Luận văn thạc sĩ khoa học: Ứng dụng phương pháp tách biến giải một số lớp phương trình đạo hàm riêng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYEN TUAN ANH

UNG DUNG PHUGNG PHAP TACH BIEN

GIAI MOT SO LGP

PHƯƠNG TRINH DAO HAM RIENG

LUAN VAN THAC SI TOAN HOC

Hà Nội - 2012

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYEN TUAN ANH

UNG DUNG PHUGNG PHAP TACH BIEN

Mục lục

Chương 1 |Kiến thức chuẩn bị| 4

Các loại phương trình đạo hàm riêng

mm ——— 6mm :1.4 |Các định lí về tính duy nhất của nghiệm| 121.1.

1.5.|Phương trình sóng một chiều: Phương pháp tách biến| 16

Chương 2.|Phương trình đạo hàm đông hai h 20

2.1.|Bài toán giá trị riêng của phép biến đổi Laplace 22

32.|Phương tình Laplace on 0010001101111 05

2.3.|Phương trình sống|L nhe 382.4.|Phương trình nhiệt

aM eee beeeee te neeeetteteeetteeeeeeteees 64

Tai Liệu Tham Khao

LỜI MỞ ĐẦU

Phương pháp tách biến là một trong những phương pháp quan trọng để

giải bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính Ñó đã được sửdụng trong suốt thế kỷ qua, và ngày nay vẫn là một phương pháp rất quantrọng và được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực Bằng việc sử dụng phương

pháp tách biến kết hợp với nguyên lý chồng chất nghiệm và khai triển hàmtheo hệ cơ sở trực giao, ta có thể giải quyết một số lớp các phương trình đạo

hàm riêng tuyến tính không thuần nhất.

Mục tiêu của luân văn này là tìm hiểu và trình bày lại các kết quả về

việc áp dụng phương pháp tách biến vào việc giải một số phương trình đạohàm riêng tuyến tính không thuần nhất trong không gian hai chiều.

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia

thành hai chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trình bày một số phương trình đạo hàm

riêng, kiến thức cơ bản của chuỗi Fourier, hàm Bessel sẽ sử dụng trong chương

sau, các định lí duy nhất nghiệm và giới thiệu về phương pháp tách biến.

Chương 2: Phương trình đạo hàm riêng hai chiều Sử dụng phương pháp

tách biến và hàm riêng để tìm nghiệm của phương trình sóng, phương trình

nhiệt và phương trình Laplace trên hình chữ nhật, hình tròn.

Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS.Lê Huy Chuẩn.

Thầy đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn em trong quá trình hoàn thành

luận văn này Nhân dịp này em xin gửi lời cảm ơn của mình tời toàn bộ các

thầy cô giáo trong khoa Toán-Cơ-Tin hoc đã giảng dạy và giúp đỡ chúng emtrong suốt quá trình học tập tại khoa.

Đồng thời, tôi xin cảm ơn các bạn trong lớp Cao học khóa 2010-2012

chuyên nghành Toán, khoa Toán-Cơ- Tin học đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trongquá trình học tập tại lớp.

Hà nội, ngàu 26 tháng 11 năm 2012

Học viên

Nguyễn Tuấn Anh

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Các loại phương trình đạo hàm riêng

Phương trình đạo hàm riêng với an là hàm w(#1,#a, ,„) với các biến

#1,#a, ,„ độc lập, có dạng

Ou Ou Duk that tkn

ee, oe, N— guỀn ) = 0,

trong đó F là một hàm của các đối số trên Cấp cao nhất dao hàm riêng của

u, có mặt trong phương trình, được gọi là cấp của phương trình Phương

trình đạo hàm riêng được gọi là tuyến tính, nếu F tuyến tính đối với ẩn hàm

và tất cả đạo hàm riêng của nó.

Xét phương trình cấp hai của hàm hai biến

ru Ou Oru

az.) a3 + b8: 9) say + c(z, 9) ap + ƒ(,1, uy, Uy) = 0 (1.1.1)

Xét một điểm (xo, yo) cố định Phương trình (1.1.1) tại điểm (x0, yo) được

gọi là thuộc loại ellip nếu như tại điểm đó b? — ac < 0, thuộc loại hypecbônnếu như tại điểm đó b? — ac > 0, thuộc loại parabôn nếu như tại điểm đó

b2 — ac = 0 Nếu phương trình (1.1.1) tại mọi điểm trong một miền G đều

4

thuộc cùng một loại thì ta nói rằng phương trình ấy thuộc loại đó trong miền

Bằng phép đổi biến ta có thể đưa phương trình loại ellip, hypecbôn, và

parabôn về các dạng chính tắc.

