Thuần nhất hóa biên phân chia độ nhám cao giữa hai miền nhiệt đàn hồi đẳng hướng

Bài viết Thuần nhất hóa biên phân chia độ nhám cao giữa hai miền nhiệt đàn hồi đẳng hướng nghiên cứu sự thuần nhất hóa biên phân chia độ nhám cao của lý thuyết nhiệt đàn hồi đẳng hướng trong miền hai chiều. Sử dụng phương pháp thuần nhất hóa cùng với các phương trình cơ bản dạng ma trận của lý thuyết nhiệt đàn hồi đẳng hướng, tác giả thu được các phương trình thuần nhất hóa dạng hiện.

KHOA HC & CôNG NGHê Thun nht húa biờn phõn chia độ nhám cao hai miền nhiệt đàn hồi đẳng hướng Homogenization of very rough interfaces separating two isotropic thermoelastic solids Nguyễn Thị Kiều Tóm tắt Trong báo này, tác giả nghiên cứu hóa biên phân chia độ nhám cao lý thuyết nhiệt đàn hồi đẳng hướng miền hai chiều Sử dụng phương pháp hóa với phương trình dạng ma trận lý thuyết nhiệt đàn hồi đẳng hướng, tác giả thu phương trình hóa dạng Do phương trình hóa thu dạng nên hữu ích việc giải tốn thực tế Từ khóa: hóa, phương trình hóa, nhiệt đàn hồi, đẳng hướng Abstract Giới thiệu Các toán biên miền với biên hay biên phân chia nhám xuất nhiều thực tế tán xạ sóng biên nhám [1], phản xạ, khúc xạ sóng với biên phân chia nhám [2]… Năm 1997, Nevard Keller [3] nghiên cứu hóa biên phân chia có độ nhám cao miền ba chiều dao động hai mặt phẳng song song hai vật thể đàn hồi dị hướng tuyến tính Sử dụng phương pháp hóa, tác giả rút hệ phương trình hóa Tuy nhiên, phương trình viết dạng ẩn Năm 2010, Vinh Tung cải tiến phương pháp hóa [4] tìm phương trình hóa dạng lý thuyết đàn hồi, đàn điện, đàn nhiệt, đàn hồi xốp, đàn hồi micropolar [5] Gần đây, nhiều tác giả nghiên cứu truyền sóng mơi trường nhiệt đàn hồi Chakraborty Singh [6] khảo sát phản xạ, khúc xạ sóng nhiệt đàn hồi phẳng hai bán không gian nhiệt đàn hồi đẳng hướng Baljeet Singh [7] nghiên cứu phản xạ sóng phẳng bề mặt tự bán không gian nhiệt đàn hồi monoclinic Tuy nhiên, theo hiểu biết tác giả, đến chưa có kết hóa biên phân chia độ nhám cao hai vật thể nhiệt đàn hồi đẳng hướng Do đó, mục tiêu báo tìm phương trình hóa dạng lý thuyết nhiệt đàn hồi đẳng hướng Để đạt mục đích này, tác giả sử dụng phương pháp hóa [4] phương trình dạng ma trận lý thuyết nhiệt đàn hồi đẳng hướng Các phương trình hóa dạng thành phần trình bày báo In this paper, the homogenization of very rough two-dimensional interfaces separating two isotropic thermoelectricity solids is investigated By employing the homogenization method along with Các phương trình điều kiện liên tục dạng ma trận the matrix formulation of the isotropic Giả sử biên phân chia độ nhám cao L phân chia hai vật thể nhiệt đàn hồi