Luận án tiến sĩ cơ học: Thuần nhất hóa các biên phân chia có độ nhám cao

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Thị Kiều

LUẬN ÁN TIEN SĨ CO HOC

Hà Nội - 2021

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Thị Kiều

Chuyén nganh: Co hoc vat ran

Mã số: 9440109.02

LUẬN ÁN TIEN SĨ CƠ HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DAN KHOA HỌC:

1 GS TS Phạm Chí Vĩnh

2 TS Đỗ Xuân Tùng

Hà Nội - 2021

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoạn day là cong trình nghiên cứu của riêng tôi Oáo số liệu và,kết quả duoc trình bày trong luận ấn là trung thực và chua từng, được ai oông

bô trong bất kỳ công trình nào khác.

Hà Nội, ngày thang nam 2021

Nghiêu cứu sinh

Nguyễn hi Kiều

LỜI CÁM ƠN

Luận án này được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng, dẫn khoa hoe oúa,

GS T'S Phạm Ohi Vĩnh và TS Đỗ Xuân Tùng, những người Vhay tâm huyết

da tau tình hướng dẫn và định hướng cho tôi trên con đường khoa học, OáoThầy không chi tao ra những thứ thách giúp tôi tự hoo hỏi, tìm toi và sáng: bạomà von dạy tôi sự nghiệm tiv trong khoa họo., lồi xin bày bỏ long biết ơn vô

cùng, sâu sắc đến Thầy Phạm Ohi Vĩnh và Thay Đỗ Xuan Ling.

Toi xin chân thành oắm ơn Thầy Trần Thanh Tuấn đã giúp đỡ toi trong

việc lập trình tính toán số của luận ấn.

Toi muốn bày tỏ sự biết ơn chan thành đến Ban giám hiệu Trường Dai họcKiên trúo Hà Nội, Ban chit nhiệm Khoa Xây dựng, Bộ môn Oa lý thuyết da dongviên, khuyên khích, tao mọi điều kiện cho bôi hoàn thành luận ấn Tôi xin châuthành vim Gu vio thay, trong BO môn Oc họo, Khoa Toần- Od- Lin học, Trường

Đại hoo Khoa học ‘Lu nhiên, Dai hoe Quốo gia Hà Nội, áo anh chi trong nhómxômina ola hay Vinh đã hướng dẫn, chia số kiến thức, kinh nghiệm cho toi.

Ouối ving, tôi xin bày t6 lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình toi đã luôn luôn

giúp đỡ, doug viên va ủng hộ tôi trong suốt quá trình làm luận ấn.

Hà Nội, ngày thang nam 2021

Nghiêu cứu sinh

Nguyễn Thị Kiều

iL

Mục lục

MO DAU 1

Chương 1 LÔNG QUAN 6

1.1L Biên, biên phan chia ee ee 6

1.2 Biên, biên phân chia v6 độ uh4m thấp 7

1.3 Biên, biên phan chia có độ nhấm cao 2 ee 81.4 Thuần nhất hoa biên, biên phan chia độ nhấm ao 10

14.1 Ý tưởng giải quyết bài toán 10

1.4.2 Sự phát triển của bài toán trước luận ấn 10

1.5 Oáo vấn đề nghiên cứu trong luận ấn 13

1.61.715.1 Thuần nhất hóa biên phân chia độ nhấm oao đối với lý1.5.2 Phan xạ, khúc xạ của sóng đối với biên phân chia độwham CAG - da na 15

1.5.3 Su tương đồng giữa phương, trình cơ bắn dang ma tranvới điều kiện liên bụo trên biên phân chia 16

Mục tiệu nghiện cứu của luận ấn d6Nội dung chính olta luận ấn ee 16Chương 2 THUẦN NHAL HÓA BIEN PHAN CHIA ĐỘ2.1NHAM OAO GIỮA HAL MIỄN DAN HỘI XOP 19Thuần nhất hóa biên phân chia độ uhém vao giữa hai miền đầuhồi xốp trong miền hai chiều theo mô hình oủa Aurlanlt 20

2.1.1 Ode phương trình vd bau dạng ma trận 20

2.1.2 — Oáo điều kiện liên tụo dạng ma trận 242.1.3 Phương trình thuần nhất hóa dạng hiện dang ma trận 26

lil

2.1.4 Phan tích sự tương đồng giữa phương trình cơ bắn dạng

ma trận và điều kiện liêu tuc dang ma trận 402.1.5 Odo phương trình thuần nhất hoa dạng hiện dang thành

phần cho vật liệu đàn hồi xốp true hướng 412.2 Thuần nhất hoa biên phân chia độ nhấum vao giữa hai miền dan

hồi xốp trong miền ba chiều theo mô hình oửa Bliot 44

2.2.1 Ode phương trình cơ ban dạng ma trận 44

2.2.2 Odo điều kiện liên tue dạng ma trận 502.2.3 Phương trình thuần nhất hóa dạng hiện dạng ma trận 52

2.2.4 Odo phương trình thuần nhất hoa dạng hiện dạng thành

phan cho vật liệu đàn hồi xốp trực hướng 62

Chương 3 THUAN NHẬT HOA BIEN PHAN CHIA ĐỘNHÁM OAO QUA LY THUYELT DAN HÔI

MIOROPOLAR 67

3.1 Oáo phương trình vo ban dạng ma tran ee ee G7

3.2 Oáo điều kiện liên tuc dạng ma tran ốc 103.3 Phương trình thuần nhất hoa dạng wa tran 0.200 713.4 Phương trình thuần nhất hóa dạng thành phan 76

Chương 4 UNG DUNG CỦA CÁO PHƯƠNG TRÌNH THUẦN

NHẬT HÓA DANG HIỆN OHO BÀI LOAN

PHAN XA, KHÚO XA 80

4.1 Sóng ngang, sOug ỌU 2 81

4.2 Sự phan xa, khúo xa vita sóng SH đối với biên phân chia độ nhấu.

vao trong môi trudug đàn hồi đẳng hướng 83

4.2.1 Dat bal toda 83

4.2.2 — Oáo sóng tdi, phan xạ, khÚU xa ee 86

4.2.3 Oông thứo hiển của hệ số phan xạ, khúo xạ SƠ4.2.4 Su phụ thuộo của, vic hệ số phan xa, khúo xa vào góo tới

va dạng biện phần chia ee g2

4.2.5 Baud gap oúa sóng SH đối với biên phân chia độ nhém

11 96

4.34 Sự phan xạ, khúo xạ vita sóng SH đối với biên phân chia độ nhấu.

vao trong môi trường đàn hồi xốp trực hướng 103

4.3.1 Dat bài OẤNH 0.0 Q Q Q kg na 105

4.3.2 Oông thứo hiển oúa hệ số phan xạ, khúu xạ 105

4.3.3 Su phụ thuộc của vac hệ số phan xạ, khúo xạ vào mot

8 8 an HR 1124.4 Sự phan xạ, khúo xạ của sóng 06 chuyển dịch deo đối với biên

phan chia độ nhấm cao trong môi trường đàn hồi mioropolar

4.4.1 Đặt bài bOấUH es 117

nô AT 119

4.4.3 Biếu diễn Stroh via oáo bán không gian và lớp 120

44.5 — Oấu sóng khÚU xa ee 124

4.4.6 Ma trận chuyỂH ee ee 125

4.4.7 Qáo hệ số phản xạ, khÚo xa ee ee 12844.8 Khảo sát số sự phụ thuộc oủa hệ số phan xạ, khúo xa

vào một số bhaạ1h SỐ c c ca 13145 Kétluan ẽ .e Ô.Ô.ÔÍÔồỒ ee 134

KEL LUẬN 135

DANH MUO CÔNG TRÌNH KHOA HOC CỦA ‘LAC GIÁ

LIEN QUAN DEN LUAN AN 138

TÀI LIEU THAM KHAO 139

Danh sách hình ve

Biên, biên phan chia Q HQ eeBiên phan chia co co HH nh ra

Miền hai chiều QC?) và QCM) với biên phân chia độ nhấm cao L .

Miền chứa biên phan chia độ nhấm oao được thay, bằng lớp vật

liệu 06 biên là phẳng —A < z3<Ú ee

Biên phan chia độ nhấn oao 7, giữa, hai bán không gian đàn hồi

xốp hai chiều NM và QC) 22.2 Q0 ee

Miền lẫy tích phan

Biên phân chia hình lược L giữa hai bán không gian đàn hồi xốp¡8n 8 .ốẮẮ.Ặa a .Ẽ TỪ.

