Mục đích của luận văn Kỹ thuật biến phân và một số ứng dụng là tổng quan các kỹ thuật biến phân bậc nhất trên không gian vô hạn chiều, trình bày các ứng dụng của kỹ thuật này trong cá lĩnh vực khác nhau của giải tích, tối ưu hóa và xấp xỉ, hệ thống động và toán kinh tế.
Trang 1BỘ GIÂO DỤC VĂ ĐĂO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRUONG DAI HOC SU PHAM
HERE HOO RHR EE
TRAN HUU HIEU
KY THUAT BIEN PHAN VA
MOT SO UNG DUNG
LUAN VAN THAC SI TOAN HOC
Trang 2BỘ GIÂO DỤC VĂ ĐĂO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRUONG DAI HOC SU PHAM TRẦN HỮU HIẾU KỸ THUẬT BIẾN PHĐN VĂ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chun ngănh: TÔN GIẢI TÍCH Mê số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÂN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS HUỲNH THÍ PHÙNG
Trang 3LỜI CAM ĐOAN
Toi zin cam đoan đđu lă công trình nghiín cứu
của riíng tôi, câc số liệu uă kết quả nghiín cứu
ghỉ trong Luận ăn lă trung thực Tôi hoăn toăn
chịu trâch nhiệm trước khoa uă nhă trường ví sự
cam doan nay
Trang 4LỜI CẢM ƠN
Luđn uăn nău được hoăn thănh dưới sự hướng dẫn uă chỉ bảo tận tình của PGS
TS Huỳnh Thế Phùng Từ đâu lòng mình tôi zin được bău tỏ lòng biết ơn sđu sắc
đối uới sự quan tđm, động uiín uă sự chỉ dạu, hướng dẫn tận tình đầu tđm huyết
của Thầy
Tồi cũng zin chđn thănh cảm ơn câc Thầu, câc Cơ giảng uiín khoa Tôn trường Dai học Su phạm - Đại học Huế đê tận tănh giảng dạu va truyền đạt những kiến thức bổ ích trong suốt khóa học tại trường
Đồng thời tôi zin cảm ơn tới tập thể Cao học Toân khóa XXIH trường Đại học
Sư phạm - Dai hoc Huế đê động viín, giúp đỡ tôi trong quâ trình học tập uă hoăn
thănh luận ăn nău
Cuối cùng tôi xin cảm ơn Bồ, Mẹ vă toăn thể gia đănh tôi, những người đê động uiín tôi rắt nhiều uă cũng lă động lực giúp tôi hoăn thănh luận tăn nay
Do thời gian có hạn niín luận uăn chỉ dừng lại uiệc tìm hiểu, tập hợp tăi liệu, sắp xếp tă trình bău câc kết quả đê có theo chủ đề đặt ra Trong quâ trình tiết luận ăn cũng như trong quâ trình xit ly vin bản chắc chắn không trânh khỏi sai sót, rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của Thđu, Cô uă bạn đọc quan
tam van dĩ nay
Trần Hữu Hiếu
Trang 5Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Băng câc ký hiệu Mỡ đầu
1 Câc nguyín lý biến phđn
1.1 Nguyín lý biến phđn Ekeland ` sua
1.11 Dạng tổng quât trín không gian metric đủ 112 Câc dạng khâc - 1.2 Dạng hình học của nguyín lý biến phđn 1.2.1 Dịnh lý Bihop-Phelps 1.2.2 Định lý Flower-Petal 1⁄3 Ứng dụng cho định lý điểm bất động 1.3.1 Dịnh lý điểm bất động Banach 1342 Dịnh lý điểm bất động Caristi-Kirk 1⁄4 Câc nguyín lý bi
1⁄41 Nguyín lý biến phđn trơn trong không gian hữu hạn chiều 14.2 Định lý thay phiín Gordan - 143 Trộihoâ
1.5 Nguyín lý biến phđn Borwein-Pre
2 Kỹ thuật biến phđn trong lý thuyết dưới vi phđn
2.1 Dưới vi phđn Frĩchet vă nón phâp 2.1.1 Dudi vi phan Frĩchet
212
22 Quy tắc
22.1 Tâch cận dưới
2.2.2 Quy tae tổng xắp xỉ không địa phương, 2.3 Tính duy nhất của nghiệm Vi
Trang 62.4.3 Tiíu chuẩn Lipschitz
2.4.4 Tính đơn điệu của nón
2.4.5 Tính tựa lồi 2.5 Quy tắc dđy chuyền
3 Kỹ thuật biến phđn trong giải tích lồi
3.1 Dưới vi phđn hăm lồi
3.11 Dưới vi phđn vă nón phâp sao 3.1.2 Dạo hăm theo hướng của hăm lồi inh Iy Sandwich 3.2.1 Bổ đề tâch 2.2 Dinh ly Sandwich 3- Phĩp tính dưới vi
3.2.4 Câc điều kiện Pshenichnii-] Rockafellar
3.3 Lien hop Fenchel phan 3.3.1 Lien hgp Fenchel 3 Đối ngẫu yếu 3.4 Đối ngẫu mạnh 3.4 Bất đẳng thức đối ngẫu cho ham Sandwich - Bất đẳng thức Fenchel-Young
4 Kỹ thuật biến phđn trong giải tích hăm phi tuyến
4.1 Dưới vi phđn vă không gian Asplund 4.2 Câc định lý tâch không lồi
4.2.1 Dinh ly tâch không lồi
4.3 Câc nguyín tắc biến phđn Stegall 3.1 Tính chất Radon-Nikodym lý biến phđn Stegall 43.3 Dinh ly Pitt ⁄32 Nguy
4.4 Dinh lf Mountain Pass
Trang 7Ký hiệu RB cl) BANG CAC KY HIEU 'Ý nghĩa ký hiệu
Không gian vector thực n-
Không gian câc hăm khả vi liín tục trín 9 B,(z) hoặc B(z,r) _ Hình cầu mở tđm z bân kính z [x,y] diamS conv Loaf r(S:z) 9rƒ() linf S(2*, A,a) Đoạn thẳng nối hai điểm z vă ự với mọi z, y € R" Đường kính của tập S Bao tuyến tính của tập S "Tập mức của ƒ
Nón phâp Frechet của 8 tại z
Dưới vi phđn của /(z)
Không gian tuyến tính của một hăm dưới tuyến tính ƒ
Phiến của A
Tap deo tit a đến ö
'Vectơ có gốc tại z bằng câch sắp xếp lại câc thănh phần
Trang 8MỞ ĐẦU
“Ky thuật biến phđn” lă một thuật ngữ của toân học nhằm nói đến câc phương
phâp chứng minh ở đó có sử dụng một hăm phụ thích hợp mă đạt giâ trị cực tiểu
Đđy có thể được xem như một mô hình toân học của câc nguyín tắc tâc động,
tối thiểu trong vật lý Bởi nhiều kết quả quan trọng trong toân học, mă đặc biệt
việc chúng có ít nhiều liín
quan đến câc kỹ thuật biến phđn lă điều hoăn toăn tự nhiín Việc sử dụng câc
lập luận biến phđn trong chứng minh toân học có một lịch sử lđu dăi Điều năy
có thể được truy ngược trở lại từ băi toân của Johann Bernoulli về đường đoản
thời vă lời giải của nó phải sử dụng phĩp tính biến phđn Kể từ đó phương phâp
năy thường được sử dụng trong câc lĩnh vực khâc nhau của toân học
Một mình họa đơn giản của lập luận biến phđn lă ví dụ sau:
Vi du (Tinh tran ciia dao ham): Cho f :R > R kha vi va giả sử
lm /0)/I = +00
Khi d6 {f"(x)|z € R} = R Thật vậy, cho r lă một số thực bất kỳ Đặt g(z) :=
f(x) — ra Ta có g(z) => se khi |z| + oo va vi vay g dat giâ trị cực tiểu tại một
điểm # năo đó thuộc R Vi vay = fŒ) ~r Như vậy, ƒ'(#) = r Do r lấy
tùy ý trong Ñ ta suy ra tập hợp câc đạo hăm của hăm ƒ bằng ïR
Hai điều kiện cốt yếu của lập luận biến phđn lă tính compaet (để bảo đảm hăm phụ đạt cực tiểu) vă tính khả vi của hăm phụ (để có điều kiện dừng) Tuy nhiín, những khâm phâ quan trọng của toân học những năm 1970 đê lăm giảm nhẹ đâng kể cả hai giả thiết trín Những kết quả về nguyín lý biến phđn tổng, quât lăm giảm nhẹ tính compaet, còn những kết quả của giải tích không trơn lại cho phĩp sử dụng câc hăm phụ không khả vi Nhờ vậy, câc kỹ thuật biến phđn
