Luận án tiến sĩ toán học: Một số vấn đề của giải tích ngẫu nhiên trên không gian Banach và không gian xác suất Banach

LỜI CAM ĐOANTôi xin cam đoan các kết quả nghiên cứu trong luận án Một số van đề của giảitích ngẫu nhiên trên không gian Banach va không gian xác suất Banach là công trình nghiên cứu của

DAI HỌC QUOC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ THỊ OANH

MỘT SỐ VẤN DE CUA GIẢI TÍCH NGAU NHIÊN

TREN KHÔNG GIAN BANACH

VÀ KHÔNG GIAN XÁC SUAT BANACH

Hà Nội - 2023

DAI HỌC QUOC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ THỊ OANH

MOT SỐ VẤN DE CUA GIẢI TÍCH NGAU NHIÊN

TRÊN KHÔNG GIAN BANACH

VÀ KHÔNG GIAN XÁC SUAT BANACH

Chuyên ngành : Lí thuyết xác suất và thống kê toán học

Mã số : 9460112.02

TẬP THẺ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1 GS TSKH Đặng Hùng Thắng

2 PGS TS Tạ Công Sơn

XÁC NHẬN CỦA NGƯỜI T/M XÁC NHẬN CỦA CHỦ TỊCH

TAP THE HƯỚNG DAN HOI DONG

PGS TS Ta Công Sơn GS TS Nguyễn Hữu Dư

Hà Nội - 2023

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan các kết quả nghiên cứu trong luận án Một số van đề của giảitích ngẫu nhiên trên không gian Banach va không gian xác suất Banach là công

trình nghiên cứu của tôi, được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH.

Đặng Hùng Thắng và PGS.TS Tạ Công Sơn Các kết quả trong luận án là hoàn

toàn trung thực Tất cả những tham khảo đều được trích dẫn và tham chiếu đầy

đủ.

Hà Nội, ngàu 05 tháng 12 năm 2023

Nghiên cứu sinh

Lê Thi Oanh

Lời cảm ơn

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS TSKH Dang Hùng

Thắng và PGS TS Tạ Công Sơn Trước tiên, tác giả xin bay tỏ sự kính trọng

va lòng biết ơn sâu sắc nhất tới hai Thay, vì những sự động viên, giúp đỡ, tantình hướng dẫn tác giả trong quá trình nghiên cứu và viết luận án này Sự địnhhướng và sự gợi mở vấn đề của các Thầy trong nghiên cứu, sự nghiêm khắc của

các Thầy trong học tập để tác giả ngày càng cố gắng và hoàn thiện việc học tập

tại trường.

Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Phòng Đào tạo của Trường Đại học Khoa học

Tự nhiên - Dại học Quốc Gia Hà Nội, Khoa Toán - Cơ - Tin học đã tạo mọiđiều kiện thuận lợi cho tác giả học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án này

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Dai học Hồng Đức,

tập thể giảng viên Khoa Khoa học Tự nhiên, Bộ môn Đại số - Hình học và Bộ

môn Giải tích - Phương Pháp Dạy học Toán, Trường Đại Học Hồng Đức đã giúp

đỡ, góp ý và tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả trong quá trình học tập, nghiêncứu, tham gia các đại hội, hội thảo Toán học và đặc biệt là trong quá trình viếtluận án của mình Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn gia đình đã luôn yêuthương, động viên và hỗ trợ về mặt thời gian, hy sinh về vật chất lan tinh thần

để giúp tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận án.

Nghiên cứu sinh

Lê Thị Oanh

Toán tử ngẫu nhiên trên không gian Banach kha li

1.11 Toán tử ngẫu nhiên

112 Kì vọng có điều kiện so

1.1.3 Không gian Banach có tính chất Radon-Nikodym

Không gian xác suất Banach

1.2.1 Không gian xác suất Banach và đồng cấu ngẫu nhiên

1.2.2 Đạo ham và tích phân của hàm nhận giá tri trong không

gian định chuẩn xác suất

Chuyển động Brown và tích phân lô

Chương 2 Su hội tụ của martingale toán tử

và sự tôn tại của đa tap quán tính

trung bình bình phương

2.1

2.2

Sự hội tụ của martingale các toán tử ngẫu nhiên bị chặn

2.1.2 Sự hội tụ của martingale các toán tử ngẫu nhiên bị chặn

Đa tạp quấn tính trung bình bình phương

2.2.1 Giới thiệu bài toán 22200

2.2.2 Sự tồn tại và công thức biểu diễn của nghiệm nhẹ

2.2.3 Sự tồn tại da tạp quán tính trung bình bình phương

224 Vidu aaẶỪẶ.

18

22 26

28

28

28

30 34 34

40 47

54

Chương 3 C-nửa nhóm va bài toán Cauchy trong không gian

xác suất Banach

3.1 C-nửa nhóm các đồng cấu ngẫu nhiên liên tục trên không gian

3.1.1 Giới thiệu bài toán Q.2

3.1.2 C- nửa nhóm các đồng cấu ngẫu nhiên liên tục

3.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của Bài toán Cauchy đối với C-nửa

nhóm bichanmt 0 0.00.00 0000 eee

Kết luận va kiến nghị

Danh mục các công trình khoa học liên quan đến luận án

Tài liệu tham khảo

Chỉ mục

60

60 60

61

73

82 83 84 90

Không gian Banach thực và khả li

Không gian Banach xác suất

Tập các toán tử tuyến tính, liên tục từ X vào Y

Chuẩn trên không gian Banach X

ơ-đại số Borel của XKhông gian xác suất đầy đủTập các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên trường K.Tập các biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực

Tập các biến ngẫu nhiên nhận giá trị không âm

Tập các biến ngẫu nhiên Y-giá trị

Tập các biến ngẫu nhiên có môdun cấp p

Cận trên đúng của tập con H.

Cận dưới đúng của tập con H.

Lực lượng của tập hợp A

Ham chỉ tiêu của tập hợp E

Phần nguyên của x

Miền xác định của toán tử A

Lũy thừa bậc Ø của toán tử A.

3

Chuan của vecto z.

Tích vô hướng của hai vecto x và y.

Chuẩn của ma trận A.

Hình cầu mở tâm x bán kính r > 0.Hình cầu mở tâm 0 bán kính r = 1

Bao đóng của tập hợp D.