Oáo miền ba chiều QM) và QO) được phân chia bởi mat trụ oÓ

s21? 15 ằŠ HA

Biên phan chia hình luge L giữa hai bán không gian dan hồi xốp

ba chiều co

Biên phan chia độ nhấm oao 7, giữa hai bán không gian đàn hồi

mioropolar hai chiều QM) và Q),,.,, 22.2

Biên phan chia độ nhấm vao hình luge giữa hai bán khong gian

Biên phan chia dang hình răng, cute (a) và hình sin (ib) 2

SOuG UAUZ UP “a : Ha

SOug 1 Ta aaaaq.R HT.

Su phan xạ, khúo xạ của sóng SH đối với biên phan chia độ nhéimSự phan xạ, khúo xa vita sóng SH đối với lớp vật liệu khôngthuần nhất 0 c c n ee

yi

Ohia lớp vật liệu không thuần nhất thành n lớp cou thuần nhất, 88

Hình anh phóng to cla ba dang biên phân chia (ương tu với

hình nhỏ trong hình 4.3) 0.0 ee 92

Sự phụ thuộc ota mô dun |R| và |T| cla cáo hệ số phan xạ, khúo

xạ cho ba dang biên phan chĩa c c c c 94

Sự phụ thuộc dủa mô dun || và |T| oủa oáo hệ số phan xa, khúo

xa vào độ oao không thứ nguyên oửa biên phân chia 95

Sự phụ thuộo oủa oáo mô dun |R| và |T| cla áo hệ số phan xa,

khúc xạ vào độ rộng cua biện phân chia dạng hình lược 95

Biên phau chia độ nhấm cao hình luge oó độ rộng ctta răng, lược

biến thiên tuần hoàn ee ee 96

Sự phụ thuộc của mô dun |7| cla hệ số khúo xạ vào tần số không:

thứ nguyên wH/(276,) cho hai trường hợp: pe = 2 and jy = 20v 8

Miền band-gap phụ thuộc vào N với hai trường hợp po = 2 và

Miền band-gap phụ thuộc vào ti số độ cứng, olla hai bán không,

00/12 18 ẮằốẮẲẮ 100

Miền band-gap phụ thuộc vào biên độ không thứ nguyên A/a

của độ rộng răng luge biến thiên 100Miền band-gap phụ thuộo vào góo tới với hai trường hợp: =

2Hạ và dạ = 2ì Go phan xạ tới hạn tug với trường hợp dưới

[To| vào góo tới 0(0<0<900) LH

Sự phụ thuộo của mô dun hệ số phan xạ |R| vào e¡ € [0.1, 0.9] 114

Sự phụ thuộo ola mô dun hệ số khúo xạ [7| vào eị € [0.1, 0.9] 115

Sự phụ thuộo cla m6 dun || va [7 vào eg € [0.1, 3] cla || va [7.115

Sự phụ thuộc cla mô dun hệ số phấn xa, khúo xa |R|, [7| vào

Su phan xạ, khúo xạ dúa sóng tới chuyến dịch dọc LIZ

vil

f Sự phụ thuộc cla mô dun |7

Ohia lớp không thuần nhất v6 độ dày H thành N lớp con thuần

Su phụ thuộo cla m6 dun |R

Chia 2 ee

Sự phụ thuộo oủa mô dun |7'In (c( Su phụ thude uủa m6 dun |?với ba dang biêu phan chia.

ba dạng biện phan chia .

Sự phụ thuộo cla mo dun

phần cha

Rị và T| theo dao trưng cla biên

vill

MỞ ĐẦU

Tính thời sự của đề tài luận ấn

Trong thực tê xuất hiện nhiều bài toán liên quan đến biên hay biên phânchia độ nhấm cao (biên độ ctia chúng lớn hơn nhiều chu kỳ trong trường, hợptuần hoàn), như sự tan xạ oúa sóng điện-bừ trên bề mặt oó độ nhấm cao của, một

vật thé, sự udu oúa oáo bắn móng 06 độ dày thay đối nhanh, sự phan xạ và khúo

xa olla áo sóng phẳng, tai biên phan chia có độ nhấm cao giữa hai môi trường,

đàn hồi, chuyển động của oáo dòng: chất long giữa cáo bức tường độ nhấm cao,

Oáo bài toán liên quan đến biên hay biên phân chia độ nhấm cao thường,

được giãi bằng cáo phương pháp sô Luy nhiên, lời giái số thường không on định,độ chính xáo khong sao, do độ uhém öào vtta biên hay biên phân chia gây ra Để

vượt qua khó khăn này; cao nhà, khoa hoc đã đưa ra ý tưởng thay, thé biên, biên

phan chia độ nhấm cao bởi cáo biên, biên phân chia phẳng, bằng oách thay miền

chứa biên hay biên phan chia độ nhấm cao bang mot lớp vật liệu mdi oó biện: là,

phẳng Về phương diện toán học điều này v6 nghĩa; van tìm ra oáo phương trình.đạo hàm riêng mô ta chuyến động cia lớp vật liệu mới OAc phương trình này.

được gọi là oáo phương trình thuần nhất hóa Đó chính là ý tưởng, cia phương:pháp thuần nhất hóa biên, biên phan chia v6 độ nhấm cao.

Mục tiêu chính của bài toán thuần nhất hóa biên, biên phân chia vd độnhấm cao là thu ra cúc phương trành thuận thất hoa (chứ không, phải di giải oấophương, trình, như thông thường) Nếu áo phương trình thuần nhất hoa đượotìm ra 06 dạng tường minh (dạng hiện), tito là áo hệ sO ctta chúng, là áo hàmhiện olta oáo tham sỐ vật liệu ctta vio môi trường và oấo tham số hình hoo đặo

trưng, cho biên hay biên có phan chia độ nhấn cao, chúng, sẽ trổ thành mot cong

ou quan trong để giải oáo bài toán thực tê kháo nhan Do vậy, thuần nhất hoabiên, biên phân chia vd độ nhám cao để tìm ra sáo phương trình thuần nhật hoa

dạng hiện là một bài toán hết sức c6 ý nghĩa về oA phương diện lý thuyẾt và ứng,dụng thực tiễn, đang đượo nhiều nhà khoa hoc quan tam Luận ấn tiễn hành

thuần nhất hóa biên phan chia oó độ nhám vao để tìm ra oáo phương trình thuần.

nhất hoa dang hiện cho lý thuyết đàn hồi xốp và lý thuyết đàn hồi micropolar,nêu đề tài luận ấn có tính cấp thiết, thời sự, v6 ý nghĩa khoa hoo và ứng, dụng:thực tiễn.

Mục tiêu của luận ấn

1 Thiết lập cao phương trình thuần nhất hoa dang hiện của lý thuyết đàn hồixốp va lý thuyết đàn hồi micropolar trong oáo miền chứa biên phan chia độnhấm cao nằm giữa hai đường thang song: song.

2 Sử dung oáo phương trình thuần nhất hóa dạng hiện thu được, khảo sat sự

phan xạ, khúc xạ của cáo sóng phẳng đối với biên phân chia có độ nhám

Doi tượng va phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu:

e Biên phân chia độ nhất cao giữa hai miền đàn hồi xốp,

e Biên phân chia độ nhấu cao giữa hai miền đàn hồi micropolar.

e Sóng phẳng trong cáo môi trường dau hồi, đàn hồi xốp và đàn hồi

Pham vi nghiên cứu:

e Phương trình thuần nhất hoa dang hiện (dạng tường, minh).

s Sự phan xạ, khav xa cla song.

Phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dung phương phấp thuần nhất hóa kết hợp cách biếu diễn gấu

phương trình oo ban, cáo điều kiện liên tuc của lý thuyết đàn hồi xốp, đàn hồi

micropolar dưới dang ma trận và cách biểu diễn nghiệm vi mô-vĩ mô.

Những đóng góp mdi cua luận án

1 Tìm ra áo phương, trình thuần nhất hóa dạng hiện đối với biên phanchia độ nhám cao nằm gitta hai đường thẳng song song cho cáo lý thuyết:

e Lý thuyết đàn hồi xốp.

e Lý thuyét đàn hồi micropolar.

Oáo phương trình thu được là ông, cu quan trọng, để gidi oáo bài boán thực bô

kháo nham liên quan đên biên phân chia độ nhấm cao.

2 Khao sát sự phan xạ, khúc xạ đối với biên phân chia độ nhấm vao nămgiữa hai đường thang song song: ota:

* Sóng SH trong môi trường dan hồi.

e Sóng SH trong môi trường đàn hồi xốp.

e Sóng chuyển dich dọo trong môi trường đàn hồi micropolar.

Oáo ông thức dạng đóng cho hệ số phan xa và hệ số khúo xa đã được tim

Sứ dung oáo cOng thứo này, luận án đã, chi ra rằng, biên phân chia độ nhém

oao tuần hoàn dó khé năng ngăn can sóng đi qua trong một khoảng, tần số nào

đó (dude gọi là band gaps).