cùng với câc ứng dụng của chúng đê phât triển vượt bậc trong nhiều thập kỷ qua Bín cạnh việc sử dụng câc nguyín lý biến phđn sử dụng câc đạo hăm suy rộng
cho câc hăm trơn, người ta thường cần phải kết hợp một nguyín lý biến phđn với câc công cụ thích hợp khâc Một đặc điểm quan trọng của câc kỹ thuật biến phđn
mới lă chúng có thể lăm việc trín câc hăm không trơn, câc tập hợp vă câc hăm đa trị tốt như nhau
Mục đích của luận văn lă tổng quan câc kĩ thuật biến phđn bậc nhất trín
không gian vô hạn chiều, trình băy câc ứng dụng của kỹ thuật năy trong câc lĩnh vực khâc nhau của giải tích, tối ưu hóa vă xắp xỉ, hệ thống động vă toân kinh tế
Luận văn gồm 4 chương:
Chương 1 trình băy câc kết quả cổ điển của giải tích về điều kiện để một hăm nửa liín tục dưới đạt cực tiểu bao gồm Nguyín lý biến phđn Ekeland, chứng
mình ngắn gọn định lý trong không gian metrie đủ tổng quât, sự tương đương của
Trang 9nguyín lý biến phan Borwein - Preiss
Chương 2 trình băy câc ứng dụng kỹ thuật biến phđn với câc hăm nửa liín tục dưới trín không gian Banach trơn Frĩchet bao gồm câc quy tắc tổng xắp xỉ địa phương vă không địa phương, từ đó suy ra điều kiện duy nhất nghiệm Viscosity của phutong trinh Hamilton - Jacobi
Chương 3 trình băy ứng dụng của kỹ thuật biến phđn trong không gian đầy
đủ với câc hăm lồi được níu trong định lý Sandwich vă vận dụng định lý năy suy
ra điều kiện có nghiệm của băi toân lồi đơn giản vă trình băy một số kết quả căn
bản nhưng quan trọng liín quan tính liín hợp với dưới Gradient
Chương 4 trình băy ứng dụng kỹ thuật biến phđn trong giải tích câc hăm phi
tuyến, tổng quan nguyín lý biến phđn Stegall vă định lý Mountain Pass
Mặc dù đê có nhiều cố gắng nhưng do thời gian vă năng lực có hạn nín luận văn khó trânh khỏi những thiếu sót Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của
Trang 10Chương 1
Câc nguyín lý biến phđn
1.1 Nguyín lý biến phđn Ekeland
Nếu X không compact va f không lă bức trín X thì hăm ƒ có thĩ không đạt cực tiểu trín X Khi đó, ta xĩt khâi niệm điểm -xấp xỉ cực tiểu như sau: Với e > 0
cho trước, một điểm z; € X gọi lă z-xấp xỉ cực tiểu của ƒ(z) trín X nếu
inf f < f(ve) < inf f +e
Điểm e-xấp xỉ cực tiểu bao giờ cũng tồn tại nếu ƒ bị chặn dưới Hơn nữa, khi X
lă không gian metrie đủ thì nguyín lý Ekeland phât biểu rằng ta có thể lăm nhiễu
ham f dĩ thu được một hăm đạt cực tiểu trín X Sau đđy ta xĩt nguyín lý biến phđn Ekeland cổ điển trín không gian metric đủ (X, đ)
1.1.1 Dạng tổng quât trín không gian metric đủ
Định lý 1.1.1 Cho (X,d) lă một không gian metric day dii va Ƒ: X => RU [+s} lă một hăm nửa liín tục dưới, bị chặn dưới Giâ sử e > 0 tă z € X thoả mên ƒG) < ifƒ+e Khi đó, uới X > 0 bắt kỳ thì tồn tại ụ € X sao cho i) d(s,u) <A 1) ƒ() + §4(z.u) < ƒ(z) tă
iii) ƒ(r) + §d(z,w) > ƒ(u), tới mọi z € X\{w}
Để chứng minh Định lý trín, trước hết ta định nghĩa một quan hệ thứ tự "<" trín tích X x R như sau, với mỗi a > 0, với (Z4.y\) (za.a) € X x B ta có
(21, m) S (#2, ya) @ wa — tì + ad(rì,z2) < 0
Ta chứng minh quan hệ "<" có tính phản xạ, phản đối xứng vă bắc cầu
Trang 11Tính phản zạ : dễ thấy từ định nghĩa quan hệ "<"
Tính phản đối xứng : gid sit ring (11,41) < (2, yo) vă (x2, y2) < (21,1) Ta can chứng mỉnh (z¡.y¡) = (za, a) Thật vậy, do câch định nghĩa quan hệ thứ tự vă gid thiết trín ta có: _ ˆ a rang) € (min) @ dựa) < BC,
Suy ra 2d(rì,za) < 0 Vì vậy z¡ = 22 Do d6 (21, y1) = (22, y2)-
Tinh bac cau : gid sit ring (1, y1) < (x2 y) va (x2 y2) < (73, ys) Khi đó tì =a we — ys đ(zì,z3) < vă d(za,z3) < “Tă suy ra MỊ Ys d(x1,22) + d(x2,23) $ > Mặt khâc d(x1,23) € đím, #3) + đ(ra, z3) Vay ta suy ra 1 d(x1,25) < 4 a hay (x1,m1) S (3,43)
Bỏ đề sau sẽ được dùng để chứng minh Định lý 1.1.1
Bổ đề 1.1.1 Cho S lă tập đóng trong X x R thỏa mên tần tại m € R sao cho nĩu (z,a) € S thì a >m Khi đó, uới mỗi phan tit (x1,a1) € S luôn có phần tử
(y.a’) € 8 sao cho (271,01) < (y.a’) vă (y.a') lă phần tử cực đại trong S theo nghĩa (z,a) # (u.4') V(z,a)€S_ tă (z,a) # (w,a')
Chứng mình Ta xđy dựng dêy (z„.a„) C S bằng quy nạp như sau, bắt đầu với (zi.ai) € 8 cho trước Giả sử rằng (zạ,a„) đê biết Ký hiệu
Sn = {(.a) € 8| (zn.an) < (z,4)}, mn = inf{a € RR | (z.a) € Sa}
“Ta có Sp lA cdc tập đóng vă S„ khâc rỗng khi đó ta lấy (tn+1,an41) € Sn sao cho
in — Hạc
ay dyn > A, (1.1)
Do quan hệ "<" có tính bắc cầu nín S„;¡ C S„ suy ra rn„ < mm„¿ Như vậy, S„
lă đêy câc tập đóng giảm dần trong Š, rn„ lă dêy giảm dần trong R vă bị chặn
dưới, vậy (1.1) có thể viết thănh
= Mn > An+1 — Mny1 2 0
Trang 12“Tiếp tục quâ trình năy ta thu được a, đn+] — Tuy] Š Mat khĩc (7n41,an+1) < (z.a) nín ta có am Ant (rn 41,2) S (a>0)
Vậy đường kính của S„ tiến dần về 0 Suy ra dêy S„ lă đêy câc tập đóng lồng nhau thắt dần vă có đường kính tiến dần về 0 trong X x R, theo Định lý Cantor
tồn tại (y,a') € S thoả man
{(2.a)} = [) Sn (12)
n€N
Ta sĩ chimg minh (y,a') lă phần tử cực đại cần tìm Thật vậy, từ định nghĩa (w.4') vă (z„.a„) < (y,a’), Voi mọi n € Ñ do đó (zi.ai) < (w.a') Giả sử có
(x.a) > (y,a’) với (z,a) € S vă (z,a) # (y.a') Khi đó (z.a) € 8, với mọi n €Ñ Vì
(z,a) € fA„ewS, điều năy mđu thuẫn với (1.2) Như vậy (y,a') lă phần tử cực
đại trong S thỏa mên yíu cầu Bồ đề a
“Ta chứng minh nguyín lý biến phđn Ekeland trong Định lý 1.1.1
Chứng mình Đặt S = epif = {(z,a) € X x R| f(x) < a} Dễ thấy, (z, ƒ(z)) € S Do f lă nửa liín tục dưới nín S lă tập đóng trong X x R
Ap dụng Bồ đề 1.1.1 với a = § vă phần tử (z, /(z)), luôn tìm được (y,ø') sao cho (, f(2)) < (y.a’) va (y a’) lă phần tử cực đại trong S
Tit dinh nghia cia epif ta ludn c6 (x, f(x)) € S, vĩi moi x € X Mat khac
fly) <a! nen ~flu) +a! + Sd(x,y) 2 0 -
Trang 13“Ta chứng minh (iii) Theo phần trín (y, f(y)) lă phần tử lớn nhất trong S nín với mọi (z, f(x)) € S thi (x f(x)) # (y./()) với mọi x 4 y Do d6
ƒŒ)+ 340,3) > fy), Ve Ay 1.1.2 Câc dạng khâc