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Không gian xác suất Banach và lí thuyết toán tử ngẫu nhiên đóng vai trò

quan trọng trong phát triển lí thuyết xác suất Các khái niệm cơ bản như không

gian các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach chỉ là trường hợp

riêng của không gian xác suất Banach đã thu hút nhiều nhà khoa học nghiêncứu và mở rộng Quan trọng hơn nữa là không gian xác suất Banach và lí thuyếttoán tử ngẫu nhiên có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như

trong toán tài chính, cơ học, vật lý,

Khái niệm không gian định chuẩn ngẫu nhiên được nêu bởi B.Schweizer,

A.Sklar [51] sau đó được trình bày với một phiên bản mới bởi Tiexin Guo năm

1999 [31] dưới tên là không gian module với chuẩn ngẫu nhiên, với (e, A)—tôpô,

một tôpô tương thích với hội tụ theo xác suât trong không gian các biến ngẫu

nhiên Đến năm 2009, với nhu cầu của toán tài chính, Damir Filipovic, Michael

Kupper, Nicolas Vogelpoth [25] đã trình bày không gian xác suất ngẫu nhiênnhưng với - tôpô lồi địa phương

Ý tưởng về không gian xác suất Banach mới xuất hiện gần đây nhưng đã

được quan tâm, chẳng hạn kết quả về vấn đề này: T.Guo đã đưa ra định nghĩa

về không gian xác suất Banach và có một số nghiên cứu quan trọng về toán tử

ngẫu nhiên và chứng minh một phiên bản của định lý Han-Banach cho trường hợp ngẫu nhiên (22, 31]).

Với các lí do trên chúng tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của

mình là:

Một số van dé của giải tích ngẫu nhiên trên không gian Banach va không gian

rac suất Banach

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về sự hội tụ của các dãy toán tử ngẫu nhiên, dãy martingale toán

tử ngẫu nhiên trong không gian Banach.

Nghiên cứu về "đa tạp quán tính trung bình bình phương", tìm điều kiệnđảm bảo cho sự tồn tại của nó đối với một lớp các phương trình vi phân ngẫu

nhiên tựa tuyến tính trên một không gian Hilbert thực kha li.

Nghiên cứu sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm của bài toán Cauchy vớiphần tuyến tính là toán tử sinh của một C-nửa nhóm bị chặn mũ

3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận án là các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong

không gian Banach và dãy các toán tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian

xác suất Bannach

4 Pham vi nghiên cứu

-Luận án nghiên cứu các định lý về hội tụ cho dãy các martingale toán tửngẫu nhiên trong không gian Banach.

- Tìm điều kiện đảm bảo cho sự tồn tại đa tạp quán tính trung bình bình phươngcủa một lớp các phương trình vi phân ngẫu nhiên tựa tuyến tính

-Nghiém của bài toán Cauchy với phần tuyến tính là toán tử sinh của một C-nửa

nhóm bị chặn mũ.

5 Phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng các kĩ thuật của xác suất, giải tích, giải tích ngẫu nhiên,

các công cụ của martingale để chứng minh các định lí hội tụ Một số bổ đề quan

trọng như: Bo đề Borel-Cantelli, lý thuyết toán tử tất định, sử dung bất đẳng

thức Cauchy-Schwarz và tính chất dang cự của tích phân Ito cũng được sử dụng để chứng minh các kết quả.

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Ý nghĩa khoa học: góp phần làm phong phú thêm các kết quả và sự hiểu biết

về hội tụ của biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach, cũng như

các kết quả của toán tử ngẫu nhiên Lớp các phương trình vi phân ngẫu nhiên

tựa tuyến tính và bài toán Cauchy với phần tuyến tính là toán tử sinh của mộtC-ntta nhóm bị chặn mũ.

Ý nghĩa thực tiễn: luận án góp phần phát triển lí thuyết về toán tử ngẫu

nhiên nhận giá trị trong không gian xác suất Banach của lí thuyết xác suất.

7 Tổng quan và cấu trúc luận án

7.1 Tổng quan luận án

Không gian xác suất Banach và lí thuyết toán tử ngẫu nhiên trước hết là sự

phát triển tự nhiên của lí thuyết giải tích hàm tất định Hơn nữa, các khái niệm

cơ ban trong xác suất như không gian Lx (Q) - không gian các biến ngẫu nhiên

nhận giá trị trong không gian Banach chỉ là trường hợp riêng của không gian

xác suất Banach Ma trận ngẫu nhiên-một lĩnh vực đang phát triển mạnh mẽ

trên thế giới hiện nay, không có gì khác hơn là trường hợp hữu hạn chiều của

toán tử ngẫu nhiên, quá trình ngẫu nhiên là trường hợp riêng của hàm nhận giátrị trong không gian xác suất Banach ([40, 52, 57, 58, 63, 62]) Quan trọng hơnnữa là không gian xác suất Banach và lí thuyết toán tử ngẫu nhiên có rất nhiều

ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như trong toán tài chính, cơ học, vật lý,

Năm 2009, Damir Filipovic, Michael Kupper, Nicolas Vogelpoth [25] đã trình

bay không gian xác suất ngẫu nhiên nhưng với locally L° -covex topology Dua

ra định lý tách siêu phẳng, nghiên cứu tính liên tục dưới, khả vi dưới biểu diễn đối ngẫu Fenchel- Moreau của một hàm Ƒ?-lồi, và nêu một số ấp dung để nghiên

cứu độ đo rủi ro entropic trong toán tài chính.

Nam 2010, T Guo [30] đã đưa ra mối liên hệ giữa hai tôpô trên, và một sốkết quả về không gian đối ngẫu và định lý Han-Banach

Năm 2013, Xia Zhang |69], đã nghiên cứu một số tính chất của các toán tử

trên không gian này.

Nam 2015, T Guo, S Zhao, X Zeng [35] đã nghiên cứu một số tính chất vềgiải tích lồi trên không gian xác suất Banach và các áp dụng cho toán tài chính

Năm 2012-2013, Xia Zhang va Ming liu [70] đã đưa ra khái niệm nửa nhóm

các toán tử và nghiên cứu một số tính chất của nửa nhóm này.

Năm 2017, T Guo, S Zhao, X Zeng [37] đã nghiên cứu một số tính chất vềgiải tích lồi trên không gian xác suất Banach và các áp dụng cho toán tài chính

Năm 2018-2019 , T.Guo và các tác giả đã đưa ra các kết quả về điểm bất

động ngẫu nhiên [36] và nghiên cứu một số tính chất giải tích trên không gianxác suất Banach này [37]

Trong lí thuyết toán tử ngẫu nghiên được nghiên cứu bởi nhóm của giáo sư

Đặng Hùng Thắng từ khá sớm với các kết quả đầu tiên từ năm 1987 [58], sau

đó được phát triển trong nhiều bài báo khác ([59, 60] và [63])

Trong năm 2019, DH Thang, TC Son, N.Thinh [61], nghiên cứu các tínhchất giải tích của hàm nhận giá trị trong không gian xác suất Banach, lí thuyết

toán tử, nửa nhóm toán tử và thu được phiên bản ngẫu nhiên của định lý

Hile-Yosida.

Trong luận án này chúng tôi tiếp tục nghiên cứu về sự hội tụ của dãy các

toán tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach.

Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường tác giả đã tham gia Seminar

tại bộ môn và các hội nghị: Hội nghị Toán học toàn quốc lần thứ 14 (Nha trang,

2018); Hội nghị Khoa học toàn quốc "Một số chủ đề thời sự trong toán học

và ứng dụng" (Viện nghiên cứu cao cấp về Toán và Trường DH Khoa học Tự

nhién-DHQG Hà Nội, 2021) Các kết quả của luận án gồm 03 công trình đã được

đăng (hoặc nhận đăng) trên các tạp chí: VNU Journal of Science( Mathematics

— Physics), Random Operators and Stochastic Equations (SCOPUS, ESCI) va Acta Mathematica Sinica, English Series (SCIE-Q2).

7.2 Cau trúc luận án

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các bài báo của nghiên cứu sinhliên quan đến luận án và tài liệu tham khảo, luận án được trình bày trong ba

chương:

e Chương 1 trình bay các khái niệm về toán tử ngẫu nhiên, toán tử ngẫu

nhiên bị chặn, các tính chất của toán tử ngẫu nhiên, kì vọng có điều kiệncủa biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach, các định nghĩa

8

về tích phân Riemamn, tích phân ngẫu nhiên Ito, khái niệm về không gianxác suất Banach Ngoài ra, một số dạng hội tụ của toán tử ngẫu nhiên

lớp các phương trình vi phân ngẫu nhiên tựa tuyến tính trên một không

gian Hilbert thực kha li.

Chương 3 gồm hai mục, Mục 3.1 đưa ra khái niệm C-ntta nhóm bị chặn

mũ của các đồng cấu ngẫu nhiên liên tục Mục 3.2 trình bày các kết quả

về sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy với phần tuyến

tính là toán tử sinh của một C-nửa nhóm.

Nghiên cứu sinh

Lé Thi Oanh

CHƯƠNG 1

KIÊN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày ngắn gọn các khái niệm về toán tử

ngẫu nhiên, toán tử ngẫu nhiên bị chặn, các tính chất của toán tử ngẫu nhiên,

kì vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach,

các định nghĩa về tích phan Riemann, tích phân ngẫu nhiên Ito, khái niệm vềkhông gian xác suất Banach Ngoài ra, một số dạng hội tụ của toán tử ngẫu

nhiên cũng được trình bày.

1.1 Toán tử ngẫu nhiên trên không gian Banach khả li

1.1.1 Toán tử ngẫu nhiên

Trong chương này, ta xét (0, ¥, P) là không gian xác suất đầy đủ, (X, || - ||)

là không gian Banach khả li trên trường số K (với K là trường số thực R hoặctrường số phức C), Ñ là tập các số nguyên dương, Lo(Q, X) là không gian vectogồm các lớp tương đương của các biến ngẫu nhiên X-giá trị Z-đo được đối

với các phép nhân với vô hướng và phép cộng thông thường giữa các lớp tương

đương Dé thấy, Lo(Q) = Lo(Q,R) được sắp thứ tự từng phan theo nghĩa

€ <1 khi và chỉ khi €°(w) < 0 (ð) P —h.e.c

trong đó £? và 7° lá các phần tử được chọn tùy ý trong các lớp tương đương €

và r thuộc Lo(Q) tương ứng.

10

Hon nữa, từ [22] ta nhận thấy Lo(Q) là một dan (lattice) đầy đủ theo nghĩa:với mọi tập con H bị chặn trên (hoặc bi chặn dưới) đều có cận trên đúng (hoặc

cận dưới đúng) mà ta ký hiệu là \/ H (hoặc A A tương ứng).

Giả sử € và 7 là các phần tử thuộc Lo(Q) ta nói € < ? nếu £ <n và € # ïJ

Hơn nữa, với A € ¥ ta nói € > 7 trên A nếu €°(w) > 7°(w) P—h.c.c trên Atrong đó €° và 7° tương ứng là các phan tử đại diện tùy ý của các lớp tương

đương € và ? Đặc biệt, ta ký hiệu

Lp (Q) = {€ € Lo(Q, R)|g > 0 trên OQ}.

Cuối cùng, ta lưu ý rằng, sự hội tụ trong Lo(O, X) được hiểu là sự hội tụ theo

xác suất, va ta viết p- lim €, = € nếu dãy {£„} C Lo(O, X) hội tụ về € trong

Ta ký hiệu tập các toán tử ngẫu nhiên từ X vào Y là Lo(Q, X,Y).

Định nghĩa 1.2 (|62]) Toán tử ngẫu nhiên A: X — L} (O) được gọi là bi chan

nếu tồn tại một biến ngẫu nhiên thực k(w) sao cho với mỗi z € X ta có

|| Ax(w)|| < k(¿)||z|| h.e.c (1.1)

Chú ý rằng miền xác định h.c.c trong (1.1) phụ thuộc vào x

Nếu X = R";Y = RTM là các không gian hữu hạn chiều thì mọi toán tử ngẫu

nhiên A: X > 1} (Q) bị chặn và khi đó, nó chính là ma trận ngẫu nhiên cỡ

n xm Trong trường hợp tổng quát, một toán tử có thể không bị chặn Ví dụ

về các toán tử không bị chặn được chỉ ra trong [62] cùng với kết quả sau:

Dinh lý 1.3 ([62|) Một toán tử ngẫu nhiên A: X + LX (Q) bị chặn nếu va chỉ

nếu tồn tại ánh va TA : © —> L(X,Y) sao cho

Az(u) = TAẠ(u)+ h.c.c (1.2)

11

Dé thấy rằng ánh xạ Ty xác định duy nhất theo nghĩa: nếu 7, T1 thỏa

mãn (1.2) thì T (w) = (2) (wy) h.c.c.

Cho A là một toán tử ngẫu nhiên bị chặn từ không gian Banach X vào không gian Banach Y, trong [62] đã xác định một mở rộng của toán tử A thành ánh

xạ tuyến tính liên tục 4: LX(Q) > LY (Q) bởi thuật toán sau đây:

se Nếu wu là biến ngẫu nhiên đơn giản X-giá trị u(w) = >", g,z;() (với

{E;}"_, € F và rời nhau) thì Au = $3” ¡ 1p,Az;.

e Nếu u € L¿, lay dãy các biến ngẫu nhiên đơn giản X-giá trị {ua;n > 1}

va p— im Un = u Khi đó p— im Au, tồn tai và giới han này không phụ thuộc vào việc chọn dãy xấp xỉ {u„;m > 1}, nó được ký hiệu là Au.

Từ đây, dé đơn giản ta viết Au thay cho Au và Au được gọi là tác động của A

lên biến ngẫu nhiên X-giá trị u Từ trên ta thu được kết quả là bổ đề sau.