3 Phát hiện "dang tương, đồng” của áo phương trình co bản dạng ma tranvới điều kiện liên tụo.

Dang tương đồng giúp việo giải bài toán trên nhân tuần hoàn đơn giản vakết quá: oáo phương trình thuần nhất hóa thu được ngắn gọn.

Cau trúc của luận án

Luận ấn gdm bốn hương, phần mở đầu và phan kết luận.

Chương 1: Tong quan

Trình bày tổng quan về sự phát triển cla bài toán thuần nhất hóa biên, biên.

phân chia độ nhấm cao trước luận ấn Tiên cơ sở đó, xáo định oáo vẫn đề đượo

nghiên cứu trong luận ấn, các mục tiêu chính và nội dung chính cotta luận ấu.

Chương 2: Thuần nhất hóa biên phan chia độ nhát cao giữa hai

miền đàn hồi xốp

Ohuong 2 tiên hành thuần nhất hóa biên phân chia độ nhấm ao nằm giữa

hai đường, thắng song song đối với lý thuyết đàn hồi xốp theo mô hình củaAuriault (trong miền hai chiều) và mô hình Biot (trong miền ba chiều) Dé tìm

được áo phương trình thuần nhất hoa dang hiện, luận ấn đã sử dung áo kỹthuật oo bắn của phương phấp thuần nhat hoa đưa ra bởi Vinh và Tùng.

Chương 3: Thuần nhất hóa biên phan chia độ nhám cao giữa hai

miền dan hồi micropolar

Ohương 3 nhằm thiết lập oáo phương trình thuần nhất hóa dang hiện cita lýthuyết đàn hồi micropolar trong oấo miền oó biện phân chia độ nhấm va Gia

thiết vật liệu đàn hồi mocropolar là đẳng hướng tuyên tính Phương pháp dude

sử dung là phương pháp thuần nhất hóa.

Chương 4: Ứng dụng của các phương trình thuần nhất hóa dạng

hiện cho bài toán phán xạ, khúc xạ

Sử dung áo phương trình thuần nhất hóa dạng hiện thu được, luận ấn

nghiên cứu oấo bài toán sau:

1 Bài toán phan xạ, khúc xa vita sóng, SH đối với biên phân chia độ nhấmcao hình lược, hình răng cua, hình sin phân chia hai bán không gian đàn hồi

đẳng hướng kháo nhau Khao sát số sự phụ thuộc cửa cáo hé số phan xa, khúu

Xa vào góo tới, tan sO sóng và oáo tham sỐ vật liệu, Đã, chi ra rằng, biên phanchia (buần hoàn) độ nhấm cao oó khá năng ngăn chặn sóng đi qua trong mộtkhoảng nào đó của, tần số (baud gaps).

2 Bai toán phan xạ, khúo xa của sóng SH đối với biên phân chia độ nhấmoao 6ó dạng hình lượo trong môi trường đàn hồi xốp trực hướng Luận ấn dathiết lập được công thức tính cáo hệ số phắn xạ, khúo xa olla sóng và sử dung

vav ông bhứo này để kháo sát số sự phụ thuộc oúa cáo hệ số phan xạ, khúo xa4

vào một số bhau so.

3 Bài toán phan xạ, khúo xa olta sóng phẳng, chuyển dịch deo đối với biênphan chia độ nhấm cao giữa hai bán không gian dan hồi micropolar đẳng hướng,

Đã tìm ra oáo công: thứo tính hệ số phản xạ, khúo xa và kháo sát sự phụ thuộoolla vio hộ số phan xa, khúo xạ vào một số tham sd.

Hình 1.1; Biên, biên phân chia

Xét vật thể Q dude giới han bởi mat S Khi đó, mat S$ dude gọi là biên(boundary) vita vat thé © (hình 1.1).

Gia sử, vat thế Q gồm cáo vật liệu kháo nhan được phân vach bởi vo matTị, Fa và T3 Khi đó, cấo mặt Ty, [2 và đượo gọi là biên phân chia (interface)

(hình 1.1) Mat Ty là biên phân chia phẳng, mặt Tạ là biên phan chia nhấm v6dạng bất ky và mặt Ts là biên phân chia nhấum tuần hoàn.

Trong luận du tru, ta cht rót cdo biên phéw chia phán tuần hoàn.

Nếu biên độ A của biên, biên phân chia tuần hoàn nhỏ hơn nhiều so với chukỳ c thì chang đượo gọi là biên, biên phan chia vd độ nhấm thấp (xem Ty trong,

hình 1.2).

Ngược lại, nêu A lớn hơn nhiều so với ¢ thì biên, biên phan chia dude gọi là,

biên, biên phan chia v6 độ nhấm cao (xew Ts; trong hình 1.2).

(a) Biên phân chia độ nhám thập (b) Biên phân chia độ nhám caoHình 1.2: Biên phan chia

1.2 Biên, biên phân chia có độ nhám thấp

Trong cáo lĩnh vue kháo nhau của khoa học và công nghệ, xuất hiện nhiềubài toán liên quan đến biên hay biên phân chia nhấm, như sự tấn xa olla oấosóng: trên biên nhấm, quá, trình truyền ctta v4c sóng, đàn hồi, sóng âm, sóng điệu

từ qua biên phan chia nhấm giữa hai mor trường Khi biện phân chia có độ

nhấm thấp (biên độ nhó hơn nhiều so với chu kì oúa nó), để giải quyết oáo bài

toán này, cáo nhà khoa họo thường sử dụng phương pháp nhiễu (perturbation.

method) với tham số bé ctia lý thuyết là ti số ola độ cao biên nhấm: với độ dài

olla sóng bới Với oách tiếp van này, cáo xấp xí tần số thấp vita nghiệm da dude

tìm ra Đến năm 1981, Nayfeh |#9| đã tống, kết phương, pháp nhiễu thành sáchchuyên kháão la v6 thé kế đến một số nghiên ottu tiêu biểu áp dụng phương.pháp nhiễu, Năm 1996, Hawwa và Asfar [38] đã sử dụng, phương pháp nhiễu để

nghiên cứu bài toán truyền sóng SH trong lớp mà hai mặt của, lớp oó dang hình

sin yêu Odo báo gid đã thay biên coug bởi biên phẳng và biếu diễn trường sóng.

SH thành chuỗi lũy, thừa của tham số bé đặo trưng, cho nhiễu nhỏ trên biên của,

lớp Bài toán dẫn đên vido giải liên tiép áo phương trình ứng với cáo xấp xỉ

kháo nhan, Nam 2008, Singh va Lomar 62] đã nghiên cttu sự phan xạ, khúo xạ

của sóng quasi-P đối với biên phân chia nhấm giita hai bán khong gian đàn hồi

kháo nhan 06 ứng suất trước Singh và Tomar sử dụng phương pháp nhiễu để

7

tìm ra cáo hệ số phản xạ, khúc xạ cho xấp xi bậo nhất olla biên nhém Nó v6dang đóng nêu biên phân chia nhấm o6 cấu trúc tuần hoàn, Oc hộ số này phụ

thuộo vào g6c tới, tần số của sóng tới, ứng, suất trước, và gia sỐ oáo tính chất

dau hồi của hai bán khong gian.

Ta thấy rằng, cao phương pháp và vio kết qua đạt được của bài toán biênphau chia độ nhấn thấp đã khá hoàn chính nêu luận ấn không nghiên oứu vacbài toán đối với biên phân chia độ nhấm thấp.

1.3 Biên, biên phan chia có độ nhấm cao

Hình 1.3: Miền hai chiều QM và QC) với biên phân chia độ nhấm cao

dày dao Oáo táo giả da sử dung lý thuyết dau hồi tuyên tính ba chiều, phương:

pháp khai triển tiệm oận, thu được phương trình bac bốn đối với chuyến dich

olla mat gitta và oó xét một số ví dụ cu thé Lalbot và oáo cộng, sự |ð0{ (1990) da

xét sự phan xạ và khúo xa vila một sóng phẳng dién-tit đối với biên phan chia

v6 độ nhấm cao giữa hai m6 trường kháo nhau Biện phân chia là wot đường.

cong buần hoàn vd hình dang tùy ý OAc phương trình tích phân trên biên phanchia được giải số nhưng khối lượng, tính toán rất lớn do biên độ nhấm vao Vivậy, họ đã thay thé miền chứa biên phân chia độ nhấm cao bởi một lớp vật liệu

06 tinh chất thay đối theo chiều dày, Odo kết quá oúa nghiên cttu v6 thé đượcấp dụng để thiết kê oáo bề mặt nhám làm giảm hệ số phan xạ oửa sóng.

