đề tài 13 ứng dụng của đại số tuyên tính trong vận tải

Hoặc là có thể muốn xác định kết hợp nguyên liệu đầu vào có chi phí nhỏ nhất trong khi vẫn đáp ứng được các đòi hỏi của sản xuất, tận dụng công suất sản xuất và sử dụng nhân công sẵn có

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

ĐỀ TÀI 13: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠI SỐ TUYÊN TÍNH TRONG VẬN TẢI GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN: NGUYỄN XUÂN MỸ

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, cho chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Trường đại học Bách Khoa – ĐHQG TPHCM, đã đưa môn Đại số Tuyến Tính vào chương trình giảng dạy

Đặc biệt, chúng em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến giảng viên bộ môn là cô Nguyễn Xuân Mỹ đã giảng dạy, truyền đạt cho chúng em kiến thức quý báu trong những ngày qua Trong suốt thời gian tham gia lớp Đại số tuyến tính của cô, chúng em tự thấy bản thân mình tư duy hơn, học tập càng thêm nghiêm túc và hiệu quả Đây chắc chắn là những tri thức quý báu, là hành trang cần thiết cho chúng em sau này

Bộ môn Đại số tuyến tính là một môn học vô cùng hữu ích, có tính thực tế cao,đảm bảo cung cấp đủ nhu cầu thực tiễn cho sinh viên Tuy nhiên, do vốn kiến thức chúng em còn nhiều hạn chế cũng như còn bỡ ngỡ nên mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng chắc chắn bài tập lớn Đại số tuyến tính lần này khó có thể tránh khỏi những thiếu sót và vài chỗ còn chưa chính xác Kính mong cô xem xét, góp ý cho Bài tập lớn của chúng em được hoàn thiện hơn Chúng em xin chân thành cảm ơn!

1.2Phương án cực biên cơ bản 10

1.3 Phương án cực biên tối ưu hơn 14

2.Matlab (Dùng xác định phương án cực biên cơ bản không suy biến) 16

1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.1 Khái niệm

a) Quy hoạch tuyến tính

- Qui hoạch tuyến tính (LP) là một thuật toán nhằm tìm ra phương án tối ưu (hoặc kế hoạch tối ưu) từ vô số các phương án quyết định Phương án tối ưu là phương án thỏa mãn được các mục tiêu đề ra của một hãng, phụ thuộc vào các hạn chế và các ràng buộc - LP đề cập đến vấn đề phân bổ nguồn lực khan hiếm giữa các hoạt động cạnh tranh trong một phương thức tối ưu Quyết định tối ưu mang lại hiệu quả cao nhất, lãi gộp

(Contribution Margin - CM) cao nhất hay doanh thu hoặc chi phí thấp nhất Mô hình LP gồm 2 thành phần:

+ Hàm mục tiêu: Phải xác định mục tiêu cụ thể phải đạt tới

+ Các ràng buộc: Các ràng buộc dưới dạng các hạn chế về sự sẵn có của nguồn lực hay thỏa mãn các yêu cầu tối thiểu Như tên gọi quy hoạch tuyến tính, cả hàm mục tiêu và các ràng buộc phải dưới dạng tuyến tính

=> Muốn tìm kết hợp sản phẩm tối ưu Kết hợp tối ưu là kết hợp tối đa hóa tổng hiệu quả hay lãi gộp (CM) trong ngân sách được giới hạn và công suất sản xuất Hoặc là có thể muốn xác định kết hợp nguyên liệu đầu vào có chi phí nhỏ nhất trong khi vẫn đáp ứng được các đòi hỏi của sản xuất, tận dụng công suất sản xuất và sử dụng nhân công sẵn có

b) Bài toán vận tải

- Giải quyết vấn đề phân phối hàng hoá từ một số địa điểm cung cấp (điểm nguồn) đến một số địa điểm tiêu thụ (điểm đích) sao cho:

+ Tổng chi phí thấp nhất + Cự ly vận chuyển nhỏ nhất + Tổng tiền lời nhiều nhất

- Áp dụng để xác định vị trí nhà kho, cửa hàng hay nhà xưởng mới khi xem xét một số phương án về địa điểm xây dựng

