(Luận án tiến sĩ) Phát Triển Năng Lực Toán Học Của Sinh Viên Trong Chủ Đề Đạo Hàm Và Tích Phân Thông Qua Dạy Học Toán Theo Bối Cảnh

DANH MĂC CÁC CHĀ VI¾T TÌT AAC&U : Hiáp hội các tr°ßng Cao đẳng và Đại học Mỹ The American Association of Colleges and Universities BTTBC : Bài toán theo bái cảnh Contextual problem CO

Đ¾I HÌC HU¾ TR¯æNG Đ¾I HÌC S¯ PH¾M

NGUYÄN THÊ MAI THĄY

PHÁT TRIÂN NNG LĂC TOÁN HÌC CĄA SINH VIÊN

TRONG CHĄ ĐÀ Đ¾O HÀM VÀ TÍCH PHÂN

THÔNG QUA D¾Y HÌC TOÁN THEO BàI CÀNH

LUÊN ÁN TI¾N S)

LÝ LUÊN VÀ PH¯¡NG PHÁP D¾Y HÌC Bâ MÔN TOÁN HÌC

Hu¿, 2023

Đ¾I HÌC HU¾ TR¯æNG Đ¾I HÌC S¯ PH¾M

NGUYÄN THÊ MAI THĄY

PHÁT TRIÂN NNG LĂC TOÁN HÌC CĄA SINH VIÊN

TRONG CHĄ ĐÀ Đ¾O HÀM VÀ TÍCH PHÂN

THÔNG QUA D¾Y HÌC TOÁN THEO BàI CÀNH

Ngành: Lý luËn và ph°¢ng pháp d¿y hÍc bã môn Toán hÍc

LæI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cāu do tôi thāc hián Các sá liáu và kết quả trình bày trong luận án là trung thāc và ch°a đ°ợc công bá bái b¿t kỳ tác giả nào hay á b¿t kỳ công trình nghiên cāu nào khác

Tác giả

NguyÅn ThË Mai Thąy

LæI CÀM ¡N

Tác giả xin gửi lßi cảm ¡n đến quý ThÁy Cô giáo thuộc Khoa Toán Tr°ßng Đại học S° phạm – Đại học Huế, Tr°ßng Đại học S° Phạm - Đại học Đà Nẵng, Tr°ßng Cao đẳng Kinh Tế - Kế hoạch Đà Nẵng, Khoa Giáo dục Tiáu học Tr°ßng Đại học S° Phạm - Đại học Đà Nẵng, Phòng Đào tạo Sau đại học Tr°ßng Đại học S° phạm - Đại học Huế đã hỗ trợ, giúp đỡ, tạo đißu kián thuận lợi trong thßi gian tác giả làm nghiên cāu sinh cũng nh° đã đ°a ra nhÿng góp ý quý báu trong quá trình tác giả

thāc hián luận án

Đặc biát, tác giả xin bày tß lòng biết ¡n sâu sắc đến các ThÁy Cô h°ớng dẫn, ThÁy giáo cá PGS.TS TrÁn Vui, ThÁy PGS.TS TrÁn Dũng và Cô TS Nguyßn Thị Duyến đã tận tâm h°ớng dẫn, dìu dắt tác giả trong suát thßi gian qua

Tác giả xin trân trọng cảm ¡n sā hợp tác và giúp đỡ từ phía Ban Giám hiáu,

Tổ Toán, giảng viên, và sinh viên Tr°ßng Đại học FPT Đà Nẵng, Tr°ßng Đại học Kinh tế – Đại học Đà Nẵng, Tr°ßng Đại học S° Phạm – Đại học Đà Nẵng trong thßi gian tác giả tổ chāc thāc nghiám đß tài

Cuái cùng, tác giả xin chân thành cảm ¡n các ThÁy Cô giáo, bạn bè và gia đình luôn động viên, giúp đỡ đá tác giả hoàn thành luận án này

Tác giả cũng r¿t mong nhận đ°ợc nhÿng ý kiến đóng góp đá tiếp tục hoàn thián

và nâng cao ch¿t l°ợng v¿n đß nghiên cāu

Tác giả

NguyÅn ThË Mai Thąy

DANH MĂC CÁC CHĀ VI¾T TÌT

AAC&U : Hiáp hội các tr°ßng Cao đẳng và Đại học Mỹ

(The American Association of Colleges and Universities)

BTTBC : Bài toán theo bái cảnh (Contextual problem)

CORD : Trung tâm Nghiên cāu và Phát trián Nghß nghiáp Mỹ

(Center for Occupational Research and Development)

CTL : Dạy học theo bái cảnh (Contextual teaching and learning)

DHTTBC

ĐH

: Dạy học toán theo bái cảnh : Đạo hàm

GQVĐ : Giải quyết v¿n đß toán học (Mathematical problem solving)

GQVĐTBC : Giải quyết v¿n đß theo bái cảnh

GV : Giảng viên/Giáo viên

KN : Khái niám

KOM : Dā án KOM cÿa Đan Mạch

(Competencies and the Learning of Mathematics)

ICT : Công nghá thông tin và truyßn thông

(Information and Communications Technology)

MHH : Mô hình hóa toán học (Mathematical modeling)

NH : Ng°ßi học

NL : Năng lāc

NLTH : Năng lāc toán học

NRC : Hội đồng Nghiên cāu Quác gia cÿa Mỹ

(National Research Council)

OECD : Tổ chāc Hợp tác và Phát trián Kinh tế

(Organization for Economic Cooperation and Development)

PISA : Ch°¡ng trình Đánh giá Học sinh Quác tế

(Programme for International Student Assessment)

REACT : Ph°¡ng án học theo bái cảnh REACT

(Relating - Experiencing - Applying - Cooperating - Transferring)

RME : Giáo dục Toán thāc (Realistic Mathematics Education)

SV : Sinh viên

THH : Toán học hóa (Mathematisation/Mathematization)

TP : Tích phân

DANH MĂC CÁC BÀNG

BÁng 2.1 Các khía cạnh đánh giá hiáu biết toán trong các khuôn khổ PISA 15

BÁng 2.2 Phân loại bài toán theo bái cảnh 26

BÁng 2.3 Quá trình giải quyết v¿n đß theo bái cảnh 28

BÁng 2.4 Các năng lāc thành phÁn cÿa năng lāc giải quyết v¿n đß theo bái cảnh 32

BÁng 3.1 Ma trận kiám tra các đặc điám cÿa hiáu khái niám đạo hàm, tích phân 46

BÁng 3.2 Mã hóa các năng lāc thành phÁn cÿa NL GQVĐTBC 47

BÁng 3.3 Công cụ đo NLTH trong chÿ đß đạo hàm và tích phân á phiếu kiám tra 48 BÁng 3.4 Các đặc điám cÿa hiáu KN TP thá hián qua giải thích cÿa Bài toán 1 50

BÁng 3.5 Các đặc điám cÿa hiáu KN ĐH thá hián qua giải pháp 1 cÿa Bài toán 11 51

BÁng 3.6 Các đặc điám cÿa hiáu KN ĐH thá hián qua giải pháp 2 cÿa Bài toán 11 53

BÁng 3.7 Nợ công cÿa Viát Nam từ năm 2010 đến 2021 53

BÁng 3.8 NL GQVĐTBC thá hián qua Bài toán 11 cÿa phiếu kiám tra đÁu vào 56

BÁng 3.9 Phân tích tiên nghiám dā án 60

BÁng 3.10 Kế hoạch thāc nghiám đái với lớp thāc nghiám từ 09/05 - 24/07/2022 62 BÁng 3.11 Kế hoạch tổ chāc thāc nghiám dạy học đái với mỗi BTTBC 63

BÁng 3.12 Ph°¡ng án REACT dạy học khái niám tích phân 64

BÁng 3.13 Rubric đánh giá trình bày dā án 65

BÁng 3.14 Kế hoạch thāc nghiám đái với lớp đái chāng từ 09/05 – 24/07/2022 66

BÁng 3.15 Mã hóa các māc độ hiáu KN ĐH/TP cÿa sinh viên trong phiếu kiám tra đÁu vào và đÁu ra 66

BÁng 3.16 Mã hóa các māc độ hiáu khái niám TP cÿa sinh viên trong Bài toán 1 cÿa phiếu kiám tra đÁu vào 67

BÁng 3.17 Mã hóa các māc độ hiáu khái niám ĐH cÿa sinh viên trong Bài toán 13 cÿa phiếu kiám tra đÁu ra 69

BÁng 3.18 Rubric đánh giá năng lāc giải quyết v¿n đß theo bái cảnh 73

BÁng 3.19 Đánh giá NL GQVĐTBC thá hián trong bài làm cÿa SV 1 78

BÁng 3.20 Thu thập và phân tích dÿ liáu 80

BÁng 4.1 Các thành phÁn cÿa dạy học toán theo bái cảnh 81

BÁng 4.2 Các BTTBC sử dụng trong ph°¡ng án REACT với chÿ đß đạo hàm 87

BÁng 4.3 Các BTTBC sử dụng trong ph°¡ng án REACT với chÿ đß tích phân 88

BÁng 4.4 Liên kết 1 trong Ph°¡ng án REACT dạy học chÿ đß đạo hàm 89

BÁng 4.5 Liên kết 2 trong Ph°¡ng án REACT dạy học chÿ đß đạo hàm 90

BÁng 4.6 Liên kết 3 trong Ph°¡ng án REACT dạy học chÿ đß đạo hàm 90

BÁng 4.7 Trải nghiám trong Ph°¡ng án REACT dạy học chÿ đß đạo hàm 91

BÁng 4.8 Áp dụng trong Ph°¡ng án REACT dạy học chÿ đß đạo hàm 91

BÁng 4.9 Hợp tác trong Ph°¡ng án REACT dạy học chÿ đß đạo hàm 92

BÁng 4.10 Chuyán đổi trong Ph°¡ng án REACT dạy học chÿ đß đạo hàm 92

BÁng 4.11 Liên kết trong Ph°¡ng án REACT dạy học chÿ đß tích phân 93

BÁng 4.12 Trải nghiám trong Ph°¡ng án REACT dạy học chÿ đß tích phân 93

BÁng 4.13 Áp dụng trong Ph°¡ng án REACT dạy học chÿ đß tích phân 94

BÁng 4.14 Hợp tác trong Ph°¡ng án REACT dạy học chÿ đß tích phân 96

BÁng 4.15 Chuyán đổi trong Ph°¡ng án REACT dạy học chÿ đß tích phân 96

BÁng 4.16 Quy trình tổ chāc dạy học dā án 97

BÁng 4.17 Điám hiáu KN ĐH, TP trung bình đÁu vào 98

BÁng 4.18 Điám hiáu KN trong phiếu kiám tra đÁu vào 99

BÁng 4.19 Kết quả kiám định sā bằng nhau cÿa hai ph°¡ng sai 100

BÁng 4.20 Kết quả kiám định sā bằng nhau cÿa hai trung bình 100

BÁng 4.21 Điám NL GQVĐTBC trung bình đÁu vào 100

BÁng 4.22 Điám NL GQVĐTBC trong phiếu kiám tra đÁu vào 101

BÁng 4.23 Kết quả kiám định sā bằng nhau cÿa hai ph°¡ng sai 102

BÁng 4.24 Kết quả kiám định giả thuyết vß sā bằng nhau cÿa hai trung bình 102

BÁng 4.25 Điám hiáu KN ĐH, TP trung bình đÁu ra 103

BÁng 4.26 Điám hiáu KN trong phiếu kiám tra đÁu ra 103

BÁng 4.27 Kết quả kiám định sā bằng nhau cÿa hai ph°¡ng sai 104

BÁng 4.28 Kết quả kiám định giả thuyết vß sā bằng nhau cÿa hai trung bình 104

BÁng 4.29 Điám NL GQVĐTBC trung bình đÁu ra 105

BÁng 4.30 Điám NL GQVĐTBC trong phiếu kiám tra đÁu ra 105

BÁng 4.31 Kết quả kiám định sā bằng nhau cÿa hai ph°¡ng sai 106

BÁng 4.32 Kết quả kiám định giả thuyết vß sā bằng nhau cÿa hai trung bình 106

BÁng 4.33 Điám hiáu KN cÿa SV lớp thāc nghiám trong phiếu kiám tra đÁu vào và đÁu ra 107

BÁng 4.34 Kết quả kiám định giả thuyết vß sā bằng nhau theo cặp cÿa điám hiáu KN cÿa SV lớp thāc nghiám tr°ớc và sau tác động 108

BÁng 4.35 Điám NL GQVĐTBC cÿa SV lớp thāc nghiám trong phiếu kiám tra đÁu vào và đÁu ra 108

BÁng 4.36 Kết quả kiám định giả thuyết vß sā bằng nhau theo cặp cÿa điám NL GQVĐTBC cÿa SV lớp thāc nghiám tr°ớc và sau tác động 109

BÁng 4.37 Các māc mã hóa hiáu KN cÿa lớp thāc nghiám 110

BÁng 4.38 Các māc mã hóa hiáu KN đạo hàm cÿa lớp thāc nghiám 111

BÁng 4.39 Các māc mã hóa hiáu KN tích phân cÿa SV lớp thāc nghiám 116

Điám NL GQVĐTBC cÿa các nhóm thá hián qua dā án cho bái Bảng 4.40 127

BÁng 4.40 Điám NL GQVĐTBC cÿa các nhóm thá hián qua dā án 127

DANH MĂC CÁC HÌNH

Hình 2.1 C¿u trúc cÿa năng lāc cÿa Hoàng Hòa Bình (2015) 13

Hình 2.2 Các thành tá cÿa năng lāc toán học (đ°ợc đißu chỉnh từ NRC, 2001) 19

Hình 2.3 Quá trình MHH cÿa Blum và Leiß (2007) 22

Hình 2.4 Quá trình mô hình hóa toán học với thế giới công nghá 23

Hình 2.5 Quá trình mô hình hóa toán học d°ới tác động cÿa công nghá 23

Hình 2.6 Đồ thị hàm f(x) 26

Hình 2.7 Đồ thị hàm I U ( ) 27

Hình 2.8 Mô hình dạy học toán theo bái cảnh 38

Hình 3.1 Kết quả từ phÁn mßm Graph cÿa Giải pháp 1 52

Hình 3.2 Kết quả từ phÁn mßm Graph cÿa Giải pháp 2 54

Hình 3.3 Kết quả từ phÁn mßm Graph cÿa Giải pháp 3 55

Hình 3.4 Thiết kế quá trình thāc nghiám 61

Hình 3.5 Bài làm cÿa SV 1 trong Bài toán 13 đÁu ra 77

Hình 4.1 Ph°¡ng án học theo bái cảnh REACT 84

Hình 4.2 Điám hiáu KN trong phiếu kiám tra đÁu vào 99

Hình 4.3 Điám NL GQVĐTBC trong phiếu kiám tra đÁu vào 101

Hình 4.4 Điám hiáu KN trong phiếu kiám tra đÁu ra 103

Hình 4.5 Điám NL GQVĐTBC trong phiếu kiám tra đÁu ra 105

Hình 4.6 Điám hiáu KN cÿa SV lớp thāc nghiám trong phiếu kiám tra đÁu vào và đÁu ra 107

Hình 4.7 Điám NL GQVĐTBC cÿa SV lớp thāc nghiám trong phiếu kiám tra đÁu vào và đÁu ra 109