Ta thấy rằng, odo bài toán liên quan đến biên hay biên phân chia oó độ nhậm.vao không oó lời giải giải tích Oáo táo gia đã, sử dung phương pháp sô |44,66,80],

để gidi oáo bài toán này, Tuy nhiên, vido mô phóng số rất khó khăn vì 6 miền

gầu biên can nhiều nút lưới và cau trúo lưới khong xáo định, nghiệm số v6 tính

on định không cao.

Để vượt qua khó khăn này, cdo nhà khoa học đã đưa ra ý tướng thay, thé

biên phân chia độ nhấm cao bởi oáo biên phẳng bằng cach thay, miền chứa, biênphan chia oó độ nhấm cao bằng một lớp vật liệu mới oó biên là phẳng, (xem hình

1.4) Đó chính là ý tướng, chính để giải quyết bài toán thuần nhất hóa biên phan

chia oó độ nhấm cao.

Hình 1.4: Miền chứa biên phân chia độ nhám ao được thay bằng lớp

vật liệu v6 biên là phẳng —A < 23 < 0.

1.4 Thuần nhất hóa biên, biên phan chia

độ nhám cao

1.4.1 Ý tưởng giải quyết bài toán

Ý tưởng giải quyết bài toán thuần nhất hóa biên, biên phân chia độ nhấmcao la: thay miền chứa, biên, biên phân chia độ nhấm cao được bởi một lớp vật

liệu mới 06 biên phẳng, (xem hình 1.4) V6 mặt toán hoo điều này 06 nghĩa; gầntìm ra oấo phương trình đạo ham riêng mô bá ohuyễn dong ota lớp vật liệu mới.

Oáo phương trình này được gọi là áo phương trình thuần nhất hóa Mục tiêu

chính của bài toán thuần nhất hóa biên, biên phan chia v6 độ nhấm vao là tim

ra cúc phương trành thuận nhất how (chứ không phải di giải oáo phương, trình,

như thông thường), Nêu dáo phương trình thuần nhất hóa được tim ra v6 dạng,tường minh (dạng hiện), bức là cáo hệ số cla ching là áo hàm hiện olla vac

thanh sỐ vật liệu của, cáo môi trường, và oáo tham số hình học dae trưng cho biên:

hay biên có phân chia độ nhấn ao, chứng số trở thành mot ông cu quan trong

để giải oáo bài toán thực tế kháo nhau.

1.4.2 Sự phát triển của bài toán trước luận án

Lịch sử phát triển olla bài boán thuần nhất hoa biên phan chia độ nhém oao06 thé chia thành hai giai đoạn: giai đoạn brướo năm 2010 và giai đoạn ti 2010

đến trước luận ấu.

e Thuậu what hóu biên phau chia độ nháuw coo trước trăn 2010.

Trong giai đoạn này, ta vd thế kế đến cong trình nghiên ottu cia Nevard và,

Koller [BI| (1997) Nevard và Keller nghiên ottu thuần nhất hóa biên phan chia

có độ nhấm cao cho mot bài toán biên v6 nguồn gốo tit bài toán truyền nhiệt

dừng và bài toán truyền sóng Nhóm táo giá đã sử dụng phương phấp thuần

nhất hóa cho trường hợp khi biên phân chia dao động nhanh giữa hai đường

thẳng song, song, hai đường trou đồng tam Ainirat và oáo cong sự [2| (2004) daphan tích dáng điệu tiệm can dúa áo nghiệm cho oáo bài toán phố với toán tử

Laplace trong oấo miền với biên dao động nhanh Oáo số hạng chính trong khai

triển tiệm van cho oáo hàm riêng được xây dựng, sau đó đưa ra áo đánh giá

10

tiệm van dứa nghiệm xấp xí so với nghiệm chính xáo Déu năm 2005, De Maio

và oấo cOng sự [46] đã xét bài toán biên cho phương trình Poisson trong miềnvới biên v6 độ nhám dao dang hình lược Oáo rang lide dude chia làm hat whomvới hai độ dao kháo nhan, Điều kiện biên trên oáo oạnh bên vita cáo răng lược là,

điều kiện Robin Sử dụng cáo kỹ thuật của phương pháp thuần nhất hoa để tìm

được phương trình thuần nhất hoa và thiết lap được oáo đánh giá sai số giữa,nghiệm chính xáo và nghiệm thuần nhất hóa Nam 2007, Amirat va oấo oộng:

sự || nghiên ottu bài toán pho Dirichlet cho boán ttt Laplace trong miền hai chiều

06 biéu phan chia độ nhém cao hình ring lược Tiếp đến nim 2009, Kazimerchuk

va Melnyk |42| đã nghiên ottu bài toán biên cho phương trình Poisson với biên

phân chia hình răng lược và điều kiện biên trên oạnh béu oúa oấo răng lược làđiều kiện biên Signorini Odo tac giả đã tìm được phương, trình thuần nhất hoava điều kiện biện tương ứng nhờ sử dụng cáo kỹ thuật oửa phương phấp thuần

nhất hóa,

drong vio cong trình nghiên cứu trên chủ yêu tập trung vào oấo bài toánthuần nhất hoa biên hay, biên phâu chia độ nhấm: cao một phương trình, Những,

nghiên cứu về bài toán biên phân chia độ nhấm cao với hai phương, trình trở lên

còn rất hạn ohô và áo phương trình thuần nhất hóa thu đượo vẫn ở dạng ấn.

Trong |B1|, Nevard va Keller (1997) đã, sử dụng phương pháp thuần nhất hoa

đối với biên phân chia ba chiều phân chia hai vật đàn hồi dị hướng, tổng, quất.Họ đã tìm được cáo phương trình thuần nhất hóa nhưng dưới dạng an vi oáo hệ

sỐ olla phương trình được xáo định bằng, vide giải 27 phương trình vi phan đạohầm riêng Năm 2003, Gilbert và Ou |35[ nghiên cứu sự thuần nhất hoa đối với

biện phan chia độ nhấm cao ba chiều phan chia hai vật thé đàn hồi xốp và gấuphương trình thuần nhất hóa thu được ving ở dang ấn Ohú ý rằng, Nevard và,

Koller [51], Gilbert và Ou [35] đều bắt đầu với ác phương trình oo bắn và điềukiện biên dạng thành phần tương tng của lý thuyết đàn hồi và lý thuyét dau

hồi xốp để thu được oáo phương: trình thuần nhất hóa.

e Lhudu what how biêu phan chia độ nhá coo tt tăuẽ 2010) đếu trước luận én.

Kháu với dáo tao gia trên, Vinh và Lung [72-74| da sử dung cáo phương trìnhoG ban và điều kiện biên dang ma trận (không phái dạng thành phan) để tim

odo phương trình thuần nhất hóa Với oách tiệp oận này, cáo báo giả đã tìm dude

dáo phuong trinh thuận thất héa dang hiệu đối với bài toán biên phân chia vd

độ nhám cao dao động giữa hai đường, thang song song, hai đường, tron đồng,

lãi

tầm olla cáo lý thuyết đàn hồi, đàn điện và dau nhiệt OAc phương trình thuần

nhất hóa dang hiện nghĩa là oáo hệ số olla chúng là áo hàm hiển cla áo thamsố vật liệu va dae trưng, hình học của biên phân chia Vì vậy, cáo kết qua đạt

được là oông cu để giải quyết vc bài toán thực tế kháo nhan Ví dụ như nam

2015, Qi-Ohang He, Le Quang Hung va cấo cong sự đã sử dung oách tiệm vannghiệm cla Vinh và Tung để nghiên cứu oáo tham số hiệu dụng của vật liệu

composite |30,52,08| Hơn nữa, oáo phương trình thuần nhất hóa dạng hiện von

được sử dụng: để kháo sát bài toán phan xạ, khúo xa oúa sóng: đôi với biên phan

chia 06 độ nhấm! cao g1ữa hai LIội trường,

e Su công bênh cia phương trành thuần nhất bóu khả biên phan chia dav động

giữu hat đường tron đồng tôm.

Trong khi véo phương trình thuần nhất hóa dạng hiện ctta lý thuyết đàn

hồi, đàn-đện đối với biên phan chia dao động, nhanh giữa hai đường thang song,

song 06 dang ngắn gọn (bham khảo |76]) thi chúng rất cOug kềnh khi biên phanchia dao động, nhanh giữa hai đường, tron đồng, tâm (than kháo [74|) Oc hệ

số vita chúng không chi chứa oáo toán ttt trung bình (như trường hợp biên phanchia dao động nhanh giữa hai đường thang song song) mà, oòn chứa, chính oáo

hằng số vật liệu ola từng môi trường Nguyên nhân gây ra: điều kiện liên bụođối với véo tơ ứng, lực trên biên phân chia dao động nhanh giữa, hai đường, tron

đồng tâm, ngoài oáo đạo hàm riêng bao nhất của chuyển dịch, còn chứa chínhbắn thân chuyển dịch Ohú ý rằng, điều kiện liên tuo đối với véo tơ ứng luo trên

biên phan chia dao động nhanh giữa hai đường phẳng song, song, chi chứa đạohầm riêng bậo nhất ota chuyến dich.

