Đề tài Phương trình vi phân và một số ứng dụng trong kinh tế có cấu trúc gồm 3 chương trình bày một số kiến thức về Phương trình vi phân; một số mô hình Phương trình vi phân trong kinh tế; ứng dụng hệ Phương trình vi phân giải bài toán kinh tế. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Trang 2TRUONG DAL HOC SU PHAM SAYSONGDED PHOUKHAO PHƯƠNG TRÌNH VIPHÂN 'VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Chuyên nghành: Toán giải tích Mã số: 8 46 01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: 'TS HOÀNG NHẬT QUY
Trang 3Lời đầu tiên cho phép em được cảm ơn quý thầy cơ giáo trong Khoa “Tốn, Trường DH Sư phạm - ĐHDN và quý thầy cô tham gia giảng gải tại Khoa đã truyền đạt các học phần, giúp em lĩnh hội các kiến thức để hoàn thành chương trình môn học và có kiến thức để thực hiện hoàn thành luận văn tốt nghiệp Em xin được gửi lời cảm ơn tới thầy T8 Hoàng Nhật Quy vì đã tiếp nhận, giao đề tài và hướng dẫn em hoàn thành các nội dung của cuốn luận văn này Em xin gửi lời cảm ơn tới Phong Dao tao và bộ phận sau đại học đã giúp đỡ em nhiều về mặt thủ tục trong quá trình học tập và nghiên cứu tại Việt Nam Em cũng xin được gửi lời cảm ơn tới các bạn học viên cao học K34 đã hỗ trợ và giúp đỡ em nhiều trong việc học tập và cuộc sống trong suốt thời gian học tập ở Việt Nam
'Được học tập và nghiên cứu tại trường ĐH Sư phạm - ĐHDN là một vinh dự lớn đối với em Thành phố Dà Nẵng rất đẹp, thời gian học tập tại đây là một kỷ niệm đẹp trong cuộc đời của em Em sẽ ghỉ nhớ những khoảnh khắc học tập, sinh hoạt và con người Việt Nam thân thiện và tốt bụng Cuối cùng em xin kính chúc quý thầy cô và các bạn học viên dồi dào sức khỏe, hạnh phúc và thành công trong cuộc sống
Đà Nẵng, tháng 05 năm #019
Trang 4Toi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tối dưới sự hướng dẫn trực tiếp cia TS Hoang Nhat Quy
“Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn
Đà Nẵng, tháng 5 năm 2019 "Tức giả
Sứ: gÑẦ 2 —~
Trang 5Lời cám ơn Mục lục Mỡ đầu 1 MỘT SỐ KIÊN THỨC VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHẦN 11 Một số kiến thức chung 12 13 14 1141 112 113 Khái niệm phương trình vi phân
Cấp của phương trình vi phân
Nghiêm của phương trình vi phân Phương trình vi phân cấp 1 124 1.2.2 Định nghĩa Một số phương trình vi phân cấp 1 Phương trình vi phân cấp 2 1.3.1 132
Khái quát chung về phương trình vi phân cấp
Trang 621
22
23
24
3 UNG DUNG HE PHUGNG TRINH VI PHAN GIAI
Khái niệm phân tích cân bằng động 2.1.1 Một số định nghĩa
2.1.2 Một số ví dụ về ứng dụng của phép tính tích phân và phương trình vi phân
2.1.3 Ứng dụng phương trình vĩ phân xác định hàm cầu
khi biết hệ s6 co din của cầu
Pl tích căn bằng động đối với giá cả thị trường
2.21 Phát biểu mô hình cân bằng dong
2.2.2 Khảo sát tính én định động của mức giá cân bằng Mõ hình tăng trưởng Solow