Hình 4.8 Bài làm cÿa SV trong Bài toán 10 cÿa phiếu kiám tra đÁu ra 112

Hình 4.9 Bài làm cÿa SV trong Bài toán 12 cÿa phiếu kiám tra đÁu vào 113

Hình 4.10 Bài làm cÿa SV trong Bài toán 12 cÿa phiếu kiám tra đÁu ra 114

Hình 4.11 Bài làm cÿa SV trong Bài toán 9 cÿa phiếu kiám tra đÁu vào 115

Hình 4.12 Bài làm cÿa SV trong Bài toán 9 cÿa phiếu kiám tra đÁu ra 115

Hình 4.13 Bài làm cÿa SV trong Bài toán 1 cÿa phiếu kiám tra đÁu vào 117

Hình 4.14 Bài làm cÿa SV trong Bài toán 1 cÿa phiếu kiám tra đÁu ra 117

Hình 4.15 Điám TB NL GQVĐTBC thành phÁn cÿa SV lớp thāc nghiám đÁu vào và đÁu ra 117

Hình 4.16 Bài làm cÿa SV trong Bài toán 13 đÁu vào 118

Hình 4.17 Bài làm cÿa SV trong Bài toán 13 đÁu vào 119

Hình 4.18 Bài làm cÿa SV trong Bài toán 13 đÁu ra 121

Hình 4.19 Bài làm cÿa SV trong Bài toán 13 đÁu ra 122

Hình 4.20 Bài làm cÿa SV trong Bài toán 14 đÁu vào 123

Hình 4.21 Bài làm cÿa SV trong Bài toán 14 đÁu ra 123

Hình 4.22 Bài làm cÿa SV trong Bài toán 13 đÁu ra 124

Hình 4.23 Bài làm cÿa SV trong Bài toán 14 đÁu vào 125

Hình 4.24 Bài làm cÿa SV trong Bài toán 14 đÁu ra 125

Hình 4.25 Bài làm cÿa SV trong Bài toán 14 đÁu ra 126

Hình 4.26 Bài báo cáo cÿa nhóm Fibonacci 127

Hình 4.27 Bài báo cáo cÿa nhóm Rainbow 131

Hình 4.28 Bài báo cáo cÿa nhóm Hay Ho 133

Hình 4.29 Bài báo cáo cÿa nhóm Xiaomi 133

Hình 4.30 Bài báo cáo cÿa nhóm Power of Pytago 134

Hình 4.31 Bài báo cáo cÿa nhóm Power of Pytago 135

Hình 4.32 Bài báo cáo cÿa nhóm Power of Pytago 136

MĂC LĂC

CH¯¡NG 1 Đ¾T VÂN ĐÀ NGHIÊN CĆU 1

1.1 TÁm quan trọng cÿa năng lāc toán học 1

1.2 Khó khăn cÿa sinh viên trong thá hián năng lāc toán học và nghiên cāu vß phát trián năng lāc toán học cÿa sinh viên trong nội dung đạo hàm và tích phân 2

1.3 Nghiên cāu vß ch°¡ng trình và chuẩn đÁu ra liên quan đến đạo hàm và tích phân trong Giáo dục đại học á Viát Nam 5

1.4 Tißm năng cÿa dạy học theo bái cảnh trong phát trián năng lāc toán học cÿa

sinh viên 6

1.5 Đặt v¿n đß nghiên cāu 9

Tiáu kết Ch°¡ng 1 10

CH¯¡NG 2 KHUNG LÝ THUY¾T THAM CHI¾U 11

2.1 Năng lāc toán học 11

2.1.1 Khái niám năng lāc 11

2.1.2 Một sá quan điám vß năng lāc toán học 13

2.1.2.1 Quan điám cÿa Dā án KOM 13

2.1.2.2 Quan điám cÿa PISA 15

2.1.2.3 Quan điám cÿa Hội đồng Nghiên cāu Quác gia Mỹ 16

2.1.2.4 Quan điám cÿa Ch°¡ng trình Giáo dục phổ thông Viát Nam

năm 2018 17

2.2 Giải quyết v¿n đß theo bái cảnh 20

2.2.1 Giải quyết v¿n đß 20

2.2.2 Mô hình hóa toán học 21

2.2.3 Bái cảnh và bài toán theo bái cảnh 24

2.2.4 Quan niám vß quá trình giải quyết v¿n đß theo bái cảnh 28

2.2.5 Hỗ trợ quá trình giải quyết v¿n đß theo bái cảnh 29

2.2.6 Năng lāc giải quyết v¿n đß theo bái cảnh 31

2.3 Hiáu khái niám 33

2.3.1 Các quan niám vß hiáu khái niám 33

2.3.2 Đánh giá hiáu khái niám 34

2.4 Dạy học theo bái cảnh 35

2.4.1 Khái niám dạy học theo bái cảnh 35

2.4.2 Các thành phÁn cÿa dạy học theo bái cảnh 36

2.4.3 Dạy học toán theo bái cảnh 37

2.5 Ph°¡ng án REACT thāc hián dạy học toán theo bái cảnh 39

2.6 Mái quan há giÿa dạy học toán theo bái cảnh, hiáu khái niám và năng lāc giải quyết v¿n đß theo bái cảnh 40

2.7 Mục tiêu nghiên cāu – Câu hßi nghiên cāu 42

Tiáu kết Ch°¡ng 2 42

CH¯¡NG 3 PH¯¡NG PHÁP NGHIÊN CĆU 44

3.1 Nghiên cāu lý thuyết 44

3.2 Nghiên cāu hỗn hợp 45

3.2.1 Đái t°ợng tham gia nghiên cāu 45

3.2.2 Công cụ nghiên cāu 46

3.2.2.1 Phiếu kiám tra đÁu vào và đÁu ra 46

3.2.2.2 Dā án 59

3.2.3 Quá trình nghiên cāu 61

3.2.3.1 Tác động lên lớp thāc nghiám 62

3.2.3.2 Tác động lên lớp đái chāng 66

3.3 Thu thập và phân tích dÿ liáu 66

3.3.1 Thu thập và phân tích dÿ liáu từ phiếu kiám tra đÁu vào và đÁu ra 66

3.3.2 Thu thập và phân tích dÿ liáu từ dā án 79

Tiáu kết Ch°¡ng 3 79

CH¯¡NG 4 K¾T QUÀ NGHIÊN CĆU 81

4.1 Đặc tr°ng cÿa chÿ đß đạo hàm và tích phân khi đ°ợc thiết kế theo nguyên lý dạy học toán theo bái cảnh với ph°¡ng án REACT 81

4.1.1 Nguyên lý cÿa dạy học toán theo bái cảnh với ph°¡ng án REACT 81

4.1.1.1 Các thành phÁn cÿa dạy học toán theo bái cảnh 81

4.1.1.2 Ph°¡ng án REACT thāc hián dạy học toán theo bái cảnh nhằm nâng cao năng lāc toán học cÿa sinh viên 83

4.1.1.3 Đặc tr°ng cÿa dạy học toán theo bái cảnh với ph°¡ng án REACT nhằm nâng cao năng lāc toán học cÿa sinh viên 84

4.1.2 Đặc tr°ng cÿa thiết kế các bài toán theo bái cảnh trong chÿ đß đạo hàm và tích phân theo nguyên lý dạy học toán theo bái cảnh 85

4.1.3 Đặc tr°ng cÿa viác tổ chāc dạy học chÿ đß đạo hàm và tích phân theo nguyên lý dạy học toán theo bái cảnh với ph°¡ng án REACT 89

4.2 Sā thay đổi trong năng lāc toán học cÿa sinh viên sau khi tham gia vào học chÿ đß đạo hàm và tích phân đã đ°ợc thiết kế 98

4.2.1 Tăng điám hiáu khái niám và điám năng lāc giải quyết v¿n đß theo bái cảnh cÿa sinh viên lớp thāc nghiám 98

4.2.1.1 So sánh hiáu khái niám và năng lāc giải quyết v¿n đß theo bái cảnh cÿa sinh viên lớp đái chāng và thāc nghiám thá hián thông qua phiếu kiám tra

đÁu vào 98

4.2.1.2 So sánh hiáu khái niám và năng lāc giải quyết v¿n đß theo bái cảnh cÿa sinh viên lớp đái chāng và thāc nghiám thá hián thông qua phiếu kiám tra đÁu ra 102

4.2.1.3 So sánh hiáu khái niám và năng lāc giải quyết v¿n đß theo bái cảnh cÿa sinh viên lớp thāc nghiám thá hián thông qua phiếu kiám tra đÁu vào và đÁu ra 107

4.2.2 Phát trián hiáu khái niám và năng lāc giải quyết v¿n đß theo bái cảnh cÿa sinh viên lớp thāc nghiám 110

4.2.2.1 Sā thay đổi trong hiáu khái niám cÿa sinh viên sau khi tham gia vào học chÿ đß đạo hàm và tích phân đã đ°ợc thiết kế 110

4.2.2.2 Sā thay đổi trong năng lāc giải quyết v¿n đß theo bái cảnh cÿa sinh viên sau khi tham gia vào học chÿ đß đạo hàm và tích phân đã đ°ợc thiết kế 117

Tiáu kết Ch°¡ng 4 136

CH¯¡NG 5 K¾T LUÊN VÀ THÀO LUÊN 137

5.1 Kết luận cho các câu hßi nghiên cāu và thảo luận 137

5.1.1 Các đặc tr°ng cÿa chÿ đß đạo hàm và tích phân khi đ°ợc thiết kế theo nguyên lý dạy học toán theo bái cảnh với ph°¡ng án REACT 137

5.1.2 Tác động cÿa viác tham gia vào học chÿ đß đạo hàm và tích phân đã đ°ợc thiết kế đến năng lāc toán học cÿa sinh viên 139

5.1.2.1 Tác động cÿa viác tham gia vào học chÿ đß đạo hàm và tích phân đã đ°ợc thiết kế đến hiáu khái niám cÿa sinh viên 140

5.1.2.2 Tác động cÿa viác tham gia vào học chÿ đß đạo hàm và tích phân đã đ°ợc thiết kế đến năng lāc giải quyết v¿n đß theo bái cảnh cÿa sinh viên 144

5.2 Đóng góp cÿa đß tài 147

5.3 Đß xu¿t 150

5.4 Hạn chế cÿa nghiên cāu và h°ớng phát trián cÿa đß tài 151

DANH MĂC CÔNG TRÌNH KHOA HÌC LIÊN QUAN Đ¾N LUÊN ÁN 153

TÀI LIÆU THAM KHÀO 155 PHĂ LĂC P1

CH¯¡NG 1 Đ¾T VÂN ĐÀ NGHIÊN CĆU

1.1 TÅm quan trÍng cąa nng lăc toán hÍc

Năng lāc toán học (NLTH) đ°ợc nhißu nhà nghiên cāu và các tổ chāc giáo dục quan tâm, phát trián trong suát hai thập kỷ qua trên cả khía cạnh đánh giá và ch°¡ng trình đào tạo cÿa các bậc học Một sá công trình liên quan có thá ká đến nh° Ch°¡ng trình Đánh giá Học sinh Quác tế (Programme for International Student Assessment: PISA) (OECD, 2003; 2009; 2013; 2017; 2018; 2019) cÿa Tổ chāc Hợp tác và Phát trián kinh tế (Organization for Economic Cooperation and Development: OECD);

Dā án KOM cÿa Đan Mạch (Competencies and the Learning of Mathematics: KOM) (Niss & Højgaard, 2011, 2019); Hội đồng Nghiên cāu Quác gia cÿa Mỹ (National Research Council: NRC) (Kilpatrick & cộng sā, 2001) và Ch°¡ng trình Giáo dục phổ thông năm 2018 cÿa Bộ Giáo dục và Đào tạo Viát Nam

Có nhißu tên gọi khác nhau cho năng lāc toán học (mathematical competence) nh° hiáu biết định l°ợng (quantitative literacy), năng lāc tính toán (numeracy), hiáu biết toán (mathematical literacy), thành thạo toán học (mathematical proficiency) Mặc

dù định nghĩa thuật ngÿ năng lāc toán học cũng có sā khác nhau, song t¿t cả đßu đß cập đến một phạm trù rộng h¡n cả kiến thāc, kĩ năng cÿa toán học lý thuyết, toán học thuÁn túy (Niss, 2015)

Có hai khuynh h°ớng đá đ°a ra quan niám vß NLTH Quan niám thā nh¿t dāa trên viác đ°a ra định nghĩa NLTH và từ đó xác định các thành tá cÿa NLTH nh° Dā án KOM cÿa Đan Mạch và Ch°¡ng trình Đánh giá Học sinh Quác tế PISA Quan niám thā hai là tiếp cận nghiên cāu các thành tá cÿa NLTH với hai đại dián là Ch°¡ng trình Giáo dục phổ thông 2018 và Hội đồng Nghiên cāu Quác gia Mỹ NRC Nhìn chung các thành tá cÿa NLTH theo KOM, PISA, Ch°¡ng trình Giáo dục phổ thông 2018 có sā t°¡ng đồng mặc dù vẫn có sā khác nhau trong tên gọi và chúng đ°ợc sắp xếp lại đá thu đ°ợc một tập hợp tổng quát nh¿t, ít thành tá nh¿t mà vẫn hoàn toàn phÿ đ°ợc các hoạt động toán học Các nhà giáo dục toán đßu thừa nhận NLTH ngoài viác bao gồm kiến thāc, kĩ năng toán học, còn có các yếu tá phi nhận thāc nh° hāng thú, nißm tin, ý chí,… Mặc dù không thá phÿ nhận vai trò cÿa các yếu tá phi nhận thāc trong viác hình thành

và phát trián năng lāc toán học, song đá duy trì sā rõ ràng trong phân tích NLTH, dā

án KOM; PISA; Ch°¡ng trình Giáo dục phổ thông 2018 đã loại yếu tá này ra khßi định nghĩa vß NLTH Viác học cũng chịu ảnh h°áng bái động c¡, thái độ, đó là lý do NRC (Kilpatrick & cộng sā, 2001) đã đ°a khuynh h°ớng hÿu ích vào khung NLTH (mathematical proficiency), tạo nên một c¿u trúc đÁy đÿ kiến thāc, kĩ năng, thái độ, nißm tin cÿa NLTH gồm năm thành tá: (a) hiáu khái niám; (b) thành thạo quy trình; (c) năng lāc giải quyết v¿n đß toán học; (d) suy luận; (e) khuynh h°ớng hÿu ích

Trong luận án này, chúng tôi sử dụng đồng nh¿t thuật ngÿ <giải quyết v¿n đß toán học= và <giải quyết v¿n đß= Giải quyết v¿n đß (GQVĐ) là một kĩ năng cÁn cho cuộc sáng và đóng vai trò trung tâm cÿa mọi quá trình học toán (TrÁn Vui, 2014) Hiáp hội các tr°ßng Cao đẳng và Đại học Mỹ (The American Association of Colleges and Universities: AAC&U), Hiáp hội các tr°ßng đào tạo nghß cÿa Mỹ Tech Prep, Trung tâm nghiên cāu và phát trián nghß nghiáp Mỹ (Center for Occupational Research and Development: CORD) nh¿n mạnh vai trò cÿa GQVĐ trong giáo dục toán á bậc cao đẳng, đại học