Vì oáo điều kiệu liên bụo đối với véo tơ ứng lực trên biên phân chia dao động.nhanh giữa hai đường thing song song, phan chia hai môi trường dan hồi xốp

hoặc hai môi trường đàn hồi mioropolar, ngoài cáo đạo hàm riêng bac nhất cotta

chuyến dịch, con chứa chính bắn than chuyến dịch, nên oáo phương trình thuần

nhất hóa dang hiện thu được sẽ rat oồng kềnh nêu luận ấn tiếp tuo sử dung kỹ

thuật dúa Vĩnh và Lung [72| mà không, v6 sự phát triển.

12

1.5 Các vẫn dé nghiên cứu trong luận ấn

1.5.1 Thuan nhất hóa biên phân chia độ nhám cao

đối với lý thuyết đàn hồi xốp và đàn hồi

Nhu ta đã chi ra ở trên, viv phương trình thuần nhất hoa dạng hiện đối

với bài toán biên phân chia độ nhấm vao của lý thuyết đàn hồi, đàn điện, dannhiệt đã dude tìm ra bởi Vinh và Lung [72-74, 76| Tuy, nhiên, theo hiểu biết

olla nghiên cứu sinh, áo phương trình thuần nhất hóa dạng hiện đối với dáolý thuyết phức tap hon như: lý thuyết đàn hồi xốp (poroelastioity), dau hồi

micropolar vẫn chưa được tìm ra, Day là hai vật liệu (môi trường) dang được

sử dụng rộng rãi brong ông nghệ hiện đại.

Vật liệu dau hồi xốp, được tao bởi chất rắn đàn hồi xốp với oáo lỗ rỗng: chứa.chất lông hoặo khí Odo vật chat tự nhiên như đá trầm tích chứa nước hoặc dầu,đất sót, bùn, oát chứa đầy nướo hoặo khí, bọt nhôm chtta đầy khí, đáy biển xốp,

nguồn chita dau mó, hoặo vac vật liệu nhân bạo như oáo vật liệu thông, mình v6

hằng số dan hồi âm, xi mang, đồ gôm, oó thé voi là môi trường, xốp |34| Day.

là vật liệu nhận được rất nhiều sự quan tam của cáo nhà, khoa, hoo trong nhiềuthập kỷ qua vì vai trò quan trong cla nó trong việc thăm dò dau khí, nghiên

cứu về hiện tượng: động đất, âm hov dưới nước liên quan đến sự lan truyền trong

nướo bão hòa |35| và trong, quang, học,

Oáo phương, trình của lý thuyết đàn hồi xốp thu được bởi Biot [14,15] ti

lau đã đượo xem như là chuẩn trong vide gidi cáo bài toán đàn hồi xốp rong,

mô hình của Biot, cáo hộ số cla oáo phương, trình oo bắn (governing equations)

là đã biết trước Luy nhiên, khi hệ số nhớt lớn oấo phương trình này không

còn chính xáo Với lý do này, cáo báo giả kháo đã xét mô hình mà tính đến ấu

cu trio vi mô cy thể của, dáo lỗ rỗng, (mô hình oủa Auriault) [5,6] và sử dụng

phương, pháp thuần nhất hoa dé nhận lại oáo phương trình cơ bắn của lý thuyết

đàn hồi xốp tuyên tính Lrong mô hình cotta Auriault, để xáo định vac hệ số của,

dấo phương, trình này ta phải giải số oáo bài toán biên trên nhân tuần hoàntương ứng Bài toán liêu quan đến thuần nhất hóa biên phân chia độ nhấuh cao

13

trong môi trường đàn hồi xốp co thế kế đên đó là nghiên ottu oúa Gilbert và

Ou |B5| vào năm: 2003 theo m6 hình cla Auriault Oấo báo gia da kháo sát qua

trình lan truyền song âm trong vật liệu composite tao bởi hai vật liệu đàn hồixốp với biên phân chia độ nhấm vao ba chiều Oách tiếp vam bài toán giống vớiNevard-Keller, điều này dẫn đến hệ phương trình thuần nhất hóa thu được vẫn.

dòn ở dạng ấn Do đó, luận ấn sẽ nghiện oứu bài toán thuần nhất hóa biên phanchia độ nhấm oao ota lý thuyết đàn hồi xốp cho va hai mô hình này, Ou thé là,

thuần nhất hóa biên phan chia độ nhấm cao trong miền hai chiều của lý thuyết

đàn hồi xốp theo mô hình của Auriault và trường, hợp ba chiều số sử dụng mô

điển là trong lý thuyết đàn hồi wicropolar v6 thêm vector quay, cla áo phầntử vật chat Điều này khiến cho lý thuyết đàn hồi micropolar trổ nên phức taphơn lý thuyết đàn hồi vd điển nhưng giúp việo mô ta chuyến doug và biến dang

olla vau trúc đầy đủ hơn, chính xáo hơn Ví dụ về môi trường mioropolar đó làchat long từ, dòng cáo phân tử máu, môi trường cấu trav hạt, xương.,

Lý thuyết đàn hồi mioropolar được dua ra bởi Exiugen vào g1ữa những nim1960 |29, 30| Năm 2007, Baljeot Singh |§| nghiên oứu qué trình lan truyền sóngtrong môi trường true hướng, đàn hồi micropolar và tìm ra ba vận bôo sóng phụthuộo vào góc lan truyền và oáo tham số vật liệu Nam 2008, Kumar và, áo vdug

sự |45| kháo sát sự phan xạ, khúo xa olla cáo sóng phẳng tai biện phan chia

khong hoàn hảo vita hai bán khong gian trực hướng đàn hồi micropolar.

Do vậy, luận án sẽ phát triển các nghiên cứu của Vinh và Tung để

tìm các phương trình thuần nhất hóa dạng hiện cho hai môi trườngđàn hồi xốp và đàn hồi micropolar.

14

1.5.2 Phan xạ, khúc xạ của sóng đối với biên phan

chia độ nhấm cao

Bài toán phản xạ, khúo xa vita sóng đàn hồi 06 ý nghĩa, rất quan trọng trong

duu hyo, dia vật lý (geophysics), địa chau học nên da thu hút nhiều báo giá nghiên

cứu như; l2wing et al [82] (1957), Brokhovskikh |18] (1980), Brekhovskikh and

Gordin [L9| (1992), Nayfeh [50] (1995), Borcherdt |I0| (2009) Oáo nghiên oứn về

sự phan xạ, khúo xạ cla sóng đàn hồi chit yêu xót biên hay biên phân chia phẳng,

như đối với vật liệu đàn hồi dị hướng v6 Rokhlin và cáo cộng sự [59] (1986),Ohattopadhyay và Ohoudhury, |22| (1995), , đối với vật liệu đàn hồi có biếndang trước là Hussain và Ogden || (2000), Ohattopadhyay và Rogerson |23|

(2001), , đôi với vật liệu đàn hồi micropolar v6 Parfitt va Bringen 55] (1969),TOmar và Garg [70| (2005), Kuma và Sharma |45| (2008), , hay, đôi với vật liệudan hồi xốp dó Dai và áo dộng sự |25| (2006), Yeh và oáo cOug sự [79| (2010), Sự phan xa, khúo xa của vac sóng đàn hồi đối với biên và biên phân chia nhấu

uững, thu hút sự quan tam cla odo nhà khoa hye bởi chúng, 06 ứng dụng rộng, rãi

trong thực tế Luy nhiên, hầu hết áo nghiên oứu chí xét biên và biên phan chia

độ nhấm thấp ví dụ như cic nghiên oứu của, Seshadri |ö0|, Stioklior |63|, Louar

và Kaur [71|, Singh và Lomar [61|,

Trước năm 2010, vac hệ số phan xạ, khúo xa oủa sóng, đàn hồi đối với biênphân chia độ nhấm cao ohưa được tim ra do oấo phương trình thuần nhất hóa

đối với biên phân chia độ nhám oao đến thời điểm đó vẫn 6 dang an.

Từ năm 2010, cic táo giả Vinh và Tung đã tìm ra áo phương trình thuầnnhất hoa dang hiện cho cáo lý thuyết dan hồi, đàn điện va đàn nhiệt [72-74| Sửdung cáo phương trình thuần nhất hóa dạng hiện của lý thuyết đàn hồi, oáo táogiá đã nghiên oứu bài toán phau xạ, khúo xạ của sóng đàn hồi SH đối với biên

phân chia độ nhéam cao hình lược.