2.3.1 Phat biểu mô hình tăng trưởng Solow 2.3.2 Phan tích định tính trên biển đồ pha
2.3.3 Phân tích định lượng
Mõ hình thị trường với kỳ vọng giá được dự báo trước 24.1 Phát biểu mô hình
24.2 Xác định đường biến động giá
BÀI TOÁN KINH TẾ
3.1 32
Mô hình cân đối liên ngành động đối với cầu vượt mức
Trang 73.3 Biểu đồ pha hai biến và ứng dụng
KẾT LUẬN
Trang 81 Lý do chọn đề tài
Ngày nay, với sự phát triển vượt bậc của khoa học, kỹ thuật và công
nghệ đã tạo điều kiện tốt cho việc ứng dụng của toán học vào nhiều lĩnh
vực khác nhau nói chung và vào kinh tế nói riêng Xu hướng mô hình
hóa những vin đề thực tế, rồi dùng các cơng cụ tốn học để xử lý đã
giúp tìm được nhiều giải pháp cho nhiều vấn đề phức tạp Những thực tế đó đã chứng tổ toán học là một công eụ hết sức hiệu quả giúp cho việc phát biểu, phân tích và giải quyết các vấn đề kinh tế trong các hoạt động, kinh tế một cách chặt chẽ, hợp lí, mang lại các lợi ích thiết thực Việc biết mô tả các vấn đề kinh tế dưới dạng mơ hình tốn học thích hợp,
vận dụng các phương pháp toán học để giải quyết, phân tích, chú giải
cũng như kiểm nghiệm các kết quả đạt được một cách logic luôn là một
yêu cầu cấp thiết đối với các chuyên gia làm việc trong lĩnh vực phân
tích kinh tế Trong các thập kỉ gần đây, nhiều giải Nobel kinh tế được
trao cho các công trình có vận dụng một cách mạnh mẽ các lí thuyết và
Trang 9chọn đề tài “PHƯƠNG TRINH VI PHAN VA MOT SO UNG
DUNG TRONG KINH TE” đồ thực hiện luận văn tốt nghiệp của
mình
2 Mục tiêu nghiên cứu
Đồ tài này nhần nghiên cứu, hệ thống hóa lại các khái niệm và các
kết quả cơ bản về phương tình vi phân và ứng dụng của phương trình
vi phân vào giải bài toán kinh tế
3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả về ứng dụng của phương trình vi phân vào giải bài toán kinh tế
Phạm vi nghiên cứu: các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước
liên quan đến ứng dụng phương trình vi phân vào giải bài toán kinh tế 4 Phương pháp nghiên cứu
+ Thu thập tài liệu các bài báo viết về phương trình vi phân và các ứng dụng của nó
Trang 105 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Đề tài hệ thống hóa lại một số kiến thức về phương trình
phân
(chương 1) và đưa ra một số ứng dụng của phương trình và hệ phương trình vi phân trong kinh tế (chương 2 và chương 3) Những kết quả này: là tài liệu tham khảo tốt cho các sinh viên, học viên ngành toán và các
sinh m học tại các trường kinh tế
6 Cấu trúc luận văn
Cầu trúc của luận văn ngoài phần Mở đầu, giới thiệu về lý do chọn
đề tài, mục tiêu, đối tượng, phạm vi và phương pháp nghiên cứu, thì nội
dung chính gồm có 3 chương Chương 1 hệ thống lại lý thuyết về phương trình vi phân cần dùng cho các ứng dụng về sau Chương 2 trình bày
một số mô hình phương trình vỉ phân trong kinh tế Chương 3 là ứng