đẳng x3 h( x1 / ε ), ε > 0, đó, = thermoelectricity theory, the explicit hướng Khi biên phân chia biểu diễn h( y ), ( y = x1 / ε ) hàm tuần hoàn chu kỳ homogenized equations have been derived Since obtained equations are, in practical Xét toán tĩnh với trạng thái biến dạng phẳng, thành phần chuyển dịch problems thay đổi nhiệt độ có dạng sau [8]: Key words: homogenization, homogenized = ( x1 , x3 ), u3 u= T T ( x1 , x3 ) ( x1 , x3 ), u1 u1= (1) equation, thermoelasticity, isotropic Các thành phần biến dạng [8]: ε ij = (ui , j + u j ,i ), i, j = 1,3 (2) dấu phẩy đạo hàm theo biến khơng gian xi Các thành phần ứng suất có dạng [8]: σ ij = µε ij + [λθ e − (3λ + 2µ )α T ]δ ij (3) đó, θ= ε11 + ε 33 , α hệ số biểu thức nhiệt tuyến tính, λ, μ hệ số e Lame xác định sau: ThS Nguyễn Thị Kiều Bộ môn Cơ học lý thuyết Khoa Xây dựng ĐT: 0363 441 889 Email: kieumt@gmail.com λ+ , µ+ , x3 > h( x1 / ε ) λ− , µ− , x3 < h( x1 / ε ) λ, µ =  (4) đó, λ+ , µ+ , λ− , µ− số Bỏ qua lực khối nguồn nhiệt, phương trình cân phương trình truyền nhiệt Fourier có dạng [8]: σ 11,1 + σ 13,3 = 0, Ngày nhận bài: 10/12/2019 Ngày sửa bài: 30/12/2019 Ngày duyệt đăng: 9/3/2022 60 0, σ 13,1 + σ 33,3 = T,11 +T,33 =0 Thay (1), (2), (3) vào (5), ta được: TP CH KHOA HC KIƯN TRC - XY DẳNG (5) Hình Biên phân chia độ nhám cao Hình Biên phân chia độ nhám cao dạng hình lược {(λ + 2µ )u + λu − (3λ + 2µ )α T } + {µ (u + u )} {µ (u + u )} + {(λ + 2µ )u + λu − (3λ + 2µ )α T } 1,1 1,3 3,1 3,3 1,3 ,1 3,3 ,1 3,1 1,1 ,3 ,3 0, = T,11 +T,33 =0 U= V +  ( N1V + N11V,1 + N13 V,3 ) +  (N V + N 21V,1 + N 23 V,3 + N 211V,11 + + N 213 V,13 + N 233 V,33 ) + O( ) 0, = (6) V = V ( x1 , x3 , t ) (không phụ thuộc vào y) N1 ; N11 ; N13 ; N ; N 21 ; N 23 ; N 211 ; N 213 ; N 233 ma trận Phương trình (6) viết dạng ma trận sau: 2x2 hàm y x3 (không phụ thuộc vào x1), chúng hàm tuần hoàn với chu kỳ Các ma trận N1 ; N 233 cần xác định cho phương trình (7) điều kiện liên tục (10) thỏa mãn Cách biểu diễn nghiệm (11) có tính đến đặc trưng vi mơ (tính địa phương) thông qua hàm Ni , Nij đặc trưng vĩ mơ (tính tồn cục) qua hàm V ( A11U ,1 ),1 + ( A13 U ,3 ),1 + ( A 31U ,1 ),3 + +( A 33 U ,3 ),3 + BU ,1 + CU ,3 = (7) đó, U = [u1 u3 T ] T A11 A31 = B = λ + 2µ 0  = µ 0 ; A13  0 1  0 λ   0 0  0 µ 0 0 0 ; 0 A33 = −(3λ + 2µ )α   ;= 0  C  0 0 µ   µ 0   0 0  0 (11) λ 0 Sử dụng phương pháp hóa [4], ta thu 0 ; phương trình hóa dạng dạng ma trận 0 sau: 0 Với x3 > : λ + 2µ 0 ; A (hk+ ) V, kh + B( + ) V,1 + C( + ) V,3 = 0 1 (12) 0  Với − A < x3 < : −(3λ + 2µ )α  −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 〈 A11 〉 V,11 + 〈 A11 〉 〈 A11 A13 〉 V,13 + 〈 A31A11 〉〈 A11 