Luận ấn sẽ nghiên cứu các bài toán phan xa, khúc xa của sống

phẳng đối với biên phân chia độ nhấm cao nằm giữa hai đường thang

song song trong môi trường đàn hồi xốp và đàn hồi micropolar bằng

cách sứ dụng các phương trình thuần nhất hóa dạng hiện được tim

Sử dụng phương pháp thuần nhất hóa, bài toán phan xạ, khúo xa của oấo

15

sóng: đối với biên phan chia v6 độ nhấun cao được dua về bài toán phắu xạ, khúo

xa đối với lớp vật liệu oó biên là phẳng Từ đó thu được công thức dang hiệu

của hệ sô phản xạ, khúo xạ.

1.5.3 Sự tương đồng giữa phương trình cơ bản dang

ma trận với điều kiện liên tục trên biên phan

nêu trêu, sao cho áo phương trình thuần nhất hóa dạng hiện thu được v6 dang

don gián, chi chứa vac boán tu trung bình.

1.6 Mục tiêu nghiên cứu của luận an

Từ oáo phan tích nêu trên, cdc mue tiêu cua luận ấn là:

e Thiết lập oáo phương, trình thuần nhất hóa dạng hiện đối với biên phan chiađộ nhấm cao của lý thuyét đàn hồi xốp và dau hồi miorobolar.

e Nghién cứu sự phan xạ, khúo xa của vc sóng đối với biên phân chia v6 độ

nhấm cao trong môi trường đàn hồi xốp và đàn hồi micropolar.

« lim ra dạng thích hop vita phương, trình oo bắn dang wa trận của, lý thuyết

đàn hồi xốp và đàn hồi wmicropolar.

1.7 Nội dung chính của luận ấn

Nội dung chính ctta luận ấn là: tìm ra oáo phương trình thuần nhất hóa dang

hiện đối với biên phân chia độ nhám cao nằm giữa hai đường thang song song,

16

của lý thuyét đàn hồi xốp va đàn hồi micropolar và ứng dụng cáo phương trình

thu được nghiên oứu sự phan xạ, khúc xạ của oáo sóng, phẳng đôi với biên phan

vhia vd độ nhấm vao.

Nội dung chính cua luận ấn số được trình bày, trong ba chương,

Chương 2: Thuần nhất hóa biên phân chia độ nhám cao giữa haimiền đàn hồi xốp.

Trong chương này, luận ấn xét sự thuần nhất hóa của lý thuyết đàn hồi xốp

06 biện phân chia độ nhấm cao hai chiều và ba chiéu tương ứng với hai mô hình

Aurianlt và mô hình Biot Để tìm duoc cáo phương, trình thuần nhật hoa dang

hiện, luận án da sử dung phương pháp thuần nhất hoa [72-74|, viết oáo phương,trình oo ban và oáo điều kiện liên tuo của lý thuyết đàn hồi xốp dưới dạng ma

trận tương thích với điều kiện liên tuo và sử dụng biểu diễn nghiệm có tính dén

dav trưng vi mô và dae trưng vĩ mô Dạng thích hợp olla phương trình vd bản

dang ma trận cla cáo lý thuyết được phát hiện trình bày trong chương này, Đólà dạng tương thích với điều kiện liên tụo trên biên phan chia.

Chương 3: Thuần nhất hóa biên phân chia độ nhấm cao giữa haimiền đàn hồi micropolar.

Oáo phương trình thuần nhất hóa dang hiện của lý thuyết dau hồi micropolarcó biện phân chia độ nhám cao được thiết lập trong chương này, Giá thiết vật

liệu đàn hồi wocropolar là dang hướng tuyên tính Phương, pháp được sử dung

là phương phấp thuần nhất hoa [72—74|.

Chương 4: Ứng dụng của các phương trình thuần nhất hóa dang

hiện cho bài toán phán xạ, khúc xạ.

Trong chương 4, luận ấn xét bài toán phan xạ, khúc xa vita oáo sóng: đối vớibiên phân chia độ nhấm oao Bai toán này được dua về xét sự phản xạ, khúo

xa olla sóng đối với một lớp vật liệu 06 biên là phẳng Odo bước tim hệ số phan

xa, khúo xa của sóng được thực hiệu như sau: Thứ nhất, luận ấn sử dung oấo

phương trình thuần nhất hoa dạng hiện dang thành phan đã, tìm đượo Sau đó,

việt biểu diễn nghiệm oủa áo phương trình này, và cho thỏa mau điều kiện liên

tuo bại hai biên phẳng ta số tính được oáo hệ số phắn xạ, khúo xạ oúa sóng Từ

áo biếu thứo hệ số phan xạ, khứo xa cia sóng, ta kháo sát số sự phụ thuộc của,

áo hệ sỐ này vào một số tham số, hương, 4 gồm cáo phan sau:

- Phần thứ nhất; Lính hệ số phắn xạ, khúo xạ của sóng SH đối với biên phan17

chia độ nhấu: cao hình lược, hình răng cua, hình sin phan chia hai bau không.

gian đàn hồi đẳng hướng kháo nhan Khao sát sô sự phụ thuộc cia áo hệ số

phan xạ, khúo xa theo góo tới, tần số sóng và oáo tham sỐ vật liệu,

- Phần thứ hai: Xét bài toán phan xạ, khúo xạ oủa sóng SH đối với biênphan chia độ nhấm cao v6 dạng hình lược trong môi trường đàn hồi xốp true

hướng Sứ dụng áo biểu thứo này để kháo sát số sự phụ thuộc cia oáo hệ số

phan xa, khúo xa vào một số tham sd.

- Phần thứ ba: Vinh hệ số phan xạ, khúo xa olla sóng, phẳng có chuyén

dịch dọo đôi với biên phan chia độ nhấm vao giữa hai bán không gian dau hồi

micropolar đẳng hướng Lit đó, khảo sát sự phụ thuộc oúa oáo hệ số phan xạ,

khúo xa da sóng vào mdt số tham sd.

18

Chương 2

THUẦN NHẬT HOA BIEN PHAN CHIA DO

NHAM CAO GIỮA HAI MIEN DAN HOI XỐP

Nội dung oủa chuoug 2 gồm hai phan chính;

2.1 Thiết lap oáo phương tràinh thuậu what hóu dang hiệu ctta ly thuyết dawhot «op 06 biên phan chia độ nhấm cao trong miéw hat chiều thea md hành,

và điều kiện liên tuo này dưới dang ma trận Sit dụng biếu diễn nghiệm v6 tínhđền dav trưng: vi mô, vĩ mô Tà thay, biếu diễn nghiệm này, vào véo phương trình

cơ ban dạng ma trận và điều kiện liên tuo dang ma tran Sau đó, sử dụng, sáo

kỹ thuật olta phương pháp thuần nhất hoa [72-74| để tính đượo cáo hệ số vita

phương, trình thuần nhất hoa và thiết lap được phương, trình thuần nhất hoadang hiện dạng ma tran của lý thuyét đàn hồi xốp trong miền hai chiều, Xóttrường hợp vật liệu đàn hồi xốp true hướng, áo phương trình thuần nhất hoa

dang hiện dang ma trận sẽ được viết ou thế dưới dang thành phần Oáo phương.

trình thuần nhất hoa dạng hiện nghĩa là oáo hệ số cia chúng, là oáo hàm hiển

olla cáo tham sO vật liệu và đặc trưng hình hoo cửa, biên phan chia Trong phanthứ hai, ta sử dụng cáo phương trình cơ ban và điều kiện liên tuo dạng thànhphần của lý thuyết đàn hồi xốp dị hướng, trong miền ba chiều theo mô hình cotta

19

Biot 14,15] Lhuc hiện cáo kỹ thuật cla phương pháp thuần nhất hoa như trong,phan một nhưng mở rộng, cho trường, hợp biên phan chia ba chiều Do xót trongtrường hợp ba chiều nên việo tính toán sẽ phứo tap hơn trường hợp hai chiều.

Trong phan này, oáo phương, trình thuần nhất hoa dạng hiện dang ma trận và,dạng thành phần oũng được thiết lập.