Diĩm y tìm được lă điểm cực tiểu chặt của hăm nhiễu f(x) + $d(y.x) Nếu A nhỏ
ta có thông tin tốt hơn về vị trí của so với điểm z xấp xỉ ban đầu, nhưng khi
đó hăm nhiễu ƒ(z) + šd(w.z) lại có sự sai khâc lớn so với ƒ(z) Ngược lại, nếu A lớn thì ta không biết nhiều về vị trí điểm , nhưng hăm ƒ(z) + §d(w.z) có thể sai
khâc rất ít so với hăm ƒ(z) ban đầu Hằng số A trong Định lý trín được chọn rất
linh hoạt
Dinh ly 1.1.2 Cho (X,d) lă một không gian metric day đủ vă ƒ : X — EU{+se} lă một hăm nửa liín tục dưới bị chặn dưới Giả sử e > 0 tă z € X thod man
F(2) <inf f +e
Khi đó tồn tại y sao cho
i) d(z,y) <1
ti) f(y) + ed(z,y) < f(z), tă
iii) f(x) + ed(x,y) > f(y), vdi moi x € X
Chứng mình Chọn A =1 trong Định lý 1.1.1 a
Định lý 1.1.3 (Nguyín lý biến phđn Ekeland cơ bản) Cho (X,d) lă một không
gian metric đầu đủ va f : X + RU {+00} lă một hăm nửa liín tục dưới bị chặn
dưới Giĩ site > 0 va z € X thoĩ man
Sle) <inf f +e
Khi đó, vdi bat kj \ > 0, tồn tại ụ sao cho
i) d(z,y) < ve,
ii) f(y) + Ved(z,y) < f(z), va
iii) f(x) + VEd(x, y) > fly), vdi moi x € X\{y}
Chứng mình Chọn A = vZ trong Định lý 1.1.1 a
Định lý 1.1.4 Cho (X,d) lă mot khong gian metric day dii va f : X + RU{+00}
lă một hăm Isc bi chặn dưới Khi đó, tới bắt kỳ e > U, tồn tại y sao cho
J (x) + Vĩd(x,y) > f(y)
Chứng mình Được suy ra từ Nguyín lý biến phđn Ekeland cơ bản n
Trang 141⁄2 Dạng hình học của nguyín lý biến phđn
1.2.1 Dinh ly Bishop -Phelps
Cho X lă một không gian Banach Với bất kỳ z" € X*\{0} vă bắt kỳ > 0 ta goi
K(*.£):= {xe X |z
lIzl| < ϡ.z)}
lă một nón Bishop-Phelps cùng với z* vă c
Trang 151.2.2 Định lý Flower-Petal
Cho X lă một không gian Banach vă a,b € X Ta gọi
P,(a,b) := {z € X | la = z|| + llr = ð|| < llb = all}
lă một cânh hoa cùng với + € (0 +sc) vă a, € X Một cânh hoa luôn lồi, vă những cânh hoa được cấu thănh khi + € (0, 1)
Dinh ly 1.2.2 (Dinh lj Flower Petal) Cho X la mot khong gian Banach va S la một tập con đóng của X Giĩ sita € S vab € X\S vdir € (0,d(S,b)) vat = |\b—al]
Khi đó tới bất kỳ + > 0, luôn tín tại y € SA P,(a,b) thod man || ~ a|| < (t— r)/+
sao cho P,(y,b) OS = {y}
Ching minh Dinh nghia f(x) := lx — ð||+ ›s(z) Khi đó
Sa) <inf f+ (t=)
Ap dung nguyín lý biến phđn Ekeland văo hăm số ƒ(z) với =
ta có, tồn tại y € S sao cho |ly = a|| < (£— r)/+ thoả man t~r vă Ă = (t—r)/+,
lly — || + +lle — yll < fla — BI)
va
[|x — ð|| + +llz — yll > lly — 5], Wx € S\{y}-
Bất đẳng thức đầu chi ra y € P,(a,b), trong khi bất đẳng thức sau suy ra rằng
P„(u.b) n8 = {u} oO
Định lý 1.2.3 (Nguyín lý biến phđn Ekeland va tinh dĩy dii cia khong gian metric) Cho (X,d) lă một không gian metric Khi đó X đầu đủ khi tă chỉ khi, vdi
mọi hăm nửa liín tục dưới bi chin dudi f : X + RU {+00} va vdi moi c > 0 ton
tại một điểm € X thoả mên
f(y) Sinff+e,
ƒ(œ) + =d(z,w) > ƒ(u).Yz € X Chứng minh Chiều thuận được suy ra từ Dịnh lý 1.1.4
Ngược lại, giả sử với mọi hăm nửa liín tuc dude bị chặn dưới ƒ : X => RU{+œ},
vă với mọi e > 0, tồn tại một điểm y € X thỏa mên (i) vă (ii) Ta chứng minh (X.đ) lă không gian đầy đủ
“Thật vậy, cố định z € X vă xĩt dêy {z„} C X lă diy Cauchy ta cần chỉ ra {z„}
hội tụ trong X Từ đânh giâ
ld(zm,z) — d(xa,z)| < d(zm.zn), Ym,n €Ñ
Trang 16“Ta suy ra {đ(z„.z)} lă day Cauchy trong R* (1a không gian metric đủ) nín dêy năy hoi tu trong R* Xĩt ham f(z) = lim d(z„.z) Do hăm khoảng câch lă lipschitz với z nín ta có /(z) lă hăm liín tục Hơn nữa, dêy z„ lă dêy Cauehy nín /(z„) > 0
khin — oo Ta suy ra inf f = 0
Voi ¢ € (0,1), ta tim được € X sao cho f(y) < inf f
f(x) +ed(x,y) > fy), Vee X
Cho z = z„ thay văo biểu thức trín vă chuyển qua gidi han n + oo ta duge
ƒ(w) < eƒ(y) suy ra ƒ(y) = 0 Điều năy chứng tỏ rằng lim z„ = y n
1.3 Ung dụng cho định lý điểm bất động
Cho X lă một tập hợp vă ƒ lă một ânh xạ từ X văo chính nó Ta gọi z lă điểm
bat động của ƒ nếu f(r) = z
1.3.1 Định lý điểm bất dong Banach
Cho (X,d) lă một không gian metric đầy đủ vă ở lă một ânh xạ từ X vă chính nó
“Ta gọi ó lă ânh xạ co nếu tồn tại k € (0.1) sao cho
d(ð(z).ö(w)) < kd(z,),Vz,u € X
Định lý 1.3.1 (Định lý điển bat động Banach) Cho (X.d) lă một không gian metric đầu đủ Giả sử ó: X + X lă một ânh xa co Khi đó tồn tại duy nhất một điểm bắt động Chứng mảnh Đặt f(x) ta có € X sao cho d(x, 6(2)) Ấp dụng Dịnh lý ?? cho ƒ với e € (0,1= k), ƒ(z) + =d(z,) > ƒ(w).Vz € X Đặc biệt, đặt z = d(y) ta có
4(u.ð(u)) < d(6(w).6°(w)) + ed(w.ó(y)) < (k + e)d(u,Ø(0))
Do đó y lă một điểm cố định Tính duy nhất được suy ra trực tiếp từ ó lă ânh xa có a Cho (X,d) lA mot khong gian metric day đủ Cho z, € X, ta định nghĩa [x,y] := {2 € X|d(x, 2) + d(z,y) = d(x,y)} (1.3.1) lă đoạn giữa z va y
Định nghĩa 1.3.1 (Ânh zạ co có hướng) Cho (X,d) la một không gian metrie
Trang 17(i) 6 lien tue, ră
(ii) ton tai k € (0.1) sao cho, bat ky x € X vdi (x) # x tồn tại z € [z.ð(z)]\{z} sao cho
(oz), 9(2)) < kd(z, 2)
Dinh lý 1.3.2 Cho (X.d) la mot khong gian metric day di Giĩ sit 6: X + X
lă một ânh zạ eo có hướng Khi đó ó có một điểm bắt động Chứng mình Định nghĩa
(x) = d(x 6(2))
Khi đó ƒ liín tục vă bị chặn dưới bởi 0 Ấp dụng nguyín lý biến phđn Ekeland
văo ƒ với e € (0,1 &) ta kết luận rằng tồn tại y € X sao cho
f(y) < ƒ(z) + ed(x,y), Wa € X (1.3.2)
Nếu (y) = chứng minh xong Ngược lại, vì ó lă một ânh xa co có hướng nín
tồn tại một điểm z # ự với z € [y.ø(w)|, tức lă d(u,z) + d(z, ð(w)) = d(u.ð(w)) = ƒ(9) (1.3.3) thoả mên 4(9(z).ở(w)) < kd(s.) (1.3.4) Cho z = z trong (1.3.2) vă sử dụng (1.3.3) ta có d(y, 2) + d(z,y) < d(z,o(z)) + =d(z.w) hoặc d(u,z) < đ(s,ó(z)) ~ d(z, Oy) + ed(z,y) (1:35) Sử dụng bắt đẳng thức tam giâc vă (1.3.4) ta có a(z, 6(2)) — d(s.ö(y)) < d(6(y).(2)) < kd(w.z) (146) Kết hợp (1.3.5) vă (1.3.6) ta có d(y, 2) < (k+=)d(y,2), mđu thuẫn n 1.3.2 Định lý điểm bất động Caristi-Kirk
Một lập luận tương tự có thể được sử dụng để chứng minh định lý điểm bất động, Caristi- Kirk cho ânh xạ đa trị Cho ânh xa da tri F : X + 2*, ta gọi z lă một