T°¡ng tā Ch°¡ng trình Giáo dục phổ thông cÿa các n°ớc nh° Úc, New Zealand, Anh, Mỹ, Canada, Nga, Hàn Quác, Trung Quác, Singapore, Ch°¡ng trình môn Toán phổ thông cÿa Viát Nam cũng đã xác định GQVĐ là mục tiêu c¡ bản và trọng tâm cÿa Giáo dục Toán á phổ thông (Đỗ Đāc Thái & cộng sā, 2017; Kaur & Yeap, 2009) Năng lāc GQVĐ trong thế giới thāc là năng lāc (NL) c¡ bản cÁn trang bị cho ng°ßi học đá họ có thá hoạt động nh° một công dân có trách nhiám trong xã hội (Niss & Blum, 2020) Nhißu nhà giáo dục và nghiên cāu gọi tên năng lāc này là năng lāc mô hình hóa toán học Xu h°ớng đ°a mô hình hóa toán học (MHH) vào ch°¡ng trình, sách giáo khoa cÿa các n°ớc trên thế giới ngày càng gia tăng à các n°ớc Đāc, Pháp, Hà Lan, Úc, Mỹ, Thụy Sĩ, MHH là một trong nhÿng năng lāc bắt buộc cÿa chuẩn giáo dục quác gia vß môn toán (Blum và cộng sā, 2007) Các tr°ßng đại học á Thổ Nhĩ Kỳ, Đại học Sydney, Đại học Manchester, Vián toán học cÿa Đại học Oxford cũng quan tâm đ°a MHH trá thành học phÁn giảng dạy cho SV đại học (Arseven, 2015) Nh° vậy viác quan tâm đến NLTH trong đó bao gồm năng lāc MHH là cÁn thiết và phù hợp với xu h°ớng phát trián Giáo dục toán cÿa thế giới và cÿa Viát Nam hián nay, nhằm đạt đ°ợc mục tiêu cÿa Ch°¡ng trình giáo dục môn Toán á mọi bậc học và phát trián khả năng giải quyết các v¿n đß cÿa ng°ßi học (NH) trong bái cảnh học tập, cuộc sáng và nghß nghiáp sau này

1.2 Khó khn cąa sinh viên trong thà hiÇn nng lăc toán hÍc và nghiên cću vÁ phát triÃn nng lăc toán hÍc cąa sinh viên trong nãi dung đ¿o hàm và tích phân

Ng°ßi học vẫn gặp nhißu khó khăn trong thá hián NLTH Theo nghiên cāu cÿa Tran và Dougherty (2014), NH không nhận ra mái liên há giÿa nhÿng v¿n đß toán học mà họ đã đ°ợc học với toán học trong cuộc sáng hàng ngày Đißu này th°ßng gây ra nhÿng khó khăn khi NH giải quyết v¿n đß thāc tế trong cuộc sáng Nghiên cāu cÿa Nguyßn Thị Mai Thÿy (2016, 2017) vß các yếu tá dẫn đến sai lÁm trong toán học hóa (THH) cÿa sinh viên (SV) khi giải quyết các bài toán trong bái cảnh tài chính đã khẳng định rằng các sai lÁm SV mắc phải trong giải quyết các bài toán tài chính c¡ bản chÿ yếu liên quan đến khái niám (KN) toán học và toán tài chính Do đó hiáu nhÁm KN là một trong nhÿng yếu tá c¡ bản dẫn đến sai lÁm cÿa SV trong quá trình giải quyết v¿n đß thāc tế

Nhißu nghiên cāu cũng chỉ ra rằng SV gặp nhißu khó khăn trong viác hiáu sâu sắc khái niám đạo hàm (ĐH) và tích phân (TP) cũng nh° vận dụng chúng trong thāc

tế Illanes và cộng sā (2022) đã tìm hiáu khó khăn cÿa 161 SV kĩ thuật trong viác giải quyết bài toán tìm ĐH tại một điám khi biết đồ thị cÿa hàm sá đó và tọa độ hai điám trên há trục tọa độ ngay sau khi các em vừa học xong tiếp tuyến với một đ°ßng cong

và cách tính há sá góc cÿa tiếp tuyến thông qua x¿p xỉ há sá góc cÿa cát tuyến Kết quả cho th¿y phÁn lớn SV (71%) đã không giải quyết đúng bài toán mặc dù có 56%

SV đã xác định đúng tiếp tuyến với đ°ßng cong đá từ đó có thá tính đ°ợc ĐH cÁn tìm Carlson và cộng sā (2002) đã phát trián khái niám suy luận đồng biến thiên (covariational reasoning) và đß xu¿t một khuôn khổ mô tả các hoạt động trí tuá liên quan đến viác áp dụng suy luận đồng biến thiên khi dißn giải và biáu dißn các hián t°ợng hàm động (dynamic function) Nghiên cāu trên 20 SV đạt điám A trong học phÁn Giải tích á học kì II, kết quả cho th¿y SV d°ßng nh° gặp khó khăn trong viác hình thành các hình ảnh có tác độ thay đổi liên tục và không thá biáu dißn, giải thích chính xác tác độ tăng và giảm trong các tình huáng hàm động Nghiên cāu cÿa Carlson và cộng sā (2010) trong 47 SV đ°a ra đáp án đúng thì chỉ có 9 SV (19,1%)

sử dụng suy luận đồng biến thiên á māc cao nh¿t (māc 5) theo phân loại cÿa Carlson

và cộng sā (2002), là māc mà SV có thá hình thành đ°ợc các hình ảnh chính xác cho tác độ biến thiên tāc thßi đang thay đổi một cách liên tục trong tình huáng hàm động, tāc có thá giải thích đ°ợc chính xác tăng hay giảm với tác độ nh° thế nào trong tình huáng đó, chẳng hạn khi n°ớc đang đ°ợc rót vào bình thì chißu cao cÿa n°ớc trong bình đang tăng với tác độ tăng H¡n nÿa, khi thāc hián các phßng v¿n tiếp theo trên

38 SV còn lại thì vẫn có đến 23 SV (60,5%) không thá giải thích tính lồi lõm cÿa đồ thị chißu cao cÿa n°ớc trong bình liên quan nh° thế nào đến tác độ tăng nhanh, chậm cÿa chißu cao đó theo l°ợng n°ớc trong bình Carlson và cộng sā (2010) đã phát trián công cụ đánh giá các khái niám tißn giải tích (Precalculus Concept Assessment: PCA) với 25 bài toán trắc nghiám và phân bậc t° duy PCA đá đánh giá khả năng suy luận, hiáu khái niám hàm sá, quan điám quá trình cÿa hàm sá và tác độ biến thiên Đißu này mang lại lợi ích cho viác đánh giá SV trong môn Đại sá và Tißn giải tích á đại học, xác định māc độ sẵn sàng cÿa SV đái với môn giải tích và là c¡ sá đá so sánh tính hiáu quả cÿa các ph°¡ng pháp tác động giảng dạy khác nhau Tuy nhiên bộ công

cụ đó đã không đß cập đến nội dung TP, một khái niám quan trọng và có mái liên há mật thiết với ĐH Ngoài ra, trong nghiên cāu trên Carlson và cộng sā (2010) đã đß xu¿t khung lý thuyết đá phát trián công cụ đánh giá gồm bán giai đoạn , nó sẽ là hÿu ích đái với giảng viên (GV) đá có thá xây dāng công cụ đánh giá đáng tin cậy cho nhÿng nội dung khác Nghiên cāu cÿa Lê Thị Bạch Liên (2021) cho th¿y đa sá giáo viên Toán t°¡ng lai còn hạn chế trong viác hiáu KN ĐH, thông qua giải thích ý nghĩa hình học, ý nghĩa vật lý cÿa ĐH và ý nghĩa cÿa ĐH trong kinh tế PhÁn lớn giáo viên

Toán t°¡ng lai có kiến thāc vß mái liên há giÿa ý nghĩa vật lý và ý nghĩa hình học cÿa ĐH đßu á d°ới māc mong đợi, không nhận ra sā x¿p xỉ cÿa ĐH với sá gia cÿa hàm sá khi sá gia cÿa đái sá r¿t bé, không giải thích đ°ợc tại sao chi phí cận biên lại x¿p xỉ ĐH cÿa hàm chi phí sản xu¿t

Tarr và Maharaj (2021) đã sử dụng lý thuyết L°ợc đồ Hành động-Quá trình-Đái t°ợng (Action-Process-Object-Schema: APOS) đá nghiên cāu sā hiáu biết khái niám vß

TP b¿t định trên 39 SV Toán năm thā nh¿t, viác phân tích câu trả lßi bằng văn bản cÿa

SV đái với công cụ nghiên cāu cho th¿y h¡n một nửa sá ng°ßi tham gia thiếu kiến thāc tiên quyết vß khái niám hàm sá, ĐH cÿa hàm sá và quy tắc ĐH cÿa hàm hợp, đồng thßi

sā liên kết giÿa các khái niám đó vẫn còn r¿t hạn chế Kết quả nghiên cāu này đã chỉ ra rằng c¡ chế nhận thāc đảo ng°ợc đá nhận ra bản ch¿t nghịch đảo cÿa ĐH và TP là không nh¿t quán hoặc không có á nhißu SV Burgos và cộng sā (2021) đã đß cập đến bán ý nghĩa cÿa TP đó là (a) đại l°ợng trong hình học, vật lý nh° chißu dài, dián tích, thá tích, khoảng cách, mật độ, công viác,…; (b) giới hạn cÿa tổng Riemann; (c) hàm tích lũy và (d) l°ợng thay đổi cÿa hàm tích lũy Họ đã sử dụng tiếp cận bản thá ký hiáu học Onto-Semiotic Approach (OSA) đá chỉ ra mạng l°ới phāc tạp cÿa các đái t°ợng và quá trình liên quan đến hai ý nghĩa mang tính trāc quan và hình thāc – đại sá đÁu tiên cÿa TP đá

có thá lập kế hoạch giảng dạy và hiáu đ°ợc nhÿng khó khăn cÿa SV khi học TP L°ợc

đồ Hành động-Quá trình-Đái t°ợng APOS và tiếp cận bản thá ký hiáu học OSA mang lại giá trị vß mặt lý thuyết trong viác mô tả đái t°ợng và quá trình cÿa các khái niám, tuy nhiên đôi lúc chúng lại gây khó khăn cho SV khi phải làm viác nhißu trên các kí hiáu mà không phải trên bái cảnh āng dụng thāc tế cÿa khái niám

Nghiên cāu cÿa Serhan (2015) trên 25 SV học học phÁn Giải tích II thông qua phiếu kiám tra cho th¿y SV gặp khó khăn trong hiáu khái niám TP, hạn chế trong xác định giÿa các biáu dißn khác nhau cÿa TP, trong kết nái giÿa các biáu dißn này và không

có SV nào đß cập đến tổng Riemann khi nhắc đến TP mặc dù viác sử dụng nó sẽ nâng cao sā hiáu biết vß mặt c¿u trúc cÿa TP Tokgoz (2016) nghiên cāu trên 17 SV chuyên ngành Toán, Kĩ thuật năm cuái hoặc đã tát nghiáp vß khả năng áp dụng định nghĩa giới hạn cÿa tổng Riemann đá tính TP cÿa f x( ) x2 trên đoạn [1, 2] thông qua bài làm và phßng v¿n, kết quả cho th¿y đa sá SV mắc lỗi đại sá trong quá trình tính toán Nghiên cāu cÿa Carlson và cộng sā (2003) cho th¿y 50% SV gặp khó khăn vận dụng các Định

lý c¡ bản cÿa Giải tích, đã sử dụng công thāc tính độ dßi thay cho công thāc tính quãng đ°ßng đi đ°ợc Nghiên cāu cÿa Nguyßn Thị Mai Thÿy (2020) dāa trên bài làm cÿa 133

SV ngành kinh tế trong phiếu kiám tra cho th¿y có 45,9% SV mắc sai lÁm khi cho rằng

TP xác định là dián tích cÿa hình phẳng và 13,5% không giải thích đúng mặc dù đ°a ra đáp án đúng, đißu này cho th¿y 59,4% SV không hiáu đúng một biáu dißn cÿa TP là dián

tích; đa sá SV khó khăn trong °ớc tính dián tích hình phẳng giới hạn bái đ°ßng cong v(t)

(ft/s) và các đ°ßng thẳng t = 0s , t = 7s, chỉ 12,8% SV giải quyết đ°ợc bài toán tuy nhiên

các em không đọc đ°ợc đúng và đÁy đÿ ý nghĩa cÿa kết quả tìm đ°ợc trong bái cảnh vật

lý, thiếu hoặc không xác định đúng đ¡n vị cÿa dián tích tìm đ°ợc 56,4% SV không giải quyết đ°ợc bài toán tìm giá trị tích lũy đ°ợc cÿa một đại l°ợng tại một thßi điám trong bái cảnh kinh doanh do không xác định đ°ợc đ¡n vị cÿa đại l°ợng có sá đo đ°ợc tính bái công thāc ĐH và TP, không phân biát đ°ợc giá trị tích lũy đ°ợc cÿa một đại l°ợng tại một thßi điám với tổng tích lũy cÿa một đại l°ợng Ngoài ra SV vẫn hay thiếu vi phân

cÿa đái sá dx trong công thāc TP và đây cũng là nguyên nhân dẫn đến sā hạn chế cÿa

các em trong viác xác định đúng đ¡n vị cÿa đại l°ợng có sá đo đ°ợc tính bái công thāc

TP trong bái cảnh thāc tế (Nguyßn Thị Mai Thÿy, 2021b)

Các kết quả nghiên cāu trên cho th¿y SV còn gặp r¿t nhißu khó khăn khi giải quyết các v¿n đß trong nội tại toán học và trong bái cảnh thāc tế mà ĐH và TP đ°ợc

sử dụng Một sá các tác động dạy học đá phát trián NLTH cÿa SV đã đ°ợc đ°a ra nh°

sử dụng công cụ PCA, phân bậc t° duy PCA, tuy nhiên mới dừng lại á một sá nội dung cÿa ĐH; sử dụng khung lý thuyết đá phát trián công cụ đánh giá gồm bán giai đoạn là c¡ sá đá GV có thá xây dāng thêm công cụ đánh giá đáng tin cậy cho nhÿng nội dung khác Đại sá và Tißn giải tích; sử dụng L°ợc đồ Hành động-Quá trình-Đái t°ợng APOS và tiếp cận bản thá ký hiáu học OSA mang lại giá trị vß mặt lý thuyết trong viác mô tả đái t°ợng và quá trình cÿa các khái niám, tuy nhiên đôi lúc chúng lại gây khó khăn cho SV khi phải làm viác nhißu trên các kí hiáu mà không phải trên bái cảnh āng dụng thāc tế cÿa khái niám

1.3 Nghiên cću vÁ ch°¢ng trình và chuÇn đÅu ra liên quan đ¿n đ¿o hàm và tích phân trong Giáo dăc đ¿i hÍc ở ViÇt Nam

Mục tiêu đào tạo SV đại học theo Luật Giáo dục Đại học 2012 là đá SV có kiến thāc chuyên môn toàn dián, nắm vÿng nguyên lý, quy luật tā nhiên - xã hội, có kĩ năng thāc hành c¡ bản, có khả năng làm viác độc lập, sáng tạo và giải quyết nhÿng v¿n đß thuộc ngành đ°ợc đào tạo Nh° vậy có thá nói năng lāc cÿa SV chính là NL giải quyết các v¿n đß thuộc ngành đ°ợc đào tạo Đá đạt đ°ợc mục tiêu đào tạo và góp phÁn nâng cao ch¿t l°ợng đào tạo đại học á Viát Nam, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã ban hành Thông t° 17/2021/TT-BGDĐT vß quy chuẩn Ch°¡ng trình đào tạo; xây dāng, thẩm định và ban hành Ch°¡ng trình đào tạo các trình độ cÿa Giáo dục Đại học, trong đó đã xác định chuẩn đÁu ra là yêu cÁu cÁn đạt vß phẩm ch¿t và năng lāc cÿa ng°ßi học sau khi hoàn thành một ch°¡ng trình đào tạo, gồm cả yêu cÁu tái thiáu

vß kiến thāc, kĩ năng, māc độ tā chÿ và trách nhiám cÿa ng°ßi học khi tát nghiáp Nh° vậy các chuẩn đÁu ra đ°ợc yêu cÁu thiết lập theo tiếp cận NL, bắt đÁu bái một động từ và phải đo l°ßng, đánh giá đ°ợc theo các c¿p độ t° duy Viác xây dāng và công bá chuẩn đÁu ra cÿa Ch°¡ng trình đào tạo là yêu cÁu bắt buộc và là cam kết cÿa

các tr°ßng vß ch¿t l°ợng và năng lāc đào tạo đá xã hội giám sát Sau khi xây dāng chuẩn đÁu ra cÿa Ch°¡ng trình, các chuẩn đÁu ra cÿa các học phÁn cũng đ°ợc thiết lập, đó chính là yêu cÁu tái thiáu vß kiến thāc, kĩ năng, māc độ tā chÿ và trách nhiám

mà SV đạt đ°ợc sau khi hoàn thành học phÁn Chuẩn đÁu ra cÿa học phÁn sẽ đóng góp đánh giá cho một hay nhißu chuẩn đÁu ra cÿa ch°¡ng trình đào tạo Nh° vậy trong Giáo dục đại học á Viát Nam có thá xem các chuẩn đÁu ra cÿa học phÁn toán trong ch°¡ng trình đào tạo là t°¡ng thích với NLTH cÿa NRC (2001) vì chúng liên quan đến kiến thāc, kĩ năng và yếu tá phi nhận thāc