dụng của hệ phương trình vi phân vào giải quyết một số bài toán kin
tố Trong các chương, ngoài phần lý thuyết mô tả các cách thức chung còn bao gồm các ví dụ cụ thể với dữ liệu bám sát thực tế, giúp minh
Trang 11MỘT SỐ KIÊN THỨC VỀ
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
1.1 Một số kiến thức chung
1.11 Khái niệm phương trình vi phân
Định nghĩa 1.1 Phương trình vi phân là phương trình có dạng F( 1/, 0Ÿ ) “Trong đó # là hàm xác định trên một miền nào đó của không gian (yy 2, va x la biến độc lập, là hàm của biến độc lập z và là các đạo hàm từ cấp 1 đến cấp n của nó
Nếu từ phương trình trên ta tìm được biểu diễn của đạo hàm cấp cao nhất y\"), qua các biến còn lại thì ta nói phương trình giải ra được đối
với", hoặc ta còn gọi phương trình dạng chính tắc, tức phương trình
có dạng
Trang 12Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm xuất hiện trong phương trình Ví dụ 1.1 ay dy\* < £¥ 9(“) 4 y—0, là phương trình vi phân cấp 2 dự? de
1.1.3 Nghiệm của phương trình vi phân
Nghiệm của phương trình vi phân là ham y = (z), khả vi n, lần trên khoảng (a,ð), nào đó và thỏa mãn phương trình đã cho, tức là
là (=.u).vz).v ứ) “ ((2)) =0,
với mọi x thnge khoang (a,)
Giải phương trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm của nó Các nghiệm của phương trình vi phân có thể được biểu diễn dưới các dạng, tường mình = y(x), hay = z(y), dưới dạng ẩn ø(z, y) = 0, hoặc dưới dạng tham số z = z(f), = y(t) Đồ thị của nghiệm được gọi là đường, tích phân của nó Giải phương trình vi phân cũng có nghĩa là đi tìm tắt
Trang 131.2.1 Định nghĩa
Phương trình vi phân cấp 1 có dạng tổng quát là
F(x,y.y') = 0, (14)
trong đó hàm Ƒ xác định trên miền J2 C RS
- Nếu trên miền D, từ phương trình (1.1) ta có thể giải được „:
=ƒ(.w), (1.2)
thì ta được phương trình vi phân cấp 1 đạng chính tắc hay còn gọi là phương trình vi phân đã giải ra đối với đạo hàm
Trang 14Khi đó chuyển về số hạng thứ hai và lấy tích phân hai về của (1.3), ta [sow = - [ve de
Công thức này cho ta nghiệm tổng quát của phương trình (1.3)
được
ii) Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
Trang 15=ny=~ Ace ch ~ Tìm được nghiệm riêng của (1.6) là = b/a niếu a Z Ú;wy = bz nếu a=0 ~ Nghiệm tổng quát của phương trình (1.6) có dạng Y= +
Vậy y—Ác+P~ pH a a “+, với a £0; a
y= Ae" tbr = ye +br, với a=0
* Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 với hệ số biến thiên +p(+)w = 4(z) (17) Cách giải: ~ Xét phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng v + play =0 = ““ = -p(z)dz Iny / Đ(z)dt + C¡ fon Fhe, Ye =
- Sử dụng phương pháp biến thiên hằng sé Lagrange
oi Ở là một hàm theo biến z, ta sẽ tìm nghiệm của phương trình (1.7)
dưới dạng,
Trang 16“Thay vào phương trình (1.7) ta được
Ct(w)e- #8 = g(x),
suy ra
ŒŒ)= [he resee +K