1 Dạng chính tắc của loại ellip là

Ure + Uyy = O(x, Y, U, Ur, Uy):

2 Dang chính tắc của loại hypecbôn là

Une — Uyy = ®(Z,1,u,u„, Uy) hoặc u„y = ®(Z,9,u, uy, Uy).

3 Dạng chính tắc của loại parabôn là

Ura = O(2, Y, U, Uz, Uy):

Một số phương trình đạo hàm riêng trong vật ly và ki thuật: Phương trình

chúng thuộc loại hypecbôn Phương trình nhiệt một chiều

và phương trình nhiệt hai chiều

và phương trình Poisson hai chiều

62u Ô°?u

Ore + aye = f(x,y),

chúng thuộc loại ellip.

Dinh lí 1.1 ([5| Tr 106] Nguyên lý chồng chất) Nếu uị vd ug là nghiệm của

phương trành đạo hàm riêng tuyến tính thuần nhất, thà bất kỳ tổ hợp tuyến

tính wu = cqu + caua, trong đó cy va cg là hằng số, cững là một nghiệm.Ngoài ra nếu tị va ug thỏa man một điều kiện biên tuyến tính thuần nhất,

thì u = cu + caua cũng sẽ thỏa man.

1.2 Chuỗi Fourier

Định nghĩa 1.1 (Hàm liên tục từng khúc) Một hàm số f được gọi là liên

tục từng khúc trên đoạn [a,b] nếu ƒ(œ*) va f(b~) ton tại, va f là xác định

va liên tục trên (a,b) trừ một số hữu hạn điểm mà tại đó giới han trút va

giới hạn phải tồn tại Một hàm tuần hoàn được gọi là liên tục từng khúc nếunó liên tục từng khúc trên moi đoạn [a,b] bat ki.

Định nghĩa 1.2 (Ham trơn từng khúc) Một hàm ƒ, xác định trên đoạn[a,b], được gọi là trơn từng khúc nếu f va ƒ' là liên tục từng khúc trên [o, b|.Một hàm tuần hoàn là trơn từng khúc nếu nó là trơn từng khúc trên mọi

đoạn [a, 6).

Định lí 1.2 ([ð| Tr 30] Biểu diễn chuỗi Fourier) Giá sở rằng ƒ là một ham

tuần hoàn uới chu kỳ 2m trơn từng khúc Thi uới mọi x chúng ta có

1 Tổ

đụ = Ƒ(œ)cosnzd+z (n = 1,2, ), (1.2.3)1 [*

bạ = — f(x)sinnadr (n = 1,2, ) (1.2.4)T — Ti

Đặc biệt, nếu f là trơn từng khúc va liên tục tại x, thi

f(x) = ag + À (dạ cosnx + b, sin nz) (1.2.5)

Nhận xét 1.1 Các hệ số a„,b„ Fourier của f có thể tinh theo công thúc

sau nhờ tính chất của hầm tuần hoàn

Dinh li 1.3 ([ð| Tr 39] Biểu diễn chuỗi Fourier: chu kỳ tùy ý) Giả sử ƒ

là ham tuần hoàn chu ki 2p, trơn từng khúc Chuỗi Fourier của ham f đượccho bởi

ag + So (an cos ma + bp, Sin —*) (1.2.6)

Chéi Fourier hội tụ tới f(x) nếu f liên tục tại x va hội tụ tới Haji)

néu khéng lién tuc tai x.

Dinh lí 1.4 ([ð| Tr 43] Khai triển chan và khai triển lẻ) Gid sử f(x) là

ham trơn từng khúc xác định trên khoảng 0 <a <p Thi f có chuỗi cos mở

Trên khoảng 0 < x < p, chuỗi (1.2.7) va (1.2.9) hoi tụ tới fafa")

Định lí 1.5 ([7| Tr 178] Khai triển chuỗi Fourier sin kép) Cho f(a, y) là

một liên tục trên miền K = {(x,y)|0 < z# < a,0 < < b}, tới các đạo hamriêng fx va fy bị chặn, dong thời các dao hàm riêng fx, fy, fry liên tục Khi

đó chúng ta có thể khai triển f(x,y) thành chuỗi Fourier sin kép như sau

CO CO nt

= mn Sin — —# sin —y, 1.2.11

16) S3 YB sin asin Ey (1.2.11

trong đó hệ số chuỗi Fourier sin kép Bmn được cho bởi

-4/f f(x,y) sin“~*esin S"ydedy.

