Phuong trình truyền sóng
Giới thiệu về phương trình truyền sóng
Đầu tiên, ta xét hai ví dụ sau đây về hiện tượng lan truyền sóng trong không gian, cụ thể là về sự dao động trên một sợi dây (trường hợp một chiều) và sự dao động của màng (trường hợp hai chiều), tương ứng với đó ta sẽ có các dạng của phương trình truyền sóng. a Phương trình dao động của dây
Xét một sợi dây căng thang theo chiều trục Ox Bằng một cách nào đó, ta làm sợi dây dao động và xem xét quy luật dao động của sợi dây ấy.
Ta chỉ xét những dao động ngang của sợi dây, tức là giả thiết khi dao động, các phan tử vật chất của sợi dây chuyển động thắng góc với trục Ox Độ lệch của các phần tử vật chất so với vi trí cân bằng được ký hiệu là u Rõ ràng u là một hàm phụ thuộc thời gian và hoành độ của phần tử vật chất ấy, tức là u=u(z,t).
Ta đã biết rằng, với một số giả thiết ly tưởng thì phương trình dao động của dây có dạng
Pu Pu ple) y= TSS + ve, 0) (1.3) trong đó p(x) là ti trọng dai của sợi dây (mật độ phân bố vật chất theo chiều đài), 7 là lực căng của sợi dây và do định luật Hooke thì T là một hằng số, p(z, £) là ngoại lực tác động vào dây.
Nếu sợi dõy đồng chất, khụng cú ngoại lực tỏc động thỡ ứ = const và p(z,Ê) = 0. Khi đó phương trình (1.3) được viết lại dưới dạng
Phương trình (1.4) có vô số nghiệm Vì vay, để xác định được nghiệm ta cần ấn định thêm các điều kiện ban đầu hoặc các điều kiện biên. b Phương trình dao động của màng
Xét một màng mỏng, khi cân bằng nằm trong mặt phẳng rOy Bằng một cách nào đó ta cũng làm màng dao động và xem xét quy luật dao động của màng.
Ta cũng giả thiết màng dao động ngang va độ lệch của điểm 4⁄/(z,) trong mặt phẳng ôOy trờn màng ký hiệu là u Rừ ràng u=u(x,y,t).
Tương tự như vi dụ trong phan a, với các giả thiết lý tưởng, ta thu được phương trình dao động của màng
Ou Ou Ou ot? = TU — Oy?
0(Z, U) ) + p(z, , 1), (1.5) trong đú ứ(z,ứ) là tỉ trọng của màng (mật độ phõn bố vật chất theo diện tớch mặt), 7 là suất căng của màng và ứ(z, g,f) là ngoại lực tỏc dụng.
Nếu mang là đồng chat, khụng cú ngoại lực tỏc động thỡ ứ = const , p(z, y, t) 0 Khi đó phương trình (1.5) được viết lại dưới dạng thuần nhất
Pu Pu ; Ou _ „2 a2 — * (5? am ), (1.6) trong đó a= t.
Cũng như phương trình (1.4), phương trình (1.6) cũng có vô số nghiệm, nên để xác định quy luật dao động của màng ta cần bổ sung các điều kiện như điều kiện biên, điều kiện ban đầu
Nhiều quy luật vật lý, cơ học cũng đưa đến phương trình tương tự như (1.4) và (1.6) Chẳng hạn, quy luật chuyển động dọc của một thanh đàn hồi đồng chất cũng biểu diễn bởi (1.4), trong đó u(x,t) là độ lệch của phần tử dao động của thanh so với vị trí cân bằng z, z là hoành độ của phần tử ấy Quy luật dao động nhỏ của chất khí lý tưởng với một số giả thiết vật lý xác định trong hiện tượng truyền âm biểu diễn bởi phương trình
Ot? ỉz2 ` Oy2 ` ễz2”' =d?( (17) trong đó (z,g,z) là tọa độ của phần tử khí, u(z,,z,£) là độ lệch áp suất khí ở điểm (x,y,z) tại thời điểm t, so với áp suất lúc bình thường tại (z, y, z).
Những phương trình (1.4), (1.6), (1.7) thường được gọi là phương trinh truyền sóng Hệ số a trong các phương trình ấy là vận tốc truyền sóng Theo định nghĩa về phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 thì phương trình truyền sóng thuộc loại phương trình parabol Trong phần tiếp theo ta sẽ đi xây dựng công thức nghiệm cho phương trình truyền sóng.