2.1 Thuần nhất hóa biên phan chia độ nhám

cao giữa hai miền đàn hồi xốp trongmiền hai chiều theo mô hình của Au-

2.1.1 Oác phương trình cơ ban dạng ma trận

Xét môi trường đàn hồi xốp dị hướng với dáo lỗ chất long là Newton và,khong nén được; nghĩa là chất long nhớt, tuân theo định luật ma sất trongota Newtou (ứng suất tiếp và gradient vận too phụ thuộc tuyến tính với nhan)

và không thay đổi thế tích khi chịu táo động của 4p suất, nhiệt độ Giá thiết

chuyển động điều hòa theo thời gian, khi đó, oc hàm f(x, t) đượo viết dưới dang

f(x,t) = f(x)exp(iwt), trong đó x = (rm) là véctơ vị trí, t là thời gian, w (> 0)

là tần số dao động: điều hòa theo thời gian của cáo phần tử vật liệu (materialpartiolos), ý là đơn vi áo; i? = —1 Phoo Auriault và oấo oộng, sự |D,6|, áo phương,

trình cơ bắn với cáo chuyến động điều hòa theo thời gian của môi trường dan

hồi xốp là (‘xem |L7,35|):

div 5 +f = —w? (pu + ø,w) (2.1)iww = K(w?øru — gradp), (2.2)

Xx = Ce(u) — ap, (2.3)divw = —œ : e(u) — Bp, (2.4)

trong đó © = (øm„„) là tensa ứng suất, C = (e„„) là tensa hằng số đàn hồi của.nền (skeleton), a = (œ¡;) là tensơ đối xứng, Ø là đại lượng vô hướng, p là áp suat

20

chất long (dương khi nén được), u = (um) là vécto dịch chuyến oúa chất rắn,w = ƒ(Uz — u) là dịch chuyển tương, đối oúa chat lông, đối với nền chất rắn (tho

displacement of the fluid relative to the solid skeleton), w—(wm), Uz là véobƠØ

dịch chuyển của chat long, e(u) = (e„„) là tensơ biến dang:

1 ;

Cựyn = 2 (um, + tia mộ, (2.5)

dấu ”” chi đạo hàm theo x», ƒ là tính xốp, ø = (L— ƒ)øs + for là mật độ khôilượng, cla composite, pz là mật độ khối lượng, của lỗ chất long, ø; là mật độ khối

lượng: olla nồn, K—(k„„) là tonsơ thâm Daroy tong quất đôi xứng (generalized

Daroy, permeability tensor) được dua ra bới lý thuyết thuần nhất hoa và phụthuộc vào w, f—(fm) là luo khối táo dụng lên phan rắn.

Dé thuận tiện hơn, ta viết (2.3) dưới dang sau:

A ? A h QF

Wm = —AnnUn + hmnP.n: Amn = 121L mn = Anm- (2.7)

Thay (2.7) vào (2.1), ta được;

Phương trình (2.8) được viết như sau:

2/2 R R R R

Ø111 + Ø133 + ð“(ô1101 + Ô1202 + 1303) + â11p1 + â1303 + fr = 0,

Ø2 + 7233 + 0 (Ô2t0 + ôsaua + p23u3) + âsIp 1 + do3p3 + fo = 0, (2.11)

2/^ ˆ A ˆ

031,1 + Ø33,3 + “(3111 + P32u2 + 633uU3) + G31p.1 + 433.3 + ƒ3 =

Thay (2.6) vào (2.11), ta được;

(cum + C13033 + C14023 + Ci5(u13 + 8ạ,1) + Clg21 — an) '

+ (su + Œas3 3 + C45 42,3 + C55(U1,3 + U3,1) + C56U2,1 — op) 3

+” + w*pyous + 0213ua + dpa + di3p3 + fi = 9,

(com + €36U3,3 + C46M2,3 + Cs6(11,3 + 13.1) + C66121 — awp) ¡

+ (cum + c34u3,3 + Œ4412,3 + C45 (1,3 + 03,1) + C462,1 — aasp) 5 (2.12)

+ w*poruy + w*pogus + w*fogug + â21p 1 + do3p3 + fo = 0,

(asm + €35U3,3 + C45U2,3 + Cs5(M1,3 + U3,1) + C56U2,1 — op) :

+ (asm + ¢333,3 + Ca412,3 + C35(1,3 + 03,1) + Ca62,1 — assp) 3

+ w*fziuy + 02Ðạsua + w*f3gug + âạtp 1 + âaap 3 + ƒ3 = 0.

Lit (2.4) và (2.7), ta 06:

(tu (Du — `.) = iwWOmnemn + iw Bp (2.13)

Phuong trình (2.13) được viết cu thé như sau:

(6i — 0 prw) + kia(—w prwa) + kis(p3 — ) ¡

+ (toa — @ p1) + k32(—w*ppus) + k33(p.3 — 2" pxus))

trong đó v = [uy ug ug pl’, F = [fi fo fz 0|”, ký hiệu 7 chí chuyển vị ota một ma

= WwW R ˆ ˆ

P13 23 33 0

0 0 0 ~iB/w

‘La đặt oáu véeuta 3 — [ơi 012 013 wy]? và Đa — [13 023 Ø33 ôa|T VỚI wy, dude

xấu định như sau:

tôi = 10a = k11(p,1 — 0ö 01) + Ela(p3 — 0p 2u),

193 = 1WW3 = k13(P1 — 0L 1) + k33(p3 — 0L 2u) (2.17)

23

Khi đó, áo véotd 3¡ và 33 cd dạng:

Đị = AlilVi+ Alava + Av, Ss = Asivi+ Ag33v.3+ Aaav (2.18)

Hình 2.1; Biên phan chia độ nhám cao L giữa hai ban không gian dan

hồi xốp hai chiều QŒ) va QO

Xót một vat thế đàn hồi xốp dị hướng chiêm oáo miền hai chiều QC), Q(—) cia

mặt phẳng «1,23 được phân chia bởi đường cong L oó phương, trình z3 = h(y),

y = #1/e (€ > 0), trong đó h(y) tuần hoàn với chu ky 1 Giá thiết đường cong

L dao động giữa hai đường thing z3 = —A,(A > 0) và v3 = 0 (xem hình 2.1).

Trong miền 0 < z¡ < c, mỗi đường thẳng z¿ = 29 = const (—A < z§ < 0) giaovới đường cong L tai đúng hai điểm Oho 0 < e << 1, khi đó L đượo gọi là biên.

phan chia có độ nhấn cao ca AM và QC),

24

Gia sử rằng, cáo vật liệu đàn hồi xốp dị hướng thuần nhất kháo nhau nằm:

trên cáo miền AM, OW) Odo tham số vật liệu được xáo định như sau:

cụ), KP, at), BH, pO, pO, pL? với xạ > h(xi/e)

H) BO) DO) BO với x:

A,’, BY’, DS, EX” với x3 > h(x

Agn,B,D,B= 20h? 3 > R19) (2.21)

AW) BODO), BO với x3 < h(a1/e)

trong do A AW, an ( Ai se E£) ) được cho trong (2,16) với cij, , pz tư0ng,

ứng được thay bởi " H s pl ) ( F "m pl, ) ).

Trong miền QŒ) (QC), phương trình cơ bắn (2.15) với oáo chuyển động, điềuhoa theo thời gian oó áo ma trận Az„, B, D, E và F được thay thé bởi AW),

BÉ), DO), BO) và BO) (A), BC), DO), BO) va FO).

Giá st OM, QC) gắn chat với nhan, khi đó véobơ chuyén dich vita chất rắn,

ấp suất chat lỏng, vécto ứng, suất toàn phan và vận too tương: đối của chất long

(đối với chât rắn) phái liên tuo theo đường cong L, cu thế là:[wi ]r =0, t= 1,2,3, [Plt =0,

[CR NEL =U, ;= 1,2,ä, [pel LE =0 (2.22)trong đó n, là thành phần theo trục z„ của vécta phấp tuyên đơn vị đối với

đường ong 7 và ký hiệu [.]„ được định nghĩa:

(f]y = fŒ) ~ fC) trên L (2.23)

Điều kiện liên tuo (2.22) biển diễn qua cao vévto v, ị và 3; oó dang:

Ivl, =0, [Sin + Đan | = 0 (2.24)

Sử dụng liên hệ (2.18), điều kiện liên tuo thứ hai của (2.24) trở thành:

(Anya + A13V3 + Auv)ni + (Asiva + A33V3 + Asav) ns] L = 0 (2.25)

25

Biểu diễn nạ theo h theo biểu thức nạ : mị = —-1: thy, điều kiện liên bục

(2.24) được việt như sau:

MẸ: =0,” [i"tu) (Aiivi+ Aigv3 + Auv) | — |Asiva + A33V,3 + Aviv = 0.L

Theo Bensoussan và cáo cộng sự [13], Sanchez-Paloucia |B4|, Bakhvalov

và Panasonko [| giả thiết rằng; v(21,73,¢)—U(2r1,y, 73,6) Phoo Bakhvalov và

Panasenko [7|, ta biếu diễn U dưới dang sau (cũng 06 thé xem trong Vinh vaLung [72,74-76|, Le Quang và cáo cộng sự [39, 40,52, 68]):

