Luận án tiến sĩ vật lý học: Lý thuyết lượng tử về ảnh hưởng của phonon giam cầm lên hiệu ứng Hall trong các hệ bán dẫn thấp chiều

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

PHẠM NGỌC THẮNG

LÝ THUYET LƯỢNG TỬ VE ANH HUONG CUA

PHONON GIAM CAM LEN HIEU UNG HALLTRONG CAC HE BAN DAN THAP CHIEU

HÀ NỘI - 2023

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

PHAM NGOC THANG

Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết va vật If toánMã số: 9440130.01

LUẬN ÁN TIEN SĨ VAT LÍ HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DAN KHOA HỌC

1 GS TS Nguyễn Quang Báu

2 PGS TS Lê Thái Hưng

HÀ NỘI - 2023

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các kêt quả

nghiên cứu được nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bô

trong bất kỳ công trình nào khác.

Tác giả luận án

Phạm Ngọc Thắng

LỜI CẢM ƠN

Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến GS.TS Nguyễn Quang Báu, PGS.TS Lê Thái Hưng, những người thầy đã hết lòng giúp đỡ tôi trong quá trình

học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án.

Đặc biệt là GS.TS Nguyễn Quang Báu người đã trực tiếp chỉ bảo, hướngdẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện luận án Sự hiểu biết sâu sắc về khoa học,cách chỉ bảo tận tình của Thầy đã giúp tôi có được những kĩ năng tính toán

quan trọng và những kinh nghiệm quý giá trong nghiên cứu khoa học.

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong Bộ mônVật lí lí thuyết, khoa Vật lí, những người đã đóng góp các ý kiến khoa học vềkết quả của luận án.

Em xin cảm ơn sự quan tâm của Phòng, Ban và khoa Vật lí, Trường Dai

học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội.

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ, động viên của Ban giám hiệu, các

thầy cô, các đồng nghiệp trong tổ bộ môn Vật lí Trường THPH Chu Văn An

và Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội.

Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn tất cả những người thân trong giađình, bạn bè và đồng nghiệp đã luôn luôn động viên, giúp đỡ em trong suốt quá

trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án này.

Tác giả luận án

Phạm Ngọc Thắng

DANH MỤC CAC BANG oie cescssssesssesssesssesssesssesssessssessvesssesssesssecssesssecasessses 6DANH MỤC CAC HINH VE VÀ BO THI 2- -2+<+xz+zzzerrxee 7

6871005257 :::ạ 9

Chương 1 TONG QUAN LÝ THUYET LƯỢNG TU VE HIỆU UNG

HALL TRONG BAN DAN KHOI VA HAM SONG, PHO NĂNG LƯỢNG

CUA DIEN TU VA SU GIAM CAM CUA PHONON TRONG HE THAP

0:10 14

1.1 Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng Hall trong bán dẫn khdi 141.1.1 Phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối khi đặt trong

điện trường và từ trường vuông góc với sự có mặt của sóng điện từ 16

1.1.2 Biểu thức giải tích cho hệ số Hall 2-2 2 2+xezx+£++£zEzzxered 261.2 Hàm sóng, phố năng lượng của điện tử và sự giam cầm của phonontrong hệ thấp chiễu 2-2 2S SSÉEEEEE E1 XE11811211115 111111111 11 xe 32

1.2.1 Ham sóng và phô năng lượng của điện tử 2-2 + s52 321.2.2 Sự giam cầm của phonOn - ¿2 2 s+++EE+EE+E£EE£EE+EE+Ekerkerxersee 38

Chuong 2 ANH HUONG CUA PHONON GIAM CAM LEN HIEU UNG

HALL TRONG HO LƯỢNG 'TỬ 2 22 2+SE+EE+EEeEEeEEerErrerrxrreee 412.1 Biéu thức giải tích của từ trở Hall, tenxơ độ dẫn Hall và hệ số Hall 412.1.1 Anh hưởng sự giam cầm của phonon âm 2-2 252 s22 szsz 422.1.2 Ảnh hưởng sự giam cầm của phonon quang - 5s s+s+¿ 50

2.2 Kết quả tính số, vẽ đồ thị và thảo luận 2 2 22 2 szzxzzxzzse2 542.3 Kết luận chương 2 ¿52 SE E212 2E EEE1E112112121111111 212111 c0 59

Chương 3 ANH HUONG CUA PHONON GIAM CAM LÊN HIỆU UNG

HALL TRONG SIÊU MẠNG PHA TAP ooo c.ccccsccssccsssesssesssessseessessseeeseees 613.1 Biểu thức giải tích của từ trở Hall, tenxo độ dẫn Hall và hệ số Hall 623.2 Kết quả tính số, vẽ đồ thị và thảo luận - 2 2 2 s+cx+zxerxersee 683.3 Kết luận chương 3 -¿ :- 2 ©5£+E£+EE2EE£EEEEEEEEEEEEEE21121121111 11211 xe 73

Chương 4 ANH HƯỚNG CUA PHONON GIAM CAM LÊN HIEU

UNG HALL TRONG DAY LƯỢNG TU HINH TRU VOI HO THECAO VÔ HẠN - 5c 52222 11211211211211211111111211211211211 1111 ye 744.1 Biểu thức giải tích của từ trở Hall, tenxo độ dẫn Hall và hệ số Hall 764.1.1 Ảnh hưởng sự giam cầm của phonon âm 2-2-2 s2 se: 764.1.2 Ảnh hưởng sự giam cầm của phonon quang - 2 s25: S04.2 Kết qua tính số, vẽ đồ thị và thảo luận - ¿2 2 2+s+£s+zx+rxerseee 844.3 Kết luận chương 4 o.ceceeccecceccescessessessessessecsesssessessessessessessessesesssssesseeseesess 90„0009077 :::‹: 92

CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIÁ ĐÃ CÔNG BÓ LIÊN

QUAN DEN LUẬN AN ©22- 222 2E22EE22E122212712112112 1 re 95TÀI LIEU THAM KHẢO - 2-2 ©+E2EEt2EE2EEEEEEEEErkrrrkrrrkreeg 96

PHỤ LỤC

BANG DOI CHIẾU THUẬT NGỮ ANH - VIET

Semiconductor superlattice Siéu mang ban dan SSL

Compositional semiconductor Siêu mạng ban dẫn hợp

superlattice phan cà»:Doped semiconductor superlattice | Siêu mang ban dẫn pha tạp | DSSL

Parabolic quantum well Hồ lượng tử parabol PQWQuantum well Hồ lượng tử QWSquare quantum well Hồ lượng tử vuông góc SQW

Optical phononAcoustic phonon

Hall coefficient

Phonon quangPhonon 4m

Độ cam chan không

DANH MỤC MỘT SÓ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

Đại lượng Ký hiệu

Biên độ sóng điện từ Eo

Tu truong BDién tich e

Hang số Boltzmann kg

Hang số Planck rút gọn h = h/(2rn)Hang số điện (độ cảm chân không) K

Thời gian phục hội xung lượng của điện tử T

Khối lượng hiệu dụng/ khôi lượng ở trạng thái tự do

cua electron me/Mo

Mật độ khối lượng vật liệu pVận tốc sóng âm Us

Mat độ electron No

Năng lượng Fermi EF

Năng lượng cua photon hw

Năng lượng cua phonon hú

Các thành phần của độ dẫn Hall Oxx » Øyx

Từ trở Pxx

Hệ số Hall RuĐộ thẩm điện môi cao tan/tinh X©/#oTần số sóng điện từ Q

DANH MỤC CAC BANG

Bảng 2.1 Các tham số của hồ lượng tử GaAs/AlGaAs -5¿Bang 3.1 Các tham số của siêu mạng pha tạp GaAs:Be/GaAs:Si Bang 4.1 Các tham số dùng trong tính số - ¿2 2+2+£2£+£++zxzse+z

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐÒ THỊ

Hình 1.1 Sơ đồ hiệu ứng Hall trong một thanh vật dẫn - - 14Hình 1.2 Hiệu ứng Hall lượng tử trong hệ chuẩn hai chiễM - 15

Hình 2.1 Sự phụ thuộc cua từ trở p, vào từ trường B trong trường hop

phonon giam cam (dường gach đứt nét va đường chấm chấm) và phonon khối(đường liên nét) với E, =3x10° V/m, L=15nm -s:52-55c5552 55Hình 2.2 Sự phụ thuộc cua từ trở p, vào ty số Q/ @ trong trường hopphonon giam cẩm (đường gạch đứt nét và đường cham cham) va phonon khối(đường lién nét) với E, =10° V/m, LL= lỗnm .- 52c555c-: 56Hình 2.3 Sự phụ thuộc cua từ trở p, vào độ rộng của hỗ lượng tử tại các giá

trị khác nhau cua từ trường B trong trường hop phonon giam với T=4K và

Bạ=2x10° V/m; E, =3 10” V/m - 5225222 2x‡ExSESE2EEEtExertrrsrrrrrrvee 57

Hình 2.4 Sự phụ thuộc của hệ số Hall ngang vào từ trường trong trường hợpphonon quang giam cẩm (đường cong nét đứt) va phonon chưa giam cẩm(đường cong NEt liÊNI) 2-5555 ©S££EE+E2EEEEEEEEEEEEEEEEEE1211211211111111111 xe 57Hình 2.5 Sự phụ thuộc của hệ số Hall ngang vào tan số của bức xạ laser trong

trường hop phonon quang giam cam (đường cong nét đứt) va phonon chưagiam cẩm (đường cong nét liÊN) - 5: +5 S£+E‡+E‡EEEE+EEEEEEEEEEEEEEErkerkees 58Hình 3.1 Sự phụ thuộc cua hệ số Hall R,, vào từ trường B trong siêu mangpha tạp trường hợp phonon giam cam (dường mau đỏ và màu xanh lục) vatrường hop phonon khối (đường màu xanh lá) trong đó: Ei=10°V/m, T=100K,

d=20nm, nip= ] Ú”Ÿ1miŸ tt St StSE$E‡E‡EEEEEEEEEEEEEEEEEEekekekekekrkrkrrrrrrrrrre 68

Hình 3.2 Sự phụ thuộc của từ trở vào tỉ số QJ @, trong trường hợp phonongiam cam (đường liên nét màu đỏ và đường nét đứt gach) va phonon khối

(đường nét đứt chấm, với E,=10V/m, T=2K, B=3T,

d=20nm, nụ, = 3.85 x [Ö”” mi 5: 22t 2122222122121, 69

Hình 3.3 Sự phụ thuộc cua hệ số Hall vào tân số sóng điện từ trong siêu mangpha tạp trường hợp phonon giam cam (duong mau do) va phonon khéng giamcam (đường màu xanh nét đứt) trong đó: E;=10°V/m, T=100K, d=20nm,

