Luận văn thạc sĩ Toán học: Ứng dụng chuỗi Fourier trong phương trình truyền nhiệt và truyền sóng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYEN THỊ ĐÔNG

UNG DỤNG CHUOI FOURIER TRONG PHƯƠNG TRÌNH

TRUYÊN NHIỆT VÀ TRUYÊN SÓNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYEN THỊ ĐÔNG

UNG DỤNG CHUOI FOURIER TRONG PHƯƠNG TRÌNH

TRUYÊN NHIỆT VÀ TRUYÊN SÓNG

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS TS NGUYEN MINH TUAN

Hà Nội - 2014

1.2.2 Công thức biểu diễn nghiệm của bài toán Cauchy đối với

phương trình truyền sóng 91.3 Phương trình truyền nhiệt 141.3.1 Giới thiệu về phương trình truyền nhiệt 14

1.3.2 Công thức biểu diễn nghiệm của bài toán Cauchy đối với

phương trình truyền nhiệt - 15

1.4 Phương trình Laplace 0 0 2.0000 0040 17

1.41 Giới thiệu về phương trình Laplace 17

1.4.2 Công thức biểu diễn nghiệm cho phương trình Laplace

trong hình tròn đơn vi 2 2.0.00 00004 18

2 Chuỗi Fourier và các tính chat cơ bản 232.1 Chuỗi Fourier và khai triển hàm thành chuỗi Fourier 23

2.2 Tính duy nhất và sự hội tụ đều của chuỗi Fourier 29

2.3 Sự hội tụ điểm của chuỗi Fourier 35

2.3.1 Tích chập TQ 35

2.3.2 Nhân tốt, nhân Dirichlet, nhân Fejer và nhân Poisson 35

2.3.3 Sự hội tụ của chuỗi Fourier theo nghĩa bình phương kha

2.3.4 Nguyên lý địa phương và hiện tượng Gibbs 47

3 Ứng dụng của chuỗi Fourier vào phương trình truyền sóng và

truyền nhiệt 53

3.1 Phuong trình truyền sóng 2 0.0 ee 53

3.1.1 Bài toán dao động của sợi dây với điều kiện biên Dirichlet 53

3.1.2 Bài toán dao động của sợi dây với điều kiện biên Neumann 673.2 Phương trình truyền nhiệt 71

3.21 Bài toán Dirichlet trên diadon vi 71

Mở dau

Giải tích Fourier là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của Toán

học nói chung và của ngành Giải tích nói riêng Lý thuyết này được khởi đầu từnhững yêu cầu của thực tế và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau

như: Vật lý, Cơ học, Số học, Xử lý tín hiệu, Mật mã, Âm học, Hải dương học,

Quang học, Hình học Hiện nay giải tích Fourier vẫn là một trong những lĩnh

vực lớn của Toán học được nhiều người quan tâm.

Luận văn này đề cập đến lý thuyết chuỗi Fourier và ứng dung của nó trong

việc giải quyết một lớp những phương trình đạo hàm riêng cổ điển, cụ thể là

phương trình truyền nhiệt và phương trình truyền sóng.

Bồ cục luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh mục

tài liệu tham khảo.

Chương một nhắc lại những kiến thức mở đầu về phương trình vi phân đạohàm riêng Giới thiệu về phương trình truyền nhiệt, truyền sóng và phương trình

Laplace, đây là các phương trình tiêu biểu cho lớp phương trình đạo hàm riêngcổ điển thường gặp trong thực tế Trình bày phương pháp tách biến để tìm

nghiệm của các phương trình đó, từ đó dẫn đến những vấn đề mở đầu về việc

hình thành và nghiên cứu giải tích Fourier.

Chương hai trình bày lý thuyết chuỗi Fourier bao gồm khái niệm chuỗi và đưa

ra một số định lý quan trọng liên quan đến sự hội tụ đều và sự hội tụ điểm của

chuỗi Fourier Phần đầu, ta nghiên cứu sự hội tụ đều trên cơ sở lí thuyết chuỗihàm và tính chất của chuỗi Fourier Tiếp theo, ta giới thiệu khái niệm các nhân

Dirichlet, nhân Fejer, nhân Poisson và tính chất của các nhân để nghiên cứu sựhội tụ điểm của chuỗi theo nghĩa thông thường, Casero, Abel, bình phương khả

tích Phần cuối cùng của chương ta nghiên cứu dáng điệu của chuỗi Fourier tại

các điểm gián đoạn của nó gọi là hiện tượng Gibbs.

Chương ba trình bày ứng dụng của chuỗi Fourier vào việc tìm nghiệm của

phương trình truyền nhiệt, truyền sóng đặt trong các điều kiện biên và điều kiện

ban đầu cụ thể.

Bản luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn

Minh Tuấn Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã

dành nhiều công sức và thời gian để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ tôi trong việc

hoàn thành bản luận văn.

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến lãnh đạo và các thầy cô trong khoa Toán Cơ Tin học, trường Dai học Khoa học Tự nhiên Hà Nội về các kiến thức và nhữngđiều tốt dep mang lại cho tôi trong thời gian hoc tập tại trường Toi xin cảm ơntới phòng Sau Dại học về những điều kiện thuận lợi trong việc hoàn thành thủ

-tục học tập và bảo vệ luận văn.