1.3 Ham Bessel

Phuong trinh Bessel bac p > 0 la

a2" + ay’ + (a? —p*)y=0, «>0, (1.3.1)

8

Một nghiệm của phương trình Bessel là

Hàm Y, độc lập tuyến tính với Jp được gọi là Ham Bessel bậc p tht hai Dac

biệt, hàm Bessel thứ hai không bị chặn gần 0.

Ham Bessel J, có vô số không điểm dương Chúng ta kí hiệu các khôngđiểm theo thứ tự tăng dần

Ú < Api < Ap2 <-': < Api < +:

Do đó ap; được gọi là không điểm dương thứ j của Jp Chúng ta được các

J(“Plr), j=1,2/8 (1.3.5)Để đơn giản kí hiệu, ta đặt

dog = PE, ¬= (1.3.6)

Như vay Ap; là giá trị không điểm dương thứ n của J, bi thu nhỏ bởi mộtđại lượng không đổi 4

Định lí 1.6 (3| Tr 252] Tính trực giao của ham Bessel đối với một mm

Với p> 0 oàa >0 Cho Jp(Apjx) (7 = 1,2, ) như trong (1.3.5) va

Dinh lí 1.7 ((3) Tr 253] Chuỗi Bessel bậc p) Nếu f là trơn từng khúc trên

(0, a], thà ƒ có một khai triển chuỗi Bessel bậc p trên khoảng (0,a) được cho

trong đó Xp1,Ap2,.- là các không di ém thu hẹp của ham Bessel Jp cho bởi

(1.3.6), va

A; j “272 = aR(x Ồan) NI Pa) Jp(Apja)ade (1.3.9)

Các số A; được gọi là hệ số Bessel-Fourier thú j của hàm f Trên khoảng

(0,a), chuỗi hội tụ tới f(a) khả f liên tục va tới Sa" + Fle") nếu gián đoạn

tại điểm đó.

Dinh lí 1.8 (ÍB| Tr 255] Dạng tham số của phương trình Bessel) Cho

p>0, ø>0, tà cho dp; biểu thị không điểm dương thú j của Jp(x) Với

j = 1,2, , ham J,(“24x) là nghiệm của phương trành Bessel bậc p

dạng tham số,

r°"(w) + sự/(w) + (AÊz® ~ p®)y(a) = 0, (1.3.10)

cùng uới điều kiện biên

(0) hữu han, y(a) =0, (1.3.11)

khi À = Apj = TL, va chúng là nghiệm duy nhất cua (1.3.10) — (1.3.11), tra

ra các bội v6 hướng Hơn thế nữa, các nghiệm thỏa mãn (1.3.7) va (1.3.8) va

như vay chúng trực giao trên đoạn [0,a| đối lượng ham x.

10

và được gọi là ham Bessel chỉnh sửa bậc p thú nhất Dễ dàng chỉ ra được

ham Bessel chỉnh sửa bậc p thỏa mãn phương trình Bessel chỉnh sửa bậc p

ay” + ay! — (œ2 + p”)y = 0 (1.3.13)

Ham Bessel chỉnh sửa thứ nhất dương và đồng biến trên miền x > 0.

Kz(ø) = = —[I-p(œ) ~ Iy(s)| (1.3.14)sin pr

cũng là thỏa mãn của phương trình Bessel chỉnh sửa, và độc lập tuyến tinhvới l„ Hàm này được gọi là ham Bessel chỉnh sửa thứ hai Đặc biệt ham

Bessel chỉnh sửa thứ hai không bị chặn gần 0.

Định lí 1.9 ([ö| Tr 232] Khai triển chuỗi kép Fourier-Bessel) Cho ham

f(r,0) xác định liên tục trên U < r <a 0à < 8 < 2m, tới các đạo ham

riêng f, va fg bi chặn, đồng thời các đạo hàm riêng ƒ,, fo, fra liên tục Khi

đó f(r,0) có thể khai triển thành chuỗi như sau

đựyy = —ø——————— r,8) cosrn8 Jm(Amnr)rdédr,ma? J, 11 (Amn) [ 0 /ứ9) ( )2 a 327

bmn = apa | r,8) sinrn8 Im (Amnr)rdédr,T427 1(Qmn) 0 Jo Hr.) ( )

UỚI Tn, 1? =1,2,

11

1.4 Các định lí về tính duy nhất của nghiệm

Định lí 1.10 ([2| Tr 90] Phương trình Laplace) Giả sử Q là một miễn

giới nội uới biên S trơn từng mảnh va f(P) là một ham liên tục cho trước

trên S.

Giả sử hàm u(P) điều hòa trong Q, liên tục trong miền đóng QUS tà tai

biên S giá trị của ham wu trùng uới hàm f(P) Khi đó u(P) được xác định

một cách duy nhất trên QU S.

