i) khía cạnh giống (3.18) (3.13); (ii) hình 3.3 3.4 áp dụng phổ tương ứng với PSD X (t) trục tọa độ đánh nhãn phù hợp; (iii) dùng định lý lấy mẫu trước, tín hiệu phải lấy mẫu tần số lớn gấp lần tần số lớn tín hiệu để tránh méo chồng phổ 3.2.3 Lấy mẫu tín hiệu thơng dải Xét lấy mẫu tín hiệu thơng dải Có nhiều cách để biểu diễn tín hiệu thông dải tập mẫu Dưới xét phương pháp phổ biến nhất: Định lý lấy mẫu thông dải: Định lý lấy mẫu thông dải cho tín hiệu thơng dải giá trị thực phát biểu sau: Định lý 3.2: Nếu tín hiệu thơng dải có độ rộng băng tần B có tần số cao fh, tín hiệu lấy mẫu khơi phục sử dụng tần số lấy mẫu f s = 2fh/m, Chương 3: Lấy mẫu lượng tử 51 m số nguyên lớn nhỏ fh/B Tất tần số lấy mẫu cao không thiết sử dụng trừ chúng vượt 2fh, giá trị fs lấy theo định lý lấy mẫu thơng thấp Tần số lấy mẫu chuẩn hóa fs/B hàm tần số trung tâm chuẩn hóa f0/B minh họa hình 3.5, quan hệ f0 fh fh = f0+B/2 Ta thấy rằng, tần số lẫy mẫu khả dụng nằm khoảng B fs B Tuy nhiên, trường hợp điển hình f0 B, tần số lấy mẫu xác định theo định lý lấy mẫu thông dải xấp xỉ bằng, giới hạn 2B Tần số lấy mẫu chuẩn hóa fs/B 3,5 2,5 1,5 0.5 0 Tần số trung tâm chuẩn hóa f0 /B 10 Hình 3.5: Tần số lấy mẫu tín hiệu thơng dải Lấy mẫu tín hiệu đồng pha/vng pha Giả sử ta có tín hiệu thơng dải biểu diễn dạng: x(t) A(t) cos2 fc t (t) (3.19) Các hàm A(t) (t) đường bao độ lệch pha tín hiệu thơng dải Trong hầu hết ứng dụng truyền thông A(t) (t) tín hiệu thơng thấp có băng thơng xấp xỉ băng thơng tín hiệu mang tin Sử dụng tính chất lượng giác, tín hiệu thơng dải viết là: x(t) A(t) cos (t) cos2 fc t A(t) sin (t) sin 2 fc t xd ( t ) (3.20) xq ( t ) x(t) xd (t) cos2 fc t xq (t) sin 2 fc t (3.21) Theo đó, thành phần đồng pha xd(t) vuông pha xq(t) định nghĩa sau: Chương 3: Lấy mẫu lượng tử 52 x d (t) A(t) cos (t) (3.22) xq (t) A(t) sin (t) (3.23) Vì A(t) (t) tín hiệu thơng thấp, nên xd(t) xq(t) tín hiệu thơng thấp, chúng phải lấy mẫu theo định lý lấy mẫu thông thấp Lưu ý biết trước x d (t) , xq (t) tần số sóng mang fc, tín hiệu thơng dải (3.21) khơi phục mà khơng có lỗi Trình bày tín hiệu thông dải theo thành phần đồng pha vuông pha khảo sát chi tiết chương Biểu diễn tín hiệu thơng dải miền tần số cho hình 3.6(a), đường bao phức tương ứng định nghĩa bởi: x(t) xd (t) jxq (t) (3.24) Vì x d (t) xq (t) tín hiệu thơng thấp, nên: X (f) X d (f) jX q (t) (3.25) X(f) X (f ) B f -f0 f0 a) Tín hiệu thông dải f B B b) Đường bao phức Hình 3.6: Tín hiệu thơng dải đường bao phức Cũng tín hiệu thơng thấp minh họa hình 3.6(b) Trong hình 3.6 ta thấy X (t) , x d (t) xq (t) tín hiệu thơng thấp Vì vậy, x d (t) xq (t) phải lấy mẫu theo định lý lấy mẫu thơng thấp Vì tần số cao x d (t) xq (t) B/2, nên tần số lấy mẫu nhỏ cho thành phần B Tuy nhiên, hai tín hiệu thông thấp