Công thức biểu diễn nghiệm của bài toán Cauchy đối với phương trình truyền sóng
trình truyền sóng Để đơn giản cho việc trình bày, trong phần này ta chỉ xét phương trình truyền sóng thuần nhất trong trường hợp một chiều (1.4) hay còn gọi là bài toán Cauchy đối với phương trình dây rung tự do
2B — tạp (1.4) với điều kiện ban đầu và vận tốc ban đầu lần lượt xác định bởi u(z,0) = f(z), —0 < #< +o, (1.8) uz(x, 0) = g(x), —œ < # < +00 (1.9) Để xây dựng công thức nghiệm cho bài toán hỗn hợp (1.4) — (1.8) — (1.9) ta sẽ sử dụng hai cách khác nhau, cụ thể là
Cách 1 Dùng phương pháp đổi biến
Ta dùng phép đổi biến
€=z_—-df, ị —=z+df, khi đó ta thu được
Thay các dao hàm riêng này vào phương trình sóng (1.4) ta có
Tu đây ta nhận được u = F(€) + G(n), trong đó F là hàm tùy ý chỉ phụ thuộc £, G là hàm tùy ý chỉ phụ thuộc n Đồng thời F,G phải là hàm khả vi hai lần.
Trở lại biến ban đầu, phương trình sóng có nghiệm u(x,t) = F(a — at) + G(x + at).
Tại thời điểm t = 0, nghiệm của phương trình truyền sóng thỏa mãn các điều kiện ban đầu (1.8) và (1.9) nên
F(a) + Gữ) = ƒ(), lôi lôi an.) ay G(a) = g(x).
Do đó, nghiệm của phương trình sóng với điều kiện ban dau đã biết là ứ-+at u(z,t) = si/(z + a£) + f(x — a£)| + ni g(y)dy.
Công thức nghiệm trên được gọi là công thức D’Alembert.
Tiếp theo, ta sẽ xây dựng công thức nghiệm cho phương trình truyền sóng bằng phương pháp tách biến.
Cách 2 Sử dụng phương pháp tách biến
Bây giờ, ta tìm nghiệm không tầm thường (tức là nghiệm khác không) của phương trình sóng (1.4) dưới dạng tách biến u(œ,£) = X(z)T(), trong đó X(z) là hàm chỉ phụ thuộc vào z, 7) là hàm chỉ phụ thuộc vào ¿ Khi đó thay nghiệm vào phương trình (1.4) ta có
Ta thấy về phải của phương trình không phụ thuộc vào z, về trái không phụ thuộc vào £ nên rõ ràng phải có một hằng số \ nào đó thỏa mãn
T"(t) _ X"(x) _ 4 a?T() X(ax) , từ đó ta đi đến bài toán tìm giá trị \ va ham riêng X(z),7() thỏa man
Giả sử rằng sợi dây được gắn cố định tại điểm đầu z = 0 và điểm cuối z = L, tức là ta có các điều kiện biên u(0,t) = X(0)T(t) = 0, t>0, (1.11) u(L,t) = X(L)T(t) = 0, t>0 (1.12)
Kết hợp điều này với phương trình thứ hai của (1.10) ta nhận được bài toán giá trị ban đầu đối với phương trình vi phân cấp hai
Ta phân biệt các trường hợp sau đây
1.A 0 Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (1.13) là
X(x) = ƠcosVAz + Dsin vAz, CƠ, D là các hằng số thỏa mãn điều kiện ban đầu
Dé (1.13) có nghiệm không tầm thường thì D 4 0 và khi đó sin VAL = 0= VAL = ne.
Do đó ta nhận được các giá tri riêng À thỏa mãn
Tuong ứng ta có các ham riêng X (x) nT
Tom lại ta thu được day các giá trị riêng A, và hệ các ham riêng X„(z) của bài toán (1.10) có dang
Thay ngược trở lai giá trị của A vừa nhận được vào phương trình đầu tiên an
T(t) của hệ (1.10) ta nhận được phương trình vi phân cấp hai nen
Giải phương trình trên ta thu được nghiệm tổng quát
Tr(t) = Ep cos —! + F,, sin at, En, Fn là hằng số.
Như vậy các hàm X(z) và T(t) được xác định như sau
Xp(x) = Dnsin =z, (1.44) T(t) = En cos "Ft + Eạ sin "Ft, n=1,2,3
Từ đó các nghiệm riêng up,(x,t) thu được dưới dang
Un (x,t) = Xn(w)Ty(t) = (An cos —! + B, sin st) sin nT
VỚI Án = DynEn, By = DnFn-
Những nghiệm nay đều thỏa món (1.4) với điều kiện biờn ứ(0,#) = u(L, t) = 0.