Hình 3.4 Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào cường độ trường laser E, trong siêumang pha tạp trường hop phonon giam câm (đường màu xanh lục và xanh lá)và phonon khối (đường màu đỏ) trong đó : T=100K, d=20nm, np=10%m? 71Hình 3.5 Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào nhiệt độ T trong siêu mạng pha tạp

trường hợp phonon giam cẳm(đường màu xanh lục và xanh lá) và phonon khối

(đường màu đỏ) trong đó: Ei= 10°V/m, d=20nm, np= 10Ÿm'Ÿ - 72

Hình 4.1 Ảnh hưởng của từ trường lên ten — xơ độ dẫn trong trường hop tánxạ điện tử - phonon âm giam cam (mị= mạ = 0; 1) và phonon của bán dẫn khối

trong day lượng tứ ŒaAs/@A $AÌ cv ket 85

Hình 4.2 Sự phụ thuộc cua hệ số Hall vào nhiệt độ -:-:ccccccccccscssa $6Hình 4.3 Sự phụ thuộc cua hệ số Hall vào bán kính của day lượng tử 37Hình 4.4 Sự phụ thuộc của tenxo độ dẫn vào năng lương cyclotron với phonongiam cam (đường nét liên màu đen) va phonon chưa giam cam (đường nét gach

4/31.8///281⁄21/1800nnẺ &8

Hình 4.5 Sự phụ thuộc cua hệ số Hall vào biên độ của sóng điện từ vớiphonongiam cam mị = 2, mz = 2 (đường nét gach gạch màu xanh) và phonon chưagiam cẩm mị = 0, mạ= 0 (đường nét chấm chấm màu đỏ) : 69

MỞ ĐẦU1 Lý do chọn đề tài

Với sự phát triển của khoa học kĩ thuật đã xuất hiện nhiều phương pháp tạora các hệ có cau trúc nano khác nhau, chang hạn như phương pháp epitaxy dòngphân tử (MBE-molecular beam epitaxy) và kết tủa hơi kim loại hóa hữu cơ

(MOCID-metal organic chemical Vapor Deposition) Ngày nay, đã tồn tại cáchệ cấu trúc nano phẳng 2 chiều như màng mỏng, cấu trúc lớp, hồ lượng tử, siêumang , hệ cau trúc nano 1 chiều như ống nano, dây lượng tử , hệ không chiềunhư nhóm tinh thể, cham lượng tử Đây là những loại vật liệu quan trọng Trongcác đối tượng mới nêu trên, chuyển động của hạt dẫn bị giới hạn nghiêm ngặt

dọc theo các tọa độ nào đó với một vùng rât hẹp vào cỡ bậc của bước sóng De

Broglie (nghĩa là không qua vải tram A ) Khi đó một loạt các hiện tượng vat lí

mới được gọi là hiệu ứng kích thước sẽ xuất hiện làm biến đổi hầu hết các tính

chất vật lí của hệ và mở ra khả năng ứng dụng cho các linh kiện điện tử làm việc

theo nguyên lý hoàn toàn mới Việc nghiên cứu các loại vật liệu mới này đã cho

ra đời nhiều công nghệ hiện đại có tính chất cách mạng trong lĩnh vực khoa họckĩ thuật Các diét huỳnh quang điện, pin mặt trời, các loại vi mach, là nhữngứng dụng quan trọng nhất của các thành tựu đạt được khi nghiên cứu các loại vậtliệu mới này Chính bởi tính thời sự khoa học này mà việc nghiên cứu một SỐtính chất của bán dẫn nói chung và bán dẫn thấp chiều nói riêng (siêu mạng, hồlượng tử, dây lượng tử, chấm lượng tử) đã thu hút được sự quan tâm chú ý củanhiều nhà vật lí, cả lý thuyết và thực nghiệm [1-26].

Trong các hiệu ứng vật lí của bán dẫn nói chung và bán dẫn thấp chiều nóiriêng, các hiệu ứng Hall rất được quan tâm nghiên cứu Trước đây các hiệu ứngHall trong bán dẫn khối đã được xem xét, được nghiên cứu, công bố kết quatrên các tạp chí khoa học quốc tế Đối với các hệ bán dẫn hai chiều như siêumạng, hồ lượng tử chỉ mới nghiên cứu các hiệu ứng Hall khi chưa xét đến ảnh

hưởng của phonon giam cầm [27-34] Hiệu ứng Hall trong dây lượng tử hìnhchữ nhật với hồ thế cao vô hạn khi xét đến ảnh hưởng của phonon giam cầm đã

được xem xét trong [35] Tuy nhiên, hiệu ứng Hall trong dây lượng tử hình trụ

khi có ké đến ảnh hưởng của phonon giam cam thì chưa được nghiên cứu Nhưvậy, một số bài toán vật lí về hiệu ứng Hall trong các hệ thấp chiều khi xét đếnsự giam cầm của phonon kê trên vẫn còn bỏ ngỏ Do đó, trong luận án nàychúng tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu “Lý thuyết lượng tử về ảnh hưởng củaphonon giam cầm lên hiệu ứng Hall trong các hệ bán dẫn thấp chiều”.