Cảm ơn các thầy và các bạn trong seminar Toán Giải Tích về những sự động

viên và những ý kiến trao đổi quí báu đối với bản thân tôi trong thời gian qua.

Cuối cùng tôi muốn tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân là chỗ dựa về tỉnhthần và vật chất cho tôi trong cuộc sống và trong học tập.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi những thiếusót Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy, cô và các bạn.

Hà Nội, tháng 12 năm 2013

Chương 1

Sơ lược về phương trình đạo hàm

riêng trong trường hợp hai bién

1.1 Mở đầu về phương trình đạo hàm riêng

Trong phần đầu tiên này, luận văn sẽ trình bày lại một cách ngắn gọn cáckiến thức mở đầu về phương trình vi phân đạo hàm riêng như định nghĩa, phân

loại và đưa ra phương pháp giải cho một số loại phương trình tiêu biểu.

Phương trình vi phân đạo hàm riêng hay ngắn gọn là phương trình đạo hàmriêng xuất hiện ở các bài toán thực tế trong khoa học kỹ thuật, vật lý và cơ

học như chuyển động sóng của âm thanh, bức xạ điện từ, hoặc chuyển động củacác dòng chảy và nói chung là các hiện tượng biến đổi trong không gian và thời

gian Nhiều hiện tượng trong thực tế được quy về các phương trình hay hệ nhiềuphương trình đạo hàm riêng khác nhau.Về mặt toán học, phương trình đạo hàm

riêng được định nghĩa như sau ( [1])

Định nghĩa 1.1 Một phương trinh liên hệ giữa hàm ẩn u(+\,+s +„), các biến

độc lập z1,z2, ,„ va các dao ham riêng của nó được gọi là phương trình vi

phân đạo hàm riêng Cụ thể, nó có dang

Ou Ou Ø*u ) =0, (1.1)

rẦm #9, ,#n,t,——. -;=—: -:——0071781722 Oa)? Oty’? Oba, , Ohm ay,

trong đó ham F là mét ham nào đó của các đôi sô của nó.

Cấp cao nhất của đạo hàm riêng của u có mặt trong phương trình được gọi

là cấp của phương trình Chẳng hạn, phương trình cấp một của hàm hai biến

ot

Định nghĩa 1.2 Phương trinh đạo ham riêng dang (1.1) được gọi là tuyến tính

nếu như nó tuyến tính đối uới ấn hàm va tất cả các đạo hàm riêng của nó.

là phương trình tuyến tính cấp hai đối với trường hợp hàm hai biến số.

Luận văn tập trung nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính

cấp hai, cụ thể là phương trình truyền sóng và phương trình truyền nhiệt trong

R?, R? Đối với các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai, chúng ta có

thể phân loại chúng như sau:

Xét phương trình tuyến tính cấp hai với hệ số thực trong trường hợp hai biến

a(x, Y)Urx + 2b(z, U)Uzy + cự, Y)Uyy + F(a, Ù; U, tạ; Uy) = 0, (1.2)

và một điểm (zo, yo) cố định trong R?.

Định nghĩa 1.3 Phương trình (1.2) được gợi là

a) Thuộc loại ellip nếu như tại điểm đó

b? (x0, yo) — a(#o, o)€(Zo, yo) < 0.

b) Thuộc loại hyperbol nếu như tại điểm đó

bŸ(#o, yo) — a(#o, o)€(#o, yo) > 0.

c) Thuộc loại parabol nếu như tại điểm đó

bŸ(#o, yo) — a(#o, o)€(#o, yo) =

0-Nếu tại mọi điểm trong một miền G C R? phương trình (1.2) đều thuộc cùng

một loại thi ta nói phương trình ấy thuộc loại đó trong miền G Về sau thì ta

có thể thấy rằng

1 Phương trình Laplace thuộc loại phương trình ellip.

2 Phương trình truyền sóng thuộc loại phương trình hyperbol.3 Phương trình truyền nhiệt thuộc loại phương trình parabol.

Dây cũng là các phương trình tiêu biểu cho từng loại phương trình đã nêu ở

trên Sau đây ta sẽ giới thiệu về hai loại phương trình chủ yếu được quan tâmtrong luận văn, đó là phương trình truyền sóng và phương trình truyền nhiệt,

đây cũng là các loại phương trình đạo hàm riêng cổ điển thường gặp nhất trong

thực tế cũng như trong lý thuyết.

1.2 Phương trình truyền sóng

1.2.1 Giới thiệu về phương trình truyền sóng

Đầu tiên, ta xét hai ví dụ sau đây về hiện tượng lan truyền sóng trong không

gian, cụ thể là về sự dao động trên một sợi dây (trường hợp một chiều) và sự

dao động của màng (trường hợp hai chiều), tương ứng với đó ta sẽ có các dạngcủa phương trình truyền sóng.

a Phương trình dao động của dây

Xét một sợi dây căng thang theo chiều trục Ox Bằng một cách nào đó, ta

làm sợi dây dao động và xem xét quy luật dao động của sợi dây ấy.