Dộ thấy rằng, nếu wu và v là cỏc nghiệm của (1.4) thi au+ đu với a, ỉ là cỏc hằng số thực cũng là nghiệm của (1.4) Vì thế, bây giờ, ta hãy xây dựng một cách hình thức chuỗi u(z,t) = À (A› cos —! + By sin at) sin ar (1.15) n=1
Ta sẽ đi tìm các điều kiện sao cho hàm u(z, t) xác định bởi chuỗi (1.15) là nghiệm đúng của bài toán.
Trước tiên, để ý rằng chuỗi bên phải là chuỗi hàm vô hạn nên câu hỏi về sự hội tụ của chuỗi hàm sẽ được đặt ra đầu tiên.
Tiếp theo, các hệ số 4„, By, cần được xác định theo một cách nào đó để (1.15) là nghiệm đúng của bài toán (1.4) và thỏa mãn các điều kiện ban đầu (1.8) và
Tam thời giả sử rang cỏc hệ số 4„, ử„ đó được xỏc định sao cho (1.15) là nghiệm đúng của bài toán Khi đó thay (1.15) vào điều kiện ban đầu u(z,0) = f(x) ta có À ` Ansin “r= f(z) (1.16)
Xét tại điều kiện u;(x,0) = g(x), giả sử chuỗi (1.15) có thể dao ham từng số hạng thì ta nhận được
Nhu vậy, bài toán có nghiệm thì nghiệm đó phải được biểu diễn dưới dạng chuỗi
(1.15), ở đó A„, B, được xác định bởi (1.16) và (1.17) Vậy câu hỏi đặt ra ở đây là
Bài toán 1.1 Cho ham số f(x) xác định trên đoạn |0, L].
Với điều kiện nào của hàm số f(x) thà ta có các hệ số An sao cho
Với điều kiện nào của hàm số g(x) thi ta có các hệ số By sao cho
Day chính là câu hỏi mở đầu cho việc nghiên cứu giải tích Fourier, từ đó đưa đến các ứng dụng của giải tích Fourier trong việc giải các lớp phương trình đạo hàm riêng khác nhau, chẳng hạn như phương trình truyền nhiệt và phương trình truyền sóng mà luận văn sẽ tập trung nghiên cứu Trong các phần tiếp theo của luận văn ta sẽ đưa ra các điều kiện chính xác để bài toán trên được nghiệm
Tuy nhiên, các hệ số A, có thể được dự đoán qua một cách đánh giá đơn giản như sau Đầu tiên, từ biểu thức xác định A,
Nhân hai về của phương trình với sin 4x rồi lấy tích phan từ 0 đến L ta thu được
[© f(x) sin “ede = = [ (~~ A, sin Tz) sin ede n=l
Kết quả trên có được là do Ủng mm 0 neu m # n, sin —z sin da =
Như vậy, ta có thể dự đoán được
Bang lập luận tương tự ta cũng dự đoán được
2 TH L Đạ =—— g(x) sin ——# (1.20) nna Jo L
Trong phần tiếp theo, khi xây dựng công thức nghiệm cho phương trình truyền nhiệt bằng phương pháp tách biến ta cũng thấy xuất hiện câu hỏi tương tự như
Phương trình truyền nhiệt
Giới thiệu về phương trình truyền nhiệt
Xét một vật thể rắn mà nhiệt độ của nó tại điểm (z,,z) vào tại thời điểm £ là một hàm ứ(z,,z) Nếu cỏc phần tử của vật thể cú nhiệt độ khỏc nhau, thỡ bên trong vật thể có sự trao đổi nhiệt lượng từ phần nóng (có nhiệt độ cao hơn) sang phần lạnh hơn (có nhiệt độ thấp hơn).
Giả sử vật thể được coi là đẳng hướng, tức là tại một điểm (z,ứ,z) xỏc định thì nhiệt truyền theo phương nào cũng như nhau Nói cách khác đi, hệ số truyền nhiệt & chỉ phụ thuộc vào (z,, z) không phụ thuộc vào các hướng Khi đó quy luật truyền nhiệt được cho bởi
+(%, , z)p(%, 9, 2% —= k(#, Đ, 2(8 + of + mm) + F(z,0,z, t), (1.21) trong đó k(z,,z), y(2,y, 2), e(a,y, z) lần lượt là hệ số truyền nhiệt, nhiệt dung và tỉ khối của vật thể tai (z,,z) F(x,y,z,t) là mật độ nguồn nhiệt trong vật thể tại (x,y, z) ở thời thời điểm £ (nhiệt lượng tỏa ra hay mất đi trong một đơn vị thể tích và đơn vị thời gian).