xd(t) xq(t) phải lấy mẫu Kết là, phải dùng tốc độ lấy mẫu lớn hớn 2B Vì vậy, việc lấy mẫu đường bao phức theo định lý lấy mẫu thông thấp, mang lại sử dụng tần số lấy mẫu để lấy mẫu tín hiệu thông dải giá trị thực theo theo định lý lấy mẫu thông dải cho trường hợp f0 B Ví dụ 3.1: Thấy rõ, khơi phục tín hiệu thơng dải x(t) mà khơng có lỗi xd(t) xq(t) lấy mẫu theo định lý lấy mẫu thơng thấp cách thích hợp Ưu điểm biểu diễn tín hiệu thơng dải thơng thấp tương đương rõ ràng Ta biểu diễn tín hiệu FM tập mẫu giây Giả sử, tần số sóng mang 100 MHz (băng tần phát FM) Chương 3: Lấy mẫu lượng tử 53 tần số cao tín hiệu mang tin 15 kHz Băng thơng B tín hiệu điều chế thường lấy xấp xỉ theo nguyên tắc Carson là: B D 1 W (3.26) Giả sử tỉ lệ độ lệch D = nên ta có: B 2(5 1)15 180 kHz (3.27) Theo đó, tần số cao tín hiệu điều chế fc + B/2 = 100.000 + 90 = 100.090 kHz Vậy, theo định lý lấy mẫu thông thấp giây tín hiệu phải có tối thiểu *(fc + B/2) = 200.180.000 mẫu Ta giả sử, biểu diễn tín hiệu FM theo thành phần đồng pha vuông pha Băng thông x d (t) xq (t) B/2 = 90 kHz Do tín hiệu x d (t) xq (t) cần 180.000 mẫu để biểu diễn giây tín hiệu Điều mang lại 360.000 mẫu thơng thấp để biểu diễn giây liệu Nó tiết kiệm được: 200,180,000 556 360,000 (3.28) Do đó, giảm thời gian chạy máy tính 3.3 Lượng tử Q trình lượng tử mã hóa minh họa hình 3.7, cho thấy dạng sóng liên tục, tín hiệu mẫu thể dấu chấm đen, mẫu tín hiệu nằm mức lượng tử cụ thể Nếu lượng tử n mức mức lượng tử biểu diễn từ mã nhị phân b bit, ta có quan hệ n 2b (3.29) Trong hình 3.7, mức lượng tử gán từ mã bit (b = n = 8) Sau lượng tử hóa, giá trị mẫu biểu diễn từ mã ứng với mức lượng tử số hóa dạng sóng tín hiệu từ mã Ví dụ, ba giá trị mẫu từ trái sang phải hình 3.7 biểu diễn chuỗi nhị phân 100110111 Chương 3: Lấy mẫu lượng tử 64 Từ việc nghiên cứu lấy mẫu, cho thấy để loại bỏ hồn tồn lỗi chồng phổ cần có tần số lấy mẫu vô lớn dẫn đến không thực tế Ngoài ra, tần số lấy mẫu tăng, phải xử lý nhiều mẫu cho ký hiệu liệu, làm tăng thời gian mơ Vì khơng thể loại bỏ hoàn toàn lỗi chồng phổ thực tế, nên ta phải chọn tần số lấy mẫu cho dung hòa lỗi chồng phổ thời gian mô Tất nhiên, tần số lấy mẫu phải chọn cho bỏ qua lỗi chồng phổ so sánh với suy giảm hệ thống xét mô 3.5.1 Khai triển chung Mô hình chung cho tín hiệu phát hệ thống truyền tham số là: x t A ak p(t kT ) (3.55) k 0 Trong đó: , a2 , a1 , a0 , a1 , a2 , , ak , chuỗi biến ngẫu nhiên biểu diễn số liệu Giá trị ak thường nhận giá trị +1 hay -1 hệ thống số nhị phân, p(t ) hàm định dạng xung T chu kỳ ký hiệu, biến ngẫu nhiên phân bố khoảng chu kỳ lấy mẫu Tham số A số tỉ lệ để xác lập cơng suất tín hiệu phát Bằng cách kết hợp tham số ta lấy tỉ số hàm định dạng xung cho giá trị đỉnh đơn vị Giả sử E{ak } E{ak ak m} Rm giá trị trung bình tự