Thay vào (1.8) tạ thn được nghiệm tổng quát của (1.7) là v=e sao] / alae! de + “Ì à hằng số iii) Phuong trinh Bernoulli
Trang 17Dây là phương trình vi phan tuyến tính cấp 1 đối với z Giải phương, trình này ta tìm được nghiệm z = z(z) Từ đó suy ra nghiệm của phương, trình (1.9) là iv) Phương trình tì phân loàn phần Phương trình vi phân cấp 1 P(zx,y)dx + Q(x, y)dy = 0, (LH)
được gọi là phương trình vi phân toàn phần nếu vế trái của nó là vi phan
toàn phần của hàm nào đó, tức tồn tại hàm [Ƒ(z, /), sao cho 4U(œ,) = P(œ.v)dr + Q(z,y)dụ hay (119) Từ (1.11) và (1.12) suy ra 4UŒ,y) =0 U(ey với C là hằng số PU PU z À
Do 2nny Dyan’ by = qạc- Tà có thể chứng mình điền ngược lạ
Trang 18Lay dao ham hai về theo ta thu được 8U 0 ya a|J?«2z+s0) =9) 'Từ đó ta có thể tìm ¿(y) và do đó tìm được Ú/(z,y) Nghiệm cần tìm sẽ là: U(.y) =C 1.3 Phương trình vi phân cấp 2
1.3.1 Khái quát chung về phương trình vi phân cấp 2 Phương trình vi phân cấp hai có dạng tổng quát như sau:
#(z,u./,") =0 (11)
Trong đó Ƒ là hàm số của 4 biến số Z, , /, "
Việc xét phương trình tổng quát (1.14) khá phức tạp, do đó người ta thường xét phương trình vi phân cấp 2 dưới dạng giải được theo đạo hàm cấp 2 như sau:
ˆ=f(.0.) (1.15)
Việc giải phương trình vi phân cấp hai thuờng phải qua hai lần lấy tích phân bắt định, do đó nghiệm của nó có dạng
1= v(z,Ci,€) (116)
trong đó C¡ và C; là các hằng số bất kỳ
Họ hàm số (1.16), được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình vi
Trang 19một nghiệm của phương trình đó Mỗi nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát khi gán cho mỗi chữ Cị,C¿ một trị số xác định được gọi là
nghiệm riêng của phương trình Ví dụ 1.2 Phương trình y” = 3z, có thể giải như sau: (J=W'=3z w' v= [oe + er)dr = Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là : 1 a ert eo 1 x4 er + ep, 1= 'Từ nghiệm tổng quát ta có các nghiệm riêng (khi er =e =0), 1 ụ ge te (khi ¢) = 2,2 =-3), vụ 1.3.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2
Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm đối với phương trình vi phân tuyến tính cấp hai
Phương trình vì phân tuyển tính cấp hai là phương trình có dạng:
+ (+) + 4(+)w = 93): 1)
trong đó p(z),q(#) g(z) là các hàm số cho trước
Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm đối với phương trình (1.17), có n
Trang 20Định lý 1.1 Nếu các hàm số p(z).q(z) g(z) sác định va lien tue trên
đoạn Ía,b|, thà, vdi zạ € (a,b) va yo, yh là các số thực bắt kỳ, tồn tại một
và chỉ một nghiệm u(z), của phương trình (1.1T), thỏa mãn điều kiện:
#(#u) = 0 (o) = tñ-
Chứng minh: Viết lại phương trình (1.17) dưới dạng
y" = g(x) — p(z)W — q(3)w (1.18)
Tir gid thiết p(z).(z) g(z) liên tục trên đoạn [a;Ö) suy ra rằng hàm số,
Fe.) = glo) — peda! — aCe)y