Trang 18Định lý 1.3.3 (Định lý diĩm bat dong Caristi-Kirk) Cho (X,d) lă một không gian metric day dit va f : X + RU {+00} la mot ham nita liín tục dưới, chính thường, bi chin dudi Gid sit F : X + 2% la mot ĩnh xa đa trị vdi mot dĩ thi dĩng thoả mên
flu) < ƒ(ø) — dfz.v).Y(z,y) € GrE (37)
Khi đó F` có một điểm bat động
Chứng mình Định nghĩa một metrie ø trong X x X bởi p((zì,yi),(z2.2)) =
d(xy,272) + d(yi.y2) vOi bAL KY (1, m1), (2, yp) € X x X Khi do (X x X,p) lă một không gian metric đầy đủ Cho z € (0,1/2) vă định nghĩa g: X x X + RU {+00} bởi g(x,y) = f(x) — (L— £)d(z.w) + +err(z.v)- Khi đó ø lă một hăm nửa liín tục dưới bị chặn dưới Âp dụng Nguyín lý biến phđn Ekeland, tồn tại (z*,y") € GrF sao cho 9(ˆ.w`) < g(z,w) + =p((z ) (z`,w")),V(x.u) € X x X Vì vậy với moi (x.y) € GrF, f(x*) = (1=e)d(x*, y") < 7Œ) ~ (1~ £)d(z, u) + (d(x, 2°) + d(y, 9") (1.3.8) Giả sử z* € F(w*) Cho (z.w) = (y*,z*) trong (1.3.8) ta có
ƒ() = (1 = e)d(x*,y*) < f(y") = (L~ e)d(u°,z*) + e(d(y", 2") + d(z*,y"))
Nín
O< f(x") — fly") — d(x*.y") < =(1 — 3e)d(w", z")
do dĩ y* = z* Suy ra y’* 1a một điểm bất động của F o
Chú ý rằng từ chứng minh trín có được F(w*) = {w*}
1.4 Câc nguyín lý biến phđn hữu hạn chiều
“Trong mục trín, ta đê phât biểu vă chứng minh Nguyín lý biến phđn Ekeland cho
ột không gian metrie đủ tổng quât với hăm ƒ lă nửa liín tục dưới vă bị chặn
dưới Trong không gian hữu hạn chiều, ta có một câch chứng minh ngắn gon Dinh
lý trín sử dụng điều kiện bức
Cho X lă không gian topo vă hăm f : X + RU {+00} Với mỗi a R, kí hiệu tập mức của ƒ lă
Trang 19
1.41 Nguyín lý biến phđn trơn trong không gian hữu hạn
chiều
Định lý 1.4.1 (Nguyín lý biến phđn trơn trong không gian Buclid) Cho f :RN + TRU{++c} lă một hăm nửa liín tục dưới bị chặn dưới, > 0 vă p > 1 Giả sử c > 0 va z € RY thod man ƒŒ) Sinf f +e Khi đó lồn tại y € RN sao cho @ \lz-all sd, (ii) Sv) + spllu- 21" < ƒ) › (iit) f(x) +
Chứng mình Xĩt hầm g(z) = ƒ(z)+ sg||z—|P Do ƒ nữa liín tục đưới vă bị chặn dưới nín ø cũng lă nửa liín tục dưới vă bị chặn dưới Mặt khâc, ta thấy rằng ø
thỏa mên điều kiện bức tức lă \ [im g(x) = +00 lz|->tee
Lay a € R", xĩt tap Lo(ayg = {2 € R" | g(x) < g(a)}, do ø lă nửa liín tục dưới nín
Lo(a)g 1a dong trong R”
Ta ching minh tap L,q)9 lă bị chin trong R" That vay gid sit Ly.)9 khong bi chặn trong R", lite 46 ton tai day {2;,} C L(q)9 8a0 cho ||rq|| + +00 Theo chting
minh trĩn g thỏa mên điều kien bite tren R" nĩn lita _g(tn) = +90 Mặt khâc
< jx — zlP =llw - z| N 3l — zlP > /(w) + sll — z|lP.Vz e R
am € Lyayg nín g(z„) < g(a), với mọi n € Ñ Ta suy ra ‘g(a)
lim (rm) < g(a), Yn €N (mđu thuẫn với lim g(zn) = +5)
Vậy tập L„/„jø lă đóng vă bị chặn trong R" hay 7„/„)g lă compaet Khi đó ø lă
hăm nửa liín tục dưới tren tap compact „/„)ø Từ đó ta có tồn tại điểm cực tiểu
của g trín Log
Ta sẽ chứng mình ự lă điểm cực tiểu của ø trín R" Ta có với z ý ”„(„)g thì 9(z) > g(a) > g(u) nghĩa lă lă điểm eực tiểu của g trín R"
Bay gid ta chứng minh y thỏa mên câc kết luận của định lý Thật vậy, do g lă
điểm cực tiểu của ø trín R" nín
Sy) + ilw~ zlÍP < ƒ) + Sliz- al, vee R"
Vậy (li) được thỏa man Ta cho z = re ta 06: f(y) + Silly
minh duge (ii) va 66 f(y) < f(z)
Đồng thời theo chứng minh trín vă định nghĩa của z thì
Trang 20Bổ đề 1.4.1 (Nguyín lý zấp vi Fermat cho ham tron) Cho f : RN + R lă một
hăm trơn bị chặn dưới Khi đó tồn tai mot dĩy x; €RN sao cho f(x) > infe f va J'(xi) =0
1.4.2 Dinh ly thay phiĩn Gordan
Dinh ly 1.4.2 (Dinh ly thay phiĩn Gordan) Cho ay, ay € RN Khi dĩ hai hĩ sau có đúng một hệ có nghiệm a Stn = Mo (141) zn =1 Am 20 (ams2) <0, m= Uc € RN (1.4.2) Chứng mảnh Ta chỉ cần chứng mình câc mệnh đề sau tương đương: i) Hăm số fe) = m(S set.) m=1 bị chặn dưới
ii) He (1.4.1) 6 thĩ gidi được iii) Hĩ (1.4.2) không thể giải được
Dĩ dang suy ra (ii) + (ii) + (i) Cdn lai can chi ra (i) + (i) Ấp dụng Nguyín
ly xấp xỉ Fermat ta suy ra tồn tại một dêy (z¡) trong RŸ thoả mên Mw £2) =f] SO Anam] > 0, (1.4.3) mi trong đó di, = Pmt om D exp (a, xi) & M
thoả mên > Aj, = 1 Không mất tính tổng quât ta giả sử rằng A‡„ + An, =
Trang 211.4.3 Trội hoâ
Cho veetơ z = (zị zv) € RỲ, ta ký hiệu z‡ lă vectơ có gốc lă z bằng câch sắp xếp lại câc thănh phần của nó theo thứ tự không tăng Với z, € Bt ta goi Y x duge lăm trội bởi y, ký hiệu lă z < , nếu 3} z„ cat Ví dụ Với œ=(3.6.1,=5,0) vă y=(1,2,4,6,—8) thì = (6,3,1,0,-5) va y+ = (6,4,2.1,-8) Suy rar <yvi 626 6+4>6+3 6+4+2>6+3+1 6+4+2+1>6+3+1+0 6+4+2+1—-§=6+3+1+0—5 Bĩ dĩ 1.4.2 Cho x,y e RỲ Khi đó z < ụ khi tă chỉ khi, bat kỳ z € RŸ, (z‡, zt) < (hat)
Chứng minh Sử dụng công thức Abel ta có
(chat) ~ (shat) = (chat 24) AI k
»> («i ~ Aa) x Ok 2 1) +2 ADs kal net k Để chứng minh điều kiện cần ta chú ý rằng z < g suy ra 3) (y$ - zŸ) > 0,k = đi 7
=1va S(y} - ch) = 0 Vi vay, phần cuối cùng bín phải của đẳng thức mi
trín bằng 0 Hơn nữa, câc số hạng bín trong tổng còn lại lă tích của hai nhđn tử
không đm nín nó không đm Bđy giờ ta chứng mỉnh điều kiện đủ Giả sử, với bất kỳ z € RẺ, 0< (shit) ~ (chat) =" (f= aha) x Bhat) +24 Sok) k Dat == 30 eask = Lon N 1 (trong d6 {en N} la co sở chuẩn tắc của N x a RY) tacĩ Sub > Soak, va dat 2=+4 Ye, tacĩ Y y= Dom a me" =A nt at =
Ta ky hiệu P(X) la tap cĩc hodn vj cia ma tran don vi cip N x N (ma tran
năy được suy ra bằng câch hoân đổi cột hoặc hang)
Trang 22Dinh nghia 1.4.1 Vĩi y eR, dat Uy) = {z € RŸ |z < w} Dinh ly 1.4.3 Cho y € RN Khi dĩ I(y) = conv{Py : P € P(N)} Chitng minh, Dĩ dang kiĩm tra I(y) Wi conv{ Py : P € P(N)} CU(y) Bđy giờ chứng mình kết luận nghịch đảo Với bất kỳ x < y, theo Bồ đề 1.4.2 tồn tại P = P(z) € P(N) thoả mên a, bit ky P € P(N), Py € L(y) Vì vậy, (2, Py) = (zt, yt) > (2,24) > (2,2) (1.44) Chú ý P(N) lă một tập hữu hạn (với N! phan tit) Do d6, ham "{ > on (e.Py-2)) P€P(N) ⁄Œ
được xâc định với mọi z € RŸ, lă hăm khả vi, vă bị chặn dưới bởi 0 Sử dụng Nguyín lý xấp xỉ Fermat ta có thể chọn dêy (z¡) trong RŸ sao cho lim ƒ()= So Ap(Py-2) (1.4.5) oes PEP(N) trong đó exp (z¡, Pụ — 2) 3 pcp(x) €XP (¡, Pụ — z)