Nếu vật thể là đồng chất, tức là +, ứ,k là cỏc hằng số và trong vật thể khụng có nguồn nhiệt Ƒ(z,,z,£) = 0 thì (1.21) có dạng
Ou Oru ; Pu ; Oru, ot 0z? ` Oy? 0z3” =4 (1.22)
Hơn nữa, nếu nhiệt độ chỉ phụ thuộc z,,£ vi dụ xét sự trao đổi nhiệt trong một bản phẳng mỏng thì (1.22) có dạng
Nếu nhiệt độ chỉ phụ thuộc vào z, chang hạn xét sự truyền nhiệt trong một thanh thẳng, nhỏ thì (1.22) có dang du — sỉ°u Trong hai trường hợp này ta cần giả sử là không có sự trao đổi nhiệt giữa bản
(1.23) mỏng hay thanh nhỏ với môi trường xung quanh Cũng tương tự như phương trình dao động của dây và của màng, muốn xác định quy luật truyền nhiệt trong vật thể thì ngoài phương trình (1.21) ta cần bổ sung thêm các điều kiện đầu tại t = 0 hoặc các điều kiện biên Theo phân loại, phương trình nhiệt thuộc loại phương trình parabol Dưới đây ta sẽ xây dựng công thức nghiệm cho phương trình truyền nhiệt trong các điều kiện biên, điều kiện ban đầu cụ thể.
Công thức biểu diễn nghiệm của bài toán Cauchy đối với phương trình truyền nhiệt
Xét phương trình truyền nhiệt trong thanh đồng chất
15 thỏa mãn điều kiện ban đầu u(x,0) = f(z), O0 0 thỏa mãn
16 thì bài toán (1.28) có nghiệm không tầm thường
Với các giá trị riêng của \, được xác định như (1.29), phương trình thứ nhất trong hệ (1.27) có nghiệm tương ứng là
Do đó phương trình (1.24) thỏa mãn điều kiện biên (1.26) có các nghiệm riêng dạng nhe )2‡ _ TT
Un(a,t) = Cre OE) * sin T3 với Œ„ là hằng số tùy ý Tương tự như đối với phương trình truyền sóng, ta xây dựng hình thức chuỗi œ le.S) u(z,t) = S— un(2,t) = So Cpe Et sin Gr, n=1,2,3, (1.30) n=1 n=1 và đi xác định các hệ số C,, sao cho chuỗi đã cho là nghiệm của bài toán truyền nhiệt Rõ ràng, ham u(x,t) xác định bởi chuỗi (1.30) thỏa mãn điều kiện biên (1.26) do từng hạng thức của chuỗi thỏa mãn điều kiện đó Bây giờ ta áp dụng điều kiện ban đầu tại t = 0 cho ham u(z, t), ta được u(x,0) = SoCn sin ao = f(z) (1.31) n=1 Đến đây dẫn đến câu hỏi tương tự như Bài toán 1.1 trong phan xây dựng công thức nghiệm cho phương trình truyền sóng.
Trong phần tiếp theo ta sẽ xét tới trạng thái ổn định của phương trình truyền nhiệt, từ đó dẫn đến phương trình Laplace khi nhiệt độ của môi trường ổn định.
Giới thiệu về phương trình Laplace
Công thức biểu diễn nghiệm cho phương trình Laplace
Xét đến phương trình Laplace trong hình tron đơn vị, bán kính r = 1, trong trường hợp tổng quát với hình tròn bán kính r bất kỳ ta xét tương tự Xét hình tròn đơn vị trong mặt phẳng
D ={(2,y) € R?: 2? +2 < 1}, biên của hình tròn D là đường tròn đơn vị C = {(z,) € R? : z? + y2 = 1} Trong hệ tọa độ cực (7,0) với 0 0, phương trình (1.36) có nghiệm tổng quát
Như vậy G() tuần hoàn với chu kì 2z nếu
Thay giá trị \ = n? vào phương trình thứ hai trong hệ (1.35) ta được r?P”+rƑ! —n?F = 0 (1.39)
Với n =0, ứng với giá trị \ =0 thi (1.39) có dạng rF" + F’=0, và phương trình nay có nghiệm tổng quát
Fo(r)=Co+Dolnr, Cpo,Do là các hằng số tùy ý.