-Tối ưu kho vận là bài toán có tính ứng dụng rất cao trong lớp các bài toán tối ưu Vấn đề mà bài toán giải quyết liên là vấn đề mà nhiều doanh nghiệp đang gặp phải Bài toán này sẽ giúp cho các doanh nghiệp tiết kiệm được chi phí vận chuyển hàng hoá nhờ phân bổ

nguồn lực ở các kho một cách hợp lý đến các cửa hàng Không chỉ giúp tối ưu về chi phí, bài toán vận chuyển còn có thể chuyển sang mục tiêu khác đó là tối ưu thời gian vận chuyển Một trong những công trình nổi tiếng nghiên cứu ứng dụng của toán học trong vận tải là bài toán vận tải trong quy hoạch tuyến tính, được tạo ra bởi nhà toán học người Pháp Gaspard

Phương án tối ưu (PATU): Một PA x* của bài toán QHTT được gọi là nghiệm hay PATU nếu nó làm cho hàm mục tiêu đạt min (hoặc max) đúng như yêu cầu bài toán đó Giải một bài toán QHTT đã cho là đi tìm một nghiệm của bào toán đó

Phương án cực biên (PACB) a) Đối với bài toán (G) Xét một bài toán QHTT dạng tổng quát (G) có n biến x1, x2, …, xn Một PA x* = (x1*, x2*, …, xn*) của bài toán (G) đang xét được gọi là phương án cực biên (PACB) nếu nó thỏa mãn dấu “=” (còn gọi là thỏa mãn chặt) với ít nhất n ràng buộc trong đó có đúng n ràng buộc độc lập tuyến tính (tức là ma trận hệ số của n ràng buộc đó có hạng bằng n) trong hệ rằng buộc của (G).

Phương pháp quy hoạch tuyến tính

Nếu gọi:

• m: Tổng số điểm cung cấp (điểm nguồn) • n: Tổng số điểm tiêu thụ (điểm đích)

• 𝑎𝑖: Khả năng cung cấp của điểm nguồn thứ i (i = 1, ,m) • 𝑏𝑗: Nhu cầu tiêu thụ của điểm đích j (j = 1, ,n)

• cij: Chi phí vận chuyển một đơn vị hàng hoá từ điểm nguồn i đến điểm đích j • xij: Lượng hàng được vận chuyển từ điểm nguồn i đến điểm đích j

Mô hình hóa bài toán:

Ví dụ 2 Giả sử yêu cầu tối thiểu mỗi ngày về các chất dinh dưỡng đạm, đường, khoáng cho một loại gia súc tương ứng là 90g, 130g, 10g Cho biết hàm lượng các chất dinh dưỡng trên có trong 1g thức ăn A, B, C và giá mua 1kg thức ăn mỗi loại được cho trong bảng sau:

Hãy lập mô hình toán học của bài toán xác định khối lượng thức ăn mỗi loại phải mua để tổng số tiền chi cho mua thức ăn ít nhất nhưng đáp ứng được nhu cầu dinh dưỡng mỗi ngày

a) Bài toán vận tải cân bằng thu phát

– Nếu tổng lượng thu bằng tổng lượng phát thì ta sử dụng các phương án cưc biên để tính cước phí nhỏ nhất

Tính chất:

+Bài toán vận tải cân bằng thu phát luôn có phương án tối ưu

+Ma trận hệ số các ràng buộc của bài toán vận tải có hạng bằng 𝑚 + 𝑛 − 1

b) Bài toán vận tải không cân bằng thu phát

𝑏𝑛+1 = ∑𝑚𝑖=1𝑎𝑖− ∑𝑛𝑗=1𝑏𝑗, 𝑐𝑖𝑛+1 = 0, 𝑖 = 1, … , 𝑚 Lúc này bài toán cân bằng thu phát

𝑎𝑚+1 = ∑𝑛𝑗=1𝑏𝑗 − ∑𝑚𝑖=1𝑎𝑖, 𝑐𝑚+1𝑖 = 0, 𝑗 = 1, … , 𝑛 Lúc này bài toán cân bằng thu phát

– Sau đó tính bằng phương án cực biên như "Cân bằng thu phát"

– Sau khi tìm được phương án tốt nhất ta loại bỏ hàng hoặc cột đã thêm vào

Ví dụ: Giải bài toán vận tải không cân bằng thu phát cho bởi bảng vận tải sau:

1.2 Phương án cực biên cơ bản Các định nghĩa:

-Trong bảng vận tải, những ô có xij > 0 được gọi là ô chọn, những ô có xij = 0 gọi là ô loại