Bổ đề 1.4 (/62]) Cho A là toán tử ngẫu nhiên bị chặn va Az(œ) = T(w)x

h.c.c Khi đó, uới moi u € Li(Q) ta có

Định lý 1.5 Cho V là không gian định chuẩn va A: V -> X là một ánh va

tuyến tính Khi đó

i) A liên tục khi va chỉ khí A bị chan theo xác suất.

it) Nói chung, nếu A liên tục thà không suy ra được A bi chặn

Chứng minh i) Giả sử A bị chặn xác suất Ta cần chứng minh: A liên tục

tại 0 Thật vậy:

Cho z„ € V,limz„ = Ø0 Khi đó, với c > 0, và mỗi € > 0, do A bị chặn xác

suất nên tồn tại t > 0 sao cho

P(\|Az|| >t)<e Vze

12

Đặt: r = c/t Khi đó, tồn tại np sao cho với n > no, ||#„|| < r

Với n > nọ và ||z„|| A 0, đặt yn = z„/||za|| suy ra yn € Ö.

Ngược lai, giả sử A liên tục.

Cho c > 0 Từ lim;-,o P(||Az|| > 1) = 0 tồn tại r > 0 sao cho ||z|| < r suy

ra P(||Az|| > 1) < c.

Với £ > 1/r ta có ||z/f||< 1/t<r Vze€ B suy ra

P(\|Az|| > t) = P(IA(đœ/®)|[>1)<c với mọi re B.

Vì vay A bị chặn xác suất

Ta xét ví dụ minh họa sau đây.

Ví dụ 1.6 Cho H là không gian Hilbert, V = H,X = Ld (Q) và (€,) là

dãy Gauss chuẩn (0,1) Với mỗi x € H ta có chuỗi > £„(#,„)e„ hội tụ

Định nghĩa 1.7 Cho X,Y là các không gian Banach thực kha li Giả sử

A, A, (t > 0) là các toán tử ngẫu nhiên từ X vào Y Khi đó

Ayx —> Ax khit > o với moi «EX

ii) A; được gọi là hội tu tới A theo trung bình cấp p > 0 (hay ngắn gon là

hội tu theo Lạ) khi t + oo và ta viết A; *8 A khi £ 3 oo nếu:

lim E||LA,z — Ax||? =0 với mọi « € X

too

1.1.2 Ki vọng có điều kiện

Cho không gian xác suất đầy đủ (Q,.Z, P) và không gian Banach khả li thựcX,u:© — X là biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach X (gọitắt là biến ngẫu nhiên X-giá trị) Kì vong của biến ngẫu nhiên u được địnhnghĩa là tích phan Bochner của œ (nếu tồn tại) và được kí hiệu là E(u) hoặc Eu

Định nghĩa 1.8 (xem [22], trang 179) Cho u: Q > X là biến ngẫu nhiênX-giá trị khả tích Bochner và G là một ø-đại số con của ¥ Kì vong có điềukiện của biến ngẫu nhiên u đối với ø-đại số G là biến ngẫu nhiên X-giá trị, kýhiệu là E(u|G) và thỏa mãn 2 điều kiện:

14

(i) E(u|đ) là biến ngẫu nhiên đ-đo được,

(ii) E(E(u|đ)1(A)) = E(ul(A)) với mọi A € G.

Sự tồn tại kì vọng có điều kiện của một biến ngẫu nhiên X-giá tri được chỉ

ra trong mệnh đề sau.

Mệnh đề 1.9 (xem [22], trang 179) Cho u: © —> X là biến ngẫu nhiên X -giá

trị khả tích Bochner va Ở là một o-dai số con của # Khi đó ki vong có điều

kiện B(u|đ) ton tại

Chú ý rằng biến ngẫu nhiên X-giá trị khả tích Bochner khi và chỉ khiEllul| < oo Vì thế, nếu El|lul| < œ thì tồn tại kì vọng có điều kiện E(u|đ) vớimọi ø-đại số G C ¥ Các tính chất về kì vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên

X-giá trị có thể xem trong các tài liệu [24] và [49].

Bồ dé 1.10 Cho B là toán tử ngẫu nhiên bị chặn từ không gian Banach khả

li X vao không gian Banach khả l Y, Bx = Tpx h.c.c uới mỗi z € X, vaG làơ-đại số con của # Khi đó, uới mỗi e > 0, ta có

P(E(||Bull|G) > ©) < P(E(I7s|llul|l6) > e/r) + P(||ul|| > z).

Bổ đề 1.11 Cho A là toán tử ngẫu nhiên bị chặn, G là o-dai số con của F va

E(Az|G) = 0 vdi mọi x € X Khi đó, uới moi biến ngẫu nhiên G-do được u, ta

có E(Au|G) = 0.

15

Chứng mình e Nếu w là biến ngẫu nhiên X- giá trị, với u(w) = Ð3}—¡ 1p, vi(w),

suy ra Au = SL, Le, Avi, khi đó:

E(Au|G) = À E(s,Az;|g) = À ` 1p,E(Az;|đ) = 0.

i=1 i=1

se Nếu u € LX (Q), tồn tại một dãy {u„,w > 1} của biến ngẫu nhiên X-giá

trị sao cho p— lim up, = u Theo Bo đề 1.10, ta có E(Au,|G) hội tụ tới

NCO

E(Au|G) trong Le (Q) Do đó E(Au|G) = p — lim E(Aun|G) = 0.

Cho A là toán tử ngẫu nhiên bi chặn từ không gian Banach kha li X vào

không gian Banach khả li Y, ¥(A) = ơ(Az,z € X).

Định nghĩa 1.12 Cho họ các toán tử ngẫu nhiên bị chặn {44;,£ > 0} từ không

gian Banach khả li X vào không gian Banach khả li Y Họ {A;,t > 0} được gọi

là một martingale nêu E(A;2|¥,) = A;# với mọi z€ X,t > s> 0

Trong đó ?¿ = ơ{.Z(A,),s < t}.

1.1.3 Không gian Banach có tính chất Radon-Nikodym

Định nghĩa 1.13 Cho pw: ¥ —> X là một hàm tập X -giá trị ơ-cộng tính.

e được gọi là có biến phân bi chặn nêu biên phân toàn phần

V„ = sup{Ð ll„(4¿)|[: An € F,Q =U2—¡4;, {Ax}j—¡ là rời nhau}

k=1

là hữu han.

e / được gọi là liên tục tuyệt đối uới P nêu với mỗi A € F, (4) = 0 mỗi

khi P(A) = 0.

Định nghĩa 1.14 ({7|) Không gian Banach X gọi là có tính chất

Radon-Nikodym(R-N), nếu mọi ham tập / là ø-cộng tính, nhận giá trị trong X và có

biến phan bị chặn (tức là, V;,(Q) = sup{) (4¿) : Ay € F, A¿ đôi một rời nhau} <

k=1

16

+œ) liên tục tuyệt đối theo P đều có một biểu diễn tích phân, nói cách khác,

tồn tại f € Li‘ (Q) sao cho

u(4) = | ƒ(s)P(4(s)) với mọi Ae F.