Chứng minh Gia sử bài toán có hai nghiệm là u+(P) và ua(P) Đặt v(P) =

ui(P) — u2(P), thì v là hàm điều hòa, liên tục trong miền đóng NUS và

0|s = 0 Theo nguyên lý cực đại trên biên, ta có v(P) = 0 trong 2, do đóu1(P) = ua(P) trong 2.

Dinh lí 1.11 ([2| Tr 72] Công thức Green) Gid sử Q là một miễn giới nội

trong R?, giới hạn bởi biên S trơn từng manh, TÈ là vécto pháp tuyến trong

của S Giả sử u(x,y), v(x, 1) là hai ham bat ki có dao hàm riêng cấp hai liên

tục trong © va các đạo hàm riêng cấp một liên tục trong miền đóng QU S.

Ching ta có công thúc Green như sau

OuØu Oudv Ov

[fvdvdeay / (5 dx Ì Oy m dody + [ w5Pds =0,

Chúng ta xét bài toán truyền nhiệt Giả sử Q C R? là một miền giới nội,

ta kí hiệu V = {(z,ø,£) | (z,) € ©,£ > 0}, tìm nghiệm u(z, y,t) của phương

Ou › 93u

Ot = sat a + f(x,y, t), (x, y, t) EV, (1.4.1)

với điều kiện ban đầu

u(z,,0) =w(z,), (z,u)c©, (1.4.2)

và điều kiện biên

u(œ,1,f) = H(œ,U,t), (œ,u)€ S,t>0, (1.4.3)12

trong đó S là biên của Â.

Định lí 1.12 ([2| Tr 351] Phương trình nhiệt) Giá sử u(x, y,t) là nghiệm

của bài toán (1.4.1) — (1.4.3) sao cho nó khả vi liên tục hai lần đối tới (x,y),

một lần đối vdi t trên V Khi đó nghiệm u(x,y,t) được xác định một cáchduy nhất trên V.

Chứng minh Dé tiện cho việc trình bày, chúng ta xét a = 1 Để chứng minh

định lí ta chứng minh rằng nếu 1(z,,f), ua(z,,#) là hai nghiệm bất kỳ

của (1.4.1) — (1.4.3) thì hiệu

u(x, Y, t) = ui (2, Ù;› t) _ tua (2, Ù; t) =0

trong V Thực vay, hiệu u(a,y,t) thỏa mãn:

Ou Ou Ô°ubên (Sa aa (z,y,t) € V, (1.4.4)

u(x, , 0) — 0, (x,y) € Q, (1.4.5)

u(z,y,t)=0, (z,)€ S.t>0, (1.4.6)

Gọi t là một giá trị sao cho t > 0 Xét tích phân:

I(t) = / | (uz + u2) drdy.

Dao ham theo £ tích phân phụ thuộc tham số t ta có

Ou, Ou =Ouz Ou

I'(t) =2 — ứ) [Gest eH) trụ— + —— | drdy.

Ap dung công thức Green ta được

Mặt khác từ (1.4.5) suy ra uz(z,1,0) = uy(z,y,0) = 0,(z,) € Q, do đó

I(0) = 0, và nhận thấy rang I(t) > 0 Như vậy I(t) = 0, V > 0, hay

Ou Ou Ou =

dr Oy Oh (z,y,t) EV.Vay u(x, y,t) = 0 trên V.

Xét bài toán truyền sóng Giả sử Q C R? là một miền giới nội, ta ki hiệu

V = {(2,y,t) | (œ,) € ©,t > 0}, tìm nghiệm u(z, ,£) của phương trình

Ou (Pu ou

op 7% (Sa + it) + f(x,y,t), (x,y,t) eV, (1.4.7)

với điều kiện ban đầu

trong đó S là biên của ©.

Dinh lí 1.13 (2| Tr 294] Phương trình sóng) Giá sử u(+,,£) là nghiệm

của bài toán (1.4.7) — (1.4.10) sao cho nó va các dao ham riêng của nó cho

tới cấp hai liên tục trên V Khi đó nghiệm u(x, y,t) được xác định một cáchduy nhất trên V.

Chứng minh Để tiện cho việc trình bày, chúng ta xét a = 1 Để chứng minh

định lí ta chứng minh rằng nếu 4(z,,f), ua(z,,#) là hai nghiệm bất kỳ

của — thì hiệu

u(x, y,t) = trị (2, y, t) ~~ u2(z, 9, t) =0

14

trong V Thực vậy, hiệu u(a,y,t) thỏa man:

¬ =ú 'l + ct): (x,y,t) € V, (1.4.11)

u(z,,0)=0, (z,y)c۩, (1.4.12)

5.9.0) =0, (my) € 2, (1.4.13)

u(z,y,t)=0, (z,)€ S.t>0, (1.4.14)

Gọi £ là một giá trị sao cho t > 0 Xét tích phân:

= II (uf + uz + uz) dady.