2 Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu của luận án là nghiên cứu ảnh hưởng của phonon giam cầm lênhiệu ứng Hall trong các hệ bán dẫn thấp chiều Cụ thé, xét các bài toán sau: ảnhhưởng của phonon giam cầm lên hiệu ứng Hall trong siêu mạng pha tạp, tronghố lượng tử và trong dây lượng tử hình trụ với hồ thế cao vô hạn Kết quảnghiên cứu bao gồm: biểu thức giải tích cho tenxo độ dẫn, điện trở Hall và hệ

số Hall trong các hệ bán dẫn thấp chiều dưới ảnh hưởng của phonon giam cam;thực hiện tính toán số cho các mẫu bán dẫn thấp chiều cụ thể và so sánh với cáckết quả trong trường hợp phonon không giam cầm đề thấy được kết quả mới và

những đóng góp mới của luận án.3 Nội dung nghiên cứu

Với mục tiêu nghiên cứu như trên thì nội dung nghiên cứu chính của luận

án là: Trên cơ sở các biểu thức của hàm sóng và phố năng lượng của điện tửtrong siêu mạng pha tạp, hỗ lượng tử và dây lượng tử hình trụ hồ thế cao vôhạn, từ toán tử Hamiltonian của hệ điện tử giam cầm — phonon giam cầm,chúng tôi thiết lập phương trình động lượng tử cho toán tử số điện tử trungbình trong siêu mạng pha tạp, hồ lượng tử và dây lượng tử hình trụ hồ thé caovô hạn khi có mặt điện trường không đổi, từ trường không đổi và sóng điện từ(bức xạ laser) Giải phương trình động lượng tử, tìm biểu thức mật độ dòng

10

điện và tính biểu thức cho tenxo độ dẫn điện, từ trở, hệ số Hall Các kết quảgiải tích được tính số và được so sánh với các kết quả trong hệ thấp chiều khichưa kê đến phonon giam cầm.

Các kết quả được nghiên cứu với các vật bán dẫn thấp chiều 2D, 1D cụthé là với hồ lượng tử, siêu mạng pha tạp và dây lượng tử hình trụ với hồ thécao vô hạn với tương tác điện tử giam cầm - phonon giam cầm, bỏ qua tươngtác của các hạt cùng loại và chỉ xét đến số hạng bậc hai của hệ số tương tácđiện tử - phonon (bỏ qua các số hạng bậc cao hơn hai) Ngoài ra, luận án chỉxét đến các quá trình phát xạ, hấp thụ một photon, bỏ qua các quá trình của hai

photon trở lên.

4 Phương pháp nghiên cứu

Trong luận án này, chúng tôi sử dụng phương pháp phương trình động

lượng tử Từ Hamiltonian của hệ điện tử - phonon được viết trong hình thứcluận lượng tử hóa lần thứ hai (tức là được biéu diễn qua các toán tử sinh hủyhạt) chúng tôi dùng phương trình chuyên động Heisenberg để xây dựngphương trình động lượng tử cho hàm phân bố điện tử Từ đó chúng tôi tìmbiéu thức mật độ dòng, tính tenxo độ dẫn, hệ số Hall trong siêu mạng phatạp, hỗ lượng tử và dây lượng tử hình trụ với hé thế cao vô hạn Ngoài ra,còn kết hợp với phần mềm Matlab để tính số và vẽ đồ thị các kết quả lýthuyết thu được.

5 Phạm vi nghiên cứu

Trong luận án nghiên cứu ảnh hưởng của phonon giam cầm lên hiệu ứngHall trong siêu mạng pha tạp, trong hồ lượng tử và trong dây lượng tử hình trụvới hồ thé cao vô hạn Luận án sử dụng giả thiết tương tác điện tử - phononđược coi là trội, bỏ qua tương tác của các hạt cùng loại và chỉ xét đến số hạngbậc hai của hệ số tương tác điện tử - phonon, bỏ qua các số hạng bậc cao hơn

11

6 Ý nghĩa khoa học của luận án

Kết quả luận án góp phan hoàn thiện lý thuyết lượng tử về hiệu Hall trongcác hệ thấp chiều Đồng thời, các nghiên cứu nay còn là cơ sở lý thuyết cho cáckết quả thực nghiệm và là cơ sở trong việc hoàn thiện công nghệ chế tạo vậtliệu cau trúc nano ứng dụng trong các thiết bị điện tử siêu nhỏ, thông minh và

đa năng hiện nay.

7 Cấu trúc luận án

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình khoa học liên quanđến luận án, tài liệu tham khảo và phụ lục, phần nội dung gồm 4 chương, 11

mục với 2 hình vẽ, 3 bảng biểu và 17 đồ thị được bố cục như sau:

Chương 1 Trình bày một số vấn đề tổng quan về sự giam cầm điện tử, giamcầm phonon trong các hệ bán dẫn thấp chiều bao gồm siêu mạng pha tạp, hố lượngtử, dây lượng tử hình trụ với hồ thế vô hạn Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng Halltrong các hệ thấp chiều khi có mặt điện trường không đổi, từ trường không đôi và

sóng điện từ cao tần (bức xạ laser) nhưng chưa kề đến phonon giam cầm.

Chương 2 Sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử dé nghiên cứuhiệu ứng Hall trong hồ lượng tử dưới ảnh hưởng của phonon âm giam cầm vàphonon quang giam cam Bang phương pháp nay chúng tôi thu được biéu thứcgiải tích của tenxo độ dẫn, hệ số Hall và từ trở Các kết quả trên được tính toánsố và so sánh với trường hợp phonon không giam cầm.

Chương 3 Nghiên cứu hiệu ứng Hall trong siêu mang pha tạp dưới ảnh hưởng

của phonon âm giam cầm Trên cơ sở phương pháp phương trình động lượngtử tính toán và thu được biểu thức giải tích của tenxo độ dẫn, hệ số Hall và từtrở Tién hành tính toán số và so sánh với trường hợp phonon không giam cầm.

Chương 4 Sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử để nghiên cứu

hiệu ứng Hall trong dây lượng tử hình trụ dưới ảnh hưởng của phonon âm giamcâm và phonon quang giam câm Từ đó thu được biêu thức giải tích của tenxo

12

độ dẫn, hệ số Hall và từ trở Các kết quả trên được tính toán số và so sánh vớitrường hợp phonon không giam cầm.