lien tue trong miền D=(x,y,y): a<2<b, yeR, YER Mặt khác các hàm số liên tục p(x), va q(x), bi chan tren [a, 6] do đó tồn tại các hằng số dương #€, L, sao cho
I(z)| < K.|a(ø)| < E- Vz € |a,ð|
Tir day suy ra
(se) = ƒ(.psw)| = la(Œ)|- lựa = mịÌ < FJa = Y(z, ta, /):(£, tụ, ) CV
U(+.w.) = ƒŒœ,mw)|= |PŒ)|- lu = vil < Bly = gil
Y(z,wa.1/).(=,p,1/) € V
Trang 21phan cấp hai tổng quát Do đó ta có điều phải chứng mỉnh + Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất
“Trường hợp đặc biệt, khi g(z)
0, phương trình (1.17) có dạng:
#' + p(z) + q(z)w =0 (119)
phương trình (1.19), được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp
hai thuần nhất Ta sẽ xét phương trình (1.19) với giả thiết rằng p(z), và
a(x), là các hàm liên tục trên [a, 8)
Định lý 1.2 Nếu (2), là nghiệm của phương trình tì phân tuyến tính thuần nhất (1.19), thà Cy(x), trong đó C, là hằng số bất hỳ, cũng là nghiêm của phương trình đó
Chứng minh: Nếu (z), là nghiệm của phương trình (1.19), thì
ay! (x) + play (x) + 4(z)w(z) =0
Khi đó, với mọi hằng s6 C ta có
(Cu(z)J” + p(z)(Cw(œ)Ÿ + 4(3)(Cw(+))
= CW(z) + p(z)w (+) + q(+)w(z)) = 0
Điều này chứng tỏ Cy(z) là nghiệm của phương trình (1.19)
Định lý 1.8 Tứng của hai nghiệm (2), và ya(œ), của phương trình tỉ phân tuyến tính thuần nhất (1.19), cũng là nghiệm của phương trình đó
Chững mình: Nếu (+), và yo(x) la hai nghiệm ct
(1-19), thì phương trình
Trang 22va 16(+) + p(œ)2(+) + 4(+)wa(z) = 0: 'Từ đây suy ra (n(x) + (+))” + p(+)((+) + a(3))' + 4(+)(0(3) + wa(z)) (w(z) + p(z)ð4(#) + 4(2)0(3)) + (w(ø) + p(#)i6(z) + 4(z)wa(+)) = 0 Điều này chứng tổ hàm số g(#) + z2(z) là nghiệm của phương trình (1:19) Định lý 1.4 Nếu phương trình tỉ phân tuyến tính thuần nhất (1.19) nói
Trang 231.4 Hệ phương trình vi phân cấp 1 1.4.1 Định nghĩa Hệ phương trình sau B= fC Yn) (1.20) We F(X, Yrs Yn)s
được gọi là hệ phương trình vi phân cấp một dạng chuẩn tắc, trong đó
+, là biến độc lập; mụ, gạ, là các hàm phải tìm và các hàm ƒi(¿ = Ï,n),
xác định trên miền G C "+!
Hệ tị — gi(2), Wa — @a(£), khả vì trên khoảng (a,b), gọi là nghiệm
của hệ phương trình nếu:
a) (r.ei(#) Ø„(z)) € G:Vz € (a,b)
ii) gi@)— (sa) sale) si T.n;Wz € (4,0)
1.4.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một
Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một có dạng
du
Se = PH(#)M\ È Pia()0 + se; +Pu(*), + BÍ)
(121)
mnt (Mt + Dua(3)Wa + +Pan(#), + fale),
trong đó p„(+);i,j = T„n, liên tục trên khoảng (ø,b)
Nếu Ø(z) =0;i = Tym, thi (1.21), được gọi là hệ phương trình vi phân
Trang 24Néu fi(x) 4 0;i = Tyn, thi (1.21), được gọi là hệ phương trình vi phan
tuyến tính cấp một không thuần nhất
Trang 25Chương 2 MỘT SỐ MƠ HÌNH PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KINH TE 2.1 Khái niệm phân tích cân bằng động 2.11 Một số định nghĩa