Dao ham theo £ tích phân phụ thuộc tham số t ta có

ry => ff 6ˆu Ou 4 2 Ou Out Ou dvdy.

Mặt khác từ (1.4.13) suy ra uz(z,,0) = uy(z,,0) = 0, (x,y) € 9, kết hợp

với (1.4.12) ta được 7(0) = 0 Như vậy I(t) = 0, Vt > 0, hay

Ou Ou Ou =

dc Oy Oh (x,y, t) EV.

Vay u(x,y,t) = 0 trên V.

15

Ậ 8

u(x Ũ} = fix)

0 L

Hình 1.1: Hình dạng ban đầu của dây bi kéo ra, (+, 0).

1.5 Phương trình sóng một chiều: Phương pháp

tách biến

Giả sử một đoạn dây đàn hồi được kéo dài trên trục thực với các đầu

mút được gắn chặt tại z = Ö vax = L (Hình |L) Cho u(a;t) biểu thị vị trí

tại thời điểm ¢ của điểm x trên dây Thế thì u(a;t) thỏa mãn phương trình

sóng một chiều

Pu > O7u

Dé tìm u(z;t) Chúng ta sẽ giải phương trình với điều kiện biên

u(0;f)=0 và u(L;t)=0 với mọi £>0, (1.5.2)

và điều kiện ban đầu

u(z,0)= f(x) và 5.0) = g(x) với 0<a<L (1.5.3)

Điều kiện biên là trạng thái ở hai đầu dây bị giữ chặt trong mọi thời

điểm.Trong điều kiện ban đầu cho hình dáng ban đầu của dây là f(a) và vận

tốc ban đầu là ø(z).

Chúng ta sẽ giải bài toán bằng phương pháp tách biến Để làm nổi bật ý

tưởng của phương pháp này chúng ta chia ra làm ba bước cơ bản.

16

Bước 1: Tách biến trong (1.5.1) va (1.5.2)

Ta tim nghiệm khác không của (1.5.1) có dạng

u(a;t) = X(x)T(t), (1.5.4)trong đó X (a) là ham chỉ phụ thuộc vào x va T(t) chi phụ thuộc vào t Bài

toán bây giờ là tìm X và 7' nên đơn giản hơn Lấy vi phân (1.5.4) đối với x

trong đó k là một hằng số không đổi tùy ý được gọi là hằng số tách Chúng

ta viết lại các phương trình tách ra như hai phương trình vi phân thông

X”-kX=0 (1.5.6)và

Nếu X(0) # 0 hoặc X(L) 4 0, thi T(t) = 0 với mọi t > 0, và như vậy, từ

(1.5.4), u đồng nhất không Để tránh nghiệm tầm thường, ta xét

X(0)=0 và X(L)=0.

Như vậy chúng ta đi đến bài toán giá trị biên trong X:

X”“-kX=0, X(0)=0vàX(L) =0.

Bước 2: Giải các phương trình độc lập

Nếu k dương, lấy k = 2 với > 0, lúc này phương trình ẩn X trở thànhX”—ku?X =0,

với nghiệm tổng quát

X(#) = c¡ cosh pax + ca sinh px

Do X(0) =0 va X(L) = 0, kéo theo X = 0 Nhu vậy, trường hợp k > 0 cho

nghiệm tầm thường.

Khi k = 0, phương trình vi phân rút gọn thành X” = 0 với nghiệm tổng

quát X(#) = c¡z + ca Chỉ có một khả năng duy nhất thỏa mãn điều kiện

biên của X đó là cy = co = 0, một lần nữa dan đến nghiệm tầm thường

u = 0 Khả năng cuối cùng cần kiểm tra là

Điều kiện X(0) = 0 kéo theo cy = 0, và do đó X = casinz Điều kiện

Chú ý rằng giá trị âm của n chúng ta nhận được nghiệm như nhau ngoại trừ

sự thay đổi về dấu; do đó các nghiệm tương ứng với các n âm có thể bỏ đi.