RO rang, Ap > 0 va Ypepyy) Ap = 1 Do đó, lấy một dêy con sao cho với mỗi
P € P(N), limi Xp = Ap > 0 va Dpepyyy AP = 1 Lay gidi han i + oo trong (2.4.5) ta có Ð) Ap(Pụ PeP(N) Vì vậy, = pcp¿yị ApPụ lă điều cần chỉ ra a =0
1.5 Nguyín lý biến phđn Borwein-Preiss
Trang 23Định lý 1.5.1 (Nguyín lý biến phđn Borwein-Preiss) Cho (X,d) la mĩt khong gian metric đầu đủ tă ƒ : X + RU {+00} la mot ham nửa liín tục dưới bị chặn dưới Giả sử z€X thoả man () Sink f +e Khi dĩ tĩn tai y va mĩt day {x;} C X sao cho Y) plz,y) < €/d0, p(2i,y) < €/(2'b0),
ii) f(y) + Limo Fly 7) < f(z), va
iii) f(x) + Do Sel 21) > f(y) + Do Soy xi), vdi moi x € X\{y}
Chứng minh Ta tạocâc dêy (z;) vă (S;) bằng phĩp quy nạp với z :
So:= {x € X|f(x) + dop(x 20) < ƒ(za)}
ø lă một ham mite vd (5,)2o la mot day s6 duang, va gid site > 0 va
(15.1)
Vi 20 € So, Sù khâc rỗng Hơn nữa, Sp đóng vì cả ƒ vă g(-,zo) lă hăm nửa liín tục dưới Ta có, với moi x € So,
Šop(+,Zo) < f(x0) — f(z) < f(z) — inf f < e
LĐY z¡ € S sao cho
Trang 24vă ta định nghĩa fees “Tă có, với mọi i = 1,2, , S; lă câc tập đóng khâc rỗng Từ (1.5.7) vă (1.5.8) ta có, với mọi z € S¡, si ¡ ` Je)+32ểsz0 </00+328u0z0).— 038) — ta " 7
Sipe, i) < [reo + 3ê) - [to + 32/6.) & “
< [rea + Sten] ~ at [re + Santen]
~ 2g
Suy ra
p(z.z¡) < im c6: (1.5.9)
Vì ø la ham imtte, bat ding thite (1.5.9) suy ra d(x,x;) hoi tu dĩu ve 0, do đó diam(S;) + 0 Vi X diy di, theo dinh ly giao nhau của Cantor, tồn tại duy nhất € r?Sạ8¡ thoả mên (1) bởi (1.5.2) va (1.5.9) Ro rng, ta c6 a; + y Voi bat ky
Trang 25Suy ra dude (ii) Kĩt hgp (1.5.10) va (1.5.12) suy ra (iii) o Dinh lý 1.5.2 Cho X lă một không gian Banach tới chuẩn || || va cho ƒ : X + RU {+00} la mot ham niia liín tục dưới bị chặn dưới, cho Ă > 0 tă p > 1 Giả sử £ >0 tă z € X thoả mên Fl) <inf ff +e Khi đó, tồn tai y va mot day (2;) trong X vdi x = z tă một hăm gy: X +R 06 dang * Salle ail, = trong dĩ pj > 0.¥i = 1,2, vd dị = 1 sao cho #p(z) = j llzi = yl] SA =1,2, , ii) ƒ(w) + (s/AP)ep(u) < ƒ(z) nă
iti) f(x) + (e/AP)ep() > f() + (=/AP)ep(w),Yz € X\{u}
Chứng mình Lập luận tương tự Định lý 1.5.1 khi ta đặt hăm ø(z, y) = llz—||P O
Trang 26Chương 2
Kỹ thuật biến phđn trong lý thuyết dưới vi phđn
2.1 Dưới vi phđn Frĩchet vă nón phâp
2.1.1 Dưới vi phđn Frĩchet
Cho X lă một không gian Banach Hăm / trín X được gọi lă kha vi Frĩchet tai x va f'(z) € X* lA dao ham Frĩchet cia ƒ tại z nếu f'(x), h) lạ ƯŒ+#)=ƒŒ Ih|¬s0 Wall
ƒ được gọi lă C! tai x nĩu ƒ': X —› X* liín tục chuẩn tại z Ta gọi một không, gian Banach lă trơn Erĩchet nếu nó có một chuẩn tương đương khả vi, C, với mọi
x#0
Định nghĩa 2.1.1 (Dudi vi phan Frĩchet) Cho X lă một không gian Danach thực Cho ƒ: X => RU {+ae} lă một hăm nửa liín tục dưới chính thường ƒ được
gọi lă dưới ui phđn Frĩchet va x* la dudi dao hăm Frĩchet của ƒ tại z niễu z € domf tă tim int L244) =f) = ("Mg (2.1.1) IIhl-s0 Wall
Ta ký hiệu tập tất cả câc dưới đạo hăm Frĩchet cia f tai x la dp f(x) vă gọi lă
đưới tì phđn của ƒ tại x Ta định nghĩa Ôgƒ(z) = Ú nĩu x ¢ domf
Định nghĩa 2.1.2 (Dưới vi phan viscosity Frĩchet) Cho X la mot khong gian Banach thực Cho ƒ : X — RU{+oe} lă một hăm nửa liín tục dưới chính thường Hăm ƒ được gọi lă dưới khả vi viscosity Frĩchet va x* la mot dudi dao ham viscosity
Frĩchet ciia f tai x nĩu x € domƒ vă tồn tại một ham C! g sao cho g(x) = x* va
ƒ—g đạt giâ trị cực tiểu địa phương tại z Ta ký hiệu tập tất cả câc dưới đạo hăm viscosity Frĩchet ciia f tai x lă Øypƒ(z) va goi la dudi vi phan viscosity Frĩchet ciia f tai x Ta dink nghia dypf (x) = 0 nĩu x ¢ domf
Trang 27
Vì chuyển hăm ø bởi một hằng số không ảnh hưởng đến đạo hăm của nó nín
ta có thể thay hăm ƒ = ø đạt giâ trị cực tiểu bằng 0 tại z trong định nghĩa trín
Nếu f kha vi Frĩchet tai x thì Øe/(z) = {/'(z)} nhưng điều ngược lại không,
đúng Tổng quat, dp f(x) có thĩ bằng rỗng cho dù z € domf Tuy nhiín, một lập luận biến phđn dẫn đến câc kết quả quan trọng sau về sự tồn tại của đưới vi phđn
Frĩchet
Dinh lý 2.1.1 Cho X lă một không gian Banach tron Frĩchet va f : X >
RU {+00} lă một hăm nửa liín tục dưới Khi đó {+ € X | Op f(x) # O} tra mat
trong domƒ
Chứng minh Cho = € domf va e lă một số dương tuỳ ý Ta chứng minh ƒ dưới
kha vi Frĩchet tai mot s6 diĩm € B,(#) Vì ƒ nửa liín tục dưới tại # nín tồn tại ổ > 0sao cho ƒ(z) > ƒ(#) — 1, với mọi z € Bạ(#) Dặtƒ := ƒ ++g,(;) Khi đó, ƒ nửa
liín tục dưới vă
F@) = $(@) < jk f+ 1 igh f+
Ap dung Nguyín lý biến phđn Borwein- Preiss, với A < min(ổ,£), ta có, tồn tại
y € By(2) C int(Bs(#) 9 B.(@)) va gale) = OX, mille — z¡| 2, trong đó (z,) lă một
dêy hội tụ đến vă („¡) lă một dêy câc số dương thoả mên 3”; „¡ = 1 sao cho ƒ+A~®œs đạt giâ trị cực tiểu tại „ Vì „ lă một điểm trong của Bạ(Z) ƒ + A2;
đạt giâ trị cực tiểu địa phương tại ự Sau khi kiểm tra gz khả vi Frĩchet, ta có / dưới kha vi Frĩchet tai y € Be(z)
a
2.1.2 Nón phâp Frĩchet
Định nghĩa 2.1.3 (Nón phâp Frĩchet) Cho S lă một tập con đóng của X Nón
phâp Frĩchet của S tại z lă Ng(S:z) := Ôgts(z)
“Ta có Nz(S:z) lă một nón luôn chứa {0} vă khi z € ¿n£S, Nz(S:z) = {0} Xĩt băi toân eực trị có răng buộc
min f(z)
{fe (2.1.2)
Mệnh đề 2.1.1 Cho X la mĩt khĩng gian Banach tron Frĩchet, f la mot ham C" trĩn X va S la mĩt tap con dĩng cia X Gid sit = lă một nghiệm của băi toân cực
Trang 28Định lý 2.1.2 Cho X la mĩt khong gian Banach tron Frechet va f : X >
RU {+00} la mĩt ham nita liín tục dưới Khi đó x* € Op f(x) nĩu va chỉ nếu
(z*,—1) € Nr(epiƒ: (z, ƒ(3))):
Chứng mảnh (a) Chiều thuận Cho x* € dp f(z) Khi đó tồn tại ø lă một ham Ct sao cho g'(z) = z* vă ƒ — ø đạt giâ trị cực tiểu tại z Dịnh nghĩa h(g r) := g(w) =r “Tă có l(z, ƒ(z)) = (z*,—1) vă Leif (Ys) — h{u.r) 3 +em/(œ, ƒ(z)) = h(z ƒ(z)) (213) y, (z*,—1) € Nz(epif:(z ƒ()))
(b) Chiều nghịch Cho (z*,=1) € Ấz(epiƒ:(z ƒ(z))) Khi đó tồn tại hăm ¡ e Œ!