Các biến kinh tế thười nhận các giá trị khác nhau tùy theo từng thời điểm eu thể được xem xét Chẳng hạn, giá cả của một mặt hàng nào đó có tính biến động theo thời gian, tức là giá cả là một hàm của thời
gian: P = P(/) Thuật ngữ “kinh tế động” dùng để chỉ lĩnh vực phân
tích kinh tế mà trong đó mục tiêu là tìm ra và nghiên cứu các quỹ đạo
thời gian của các biến kinh tế, nhằm xác định xem các biến có hội tụ
đến một mức giá trị (ca ) nhất định không sau một khoảng thời
gian đủ dài (thường được ký hiệu là ¿ —+ +ae ) Trong việc phân tích kinh tế động, mức giá trị cân bằng của biến kinh tế không nhất thiết
Trang 26kiện nhất định Phân tích cân bằng động là một lĩnh vực quan trọng của phân tích kinh tế động nhằm tìm ra các điều kiện đó
Một cách tổng quát hơn, có thể nghiên cứu sự hội tụ của quỹ đạo thời
gian của biến kinh tế tới một quỹ đạo cân bằng, chẳng hạn quỹ đạo thè gian z(), của biến kinh tế z tiệm cận dần tới một quỹ đạo cân bằng
#*(f) có tính tối ưu theo một nghĩa nào đó Trong khuôn khổ của luận van ni „ chúng ta sẽ chỉ đề cập tới trường hợp khi z*(f) constan ng liên thời (cân bằng theo thời gian) có
Trúc này ta nói # là mức cân bà
tính dừng của biến kinh tế được xem xét Nếu với một số điều kiện nhất định z(f), hội tụ tới 7, thì ta nói Z, là mức cân bằng liên thị động và có tính đừng, hay z(/) có tính ổn định dong, Pa
Hình 3.1: Đường biến động giá cả
Trong phân tích cân bằng động, yếu tố thời gian hay thời điểm là rất
quan trọng Chính vì vậy, các biến kinh tế được phân chia làm hai loại:
Trang 27
tục, tại mỗi thời điểm ứ, giá của một đơn vị hàng hóa là P(/) Sau một thời gian đủ dài, giá P(f), sẽ ổn định tới mức giá cân bằng P Cần chú
ring, trong trường hợp đang xét quỹ đạo thời gian P(/), (còn được
gọi là đường biến động giá cả) có tính dao động xung quanh mức giá cân bằng P Trong một số trường hợp khác, đường biến động giá cả có thé không có tính dao động mà tiệm cận tới P, từ đưới lên hoặc từ trên
xuống
Để thực hiện phân tích cân bằng động, ta có thể sử dụng các công cụ của toán học như: phép tính tích phân, phương trình vi phân, phương trình sai phân, 2.1.2 Một số ví dụ về ứng dụng của phép tính tích phân và phương trình vi phân uu
Ví dụ 3.1 Cho „ và /1(0) = 100 ‘Tong dé: H(t), là dân số
tại thời điểm £, at ), là dân số tại thời điểm # = 0 Hay xéc dinh qui dạo thời gian của biến dân số 1/(/) Giải: Xét phương trình vi phan " ma Tư
Sha - [Fe HW =Wire
Tai thai điểm t =0, ta c6 H(0) =
Trang 28‘Theo bai ra ta c6 H(0) = 100
Vay H(t) = 2vT + 100,
Phương trình này xác định quỹ dao thdi gian ciia bién dan sé H(t)
Vi du 2.2 Cho MC = C'(Q) = 26%? va FC = C(0) = 90 Tim chit
phí toàn phần phụ thuộc vào mức sản phẩm dầu ra
“Trong đó: AfŒ, là hàm chi phí biên, #\ chỉ phí cố định và Œ = Œ(@), là chỉ phí toàn phan Ta 6 C1(Q) = 2682 oS = 26020 dQ / dc = / 2£0394Q «y C = 106989 + k C(0) = 90, thì & = C(0) — 10e" = 80, nen C(Q) = 10e"39 + s0 Vi dy 2.3 Cho biét khuynh hướng tiết kiệm biên AZSP, phụ thuộc vào mức thu nhập 48