Bây giờ chúng ta quay trở lại (1.5.7) va thé k = —p? = — (22)? ta được

nT 2

T"+ (cM) T= 0.+ỊC T

Nghiệm tổng quát của phương trình này là

Tạ = bn cos Ant + bạ sin Ant,

trong đó ta có tap

Kết hợp nghiệm X và T mô tả bởi (1.5.4), ta thu được tập vô han nghiệmtích của (1.5.1), thỏa mãn tat cả các điều kiện biên (1.5.2):

Un(x,t) = sin (ba cos À„Ý + b7 sinA,t), m = 1,2,

Các nghiệm trên còn được gọi là các nghiệm cơ bản của phương trình truyềnsóng Vì tất cả các nghiệm trên đều thỏa mãn phương trình tuyến tính đồng

nhất (1.5.1) và điều kiện biên (1.5.2), theo nguyên lý cộng nghiệm, mọi tổ

19

hợp tuyến tính cũng sẽ thỏa mãn (1.5.1) và (1.5.2) Tuy nhién khong kho dé

thấy rang nói chung, một sự kết hợp tuyến tính như vậy có thé không thỏa

mãn các điều kiện ban đầu (1.5.3) Vì vậy, thúc đẩy bởi nguyên lý chồng

chất, coi tổ hợp tuyến tính "vd cing”

=3 nh Fex(bn cos À„Ý + b7 sin Apt)

như là một nghiệm của bài toán giá trị biên (1.5.1) — (1.5.3).

Bước 3: Chuỗi Fourier nghiệm của toàn bộ bài toán

Để giải quyết vấn đề một cách trọn vẹn Chúng ta cần phải xác định rõcác hệ số chưa biết b„ và bX để hàm u(x;t) thỏa mãn điều kiện ban đầu

(1.5.3) Bắt đầu với điều kiện thứ nhất trong (1.5.3), tại thời điểm ban đầu

t = 0 thay vào chuỗi vô hạn u, ta được

u(z,0) = f(x) = À ` bn sin —#, O0<a<L.

Giả sử rang f(z) có khai triển Fourier, chuỗi về phải ở trên là chuỗi khai

triển sin của ƒ Các hệ số b„ là các hệ số của sin Theo định lí (1.4):

=f f(a )sin ede, m=1,2,

Tương tự, ta xác định b„ từ điều kiện ban đầu thứ hai trong (1.5.3) Dao

hàm riêng chuỗi u theo biến t, và thay t = 0, ta được

Ta đã xác định được tất cả các hệ số trong chuỗi đại diện cho nghiệm u Tatóm tắt lai kết quả như sau.

Kết quả 1.1 Nghiệm của phương trành truyền sóng một chiều

2 2

eee 0<a<L,t>0,

uới điều kiện biên

u(0;t)=0 va u(L;t)=0 uới mọi t >0

va điều kiện ban đầu

u(œ,0) = f(x) va S0) = g(x) vi0<a<L,

(giả thiết thêm rang f, g có thể khai triển thành chuỗi Fourier va thỏa mãn

điều kiện tương thích f(0) = ƒ(L) = g(0) = g(L) = 0)

Chương 2

Phương trình đạo hàmriêng hai chiều

2.1 Bài toán giá trị riêng của phép biến đổi

với điều kiện biên

u(z,0)=0, u(z,b)=0Ú với 0O<a<a,

u(0,)=0, ,u(a,)=0 với O<y<b.

22

Giả sử ø(z,) = X(x)Y(y) thay vào (2.1.1), tách biến, và sử dụng điều kiện

biên, chúng ta nhận được các phương trình

X "+, X=0, X(0)=X(ø)=0, (2.1.3)

Y”“+u°Y =0, Y(0)=Y(b) =0, (2.1.4)

trong đó p? + 02 =k.

Nghiệm của phương trình (2.1.3) là X = c; cos pa + ca sin px Thế vào

điều kiện biên của X suy racy = 0, = lm = ==, m=1,2, , và do đó

X„„(%) = sin ““z, m = 1,2,

Hoàn toàn tương tự với phương trình (2.1.4), ta nhận được

U=Un = + Yn (y) = sin y; n=1,2,

Nhu vậy chúng ta nhận được nghiệm của (2.1.1)-(2.1.2) có dạng

k — 7 m> on? — „THỊ TTmn = TH 3 + be ; Umn = S11 a sin ae

trong đó m,n = 1,2, Chúng ta tóm tắt lai kết qua như sau.

Kết quả 2.1 Giá tri riêng của bài toán (2.1.1) — (2.1.2) là

me n2

k= Ra =m (+), m = 1,2, ,n = 1,2, (2.1.5)

Mỗi giá trị riêng kmn tương ứng hàm riêng

sin “ “zsin “y (2.1.6)

với điều kiện biên

o(a,6)=0, << 2m (2.1.8)

Giải quyết bài toán này có nghĩa là xác định giá trị của k (giá trị riêng) dé

có nghiệm không tầm thường và tìm các nghiệm không tầm thường đó (hoặc

nghiệm riêng).