tương quan chuỗi xung số liệu Dễ thấy hàm tự tương quan tín hiệu phát cho bởi: RXX ( ) A2 R r mT m (3.56) m Trong đó: r( ) p(t ) p(t )dt T (3.57) Tần số lấy mẫu xác định từ mật độ phổ công suất PSD tín hiệu phát Áp dụng định lý Weiner-Khintchine vào (3.56) ta có: SX (f ) A2 Rm r mT e j 2 f d m SX (f) A2 m Rm r( mT )e j 2 f (3.58) d (3.59) d (3.60) Ta biến đổi dạng dễ tính tốn Trước tiên đổi biến số mT vào (3.59) Ta có: SX (f) A2 Ký hiệu: m Rm r( )e j 2 f ( mT ) Chương 3: Lấy mẫu lượng tử 65 r( )e Sr (f) j 2 f d (3.61) Ta có: R Sr ( f ).e j 2 fmT (3.62) 1 j 2 f d T p(t ) p(t )dt .e (3.63) SX (f) A2 m m Ta phải xác định Sr ( f ) Biến đổi Fourier lên (3.57) ta có: Sr (f) Đổi biến t (3.63) biểu diễn dạng sau: Sr (f) T p(t).e j 2 ft dt p( ).e j 2 f d (3.64) Thành phần thứ hai (3.64) biến đổi Fourier hàm dạng xung p(t ) thành phần liên hợp phức thành phần thứ hai Và ta có: P( f ) Sr (f) T G(f) T (3.65) Trong G(f) mật độ phổ lượng hàm định dạng xung p(t ) Thế (3.65) vào (3.62) cho ta kết tổng quát sau: SX (f) A2 G(f) Rm e j 2 fmT T m (3.66) Trong nhiều ứng dụng ký hiệu số liệu coi độc lập Giả thiết dẫn đến đơn giản hóa nhiều 3.5.2 Ký hiệu liệu độc lập Nếu ký hiệu liệu ak độc lập, hàm tự tương quan trở thành: Rm E ak ak m E ak E ak m ak , a m = 0, k m0 (3.67) nÕu kh¸c Khi đó, mật độ phổ công suất PSD x (t ) định nghĩa (3.66) trở nên đơn giản: S X (f) A2 ak2 G(f) T (3.68) Chương 3: Lấy mẫu lượng tử 66 Nếu ký hiệu số liệu ak 1 k ak2 và: SX (f) A2 G(f) T (3.69) không phụ thuộc vào số liệu Trường hợp ký hiệu liệu không độc lập, phải xác định hàm tự tương quan Rm (3.66) phải tính tốn phần p(t) Ví dụ 3.4: Xét dạng xung chữ nhật cho hình 3.15 Theo hình 3.15 ta có: T P(f) e j 2 ft 1 e j 2 fT dt j 2 f (3.70) e j fT e j fT e j fT j 2 f sin( fT ) j fT e f P(f) (3.71) t T Hình 3.15: Dạng xung chữ nhật Hoặc dạng hàm sinc(.): P(f) T sin c fT e j fT (3.72) G(f) P(f) T sin c (fT) Do vậy: Thế vào (3.69) ta có mật độ phổ công suất x(t) là: SX (f) A2 T sin c2 (fT) (3.73) Công suất phát từ (3.69): P SX (f)df A2 G(f)df T (3.74) Theo định lý Parseval’s hình 3.15 ta có: G(f)df P(f) df p2 (t)dt T (3.75) Thế vào (3.74) ta có: P A2 (3.76) Kết đơn giản xuất phát từ thực tế p(t) xung đơn vị Do vậy, a p(t kT ) k có cơng suất đơn vị Phép nhân với A (3.55) lấy tỉ lệ công suất A Với dạng xung khác quan hệ cơng suất A phải tính tốn theo kỹ Chương 3: Lấy mẫu lượng tử 67 thuật minh họa Lưu ý chuỗi số liệu {ak } q trình cơng suất (phương sai) đơn vị Ví dụ 3.5: Dạng xung mơ tả hình 3.16(a) Dạng xung p(t) biểu diễn dạng p1 (t ) p1 (t ) tích chập, p1 (t ) mơ tả hình 3.16(b) Lấy biến đổi Fourier p1 (t ) ta có: P1 (f) T T sin c 2 f e j fT / (3.77) p(t) p(t) T T t T t b) Dạng xung sở để lấy tích chập a) Dạng xung tam giác Hình 3.16: Dạng xung tam giác Vì