ASP = TC =0,3—0,1Y~95, 1SP = TU =0,8= 0,1YT95,
Trang 29
'Từ điều kiện ban dau S = 0 va Y = 81 ta có S(81) = Ú suy ra e = Vay S(Y) = 0,3Y — 0,29 — 22,5
2.1.3 Ung dụng phương trình vi phân xác định hàm cầu khi
biết hệ số co dãn của cầu
Co dan điểm là sự co dan tại một điểm trên đường cầu Ap dung
phương pháp tính co dan điểm khi có sự thay đổi võ cùng nhỏ lượng cầu và các yếu tố ảnh hưởng ta có hệ số co dan của cầu thị trường một sản phẩm được xác định bởi: — dQP ~ dPQ’ Ey hay 2 = tiệc “Trong đó
Q: là cầu thị trường của sản phẩm
Pˆ: là giá bán trên thị trường
Eạ :, là hằng số được gọi là hệ số co đãn của cầu theo giá
Ta nhận thấy phương trình trên là phương trình vi phân biến số phân ly, giải bằng cách tích phân 2, về ta được: Q InQ = EylnP + Inc @ In© = EynP = InP 9 © PE = Q = cP"
Vi du 2.4 Tìm hàm cầu của sản phẩm A : Q = ƒ(P) cho biết hệ số
co đăn của cầu theo giá Z, là:
— 10P + 4P2
Trang 30
=(-101+4P)4P
Hay Q = —10P + 2P? +¢,Q = 1000 khi P = 20 nên 1000 = —(10)20 + 2(20)? + ¢ = e = 400 Vay cầu của sản phẩm A la: Q = —10P + 2P? + 400
Ví dụ 2.5 Tìm hàm cầu của sản phẩm 4 : Q = D(P), cho biết hệ số
Trang 312.2 Phân tích cân bằng động đối với giá cả thị
trường
2.2.1 Phát biểu mô hình cân bằng động
Xét mô hình kinh tế thị trường vi mô với một mặt hàng cho bởi hệ phương trình sau Qa=a—=ØP Q,=~++P véi a, 8,7,5 > 0 “rong đó: Qu: ham cdu + hàm cùng +
Cho Qa = Q¿, sẽ tìm được mức giá cân bing P bw + =
+ Khi P(0) = P, thị trường đã ở trạng thái cân bằng, do đó khong ¢:
phân tích tiếp giá cả thị trường
+ Khi (0) # P, chúng ta cần tiếp tục phân tích để biết sau một thời
sian nhất định thị trường có được điều chỉnh để đạt tới trạng thái cân bằng hay không Để nghiên cứu vấn đề này, cần xác lập được quỹ đạo thời gian của giá cả (có thể hiểu đây là đồ thị của hàm giá cả (0), ) Do giá cả của mặt
bàng luôn được điều chỉnh tỉ lệ thuận với thăng dư của cầu so với cùng
Trang 32đường cầu Tình 2.2: Dưỡng cung, đường cần aP FA HQu-Q)- 6 đó j, là hằng số đương “Từ đó ta có P' =j(a=8P++~—äP) ®P'+j(8+8)P= j(a +3)
Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp một hệ số hằng Theo cong,
Trang 33
P(): khi P(0)< P
P(0)|
Hinh 2.3: Bien Inan P(t) theo gia tri P(0)
2.2.2 Khảo sát tính ổn định động của mức giá cân bằng
T, được gọi là mức cân bằng liên thời của giá cá Mức cân bằng này được gọi là Gn dinh dong do P(t), hoi tu tới ? khi £ —+ so Ngoài ra, do P, P = const, mức cân bằng liên thời được gọi là mức can bằng,
dừng
'P(0) = P, được gọi la sai sé ban dau, P(t) — P, 1a sai sé giita P(t) va P,
tại thời điểm #
Vi dy 2.6 Xét mô hình thị trường với một mặt hàng cho bởi hệ phương, ap Qu=0- AP +05 Q.=-7+6P trình sau với œ,,,ổ > 0
Trang 34b) Cho biết mức giá cân bằng theo thời gian cũng như cho biết giá trị