Ta chỉ xét những dao động ngang của sợi dây, tức là giả thiết khi dao động,

các phan tử vật chất của sợi dây chuyển động thắng góc với trục Ox Độ lệch

của các phần tử vật chất so với vi trí cân bằng được ký hiệu là u Rõ ràng u làmột hàm phụ thuộc thời gian và hoành độ của phần tử vật chất ấy, tức là

p(z, £) là ngoại lực tác động vào dây.

Nếu sợi dây đồng chất, không có ngoại lực tác động thì ø = const và p(z,£) = 0.Khi đó phương trình (1.3) được viết lại dưới dạng

Pu Pu

Oe a (1.4)

trong đó a = Vi.

Phương trình (1.4) có vô số nghiệm Vì vay, để xác định được nghiệm ta cần

ấn định thêm các điều kiện ban đầu hoặc các điều kiện biên.

b Phương trình dao động của màng

Xét một màng mỏng, khi cân bằng nằm trong mặt phẳng rOy Bằng một

cách nào đó ta cũng làm màng dao động và xem xét quy luật dao động của

Ta cũng giả thiết màng dao động ngang va độ lệch của điểm 4⁄/(z,) trongmặt phẳng «Oy trên màng ký hiệu là u Rõ ràng

Tương tự như vi dụ trong phan a, với các giả thiết lý tưởng, ta thu được

phương trình dao động của màng

Cũng như phương trình (1.4), phương trình (1.6) cũng có vô số nghiệm, nên

để xác định quy luật dao động của màng ta cần bổ sung các điều kiện như điều

kiện biên, điều kiện ban đầu

Nhiều quy luật vật lý, cơ học cũng đưa đến phương trình tương tự như (1.4)

và (1.6) Chẳng hạn, quy luật chuyển động dọc của một thanh đàn hồi đồngchất cũng biểu diễn bởi (1.4), trong đó u(x,t) là độ lệch của phần tử dao động

của thanh so với vị trí cân bằng z, z là hoành độ của phần tử ấy Quy luật daođộng nhỏ của chất khí lý tưởng với một số giả thiết vật lý xác định trong hiện

tượng truyền âm biểu diễn bởi phương trình

Pu Pu Pu l ou,

trong đó (z,g,z) là tọa độ của phần tử khí, u(z,,z,£) là độ lệch áp suất khí ở

điểm (x,y,z) tại thời điểm t, so với áp suất lúc bình thường tại (z, y, z).

8

Những phương trình (1.4), (1.6), (1.7) thường được gọi là phương trinh truyềnsóng Hệ số a trong các phương trình ấy là vận tốc truyền sóng Theo định nghĩavề phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 thì phương trìnhtruyền sóng thuộc loại phương trình parabol Trong phần tiếp theo ta sẽ đi xâydựng công thức nghiệm cho phương trình truyền sóng.

1.2.2 Công thức biểu diễn nghiệm của bài toán Cauchy đối với phươngtrình truyền sóng

Để đơn giản cho việc trình bày, trong phần này ta chỉ xét phương trình truyền

sóng thuần nhất trong trường hợp một chiều (1.4) hay còn gọi là bài toán Cauchyđối với phương trình dây rung tự do

Pu 20°u

2B — tạp (1.4)

với điều kiện ban đầu và vận tốc ban đầu lần lượt xác định bởi

u(z,0) = f(z), —0 < #< +o, (1.8)uz(x, 0) = g(x), —œ < # < +00 (1.9)

Để xây dựng công thức nghiệm cho bài toán hỗn hợp (1.4) — (1.8) — (1.9) tasẽ sử dụng hai cách khác nhau, cụ thể là

Cách 1 Dùng phương pháp đổi biến

trong đó F là hàm tùy ý chỉ phụ thuộc £, G là hàm tùy ý chỉ phụ thuộc n Đồngthời F,G phải là hàm khả vi hai lần.

Trở lại biến ban đầu, phương trình sóng có nghiệm

u(x,t) = F(a — at) + G(x + at).

Tại thời điểm t = 0, nghiệm của phương trình truyền sóng thỏa mãn các điều

kiện ban đầu (1.8) và (1.9) nên

Công thức nghiệm trên được gọi là công thức D’Alembert.

Tiếp theo, ta sẽ xây dựng công thức nghiệm cho phương trình truyền sóng bằngphương pháp tách biến.

Giả sử rằng sợi dây được gắn cố định tại điểm đầu z = 0 và điểm cuối z = L,

tức là ta có các điều kiện biên

u(0,t) = X(0)T(t) = 0, t>0, (1.11)u(L,t) = X(L)T(t) = 0, t>0 (1.12)

Ta phân biệt các trường hợp sau đây

1.A<0 Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (1.13)

X(#) = CieY~%# + Œse~V~2* ƠI, Cp là các hằng số

thỏa mãn điều kiện ban đầu

X(0) =b =0,X(L) =aL =0.

Do vay a = b = 0 nên X(z) = 0, ta nhận được nghiệm tam thường u(x,t) của

phương trình (1.4).

3 \> 0 Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (1.13) là

X(x) = ƠcosVAz + Dsin vAz, CƠ, D là các hằng số

thỏa mãn điều kiện ban đầu

X(L) = Dsin VÀL = 0.