sao cho h(x, f(x) =1) va A(y,r) < h(z, ƒ(z)) = 0 với bat ky (y,r) € epif “Theo định lý hăm ẩn, tồn tại hăm C! g : X > R sao cho trong một lđn cận
của z, h(.g(w)) = 0.g(z) = ƒ(z) vă g'(z) = z* Vì h lă C! vă thănh phần thứ
hai của h(z, ƒ(z)) lă dương nín tồn tại a > 0 sao cho ñ(y.r) < h(y.r’), voi bat
ky y € Ba(z) va f(x) -a <1 <r < f(x) +a Lay b € (0,a) sao cho với bất ¥ y € Bix), 9(y) € (f(a) — a, f(x) +a) va f(y) > f(x) — a Khi d6, voi bat ky
y € B,(x), ta c6 f(y) — gly) > 0 = f(x) — g(x) Thực ra, bất đẳng thức được rõ
rang khi f(y) > ƒ(z) + a Nếu ƒ(y) < ƒ(z) + ø thì hí, ƒ(u)) <0 = h(w.ø(w)) D1 2.2 Quy tắc tổng xấp xỉ không địa phương vă nghiệm 'Viscosity 2.2.1 Tâch cận dưới
Định nghĩa 2.2.1 (Túch cận dưới) Cho X lă một không gian Banach, ƒ„ : z >
RU {+o0},n = „ cdc ham suy rong va S lă một tap con ctia X Tach cf
dưới của ƒt ƒx trín S được định nghĩa bởi
Ny
Trang 29Chứng mảnh Dễ đăng ta có kết luận (2.2.2) Để chứng minh (2.2.3) ta để ý rằng sị
thuần nhât Theo mệnh đề: Cho X lă một không gian Banach vă ƒ : X => RU{+s} lă một hăm nửa liín tục dưới thì Ø⁄£ƒ(z) ؃(z) Khi đó ta có Si -)< i nt 1 = try, tN = ) — si(,s #y) = -s1(21, ,2N) (2.2.4) Kết hợp (2.2.2) vă (2.2.4) ta có x ya 3 n ` m nl vă < max{lzj|ln = 1, Ý = 1} Š” llz„ — zaÍ < max{|[2}] n= (225) y ra (2.2.3) Khi s,(r1, ,2y) > 0 ũ
2.2.2 Quy tắc tổng xấp xỉ không địa phương
Định lý 2.2.1 (Quụ tắc tổng zấp zỉ không địa phương) Cho X lă một không gian Banach tron Frĩchet va fi, fy : X + RU {+00} la cde ham nita liĩn tue dưới bị
chặn dưới Giả sit \[f, ](X) < + Khi đó, uới bắt kỳ e > 0, tĩn tai x, va 2, € Orfn(an).n =1, ,N thoả mên điam(aă, zw) x max(1, ||z†| Íewl) < =, (2.2.6) va Ny DY falta) < Alfa ful(X) +2 = (2.2.7) sao cho x S2z||<=: (2.28) m=
Chứng minh Không mắt tính tổng quât, ta có thể giả sử || - || a Cl lĩn hon 0
Định nghĩa, với bắt kỳ số thực r > 0 vă sz như trong Bỏ đề 2.2.1,
wr (YL, YN
n=l
vă M, := inf wy Khi dĩ M, lA ham số tăng theo r vă bị chặn trín bởi A[/i ƒw](X) Cho AV := lim, „„ A, Chú ý rằng không gian tích XX của NV khong gian Ba-
nach trơn Erechet X (với chuẩn tích Euelid) cũng lă trơn Erechet Với mỗi r, âp
Trang 30dụng Nguyín lý biến phđn Borwein-Preiss vao ham w,, ta cĩ mot ham C! @, va n= 1, ,N sao cho “ 1 1 Yo falenst) S$ welttps Nir) < inEuy + = < M + =, 7 7 (2.2.9) = llớ/(ziz zxz)||< e/N, vă N DY fan) + r52(1 4) + Ors YN) = đạt giâ trị cực tiểu địa phương tai (x1,, 2v,r) Do dĩ, —đị (TL, #Ny) — P8ă(#1y› , LNG) € Opfa(zir) x x Or fn (En)
Lấy tổng W thănh phần câc bao hăm trín vă sử dụng Bồ đề 2.2.1 ta có được
(2.2.8) Theo định nghĩa của A, ta có AMyjg € /2(ZLx, = (ty: :#Ny) 1
<XMe+tz= Farley, sa #Ny)< (2.2.10) Viết lại (2/2.10) rsa(zz zwv„) € 2(M, — M,„s + }) ta được Jm rsa(i, (2.2.11) Do đó, lim diam(Z„ vy (2.2.12) Hơn nữa, Jim điam(ziz, ,zvy) x max(lzizl, llzÔ„;||) = 0 (2.2.13) Do vay, M< Đ[đ. .fxÌ(X) Ny < ism int YP Fane) = im inf wp e150 2H) SM = Điều năy cho ra M= Ẩ[đ fxÌ(X) (2.2.14)
Với r đủ lớn, tập z„ := #ạ„ vă z„ ;= zy„n = 1, , NV Khi đó (2.2.6) duge suy ra
Trang 312.2.3 Tính duy nhất của nghiệm Viscosity
Cho phương trình Hamilton- Jacobi
+ H(z, tử) =0 (2.2.15)
Xĩt hăm số giâ trị w của băi toân tối ưu điều khiển
u(z) = inf { [etree clea: 0 = a2), 0),
c(t) € C.z(0) = 3 (2.2.16)
trong đó ƒ vă g la cc ham Lipschitz, c la một hăm số đo được va C la tap compact
Giả sử với ỳ z cho trước, băi toân tối ưu điều khiển tồn tại khi u tron thoả
mên phương trình (2.2.15) với
H(=,p) sup{(~g(z,e).p) — ƒ(œ,c) :c€ Ở} (2.2.17) ‘Tong quât ham số giâ trị không cần thiết trơn vă (2.2.15) không cần thiết có một nghiệm cổ điển Nghiệm Viscisity được giới thiệu sau để thay thế nghiệm cổ điển
Ta nhac lai dinh nghia sau, cho f : X + RU {+00} la mot hăm nửa liín tục trín “Ta định nghĩa trín vi phan Frĩchet cia f tai x bởi
AF f(x) = -de(-f)(2)
Định nghĩa 2.2.2 (Nghiệm Viscosity) Một hăm u : X — R lă một nghiệm trín
Viscosity (t.u dưới) của (9.9.15) nếu u nửa liín tục dưới (t.u trín) tă, vdi moi
+€X tă mọi z* € Ôr(w)(z) (t.ư z* € A" (u)(z)),
u(x) +H(z.2")>0 (u(z) + H(x,2") <0)
Một hăm liín tục u được gọi lă một nghiĩm Viscosity nĩu u vita la nghiĩm trĩn va
vita la nghiĩm dudi Viscosity
lý 2.2.2 Cho w lă một hăm nửa liín tục trín bị chặn trín tă œ lă một hăm
nửa liín tục dưới bị chặn dưới Giả sử H: X x X" —» I thoả mên giả thiết sau: (A) vi bit kỳ zì,za € X tă z†,z$ € X*,
|H(x1,2}) ~ H (22,23) < w(x1 ~ 22,2} ~ 23)
+ Amax(|zïl |z3ll)llr› — zall
trong đó M > 0) lă một hằng số va œ : X x X* + R la hăm liín tục tới «(0.0)
Hơn nữa, giả sử u lă một nghiệm dudi Viscosity ciia (2.2.15) va v la mot nghiem trĩn Viscosity của (9.9.15) Khi đó u < v
Trang 32Chứng minh Cho e lă một số đương tuỳ ý Ấp dụng quy tắc tổng xắp xỉ không
địa phương với ƒ¡ = 0 vă ƒ› = —u, tồn tại z¡,za € X,zj € Øgu(zi) vă zš € OP u(x) thoả mên J) [lz — zall< e; llrilllEri — za|l< £ vă Jlzjllllrì — za|| < =: 3) (m1) — (z3) < imÍx(ø — 0) + e; vă 3) llr† - z3|| < e Vì hăm ø lă một nghiệm trín Viscosity của (3.3.15) ta có tín) + Hứn,z]) >0, “Tương tự, (z2) + H(za,z3) < 0 Do đó, inf(w = u) > t1) = 822) — £ > [H(a,z3) — H(n, z])] — = > le — zt.zš — zị) + A max(|zï||, lzzll)llz2 — zl] Cho ¢ + 0 tă có infy(ø = u) > 0 a
Hệ quả 2.2.1 (Tính duy nhất của nghiệm Viscositu) Theo giả thiết của Định lý
3.2.2, bất kỳ nghiĩm Viscosity liín tục bị chặn đều duy nhất
2.3 Quy tắc tổng xấp xỉ địa phương
Xĩt hăm ƒ¡ vă ƒ; nửa liín tục dưới sao cho ý; + fy dat giâ trị cực tiểu tại z Khi đó, 0€ Øp(ƒ + /a)(z) Ta hy vọng có thể kết luận 0€Ørfi() + ôcƒfa(z) (2.3.1) Khi fy va fo lA câc hăm khả vi hoặc lồi liín tục Nhưng nói chung (2.3.1) không đúng 2.3.1 Quy tắc tổng xấp xỉ mạnh