Với \ = n?, trong đó n # 0 thi ta xét rˆF"(r) +rF{r) — n?F = 0 (1.39) Đây là phương trình vi phân cấp hai dạng Euler thừa nhận nghiệm riêng dạng
F(r) =r", với / là hằng số, thay nghiệm riêng này lên phương trình (1.39) ta được rule — rk? + rr} — nr! =0 6 = +n, tức là
Như vậy phương trình (1.39) có hai nghiệm riêng là r” và r~” nên nghiệm tổng quát nó có dang
Tứ) = Cụr”" + Dạr—”, (1.40) với Œ„, D„ là các hằng số tùy ý.
Vậy phương trình Laplace thừa nhận các nghiệm riêng
(Cnr + Dur~")(Aeosnỉ + Bsinnộ) nếu ứ #0.
Tuy nhiên các hàm u,(r,) là các hàm tuần hoàn trong hình tròn, nên liên tục tại r = 0 Vì thế trong (1.41) hệ số Do của nr và C, của r~” phải triệt tiêu.
Tóm lại, các nghiệm riêng có dạng
VỚI ag = AoC, an = AnCn, bn = BrCn.
Tương tự như trong cách xây dựng phương trình truyền sóng và truyền nhiệt ta xây dựng một cách hình thức chuỗi le.S) le.S) u(r, 0) = ằ Un(r, 0) = ag + ằ ?”(am cos n8 + bp, sỡn n9) (1.43) n=0 n=1
Va đi xác định các hệ số ap, va b„ sao cho chuỗi (1.43) thực sự là nghiệm của bài toán (1.34).
Ta tam giả thiết rằng các hệ số an, b„ được chon sao cho chuỗi (1.43) hội tụ và tổng của nó là một hàm điều hòa liên tục trong hình tròn 0 < z < 1 Ta tìm nghiệm của bài toán (1.34) dưới dạng
IS) ioe} u(r, 0) = ằ tra(r,ỉ) = dạ + ằ rTM (dn cos n9 + bạ sin n8). n=0 n=1
Thay vào điều kiện biên ta được
CO u{1,ỉ) = ao + ằ cos 0ỉ + bạ sin nỉ) = ƒ(8) (1.44) n=1
Sử dung công thức Euler e# = cosz + isinz, ta có thể viết (1.44) dưới dạng phức như sau oe Sài ein + c?na ca _ ca f(@) = u(1,9) = 2 {am coxng + bn sinnx) = 2-(tn 5 + bn 3 ) n= n=
Co - bn, ene bn, emz
= a0 + J lon I) + (an = FT n= ϡ h ioe) b ent b e (Ne
= 06+ en IT ton HVS n= n= e ina
ON nhi on GID n= n=—0o oo h —1
Tương tự thì nghiệm của bài toán dưới dạng tách biến có thể viết dưới dạng phức như sau oo u(r, 0) = ằ annie, n=—0o
Như vậy, khi xây dựng công thức nghiệm cho bài toán truyền sóng và truyền nhiệt, ta dẫn đến câu hỏi sau
Bài toán 1.2 Cho ƒ là ham số bat ky, uới điều kiện nào thà tồn tại các hệ số
Gn, by sao cho oo +00 f(x) = ao + ằ cosnx + bạ sinnx) = ằ ene” (1.45) n=1 „=—®
Hơn nữa, nếu hàm số ƒ có thể được uiết dưới dạng (1.43) thà uới điều kiện nào của ham f thi chuỗi bên vé phải của (1.43) hội tụ, trong trường hợp chuỗi nay hội tụ thi mối liên quan giữa tổng của chuỗi va hàm f là như thế nào?
Các câu hỏi này dẫn đến các khái niệm về chuỗi Fourier và khai triển dưới dạng chuỗi Fourier của một hàm số cho trước mà ta sẽ giới thiệu ở Chương 2. Trong chương này ta cũng sẽ đưa ra các tính chất cơ bản của chuỗi Fourier cũng như nghiên cứu sự hội tụ của nó.
Chu6oi Fourier và các tính chat cơ bản
Phần mở đầu của chương này chúng ta sẽ giới thiệu định nghĩa của chuỗi
Fourier và khai trién hàm thành chuỗi Fourier.