11

Dé (1.13) có nghiệm không tầm thường thì D 4 0 và khi đó

sin VAL = 0= VAL = ne.

Do đó ta nhận được các giá tri riêng À thỏa mãn(nm)?

Thay ngược trở lai giá trị của A vừa nhận được vào phương trình đầu tiên an

T(t) của hệ (1.10) ta nhận được phương trình vi phân cấp hainen

Từ đó các nghiệm riêng up,(x,t) thu được dưới dang

Un (x,t) = Xn(w)Ty(t) = (An cos —! + B, sin st) sin nT

L z,

VỚI Án = DynEn, By =

DnFn-Những nghiệm nay đều thỏa mãn (1.4) với điều kiện biên ø(0,#) = u(L, t) = 0.

Dé thấy rằng, nếu wu và v là các nghiệm của (1.4) thi au+ đu với a, Ø là các hằngsố thực cũng là nghiệm của (1.4) Vì thế, bây giờ, ta hãy xây dựng một cách

hình thức chuỗi

u(z,t) = À (A› cos —! + By sin at) sin ar (1.15)

12

Ta sẽ đi tìm các điều kiện sao cho hàm u(z, t) xác định bởi chuỗi (1.15) là nghiệm

đúng của bài toán.

Trước tiên, để ý rằng chuỗi bên phải là chuỗi hàm vô hạn nên câu hỏi về sự

hội tụ của chuỗi hàm sẽ được đặt ra đầu tiên.

Tiếp theo, các hệ số 4„, By, cần được xác định theo một cách nào đó để (1.15)

là nghiệm đúng của bài toán (1.4) và thỏa mãn các điều kiện ban đầu (1.8) và

u(x, 0) = f(x), 0<a<L,uz(z,0) = g(x), O0<a<L.

Tam thời giả sử rang các hệ số 4„, ö„ đã được xác định sao cho (1.15) là nghiệmđúng của bài toán Khi đó thay (1.15) vào điều kiện ban đầu u(z,0) = f(x) ta có

À ` Ansin “r= f(z) (1.16)Xét tại điều kiện u;(x,0) = g(x), giả sử chuỗi (1.15) có thể dao ham từng số hạng

thì ta nhận được

)= oz, sin Pe = g(e ) (1.17)

Nhu vậy, bài toán có nghiệm thì nghiệm đó phải được biểu diễn dưới dạng chuỗi

(1.15), ở đó A„, B, được xác định bởi (1.16) và (1.17) Vậy câu hỏi đặt ra ở đây

Bài toán 1.1 Cho ham số f(x) xác định trên đoạn |0, L].

Với điều kiện nào của hàm số f(x) thà ta có các hệ số An sao cho

Với điều kiện nào của hàm số g(x) thi ta có các hệ số By sao cho

hàm riêng khác nhau, chẳng hạn như phương trình truyền nhiệt và phương trình

truyền sóng mà luận văn sẽ tập trung nghiên cứu Trong các phần tiếp theo của

luận văn ta sẽ đưa ra các điều kiện chính xác để bài toán trên được nghiệm

13

1.3 Phương trình truyền nhiệt

1.3.1 Giới thiệu về phương trình truyền nhiệt

Xét một vật thể rắn mà nhiệt độ của nó tại điểm (z,,z) vào tại thời điểm £là một hàm ø(z,,z) Nếu các phần tử của vật thể có nhiệt độ khác nhau, thìbên trong vật thể có sự trao đổi nhiệt lượng từ phần nóng (có nhiệt độ cao hơn)

sang phần lạnh hơn (có nhiệt độ thấp hơn).

14

Giả sử vật thể được coi là đẳng hướng, tức là tại một điểm (z,ø,z) xác định

thì nhiệt truyền theo phương nào cũng như nhau Nói cách khác đi, hệ số truyền

nhiệt & chỉ phụ thuộc vào (z,, z) không phụ thuộc vào các hướng Khi đó quy

luật truyền nhiệt được cho bởi

2 2 2

+(%, , z)p(%, 9, 2% —= k(#, Đ, 2(8 + of + mm) + F(z,0,z, t), (1.21)

trong đó k(z,,z), y(2,y, 2), e(a,y, z) lần lượt là hệ số truyền nhiệt, nhiệt dung

và tỉ khối của vật thể tai (z,,z) F(x,y,z,t) là mật độ nguồn nhiệt trong vậtthể tại (x,y, z) ở thời thời điểm £ (nhiệt lượng tỏa ra hay mất đi trong một đơnvị thể tích và đơn vị thời gian).

Nếu vật thể là đồng chất, tức là +, ø,k là các hằng số và trong vật thể không

mỏng hay thanh nhỏ với môi trường xung quanh Cũng tương tự như phương

trình dao động của dây và của màng, muốn xác định quy luật truyền nhiệt trong

vật thể thì ngoài phương trình (1.21) ta cần bổ sung thêm các điều kiện đầu

tại t = 0 hoặc các điều kiện biên Theo phân loại, phương trình nhiệt thuộc loại

phương trình parabol Dưới đây ta sẽ xây dựng công thức nghiệm cho phương

trình truyền nhiệt trong các điều kiện biên, điều kiện ban đầu cụ thể.