A

Chú ý 1.15 ({7]) Có những không gian Banach X không có tính chất

Radon-Nikodym(R-N), chang hạn không gian Co.

Cho (Q,F,P) là không gian xác suất, với Q = [0,1] và P là độ do Lebesgue

Xét po: F — Co sao cho

u(4) = (/ snesdo, [sin 2d, [ sin3de,.-)

A A A

Bởi bổ đề Riemann-Lebesgue, (4) € co với mọi A € F Mặt khác

lu(4)l< P(A) với moi A € 7.

Nhung rõ rang không có dao ham Radon-Nikodym với độ do P That vậy, do

tính liên tục của hàm toa độ trên cg nên nếu đạo ham Radon-Nikodym là tồn

tại thì

X(w) = (sinw, sin 2w,sin3w, ) với hầu khắp w € 9

Nhung X(w) không thuộc cp với w € 2 Vậy co không có tinh Radon-Nikodym.

Dinh ly 1.16 ([7]) Cho khong gian rac suất (Q,F,P) va không gian Banach

X Khi đó uới martingale {&„¿n > 1} X-giá trị thi các phát biểu sau là tương

1.2 Không gian xác suất Banach

Không gian xác suất Banach (còn gọi là môđun định chuẩn ngẫu nhiên đầy

đủ) được giới thiệu bởi Guo khi nghiên cứu giải tích hàm ngẫu nhiên (xem

[29, 30, 31, 32]) Lý thuyết không gian xác suất Banach va ứng dụng của nó

đang nhận được sự quan tâm của nhiều nhà toán học, đặc biệt là ở Trung Quốc(xem [34, 36, 37]) Trong phần này, chúng tôi giới thiệu các kiến thức về không

gian xác suất Banach, đồng cấu ngẫu nhiên, đạo hàm và tích phân của hàm nhận

giá trị trong không gian xác suất định chuẩn sẽ được sử dụng trong Chương 3.

1.2.1 Không gian xác suất Banach và đồng cấu ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.17 (|65]) Một cặp (4, |

xác suất (hay còn gọi là RN môđun) nếu # là một môđun trái đối với đại số

hạ(9, K) và

- ||) được gọi là không gian định chuẩn

| - || là một ánh xạ từ Y vào Lj (Q) thỏa mãn các điều kiện sau:

(1) |p|] = 0 khi và chỉ khi p = Ø (phần tử không của #);

(2) ll£n| = |&|- Ill], Vé € Lo(Ó,K) và p € 4:

(3) |p + zl| < llp|l + llall, Vasa 2.

Khi đó, ánh xa ||: ||: # > Lj(O) được gọi là một Lo-chuan trên #.

Tiếp theo, cho (4#, || - ||) là không gian định chuẩn xác suất, topo cảm sinh

bởi Lo-chuan trên (xem [65]) được xác định như sau: với các số thực dương

tùy ý e và À thỏa mãn 0 < À < 1, ta đặt

No(e,A) = {x Ee X | P{œ e 9| |[z||(w) < e} > Af.

Khi đó

{M;(,À)|e>0, O<A< 1},

là một cơ sở địa phương tai 6 đối với topo tuyến tinh Hausdorff nào đó Topo

tuyến tính này thông thường được gọi là (e, A)-topo.

18

Nhận xét 1.18 (|65]).

i) Việc xây dựng (e, À)-tôpô cho một đồng cấu ngẫu nhiên kế thừa từ ý tưởng

của Schweizer và Sklar cho không gian metric xác suất

ii) Một dãy {2,,n € Ñ} thuộc # hội tụ theo (e, À)-tôpô đến x € khi va chỉ

khi {||z„ — z||, € Ñ} hội tu theo xác suất đến 0.

iii) (e,À)-tôpô trên (Lo(Q), | - |) trùng với topo hội tụ theo xác suất

Mệnh dé 1.19 Véi u,v € X,A,B€.2,AnB =J ta có

Law + Lael] = 1al|ul| + Lalo

Định nghĩa 1.20 Cho + là không gian định chuẩn xác suất Khi đó

i) Day (un) C 4 hội tụ tới u € nếu ||u„ — u|| hội tụ theo xác suất đến 0 ii) Day (un) C được gọi là đấy Cauchy nếu với mỗi e > 0 ta có

lim P(|lu„ — „|| > e) = 0.

nym—oo

iii) 4 được gọi là không gian xác suất Banach (hay không gian Banach xéc

suất còn được gọi là không gian RN module day đủ) nếu mọi dãy Cauchy(Un) C X hội tụ.

Sau đây là ví dụ minh họa cho khái niệm trên.

Ví dụ 1.21 Cho X là không gian Banach với chuẩn ||||x Với mỗi £ €

Lo(Q), u,v € Li (Q), ta xác định u + v và Eu như sau:

(u + v)(w) =u) +0), (u)(0) = (w)u(w).

Khi đó # = LX(Q) là không gian Banach xác suất với chuẩn

IIzl|2) = lu)

Lx-Chú ý 1.22 Xác định hàm d trên ÄŸ x như sau

Iu — oll

=E——————.

Ta có thể chứng minh d là metric trên 4, lim, uy = u khi và chỉ khi lim, d(un, w) =

0 và (Un) C ¥ là dãy Cauchy khi và chi khi lim = d(un,um) = 0.

n,m—>oo

Định nghĩa 1.23 Giả sử + là không gian Banach xác suất Với p > 0, ta gọi

XP = {ue X : Bull? < co}.

Định lý 1.24 ((32]) Với p > 1,4? là không gian Banach vdi chuẩn

ell p = (El\ul|)'”.

Dinh nghĩa 1.25 ({32]) Cho ¥ là không gian định chuẩn xác suất Khi đó

a) Ánh xạ ®: 2(®) > X được gọi là một đồng cấu ngẫu nhiên nêu miền xác

định 2(®) là một không gian xác suất định chuẩn và

®(§izt + 22) = G O(21) + 62®(22), Vai, x2 € A(®), VEi,& € Lo(Q).

Đồng cấu ngẫu nhiên ® : # > X gọi la đồng cấu ngẫu nhiên trên X

b) Đồng cấu ngẫu nhiên ® : 2(®) > được gọi là bi chặn theo xác suất nếu

lim sup P (|®z|| > £) = 0,

too 2eB

trong đó B = {z€ +: |x|] < 1} là quả cầu đơn vị của không gian xác

suất định chuẩn 2(9®).

c) Đồng cấu ngẫu nhiên ® : 2(®) + được gọi là bi chặn hau chắc chắn

(viết tắt là: bị chặn h.c.c) nếu tồn tại một biến ngẫu nhiên € € Lg (Q) sao

cho

IIlPzll < fla, z 2(®).

