chủ đề 5 nhìn vấn đề theo quan điểm cực trị

Vídụ1.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = 3x3− 4x2+ 2x − 4 − |x3− 2x2+ 6x − 6| trên miền [−10 10; ].Giải:

Vídụ2.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = cosx+ sinx − |3 cos + sinx − 1|.x

Giải:

Đặt f(x) = (cosx + sinx)+(3 cosx + sinx − 1)=4 cosx + 2 sinx − 1

và g(x) = (cosx + sinx) − (3 cosx + sinx − 1)=−2 cosx + 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm:

a) y = sin3x + 2 sinx − | sin x − sinx − |3 1

Đặt: f(x) = (sin3x + 2 sinx) + (sin x − sinx − )=2 sin x + sinx −3 1 3 1

= 2(−4 sin3x + 3 sinx) + sinx − 1 = −8sin3x + 7 sinx − 1

và g(x) = (sin3x + 2 sinx) − (sin x − sinx − )=3 sinx +3 1 1

12 ∈ [−1 1; ]

√42

12 ∈ [−1 1; ]

Ta có bảng biến thiên của f(t) trên đoạn [-1;1] như sau:

√42

√

−18 + 7√4218

−2Suy ra: minf (x)= min

t∈[−1 1 ; ]f (t)=−2

Ta có: −2 ≤ 3 sinx + 1 ≤4

b) y =cos x +sin x − sin2x − | cos x +sin x − 3 sin x − |2 1

Đặt f(x) =(cos4x +sin4x − sin2x)+(cos6x+sin6x − 3 sin x −2 1

Ta có: f′

2t − 4 < 0, ∀t ∈ [−1 1; ]

⇒ f(t) nghịch biến trên đoạn [-1;1]

Suy ra:minf (x)= min

t∈[−1;1]f (t)=f (1)=−17 4

g′

(t)=1

2t + 2 > 0, ∀t ∈ [−1; 1]

⇒ g(x) đồng biến trên đoạn [-1;1]

Suy ra: ming(x)= min

t∈[−1;1]g(t)=g(−1)=−3 4

Vậy: miny =−174