Giả sử d(r, 0) = R(r)Ð(0) thay vào (2.1.7), tách biến, va sử dung © tuần

hoàn chu kỳ 2z, chúng ta dẫn đến các phương trình

©”“+m?”© =0, m=0,1,2, , (2.1.9)

r?R" +rR + (kr? —m?)R=0, R(a) = 0 (2.1.10)

Nghiệm của phương trình là

cosmé, va sinmé, m=0,1,2,

Nếu k < 0, phương trình trở thành phương trình Bessel chỉnh sửa

bậc m, và có thé chỉ ra rằng trong trường hợp nghiệm bị chặn và R(a) = 0chỉ có thể là nghiệm tầm thường Vậy chúng ta xét k > 0 và trở

thành phương trình Bessel bậc m dạng tham biến Theo Dinh 1[1.8} nghiém

không tầm thường của là bội hằng số của J„„(A„„z), đó là nghiệm

tương ứng với giá trị riêng k = À2 „ Chúng ta có được kết quả như sau.

Kết quả 2.2 Giá trị riêng của bài toán (2.1.7) — (2.1.8) là

cosmO Jm(Amnr) va sinm8 J„m(Àm„r) (2.1.12)

(Chú ¥ rằng voi m = 1,2, chúng ta có hai ham riêng khác biệt cho một

giá trị riêng.)

24

Nói cách khác, nếu ở„„(?,Ø) = cosmO J„(A„„r) hoặc @„„(r,Ø) =

sinm@ J„(À„„ur) thì Admn = —À2„Ómø Và Ómø„ (6, 0) = 0.

2.2 Phương trình Laplace

2.2.1 Phương trình Laplace trên hình chữ nhật

Bài toán 2.2.1 (Phương trình Laplace trên hình chữ nhật) Chúng ta xem

xét phương trình

Ou du

—+ = = 2.2.1a2 ` Dye 0, O<a<a, O0<y<b ( )

Phương trình này được gọi là Phương trinh Laplace hai biến Trong phan

này, chúng ta giải (2.2.1) khi u là xác định trên biên của hình chữ nhật Dé

rõ hơn, chúng ta thiết lập điều kiện biên Dirichlet

u(œ,0)= fi(z), u(z,b)= fo(x), O<a<a,u(0,y)=gily), u(a,U) =9) 0<<b,

được minh họa trong Hình|2.1|

Hình 2.1: Bài toán Dirichlet tổng quát trên một hình chữ nhật.

Một bài toán bao gồm phương trình Laplace trên một miền phẳng cùng

với giá tri xác định trên biên được gọi là bai toán Dirichlet Như vậy bài toánchúng ta vừa nêu là bài toán Dirichlet trên một hình chữ nhật Trước khi đi

25

vào bài toán tổng quát đầy đủ, chúng ta sẽ bắt đầu giải quyết trong trường

hợp đặc biệt khi ƒ+,ø¡ va go bằng không.

Giải quyết bài toán biên được mô tả trong Hinh|2.2|bing sử dung phương

pháp tách biến Chúng ta bắt đầu tìm nghiệm tích u(x, y) = X(z)Y(ø) Thế

uc, b} = Fại x)

Hình 2.2: Bài toán Dirichlet trên hình chữ nhật.

vào và sử dụng phương pháp tách, chúng ta đi đến các phương trìnhX"+kX=0, Y”-kY=(0,

trong đó k là hằng số tách, với điều kiện biên

X(0)=0, X(a)=0, và Y(0)=0.

Đối với bài toán biên ẩn X, dễ dàng kiểm tra với giá trị k < 0 chỉ cho

nghiệm tầm thường Đối với k = p? > 0, chúng ta nhận được nghiệm X =

c¡ cos x + ca sin wx Thế vào điều kiện biên của X suy ra c, = 0,

[= [ln = —, n=1,2,a

và do đó

X„(&) = sina, n = 1,2,

Thay vào Y với k = p?, chúng ta tim được Y„() = An cosh unyt+By sinh pny.

Cho Y(0) = 0, ta được A, = 0, va do đó

Y, = By sinh pny.

26

Như vậy chúng ta tìm được các nghiệm tích

nT NT

Un(x,y) = By, sin —z sinh —y.

a a

Giả sử nghiệm tổng quát có dang

=o sin “"rsinh my: (2.2.2)

Giả sử rang fo có thể khai triển thành chuỗi Fourier, dé thỏa mãn điều kiện

cuối cùng này, chúng ta chọn hệ số B, sinh ##Ở là hệ số Fourier sin của fo

trên khoảng 0 < z < a Như vay theo định r3] phần [1.2| ta có

By, = asinh 2 [ fo(x) sin "ede, n=1,2, (2.2.3)

asinh 7

Nghiệm của bai toán Dirichlet mô ta trong Hình|2.2| được cho bởi (2.2.2) vớihệ số xác định bởi (2.2.3).