20

d) Đồng cấu ngẫu nhiên ® : 2(®) — được gọi là đóng nếu với mỗi dãy

(z„) C 2(®) ta đều có limz„ = z, lim ®z„ = y > z € 2(®) vay = ®z

e) Déng cấu ngẫu nhiên © : 2(¿) 4 được gọi là lên tục nếu vỡi mỗi dãy

(Ln) C 2(®) ta có

lim z„ = z€ Z2(®) => lim ®z„ = ®z.

Sau đây là một số ví dụ minh họa các khái niệm trên

Ví dụ 1.26 Cho V là không gian Banach khả li với cơ sở Schauder e = (e„) và #

là không gian Banach Cơ sở liên hợp ký hiệu là e* = (eÿ) Cho A: V > Lÿ(9)

là toán tử tuyến tính Ký hiệu: C Le (Q) là tập biến ngẫu nhiên V- giá trị u

với chuỗi *

Yo (u, ef) Aen (1.4)

n=1

hội tu trong Li (Q) Nếu u € V thì tổng (1.4) được ký hiệu là ®u.

Ta có thể chứng minh } là không gian định chuẩn xác suất và ánh xạ

®:} — LF (Q) là đồng cấu ngẫu nhiên.

Từ A:V — Li (Q) liên tục và

t= So (2, ef en

At = » c„) Aen

n=1

với V CV va © là đồng cấu ngẫu nhiên mở rộng của A

Ví dụ 1.27 Cho V,X là các không gian Banach khả li và A: V > Lÿ(©) là

ánh xạ tuyến tính bị chặn Theo định nghĩa, có một biến ngẫu nhiên € € 7ÿ (©)

sao cho

IAzll< £llz|| Ve € V.

21

Theo [62], tồn tại một họ {T(w),w € ©} các toán tử tuyến tính xác định trên

tập © sao cho với x € V thì

Aa(w)=T(w)x h.ec.c.

Với u € Lÿ (Q) xác định thì

Theo [33] với wi, ue € Li (Q); £i,€s € Lo(Q) ta có

P(E uy + E22) = €,P(wi) + 0 (us)

va

Pull < Eljul| Vu € Ly (6).

Do đó, ánh xa ® : LY (Q) > LX(Q) là đồng cấu ngẫu nhiên bị chặn hau chắc

chắn mở rộng của 4

Định lý 1.28 (|29]) Cho là không gian Banach xác suất va ® : 2(®) + X

là một đồng cấu ngẫu nhiên Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương:

i) ® bi chặn hầu chắc chắn

ii) ® bị chặn theo xác suất

iii) ® liên tục.

1.2.2 Dao hàm và tích phân của hàm nhận giá trị trong không

gian định chuân xác suat

Định nghĩa 1.29 ((33, 46]) Cho ¥ là không gian Banach xác suất và ƒ :

|a;b| > 2.

- t+h) — ƒŒ

i) Ham f được gọi là kha vi nếu với mỗi £ € (a,b) giới hạn lim Meena R0m

tồn tại trong 4 và ta viết

H(t) = tim LEM FO.

h—0 h

Khi đó ƒ (2) được gọi là đạo hàm của ƒ tại t.

22

ii) Hàm f được gọi là khả tích Riemann (hay ngắn gon là khả tích) nêu với

mọi phân hoạch J của [a;b] có dạng a = typ < ty < - < tn = b và với mỗi

tập V = (s;) trong đó s; € [f;_¡, ¿| thì giới hạn

lim S(P,V, ƒ)

|7|—>0

tồn tại trong # O đây

%(P.V,ƒ)= 3/00 )(t; —f¿_1);|I[ = max(t; — t;_¡) = max At;

v= f sow

va gọi la tich phân Riemann trên [a; b| của ham f.

Khi đó, ta ký hiệu

iii) Cho hàm ƒ xác định trên [ø, +oo) và khả tích trên mọi tập đóng [ø, b],a <

b< oo Khi đó, nếu trong # tồn tại giới hạn

+00

thi ta ky hiéu la / f (t)dt.

Bổ đề 1.30 Cho f,g : [a,b] + X va €,7: [a,b] > Lo(Q) Khi đó

i) Nếu fim f(t) = w thi lim |LF(|| = [ult—to

it) Nếu lim f(t) = u; lim g(t) = 0 th lim(f(t) + g(t)) =u+ö

Định lý 1.32 ([61]) Cho ®: 2(®) — X là một đồng cấu ngẫu nhiên đóng va

f : [a:b] + 2(®) là ham khả tích Nếu ánh xa (®ƒ) :t + ®(ƒ(t)) khả tích thì

[ f(t)dt € 2(®) v

" =8 U/ jt) (1.5)

Đặc biệt, nếu ® : X -> X là một đồng cấu ngẫu nhiên liên tục thà ta luôn có

(1.5).

Dinh lý 1.33 ((61]) Nếu f : [a;b] — 4 là ham liên tục va bị chặn thà f khả

tích Trong trường hợp tổng quát, tính liên tục của f không đảm bảo cho sự khả

ii) Giả sử f : [a,co] > Ä liên tục va bi chan trên mỗi đoạn [a,b|,a < b < ov.

Khi đó, sáu | \| f(t) ||dt ton tai mm f(t)dt cũng ton tai va

a

LỆ sea < Ƒ I0)

24

Định nghĩa 1.34 (|61]) Anh xạ ƒ : [a,b] + được gọi là L°-Lipschitz trên

[a, b] nếu tồn tại € L‡ (2) sao cho

Dinh lý 1.36 ([53]) Cho f : [a,b] > ' là một ham khả vi liên tục Giả sử f

là L°-Lipschitz trên [a,b] Khi đó ƒ' kha tích va

1.3 Chuyển động Brown và tích phân It6

Tiếp theo, ta nhắc lại khái niệm chuyển động Brown và một số tính chất cơ

ban của tích phân ngẫu nhiên được sử dụng trong Chương 2 của luận án.

Định nghĩa 1.38 ({8]) Một chuyển động Brown là quá trình ngẫu nhiên giá trị

thực thích nghi được và liên tục (continuous adapted) (B(t),t > 0) thỏa man:

(i) B(O) = 0;

(ii) Với mọi 0 < s < t, B(t) — B(s) độc lập với F,;

(iii) Với mọi 0 < s < t, B(t) — B(s) có phân phối là N(0,t — s)

trong đó F, = ơ{P(u) — B(v);u,v < s}.

Theo [47, Dinh nghĩa 3.1.4], ta ký hiệu V = V(S,T) là một tập hợp gồm các

hàm

h(t,w) : [0,00) x NR

thoa man:

(i) (t,w) > h(t,w) là Bx F-do được, trong đó B là ø-đại số Borel trên |0, co)

(ii) A(t,w) là F,-thich nghĩ.