Xem xét nội dung ĐH, TP và chuẩn đÁu ra liên quan trong học phÁn Toán cho ngành kĩ thuật cÿa ngành Công nghá thông tin – Đại học FPT Đà Nẵng; Toán cao c¿p

2 cÿa ngành Công nghá thông tin - Đại học Tài chính – Ngân hàng Hà Nội; Toán A1 cÿa ngành Kĩ thuật công nghá Đại học Công nghá Sài Gòn; Toán āng dụng trong kinh

tế cÿa ngành Quản trị kinh doanh – Đại học Kinh tế - Đại học Đà Nẵng; Toán cao c¿p

2 cÿa ngành Kinh tế sá - Học vián Chính sách và Phát trián; Giải tích hàm một biến thāc cÿa S° phạm Toán Đại học S° phạm – Đại học Đà Nẵng, năm trong sáu học phÁn đó có chuẩn đÁu ra mô tả gắn lißn kĩ năng với nội dung ĐH và TP, chỉ riêng học phÁn Toán āng dụng trong kinh tế sử dụng cách mô tả không gắn lißn với nội dung

ĐH và TP nh°: (a) trình bày đ°ợc các khái niám cÿa há tháng các công cụ toán học c¡ bản; (b) dißn giải đ°ợc ý nghĩa kinh tế cÿa các công thāc trong các mô hình kinh

tế và kinh doanh; (c) mô hình hóa đ°ợc các v¿n đß trong kinh tế và kinh doanh Mặc

dù mô tả các chuẩn đÁu ra cÿa các học phÁn giảng dạy ĐH và TP cÿa các tr°ßng có

sā khác nhau nh°ng đßu h°ớng đến viác SV cÁn đạt các kiến thāc, kĩ năng toán học cÁn thiết và giải quyết các v¿n đß āng dụng với ĐH và TP Đißu này thá hián các chuẩn đÁu ra liên quan đến ĐH, TP trong các học phÁn đó t°¡ng thích với hai thành

tá hiáu KN và NL GQVĐ cÿa NLTH theo quan điám cÿa NRC, với các v¿n đß có thá bên trong hoặc bên ngoài toán học và trong bái cảnh āng dụng Ngoài ra, vß tài liáu tham khảo chính, trong ba học phÁn cho SV kĩ thuật có hai tr°ßng sử dụng sách Toán cao c¿p Tập 2 cÿa Nguyßn Đình Trí và cộng sā (2008), tr°ßng còn lại sử dụng giáo trình Giải tích 1, 2 cÿa Herman và Strang (2016); hai học phÁn cho SV ngành kinh tế

sử dụng Toán cao c¿p cho các nhà kinh tế Tập 2 cÿa Lê Đình Thúy phiên bản 2010

và phiên bản 2012 cùng với tác giả Nguyßn Quỳnh Lan; Kosmala (2004) và bài giảng l°u hành nội bộ là tài liáu tham khảo chính cÿa học phÁn cho SV S° phạm Toán

1.4 TiÁm nng cąa d¿y hÍc theo bái cÁnh trong phát triÃn nng lăc toán hÍc cąa sinh viên

Có nhißu tiếp cận khác nhau đá giúp ng°ßi học phát trián NL cÿa mình Dạy học theo bối cảnh (Contextual Teaching and Learning: CTL) là một khái niám dạy và học

nhằm giúp giáo viên (GV) liên há các nội dung môn học với các tình huáng thāc tế cuộc sáng đá giúp NH tạo nên nhÿng kết nái giÿa kiến thāc với các āng dụng cÿa nó

trong cuộc sáng và tham gia vào nhÿng công viác mà viác học yêu cÁu (Berns & Erickson, 2001) Theo Johnson (2002), CTL là một mô hình dạy học dāa trên quan niám cho rằng ý nghĩa nảy sinh từ mái quan há giÿa nội dung và bái cảnh cÿa nó CTL giúp NH kết nái nội dung đang học với các bái cảnh cÿa cuộc sáng và nghß nghiáp và

do đó giúp NH hāng thú và có động c¡ học tập tát h¡n (Kacerja, 2012; Johnson, 2002; Smith, 2010) SV tích cāc và hāng thú học tập một cách đáng ká khi các em hiáu đ°ợc tại sao cÁn học các KN và bằng cách nào các KN đó đ°ợc áp dụng bên ngoài lớp học (CORD, 1999) Ngoài ra, CTL giúp nâng cao kết quả học tập cũng nh° thúc đẩy t° duy phản bián và t° duy bậc cao cho SV (Berns & Erickson, 2001; Crawford, 2001; Johnson, 2002; Nawas, 2018) Trong CTL, trải nghiám giúp SV tạo nên các kết nái với

cả bái cảnh bên trong và bên ngoài Các em bắt đÁu với kiến thāc hián có, kinh nghiám trong quá khā, các lớp học hián tại và tiến hành các hoạt động trải nghiám trong các bái cảnh bên ngoài nh° tr°ßng học, n¡i á, n¡i làm viác và Internet Nhÿng trải nghiám này dẫn đến sā hiáu biết sâu sắc h¡n đá SV có nhißu khả năng duy trì các NL trong một khoảng thßi gian dài h¡n và có thá áp dụng chúng theo nhÿng cách phù hợp vào nhÿng thßi điám thích hợp trong t°¡ng lai (Berns & Erickson, 2001) Nh° vậy viác vận dụng

mô hình CTL vào dạy học toán giúp SV nhận ra đ°ợc ý nghĩa cÿa viác học toán và sẽ

và (f) Thu hút NH vß mặt cảm xúc và xã hội đá học tập trá nên thú vị Boaler (1993) nghiên cāu vß vai trò cÿa bái cảnh trong lớp học toán, nh¿n mạnh rằng các bái cảnh không trāc tiếp làm cho toán học dß dàng h¡n và cũng có thá không thāc sā tạo động c¡ cho SV học toán Kacerja (2012) nghiên cāu vß các bái cảnh thāc tế trong dạy học toán và hāng thú học tập cÿa các học sinh lớp 8, 9, 10, kết quả cho th¿y các em hāng

thú và có động c¡ học tập tát h¡n khi đ°ợc học các chÿ đß, các tình huáng thāc tế mà các em quan tâm Mthethwa (2007) nghiên cāu vß quan điám cÿa GV vß vai trò cÿa bái cảnh trong hiáu biết toán, cho th¿y bái cảnh thāc tế giúp toán học trá nên dß tiếp cận, dß hiáu và tạo hāng thú cho NH Tuy nhiên GV cÁn cân nhắc trong viác lāa chọn bái cảnh vì nếu bái cảnh không phù hợp sẽ tạo ra rào cản trong viác học toán Widjaja (2013) nghiên cāu vß sử dụng các bài toán theo bái cảnh nhằm hỗ trợ viác học toán cho các học sinh tiáu học Wiseley (2009) nghiên cāu vß tính hiáu quả cÿa các tiếp cận CTL nhằm phát trián toán học á các tr°ßng cao đẳng cộng đồng á California Schell (2001) đã đ°a ra m°ßi nguyên tắc h°ớng dẫn thāc hián CTL cho SV s° phạm tại Đại học Georgia, gồm: (a) SV tham gia tích cāc vào viác học; (b) SV xem viác học là có ý nghĩa; (c) SV học hßi lẫn nhau thông qua hợp tác, bàn luận, làm viác nhóm và tā phản ánh; (d) Viác học có liên quan đến các bài toán á thế giới thāc hoặc đ°ợc mô phßng từ thế giới thāc và các v¿n đß có ý nghĩa đái với SV; (e) SV đ°ợc khuyến khích chịu trách nhiám theo dõi và phát trián viác học cÿa chính mình; (f) Hiáu rõ giá trị bái cảnh cuộc sáng đa dạng cÿa SV và kinh nghiám tr°ớc đây là nßn tảng cho viác học; (g) SV đ°ợc khuyến khích trá thành ng°ßi tham gia tích cāc trong viác cải thián đßi sáng xã hội; (h) Viác học đ°ợc đánh giá theo nhißu cách khác nhau; (k) Quan điám và ý kiến cÿa

SV đ°ợc coi trọng; (l) GV đóng vai trò là ng°ßi h°ớng dẫn SV học tập Maesuri (2001)

đß xu¿t các đặc tr°ng cÿa mô hình CTL nh° sau: (a) Sử dụng các bái cảnh cuộc sáng hàng ngày cÿa SV nhằm hỗ trợ và thúc đẩy viác học tập; (b) Các mô hình toán học cÿa thế giới thāc giúp SV nắm bắt kiến thāc trừu t°ợng; (c) SV đ°ợc h°ớng dẫn đá khám phá toán học NH không chỉ ghi nhớ các công thāc và áp dụng các thuật toán mà còn đ°ợc h°ớng dẫn đá khám phá trong học toán; (d) T°¡ng tác đóng vai trò r¿t quan trọng trong viác học toán T°¡ng tác giÿa các SV, giÿa SV và GV và giÿa các GV là một phÁn c¡ bản cÿa viác học toán; (e) SV biết lắng nghe và đánh giá cao ph°¡ng án giải quyết cÿa các SV khác; (f) GV là ng°ßi hỗ trợ học tập, giúp SV kiến tạo kiến thāc cho bản thân và tái °u hóa kiến thāc cÿa các SV khác; (g) Viác học sẽ không dịch chuyán quá nhanh vào toán học hình thāc và trừu t°ợng SV đ°ợc cung c¿p đÿ c¡ hội đá sáng tạo và khám phá toán học theo cách ít hình thāc h¡n hoặc theo các chiến l°ợc riêng cÿa mình; và (h) Kết nái các KN toán học với bái cảnh āng dụng đ°ợc đá tạo đißu kián cho

SV hiáu các KN toán học theo nghĩa tích hợp CORD (1999) và Crawford (2001) đã đ°a ra ph°¡ng án REACT, gồm 5 kiáu hoạt động học tập đ°ợc tích hợp với nhau: Liên kết (Relating: R), Trải nghiám (Experiencing: E), Áp dụng (Applying: A), Hợp tác (Cooperating: C), Chuyán đổi (Transferring: T) Ph°¡ng án dạy học này đã giúp SV tích cāc, hāng thú học tập, đạt kết quả cao trong học tập cũng nh° các t° duy bậc cao Berns và Erickson (2001) cho rằng bằng cách học các đái t°ợng toán học theo nghĩa tích hợp, đa ngành và trong các bái cảnh phù hợp, SV có thá sử dụng các kiến thāc và

kĩ năng đã thu đ°ợc vào trong các bái cảnh có tính āng dụng đ°ợc

à Viát Nam, nghiên cāu Ngô Vũ Thu Hằng (2016) đã trình bày tổng quan nhÿng v¿n đß lý thuyết chung vß giáo dục dāa vào bái cảnh và đã đ°a ra quy trình cÿa một giß học theo tiếp cận Giáo dục dāa vào bái cảnh Mặc dù đã có sā liên há đến giáo dục

á Viát Nam trong môn Địa lý, Vật lý c¿p trung học và môn Toán á c¿p tiáu học, tuy nhiên, nghiên cāu này cũng chỉ mới dừng lại á h°ớng đi và nhÿng gợi ý ban đÁu Nguyßn Tiến Trung và Phạm Thị Huyßn Trang (2019) đã trình bày nhÿng tóm l°ợc vß

lý thuyết RME và đ°a ra một sá gợi ý cho GV tìm và tạo bái cảnh hay tình huáng cho viác dạy toán nh°: bái cảnh trong lịch sử toán học; bái cảnh trong cuộc sáng thāc (trò ch¡i, mua sắm, tiết kiám và sử dụng tißn, phim ảnh,…; các v¿n đß xã hội: giao thông,

dā báo thßi tiết, xổ sá,…); giáo dục tích hợp hoặc giáo dục STEM (toán học vß Vật lí, Hóa học, Công nghá Tin học)… Các tác giả đã quan tâm đến viác vận dụng lý thuyết RME trong dạy học môn toán á Viát Nam với viác đ°a ra kế hoạch dạy học gồm các hoạt động đá dạy học hình tròn và công thāc Pythagore trong toán lớp 9; nội dung trải hình và viác sản xu¿t hộp đóng gói sản phẩm trong toán lớp 11 Mặc dù có nhÿng khó khăn, phāc tạp trong quá trình tổ chāc các hoạt động học cho học sinh, song kết quả nghiên cāu cho th¿y viác vận dụng lý thuyết RME trong dạy học là khả thi, mang lại hāng thú và góp phÁn phát trián NL GQVĐ cho học sinh

Viác sử dụng CTL đ°ợc các nhà giáo dục quan tâm và đã có các nghiên cāu sử dụng CTL cũng nh° đ°a ra các ph°¡ng án dạy học theo bái cảnh nhằm nâng cao kết quả học tập, hiáu KN, t° duy bậc cao, hāng thú học tập và góp phÁn phát trián NL GQVĐ Đißu này cho th¿y CTL có tißm năng trong viác thúc đẩy NLTH cÿa NH Tuy nhiên hÁu nh° ch°a có nghiên cāu nào sử dụng CTL đá giúp phát trián NLTH cÿa SV đại học và trên cả hai nội dung quan trọng cÿa giải tích là ĐH và TP

1.5 Đ¿t vÃn đÁ nghiên cću

Năng lāc toán học là trung tâm cÿa mọi quá trình học toán và là mục tiêu cÿa mọi ch°¡ng trình giáo dục toán, chính vì vậy viác quan tâm và tìm kiếm nhÿng cách thāc đá hỗ trợ phát trián năng lāc toán học là r¿t cÁn thiết Các nghiên cāu đã chỉ ra, CTL giúp ng°ßi học phát trián hiáu KN, hāng thú học tập, thúc đẩy t° duy phản bián, t° duy bậc cao, do đó nó có tißm năng trong viác phát trián NLTH, đồng thßi có khả năng giúp duy trì năng lāc trong một khoảng thßi gian dài và có thá thá hián NL theo nhÿng cách phù hợp vào nhÿng thßi điám thích hợp trong t°¡ng lai (Berns & Erickson, 2001) Ngoài ra, SV là nhÿng ng°ßi đã đ°ợc trang bị đÁy đÿ các kiến thāc toán phổ thông, đồng thßi có ván kinh nghiám thāc tế phong phú h¡n các em học sinh Vì thế có nhißu c¡ hội thuận lợi h¡n đá thāc hián dạy học theo bái cảnh cho các

em SV H¡n nÿa, viác phát trián NLTH cÿa SV là r¿t cÁn thiết nhằm góp phÁn đạt đ°ợc mục tiêu giáo dục toán á bậc đại học Đó là lý do chúng tôi nghiên cāu vận dụng CTL đá tổ chāc các hoạt động dạy học nhằm giúp SV kết nái các KN toán học với

bái cảnh cuộc sáng hàng ngày một cách có ý nghĩa, từ đó đánh thāc sā hāng thú, động c¡ học tập và giúp SV hiáu các KN toán học, đồng thßi góp phÁn hình thành và phát trián NLTH cÿa SV à Viát Nam hÁu nh° r¿t ít các công trình nghiên cāu vß CTL nhằm giúp SV hiáu KN và phát trián NLTH Ngoài ra, mục tiêu cÿa ch°¡ng trình toán giải tích á bậc đại học là tiếp tục phát trián hiáu biết vß KN ĐH, TP và khả năng āng dụng hiáu biết đó đá giải quyết các v¿n đß thāc tế, song một sá nghiên cāu chỉ ra rằng hiáu biết vß ĐH và TP cÿa SV vẫn còn bị hạn chế, đißu này ảnh h°áng đến khả năng vận dụng kiến thāc vß ĐH và TP đá giải quyết các v¿n đß thāc tế trong nhißu bái cảnh khác nhau Mặc dù đã có các nghiên cāu vß phát trián hiáu khái niám, khả năng suy luận trong nội dung ĐH, TP, song hÁu nh° ch°a có nghiên cāu nào giúp phát trián đồng thßi hiáu khái niám và năng lāc giải quyết v¿n đß theo bái cảnh và trên cả hai nội dung ĐH và TP cho đái t°ợng SV đại học Từ các đißu trên, chúng tôi đặt ra v¿n

đß liáu có thá vận dụng CTL đá giúp SV phát trián NLTH trong nội dung ĐH và TP hay không? Chúng tôi sẽ tìm hiáu cách thāc vận dụng CTL đá giúp SV phát trián NLTH trong nội dung ĐH và TP trong các ch°¡ng tiếp theo

TiÃu k¿t Ch°¢ng 1

Trên c¡ sá điám bình các nghiên cāu cho th¿y tÁm quan trọng cÿa NLTH đāng trên góc độ đánh giá cũng nh° ch°¡ng trình đào tạo và nhÿng khó khăn mà ng°ßi học mắc phải trong thá hián NLTH và khi GQVĐ trong nội bộ toán học cũng nh° v¿n

đß thāc tế liên quan đến ĐH, TP Mặc dù đã có các nghiên cāu vß phát trián hiáu khái niám, khả năng suy luận trong nội dung ĐH, TP, song ch°a có nghiên cāu nào giúp phát trián đồng thßi hiáu khái niám và năng lāc giải quyết v¿n đß theo bái cảnh và trên cả hai nội dung ĐH và TP cho đái t°ợng SV đại học Các nghiên cāu đã chỉ rằng CTL có tißm năng trong viác thúc đẩy NLTH, h¡n nÿa á Viát Nam hÁu nh° r¿t ít công trình nghiên cāu vß dạy học theo bái cảnh nhằm giúp SV hiáu KN và phát trián NLTH trong nội dung ĐH và TP Từ đó chúng tôi đặt ra các v¿n đß nghiên cāu cÿa luận án

CH¯¡NG 2 KHUNG LÝ THUY¾T THAM CHI¾U

Từ v¿n đß nghiên cāu đ°ợc đặt ra á Ch°¡ng 1, chúng tôi tiến hành làm rõ năng lāc toán học và các thành tá cÿa năng lāc toán học; các quan niám vß bái cảnh, bài toán theo bái cảnh và vai trò cÿa nó trong phát trián năng lāc toán học; quá trình giải quyết v¿n đß theo bái cảnh, năng lāc giải quyết v¿n đß theo bái cảnh và các năng lāc thành phÁn Đồng thßi chúng tôi trình bày các đặc tr°ng cÿa CTL trong dạy học toán

2.1 Nng lăc toán hÍc

2.1.1 Khái niệm năng lực

Khái niám năng lāc (competence) là trung tâm cÿa các nghiên cāu thāc nghiám liên quan đến sā phát trián cÿa nguồn nhân lāc và ch¿t l°ợng giáo dục Mặc dù đã đ°ợc sử dụng trong nhißu thập kỷ, thuật ngÿ năng lāc nhận đ°ợc sā quan tâm ngày càng nhißu trong nghiên cāu giáo dục, tâm lý học và các ngành lân cận trong nhÿng năm qua (Klieme, Hartig & Rauch, 2008)

Weinert (2001) quan niám năng lāc là khả năng nhận thāc và kĩ năng tồn tại bên trong cá nhân hoặc là nhÿng gì cá nhân có thá học đ°ợc đá giải quyết các v¿n đß H¡n nÿa, NL cũng bao gồm các khuynh h°ớng và khả năng vß động c¡, ý chí và xã hội đá

có thá GQVĐ trong các tình huáng khác nhau Nh° vậy năng lāc theo quan niám cÿa Weinert bao gồm: kiến thāc, kĩ năng, thái độ và siêu năng lāc hián có cÿa cá nhân, và các nguồn lāc đó có thá đ°ợc phát trián h¡n nÿa thông qua quá trình học tập và rèn luyán cÿa cá nhân

Tổ chāc Hợp tác và Phát trián kinh tế OECD với Ch°¡ng trình Đánh giá học sinh quác tế PISA đã đặt ra câu hßi định h°ớng cho viác đánh giá kết quả đÁu ra cÿa viác học Tổ chāc quan tâm đến học sinh lāa tuổi 15 sẽ cÁn nhÿng năng lāc gì đá có thá đóng vai trò nh° nhÿng công dân hÿu ích trong xã hội Từ đó, PISA xác định các kiến thāc và kĩ năng đ°ợc coi là cÁn thiết cho cuộc sáng t°¡ng lai PISA nh¿n mạnh vào viác (a) thành thạo các quy trình, (b) hiáu biết vß các khái niám và (c) vận hành chúng trong các tình huáng khác nhau cÿa ba lĩnh vāc đọc hiáu, toán học và khoa học (OECD, 1999) Theo OECD (2002), năng lāc là khả năng đáp āng một cách hiáu quả nhÿng yêu cÁu phāc hợp trong một bái cảnh cụ thá Định nghĩa này nêu hai đặc tr°ng quan trọng cÿa năng lāc: năng lāc đ°ợc bộc lộ qua hoạt động và tính hiáu quả cÿa hoạt động, nh°ng ch°a làm rõ đ°ợc c¿u trúc cÿa năng lāc

Niss và Højgaard (2019) cho rằng năng lāc là sā sẵn sàng với hiáu biết sâu sắc (insightful readiness) cÿa một cá nhân đá hành động một cách phù hợp nhằm āng phó với nhÿng thách thāc cÿa các tình huáng nh¿t định Định nghĩa này nhằm xác định các đặc điám chính cÿa khái niám năng lāc Trong ngôn ngÿ hàng ngày, "sā sẵn sàng" có thá là nhận thāc và tình cảm, ý chí Rõ ràng các đặc điám tình cảm, khuynh h°ớng và

ý chí cÿa các cá nhân ảnh h°áng r¿t nhißu đến viác học cÿa họ nói chung cũng nh° sā phát trián và thāc hián các năng lāc cÿa họ Vì các đặc điám tình cảm, thái độ và hành động cÿa một cá nhân đ°ợc cá nhân hóa r¿t cao và đá duy trì sā rõ ràng trong phân tích,

dā án KOM đã quyết định loại bß các yếu tá tình cảm, khuynh h°ớng và ý chí ra khßi khái niám và định nghĩa vß năng lāc Trong Dā án KOM, năng lāc có ba đặc điám (a) năng lāc h°ớng tới hành động; (b) năng lāc phải gắn với sẵn sàng hành động với sā hiáu biết sâu sắc vß v¿n đß, và (c) các thách thāc là thành phÁn chính cÿa năng lāc Tùy thuộc vào tình huáng và bái cảnh, nhÿng thách thāc có thá r¿t đa dạng vß bản ch¿t, từ thuÁn túy trí tuá hoặc khoa học, nhÿng thách thāc vß đạo đāc, nghß nghiáp hoặc tài chính, cho đến nhÿng thách thāc thāc tế H¡n nÿa, thách thāc đái với một sá ng°ßi có thá không là thách thāc đái với nhÿng ng°ßi khác Vì vậy, nhÿng thách thāc - và do đó năng lāc - thá hián tính hai mặt ván có giÿa các khía cạnh chÿ quan và văn hóa xã hội Dāa trên các nghiên cāu trong và ngoài n°ớc, Ch°¡ng trình Giáo dục phổ thông năm 2018 đã định nghĩa năng lāc là thuộc tính cá nhân đ°ợc hình thành, phát trián nhß tá ch¿t sẵn có và quá trình học tập, rèn luyán, cho phép con ng°ßi huy động tổng hợp các kiến thāc, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác nh° hāng thú, nißm tin, ý chí, đá thāc hián thành công một loại hoạt động nh¿t định, đạt kết quả mong muán trong nhÿng đißu kián cụ thá Nh° vậy Ch°¡ng trình giáo dục phổ thông năm 2018

và Weinert (2001) có cùng quan niám vß năng lāc với các đặc điám chính cÿa năng lāc đó là (a) Năng lāc là sā kết hợp giÿa tá ch¿t sẵn có và quá trình học tập, rèn luyán cÿa ng°ßi học; (b) Năng lāc đ°ợc hình thành, phát trián thông qua hoạt động và thá hián á sā thành công trong hoạt động với một bái cảnh cụ thá; và (c) Năng lāc phụ thuộc vào bái cảnh Một ng°ßi có thá đ°ợc xem là có NL trong bái cảnh này nh°ng

có thá không có NL trong một bái cảnh khác Đánh giá năng lāc thông qua sản phẩm cÿa hoạt động và chính bái cảnh sẽ xác định các tiêu chuẩn đá đo l°ßng hiáu quả; (4) Năng lāc là kết quả cÿa sā huy động tổng hợp các kiến thāc, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân nh° động c¡, hāng thú, nißm tin, ý chí, hành vi xã hội

Theo Hoàng Hòa Bình (2015) năng lāc có c¿u trúc bß mặt (nguồn lāc hợp thành năng lāc/đÁu vào) và c¿u trúc bß sâu (kết quả/đÁu ra), trong đó c¿u trúc bß mặt gồm

ba yếu tá: kiến thāc, kĩ năng và thái độ; c¿u trúc bß sâu cũng gồm ba yếu tá t°¡ng āng là năng lāc hiáu, năng lāc làm và năng lāc āng xử Mái quan há giÿa các nguồn lāc hợp thành NL với sā thá hián cÿa chúng trong hoạt động chính là mái quan há giÿa c¿u trúc bß mặt với c¿u trúc bß sâu cÿa NL Viác nhận ra mái quan há này trong dạy học là r¿t quan trọng đá giúp NH hình thành và phát trián NL, viác dạy học không chỉ dừng lại á viác trang bị kiến thāc, rèn luyán kĩ năng, bồi d°ỡng thái độ sáng đúng đắn mà còn phải chuyán đổi chúng vào hoạt động cụ thá Với quan niám này, viác đánh giá NH cũng phải chuyán từ kiám tra kiến thāc sang đánh giá sā hiáu biết, từ kiám tra các thao tác kĩ thuật và nhận thāc t° t°áng đ¡n thuÁn t°¡ng āng sang khả năng thāc hành - āng dụng và hành vi āng xử cÿa NH trong cuộc sáng

Hình 2.1 Cấu trúc cÿa năng lực cÿa Hoàng Hòa Bình (2015)

Trong luận án này, chúng tôi sử dụng quan niám năng lāc cÿa Hoàng Hòa Bình (2015) vì nó đ°a ra c¿u trúc đÁy đÿ cÿa năng lāc, gồm c¿u trúc đÁu vào, c¿u trúc đÁu

ra và mái quan há giÿa các thành phÁn trong hai c¿u trúc đó Đißu này r¿t hÿu ích cho viác thiết kế và tổ chāc dạy học đá nâng cao năng lāc cho ng°ßi học, đồng thßi nêu

rõ định h°ớng đánh giá năng lāc cÿa NH Yếu tá phi nhận thāc là một thành phÁn quan trọng cÿa NL, tuy nhiên t°¡ng tā Dā án KOM, luận án này cũng chỉ quan tâm đến các hoạt động nhận thāc trong năng lāc đá giúp duy trì sā rõ ràng trong phân tích

và sẽ tăng c°ßng yếu tá phi nhận thāc trong quá trình dạy học thông qua chú trọng cảm xúc nhằm hỗ trợ SV phát trián NL

2.1.2 Một số quan điểm về năng lực toán học

Các khái niám vß năng lāc toán học và các thành tá cÿa năng lāc toán học đã đ°ợc nhißu nhà nghiên cāu và các tổ chāc giáo dục quan tâm, phát trián trong suát hai thập kỷ qua Một sá dā án liên quan đến lĩnh vāc này bao gồm: Ch°¡ng trình Đánh giá học sinh quác tế PISA cÿa Tổ chāc Hợp tác và Phát trián kinh tế OECD (OECD, 2003; 2009; 2013; 2017; 2018; 2019); Dā án KOM cÿa Đan Mạch (Niss & Højgaard, 2011, 2019); Hội đồng Nghiên cāu Quác gia cÿa Mỹ (NRC, 2001) và Ch°¡ng trình Giáo dục phổ thông năm 2018 cÿa Bộ Giáo dục và Đào tạo Viát Nam Sau đây chúng tôi điám bình một sá quan điám cÿa các tổ chāc giáo dục trên

2.1.2.1 Quan điểm cÿa Dự án KOM (Niss & Højgaard, 2011)

Dā án KOM cÿa Đan Mạch tạo ra một nßn tảng cho cải cách sâu rộng giáo dục toán học cÿa Đan Mạch, từ phổ thông đến đại học Ý t°áng c¡ bản cÿa dā án là mô tả ch°¡ng trình giảng dạy toán chÿ yếu dāa trên khái niám năng lāc toán học, thay vì dāa trên nội dung theo truyßn tháng

Năng lāc toán học (mathematical competence) bao gồm kiến thāc vß hiáu, làm,

sử dụng và có quan điám vß toán học và hoạt động toán học trong nhißu bái cảnh khác nhau mà toán học đóng vai trò hoặc có thá đóng một vai trò nào đó Đây chính

là định nghĩa ban đÁu vß NLTH cÿa KOM Niss và Højgaard (2019) đã cập nhật định nghĩa năng lāc toán học, đó là sā sẵn sàng với hiáu biết sâu sắc cÿa một cá nhân đá

hành động một cách phù hợp nhằm āng phó với t¿t cả các loại thách thāc toán học trong các tình huáng cụ thá Trong đó, các thách thāc toán học là các tình huáng bên trong và bên ngoài toán học mà thāc sā hoặc có khả năng đòi hßi viác kích hoạt toán học đá trả lßi các câu hßi, GQVĐ, hiáu các hián t°ợng, các mái quan há, hay đ°a ra một quan điám, một quyết định nào đó

Trong khi NLTH liên quan đến viác kích hoạt toán học đá giải quyết t¿t cả các loại thách thāc cÿa một tình huáng hoặc bái cảnh, thì thành tá cÿa NLTH (competency) tập trung vào viác kích hoạt toán học đá giải quyết một loại thách thāc cụ thá Nói cách khác, năng lāc toán học là một c¿u trúc đ°ợc tạo thành bái một tập hợp các thành tá cÿa nó