-Ta gọi một đường đi là tập hợp các ô chọn sao cho: Trên cùng một dòng hay một cột không có quá hai ô chọn Và hai ô chọn liên tiếp thì nằm trên cùng một dòng hay một cột -Một đường đi khép kín được gọi là một chu trình

Các tính chất:

-Một bảng vận tải có m dòng, n cột thì tập các ô chọn không chứa chu trình có tối đa m + n - 1 ô

-Với một phương án có đủ m + n - 1 ô chọn không chứa chu trình, thì với bất kỳ một ô loại nào được đưa vào phương án thì ô loại này cùng với một số ô chọn đã cho để tạo thành chu trình và chu trình này là duy nhất

Định lý:

- Một phương án được gọi là phương án cực biên của bài toán vận tải khi và chỉ khi tập

các ô chọn của nó không chứa chu trình

-Một phương án cực biên có m + n - 1 ô chọn được gọi là phương án cực biên không suy biến Ngược lại, một phương án cực biên có ít hơn m + n - 1 ô chọn được gọi là phương

án cực biên suy biến

+Phương án cực biên không suy biến: Số ô chọn bằng m + n - 1

+Phương án cực biên suy biến: Số ô chọn nhỏ hơn m + n – 1, ta chọn thêm 1 ô có giá

trị nhỏ nhất ưu tiên theo thứ tự từ trên bên trái và không tạo thành chu trình

Phương pháp cước phí thấp nhất:

Ý tưởng chính của phương pháp này là phân phối lượng hàng lớn nhất có thể vào ô có cước phí thấp nhất Phương pháp phân phối lượng hàng 𝑥𝑖𝑗 được thực hiện như sau:

𝑥𝑖𝑗 = 𝑚𝑖𝑛{𝑎𝑖; 𝑏𝑗} = {

𝑎𝑖 𝑙𝑜ạ𝑖 𝑑ò𝑛𝑔 𝑖, 𝑏𝑗 = 𝑏𝑗 − 𝑎𝑖 𝑏𝑗 𝑙𝑜ạ𝑖 𝑐ộ𝑡 𝑗, 𝑎𝑖 = 𝑎𝑖 − 𝑏𝑗 𝑎𝑖 = 𝑏𝑗 𝑙𝑜ạ𝑖 𝑑ò𝑛𝑔 𝑖 𝑐ộ𝑡 𝑗

Lặp lại quá trình trên cho các ô tiếp theo đến khi yếu cầu của trạm phát, trạm thu được thỏa mãn Phương án thu được bằng phương pháp này là phương án cực biên

Ví dụ: Bằng phương pháp cước phí thấp nhất, thành lập một phương án cực biên của bài

toán vận tải:

Phương pháp góc Tây Bắc:

Ta ưu tiên phân phối lượng hàng nhiều nhất vào ô ở góc Tây - Bắc (góc trên bên trái) của bảng vận tải Khi đó nếu: Trạm phát nào đã hết hàng thì ta xóa dòng chứa trạm phát đó Trạm thu nào đã nhận đủ hàng thì ta xóa cột chứa trạm thu đó Sau đó lặp lại quá trình trên đối với những ô còn lại Phương án được thành lập bằng phương pháp góc Tây - Bắc

là phương án cực biên

Phương pháp Vogel (Fogel) cho ta một phương án cực biên khá tốt, theo nghĩa nó rất

gần với phương án tối ưu

i) Trên mỗi dòng, mỗi cột của ma trận cước phí ta tính hiệu số giữa hai giá trị cước phí nhỏ nhất

ii) Chọn dòng hay cột có hiệu số này lớn nhất (nếu có nhiều dòng hay cột thỏa điều kiện này thì ta chọn một dòng hay một cột trong các dòng, cột này) iii) Phân lượng hàng nhiều nhất vào ô có cước phí nhỏ nhất trên dòng hay cột vừa

chọn được Khi đó nếu nơi nào đã phát hết hàng thì ta xóa dòng chứa nơi phát đó Nếu nơi nào nhận đủ hàng thì ta xóa cột chứa nơi nhận đó Lúc đó cột (dòng) này hiệu số sẽ không tính cho bước sau

iv) Lặp lại ba bước nói trên với những ô còn lại cho đến hết Ta thu được phương án cực biên

1.3 Phương án cực biên tối ưu hơn

Thuật toán thế vị giải bài toán vận tải

Để giải bài toán vận tải, ta thực hiện bốn bước như sau:

Bước 1 Thành lập phương án cực biên bằng một trong các phương pháp: cước phí thấp nhất, Tây- Bắc, Vogel

Bước 2 Xét xem phương án cực biên hiện thời đã tối ưu hay chưa bằng thuật toán quy không cước phí ô chọn Nếu phương án cực biên hiện thời là phương án tối ưu thì thuật toán kết thúc Ngược lại sang bước 3

Bước 3 Xây dựng phương án cực biên mới tốt hơn xem 4.4.2 Bước 4 Quay về bước 2

i) Thuật toán quy không cước phí ô chọn

Xét bài toán quy hoạch tuyến tính có phương án cực biên ban đầu không suy biến (có 𝑚 + 𝑛 − 1 ô chọn) Nếu bài toán có phương án cực biên suy biến (có ít hơn 𝑚 + 𝑛 − 1 ô chọn) thì ta thêm ô chọn giả (𝑖, 𝑗) với 𝑥𝑖𝑗 = 0 vào sao cho các ô chọn giả này và các ô chọn ban đầu không tạo thành chu trình

Các dấu hiệu tối ưu

Bài toán vận tải sau khi quy không cước phí các ô chọn:

+Nếu 𝑐′𝑖𝑗 ≥ 0 với mọi (𝑖, 𝑗) thì phương án cực biên hiện thời là phương án tối ưu +Nếu tồn tại 𝑐′𝑖𝑗 < 0 thì có thể tìm một phương án mới tốt hơn phương án hiện thời

Bước 1 Ô chọn mới là ô loại có 𝑐′

𝑖𝑗 âm nhất (là số âm có giá trị tuyệt đối lớn nhất) Bước 2 Xác định chu trình chứa ô chọn mới vừa xác định bước 1 Ô chọn mới được đánh dấu (+), các ô chọn còn lại trên chu trình đánh dấu xen kẻ dấu (-), (+) trên chu trình Bước 3 Xác định phương án cực biên mới

- Lượng điều chỉnh 𝑞 = min{𝑥𝑖𝑗|(𝑖, 𝑗) có dấu (-)} -Phương án cực biên mới:

Ví dụ: Cho bài toán vận tải có phương án cực biên Chứng minh phương án cực biên hiện thời chưa tối ưu Xây dựng một phương án khác tốt hơn

Giải

2 Matlab (Dùng xác định phương án cực biên cơ bản không suy biến)

2.1 Phương pháp góc Tây Bắc

clc; clear all; close all;

x = input('Nhap ma tran gia: '); cung = input('Nhap ma tran cung: '); chua = input('Nhap ma tran chua: ');

if (chua(j) == matrix(i, j)) count = count + 1;

cung(i) = cung(i) - matrix(i, j); chua(j) = chua(j) - matrix(i, j); else

cung(i) = cung(i) - matrix(i, j); chua(j) = chua(j) - matrix(i, j);

x = input('nhap ma tran gia') cung = input('nhap ma tran cung') chua = input('nhap ma tran chua')

chua(j) = chua(j) - newmatrix(i,j); cung(i) = cung(i) - newmatrix(i,j);

*Nhận xét:

Phương án Cước phí nhỏ nhất tối ưu chi phí vận chuyển hơn phương pháp Tây Bắc

3 KẾT LUẬN

Qua bài tập lớn lần này, nhóm chúng em đã được tìm hiểu sâu hơn về một đề tài thú vị, tiếp xúc nhiều hơn với những phần mềm hữu ích Đã cùng nhau nỗ lực hoàn thành nhiệm vụ được giao Nhóm đã có thêm nhiều kĩ năng, kiến thức Học hỏi được những điều hay từ thành viên trong nhóm, rèn luyện được khả năng tự học, tận dụng được tối đa nguồn thông tin và biết chắt lọc nội dung để tiếp thu học hỏi Trong quá trình làm việc nhóm cũng gặp phải không ít khó khăn Như việc thiếu kinh nghiệm trong việc giao tiếp dẫn đến bất đồng quan điểm nhưng các thành viên trong nhóm đều mang tinh thần muốn học hỏi, tiếp nhận cái mới nên chúng em đã học được cách lắng nghe, học cách cùng nhau giải quyết vấn đề khó Một lần nữa chúng em xin chân thành cám ơn cô!

TÀI LIỆU THAM KHẢO