Chuỗi Fourier và khai triển hàm thành chuỗi Fourier
Xét chuỗi ham đã được chỉ ra trong Chương 1
› Cpe” = › Cpe = (ay sin nx + bp cos nz) (2.1) n=—0o neZ n=0 và gọi chuỗi ham có dang ở về phải (2.1) là chuỗi ham lượng giác.
Gia sử rằng chuỗi hàm lượng giác (2.1) hội tụ đều trên [—z,z] và
Nhân cả hai về của (2.2) với e~”“# với m là một số nguyên khác không, sau đó lấy tích phân hai về ta được
/ ƒ(œ)e~”"*đd„ = / ằ Cpe ei dy = / So ene de.
Giả sử ta có thé lay tích phân từng số hạng trên đoạn [—z, z], và sử dụng dang thức
Các hệ số c, xác định như trên được gọi là hệ số Fourier của ham ƒ. Định nghĩa 2.1 ([3]) Cho f(x) là ham số tuần hoàn uới chu kỳ 2m va khả tích trên đoạn [—1, mì Khi đó các hệ số được định nghĩa bởi f(n) = x je dr, neZ, (2.3) ậ 1 được gọi là hệ số Fourier của ham f(x) Chuỗi ham
Ti=—©© được gọi là chuỗi Fourier của ham f(z).
Thông thường ta kí hiệu hệ số Fourier của f(n) là cy và viết chuỗi Fourier của hàm ƒ(z) dưới dạng
Nếu chuỗi Fourier của hàm f hội tụ về đúng ham f(x) thì ta viết
Trong trường hợp tổng quát, nếu ƒ : [a,b] —> C và là hàm tuần hoàn với chu ki
L=b-— 0, —TL n=1 cho n tiến ra vô cùng ta thu được (2.24).
Nhận xét 2.2 Công thúc Bessel cho thấu rằng đối uới hàm bình phương khả tích thà chuỗi az N oO 2
2 + Dale an + bs) hột tu.
Dinh lý 2.10 Nếu ƒ là ham liên tục trên đoạn [—1, | va f(r) = ƒ(—”) thà các hệ số Fourier ao, a1, an,1, ,bn của ƒ thỏa mãn đẳng thức Parseval sau đâu
Chứng minh Ta biết rằng hệ các hàm lượng giác là đầy đủ theo nghĩa xấp xỉ toàn phương trung bình đối với tap các hàm liên tục trên đoạn |[—z,7z| và f(x) = ƒ(—z), cho nên với mỗi e > 0, tồn tại đa thức lượng giác T(x) thỏa man
'Theo định lý trên ta có
+ f (ne) = Sw(neoPars * f r) — T)Paz f (xo) khí N — oo. Để chứng minh định lý ta áp dụng bổ đề sau
Bồ đề 2.4 (Bổ dé Riemann - Lebesgue) Nếu f khả tích trên |0,2m] va ƒ(0) = f (2m) thà f(n) + 0 khi n — co hay
(z)sin(Nz)dz +0 khi N — co,
(x) cos(Na)dx +0 khi N — có.
—ƒƑf{zo) nếu £=0. nếu Ê#0 và |t| < ứ,
Ta cú Sy(/)(œo) = (f * DA)(ứo), với Dy là nhõn Dirichlet Vỡ vậy
Sw()(00) ~ fle) = #— là ˆ flag — Dx (tat = fe)
_ => xp — t) — f(xo)|Dy(t)at vn t)tDn(t)
1DN() = = 7 a 0((N+1/2)) = = 7 ay SUN 0081/2) i 7g cost) sin(t/2)
SN()(œo) — f(x) = = / - roe sin(N#) + tế [ ˆ F(feos(NH).
Theo cách đặt F(t) là hàm khả tích nên áp dụng định lý Riemann - Lebesgue cho các hàm #'()f a Tội, F(t)t thi
Phuong trình truyền sóng 2 0.0 ee 53
Bài toán dao động của sợi dây với điều kiện biên Dirichlet 53
Bài toán 3.1 Bai toán thuần nhất
Tìm nghiệm của phương trình
TỶ Ú0 Thật vậy, dat m0 =3 [fe (62) + (0) Je
Vì 0(z,£) khả vi liên tục hai lần nên ta có thể lấy vi phan E(t)
0 Ox Oxdt — ôt OE? dv Pv „0u ỉuar pov 020
-[ a ae + [aS Fe - fo oe
Vi v(0,t) = 0 nên 2 (0,t) = = 0 với £ > 0 và 0(L,£) = 0 nên 2 (L, t) =0 với >0.