Dā án KOM (2002) dāa trên viác xem xét và phân tích lý thuyết các hoạt động toán học liên quan đến giải quyết các tình huáng chāa đāng nhißu yếu tá toán học, đÁy thách thāc, l¿y viác xem xét nhÿng suy nghĩ và cảm xúc có ý thāc và quan sát NH trong quá trình giải quyết đá xác định các thành tá cÿa NLTH

Niss và Højgaard (2019) đã có nhÿng đißu chỉnh trong khung năng lāc so với lÁn xu¿t bản đÁu tiên vào năm 2002 và các phiên bản khác tr°ớc đó, theo cách cách dißn đạt chính xác lại các định nghĩa, sā phân công nhiám vụ cụ thá giÿa các thành tá năng lāc khác nhau, các mô tả và giải thích chi tiết h¡n vß các năng lāc riêng biát, cũng nh° một

sá các khía cạnh cÿa thuật ngÿ Viác xác định các thành tá năng lāc dāa trên hai c¡ sá: (1) các thành tá NL thu đ°ợc là kết quả cÿa sā phân tích toàn bộ hoạt động toán học dāa trên lý thuyết và kinh nghiám; (2) xác định các loại thách thāc và các cách liên quan đá kích hoạt toán học dāa trên mục đích, bản ch¿t và vai trò cÿa hoạt động toán học Niss và Højgaard (2019) đã chia NLTH thành hai nhóm với tám thành tá:

• Đặt và trả lßi các câu hßi trong hoặc bằng ph°¡ng tián toán học, gồm bán thành tá: (a) NL t° duy toán học – tham gia vào khảo sát toán; (b) NL GQVĐ - đặt và giải quyết các v¿n đß toán học; (c) NL MHH – phân tích, thiết lập mô hình toán học cÿa các tình huáng hay bái cảnh ngoài toán; và (d) NL suy luận toán học – đánh giá và đ°a ra các bián minh/chāng minh cho các tuyên bá toán học

• Sử dụng ngôn ngÿ, c¿u trúc và công cụ toán học, gồm bán thành tá: (a) NL biáu dißn toán học – xử lý các bißu dißn khác nhau cÿa các thāc thá toán học; (b) NL

sử dụng các ký hiáu và hình thāc toán học; (c) NL giao tiếp toán học; và (d) NL

sử dụng các công cụ và ph°¡ng tián học toán

Mỗi thành tá đ°ợc xác định rõ ràng đá phân biát với các thành tá khác, tuy nhiên chúng không tách rßi nhau mà mỗi thành tá đßu giao thoa với nhau Khi chú ý đến một

NL thì một sá hoặc t¿t cả các thành tá còn lại có thá tham gia với vai trò phụ trợ, tùy thuộc vào tình huáng và bái cảnh đang xét

Dā án KOM đã có tác động đáng ká đến một sá chÿ tr°¡ng giáo dục toán học á các khu vāc khác nhau trên thế giới nh° PISA (gián tiếp hay trāc tiếp) tác động lên viác cải cách ch°¡ng trình giảng dạy, giáo dục và phát trián chuyên môn cÿa giáo viên toán học, thāc hành giảng dạy toán học, hoặc và các ch°¡ng trình hoặc đánh giá quác gia và quác tế

2.1.2.2 Quan điểm cÿa PISA

Ch°¡ng trình Đánh giá Học sinh Quác tế PISA quan tâm đến hiáu biết toán học (mathematical literacy) cÿa một ng°ßi trẻ tuổi đá tham gia và đóng góp cho xã hội hián đại Ch°¡ng trình đánh giá học sinh quác tế PISA xây dāng khuôn khổ đánh giá dāa trên c¡ sá cÿa viác đặt và trả lßi cho câu hßi: <Đißu gì là quan trọng đái với một công dân đá biết và có thá hành động trong các tình huáng liên quan đến toán học?= Cụ thá h¡n, năng lāc toán học có ý nghĩa gì đái với một đāa trẻ 15 tuổi, nhÿng ng°ßi có thá sắp rßi ghế nhà tr°ßng hoặc đang chuẩn bị theo đuổi các ch°¡ng trình đào tạo chuyên sâu h¡n đá đi làm hoặc vào đại học? Từ năm 2003 đến 2009 PISA định nghĩa hiáu biết toán là năng lāc cÿa một cá nhân đá xác định và hiáu vai trò cÿa toán học trong cuộc sáng, đá đ°a ra các phán xét có c¡ sá và đá sử dụng và gắn kết toán học theo nhÿng cách đáp āng nhu cÁu cuộc sáng cÿa cá nhân đó với t° cách là một công dân có tính xây dāng, biết quan tâm và biết phản ánh (OECD, 2003; OECD, 2009)

Với quan niám này, PISA 2009 xác định các khía cạnh đánh giá hiáu biết toán gồm: (a) Các quá trình toán học và các thành tá cÿa NLTH; (b) Nội dung toán học; (c) Bái cảnh trong đó học sinh sẽ phải đái mặt với nhÿng thách thāc toán học, đ°ợc xác định á Bảng 2.1

Bảng 2.1 Các khía cạnh đánh giá hiểu biết toán trong các khuôn khổ PISA

toán hÍc Toán học hóa Thiết lập; Sử dụng; Dißn giải

Thiết lập; Sử dụng; Dißn giải; Suy luận toán học

Các thành tá

cąa nng lăc

toán hÍc

Gồm 8 thành tá: t° duy và suy luận; lập luận; giao tiếp; mô hình hóa; đặt v¿n đß và giải; biáu dißn; sử dụng ngôn ngÿ ký hiáu, hình thāc, kĩ thuật và các phép toán; sử dụng các đồ dùng hỗ trợ

và công cụ học toán (Niss,1999)

Gồm 7 thành tá: giao tiếp; toán học hóa; biáu dißn; suy luận và lập luận; lập chiến l°ợc đá giải quyết v¿n đß; sử dụng ngôn ngÿ

ký hiáu, hình thāc, kĩ thuật và các phép toán; sử dụng các công

Bái cÁnh Cá nhân; Giáo dục/Nghß nghiáp; Công cộng và Khoa học Cá nhân; Nghß nghiáp; Xã hội và Khoa học

Định nghĩa vß hiáu biết toán trong PISA 2012 đã đ°ợc đißu chỉnh với mục đích tích hợp mô hình hóa toán học, ván tr°ớc đây là nßn tảng cÿa khuôn khổ PISA 2003

và 2009, khi cá nhân sử dụng toán học đá giải quyết các v¿n đß trong bái cảnh Quan điám cÿa PISA 2012 coi học sinh là ng°ßi tích cāc GQVĐ tuy nhiên, th°ßng không cÁn thiết đá tham gia vào mọi giai đoạn cÿa quá trình mô hình hóa toán học, đặc biát

là trong bái cảnh đánh giá Chính vì vậy, đá kết nái bái cảnh cÿa một v¿n đß với toán học và GQVĐ đó đ°ợc chia thành ba quá trình: thiết lập các tình huáng một cách toán học; sử dụng các khái niám toán học, sā kián, quy trình và suy luận toán học; và dißn giải, áp dụng và đánh giá các kết quả toán học – đ°ợc gọi ngắn gọn là thiết lập, sử dụng và dißn giải (OECD, 2013) PISA 2012 định nghĩa hiáu biết toán học là khả năng thiết lập, sử dụng và dißn giải toán học trong nhißu bái cảnh khác nhau Nó bao gồm suy luận toán học và sử dụng các khái niám toán học, quy trình, sā kián và công

cụ đá mô tả, giải thích và dā đoán các hián t°ợng (OECD, 2013)

Trên c¡ sá kế thừa và phát trián, khuôn khổ PISA 2012 đã đißu chỉnh bộ năng lāc này xuáng bảy thành tá Ngoài ra, nhằm phản ánh tÁm quan trọng cÿa Công nghá Thông tin và Truyßn thông (ICT) đá làm toán trong hián đại xã hội, PISA 2012 đ°a thêm một đánh giá toán học bổ sung mới trên máy tính (CBAM) Đánh giá dāa trên máy tính sẽ cung c¿p c¡ hội đá đánh giá một sá khía cạnh cÿa hiáu biết toán

mà không dß dàng đánh giá đ°ợc thông qua các bài kiám tra trên gi¿y truyßn tháng Định nghĩa vß hiáu biết toán cÿa PISA 2012 vẫn đ°ợc sử dụng trong PISA 2015

và 2018 (OECD, 2017; OECD; 2019) H¡n nÿa, các v¿n đß mà thế giới đang phải đái mặt đßu có một thành phÁn định l°ợng Hiáu chúng, cũng nh° giải quyết chúng, ít nh¿t

là một phÁn, đòi hßi phải có kiến thāc toán học và t° duy toán học T° duy toán học trong bái cảnh ngày càng phāc tạp không đ°ợc thúc đẩy bái viác tái tạo các quy trình tính toán c¡ bản đã đß cập tr°ớc đó, mà đ°ợc thúc đẩy bái suy luận (toán học) bao gồm kiáu suy luận toán học (deductive: suy dißn) và suy luận kiáu tháng kê (inductive: quy nạp) Nh° vậy ngoài viác GQVĐ, khuôn khổ PISA 2022 cho rằng hiáu biết toán trong thế kỷ 21 phải bao gồm suy luận toán học (mathematical reasoning) và một sá khía cạnh cÿa t° duy máy tính (computational thinking) Trong khuôn khổ PISA 2022, hiáu biết toán bao gồm các khái niám, quy trình, sā kián và công cụ đá mô tả, giải thích và

dā đoán các hián t°ợng Đißu quan trọng cÁn l°u ý là định nghĩa vß hiáu biết toán không chỉ tập trung vào viác sử dụng toán học đá giải quyết các v¿n đß trong thế giới thāc, mà còn xác định suy luận toán học nh° một khía cạnh cát lõi cÿa hiáu biết toán

2.1.2.3 Quan điểm cÿa Hội đồng Nghiên cāu Quốc gia Mỹ (Kilpatrick & cộng sự, 2001)

GÁn nh° xảy ra đồng thßi với dā án KOM, Hội đồng Nghiên cāu Quác gia Mỹ (NRC) đã xu¿t bản cuán sách Adding it up do Kilpatrick và cộng sā (2001) biên soạn Khẩu hiáu cÿa cuán sách là <T¿t cả thanh niên Mỹ phải học cách t° duy toán học, và

họ phải t° duy toán đá học= Kilpatrick và cộng sā (2001) đã chọn thành thạo toán học (mathematical proficiency) đá nắm bắt nhÿng gì họ tin là cÁn thiết cho b¿t kỳ ai

đá học toán thành công Thành thạo toán học gồm năm nhánh đan xen vào nhau:

• Hiáu khái niám (conceptual understanding) - hiáu các khái niám, phép toán và quan há toán học

• Thành thạo quy trình (procedural fluency) - kĩ năng thāc hián các quy trình một cách linh hoạt, chính xác, hiáu quả và phù hợp

• Năng lāc giải quyết v¿n đß (strategic competence) - khả năng thiết lập, biáu dißn và giải quyết các v¿n đß toán học

• Suy luận (adaptive reasoning) - khả năng suy nghĩ logic, phản ánh, giải thích

và bián minh

• Khuynh h°ớng hÿu ích (productive disposition) - có thói quen coi toán học là hợp

lý, hÿu ích và đáng giá, cùng với nißm tin vào sā siêng năng và sā tā tin cÿa bản thân Nhÿng nhánh này không độc lập; chúng đại dián cho các khía cạnh khác nhau cÿa một tổng thá phāc tạp Năm nhánh đan xen và phụ thuộc lẫn nhau trong quá trình phát trián thành thạo toán học Kilpatrick và cộng sā (2001) đã sử dụng một phÁn cắt

ra cÿa một sợi dây bán gồm năm sợi đan vào nhau đá biáu dißn mái quan há giÿa các nhánh; đißu này thá hián ý t°áng rằng đá giúp NH đạt đ°ợc thành thạo toán học thì đòi hßi các ch°¡ng trình giảng dạy phải thāc hián phái hợp t¿t cả các nhánh đó Viác học cũng chịu ảnh h°áng bái động c¡, thái độ, đó là lý do Kilpatrick và cộng sā đã đ°a thành tá khuynh h°ớng hÿu ích vào thành thạo toán học, tạo nên một c¿u trúc đÁy đÿ cÿa năng lāc, gồm kiến thāc, kĩ năng, khả năng, thái độ, nißm tin

Quan điám vß thành thạo toán học cÿa NRC dāa trên c¡ sá các nghiên cāu

vß khoa học nhận thāc, trong đó nh¿n mạnh vai trò cÿa các biáu dißn trí tuá (mental representations) Cách ng°ßi học trình bày và kết nái các phÁn kiến thāc

là yếu tá then chát quyết định họ có hiáu sâu và có thá vận dụng các kiến thāc

đó đá GQVĐ hay không Ngoài ra, theo quan điám nhận thāc, năng lāc phụ thuộc vào kiến thāc không chỉ đ°ợc l°u trÿ mà còn đ°ợc biáu dißn trong trí não và đ°ợc tổ chāc (kết nái và c¿u trúc) theo nhÿng cách tạo đißu kián thuận lợi cho viác truy xu¿t và āng dụng phù hợp Vì vậy, học với sā hiáu biết sẽ phát huy sāc mạnh h¡n so với viác chỉ ghi nhớ đ¡n giản, bái vì tổ chāc kiến thāc đó giúp cải thián khả năng ghi nhớ, thúc đẩy sā thành thạo và tạo đißu kián thuận lợi cho viác học các kiến thāc liên quan

Ng°ßi học cÁn hiáu toán, sử dụng toán đá GQVĐ, suy luận logic, thành thạo trong tính toán và sử dụng toán đá hiáu thế giới cÿa mình Đá đißu đó xảy ra, mỗi học sinh cÁn phát trián các nhánh cÿa thành thạo toán học theo cách tích hợp

2.1.2.4 Quan điểm cÿa Chương trình Giáo dục phổ thông Việt Nam năm 2018

Đỗ Đāc Thái và cộng sā (2017) cho rằng mục đích then chát cÿa viác học toán

là đá trá thành nhÿng con ng°ßi <thông minh h¡n=, biết cách suy nghĩ, giải quyết các v¿n đß trong học tập và đßi sáng Trên c¡ sá xác định mục đích cÿa viác học toán và tiếp cận theo cách nghiên cāu các thành tá cÿa năng lāc toán học, Ch°¡ng trình Giáo dục Phổ thông năm 2018 quan niám năng lāc toán học bao gồm năm thành tá cát lõi sau: (a) năng lāc t° duy và lập luận toán học; (b) năng lāc mô hình hoá toán học; (c) năng lāc giải quyết v¿n đß toán học; (d) năng lāc giao tiếp toán học; (e) năng lāc sử dụng công cụ, ph°¡ng tián học toán

Qua phÁn tổng quan trên chúng tôi đ°a ra một sá nhận định làm c¡ sá cho khung

lý thuyết trong luận án này nh° sau:

(1) Các thành tá cÿa năng lāc toán học cÿa KOM, PISA, CT GDPT 2018 có sā t°¡ng đồng mặc dù tên gọi có khác nhau và đ°ợc sắp xếp lại đá thu đ°ợc một tập hợp tổng quát nh¿t, ít thành tá nh¿t mà vẫn hoàn toàn phÿ đ°ợc các hoạt động toán học