1.3.2 Công thức biểu diễn nghiệm của bài toán Cauchy đối với phươngtrình truyền nhiệt

Xét phương trình truyền nhiệt trong thanh đồng chất

Ou Ou

OL = ea (1.24)

15

thỏa mãn điều kiện ban đầu

u(x,t) = X(x)T(t),

trong đó X là ham chỉ phụ thuộc vào z, T là hàm chi phụ thuộc vào ¿ Thay

biểu thức nghiệm lên phương trình (1.24) ta thu đượcX(z)T'() = a? T(t) X" (a),

thì bài toán (1.28) có nghiệm không tầm thường

Xp(x) = Ap sin ar n=1,2,3,

Với các giá trị riêng của \, được xác định như (1.29), phương trình thứ nhất

trong hệ (1.27) có nghiệm tương ứng là

Tr(t) = Bạc 2?” n=1,3,3

Do đó phương trình (1.24) thỏa mãn điều kiện biên (1.26) có các nghiệm riêng

nhe )2‡ _ TT

Un(a,t) = Cre OE) * sin T3

với Œ„ là hằng số tùy ý Tương tự như đối với phương trình truyền sóng, ta xây

u(x,0) = SoCn sin ao = f(z) (1.31)

1.4.1 Giới thiệu về phương trình Laplace

Xét phương trình truyền nhiệt trong môi trường đẳng hướng và không có

nguồn nhiệt

Ou _ 2 (Hu + ni

at “`8? ` 0g?”

17

Giả sử sau một thời gian nhiệt độ trong môi trường ổn định nghĩa là u(z, y,t)

không còn phụ thuộc vào thời gian, ta có

Khi đó, phương trình nhiệt ổn định có dạng

Định nghĩa 1.4 Trong không gian hai chiều (x,y), phương trình dang

Ham u(a,y) được gọi là hàm điều hòa tai điểm (xo, yo) nếu tại điểm đó nó có

đạo hàm cap hai liên tục va thỏa man phương trinh Laplace.

1.4.2 Công thức biểu diễn nghiệm cho phương trình Laplace trong hình

tròn đơn vị

Xét đến phương trình Laplace trong hình tron đơn vị, bán kính r = 1, trong

trường hợp tổng quát với hình tròn bán kính r bất kỳ ta xét tương tự Xét hìnhtròn đơn vị trong mặt phẳng

D ={(2,y) € R?: 2? +2 < 1},

biên của hình tròn D là đường tròn đơn vị C = {(z,) € R? : z? + y2 = 1} Trong

hệ tọa độ cực (7,0) với 0 <z < 1 và 0<rz < 2z, ta có

D={(r,0):0<r<1} và C=(,6):r= 1}.

Bài toán tìm nghiệm của phương trình Laplace trên D với điều kiện biên

u = f trên Œ được gọi là bài toán Dirichlet

Au =0_ trên D,

u(1,0) = ƒ(0) — trên ŒC.

18

Trong tọa độ cực (r,0), toán tử Laplace (1.33) có dang

_ ou Lou | 1 u

Or? or Orr? 067"Từ đó phương trình Laplace (1.32) có dạng

Ou 1du 1 Ou?

Ta tìm nghiệm phương trình dưới dạng tách biến u(r,@) = F(r)G(6), trong đó

F(r) là ham chỉ phụ thuộc vào r, G(@) là hàm chỉ phụ thuộc vào 0, thay côngthức nghiệm vào phương trình trên thu được

G(0 + 3z) = G(/).

Vậy G(0) là nghiệm của bài toán

Œ"(0) + AG(0)_ =0, Aes)G(9) = G(0 + 2m).

Ta phân biệt ba trường hợp sau của À

1 Nếu A < 0 phương trình (1.36) có nghiệm tổng quát

G(6) = AeY~! + Be’, A, B là hằng số tùy ý.

G(0) tuần hoàn khi và chỉ khi A = B = 0 nên bài toán chỉ có nghiệm tầm thường

u(r, Ø) = 0.

19

2 Nếu \ =0 thì G(@) = Ao.

3 Nếu \ >0, phương trình (1.36) có nghiệm tổng quát

G() = Acos À0 + Bsin VO.

Như vậy G() tuần hoàn với chu kì 2z nếu

và phương trình nay có nghiệm tổng quát

Fo(r)=Co+Dolnr, Cpo,Do là các hằng số tùy ý.Với \ = n?, trong đó n # 0 thi ta xét

U(r, 9) = (Co + Po) (1.41)

(Cnr + Dur~")(AeosnØ + Bsinné) nếu ø #0.

20

Tuy nhiên các hàm u,(r,) là các hàm tuần hoàn trong hình tròn, nên liên tụctại r = 0 Vì thế trong (1.41) hệ số Do của nr và C, của r~” phải triệt tiêu.

Tóm lại, các nghiệm riêng có dạng

tuu(r,Ø) = r"{ancosnØ + bạsinn0), n = 1,2

VỚI ag = AoC, an = AnCn, bn = BrCn.