Các kết quả chính của luận án đã được công bố trong 05 công trình khoahọc, trong đó có 02 bài báo trên các tạp chí quốc tế thuộc danh mục ISI/Scopus

(01 bai dang trong tap chi quéc té Materials Transactions, (Japan), 01 bai dang

trong tap chi Journal of science: Key Engineering Materials (Korea)), 01 bai

đăng trong tạp chí quốc tế World Academy of Science, Engineering and

Technology International Journal of Physical and Mathematical Sciences (

Thái Lan), 2 bài báo đăng trong tạp chí VNU Journal of Science: Mathematics

— Physics của Đại học Quốc gia Hà Nội.

13

Chương 1 TONG QUAN LÝ THUYET LƯỢNG TU VE HIỆU UNGHALL TRONG BAN DAN KHOI VA HAM SONG, PHO NANG LƯỢNGCUA DIEN TU VA SU GIAM CAM CUA PHONON TRONG HE THAP

Trong chuong nay tac gia trinh bay tong quan ly thuyét lượng tử về hiệu

ứng Hall trong bán dẫn khối, hàm sóng và phô năng lượng của điện tử trongsiêu mạng bán dẫn pha tạp, hồ lượng tử và dây lượng tử hình trụ khi đặt trongđiện trường và từ trường vuông góc và sự giam cầm của phonon.

1.1 Ly thuyết lượng tử về hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối

Trong một thanh vật dẫn, ta đặt một dòng điện theo phương x, một từ

trường theo phương z thì thấy xuất hiện một điện trường theo phương y, nếu

mẫu là kín thì ta có một dòng điện theo phương y với mật độ dòng jy Hiện

tượng này được gọi là hiệu ứng Hall.

Trong bán dẫn khối lý thuyết về hiệu ứng Hall cô điển được xây dựng trêncơ sở phương trình động cô điển Boltzman và lý thuyết về hiệu ứng Hall lượng

tử được xây dựng trên cơ sở phương trình động lượng tử.

14

Khi không có mặt sóng điện từ, trong các hệ điện tử chuẩn hai chiều, nếuđặt một từ trường mạnh vuông góc với mặt phăng tự do của hệ và điều kiệnnhiệt độ rất thấp, ta có thé quan sát thấy hiệu ứng Hall lượng tử, thé hiện sựlượng tử hóa của độ dẫn (điện trở) Hall Hiệu ứng Hall lượng tử số nguyên

(integer quantum Hall effect) được khám phá bởi Klaus von Klitzing vào năm

1980 [65] Các kết quả đo đạc sự phụ thuộc của độ dan Hall vào từ trường chothấy độ dẫn điện có giá trị là bội số nguyên của tỷ số e? /h:

Sry) EVT—, V=1,2/3, (1.1)

Với khám phá này, ông được trao giải Nobel vào năm 1985.

Hình 1.2 Hiệu ứng Hall lượng tử trong hệ chuẩn hai chiêu

Không lâu sau khi hiệu ứng Hall lượng tử số nguyên được khám phá, hiệuứng Hall lượng tử phân số (fractional quantum Hall effect) được nghiên cứu

bởi Tsui và Stormer [90] Trong đó, độ dan Hall có gia tri

Oran = V5» v=1/3, 2/5, 3/7, 2/3, 3/5, 1/5, 2/9, 3/13, 5/2, 12/5,

Trước đó nhà vật lí Laughlin đã tiên đoán lý thuyết của hiệu ứng này Giải

Nobel được trao cho Laughlin, Tsui va Stormer vào năm 1998 với phát hiện

trên Hiệu ứng Hall lượng tử cho phép định nghĩa một chuẩn mới cho các đo

15

đạc về điện trở cũng như cung cấp thông tin về hăng số cấu trúc tinh thể với độchính xác rất cao.

Khi có mặt sóng điện từ lan truyền trong vật liệu thì các tính chất điện, từthông thường của vật liệu bị thay đổi Nếu biên độ của sóng điện từ lớn có thể làm

xuất hiện các hiệu ứng phi tuyến Đặc biệt, khi sóng điện từ là cao tần sao cho

năng lượng photon vào cỡ năng lượng điện tử và phonon thì sóng điện từ sẽ làm

thay đối đáng kế xác suất dịch chuyền của điện tử giữa các trạng thái so với khikhông có mặt sóng điện từ Đã có nhiều công trình nghiên cứu về hiệu ứng Hall

trong bán dẫn khối khi có mặt sóng điện từ [3-10].

Hiệu ứng Hall trong các hệ thấp chiều có mặt sóng điện từ nhưng chưa kéđến phonon giam cầm đã được nghiên cứu trong thời gian gần đây [1 1-17] Tuynhiên, hiệu ứng Hall trong các hệ thấp chiều ké đến sự có mặt của phonon giamcầm chưa được nghiên cứu đầy đủ, chưa có lý thuyết Vì vậy, với mục đíchhoàn thiện nghiên cứu lý thuyết về hiệu ứng Hall trong hệ thấp chiều khi có

mặt của phonon giam cầm sẽ được giải quyết trong luận án của chúng tôi.

Dé xây dung lý thuyết lượng tử về hiệu ứng Hall khi có sóng điện từ vàkế đến sự giam cầm của cả điện tử và phonon thì chúng tôi sử dụng phương

pháp phương trình động lượng tử với hình thức luận tương tự như đã được xây

dựng bằng phương pháp phương trình động lượng tử trong bán dẫn khối khi cómặt sóng điện từ Phương pháp đó được trình bày trong phần sau.