Định lý 2.3.1 (Quy tắc tổng ấp xi dia phương mạnh) Cho X lă một không gian
Banach tron Frechet va fy, fy : X + RU {+00} la edie ham nia liĩn tue dudi
Trang 33
Khi đó, ới bất kỳ e > 0, tồn tại x, va x}, € Opfa(tn).n = 1 N thoả mên diam(zx, zv) x max(1, |z{ll.- kell) < =, (2.3.3) va (tn fa(an)) € Be((E, fn(@))) (2.3.4) sao cho (2.3.5) Chứng mình Vì ƒ„.n = V lă câc hăm nửa liín tục dưới vă vi (2.3.2) suy ra với bất kỳ 0 < h“ < h, x 3> 0Œ) < Ati fl(Bn(@) tI N < ĐIđ ./xI(B»()) <3 0n) nt (2.36)
Giả sử h € (0.min(1,e)) vă với bắt kỳ z € By
#a(z) > fa(#) — e/N, (2.3.7) Hơn nữa, từ điều điều kiện (2.3.2), vĩi er = h2/32N2, ta có thể chọn ry € (0,h) thoả mên Ny x ful) < in { lum — vmll <n ‘ 1 #a(n) + ¢B,(2)(yo)) n,m=0,1, Định nghĩa, với n n= Jn + || aI? +, (2) Khi đó ø„ lă hăm nửa liín tục dưới vă bị chặn dưới với -„Ô với Ấp dụng quy tắc tổng xấp xỉ không địa phương văo hăm g„,n =
€2 € (0,min(7, €1)) dutge rp va yf € Ø£gn(#n).n = 1, Ý thoả mên
Trang 34vă DY anlen) < Alar 9nl(X) + 22 (2.3.10) sao cho <22, (2.3.11) x Le í „Ñ vă từ (2.3.8) vă (2.3.9) có Tit (2.3.10) có zn € B,(#),n = 1, Ny ø ƯA) + llee —#l?]— st < So galtn) < Đ[m. -øxÌ(X) + s2 í n=l N > nl) +62 = > fulZ) + ca x (2.3.12) nat Do đó, x Vllen - a? Ser ten < 2e1 (2.3.13) m Điều năy suy ra z„ € inL2¿(2), vă mỗi (|: |Í⁄(„ — #).n = £/2N Ta có thể kiểm tra
y= Ya (Il I?)(@n — 2) € Or fulzn), (2.3.14)
va tit (2.3.9) vă (2.3.11) 66 2 vA 2}, thod man (2.3.3) vă (2.3.5) Mặt khâc ta có đânh giâ sau Ý bị chặn bởi #a(En) < fn() + Ö [fn(#) — fm(em)] + 2 mến < iz) + X+e< f8) +e (2.8.15) Tit (2.3.7), (2.3.13) va (2.3.15) ta suy ra (2.3.4) n 2.3.2 Quy tắc tổng xấp xỉ yếu
Dinh lý 2.3.2 (Quy tắc tổng zấp zỉ địa phương yếu) Cho X lă một không gian Banach tron Frechet va cho fi fy : X + RU {+00} la ede ham Ise Gid sử
EE NN_domfy vax" € Op(X (2) Khi đó, với bắt kỳ = > 0 ă bắt kỳ lđn cận
yếu" V của 0 trong X*, lồn tại z„ tă xạ € Opfy(tn),n = 1, ,N thod man
Trang 35Chứng mình Cho < > 0 lă một số dương va cho V lă một lđn cận yếu* của 0 trong X* Cố định r > 0 vă một không gian con hữu hạn chiều L của X sao cho
LẺ+3rBy‹ CV Vìz* € Øp( j—¡ f2)(£) nín tồn tại một hăm C! ø sao cho g/(#) = +" vă ĐĂ ¡ /„—ø đạt giâ trị cực tiểu địa phương tại # Chọn 0 < ; < min(e,r) sao cho |ly — #|| << £ suy ra l|g(z) — g(2)|| < r Khi đó 3; ƒ„ — g+ sz+z đạt đạt
giâ trị cực tiểu địa phương tại # Vì :z;z có câc tập mức con compact địa phương,
theo mệnh đề 2.3.1, câc hăm ƒ¡ ƒw,—=ø.+z¿„ thoả mên điều kiện của định lý quy tắc tổng xắp xỉ địa phương mạnh
Ấp dụng định lý 2.3.1 ta có sự tồn tại của z„,
a) <9 <en=1 N +225 € Orflan).n = 1,.Nthy = — tys2 € Opteyi(eN42) thod man kĩt luận định lý 2.3.1 Tức lă, với fa(Œn) — fa(#)| << £, llrall x diam(za zv}) < llxall x diam({za vă kz+,(Œx+3) — tz+r(Œ)| < Do đồ zy¿a € # + L, vă S zï— ewes) + th Chú ý Ø£+z‡r(z‡s) = LẺ vă |Íz" = g'(w+v)|| < r Vì vay, <r N vey +1 +2rBy- cD +: a
Chú ý trong không gian Banach hữu hạn chiều câc tôpô mạnh vă yếu (yếu*) trùng nhau, vă vì vậy quy tắc tổng xấp xỉ mạnh đúng trong không gian Banach
hữu hạn chiều không có điều kiện (2.3.2)
2.4 Câc định lý giâ trị trung bình xấp xỉ
Câc định lý giâ trị trung bình lă câc kết quả quan trọng trong giải tích tóan học vă có nhiều ứng dụng Câc chứng minh của câc định lý giâ trị trung bình lă những
ví dụ cổ điển của lập luận biến phđn
2.4.1 Câc định lý giâ trị trung bình
Dinh ly 2.4.1 (Dinh ly Rolle) Cho f :R + R la mot ham s6 va a < b lă hai số thực Giả sử ƒ liín tục trín [a,b], khả tỉ trín (a,b) vd f(a) = f(b) Khi dĩ ton tai
Trang 36Chứng minh Xĩt trường hợp không tầm thường khi ƒ không lă một hằng số trín
a 8] Vi f liín tục trín {a.ð], ƒ hoặc —ƒ đạt cực tiểu tại một văi điểm e € (a,b)
Do đó, ƒf(e) =0 a
Dinh ly 2.4.2 (Dinh ly Lagrange) Cho f :R + R la mot ham sĩ va a < b lă hai
s6 thuc Gid sit f liĩn tue trĩn [a,b] va kha vi trĩn (a,b) Khi đó lồn tại một điểm
© € (a,b) sao cho
ƒ{b) = f(a) = f'(c)(b a)
Chứng minh Ap dung Dinh lf Rolle cho A(z) = f(x) - 4-0 —a)/ O
Ta goi mot ham s6 f : R + R Lipschitz vĩi hing s6 Lipschitz L nĩu voi moi
x.y ER, |f(y) — f(x)| < Ly — 2]
Dinh ly 2.4.3 Cho f :R +R la mot ham khĩ vi Khi dĩ f Lipschitz vdi hing
số Lipschitz L khi va chi khi, vdi moi x € R.|ƒ'(z)| < L
Chứng mình Điều kiện cần suy ra trực tiếp từ định nghĩa của đạo hăm vă tính chất Lipschitz Với điều kiện đủ, ta sử dụng định lý giâ trị trung bình Lagrange
vă chứng mình bằng phủ định n
Ta gọi một hăm f : R > R tang (chat) nĩu với bất kỳ z < y, f(x) < f(y)
(f(z) < ƒ(w)) ƒ giảm (chặt) nếu —ƒ tăng (chặt) Một hăm số đơn điệu nếu tăng,
(chặt) hoặc giảm (chặt)
Dinh ly 2.4.4 Cho f :R— R la mot ham kha vi Khi đó ƒ tăng nếu va chi nếu
tới mọi z € lề, ƒ'(z) > 0
Chứng mình Điều kiện cần được suy ra trực tiếp từ định nghĩa của đạo hăm Điều kiện đủ, ta sử dụng định lý giâ trị trung binh Lagrange va chimg minh bing
phủ định a
Chú ý rằng ƒf(z) > 0.Vz € E lă điều kiện cần cho ƒ tăng chặt nhưng không lă
điều kiện đủ
Hăm ƒ :R —š R lồi nếu với bất kỳ z,y € R vă A € |0, 1j, f(x + (1 = Ady) < A(z) + (1— A)ƒ(9)-
Dinh ly 2.4.5 Cho f :R > RB lă một hăm khả tí, Khi đó ƒ lồi nếu vă chỉ nếu
ƒƑ tăng
Chứng mình Điều kiện cần: Cho z < y vă A € (0,1) Ta có
#(z + (1~ AJg) < AF(z) + (1-A)F(y)
nín \
Trang 37Lấy giới hạn khi A — 0 ta có ƒ'{w)( — w) < ƒ(z) — ƒ() hoặc 10)~/0), (241) L(y) 2 = Chuyển vị trí z vă y, \ va 1— va lay gidi han khi A 1 ta c6 ya) < d= He Llu) = f(z), (2.4.2) Kĩt hop (2.4.1) vă (2.4.3) ta có ƒ'(w) > ƒ'(z)
Điều kiện đủ: Giả sử /' tăng Cho z < y vă A € (0,1) Ap dung Dinh ly Lagrange trín khoảng [z, Ax-+(1—A)y] vă [A+(1—A)y.vị, tương ứng, ta có, tồn tại cr € (z,Ăz+ (1~Ă)g) vă cy € (Ar+(L—A)w.) sao cho ƒ(z)— ƒ(Ar+(1—A)w) = ƒf(e)(1=A)(g—w)