Tương tự như trong cách xây dựng phương trình truyền sóng và truyền nhiệt ta

Ta tam giả thiết rằng các hệ số an, b„ được chon sao cho chuỗi (1.43) hội tụ và

tổng của nó là một hàm điều hòa liên tục trong hình tròn 0 < z < 1 Ta tìm

nghiệm của bài toán (1.34) dưới dạng

ta có thể viết (1.44) dưới dạng phức như sau

oe Sài ein + c?na ca _ ca

f(@) = u(1,9) = 2 {am coxng + bn sinnx) = 2-(tn 5 + bn 3 )

Hơn nữa, nếu hàm số ƒ có thể được uiết dưới dạng (1.43) thà uới điều kiện nào

của ham f thi chuỗi bên vé phải của (1.43) hội tụ, trong trường hợp chuỗi nay

hội tụ thi mối liên quan giữa tổng của chuỗi va hàm f là như thế nào?

Các câu hỏi này dẫn đến các khái niệm về chuỗi Fourier và khai triển dưới

dạng chuỗi Fourier của một hàm số cho trước mà ta sẽ giới thiệu ở Chương 2.Trong chương này ta cũng sẽ đưa ra các tính chất cơ bản của chuỗi Fourier cũng

như nghiên cứu sự hội tụ của nó.

22

Chương 2

Chu6oi Fourier và các tính chat cơ

Phần mở đầu của chương này chúng ta sẽ giới thiệu định nghĩa của chuỗi

Fourier và khai trién hàm thành chuỗi Fourier.

2.1 Chuỗi Fourier và khai triển hàm thành chuỗi Fourier

Xét chuỗi ham đã được chỉ ra trong Chương 1

ta thu được

Cn = 5 ac Je da.

Các hệ số c, xác định như trên được gọi là hệ số Fourier của ham ƒ.

Định nghĩa 2.1 ([3]) Cho f(x) là ham số tuần hoàn uới chu kỳ 2m va khả tíchtrên đoạn [—1, mì Khi đó các hệ số được định nghĩa bởi

được gọi là chuỗi Fourier của ham f(z).

Thông thường ta kí hiệu hệ số Fourier của f(n) là cy và viết chuỗi Fourier

Trong trường hợp tổng quát, nếu ƒ : [a,b] —> C và là hàm tuần hoàn với chu ki

L=b-—<a thì ta định nghĩa hệ số Fourier và chuỗi Fourier của f lần lượt là

Khai triển chan, khai triển lẻ của chuỗi Fourier

Nêu f(z) là hàm chan, tuần hoàn với chu kì 2z thì ta có các hệ số Fourier của

hàm ƒ được xác định như sau

an = 7 J", f(a) cosnede = = fy f(e)cosnade, nm =0,1,2, (2.10)

trong đó a, được xác định theo công thức (2.10).

Nếu f(x) là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kì 27 thì ta có các hệ số Fourier của

hàm ƒ được xác định như sau

an =4f"_ f(x) cosnadr =0, n=0,1,2, (2.12)bn = +f" f(z) sinnadx = 2 f(x) cosnadzr n=1,2,

Khi đó, chuỗi Fourier của ham lẻ chi chứa ham sin, tức là

a œ

0

f(a) ~ at dn sin nz, (2.13)

với hệ số b„ được xác định như trong công thức (2.12).

Để khai triển f(x) thành chuỗi theo ham cosin ta có thể lí luận như sau: Ta tháctriển chan hàm f(x) từ đoạn [0,7] ra đoạn [—z, 0]

f(z) nếu z € [0,7],

ƒ(—z) nếu x € [—7, 0].

Ham ƒ¡ được gọi là thác triển chan của ham f.

Khi đó với hàm chan vừa thác triển, thì tất cả các lí luận ở trên đều đúng Do

đó các hệ số Fourier có thể được tính theo các công thức (2.10) Trong các công

thức này chỉ có mặt các giá trị cho trước trên đoạn [0,7] của f(x) Do đó, khi

tính toán thực tế có thể không cần làm phép thác triển chin như đã nêu.

Để khai triển ƒ(z) thành chuỗi theo hàm sin ta có thể lí luận như sau: Ta

thác triển lẻ ham f(x) từ đoạn |0,z] ra đoạn [—z, 0]

f(z) nếu x € |0, z],

—ƒ(_—#) nếu x € [—z, 0].

26

Hàm ƒ; được gọi là thác triển chin của hàm f Khi đó các hệ số Fourier được

tính theo công thức (2.12) Vì 6 đây chỉ có giá trị f(x) trên đoạn |0, z] nên cũng

như trong trường hợp chuỗi theo hàm cosin, thực tế không cần thực hiện phép

thác triển hàm f(x) từ đoạn [0,7] ra đoạn |—z, 0].

Tiếp theo, ta định nghĩa tổng riêng thứ của chuỗi Fourier của hàm ƒ

Định nghĩa 2.3 Cho hàm f khả tích va tuần hoàn uới chu ki 2m Với mỗi số

tự nhiên N, tổng riêng thú N của chuối Fourier của f được xác định bởi

Trước khi nghiên cứu sâu hơn về điều này, ta đưa ra một số vi du.

Ví dụ 2.1 Tim chuỗi Fourier của ham f(x) = + uới —m <a <T.