1.1.1 Phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối khi đặt

trong điện trường và từ trường vuông góc với sự có mặt của sóng điện từ

Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày phương trình động lượng tử cho

điện tử trong bán dẫn khối khi đặt trong điện trường, từ trường vuông góc vớisự có mặt của một sóng điện từ đặc trưng bởi điện trường biến thiên

E(t) = (E,sinOt,0,0), (với E, và Q tương ứng là biên độ và tan số của sóng

điện từ) Xuất phát từ Hamiltonian của hệ điện tử — phonon tương tác, chúng

16

tôi xây dựng phương trình động lượng tử cho số điện tử trung bình Từ phươngtrình này chúng tôi tìm được biểu thức cho mật độ dòng điện Từ đó suy ra được

các biéu thức cho tenxo độ dẫn, điện trở Hall, hệ số Hall.

Hamiltonian của hệ điện tử — phonon trong bán dẫn khối trong biểu diễnlượng tử hóa lần hai khi đó có dang [4].

tác trong sự có mặt của sóng điện từ

me là khôi lượng của điện tử và e là điện tích của điện tử;

Lho,b:b là phan Hamiltonian của hệ phonon không tương tác.

>C¡a a (b.,+b”,) là phần Hamintonian mô tả tương tác điện tử và

phonon với C; là hằng số tương tác điện tử - phonon

Lotk)at ca, là phần Hamintonian tương tác giữa điện tử và trường ngoài

(điện trường không đổi và từ trường không đổi)

ọ(K) là thé vô hướng:

@(K) =(2ni)*(eE, +0, [Kap Sam , E¡ là điện trường không đổi

a: và a- là toán tử sinh, huỷ điện tử với vectơ xung lượngp, b: và b; là

P Pp ' ° k k

toán tử sinh, huỷ phonon với vecto sóng k

17

7 B , DX QUA

h= B là véc tơ don vi dọc theo chiêu từ trường;

A() là thế vectơ và liên hệ với sóng điện từ (bức xạ laser):

Ta có: toán tử sô hạt của điện tử là n;= a-a.,

Sử dụng phương trình chuyên động của toán tử thống kê hay ma trận trận mật

độ ta được phương trình động lượng tử cho điện tử như sau:

idn-() _ ia(ata ) = (late, |) ›ot ot PP

Tính số hạng thứ ba: sọ >;C¡a” -a;(Đị +b';) E p+k

Sử dung (1.4a), (1.4b) ta có biến đôi sau:

bore a, | ata at ca =a` a-a'a.=

a‘a., » C; ay a; (by +b"; | => C; (ata, 85 Sak -a" a 835 ](b; +b"; ):Pp Dk p+k si Pp ptk p (1.13)

Lay tông theo p' voi luu y: Ồ: Sai =1 khi p= p +k hay p = p —k

F (0=(a" ab | : (1.16)pha mr Po aft

Gia sử tương tác giữa điện tử — điện tử là rất nhỏ so với tương tac giữa các hatkhác loại tương tác nay chỉ được tính đến trong tương tác plasma ran

Vậy ta có phương trình đối với n- (t)

OF, (t)

: Py Po -4 +

jt = ([aj a5, 6,.H])) (1.18)

Sau một sô phép biên đôi toán tử ta có:

Che | 2(5)-0(5.)-0, “nai -B)Ã(U fallPỊ‹P2:q

+iSC | (at -a (b +b* lb, lata b, (b kb |dy đị Pyt4y Po qq —q) q t Py Poy 49 qq ~dI t

-i|(6,)-2(6,)-0, | J dt, ~~ [ (B, —B,)A(t, at.—œ & op

Su dung điều kiện ban đầu (điều kiện đoạn nhiệt) :

Mies oo (1.23)

Ta có nghiệm

E saa9=Men d8) Pa] dụdị œ eYT—œ(P,P, )A(t " , (1.24)

21

trong đó M là hằng số Dùng phương pháp biến thiên hằng số, ta giả thiết M

phụ thuộc thời gian M(t)

Lay tích phân hai về ta được

M(t) =i] Xtc, _ Pa (0, qị +b! :)Pa), -(ata, 5b, (0 +b" )).

ceo [o6,)-o(F)- | dt, +—— [ (p, -P.) A)

Thay (1.30) vào (1.28) ta thu được biểu thức cho F(t):

22

4 (1.32)

Thay biểu thức trên vào (1.17) ta có

ae EGG, ¬ Ís ay (By, + Oi) (ania a be (Dy tb, ).

—œ 2

“ + fia (t, dt, ja _

e =1

t

— Ue «(aati (0, +b’, )b;) ~ (aya * Thức sik ( ty2 ) a

soe ede ° lạA( dt, ja,

HC j,

6 >C,C, x J lễ sa r(Đ, thì )bi) địa, caPi(Bự +b" )).

lao e(p-q) —o, |(t-t, )~-° fat dt, ja +M,C (,

23

én; (t)

-aplfð+8)-8J=a, Jen) fata

+] (aja, (bf +b jb))), (aj eaa (BI) FPO ,)), |»

ie chà eE,k 5 (sin Ot — sin Qt,) |=

ôn, (t ) ig Ôn(- 2 eE,k eE,k210 LeF, 3 =-)|C:| DI) (Se fst (I-s)@t)x

25

Phương trình (1.38) là phương trình động lượng tử cho hàm phân bố không cânbăng của điện tử trong gần đúng bậc hai của hằng số tương tác điện tử - phonon.1.1.2 Biểu thức giải tích cho hệ số Hall

Sau đây ta sẽ giả thiết tương tác điện tử — phonon âm là trội Nếu tán xạ làđàn hồi thì ta có thể bỏ qua năng lượng của phonon trong đối số của các hàmdelta Giải phương trình (1.38) đồng thời giả thiết phân bố phonon là đối xứng

ta sẽ thu được phương trình:

epð(e —E; ) /m, và lấy tong hai về theo p ta được phương trình:

Q(e)=-y =~ P|F St ]ã(s~s,) (1.43)

p M, op

S(£) =— = icf (2N, + 1)(sk} >», (n, - nạ}

ek B (1.44)

x|2ð(s, xn —&; -Q)-a(e,; —€; +O)]ð(s —8j}.