(2) Nh¿n mạnh hiáu khái niám toán học, cÁn xem nó là một thành tá cÿa NLTH

Đá hiáu sâu đòi hßi ng°ßi học phải kết nái các phÁn kiến thāc và sā kết nái

đó đến l°ợt nó lại là yếu tá then chát trong viác liáu ng°ßi học có thá sử dụng nhÿng gì mình biết một cách hiáu quả trong GQVĐ hay không (NRC) Ngoài

ra PISA 2012 cũng cho rằng cÁn thiết đá bổ sung thêm vai trò cÿa kiến thāc nội dung toán học cụ thá trong học tập toán

(3) GQVĐ là mục tiêu c¡ bản cÿa mọi ch°¡ng trình toán và là thành tá quan trọng cÿa năng lāc toán học Trong đó các v¿n đß là các tình huáng bên trong và bên ngoài toán học mà thāc sā hoặc có khả năng đòi hßi kích hoạt toán học đá trả lßi các câu hßi, GQVĐ, hiáu các hián t°ợng, các mái quan há, hay đ°a ra một quan điám, một quyết định nào đó (KOM); là nhÿng v¿n đß thāc tế cuộc sáng đ°ợc đặt trong bái cảnh cá nhân, nghß nghiáp, xã hội và khoa học (PISA); là nhÿng tình huáng có v¿n đß trong toán học và trong thāc tế cuộc sáng (NRC);

là v¿n đß trong học tập và đßi sáng (CT GDPT 2018) Khi giải quyết các v¿n

đß thāc tế thì còn đòi hßi phải thāc hián quá trình MHH NH có thá không cÁn thiết phải tham gia vào mọi giai đoạn cÿa quá trình MHH (PISA)

(4) Suy luận là một thành tá quan trọng cÿa năng lāc toán học Nếu chỉ tái tạo các quy trình tính toán c¡ bản thì không thá giải quyết đ°ợc các v¿n đß trong bái cảnh ngày càng phāc tạp, mà cÁn phải sử dụng suy luận Suy luận toán học đóng vai trò trung tâm đái với cả quá trình GQVĐ và hiáu biết toán nói chung (OECD, 2018) Đá tạo c¡ hội cho SV sử dụng suy luận toán học (cả suy dißn

và quy nạp), chúng tôi tiếp cận theo PISA 2022 trang bị cho SV một tập hợp nhß các khái niám toán học, kiến thāc tháng kê mô tả c¡ bản đá hỗ trợ cho suy luận này và bản thân chúng không nh¿t thiết phải đ°ợc dạy một cách rõ ràng nh°ng đ°ợc thá hián và cÿng cá trong suát trải nghiám học tập cÿa SV Đißu này trang bị cho SV một khung khái niám đá thông qua đó giải quyết các khía cạnh định l°ợng cÿa cuộc sáng trong thế kỷ 21

(5) Năng lāc toán học đ°ợc hợp thành bái các thành tá, mỗi thành tá có một bản sắc riêng, tuy nhiên chúng không rßi nhau, mỗi thành tá đßu giao thoa với nhau

và hỗ trợ lẫn nhau Chẳng hạn, suy luận biáu hián trong hiáu khái niám nh° nhận ra bản ch¿t cÿa khái niám, giải thích đ°ợc khái niám, biáu dißn đ°ợc khái niám, nhận ra mái quan há giÿa các khái niám,…; suy luận biáu hián trong GQVĐ thông qua xác định mái quan há giÿa các KN toán học với tình huáng,

đặt các giả thuyết hợp lý, thāc hián các thuật toán, t° duy tính toán, dißn giải các kết quả toán, giải thích ý nghĩa cÿa các kết quả, phản ánh vß các lập luận toán học,… ; thành thạo quy trình thá hián rõ nét trong GQVĐ khi đ°a ra đ°ợc một ph°¡ng án giải quyết chính xác, phù hợp, ngoài ra tính linh hoạt và hiáu quả cÿa viác thāc hián các quy trình toán học cũng có thá biáu hián trong GQVĐ; thành thạo quy trình cũng thá hián trong hiáu khái niám thông qua viác xác định đ°ợc các quy tắc và thuật toán liên quan đến khái niám

(6) Viác sử dụng ICT trong GQVĐ là cÁn thiết và nó không nhÿng chỉ hỗ trợ cho quá trình thiết lập và sử dụng theo mô tả các hoạt động trong hai quá trình đó cÿa PISA 2012 mà còn có thá hỗ trợ trong quá trình dißn giải (Greefrath, 2011; An & cộng sā, 2018)

Tóm lại, trong phạm vi luận án, chúng tôi quan niám NLTH dāa trên quan điám cÿa NRC (2001) bái vì nó tháng nh¿t với quan niám năng lāc mà chúng tôi đã xác định

á mục 2.1, đồng thßi nh¿n mạnh vào hiáu khái niám là một thành tá cÿa NLTH Ngoài

ra chúng tôi muán nh¿n mạnh rõ h¡n ý nghĩa cÿa viác có NLTH theo quan điám cÿa

PISA Chính vì vậy trong luận án, chúng tôi quan niám năng lực toán học là khả năng cÿa một cá nhân để thiết lập, sử dụng và diễn giải toán học trong nhiều bối cảnh khác nhau; để hiểu được vai trò cÿa toán học trong cuộc sống; để đưa ra những phán xét và quyết định có cơ sở cần thiết cÿa những công dân có tính xây dựng, biết quan tâm và biết phản ánh Vß mặt đo l°ßng, kết hợp với bán nhận định từ thā hai đến thā năm đã

đß cập á trên, trong phạm vi luận án, chúng tôi tập trung vào hai thành tá cÿa năng lāc

toán học theo quan điám cÿa NRC (2001) là hiểu khái niệm và năng lực giải quyết vấn

đề (bao gồm NL MHH) (Hình 2.2) Kết hợp với nhận định thā sáu, trong nghiên cāu này

chúng tôi chú ý đến viác sử dụng ICT trong dạy học đá hỗ trợ quá trình GQVĐ

Hình 2.2 Các thành tố cÿa năng lực toán học (được điều chỉnh từ NRC, 2001)

Sau khi xác định NLTH cùng các thành tá, ba v¿n đß tiếp theo đ°ợc chúng tôi đặt ra trong luận án là lāa chọn các thách thāc toán học nh° thế nào đá có thá phát trián đồng thßi hiáu KN và NL GQVĐ cÿa NLTH; quá trình toán học nào mà thông

qua đó SV có thá phát trián đ°ợc đồng thßi hai thành tá hiáu KN và NL GQVĐ cÿa NLTH; và lāa chọn tác động dạy học nào đá giúp SV phát trián NLTH thông qua hiáu

KN và NL GQVĐ cÿa NLTH Tiếp theo chúng tôi xác định quá trình toán học mà thông qua đó SV có thá phát trián đ°ợc đồng thßi hai thành tá hiáu KN và NL GQVĐ cÿa NLTH, đó là quá trình giải quyết v¿n đß theo bái cảnh

2.2 GiÁi quy¿t vÃn đÁ theo bái cÁnh

2.2.1 Giải quyết vấn đề

Theo PISA, GQVĐ là khả năng cá nhân sử dụng các quá trình nhận thāc nhằm đái mặt và giải quyết các tình huáng thāc tế xuyên suát các môn học, á đó con đ°ßng tìm ra lßi giải là không rõ ràng ngay tāc thì và các lĩnh vāc hiáu biết hay ch°¡ng trình

có thá áp dụng đ°ợc không chỉ nằm trong một lĩnh vāc toán, khoa học hay đọc hiáu (OECD, 2003) Krulik và Rudnick (1980) cho rằng GQVĐ là quá trình mà cá nhân

sử dụng kiến thāc, kĩ năng và hiáu biết đã đ°ợc học tr°ớc đó đá đáp āng yêu cÁu cÿa các tình huáng không quen thuộc đang gặp phải Nh° vậy phạm vi giải quyết v¿n đß toán học bao gồm làm viác với các v¿n đß toán học thuÁn túy cũng nh° nhÿng v¿n đß liên quan đến các tình huáng ngoài toán học mà NH không quen thuộc, ch°a có sẵn thuật toán hay quy trình giải

Polya đ°ợc xem là ng°ßi tiên phong trong viác xây dāng các chiến l°ợc GQVĐ, ông đã đ°a ra các câu hßi, các gợi ý đá giúp NH có thá GQVĐ thông qua bán giai đoạn: (a) hiáu v¿n đß; (b) lập kế hoạch; (c) thāc hián kế hoạch đã vạch ra; (d) kiám tra và xác nhận giải pháp (Polya, 2004)

Từ góc độ đánh giá năng lāc, Phan Anh Tài (2014) đã xác định quá trình GQVĐ gồm 2 giai đoạn

Giai đo¿n 1: Xác định giải pháp GQVĐ: (a) tìm hiáu v¿n đß; (b) tìm, thāc hián

và kiám tra giải pháp GQVĐ; (c) trình bày giải pháp GQVĐ

Giai đo¿n 2: Tìm giải pháp khác đá GQVĐ và má rộng v¿n đß: (a) phát hián

giải pháp khác; (b) phát hián v¿n đß mới

Theo TrÁn Vui (2014), cÁn thiết phải nh¿n mạnh và phát trián cho học sinh s¡

đồ gồm năm b°ớc đá GQVĐ Nó đ°ợc xem nh° là một s¡ đồ vß đ°ßng đi, là một kế hoạch chi tiết chỉ dẫn con đ°ßng đi đến lßi giải cÿa một bài toán: (a) đọc hiáu bài

toán; (b) khám phá; (c) chọn ph°¡ng án giải quyết; (d) giải bài toán; (e) kiám tra, má rộng bài toán Khác với thuật toán, s¡ đồ vß đ°ßng đi này không đảm bảo cho sā thành công Tuy nhiên, nếu đ°ợc h°ớng dẫn thāc hián theo s¡ đồ này khi giải quyết các v¿n đß thì các em sẽ tā tin trong viác giải quyết thành công các v¿n đß gặp phải khác trong lớp học và đßi sáng

2.2.2 Mô hình hóa toán học

Trong các lớp học toán, āng dụng và MHH đóng một vai trò quan trọng trong viác phát trián hiáu toán và NL toán học MHH cho phép NH hiáu đ°ợc mái liên há giÿa toán học với cuộc sáng, môi tr°ßng xung quanh và các môn khoa học khác, giúp cho viác học toán trá nên ý nghĩa h¡n Các nội dung toán có thá đ°ợc hình thành, cÿng cá bái các ví dụ MHH phù hợp, đißu này có thá giúp NH hiáu sâu h¡n, l°u giÿ các kiến thāc toán học lâu h¡n hoặc có thá cải thián thái độ tích cāc cÿa các em đái với môn toán, tạo động c¡, thúc đẩy viác học toán (Blum, 1993)

Có r¿t nhißu định nghĩa vß MHH đ°ợc chia sẻ trong giáo dục toán tùy thuộc vào quan điám lý thuyết mà mỗi tác giả lāa chọn MHH là toàn bộ quá trình chuyán đổi v¿n đß thāc tế sang v¿n đß toán và ng°ợc lại cùng với mọi thā liên quan đến quá trình đó, từ b°ớc xây dāng lại tình huáng thāc tế, quyết định một mô hình toán phù hợp, làm viác trong môi tr°ßng toán, giải thích đánh giá kết quả liên quan đến tình huáng thāc tế và đôi khi cÁn phải đißu chỉnh các mô hình, lặp lại quá trình nhißu lÁn cho đến khi có đ°ợc một kết quả hợp lý (TrÁn Vui, 2014) Thông qua mô hình hóa toán học, NH học cách sử dụng nhißu dạng biáu dißn khác nhau, đồng thßi lāa chọn và áp dụng các ph°¡ng pháp và công cụ toán học thích hợp trong viác giải quyết các v¿n đß trong thế giới thāc C¡ hội tiếp xúc với v¿n đß thāc tế và sử dụng các công cụ toán học đá giải quyết nên là một phÁn cÿa viác học toán á mọi c¿p học (Balakrishnan & cộng sā, 2010)

Các nhà giáo dục toán đã phát trián nhißu s¡ đồ cho quá trình MHH, chẳng hạn nh° s¡ đồ cÿa Blum và Leiß (2007):

- B°ớc 1: Hiáu tình huáng thāc tế đ°ợc cho, xây dāng một mô hình cho tình huáng đó;

- B°ớc 2: Đ¡n giản hóa tình huáng và đ°a vào các biến phù hợp đá đ°ợc mô hình thāc cÿa tình huáng;

- B°ớc 3: Chuyán từ mô hình thāc sang mô hình toán;

- B°ớc 4: Làm viác trong môi tr°ßng toán học đá đạt đ°ợc kết quả toán;

- B°ớc 5: Thá hián kết quả trong bái cảnh thāc tế;

- B°ớc 6: Xem xét tính phù hợp cÿa kết quả hay phải thāc hián quá trình lÁn 2;

- B°ớc 7: Trình bày cách giải quyết

Hình 2.3 Quá trình MHH cÿa Blum và Leiß (2007)

Trong quá trình MHH, ng°ßi học sẽ di chuyán giÿa thế giới thāc và thế giới toán học Quá trình MHH bắt đÁu với một v¿n đß trong thế giới thāc, bằng cách đ¡n giản hóa, c¿u trúc lại và lý t°áng hóa v¿n đß đá có đ°ợc một mô hình thāc, từ đó xây dāng một mô hình toán học t°¡ng āng Bằng cách làm viác trong môi tr°ßng toán học một kết quả toán có thá đ°ợc tìm th¿y Kết quả này phải đ°ợc giải thích và sau

đó đ°ợc xác nhận tính hợp lý Nếu kết quả hoặc quá trình giải quyết không phù hợp với thāc tế thì cÁn phải quay lại các b°ớc cụ thá hoặc thậm chí toàn bộ quá trình MHH (Blum, 1996; Maaß, 2006)

Ngày nay, với sā phát trián cÿa công nghá thông tin và truyßn thông (Information and Communications Technology, viết tắt là ICT), các nhà nghiên cāu giáo dục và nhà phát trián ch°¡ng trình đã quan tâm đến viác sử dụng kết hợp MHH và ICT đá nâng cao trải nghiám học tập cÿa học sinh trong các lớp học toán bậc trung học c¡ sá (Geiger

& cộng sā, 2010; Stillman & cộng sā, 2007) và cÿa giáo viên toán t°¡ng lai - nhÿng

SV năm cuái ch°¡ng trình S° phạm Toán (An & cộng sā, 2018)

Môi tr°ßng công nghá có thá giúp NH thāc hián một loạt các quy trình toán học nh° vẽ đồ thị, vẽ các hình hình học, làm viác với đại sá và tổ chāc dÿ liáu (Geiger & cộng sā, 2010) Công nghá không chỉ cung c¿p ph°¡ng tián đá học và hiáu toán mà còn giúp đ¡n giản hóa quá trình MHH, má rộng khả năng dā đoán và tạo môi tr°ßng thử nghiám cho các ph°¡ng án khác nhau đá giải quyết các v¿n đß đôi khi khó giải quyết nếu không có thiết bị công nghá Công nghá có thá đ°ợc tích hợp d°ới nhißu hình thāc khác nhau vào quá trình MHH và tạo đißu kián thuận lợi cho quá trình này Theo Galbraith và cộng sā (2003) viác sử dụng môi tr°ßng công nghá thá hián

rõ trong hai giai đoạn chuyán đổi quan trọng:

- Xây dāng một mô hình toán học từ tình huáng thāc, sau đó các biáu dißn toán học đ°ợc chuyán đổi sang ngôn ngÿ cÿa máy tính;