—— chuoi Fourier voi n=200 —— chuoi Fourier voi n = 100———fJ=x | ———(fJ=x

Hình 2.1: N=50 Hình 2.2: N=100

Trong ví dụ này, theo dấu hiệu Leibniz về chuỗi đan dấu ta thấy chuỗi Fourier

hội tụ tại mọi điểm x € [—z,zÌ nhưng chuỗi không hội tụ về hàm ƒ tại z = —z

và z =n Cụ thể tại điểm x = —z và x = z tổng chuỗi đều hội tụ về 0, trong khi

Hệ số Fourier của f được xác định bởi

ine _ 2 eine — 2 cos(nz) + 7sin(nz) — 2 sin(nx) — i cos(nz)

Tổng riêng của chuỗi trong trường hợp N =50 va N = 100 cho trong hành

Trong vi dụ nay, ta thấu ngoại trừ các điểm x = 0,=,—z thà Jim Sw(f)(x) = f(x).

Như vậy, qua hai vi dụ ta thấy chuỗi Fourier của hàm f có thé hội tu trên[—7, 7] nhưng tổng chuỗi hàm có thể không hội tụ tới hàm ƒ Trong phần tiếptheo ta sẽ chỉ ra điều kiện để chuỗi Fourier hội tụ đều tới hàm ƒ.

2.2_ Tính duy nhất và sự hội tụ đều của chuỗi Fourier

Trước khi trình bày định lý về sự hội tụ đều của chuỗi Fourier ta sẽ giới thiệuđịnh lý về sự duy nhất của chuỗi Fourier.

29

15m15m T T

05 ] 05Ƒ

Hình 2.3: 100 Hình 2.4: 50

Giả sử ƒ và ø là hai ham khả tích trên [—z, z], tuần hoàn với chu kỳ 2z và có

hệ số Fourier lần lượt là ƒ(n) và g(n) xác định theo (2.3)

Ẩm) = = / fajeTMde, ne Z,

g(n) = al g(ajeTM 2a J_„ dx, neZ.

Ta thấy rằng, nếu ham f = g thì các hệ số Fourier tương tứng của ƒ và g cũng

bằng nhau, tức là f(n) = ô(n) với mọi n € Z.

Tuy nhiên khẳng định ngược lại: Nếu các hệ số Fourier f(n) = g(n) thì suy ra

f = lai có thể không chính xác Vì các hệ số Fourier f(n), g(n) được xác định

qua các tích phan từ —z tới z của hai hàm số f(x)e~*" và g(z)e"”“, mà ta đã

biết rằng hai hàm số có thể khác nhau trên [—7,7] nhưng tích phân trên đoạnđó vẫn có thể bằng nhau, chẳng hạn

Định lý 2.1 ({đ|) Gia sử f là ham khả tích trên [—~, x], tuần hoừn uới chu ky

Qn va có f(n) =0 uới mọi n e Z Khi đó, nếu ƒ liên tục tại xq thà f(a) = 0.

Chứng minh Đầu tiên ta sẽ chứng minh định lý trong trường hợp hàm ƒ là hàm

nhận giá trị thực, sau đó chứng minh cho trường hợp ƒ là hàm nhận giá trị phức.

Cụ thể

a) f là hàm nhận giá trị thực

Không mất tính tổng quát, ta có thé giả sử rằng f là hàm liên tục tại zp = 0 và

ta chỉ cần chứng minh ƒ(0) = 0 Chứng minh phản chứng, giả sử ngược lại hàm

ƒ liên tục tại zo = 0, tuy nhiên f(0) > 0.

Bây giờ, ta sẽ xây dung một họ các đa thức lượng giác pz, sao cho các hàm pz

đạt giá trị lớn nhất tại 0 và thỏa mãn ƒ p¿(+)ƒ()dz — oo khi k + oo Sau đó,

ta sẽ chỉ ra điều này sẽ dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết f(n) = 0 với mọi n € Z.

Do ƒ liên tục tại 0, nên từ định nghĩa ta có: Ve > 0, đổ = ô(e) sao cho với mọi

f(x) — ƒ(0)| < e, như thế với e = ƒ(0)/2 > 0 ta có thể

chon một số 6 mà 0 < ổ < z/2 sao cho f(x) > ƒ(0)/2 với moi x mà |z| < 6 Xét

x € [-7,7] mà |z| < 6 thì

p(x) = c+ cos(z),

trong đó e được chọn đủ nhỏ sao cho p(x) < 1— e/2 với mọi 6 < |z| < a.

Sau đó chọn hằng số dương 0 < 7 < 6 sao cho p(x) > 1 + €/2 với mọi |z| < 7.Lay họ {p„} được cho bởi

Đồ thị của các đa thức p(x), pø(#), pis(z) trong trường hợp « = 0.1 được minh

họa trong hình

Ta sẽ chỉ ra họ {p„} xác định như trên là họ đa thức lượng giác cần xây dựng.