phép tích chập miền thời gian tương đương phép nhân miền tần số, nên: P( f ) P1 (f) T T sin c 2 f (3.78) Do vậy: G(f) P(f) T2 T sinc 2 f (3.79) Thay vào (3.69) ta có: SX (f) A2 T T sin c 2 f (3.80) Kết sử dụng chương 3.5.3 Tần số lấy mẫu mô Trở lại vấn đề tần số lấy mẫu mô dạng xung cách xét SNR q trình lấy mẫu cơng suất tạp âm chồng phổ Với mục đích chọn tần số lấy mẫu cho bỏ qua lỗi chồng phổ so với suy giảm chất lượng hệ thống mơ Có thể thấy tần số lấy mẫu phụ thuộc vào dạng sóng mơ hình mơ Chương 3: Lấy mẫu lượng tử 68 Xét dạng sóng cho (3.55) có dạng xung chữ nhật minh họa hình 3.15, lấy mẫu hình 3.17 Xác định mật độ phổ cơng suất tín hiệu Trong hình 3.17, tần số lấy mẫu gấp lần tốc độ ký hiệu Mật độ phổ công suất chuỗi ký hiệu cho (3.73) Kết hợp kết với (3.18) ta có: SX (f) fs2 s A T sin c (f nf )T 2 (3.81) s n Hình 3.17: Chuỗi xung chữ nhật lấy mẫu mẫu/ký hiệu Lấy mẫu chuỗi số liệu tốc độ m mẫu ký hiệu ( fs m / T ) ta có: SX (f) fs2 s SX (f) fs2 s A T sin c 2 n nm f T T (3.82) A T sin c fT nm 2 (3.83) n Tính tỉ số tín hiệu tạp âm chồng phổ Tỉ số tín hiệu tạp âm chồng phổ (SNR)a= S/Na đó: Cơng suất tín hiệu là: fs / 2 fs / s S f A2 T sin c2 (fT)df fs2 A2 T fs / sin c2 (fT)df (3.84) Công suất tạp âm chồng phổ là: Na fs / fs / fs2 A T sin c (fT nm)df n n 0 2f A T s 2 n n0 (3.85) fs / sin c (fT nm)df Lưu ý rằng, PSD hàm chẵn tần số Cơng suất tín hiệu xác định tích phân thành phần n = (3.83) dải tần mô f f2/2 Công suất tập âm chồng phổ công suất từ tất tần số (n 0) dải tần mơ Do vậy, ta tìm tạp âm chồng phổ cách lấy tích phân tất thành phần (3.83) trừ thành phần n = Chương 3: Lấy mẫu lượng tử 69 Thấy rõ hình 3.18, vẽ với m = Hình 3.18 minh họa phần tần số dương thành phần n = (3.83) dải f fs Cho thấy, dịch phổ n 1 n = Bước trình xác định ( SNR )a , phải S N a xác định cách sử dụng thành phần n = (3.83) Các búp hàm sinc(.) có độ rộng 1/T, minh họa đánh số hình 3.18 Lưu ý với m = n = 0, búp 1,2 rơi vào khoảng < f < fs/2 thể cơng suất tín hiệu Các búp 4, rơi vào khoảng < f < fs/2 với thành phần n = thể nhiễu chồng phổ Tương tự vậy, búp 7, từ thành phần n = -1 (3.83) búp 10, 11 12 từ thành phần n = (3.83) Tiếp tục ta có: n n0 fs / sin c (fT nm)df fs / sin c (fT nm)df (3.86) Vì vậy: S (SNR)a Na fs / fs / sin c (fT)df (3.87) sin c (fT)df Bằng cách so sánh ví dụ 3.4 3.5 thấy rõ dạng hàm bị tích phân khác phụ thuộc vào dạng xung Ta thường xun tìm xem có cần thiết sử dụng tích phân số để định lượng (SNR)a Để thực điều này, trình lấy mẫu thứ hai thực biến tần số liên tục f lấy mẫu điểm f jf1 Để xác f1 1/ T nhiều mẫu lấy búp hàm sinc(.) Theo đó, lấy mẫu tần số cho phép tích phân (3.87) thay lấy tổng Để thỏa mãn f1 1/ T đặt f1 1/( kT ) k phải lớn để lỗi tích phân số nhỏ Với f jf1 f1 1/( kT ) ta có: fT j k (3.88) Chương 