Mặt khác ey aoe ý =0 nên an Ot
Do vay E(t) = C với t > 0 va C là hằng số bất ki Lai do ứ(z,0) = 0 nờn
=0, védit>0. Điều này dẫn đến E(t) = 0 với mọi t > 0 Theo công thức xác định E(t) thì điều nay chỉ xảy ra khi
Từ đó, 0(z,£) = const, sử dụng điều kiện v(z,0) = 0 ta có 0(z,£) = 0 Vậy uỊ(z,£) = ua(z,f) hay bài toán (3.1), (3.2), (3.3), (3.4), (3.5) có nghiệm duy nhất.
Bây giờ ta sẽ tìm nghiệm không tầm thường của bài toán dưới dạng tách biến Như trong Chương 1 đã trình bày ta chỉ ra bài toán có nghiệm hình thức biểu diễn dưới dạng chuỗi
CO u(a,t) = ằ cos et + By sin T9 sin ae, (3.6) n=1
Ta sẽ đi xác định các điều kiện của các hệ số A„, By để ham u(z,t) xác định bởi chuỗi (3.6) thực sự là nghiệm của bài toán.
Diéu kiện (3.2) cho ta u(x, 0) = ằ Ay sin —dz = ƒŒ') (3.7)
Nếu chuỗi (3.6) có thé dao hàm từng số hang thi từ (3.3) ta có
Giả sử f(x), g(x) thừa nhận khai triển thành chuỗi Fourier theo sin +, tức là khai triển lẻ
Khi đó các hệ số An, By lần lượt là hệ số Fourier của ham f(x) va g(x) được xác định bởi
Ta sẽ đi tỡm điều kiện của hàm ƒ(z),ứ(z) để cho chuỗi (3.6) với cỏc hệ số xỏc định như (3.9), (3.10) thực sự là nghiệm của bài toán Các điều kiện có thể được liệt kê như sau
Trước hết, để tổng u(x,t) xác định bởi (3.6) thỏa mãn điều kiện (3.2), (3.4), (3.5) ta cần chứng minh lần lượt œ œ lim Un(x,t) = lim n(x, t), ô0 làng n=1 lim › U 3 lim up(x, £), œ tL „ rl " n=1 n=1 lim › tun(#, t) = > Him Un(2, Ê) œ t>0 t0 n=1 n=1
Hay ta chi cần chứng minh chuỗi (3.6) hội tụ đều Ta thay rằng
Nhu vậy theo dấu hiệu Weierstrass ta cần chứng minh sự hội tụ của chuỗi le)
Dé tổng (3.6) có thé đạo ham từng hang thức và thỏa mãn điều kiện (3.3) ta cần chứng minh chuỗi
ee n=1 œo na ( nT nT _ nt ằ Ap sin T at + By cos T at) sin —2 n=l dau
L L hội tụ đều va cũng do hiệu Weierstrass ta chỉ cần chứng minh sự hội tụ của chuỗi se À n(|Aa| + |Bnl)- (3.12) n=1
Cuối cùng, muốn tong u(x,t) của (3.6) thỏa mãn (3.1) ta chi cần (3.6) có thể đạo hàm từng hạng thức hai lần theo z, hai lần theo £, do đó ta cần chỉ ra sự hội tụ đều của hai chuối
=- } Sn? ( CO n?( An COS at + By sin at) sin OT n=1 L
=— (=) Son ?(Au cos NHI, + B„sin ue at) sin OT L — L L L
Vi vậy, ta cần chỉ ra sự hội tu của chuỗi
Như vậy, ta cần chỉ ra sự hội tụ của chuỗi (3.11), (3.12), (3.13) Tuy nhiên, ta thấy n*(\An| + |Bnl) > n(|Anl + |Bul) = LAa| + |Bn| nên theo dấu hiệu so sánh ta chỉ cần chỉ ra sự hội tụ của chuỗi (3.13) Ta sẽ chỉ ra rằng
Dinh lý 3.2 Giả sử f(x) vd g(x) thỏa mãn các điều kiện sau
1 f(x) có đạo hàm liên tục đến cấp 2 trong |0, L Dao ham f(x) tồn tại khả vi từng khúc trên |0, L] va f(0) = F(Z) =0, f"(0) = f"(L) = 0.
2 Ham g(x) kha vi liên tục trong [0,L] có g(x) liên tục từng khúc trong (0, L] thỏa man g(0) = g(L) = 0.
Khi đó, bai toán (3.1), (3.2), (3.3), (3.4), (3.5) có nghiệm cho dưới dạng chuối (3.6).