Kết luận chương 1

Trong Chương 1, luận án đã giải quyết được các vấn đề sau:

e Trình bày các khái niệm cần thiết, các kết quả quan trọng được sử dụng

trong các chương sau.

e Dưa ra các định nghĩa về biến ngẫu nhiên, toán tử ngẫu nhiên trên không

gian Banach khả li, các loại hội tụ của toán tử ngẫu nhiên.

e Dưa ra các định nghĩa về kì vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên, tích

phân Itô của hàm ngẫu nhiên trên không gian Hilbert, đồng cấu ngẫu

nhiên trên không gian Banach xác suất, phép tính vi tích phân trên không

gian Banach xác suất, định nghĩa về không gian Banach xác suất, và các

ví dụ, tính chất quan trong

27

CHƯƠNG 2

SỰ HOI TU CUA MARTINGALE TOÁN TỬ

VÀ SU TON TAI CUA ĐA TAP QUAN TÍNH

TRUNG BINH BINH PHƯƠNG

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bay hai van đề của giải tích ngẫu nhiên

trên không gian Banach Một là, thiết lập các điều kiện để dãy martingale toán

tử ngẫu nhiên bị chặn và thác triển của nó hội tụ hầu chắc chắn và hội tụ trong

Lạ Kết quả nay đã được đăng trong [1] (danh mục các công trình khoa học liên

quan tới luận án).

Hai là, xây dựng khái niệm “đa tạp quán tính trung bình bình phương”, tìm điều

kiện đảm bảo cho sự tồn tại của nó đối với một lớp các phương trình vi phân

ngẫu nhiên tựa tuyến tính trên một không gian Hilbert thực khả li Kết quả này

đã được đăng trong [2] (danh mục các công trình liên quan đến luận án)

2.1 Sự hội tụ của martingale các toán tử ngẫu nhiên bị

chặn

2.1.1 Giới thiệu bài toán

Cho (O,.Z,P) là một không gian xác suất đầy đủ và X,Y là các không gianBanach khả li Ánh xạ ®: Q x X > Y được gọi là một toán tử ngẫu nhiên nếuvới mỗi x € X ánh xạ œ +> ®(œ, x) là một biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong Y

(hay ngắn gọn là: Y-giá trị) Nói cách khác, ® có thể được xem như là một ánh

28

xạ ®: X + Lÿ(©), trong đó Lÿ (©) là không gian các biến ngẫu nhiên Y-giá trị với tô po hội tụ theo xác suất Nếu toán tử ngẫu nhiên A: X > L} (0)

tuyến tính và liên tục thì 4 được gọi là toán tử tuyến tính ngẫu nhiên Tập hợp

gồm tất cả các toán tử tuyến tính ngẫu nhiên A: X > Lễ (Q) được ký hiệu là

L(O,X.Y).

Việc nghiên cứu các toán tử ngẫu nhiên không chỉ mang ý nghĩa là sự mởrộng của các toán tử tất định mà còn vì những ứng dụng rộng rãi của nó và

được nghiên cứu theo nhiều hướng khác nhau Chang hạn: định lý điểm bất

động ngẫu nhiên đối với các toán tử ngẫu nhiên, phương trình vi phân ngẫunhiên, toán tử tuyến tính ngẫu nhiên (xem [59]-[63]) Trong đó, định lý giới hạnmartingale luôn nhận được sự quan tâm đặc biệt của nhiều nhà Toán học và đã

có nhiều kết quả được công bố (xem [23, 53, 54, 55] và các tài liệu trích dẫn đikèm).

Định lý giới hạn dạng tích lần đầu tiên được giới thiệu bởi Bellman khi

nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của tích

Anø(0) = Xn(w)Xn-1(w) X1(w)

trong đó (X;) là một dãy dừng các ma tran cấp k x k Bellman đã chi chỉ ra

rằng, nếu (X;) độc lập và có một số phần tử dương thì với một số điều cụ thể được đưa ra, luật nhân yếu của các số lớn có thể được phát biểu như sau: “nếu

Aa(0) = (a;()) thì lim a;;(w)/n tồn tại h.c.c” Việc nghiên cứu dáng điệu của

tích cá ma trận có ý nghĩa quan trọng trong phân tích dáng điệu hội tụ của

nghiệm của hệ các phương trình vi phân và sai phân có hệ số ngẫu nhiên (xem[41] và các tài liệu trích dẫn đi kèm) Gần đây, Thang, Son [60] đã thu được kếtquả về sự hội tu của tích các toán tử tuyến tính ngẫu nhiên {U„} và {V„} lần

lượt có dạng

Un = (I+ An) + Aa—) (T+ 42) + A1)

Vp = (24 Ai)(T+ 42) (T+ An1)(I + An)

trong đó {A„,m € N} C L(O, X;X) là day các toán tử ngẫu nhiên tuyến tinh

29

độc lập và 7 là toán tử đơn vị Ta có thể kiểm tra được {U„,.Z„} là một

martingale các toán tử với F, = o{Aj,i < n}.

Trong mục này, chúng tôi giới thiệu và phát biểu các định lý về giới hạn đối

với martigale các toán tử ngẫu nhiên bị chặn.

2.1.2 Sự hội tụ của martingale các toán tử ngẫu nhiên bị chặn

Cho {A;,t > 0} martingale các toán tử ngẫu nhiên bị chặn từ X vào X Khi

đó tồn tại các ánh xạ T; : O —> L(X; X) sao cho

Aiz(0) = T¡(œ)+ h.c.c.

Hơn nữa, ta có:

Định lý 2.1 Giả sử X có tính chất Radon-Nikodym, p > 1 va {A4¿,t > 0} là

martingale các toán tử ngẫu nhiên bt chặn từ X uào X Khi đó:

i) ||7:(.)|| (t > 0) là các biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực

it) Nếu

sup E||Ti|| < 00

t>0

thì ton tại một toán tử ngẫu nhiên bị chặn A sao cho {A;,t > 0} hội tụ h.c

c tới A khí t > co Hơn nữa, |[T:|| cũng hội tụ h.c.c khí t > oo.

Chứng minh i) Với mỗi t > 0, giả sử {z,,n > 0} là một day trù mật trong

hình cầu đơn vị {x € X : ||z|| = 1} Khi đó, với mọi w € 2 ta có

Ii(2)|Ì = sup |[i(2)3n ||:

n>1

30

Mặt khác, do

A,x(w) = 1¡()z h.e.c,

nên tồn tai một tập D có xác suất bằng 1 sao cho với mỗi w € D,

A:tn(w) = Ti(w)an, với mọi n€ Ñ.