3: Lấy mẫu lượng tử 70 T T T 12 T n=0 n=1 6 1 10 11 12 12 11 10 7 1 f f n = -1 f f = -fs n=2 f=0 f = fs/2 f = fs f f = fs Hình 3.18: Phổ dịch chuyển phổ n = ±1 & n = ±2 Bước tính tốn tần số fs/2 theo tham số rời rạc k m Từ hình 3.18 cho thấy, với m mẫu kí hiệu, tần số fs/2 m /(2T) Vì lấy k mẫu cho khoảng tần số có độ rộng 1/ T , nên tần số tương ứng với số km/2 Sử dụng (3.88) fs/2 tương ứng km/2 (3.87) ta có: (SNR)a km / j 0 sin c j / k sin c j / k j km / (3.89) Có xấp xỉ sử dụng tích phân số để lấy xấp xỉ đến giá trị thực tích phân Chương trình Matlab để ước tính (3.89) cho file NVD3_sna.m Phụ lục 3A Lưu ý rằng, lấy 50 mẫu tần số cho búp hàm sinc(.) có tổng số 50000 mẫu tần lấy Vì vậy, tổng mẫu số (3.89) có đến 1000 bup hàm sinc(.), sau khoảng PSD cho bỏ qua Có thể kiểm tra giả thiết cách làm thí nghiệm với tham số nsamp Chạy chương trình mô NVD3_sna.m, kết minh họa 3.19 Lưu ý rằng, (SNR)a nhỏ 17 dB với m = 10 mẫu ký hiệu (SNR)a tăng m tăng Tuy nhiên, ảnh hưởng lên (SNR)a giảm m tăng Cũng lưu ý PSD tín hiệu mẫu giảm 1/f với dạng xung hình chữ nhật Ví dụ 3.5 cho thấy, PSD tín hiệu mẫu giảm 1/f với dạng Chương 3: Lấy mẫu lượng tử 71 xung hình tam giác Vì vậy, với giá trị cho trước m, giá trị (SNR)a dạng xung tam giác lớn (SNR)a dạng xung hình chữ nhật Dạng xung hình chữ nhật trường hợp tồi Trong hệ thống truyền thông thực tế, dạng xung p(t) chọn để có hiệu băng thơng u cầu Hiệu băng tần cao cho thấy phổ x (t ) cho (3.55) tập trung xung quanh thành phần f Do đó, tín hiệu có hiệu băng thơng cao cần có giá trị m nhỏ giá trị (SNR)a cho Hình 3.19: Tỉ số tín hệu tạp âm chồng phổ dạng xung chữ nhật 3.6 Điều chế xung mã PCM 3.6.1 Lượng tử hóa Ở dạng tổng qt, sơ đồ lượng tử hố phân loại thành hai loại sau: (i) sơ đồ lượng tử hố vơ hướng, lại phân thành lượng tử hóa khơng đều; (ii) sơ đồ lượng tử hoá véc tơ Trong lượng tử hố vơ hướng, đầu nguồn tin lượng tử hố riêng rẽ, lượng tử hoá véc tơ, khối đầu nguồn tin lượng tử hóa Trong lượng tử hóa đều, vùng chọn có chiều dài, cịn lượng tử hóa khơng đều, cho phép sử dụng vùng có chiều dài có chiều dài khác Ở dạng tổng qt, lượng tử hố khơng tốt lượng tử hoá Ở ta xét lượng tử hóa vơ hướng mà khơng xét cho lượng tử hóa véc tơ Trong lượng tử hố vơ hướng, dải giá trị biến ngẫu nhiên X chia thành N vùng i với i N không chồng chất nhau, gọi khoảng lượng tử hoá, vùng ta chọn điểm gọi mức lượng tử Khi đó, giá trị biến ngẫu nhiên mà rơi vào vùng i lượng tử thành mức lượng tử thứ i, ký hiệu x i Nghĩa là: x i Q(x) xˆi Trong đó: (3.90) Chương 3: Lấy mẫu lượng tử 72 xˆi i (3.91) Hiển nhiên, lượng tử hoá kiểu tạo sai số bình phương trung bình MSE E x xˆi Vì vậy, sai số lượng tử bình phương trung bình cho N D i 1 x xˆ f X (x)dx i i (3.92) sai số lấy bì nh phương lấy trung bình biến ngẫu nhiên