Trang 35Ví dụ 2.7 Sản phẩm 4, có hàm cung và hàm cầu được xác định như {erie (21) Qs = =6+ 4p Giả định rằng sự điều chỉnh giá theo thời gian là sau: S = (Q, — Q,)- hệ số điều chỉnh (22) Xác định ham p(t), biét rằng p = 15, hic t = 0 Giải: ‘Tit (2.1) va (2.2) ta có : dp 1 1 Fe = 5(Qe-Q.) = 54-2 + 6 4p) dp qt P= 'Ta nhận được từ phương trình vi phân tuyến tính cắp 1: dp ate? +) Giải phương trình thuần nhất dp qe hồ =0 GBP 9a PL dp = Bll > p= ce = cent = eet = 9 - ot) p= alte + B= 'Thay vào phương trình đầu ta được
+) Xem e “(t)e #— 3e(t)e*
Trang 36thí p(0) = 15
2.3 Mo hinh tang trưởng Solow
2.3.1 Phát biểu mô hình tăng trưởng Solow
Chúng ta xét hàm sẵn xuất phụ thuộc cả vao Ky va Ly: Q=f(K.L) (KvàL >0) Trong đó: L: lao dong Q: mức sản xuất đầu ra
Với giả thiết đây là hàm đẳng cấp bậc một và do đó có tính chất hiệu suất cố định, tức là /(kÑ, kE) = kƒ(W, L) (k > 0) Với giã thiết trên ta
CL) =/(E.yr) = tk 1
= O(k), > Q = L8(k)
với k = , dude goi la tỉ số vốn _ lao động
Trang 37là hằng số dương, s < 1)
+ = Tay = À, với À được coi là hằng số dương Giả thiết này tương đương với hàm (tăng trưởng) lao động có dạng L = L(0)c` (với À, chính Ta tốc độ tăng trưởng của lao động)
Tit cde giả thiết trên có thể rút ra phương trình vi pha Ak “Thật v K' = 8Q = sL®(k) Mặt khác,€ = kL, nên khi lấy dạo hàm theo £ cả hai về sẽ có sau È' = s®(E)— ta có KT = LR + KI! = LR + RAL Chuyển biển thức kÀ, từ về phải sang về trái, sau đó chia cả hai về cho 1, tà được Khu lL AK $2 s(k) — Mk
2.3.2 Phân tích định tính trên biểu đồ pha
Để sử dụng biểu đồ pha phân tích định tính đường k = k(f), ta vẽ
Trang 38
Hình 34:
Trang 39“Trên hình (2.5), do độ dốc của biểu đồ pha tại E, là hữu hạn âm nên Ẽ,
chính là mức cân bằng liên thời có tính đừng và tính ổn định dong Qi
đạo thời gian cia k = k(t), vi vay có dạng như hình 2.6
Hình 26:
Phân tích tính ổn định vững của nghiệm k = k(t)
'Từ các phân tích trên về mô hình tăng trưởng Slow có thể rút ra một số kết luận sau: + risk kG, ‘ + Vì tốc độ tăng trưởng của L, 1 4, (do giá thiết 7 = À) và tỉ lệ k [ L K A
cũng là A, tại £ © 5e, (khi tỉ số 7ˆ, ồn định ở mức
Trang 40Qiu QoL” = tốc do ting tring iia Q cing xAp xi A, khi t, khá lớn Q=L8(E) ^
=> các biến kinh té K,L,Q, déu có tốc độ tăng trưởng A, khi t đủ lớn
=>, khi £, đủ lớn mô hình kinh tế Slow
2.3.3 Phân tích định lượng
Để phân tích định lượng mô hành Solow, chúng ta xét bài toán sau Vi du 2.8 Cho Xét hàm sản xuất dạng Cobb-Douglas
Q= KLM,
với Ú<œ< 1
Hãy chứng tỏ rằng tốc độ tăng trưởng của tỉ số vốn trên lao động Ñ/,
phụ thuộc vào khuynh hướng tiết kiệm biên s, và tốc độ tăng trưởng của lượng lao động G Theo bai ra ta có: Q= Lk" K với k=
"Trong trường hợp này cũng có ®(#') = #*, nên mô hình Solow được mô tả bởi phương trình vi phân
sk® — Ak