Cố định w € D ta được

Ii«2)||[ = sup |[i(42)#s|[ = sup || Ar(w) an]

n>1 n>1

Nhu vay, ||7;|| ( > 0) là các biến ngẫu nhiên giá trị thực

Với mỗi x € X, ta có El] Ayx|| < E|7:|lllzl| nên

sup E||4;z|| < ||x|| sup El|Z;|| < oo,

t>0 t>0

và do đó Ax € L*(Q), A;z 4 Ax h.c.c Hơn nữa,

sup Ell 7i|

I7:II— € < ||Tsal] = Asal

= ||E(4/4|Z:)|| < E(||Acall| 4s) < E(|Till| 4s).

Cho c — 0, ta được

ll7:|| < E(||Til|| Fs) với mọi £> s > 0.

Suy ra {||7;(œ)||,£ € Ñ} là một martingale dưới thực Do đó, từ

sup E||Til| < s

t>0

ta thay ||7;|| hoi tụ h.c.c

j1

iii) Với x € X, ta có E|L4,z|f?P < E|J7:|P|l+||P, do đó

sup E|| Aya||? < llz|| sup E||7;||? <

Dinh lý 2.2 Giá sử X là không gian có tính chất Radon-Nikodym, p > 1,

{4¿,£ > 0} là martingale các toán tử ngẫu nhiên bị chặn từ X vao X Khi đó:

¡) Nếu

supE|(fi||< s

t>0

thi ton tại một toán tử ngẫu nhiên bị chặn A sao cho {A;u,t > 0} hội tụ

theo zác suất tới Au khi t + co tới moi u € Le (Q).

it) Nếu

supE|lfi|f<, (g>1),

t>0

thi ton tại một toán tử ngẫu nhiên bị chặn A sao cho {A;u,t > 0} hội tụ

trong L„(q > r > 1) tới Au khit + co uới mợi u € L2 (Q,.Zo) mà -+== 1,

Pod

trong đó Fo = ø(An).

Chứng minh Ta đặt

B.x(u) := Aiz(0) — Az(0) = (T¡() — T())# := 1 (w)a

Theo bo đề 1.4, 4;() = T¡(œ)(u(œ)) h.e.c

và Au(w) = T(w)(u(w)) h.c.e

Nén

Đầu tiên ta xét u(w) là biến ngẫu nhiên đơn giản X-giá trị, ta sẽ chứngminh rằng

Nếu u € Le (w), với mỗi h > 0,€ > 0 Bởi họ {||7;||,£ > 0} bị chặn theo xác

suất nên tồn tại r > 0 sao cho

sup P(||T;|| > h/2r) < €/3

t>0

Lay up là một biến ngẫu nhiên đơn giản X-giá trị sao cho

P(llu — uol] > h) < e/3.

Hon nữa (2.1) thì tồn tại > 0 và với mọi t > to,

P(|„ul| > h/2) < €/3

Ta có với mọi t > to,

P(||Biul| > h) <

< P(|Bi(u — 02)|| = h/2) + P(Biual| > h/2)

< P(J7i|llu — vol] 2 h/2) + P(|B,ual|| > h/2)

< supP([ñill > h/2r) + P(||u — voll 2 r)

¿>0

+P(|P,ua|| > h/2)

<e/3+e/3+e/3=e

33

Vậy nên Á;u > Au trong Tự.

2.2 Đa tạp quan tính trung bình bình phương

2.2.1 Giới thiệu bài toán

Năm 1985 trong [76], Foias, Sell và Temam xét một lớp các phương trình

tiến hóa phi tuyến dạng

Giả thiết 2.3 Toán tử A là một toán tử tự liên hợp, xác định dương có phổ rời

rac thoa man

0<Ài¡ <À:¿< , trong đó mỗi giá trị có bội hữu han va Jim Ap = œ.

00

Hon nữa, giả sử {ex}, là một cơ sở trực chuẩn của H bao gồm các ham riêng

tương ứng của A túc là, Ae, = Aner.

Khi đó S(t) : u(0) > u(t) là một nửa nhóm toán tử xác định bởi nghiệm của phương trình (2.2) Khái niệm đa tạp quán tính được Foias, Sell và Temam giới

thiệu là tập W C H thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) Z là da tạp Lipschitz hữu hạn chiều;

(ii) ⁄Z bất biến, nghĩa là S().Z € Z với mọi t > 0;

(iii) „Z hút cấp mũ mọi nghiệm của phương trình (2.2) theo nghĩa

dist (S(t)uo, W@) +0, khi t > oo.

Từ các điều kiện trên, ta nhận thay rằng nếu đa tạp quán tinh tồn tai thi nócho phép thu gọn việc nghiên cứu tính chất định tính nghiệm của những phươngtrình đạo hàm riêng phức tạp (dưới dạng các phương trình vi phân trừu tượngtrên các không gian vô hạn chiều) về những phương trình vi phân thường hữuhạn chiều đơn giản hơn trên các đa tạp quán tính Với ý nghĩa đó, việc nghiêncứu sự tồn tại đa tạp quán tính đã nhận được sự quan tâm của nhiều nhà toán

học.

Khái niệm đa tạp quán tính đã được mở rộng và bằng các phương pháp

khác nhau (phương pháp Hadamard, phương pháp Lyapunov - Perron, phương

pháp chính quy elliptic), các nhà toán học đã chỉ ra sự tồn tại đa tạp quán tính

đối với nhiều lớp phương trình vi phân tất định khác nhau Chẳng hạn: một

số dạng điều chỉnh của phương trình Navier - Stokes [27, 73], phương trình vi

phan dao hàm riêng tổng quát [5, 16], phương trình phan ứng khuếch tan, tiêu hao [43, 48, 74], phương trình nửa tuyến tính dạng tổng quát [12, 39, 42],

35

Đặc biệt, khái niệm đa tạp quán tính đã được thay đổi và mở rộng cho các lớp

phương trình vi phan ngẫu nhiên (xem [1, 4, 11, 14, 15, 17, 50, 64]).

Mục tiêu trong phần này của luận án là mở rộng các kết quả trên cho các

phương trình vi phân ngẫu nhiên trên các không gian xác suất, cụ thể là trên

không gian Hilbert khả li H và không gian xác suất (O,.Z,P) được trang bị bộ

lọc (¥;), Ta ký hiệu £47(Q) là không gian gồm các biến ngẫu nhiên H-gid trị

thỏa mãn

El|u|? = / Iu|24P < +5,

với chuẩn

IIzlls = (E||ullf)

Tiếp theo, ta giả sử H là một không gian Hilbert vô hạn chiều khả li va

4:2(A)C H > H thỏa mãn Giả thiết 2.3 Khi đó

oe)

(vp, ener và |||” = À `|(,ee)|, Var € H.

i Mae> ll 1

Mat khac

rEGA >> (a, ex) |

Ax = So Au (a, exer: Vr € GA).