x xi có pdf f X (x) vùng i Trong fX (x) ký hiệu cho hàm mật độ xác suất pdf biến ngẫu nhiên nguồn tin Tỷ số tín hiệu tạp âm lượng tử SQNR (Signal-to-Quantization-Noise Ratio) định nghĩa là: SQNR 10 log10 E X D , dB Lượng tử hố Trong q trình lượng tử hố đồng đều, tất vùng lượng tử hóa ngoại trừ vùng vùng cuối cùng, tức vùng 1 N có độ dài ký hiệu ; vậy: 1 , a 2 a, a a , a N (N 2), Mức lượng tử hoá tối ưu khoảng lượng tử hoá chứng minh trọng tâm khoảng đó; nghĩa xˆi E X X i x f (x)dx , f (x)dx i i X 1 i N (3.93) X Do đó, việc thiết kế lượng tử hố tương đương với việc xác định a Một a xác định, giá trị xˆi lượng méo dễ dàng xác định biểu thức (3.92) (3.93) Trong số trường hợp, đơn giản ta chọn mức lượng tử điểm vùng lượng tử, nghĩa chọn khoảng cách /2 tính từ biên vùng lượng tử Đồ thị hàm lượng tử hoá Q(x) hàm mật độ xác suất đối xứng X giá trị chẵn lẻ N thể hình 3.20 tương ứng Chương 3: Lấy mẫu lượng tử 73 Khi hàm mật độ xác suất đối xứng, toán trở nên đơn giản Trong trường hợp 1 , , i N i 1 , aN , N (3.94) a0 ai i N / aN (3.95) Trong đó: xˆ i N 1 Qx Q x xˆ7 xˆ5 xˆ a 2 a a xˆ a xˆ3 a 3 a 4 a xˆ5 x xˆ3 xˆ xˆ a 5 x a 3 xˆ1 xˆ1 a) Lượng tử hóa với N = 6, lưu ý a 2 a 4 b) Lượng tử hóa với N = 7, lưu ý xˆ Hình 3.20: Minh họa lượng tử hóa đồng Ta thấy rằng, trường hợp này, ta có tham số phải chọn để đạt méo tối thiểu Giả sử rằng, mức lượng tử đặt trọng tâm vùng lượng tử hoá, ba chương trình Matlab NVD3_centroid.m, NVD3_mse_dist.m, NVD3_uq_dist.m Phụ lục 3A thực tìm: (i) trọng tâm vùng; (ii) sai số lượng tử bình phương trung bình (MSE) cho trước phân bố biên vùng lượng tử hoá; (iii) lượng méo Để sử dụng hàm này, phân bố nguồn (phụ thuộc đến tham số) phải cho hàm Để rõ hơn, tập viết Matlab để: (i) xác định trọng tâm vùng lượng tử hóa phân bố Gausơ; (ii) xác định sai số trung bình bình phương lượng tử; (iii) khảo sát lượng tử với mức đặt điểm vùng Tất cho Phụ lục 3A 3B Lượng tử hoá khơng Trong lượng tử hố khơng đều, u cầu vùng lượng tử hoá (ngoại trừ vùng đầu cuối) có độ dài xem nhẹ, vùng lượng tử hóa có độ dài Do trường hợp việc tối ưu hoá thực với điều kiện giảm nhẹ hơn, kết Chương 3: Lấy mẫu lượng tử 74 có vượt trội rõ ràng so với lượng tử hoá Các điều kiện tối ưu này, gọi điều kiện Lloyd-Max, biểu diễn là: xf (x)dx a xˆ i1 X i f (x)dx 1 X a xˆi 1 xˆi i (3.96) Từ phương trình này, ta kết luận mức lượng tử tối ưu trọng tâm vùng lượng tử biên tối ưu vùng lượng tử điểm mức lượng tử Để có lời giải cho phương trình Lloyd-Max, ta bắt đầu với tập mức lượng tử xˆi Từ tập này, ta tìm tập biên vùng lượng tử Từ tập này, ta nhận tập mức lượng tử Quá trình tiếp tục việc cải thiện méo từ bước lặp sang bước lặp khác nhỏ Thuật toán bảo đảm hội tụ tới giá trị cực tiểu cục bộ, dạng tổng qt khó đạt giá trị tối thiểu toàn Thủ tục thiết