- Các kết quả thu đ°ợc từ môi tr°ßng công nghá đ°ợc thông dịch trá lại thế giới toán học và cuái cùng kết quả toán học đ°ợc kết nái với tình huáng thāc đã cho ban đÁu

Greefrath (2011) đã bổ sung thế giới thā ba - Công nghá - vào quá trình MHH cÿa Blum và Leiß (2007) Theo quan điám cÿa Galbraith và cộng sā (2003), trong quá trình MHH này (Hình 2.4), công nghá đ°ợc sử dụng đá hỗ trợ tìm ra các giải pháp toán học sau khi một mô hình toán học đã đ°ợc xây dāng h¡n là khám phá, phát trián các mô hình hoặc xác nhận kết quả

Hình 2.4 Quá trình mô hình hóa toán học với thế giới công nghệ

(Galbraith & cộng sự, 2003)

Tuy nhiên, Greefrath (2011) lập luận rằng công nghá đóng vai trò trung gian trong các giai đoạn khác nhau cÿa quá trình MHH bao gồm đißu tra thông tin liên quan đến v¿n đß thāc tế, thử nghiám, mô phßng tình huáng, tính toán, trāc quan hóa, tìm các biáu dißn đại sá và hỗ trợ quá trình kiám soát (Hình 2.5)

Hình 2.5 Quá trình mô hình hóa toán học dưới tác động cÿa công nghệ

(Greefrath, 2011)

Nghiên cāu cÿa An và cộng sā (2018) cho th¿y các giáo viên Toán t°¡ng lai không có xu h°ớng sử dụng công nghá đá thiết lập mô hình toán học mà sử dụng công nghá trong các b°ớc còn lại cÿa quá trình MHH nh° tạo mô hình trên máy tính, giải quyết trên mô hình đó, tính toán các kết quả và xác nhận tính hợp lý cÿa kết quả Công nghá giúp SV xác nhận, thử nghiám các mô hình và các kết quả nên đã giúp SV

2.2.3 Bối cảnh và bài toán theo bối cảnh

Theo Johnson (2002), chúng ta th°ßng đánh đồng bái cảnh với môi tr°ßng, là thế giới bên ngoài đ°ợc giao tiếp thông qua năm giác quan, là không gian chúng ta tiếp xúc hàng ngày Bái cảnh chắc chắn có nhißu ý nghĩa h¡n, không chỉ là sā kián dißn ra tại một địa điám và thßi gian cụ thá Bái cảnh còn bao gồm nhÿng giả thuyết vô thāc (unconscious assumptions) mà chúng ta tiếp thu khi lớn lên, nhÿng nißm tin kiên định đ°ợc xác định rõ ràng qua quá trình tích lũy và một thế giới quan định hình cách chúng

ta hiáu vß thāc tế Ví dụ, hÁu hết chúng ta xem viác phát trián trí tuá nhân tạo hoặc phân tích ADN là kết quả hián nhiên Các kết luận và sā lāa chọn cách nhìn cÿa chúng ta vß nhÿng đißu này tạo nên các bái cảnh riêng cÿa mỗi cá thá Ý thāc và quyết định cÿa con ng°ßi định hình bái cảnh, môi tr°ßng bao quanh chúng ta Do vậy, nhÿng GV dạy học theo bái cảnh phải đái mặt với các thách thāc r¿t lớn Không chỉ dừng lại á câu

hßi: "Chúng ta nên đặt bài học nào vào bối cảnh?", chúng ta cÁn giúp NH xác định

một dā án, một bài toán hoặc một v¿n đß cụ thá đá tạo ra bái cảnh cho viác nghiên cāu một chÿ đß; gắn bài học vào tình huáng thāc tế; hoặc giao các nhiám vụ học tập liên quan đến cuộc sáng cÿa NH Ngoài ra, GV cũng cÁn suy nghĩ vß câu hßi quan trọng:

"Chúng ta nên đưa bài học này vào bối cảnh nào lớn hơn?" Trên quan điám t° duy tạo

ra bái cảnh, GV dạy học theo bái cảnh phải liên tục xem xét lại thế giới quan cÿa chính

họ và các giả thuyết xung quanh nó Trong định nghĩa CTL, Johnson (2002) sử dụng bái cảnh hàng ngày cÿa NH, đó là bái cảnh cá nhân, văn hóa và xã hội

T°¡ng tā Johnson, PISA cho rằng bái cảnh bao gồm t¿t cả nhÿng yếu tá chi tiết đ°ợc sử dụng đá thiết lập v¿n đß Bái cảnh là một phÁn cuộc sáng cÿa một cá nhân

mà trong đó các v¿n đß đ°ợc đặt ra, gồm bán loại:

- Bái cảnh cá nhân - liên quan đến các v¿n đß hoặc thách thāc mà một cá nhân hoặc gia đình hoặc nhóm bạn bè có thá gặp phải;

- Bái cảnh nghß nghiáp - tập trung vào thế giới công viác;

- Bái cảnh xã hội - tập trung vào cộng đồng cÿa một ng°ßi, có thá là địa ph°¡ng, quác gia hay toàn cÁu;

- Bái cảnh khoa học - liên quan đến viác āng dụng toán học vào thế giới tā nhiên và công nghá

Theo Wijaya (2014), có hai loại bái cảnh: bái cảnh theo nghĩa hẹp là nhÿng bái cảnh chỉ hạn chế trong các bái cảnh á thế giới thāc; bái cảnh theo nghĩa rộng là nhÿng bái cảnh không bị giới hạn trong các bái cảnh thāc tế mà có thá bao gồm bái cảnh thuÁn túy toán học – chỉ liên quan đến các đái t°ợng toán học, các ký hiáu và c¿u trúc và không tham chiếu gì đến các yếu tá bên ngoài thế giới toán học Nh° vậy bái cảnh trong Johnson (2002) và PISA là bái cảnh đ°ợc hiáu theo nghĩa rộng theo phân loại cÿa Wijaya (2014) PISA xếp bái cảnh thuÁn túy toán học vào trong

bái cảnh khoa học và gọi các bái cảnh này là bái cảnh bên trong toán học (intra - mathematical context) (OECD, 2003) Tuy nhiên PISA cũng hạn chế sử dụng các bái cảnh nh° thế trong các cuộc đánh giá mà hÁu hết sử dụng các bái cảnh á thế giới thāc (real - world contexts), mà còn đ°ợc gọi là bái cảnh ngoài toán học (extra

- mathematical contexts) (OECD, 2003)

Theo quan điám cÿa các nhà nghiên cāu vß RME, các bài toán theo bái cảnh (BTTBC) (contextual problems) đ°ợc sử dụng đá hỗ trợ quá trình khám phá lại toán học, cho phép NH nắm bắt đ°ợc bản ch¿t hình thāc và trừu t°ợng cÿa toán học Các BTTBC đ°ợc định nghĩa là các bài toán á đó tình huáng cÿa bài toán là thāc theo kinh nghiám cÿa NH Nh° vậy theo định nghĩa này thì một v¿n đß toán học thuÁn túy cũng có thá xem

là một BTTBC với đißu kián kiến thāc toán đó cung c¿p một bái cảnh theo kinh nghiám cÿa NH (Gravemeijer & Doorman, 1999) Bái cảnh á đây không chỉ là bái cảnh từ thế giới thāc mà còn có thá là bái cảnh từ một lĩnh vāc toán học mà NH đã quen thuộc, có thá t°áng t°ợng và tham gia vào các tình huáng xu¿t hián trong các bái cảnh đó Quan niám vß bái cảnh này t°¡ng đồng với Johnson, PISA và đó là bái cảnh theo nghĩa rộng Trong luận án này, chúng tôi sử dụng quan niám bái cảnh theo RME, PISA và Johnson (2002) với bái cảnh đ°ợc hiáu theo nghĩa rộng đá phù hợp với mục tiêu phát trián NLTH cÿa SV dāa trên kiến thāc, kinh nghiám sẵn có cÿa các em và thông qua giải quyết các v¿n đß trong nội tại toán học cũng nh° ngoài toán

Reinke và Casto (2020) đã nghiên cāu trên sáu giáo viên toán trung học c¡ sá đá tìm hiáu sā thay đổi trong nhận thāc vß vai trò cÿa tích hợp giải quyết các BTTBC với bái cảnh phong phú, gÁn gũi trong viác kết nái toán học với thế giới thāc tế, kết quả cho th¿y đã có sā thay đổi tích cāc cÿa các GV đó từ viác ban đÁu cho rằng các BTTBC chÿ yếu tạo sā kích thích động c¡ học tập sang xem nó là công cụ hỗ trợ phát trián hiáu

KN Ngoài ra, Wijaya (2014) cho rằng các bài toán dāa trên bái cảnh (context-based mathematical problem) cÿa PISA đ°a đến nhißu c¡ hội đá NH kết nái kiến thāc với kinh nghiám cuộc sáng cÿa cá nhân và thá hián đ°ợc sā hiáu biết sâu sắc các KN toán học và NL GQVĐ H¡n nÿa, các BTTBC theo quan niám cÿa RME với bái cảnh bên trong và bên ngoài toán học đ°ợc sử dụng với mục đích hỗ trợ quá trình khám phá lại toán học nên sẽ tạo c¡ hội đá phát trián hiáu KN và NL GQVĐ Thêm vào đó, các khảo sát cÿa PISA đßu sử dụng các BTTBC với nhißu bái cảnh khác nhau, đißu này mang lại khả năng kết nái với phạm vi hāng thú, quan tâm cÿa cá nhân rộng nh¿t có thá Do

đó các bái cảnh có thá tạo nên nhÿng cảm xúc tích cāc trong học tập giúp hỗ trợ phát trián NLTH Nh° vậy viác sử dụng các BTTBC đá giúp SV phát trián đồng thßi hai thành tá hiáu KN và NL GQVĐ cÿa NLTH là cÁn thiết và có c¡ sá.

Boaler (1993) cho rằng viác chèn ngẫu nhiên các bái cảnh vào các câu hßi đánh giá và các bài kiám tra trên lớp nhằm cá gắng phản ánh nhu cÁu thāc tế cÿa cuộc sáng

và làm cho toán học trá nên có động lāc và thú vị h¡n là một quan niám sai lÁm

Chiến l°ợc này bß qua sā phāc tạp, phạm vi và māc độ trải nghiám cÿa NH cũng nh° mái quan há phāc tạp giÿa nhÿng trải nghiám tr°ớc đây, các mục tiêu toán học và nißm tin cÿa một cá nhân Boaler (1993) gợi ý rằng nên xem xét bản ch¿t cá nhân trong viác học cÿa NH tr°ớc khi đ°a ra quyết định vß viác sử dụng bái cảnh Ngoài

ra, bà cho rằng viác sử dụng các bái cảnh văn hóa, xã hội gÁn gũi với NH sẽ hÿu ích đái với các em trong viác kết nái toán học nhà tr°ßng với thế giới thāc, khi phải đái mặt với các yêu cÁu cÿa thế giới thāc Tuy nhiên các yếu tá quyết định liáu một bái cảnh có hÿu ích hay không là r¿t phāc tạp

Nh° vậy, trên c¡ sá các cân nhắc cÿa Boaler (1993) trong viác sử dụng bái cảnh

và đồng thßi chú ý đến yếu tá có thá ảnh h°áng đến cảm xúc cÿa SV trong quá trình học tập, chúng tôi xem xét các bái cảnh thāc tế đa dạng liên quan đến cuộc sáng và nghß nghiáp cÿa các em, đó là bái cảnh kinh doanh, kinh tế, khoa học đßi sáng và vật

lý, khoa học xã hội Ngoài ra, chúng tôi còn quan tâm đến thông tin, dÿ liáu đ°ợc cung c¿p trong bài toán có hoàn toàn thāc tế không hay chúng không thāc tế nh°ng đ°ợc sử dụng đá phù hợp với mục đích s° phạm Do đó chúng tôi đß xu¿t một phân loại cho các BTTBC nh° Bảng 2.2

Bảng 2.2 Phân loại bài toán theo bối cảnh

Phân lo¿i

BTTBC thuÁn

túy toán học

Bài toán đ°ợc đặt trong bái cảnh từ một lĩnh vāc toán học mà SV

đã quen thuộc, có thá t°áng t°ợng và tham gia vào các tình huáng xu¿t hián trong bái cảnh đó; và thông tin, dÿ liáu không thāc tế BTTBC thāc tế

một phÁn Bài toán đ°ợc đặt trong bái cảnh thāc tế và có thông tin, dÿ liáu không thāc tế BTTBC thāc tế Bài toán đ°ợc đặt trong bái cảnh thāc tế và thông tin, dÿ liáu thāc tế

Cho đồ thị cÿa hàm f(x) như Hình 2.6 6

0 f x dx( ) có phải là diện tích cÿa hình phẳng giới hạn bởi đường cong f(x) và các trục y = 0, x = 0, x = 6 hay không và hãy giải thích câu trả lời cÿa bạn

Hình 2.6 Đồ thị hàm f(x)

Đây là BTTBC thuÁn túy toán học vì bái cảnh cÿa bài toán là từ kiến thāc toán

TP xác định và dián tích hình phẳng giới hạn bái một đ°ßng cong mà SV đã đ°ợc học á phổ thông và không chāa thông tin, dÿ liáu thāc tế

Cho đồ thị cÿa hàm I U ( )ở Hình 2.7 Tìm hệ số góc cÿa tiếp tuyến với đường congI U ( )tại điểm A Hãy cho biết ý nghĩa cÿa kết quả tìm được

Hình 2.7 Đồ thị hàm I U ( )

Bài toán này liên quan đến kiến thāc đã học cÿa SV nh° há sá góc cÿa tiếp tuyến, các biáu dißn cÿa hàm sá và nó đ°ợc nhúng trong bái cảnh kinh tế, tuy nhiên thông tin,

dÿ liáu không hoàn toàn thāc tế, do đó nó đ°ợc xếp vào BTTBC thāc tế một phÁn

Cho D t ( )là nợ công cÿa Việt Nam, đơn vị nghìn tỷ đồng, theo thời gian t Các giá trị xấp xỉ cÿa hàm số này cho bởi bảng sau:

(Nguồn: Bản tin nợ công 3 Bộ tài chính)

Hãy °ớc tính D (2018) và cho biết ý nghĩa cÿa kết quả tìm đ°ợc

(Bài toán được điều chỉnh từ Ví dụ 7, Stewart, 2012, tr 112)

Bài toán này liên quan đến kiến thāc đã học cÿa SV nh° tính ĐH cÿa hàm sá tại một điám, các biáu dißn cÿa hàm sá và nó đ°ợc nhúng trong bái cảnh kinh tế với thông tin, dÿ liáu hoàn toàn thāc tế, do đó nó đ°ợc xếp vào BTTBC thāc tế Đây là bài toán má cả vß giả thiết và kết luận, từ nguồn dÿ liáu đ°ợc cung c¿p trong bài toán, SV có thá tìm kiếm, thu thập, tổng hợp và bổ sung dÿ liáu đá cải thián độ chính xác cÿa kết quả, đồng thßi bài toán cũng có thá có nhißu kết quả đ°ợc ch¿p nhận Trong luận án này, chúng tôi sử dụng định nghĩa BTTBC theo quan điám cÿa

RME, BTTBC là bài toán với bối cảnh từ một lĩnh vực toán học hoặc từ thế giới thực

tế, trong đó các yêu cầu cÿa bài toán là thực tế hoặc thể hiện việc kết nối thực tế và

SV có thể vận dụng kiến thāc toán đã học để giải quyết bài toán đó Bái cảnh thāc tế

liên quan đến cuộc sáng và nghß nghiáp cÿa SV bao gồm kinh doanh, kinh tế, khoa