Chứng minh Như đã phan tích ở trên, để chứng minh định lý ta chỉ cần chỉ ra sự hội tụ đều của chuỗi
Son? (\An| + |Bạ|), (3.13) n=1 trong đó Ay, B, lần lượt xác định bởi (3.9) và (3.10)
Muốn cho (3.13) hội tụ, ta chỉ cần chỉ ra các chuỗi oo love)
So n?|An| va `n?|Bạ| n=1 n=1 hội tụ.
Ta có, theo (3.9) ơ" f(x )sin de, n=1,2,
Tích phan từng phan lan thứ nhất của tích phan về phải ta được
An = : fe) cos Han Ị [ Ha) cos ma rds} L L
= ị f' (x) cos re, do giả thiết f(L) = ƒ(0) =0.
Tích phan từng phan lần thứ hai ta được
An = - lf (x) — sin -—# ọ i f (x) — sin pr = "mm
Tích phan từng phan lần thứ ba ta được
An = (nz? nay C08 ~ zdzƑ”(œ fof fe ( ~ cos fede
= Trap i f(x) cos pide, do giả thiết ƒ”(0) = ƒ”(L) = 0 Vay
An = Ga) a 7 ứ)eo L vda = (=) nl nỗ , trong đó a, là hệ số Fourier trong khai triển chin của hàm ƒ”“(z) trên [0, 7].
Tích phan từng phan lần thứ nhất của tích phan về phải ta được
By, = g(x) — cos mv + g'(x)— cos mods nm L 0 0 nt L do giả thiết g(L) = g(0) = 0.
Tích phân từng phần lần thứ hai ta được
Bn = lo") — sin “| — | g'(x)— sin a nds] (nax)2a nt L nT L 0 0
= ohn trong đú 6, là hệ số Fourier trong khai triển lẻ của hàm ứ”(z).
Tóm lại với các giả thiết của định lý ta thu được c c An Bn
(|An| + Bal) =n? (lanl + S131) < ơ(PP| + el), œ) n n trong đú C = max{C},C2} Ta chỳ ý rang ap, ỉ„ là cỏc hệ số Fourier của ham ƒ“{z) va g”(z) nên theo đẳng thức Parseval ta có chuỗi Š>|œ„|? và )>|„|2 hội tụ theo dấu hiệu so sánh Từ đó theo bất dang thức Cauchy
R a ty của cỏc chuối > lanl và xơl#l tỏ 4 ta nhận được sự hội tụ của các chuỗi 3)“ và 3“, Kết hợp với (*) ta thu được sự hội tụ của chuỗi
So n?(\An| + |Bnl); n=1 hay định ly được chứng minh Ta thay, từ Dinh lý 3.2 ta có thể xây dung cong thức nghiệm của bai toán (3.1) dưới dang chuỗi (3.6) với các hệ số 4„, By lần lượt là các hệ số Fourier của hàm f và g Sau đây ta sẽ đưa ra ví dụ cụ thể
Ví dụ 3.1 Tim nghiém bài toán mm 0> HN (naa) aT = nn sin Te Xe L/S, Ox — Ox? œ5 CO
Ou Oun ra? nT nna)? Bao TE Da Cam sin ~ = Cyn? sin —ax xe (1, n=1 n=1
Ta lấy số 7 > 0 tùy ý Khi đó, với t > r > 0, ta có
|Can” sin T+zxe CT Yt < |Ogn2e—(E)”z, (3.62) (ưa
77 hội tụ với mọi số p theo tiêu chuẩn D’Alembert, kết hợp với tính hội tụ của ằ - n=1 nên ta thu được sự hội tụ đều của chuỗi (3.62).
Như vậy định lý đã được chứng minh. chuỗi
Ví dụ 3.4 Tim nghiệm của bài toán
) là hàm lẻ nên hệ số Fourier của f(a) là
= ——2rcosnxr +— sinn#d# — ——( — x) cosnz —— cos nxdx nt 0 nt Jo nt x/2 mT Jay
= cos sin cos sin n 2 nex 2 on 2 nen 2
Vay bài toán trên có nghiệm
Co 4 nt a, u(x,t) = › n„ sin —e ““ sin nx. in 2 n=
Bài toán 3.5 Bai toán không thuần nhất
Tim nghiệm của phương trành truyền nhiệt không thuần nhất
2= d? + ƒ(.1) O