That vậy, do cách xây dựng họ {pz} thì mỗi pz, là một đa thức lượng giác va từ

giả thiết f(n) = 0 với mọi n nên ta có

p(x)—— P,{xPag)

Giả sử hàm ƒ được biểu diễn dưới dạng: f(x) = u(x) + iv(x), trong đó u,v là các

hàm nhận giá trị thực Ta định nghĩa ƒ(z) = f(r), khi đó

u() {0 +) và „uy — f= ƒ0),

2 2¡

Bởi vì, f(n) = f(—n), ta kết luận các hệ số Fourier của u và ø triệt tiêu hết, khi

đó ƒ = 0 tại các điểm mà ƒ liên tục tại đó Như vậy định lý hoàn toàn được

chứng minh.

Từ Dinh lý trên ta thu được kết quả sau

Hệ quả 2.1 Nếu ƒ liên tục trên [—m,x] va f(n) =0 uới mọi n e Z thà ƒ = 0.

Như vậy, kết hợp các kết quả ở trên ta thu được khẳng định về sự duy nhất

của chuỗi Fourier

32

Định lý 2.2 Giả sở ƒ va g là hai ham liên tục trên [—a, m] va có hệ số Fourier

lần lượt là f(n) va ô(n) xác định theo (2.3)

Nhu vay Dinh lý 2.3 dua ra điều kiện của các hệ số Fourier cp để chuỗi Fourier

hội tụ đều đến hàm ƒ Hệ quả sau đây sẽ chỉ ra sự liên hệ giữa các hệ số Fourier

với tính khả vi (trơn) của hàm ƒ.

Hệ quả 2.2 Nếu ƒ là hàm tuần hoàn uới chu ky 2m va khả vi liên tục cap 2

trên [—x,z], tức là ƒ € C2 „„ị thi

f(n) =O(/In|?) khí |n| + œ,

tức là tồn tại một hằng số C > 0 sao cho f(n) < ©= Im”

33

Chứng minh Nếu n Z0, từ định nghĩa hệ số Fourier và sử dung công thức tíchphân từng phần ta nhận được

2alnPAn)<| fo f7) "ẽaz| < [ lnG)laz <€,0 0

trong đó C là hằng số không phụ thuộc vào n (ta có thể lay C = 27B, |f"| < B).

Như vậy, ta thu được

Từ hệ quả 2.2 ta nhận được

tm<LC-LÑm)| < a

Do chuỗi 5 ` + là chuỗi hội tu nên theo dấu hiệu Weierstrass thi chuỗi Fourier

Š>|ƒ(n)| hội tụ đều Theo kết quả Định lí 2.3 ta có chuỗi Fourier S> ƒ(n)c”"* hội

tụ đều đến hàm ƒ Từ đó ta có thể đi đến định lý cho sự hội tụ đều của chuỗiFourier được cho phát biểu như sau

Định lý 2.4 Nếu ƒ là ham tuần hoàn uới chu kỳ 2m va f € C®_„„| thà chuỗiFourier của hàm f hội tụ đều trên [—n, rỊ.

Một cách tổng quát ta có thể phát biểu

Định lý 2.5 Nếu ƒ là hàm tuần hoàn uới chu kỳ 2m va khả vi, liên tục cấp ktrên [—x,m], tức là ƒ € C*\_„„ị Khả đó ta có đánh giá cho các hệ số Fourier

f(n) = O(1/In|#) khí |n| > œ,

nói cách khác tồn tại một hằng số C >0 sao cho f(n) < ig

Và khả k > 2 thà ta có chuỗi Fourier hội tu đều trên [—n, 7]

34

2.3 Sự hội tụ điểm của chuỗi Fourier

Trong phần này ta đưa ra khái niệm tích chập để biểu diễn tổng riêng của ƒ

dưới dạng tích chập của chính nó và một họ các hàm mà sau này ta thường gọi

là nhân để nghiên cứu tính hội tụ cho chuỗi Fourier.

2.3.1 Tích chập

Định nghĩa 2.4 Cho f,g là các hàm khả tích trên R va tuần hoàn uới chu ki

2m Tích chập của f va g được kí hiệu là ƒ x g, trên |[—m, x| được xác định bởi

Tính chất của nhân tốt được thể hiện trong định lý dưới đây

Dinh lý 2.6 Cho một họ nhân tốt {K„(z)}© +, ham f khả tích trên [—7, 7] vaƒ(—m) = f(x) Nếu f liên tục tại x thì

Nếu ƒ liên tục khắp nơi thì sẽ liên tục đều và có thể chon 6 độc lập với x Khi

đó ƒ * Ky, hội tụ đều đến ƒ.

Trở lại khái niệm tong riêng của chuỗi Fourier Sy(ƒ _ ƒ(n)c”*, ta

hoàn toàn có thé biểu diễn tổng riêng này dưới dang tích chập của hàm f và

36

một họ các hàm lượng giác Thật vậy,

Thật vậy, từ định nghĩa ta có thể viết

này ta thiết lập các trung bình cộng của các tổng riêng và của nhân Dirichlet.

Định nghĩa 2.7 Cho Do(x), D1(z), , Dn—1(x) là các nhân Dirichlet Ta định

nghĩa nhân Fejer va tổng Fejer lần lượt như sau

— Do(x) + DI(z)+ + DN_1(2)

Fy (x) N (2.20)

on(f)(2) = So(f)(x) + Sue) + wet Sn-1(f)(2) (2.21)

Tt công thức xác định nhân Dirichlet ta có