Giải phương trình (1.41) ta thu được:

=, \ te) fa SẠC an

R(e)= IxoreJISE)+S(9) œ/+(e)|h.|O(e)+S(e) |+ "+o¿r (e)h(h,Q(e) + S(e))}.

Ham R(e) có ý nghĩa mật độ dòng ‘‘riéng’’, là dong được mang bởi các điện

tử với năng lượng e Đại lượng này liên hệ với mật độ dòng toàn phan bởi hệ

n; =fq(E;)— PX(;)fg(&;), (1.50)

với Íq(£;) = , f,(e) là hàm phân bố điện tử cân bằng

He) = AE" 4 w20?(e)} x

Sau khi tính toán ta thu được:

*2 [f0(e— ©)(e—@))2+,(e— O)6( — ©)A.,

Trong gan đúng tuyến tinh theo E, ta bo qua số hạng thứ hai trong Q(e), do

Ta cũng có thể viết lại (1.54) như sau:

S,(e) =en| A„ỗ( —©)—È,ð(e — e,) |x,(ey), (1.61)

với n= (2m,e,)`” ! 4T.

Bây giờ ta sẽ áp dụng (1.60) và (1.61) dé viết ra các thành phần L,(Q,) của

L,(Q) và L,(S,) của L,(S) Từ (1.48) và (1.61) ta có:

Lạ(S,) =ent(Q)[ 1+ øŸ+°(©) | x

x{ồ„ + @1(Ó)euh, + ø‡+”(O)h,h„„ } Ay (QY (Ep) — (1.62)

-en(s(e) [1 + or'(e)] {in +@,1(£)£,„hị + @št”(e)h,h„ },, (ez(e,)),

29

L,(Q,)=— oe)[ 1+ @@r"(@)] x (1.63)O\Ni m, x{3,F + @,t(£) h,F +@,1’(e)h,h F} ?

—en (xe) [1 + GỆt”() | {Sin +@,1(E)£,hị +0277 (ehh, },,(€)

Ue) [1+ @21°(e)]{3,.E,, +@,(6)€,,h,E,, +027°(e)h h,E,, l) (1.67)

Cuối cùng ta sử dụng (1.65) và (1.68) để viết ra các thành phần J, của mật độ

dòng điện Ta có:

J, =L,(Q,)+L,(S,), (1.69)

Mặt khác ta có công thức quen thuộc:

J, =O,E,.; (1.70)

Thay (1.65) va (1.68) vào (1.69) và so sánh với công thức (1.70) ta rút ra biéu

thức cua tenxo độ dân ơ; :

Kết quả sử dụng lý thuyết lượng tử dé khảo sát hiệu ứng Hall trong bándẫn khối cho thấy sự phụ thuộc của tensor độ dẫn điện cũng như từ trở, hệ SỐHall vào trường ngoài là phức tap hơn nhiều so với lý thuyết cô điển Dé xâydựng lý thuyết lượng tử về hiệu ứng Hall trong các hệ thấp chiều khi có sóngđiện từ và ké đến sự giam cầm của cả điện tử và phonon thì chúng tôi sử dụng

phương pháp phương trình động lượng tử với hình thức luận tương tự như đã

được xây dựng bằng phương pháp phương trình động lượng tử trong bán dẫnkhối khi có mặt sóng điện từ.

1.2 Hàm sóng, phố năng lượng của điện tử và sự giam cầm của phonon.

Trong phan nay, chúng tôi viết ra hàm sóng và phổ năng lượng của điệntử trong siêu mạng pha tạp, trong hồ lượng tử và trong dây lượng tử hình truvới hồ thé cao vô hạn khi đặt trong điện trường và từ trường vuông góc vớinhau Đồng thời đưa ra biểu thức về sự giam cầm của phonon.

1.2.1 Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử.

1.2.1.1 Ham sóng và phổ năng lượng của điện tử trong siêu mạng pha tạp.

Trong các hệ vật liệu thấp chiều, chuyển động của điện tử bị giới hạn theo

một số chiều xác định và bị định xứ mạnh Các điện tử chuyên động tự do theochiều còn lại Hàng loạt các hiện tượng vật lý mới sẽ xuất hiện khi các hạt tải bị

giới hạn trong các vũng kích thước cỡ bước sóng DeBroglie Đó là các hiệu ứngkích thước[7].

Năng lượng của điện tử bị lượng tử hóa theo các chiều bị giới hạn với cácmức năng lượng xác định En (N = 1, 2, 3, 4 ), N là lượng tử số Còn với cácchiều tự do, các hạt tải chuyên động mà không bị ảnh hưởng bởi hồ thế năng.Kết quả là năng lượng tổng của hệ điện tử là gián đoạn theo hướng có sự lượngtử hóa và liên tục khi xét chuyên động trong mặt phang của hồ thé.