Bây giờ chúng ta quay trở lại bài toán tổng quát mô tả trong Hình |2.1|

Đường lối là chia bài toán ban đầu thành bốn bài toán nhỏ, như mô tả bởi

Hình [2.3]

Goi uj, U2, U3, uạ là nghiệm của các bài toán nhỏ 1,2,3,4, tương ứng Bằngtính toán trực tiếp, chúng ta thấy rằng hàm

+ = tị + Ug + UZ + U4

là nghiệm bài toán ban đầu cho trong Hình Như vậy chúng ta chỉ cần

xác định uz, ua, ua, us Hàm ue đã được tìm ra trong phần trên Chúng ta có

27

Hình 2.3: Tinh chất tuyến tính được sử dung chia bai toán Dirichlet thành

"tổng" bốn bài toán Dirichlet đơn giản.

trong đó

2 ` :

B„= ae | fo(a )sin —_adz (2.2.4)

Cac nghiệm khác được tìm tương tự Đặc biệt, wz là như uạ ngoại trừ a va

b là đổi chỗ cho nhau, cũng vậy với z và Như vậy

-> D„ sinh Se sin Sy.trong đó

Nghiệm wu, va ug tìm tương tự Chúng ta có

Cn = 5 "Tri gy) sin — vy y (2.2.7)

Chúng ta đã hoàn thành việc giải quyết bài toán Dirichlet trong Hình

Chúng ta tóm tắt kết quả như sau.

Kết quả 2.3 Nghiệm của bài toán Dirichlet hai chiều trong Hành |2 1 là

- = (2.2.8)

vên sinh (a x) sin y 2 Pn sinh “sin Fy

trong đó các hệ số An, Bn,Cn, va D„ được xác định bởi (2.2.4) — (2.2.7).

Bài toán 2.2.2 (Phương trình Poisson trên hình chữ nhật: Phương phấphàm riêng) Tìm nghiệm của phương trình Poisson

Au = 2u , Ou _ f(t,y), O<a<a, 0<y<b (2.2.9)— Ax Oy? —_ ;Ù)› 1, y , a

với điều kiện biên

u(z,0)=0, u(#,b)=0 với 0O<a<a,

u(0,y)=0, u(a,y)=0 với 0<<b.

Loi giải Chúng ta xét nghiệm có dang

_ mn TT

trong đó Em là hằng số cần xác định Chúng ta dé dang kiểm tra u thỏa

mãn điều kiện biên Như chúng ta đã biết các ham sin ““z:sin Sty là hàm

riêng của biến đổi Laplace trên hình chữ nhật, với giá trị riêng tương ứng là

Am =m? (T5 + Be) m=1,2, ,n=1,2,

29

Thế u vào phương trình (2.2.9), chúng ta nhận được

co co

S SẺ -BuuAon ĐỂ vn My = fe.a

Day là một khai triển chuỗi Fourier sin kép của f(x,y) (Dinh [L2] ), chúng

ta kết luận rằng

mn = Ty ff [ f(x,y) sin — zsin —ydedy.

Bài toán 2.2.3 (Bài toán hỗn hợp tổng quát) Tim nghiệm của phương

ui Ou

Au= ng + op J9): 0<a<a, 0<%<b,thỏa mãn điều kiện biên

u(œ,0)= fi(z), u(z,b) = j(ø), 0<z<«a,

u(0,y)=gily), u(a,u) =ø(0) 0<<b,

giả thiết rằng các hàm ƒ,ƒ›.ø,ø› khai triển được thành chuỗi Fourier,f(x,y) khai triển được thành chuỗi Fourier kép và thỏa mãn các điều kiện

tương thích fi (a) = g2(0), ø2(b) = ƒ2(4) ƒ2(0) = 91 (0), 91(0) = fi(0).

Lời giải Nghiệm của bài toán hỗn hợp tổng quát là

với điều kiện biên

u(z,0) =#cos2z, u(z,m) =sinz, Ú<#ø<”,u(0,) =sin3y, u(m,U)—=7a—, <<.

Loi giải Nghiệm của bài toán là

và w là nghiệm của bài toán

C3 = Sahar Cn=0, n #3;

2 7 —2

D,, = ————— — | dy = ——————.7 sinh mãi Œ— y) sin nydy nsinh na

Bài