kế lượng tử hố tối ưu trình bày file NVD3_lloydmax.m Phụ lục 3A Bài tập minh họa Matlab cho vấn đề cho Phụ lục 3A 3B 3.6.2 Điều chế xung mã với lượng tử hóa khơng Trong điều chế xung mã, tín hiệu tương tự trước hết lấy mẫu tốc độ lớn tốc độ Nyquist, sau lượng tử hóa mẫu Giả sử tín hiệu tương tự phân bố khoảng [-xmax, xmax] số mức lượng tử lớn Các mức lượng tử cách khơng cách Dưới ta khảo sát cho hai trường hợp PCM lượng tử hoá PCM lượng tử hố khơng PCM với lượng tử hố Trong trường hợp này, khoảng [-xmax, xmax] có độ dài 2xmax chia thành N khoảng nhau, khoảng có độ dài = 2xmax/N Nếu N đủ lớn, hàm mật độ xác suất tín hiệu lối vào khoảng coi phân bố đều, dẫn đến lượng méo D = 2/12 Nếu N luỹ thừa (tức N = 2v), cần có v bit để biểu diễn cho mức lượng tử Nghĩa là, độ rộng băng tín hiệu tương tự W, thực lấy mẫu tốc độ Nyquist, độ rộng băng cần thiết để truyền dẫn tín hiệu PCM tối thiểu vW (thực tế thường lấy 1,5vW) Lượng méo cho bởi: D 2 xmax xmax 12 3N v (3.97) Nếu cơng xuất tín hiệu tương tự ký hiệu X , tỉ số tín hiệu tạp âm lượng tử SQNR cho bởi: Chương 3: Lấy mẫu lượng tử 75 SQNR 3.v2 X2 v X 4v X 2 xmax xmax (3.98) Trong X tín hiệu đầu vào chuẩn hoá xác định X xX max SQNR tính theo đơn vị dB là: SQNR dB 4,8 6v X dB (3.99) Sau lượng tử hoá, mức lượng tử mã hóa v bit Phương pháp mã hố thường dùng mã nhị phân tự nhiên (NBC: Natural Binary Coding), nghĩa mức thấp ánh xạ thành chuỗi toàn bit mức cao ánh xạ thành chuỗi toàn bit Toàn mức lại ánh xạ theo thứ tự tăng dần giá trị lượng tử Hàm NVD3_u_pem.m Phụ lục 3A thực tốn này, theo nhận tham số đầu vào là: chuỗi giá trị mẫu a, số mức lượng tử hoá mong muốn; cho kết đầu là: chuỗi lượng tử hóa, chuỗi bit mã hóa, tỉ số tín hiệu tạp âm lượng tử SQNR theo đơn vị dB Ví dụ 3.6: [PCM lượng tử hố đều] Hãy tạo tín hiệu hình sin có biên độ tần số Sử dụng sơ đồ PCM lượng tử hoá để: (i) lượng tử hoá mức 16 mức; (ii) vẽ đồ thị tín hiệu gốc tín hiệu lượng tử hoá hệ toạ độ; (iii) so sánh SQNR trường hợp mức lượng tử 16 mức lượng tử Chương 3: Lấy mẫu lượng tử 76 Hình 3.21: PCM lượng tử hóa cho tín hiệu hìn sin dùng mức 16 mức lượng tử Ta chọn cách tuỳ ý thời gian tồn tín hiệu 10s (thời gian mơ phỏng) Sau đó, hàm NVD3_u_pcm.m Phụ lục 3A để tạo tín hiệu lượng tử cho hai trường hợp 16 mức lượng tử Các SQNR tính là: 18,90 dB PCM mức lượng tử hoá 25,13 dB trường hợp PCM lượng tử hóa 16 mức Chương trình mơ thực toán cho file NVD3_Sim36.m Phụ lục 3A Kết chạy chương trình cho hình 3.21 Ví dụ 3.7: PCM lượng tử hoá Hãy tạo chuỗi 500 biến ngẫu nhiên Gausơ trung bình phương sai Sử dụng hàm NVD3_u_pcm.m Phụ lục 3A để tìm SQNR số mức lượng tử hố 64 Hãy tìm giá trị chuỗi, tương ứng với giá trị lượng tử , từ mã tương ứng Chương trình Matlab NVD3_sim37.m Phụ lục 3A thực toán Khi chạy chương trình