〉 V,1 ,3  0 (8) Chú ý ma trận  A hk + , B + , C+ , x3 > h( x1 / ε ) A hk , B, C =   A hk − , B − , C− , x3 < h( x1 / ε ) [(〈 A + [ 33 〉 −1 −1 −1 −1 −1 A13 〉 − 〈 A31A11 A13 + 〈 A31A11 〉〈 A11 〉 〈 A11 [〈C〉 −1 −1 −1 +〈 BA11 〉〈 A11 〉 V,1 + ,3 ,3 (9) Giả sử Ω + , Ω − gắn chặt với Khi điều kiện liên tục biên phân chia L phải thỏa mãn: [U]L = 0; Với x3 < − A : A (hk− ) V, kh + B( − ) V,1 + C( − ) V,3 = ∫ (φ )dy= với nk thành phần theo phương xk véctơ pháp tuyến đơn vị đường cong L [φ]L bước nhảy φ qua L ( y2 − y1 )φ ( + ) + (1 − y2 + y1 )φ ( − ) (15) Trên đường thẳng x3 = 0, x3 = − A , điều kiện liên tục thỏa mãn: [( A11U,1 + A13 U,3 )n1 + ( A31U,1 + A33 U,3 )n3 ]L = (10) (14) Chú ý 〈φ= 〉 [〈 A A +[(〈 A −1 −1 −1 31 11 〉〈 A11 〉 V,1 33 〉 ]+ ] −1 − 〈 BA11 A13 〉 V,3 =0 (13) Trong đó, A hk + , B + , C+ ( A hk − , B − , C− ) cho (8) với thành phần λ, μ thay tương ứng λ+ , µ+ (λ− , µ− ) Theo Vinh Tung, U biểu diễn sau [4]: −1 −1 −1 −1 + 〈 BA11 〉〈 A11 〉 〈 A11 A13 〉 ] 〉)V ] ) ] −1 −1 −1 −1 −1 A13 〉 − 〈 A31A11 A13 〉 V,3 + 〈 A31A11 〉〈 A11 〉 〈 A11 L =0 (16) Sơ 44 - 2022 61 KHOA HC & CôNG NGHª Các phương trình hóa dạng dạng thành phần Thay ma trận A hk + , B + , C+ ( A hk − , B − , C− ) (8) vào phương trình hóa dạng ma trận (12), (13), (14), ta thu phương trình hóa dạng dạng thành phần sau: Với x3 > : (λ+ + µ+ )V1,11 + µ+V1,33 + (λ+ + µ+ )V3,13 − (3λ+ + µ+ )α T,1 = 0,  0,  µ+V3,11 +(λ+ + µ+ )V1,13 + (λ+ + µ+ )V3,33 − (3λ+ + µ+ )α T,3 =  T T + =  ,11 ,33 (17) Với − A < x3 < : 〈 〉  −1 −1 −1 −1 λ (λ + 2µ )−1 V3,13 〈 (λ + µ ) 〉 V1,11 + 〈 (λ + µ ) 〉  0, + 〈 µ −1〉 −1 (V1,3 + V3,1 ) ,3 − 〈3λ + µ 〉α T,1 =  〈 µ −1〉 −1 (V + V ) + 〈 (λ + µ ) −1〉 −1 λ (λ + µ ) −1 V  1,13 3,11 1,1 ,3     −1 −1 −1 λ (λ + 2µ ) + µ (λ + µ )(λ + 2µ )−1 V3,3  +  (λ + µ ) ,3  −〈3λ + µ 〉α T,3 = 0,  T,11 + T,33 = (18 ) [ ] [ 〉 〈 [〈 〉 ] 〈 〉 〈 〉] Hình Biên phân chia độ nhám cao hình cưa Với x3 < − A : (λ− + 2µ− )V1,11 + µ−V1,33 + (λ− + µ− )V3,13 − (3λ− + 2µ− )α T,1 = 0,  0,  µ−V3,11 +(λ− + µ− )V1,13 + (λ− + 2µ− )V3,33 − (3λ− + 2µ− )α T,3 =  T T + =  ,11 ,33 (19) V1, V3 T thành phần véctơ V Điều kiện liên tục: 0 Các đại lượng V1, V3 , T , σ13 , σ 33 , q30 x3 = − A, x3 = , đó: ( ) = 〈 λ 〉 〈λ (λ + 2µ ) 〉V + + [〈(λ + µ ) 〉 〈λ (λ + 2µ ) 〉 liên tục đường σ13 = 〈 µ −1〉 −1 V1,3 + V3,1 , σ 33 −1 −1 −1 −1 −1 q30 = T,3 1,1 −1 〈µ (λ + µ )(λ + 2µ ) 〉]V −1 +4 3,3 , (20) Nhận xét: 1) Nếu hai miền Ω+ , Ω− giống φ= φ= + φ− , phương trình (17), (18), (19) trùng 2) Khi biên phân chia độ nhám cao có dạng hình lược (xem Hình 2), ta có: = ϕ ( bϕ+ + aϕ− ) a+b (21) Khi hệ số phương trình (18) số Phương trình hóa (18) trở thành: 〈 〉  −1 −1 −1 −1 λ (λ + 2µ )−1 V3,13 〈 (λ + µ ) 〉 V1,11 + 〈 (λ + µ ) 〉  −1 −1 0, +〈 µ 〉 (V1,33 + V3,13 ) − 〈3λ + µ 〉α T,1 =  〈 µ −1〉 −1 (V1,13 + V3,11 ) + 〈 (λ + µ ) −1〉 −1 λ (λ + µ ) −1 V1,13   −1 −1 λ (λ + 2µ )−1 + µ (λ + µ )(λ + 2µ )−1 V3,33  + (λ + µ ) −〈3λ + µ 〉α T = 0, ,3  T + T = ,33 ,1  (22) [〈 62 〉 〈 〈 〉 〈 〉 〉] T„P CHŠ KHOA H“C KI¦N TR”C - XŸY D¼NG Hình Biên phân chia độ nhám cao dạng hình sin 3) Khi biên phân chia độ nhám cao có dạng hình cưa (Hình 3): Các hệ số phương trình (18) khơng phải số mà hàm x3 có dạng sau: ϕ = (1 + x3 x )ϕ+ − ϕ− A A (23) 4) Khi biên phân chia độ nhám cao có dạng hình sin (Hình 4): Các hệ số phương trình (18) có dạng sau: 2 ϕ = [1 − arccos(1 + x3 )]ϕ+ + arccos(1 + x3 )]ϕ− π A π A (24) T¿i lièu tham khÀo Abubakar, I., Scattering of plane elastic waves at rough surfaces-I Proc Camb Phil Soc 58, (1962), 136–157 Singh, S S., Tomar, S K., qP-wave at a corrugated interface between two dissimilar pre-stressed elastic half-spaces, J Sound Vibr 317, (2008), 687-708 Nevard J., and Keller J B., Homogenization of Rough Boundaries and Interfaces, SIAM J.Appl Math., 57, (1997), 1660-1686 Vinh, P C., Tung, D X., Homogenized equations of the linear elasticity in two-dimensional domains with very rough interfaces, Mech Res Comm 37, (2010), 285-288 Kết luận Sử dụng phương pháp hóa, tác giả thu phương trình hóa dạng biên phân chia độ nhám cao hai miền nhiệt đàn hồi đẳng hướng Các phương trình hóa dạng điều kiện liên tục tương ứng viết cụ thể dạng thành phần Ý nghĩa phương pháp hóa thay miền chứa biên phân chia độ nhám cao lớp không với biên phẳng Như kết thu thuận lợi để xét toán phản xạ, khúc xạ sóng biên phân chia độ nhám cao môi trường nhiệt đàn hồi đẳng Các nghiên cứu mở rộng sang mơi trường phức tạp monoclinic dị hướng tổng quát./ P.C Vinh, VTN Anh, DX Tung, NT Kieu., Homogenization of very rough interfaces for the micropolar elasticity theory Applied Mathematical Modelling, 54, (2018), 467-482 N R Chakraborty, M C Singh, Reflection and refraction of a plane thermoelastic wave at a solid–solid interface under perfect boundary condition, in presence of normal initial stress Applied Mathematical Modelling, 35, (2011), 5286-5301 Baljeet Singh, Reflection of plane waves at the free surface of a monoclinic thermoelastic solid half-space, European Journal of Mechanics – A/Solids, 29 (5), (2010), 911-916 Baljeet Singh, On the theory of generalized thermoelasticity for piezoelectric materials, Applied Mathematics and Computation, 171, (2005), 398-405 Phản xạ khúc xạ sóng P biên phân chia nhám (tiếp theo trang 59) Kết luận Trong báo này, dựa phương trình hóa thu [8] hóa biên phân chia