Xét đến hàm sóng và phô năng lượng của điện tử giam cầm va phonongiam cầm trong siêu mạng pha tạp trước hết ta xét cau trúc của siêu mạng pha

32

tạp Trong các hệ thấp chiều, siêu mạng pha tạp là vật liệu bán dẫn mà hệ điệntử có cầu trúc chuẩn hai chiều Siêu mạng pha tạp được cấu tạo từ hai bán dẫnđược pha tạp một cách khác nhau và xếp chồng chập lên nhau với sự phân bốđiện tích tuần hoàn Chang han, siêu mang pha tạp n-GaAs/p-GaAs được taonên nhờ sự sắp xếp tuần hoàn của các lớp bán dẫn mỏng GaAs loại n (GaAs:Si)

và GaAs loại p (GaAs:Be), ngăn cách bởi các lớp GaAs không pha tạp (gọi là

tinh thé n-i-p-i).

Trong siêu mang pha tạp, chuyên động của điện tử theo một phương bịgiới hạn rất mạnh và điện tử chuyền động tự do trong không gian mạng tỉnhthé theo hai phương còn lại Do vậy, chuyển động của điện tử theo phương zbị lượng tử hóa với các mức năng lượng gián đoạn, chuyên động là tự do trongmặt phăng (x,y).

Dựa trên mô hình đơn giản cho siêu mạng pha tạp với trục siêu mạng được

giả thiết theo phương z, đặt trong một từ trường B = (0,0,B), một điện trườngkhông đổi E, = Œ¡,0,0) Hàm sóng và phô năng lượng của điện tử được đặttrong từ trường không đổi B= (0,0,B) và điện trường không đổi E, = (E¡,0,0)lần lượt có dạng [4]:

-~ 1 F Nq-l

W(r) =——®, (x-x,)e”TM” > ¿ (z—1d), (1.75)JL, N 0 »

p.)=(N+-Dø Ly —ñ mui

Exn(Py)=(N +5) œ, +(n+2) ®, - Day FF>MLa (1.76)

Trong đó: ©, (x — xạ), là ham sóng điều hoà.

L, : là độ dài chuân hóa theo phương y,

1 z? Zz

z)= j——— ex ———)H (—): là hàm riêng của các mức nang lượn

33

| h

L, = |———.H,() : da thức Hermite thứ n.

p, =(0,p,,0): là vector sóng theo phương y.

N =0,1,2, : là chỉ sô mức phan vùng Landau.

n=0,1,2, : là chỉ sô lượng tử hóa của các mức con.

vy = 3: là van toc kéo theo của điện tử.

Độ dày và nồng độ của lớp bán dẫn n và bán dẫn p trong siêu mạng pha tạp

tà d ns

được gia định băng nhau: d, =d, =—van, =n, =np với:n 2 n p

d: là chu kì của siêu mạng pha tạp.

nạp: nông độ tạp chất của siêu mạng pha tạp.

1.2.1.2 Phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử trong hỗ lượng tử.

Hồ lượng tử là cấu trúc hai chiều gồm một lớp mỏng chất bán dẫn nàyđược đặt giữa hai lớp chất bán dẫn khác Chính sự khác biệt giữa các cực tiểuvùng dẫn của hai chất bán dẫn tạo nên một hồ lượng tử (còn gọi là hồ thế năng).Các hồ thế năng này tạo nên một thế giam giữ điện tử, làm cho chuyên độngcủa điện tử trong hồ bị giới hạn rất mạnh theo một phương, thường chọn làphương z Do vậy, chuyền động của điện tử theo phươngz bị lượng tử hóa vớicác mức năng lượng gián đoạn, còn trong mặt phẳng (x,y) thì chuyển động tự

34

a Trường hợp từ trường B vuông góc với mặt phẳng chuyền động

tự do của điện tử.

Xét hố lượng tử vuông góc cao vô hạn theo phương z, với độ rộng hồ là

L, được đặt trong một từ trường B= (0,0,B)( B vuông góc với mặt phang tự do

của điện tử), một điện trường không đổi Ei = (E,,0,0) và một trường laser với

vector cường độ điện trường E(t) =(0,E, sinQt,0), với E, va Q là biên độ vatần số của bức xa laser Hàm sóng và phô năng lượng của điện tử được đặt trongtừ trường không đổi B= (0,0,B) và điện trường không đổi E, = (E¡,0,0) lần

N=0,1,2, : là chi số mức phân vùng Landau,

n=1,2,3, : là chỉ sô lượng tử hóa của các mức con,

b Trường hợp từ trường B trong mặt phẳng chuyển động tự do

của điện tử.

Xét hồ lượng tử vuông góc cao vô hạn đọc theo phương z, được đặt trong

một từ trường B= (0,B,0)(B năm trong mặt phăng tự do của electron), một

điện trường không đôi E, =(0,0,E,)va một trường laser với vector cường độ

điện trường E(t) =(E,sin©t,0,0), với E, và Q là biên độ và tần số của bức

xạ laser Ham sóng và phổ năng lượng của điện tử được đặt trong từ trường

không đổi B= (0,0,B) va điện trường không đổi E, = (E),0,0) lần lượt có dạng

Trong đó N =0,I1,2, : là chỉ số mức phân vùng Landau,

oO, = = là tần số cyclotron, H,,(z) là đa thức Hermite

kx: là vector sóng của điện tử theo phương x,

1.2.1.3 Phố năng lượng và ham sóng của điện tử trong dây lượng tử hình

Dây lượng tử (quantum wires) là cấu trúc vật liệu thấp chiều trong đóchuyên động của điện tử bị giới hạn theo hai chiều (kích thước cỡ 100 nm), chicó một chiều được chuyên động tự do (trong một số bài toán chiều này thường

được gọi là vô hạn), vì thê hệ điện tử còn được gọi là khí điện tử chuân một

36