U = V+c(N'V+N''VIi+N?V;)+c(N V+N”Vi+N”V;

4 NEV 4 + Nˆ”V; +4 N””V„¿) +4 O(e?) (2.27)

trong đó V—V(a1,23) (không phụ thuộc vào y), N!,NH, N3, N2, N”!, N23,

Nˆ?H, N21, N?” là odo wa trận 4x4 là hàm olla y và zz (không phụ thuộo vào71), và ching tuần hoàn theo với chu kỳ 1, O(e?) là kí hiệu dùng bậo,

Nhận xét 2.1: Lừ (2.27) ta thay, rằng u dần đến V khi ‹ tiến déu U, do đó,V là sô hạng chính của u Khi ¢ rất nhỏ, ta tìm V thay cho u Nhu vậy, ta cần

tìm phương trình đối với V Phương, trình này được gọi là phương, trình thuần

nhất hóa olla phương, trình đối với u.‘Ta số chi ra rằng;

Dinh ly 2.1

Oho v(a1,73,€) thỏa mãn phương trình od bắn dang ma trận (2.15) và điền

kiện liên tuo (2.26) với Ap,, B, D E được xáo định trong (2.21) Đường, cong

Li «3 = h(y), y = z1/c là biên phan chia độ uhdm cao dao động, giita hai đường,

thang 3 = 0 và z3 = —A (A> 0) h(y) là hàm kha vi tuần hoàn theo y với chu

kỳ 1 Giá thiết thêm rang v(21, 73, c)—U(i, y, 23, €) và U(i, y, 73, €) 06 dạng khai

20

triển tiệm van (2.27) Khi đó V{(z, 23) là nghiệm vita bài toán sau;

Vou z3 > 0:

ADV en + (Ai) + BM) va + (AYP + DO) v3 + BOV FEO =0 (228)

Voi -A<23 <0:

(An) Vian + (Aq!) (Aq! Ais) Vag + {(AnAi(Ai) 1V.) 3

+ { ((Ass) + (Asi Aq) (Aq!) (Aq Aus) — (Asi Aj! Ans) Vib ;

+ ((BAi(Ai 14 (An) HAjAi))Va (2.29)

+ ((D) + (BAP (Ai) (Ag Ans) - (BATA) ) Vis

+ { ((Ar ATI) (An!) MAGA) = (AnAilAi) + (Anu) ) VE

+ ((B) + (BAi)(AiD MAG! Au) = (BÀI 'Ai))V + (F) = 0.

Với #3 <—A:

AO Vien + (AY) + BC))V¡ + (AY? + DO)V 34 BOV+FO =0 (2230)

V và XY là số hạng chính (leading term) cla Y3 phái liên tục trên cio đường

thang zạ = Ú và x3 = —A:

[V]z- =0, [S$ ]z- =0, L*: 23 =0, 13 = —A (2.31)

59 = ((AnAi)(AiD Ap Au) (AiAiAn) + (As))V

+(AaiAii)(An) TVị+ ((Ass) + (AsiAy (Aq) (Aq Ais) — (232)

— (Agi Ay Ans) ) Vis

vas '

(2)(z3) = [ ¿dụ = (0 — ye + (1-y + ye (2.33)

trong đó y1, y2(0 < ì < yo < 1) là hai nghiệm trong khoảng, (0 1) cửa phương

trình h(y) = 73 đối với biến y, trong, đó x3 là tham số nằm troug khoảng (—A 0)27

(xem hình 2.2) và o)(y()) là gáo giá trị hằng số dúa ¿ trong miền OM) (QM),

Ohú ý rằng, y1,y2 (phụ thuộc vào v3) là hai nhánh ngược của hàm z3 = h(y).

Biéu thứo (2.33) biểu diễn giá trị trung, bình cia ¿ theo trong khoáng, [0 1] doutheo đường thang z3 = vonst(—A < coust < 0).

Chứng minh Dinh lý 2.1;

Để thu đượo véc phương trình thuần nhất hoa dạng hiện dang mwa tran (2.29)và điều kiện liên tuo dạng hiện dạng ma brận (2.31), trước tiện, ta thay, biếu diễn

nghiệm (2.27) vào phương trình oo bắn dạng ma trận (2.15) và hai điều kiện liên

tuo dạng, ma trận trong (2.26) được oấo phương, trình tương ứng dat là e, ca, e3.Tiệp theo, đồng nhất cáo hệ số của e~! và, e oủa vac phương trình eq, ca, e3 bằng:khong, khi đó, nhận đượo vac bài toán biên trên nhân tuần hoàn (bài toán dia

phương) đối với oáo hàm N', NY, Sau đó, giải oáo bài toán nhân này để tìm

được cáo hàm Nỉ, NY, Quôi dùng, ta đồng, nhất oáo hệ số oúa, c! via phương:trình e¡ và eg băng khong và sứ dung oáo ham N’, N?, da tính được ở trêu

để thu được phương trình thuần nhất hoa dang hiện và điều kiện liên tuo dang

hiện dạng ma trận Oáo bước để thiết lập được phương trình thuần nhật hoadạng hiệu dang mwa trận được trình bày cu thể như dưới day,

e Budo thứ nhất (Lhu được các bat toán biên trêu nhôm tuầu hoàn):

Từ giả thiết v(z, z3, e)—U(x1, 1,23, €) VỚI y = #1/€ SUY, ra:

vị =Ui+c 1U, (2.34)

Thay biếu diễn nghiệm dạng, (2.27) v6 tính đến (2.34) vào phương trình oo

25

bắn dạng, wa trận (2.15) ta thu đượo phương trình sau;a

N (And +N!NS YVi+(AniN,)„V+ (Any) Vat

+ (AN) V3 + (AniN3") a} + {Ant +N?)Vii+ AiN2Vị

+AniN2 Vai + Ani(N!+N? Văn + Ani(N?+N??)Vr + AnN3 Van}

+ MArs)yWo3 + (Aas) yV + (ArsN4) yVoa + (AaN) y¥3

+ (AigN") yVi3 + (Aa3N3)) yV.3 + (AIN'?)yVa¿ + AsV.)

+€ (AuN5Y.1 + Ai3N'Y 31 + AN 3 Vu + Ai3N"Y 131

+ AN Vài + AasN"Y sai) +€†(Ai)„V+ ((AN)„V + (AN")„Vv

+ (AvwN") V3 + Au.) + e(AuN'Y.1 + AuN"YV 14 + AuiN2V¿i)

+ {Ant +Nÿ)Vi+AziNV+ AgiNV.3 + €(Agi(N! + N7))M1 + Agi(N”

+N?7)Vii+ Agi(N? + N7/°)V13 + AaiN?V + AgiN7 V3 + AziN?”V 33) \

+ (Asv + c(AzzN;V + AzNs Vị + A33N'YV.3 + A33N"'V.13 + A33N3V.3

+ ) + (As.v +c(AsaN'V+ AzaNVị + AziN?V¿))

Oho vac hệ số của e~! volta phương trình (e¡) bằng, khong ta được;

(AniNy+ Ain)„V + (An(L+eNj)) Và +(AuNj+Ai)yVa =0 (2.35)

Thay biểu diễn nghiệm dạng, (2.27) vào điều kiện liên tuo (2.26), ta nhận dude

29

phương trình đặt là (toa) và (es):

Iv] ite INIV +NUV+NEV3] =0, (ca)c1 tf(){And+N})Va + AuNYY +AniNDV¿

+ ‹((AuM +N?7)Vi+An(N'+N?7)Vini+An(N?+N??)V 13

+ AniN2V +A¡N ?Vạ+ AuN7V.33) +A 3V.3

+c(AiN›V+ A BN3V 1+ ANY + AjN Vị + AijNzV¿

+ ANY 33) +Ai4V+ c(AuN'V +Ai„N”Vị+ AiuN?Vz) H L

= [Asi(L+NY)Va + AsiNV + Agi NIV s + e(Asi(N! + N3)V.1

+Azi(N''+N? Vai + Agi(N? +N7)9)Va3 + AaiN?V + AaiN?V¿

+ AsiN7°V 33) + Ag3V.3 + €(Ag3N3V + Ag3N'3 V1 + Ag3N'Y.3

+ A33N"'V43 + AzaNzVa + A33N'°V 33)

+ AgyV + (A34N'V + A3,N!'V 1 + AziN?V,)] =0 (ies)

D6 (2.35), (2.36) và (2.37) thỏa man, ta số chọn ba hàm N',N'!,N!? thỏa mãn

ba bài toán biên trên nhân tuần hoàn (bài toán địa phương) sau:

(AuN), + Au) =0,0<y<1l,yFm, 1;