có độ nhám cao miền chiều bán khơng gian đàn hồi monoclinic, tốn phản xạ, khúc xạ sóng P tới biên phân chia có độ nhám cao dẫn đến toán phản xạ, khúc T¿i lièu tham khÀo Achenbach.J.D, Wave propagation in Elastic Solids, NorthHolland Publishing Company, Amsterdam-New York-Oxford, 1973 Bensoussan, A., Lions, J B., Papanicolaou, J., 1978 Asymptotic analysics for periodic structures, North- Holland, Amsterdam Chattopadhyay A, Rlk Venkateswarlu and S Saha., Reflection of quasi-P and quasi-SV waves at the free and rigid boundaries of a fibre-reinforced medium, Sadhana Vol 27, Part 6, December 2002, pp 613–630 © Printed in India Norris, A.N., 1983, Propagation of plane waves in a pre-stressed elastic media, J Acoust Soc.Am 74, 1642-1643 Singh, S S., Tomar, S K., 2008 qP-wave at a corrugated interface between two dissimilar pre-stressed elastic half-spaces, J Sound Vibr 317, 687-708 xạ với lớp không kẹp bán không gian với biên phân chia phẳng Kết hợp ma trận chuyển lớp điều kiện liên tục mặt biên dẫn đến biểu thức xác định hệ số phản xạ, khúc xạ sóng biết đặc trưng sóng tới P Kết đạt có nhiều ý nghĩa tính tốn thực tế./ Thomson, Transmission of elastic waves through a stratified solid medium, J Appl Phys., 21 (1950), 89-93 Tung.D.X, Kieu.N.T, Thang.L.T, Relection and transmission of qP waves through an orthotropic layer sandwiched between two half-spaces.Vietnam Journal of Mechanics, VAST, Vol 40, No (2018), pp 171 – 180 Vinh, P C., Tung, D X., 2010, Homogenized equations of the linear elasticity in two-dimensional domains with very rough interfaces, Mech Res Comm 37, 285-288 Pham Chi Vinh, Tran Thanh Tuan, Marcos A Capistran, 2015, '' Explicit formulas for the reflection and transmission coefficients of one-component waves through a stack of an arbitrary number of layers '', Wave Motion, Volume 54, Pages 134–144 10 Zaki K A., Neureuther, A R., 1971 Scattering from a perfectly conducting surface with a sinusoidal hight profile: TE polarization, IEEE Trans Atenn Propag 19(2), 208-214 S¬ 44 - 2022 63 ... phương pháp hóa thay miền chứa biên phân chia độ nhám cao lớp không với biên phẳng Như kết thu thuận lợi để xét toán phản xạ, khúc xạ sóng biên phân chia độ nhám cao môi trường nhiệt đàn hồi đẳng Các... 285-288 Kết luận Sử dụng phương pháp hóa, tác giả thu phương trình hóa dạng biên phân chia độ nhám cao hai miền nhiệt đàn hồi đẳng hướng Các phương trình hóa dạng điều kiện liên tục tương ứng... xạ khúc xạ sóng P biên phân chia nhám (tiếp theo trang 59) Kết luận Trong báo này, dựa phương trình hóa thu [8] hóa biên phân chia có độ nhám cao miền chiều bán khơng gian đàn hồi monoclinic,