NVD3_sim37, quan trắc kết sau: SQNR = 31,66 dB Tín hiệu lối vào = [0,1775; -0,4540; 1,0683; - 2,2541; 0,5376] Các giá trị sau lượng tử = [0,1569; -0,4708; 1,0985; -2,2494; 0,5754] Chương 3: Lấy mẫu lượng tử 1 0 C¸c tõ m· 1 0 1 77 0 0 1 1 1 0 1 0 1 Lưu ý rằng, lần chạy khác chương trình cho kết khác tín hiệu đầu vào, giá trị sau lượng tử, từ mã Tuy nhiên, SQNR tính sát Ví dụ 3.8: Sai số lượng tử Từ ví dụ 3.7, vẽ đồ thị sai số lượng tử, định nghĩa khác giá trị đầu vào giá trị lượng tử hóa cho trường hợp 16, 64, 128 mức lượng tử Ngoài ra, vẽ đồ thị để khảo sát giá trị lượng tử hóa theo giá trị đầu vào (tức là, giá trị lượng tử hóa hàm giá trị đầu vào) ứng với trường hợp 16, 64 128 mức lượng tử Chương trình Matlab thực tốn cho file NVD3_sim38.m Phụ lục 3A Kết chạy chương trình cho hình 3.22 Thấy rõ từ hình 3.22 số mức lượng tử lớn sai số lượng tử nhỏ, mong đợi Ngoài cần lưu ý rằng, số mức lượng tử lớn, quan hệ tín hiệu lối vào giá trị lượng tử hố tiến tới đường thẳng có độ dốc qua gốc toạ độ; nghĩa là, tín hiệu vào/ra lượng tử hóa trở nên gần Ngược lại, số mức lượng tử hố nhỏ (chẳng hạn 16 mức) quan hệ khác xa Chương 3: Lấy mẫu lượng tử 78 Hình 3.22: Sai số lượng tử sơ đồ PCM lượng tử hóa với 16; 64; 128 mức lượng tử PCM với lượng tử hoá khơng Trong trường hợp này, trước hết cho tín hiệu đầu vào qua phần tử phi tuyến để làm giảm dải động, sau đưa vào hệ thống PCM lượng tử hố Tại đầu thu, tín hiệu lối cho qua nghịch đảo phần tử phi tuyến sử dụng phần phát Nhờ tính đối nghịch (hàm ngược nhau) mà ảnh hưởng tổng thể tương đương với hệ thống PCM có khoảng cách khơng mức lượng tử Nói chung, để truyền tín hiệu tiếng nói, đặc tính phi tuyến dùng đặc tính phi tuyến luật A luật : Đặc tính phi tuyến luật định nghĩa quan hệ: y g(x) log 1 x log 1 sign(x) (4.4.4) Trong x tín hiệu lối vào chuẩn hố ( x ), tham số, đặc tính phi tuyến luật dạng tiêu chuẩn = 255 Nghịch đảo đặc tính phi tuyến luật cho 1 x y 1 sign(y) (4.4.5) Thực thi hóa đặc tính phi tuyến luật nghịch đảo Matlab cho file NVD3_mulaw.m NVD3_invmulaw.m Phụ lục 3A Hàm NVD3_mula_pcm.m tương đương với hàm NVD3_u_pcm.m dùng sơ đồ PCM luật Chương trình Matlab cho file NVD3_mula_pcm.m Phụ lục 3A ... giảm (tăng mẫu) hay tăng (giảm mẫu) Chương 3: Lấy mẫu lượng tử 61 Phần sau, ta sử dụng Ts để thể chu kỳ lấy mẫu trước trình tăng mẫu giảm mẫu Sau tăng mẫu hay giảm mẫu chu kỳ lấy mẫu ký hiệu... hiệu lượng tử hố hệ toạ độ; (iii) so sánh SQNR trường hợp mức lượng tử 16 mức lượng tử Chương 3: Lấy mẫu lượng tử 76 Hình 3. 21: PCM lượng tử hóa cho tín hiệu hìn sin dùng mức 16 mức lượng tử Ta... 3. 3: Lấy mẫu miền tần số X s (f) Dải thông lọc khôi phục f -fs - fs/2 fs 2fs fs/2 Lỗi chồng phổ f Hình 3. 4: Tần số lấy mẫu thấp dẫn đến lỗi chồng phổ Chương 3: Lấy mẫu lượng tử 50 3. 2.2 Lấy mẫu