vă ƒ(w) = ƒ(Az + (L= A)w) = ƒ'(cs)A( = +) RO rang f(c2) > f(er) Ta có A/() + (1= Ă)ƒ(w) = Fx + (L~ A)y) =A(/() = ƒ(Az + (1~ Ă)w)) + (1= A)(/(w) = ƒ(Az + (1= A)g)) /f)( = A)(z = y) + (L= A)S(e2)A(y = 2) =A(1=A)(/ƒf(es) = ƒ'(e))(w = z) >0 Do đó, ƒ lồi a
2.4.2 Cac dinh ly gia trị trung bình xấp xỉ
Dinh ly 2.4.6 (Dinh lý gid tri trung binh xĩp xi gidi han) Cho X la mot khong gian Banach tron Frechet, f : X + RU {+00} la mot ham mia liĩn tuc dudi, cho
a,b €X la hai diĩm phan biĩt vdi f(a) < 00 va cho r ER sao cho r < f(b) — f(a)
Khi đó tồn tại e € (a,b) va mot day x4 vdi (xi, f(xi)) > (6, f(c)) va x} € Op f(xi) sao cho
(i) liminf;-s~ (z†,e — z¡) > 0:
(ii) liminf, „„ (z‡,b — a) > rị (i) ƒ(e) < ƒ(a) + |rl
Chứng mình Lấy v € X* sao cho (,a — b) = r Khi đó G(x) = f(x) + (0,#) + ta#j(#)
đạt giâ trị cực tiểu tại một số e € [a,b) vì g(b) > g(a) Ap dụng quy tắc tổng
xấp xỉ địa phương, tồn tại câc dêy (z¡), (w) (z†) vă (w;) thoả mên (z¡ ƒ(z¡)) => (c ƒ(e)),z‡ € ôr.ƒ(z:) [a,ð] 3 w => c vă uị € r([a,ð], w¡) sao cho ||z?|| x lai — || < 1⁄¡, |lw|| x llri = :l[ < 1/i vă
lz‡ tof tell <i
Trang 38Khi đó ta thu duge (i) một câch trực tiếp thông qua
lim inf (x},¢— i) = lim inf (z† + ø,c— #¡)
= lim inf (—y},c — yi) > 0
Để chứng minh (ii) ta chý ý e € [a.b) suy ra y; € [a, 6) với ¡ đủ lớn Khi đó * le = all (af + 0,b= 2} + 0,b= yi) —— [lo will Chuyển qua giới hạn ta được lim inf @‡ + 0, — 4)
Ro rang f(c) thoả mên (ii) a
Dinh ly 2.4.7 (Dinh ly gid trị trung binh xĩp zỉ) Cho X lă một không gian Banach tron Frechet, f : X + RU {+00} la mot ham nia liĩn tue dudi, cho a,b € X la hai diĩm phan biĩt vdi f(a) < se tă cho r € RR sao cho r < f(b) — f(a)
Khi đó tồn tai c € [a,b) sao cho vdi bat kj e > 0, tồn tai (x, f(x)) € Be((c f(e)))
va x} € Opf(x) sao cho () (œ°,e~ 3) > — (ii) (r",b— a) >rị
(iii) f(z) < f(a) + |r| +e
2.4.3 Tiíu chuẩn Lipschitz
Dinh ly 2.4.8 Cho X la mot khong gian Banach trơn Fechel, U C X lă một tập
lồi md vdi UA dom(f) 4 0 va L > 0 Khi dĩ f Lipschitz vdi hằng sĩ Lipschitz L
trín U nếu tă chỉ nếu tới mọi z € U, sup{||z"|| : z` € Ô£ƒ(z)} < L
Chứng mình Chiều ngược lại dễ dăng Ta chứng minh chiều thuận Cho a,b € U với a € domf(a) vaa 4 b, goi r ER sao cho r < f(b) = /(a), vă cho e > 0 Từ định lý 2.4.6 (ii), ton tai z € U va 2* € Op f(z) sao cho
r<(a",b-a)+e< Lilb—al| +e
Vir < f(b) ~ f(a) vac > 0 tuỳ ý, suy ra f(b) — f(a) < | = LI)b — al) Vì vậy,
f(b) < se Thay đổi vai trò của œ vă b ta có thể kết luận ƒ Lipschitz tren U vai
Trang 392.4.4 Tính đơn điệu của nón
“Tập con K C X được gọi lă nón nếu với mọi z € Ñ, với mọi t > 0 ta c6 tr € K
Cho X lă một không gian Banach, K lă một nón trong X Ta định nghĩa cực của K la K? = {2" € X*: (2,2) <0,Vr € K}
Cho ƒ lă một hăm số trín X Ta gọi ƒ lă K-không tăng nếu với mọi z € X thỏa mên €z + K hay z= y€ K ta đều có ƒ() < ƒ(z)
Định lý 2.4.9 Cho X lă một không gian Banach trơn Frechet, K lă một nón trong X tă ƒ : X — ]RU {+se} lă một hăm nửa liín tục dưới Giả sử uới mọi x,
Øgf(z) C K° Khi đó ƒ lă K-không tăng
Chiing minh Cho x,y € X sao cho f(x) < f(y) Theo định lý giâ trị trung bình xấp xi, tồn tại 2 € dom(f) va 2* € def (2) vdi (2",y — 2) > 0 Do 6 y — x khong thuộc #
a
Hệ qua 2.4.1 Cho f :R > RU {+00} la mot ham nia liĩn tuc dudi Giĩ sit vdi mọi x,d¢f (x) C (—00,0] Khi đó ƒ không tăng
2.4.5 Tính tựa lồi
Cho X lă một không gian Banach Một hăm số ƒ : z > RU {+se} được gọi lă tựa lồi nếu, với bất kỳ x,y € dom(f) va z € [x.y], f(z) < max{ƒ(z) f(y)} va ham da tri F : X + X* tua don điệu nếu z* € F(z),y* € F(y) vă (",y~—z) > 0 >
(y'.y-2) 20
Vi du
1 Theo định nghĩa hăm ƒ tựa Ii nĩu voi moi x,y € domf, gid tri ham f tại
điểm bắt kỳ nằm giữa z vă y đều không vượt quâ cả hai giâ trị của f tai hai
đầu mút Do đó với mọi hăm một biến đơn điệu lă hăm tựa lồi 2 Mọi hăm lồi lă hăm tựa lồi
3 Cho f :R + R xĩe dinh bĩi f(x) = Inz lă hăm tựa lồi (do ham nay don điệu) nhưng không lă hăm lồi
Định lý 2.4.10 Cho X lă một không gian Banaeh trơn Frĩchet va f : X —¬ RU{+} lă một hăm nửa liín tục dưới Giả sử Ôpƒ tựa đơn điệu Khi đó ƒ tựa
lồi
Chứng mình Gia sit tin tai x, Âp dụng Định lý 2.4.6 với
cho z¡ — # € Íz z), liminfi-;s (z;, # — z¡) > 0 vă lim inf;-;a (
2 € X saocho z € [x,y] va f(z) > max{ƒ(z), ƒ(9)}-
Trang 40
Cho Ă € (0,1) sao cho z = 7+ Ay — z) va Dđặt
z¡ => z Vì ƒ nửa liín tục dưới, trong (2.4.3) ta có th cho f(z) > f(y) va x; + My — 7) Khi d6 chọn một số nguyín i sao (c},y—2)) >0 (2.44)
Ap dung Dinh ly 2.4.6 vĩi a= y vA b=
uj € Af (yj) sao cho y; — ÿ € [y, 2s), lim inf-+20 (yj, 9 — yj) > 0 vA lim inf j-s20 (yj, 21 —y) > 0 Chú ¥ 2; —y va z¡ = ÿ nằm t cùng hướng, ta có „ tồn tại câc dêy (y;) vă (y7) thoả mên lim inf (yj,271 — yy) > 0 (2.4.5) joe
Vig € [xi.y), tit bat ding thite (2.4.4) c6
lim inf (2},yj — z¡ ÿ=zj) >0 (2.4.6)
jhe
Bất đẳng thức (2.4.5) vă (2.4.6) suy ra với 7 đủ lớn, ta có (y?,#¡ — w;) > 0 va
(†.wj — z¡) > 0, tức lă, Øcƒ không tựa đơn điệu, mđu thuẫn a
2.5 Quy tắc dđy chuyền
Cho X vă Y lă câc không gian Banach Một ânh xạ # : X + ¥ duge goi lA compact
địa phương tại z nếu có một lđn cận U của z sao cho với bất kỳ tập con đóng
8C U,F(S) compaet
Định lý 2.5.1 (Quy tắc dđu chuyền xap ri manh) Cho X vă Y lă câc không gian
Banach tron Frechet, f : ¥ + RU {+00} la một hăm mửa liín tục dưới uă cho F: XY la mot ĩnh xa Lipschitz dja phuong va compact dia phutong tai t Giả sitx* € Op(fo F)(z) Khi dĩ, vdi bất kỳ e > 0 tồn tai x € B,(T),u € B,(F(2)),u* € Or f(y), ||A — y"|| <¢ va 2* € Op (A, F) (x) sao cho | f(y) = ƒ(F(@))| < s,
max([|A|l llu' | |=ˆlIIlly = FŒ)|l < = (25.1) lr` - z*ll< Chứng minh Cho g la mĩt ham C! sao cho ƒ e F — ø đạt giâ trị cực tiểu tại # vă đ(#) =z* Khi đó (z,w) > F(y) + tyrapF(s, 9) — 9(2)