Đang tải... (xem toàn văn)
MỞ ĐẦU Giải phương trình Đại số tuyến tính bằng phương pháp Gauss và Gauss – Jordan vẫn còn tồn tại một số nhược điểm sau Khối lượng tính toán lớn Mặc dù là phương pháp giải đúng, nhưng vẫn tồn tại sa[.]
MỞ ĐẦU Giải phương trình Đại số tuyến tính phương pháp Gauss Gauss – Jordan tồn số nhược điểm sau: - Khối lượng tính toán lớn - Mặc dù phương pháp giải đúng, tồn sai số quy tròn bước tính,sai số tổng hợp đơi lớn Mặt khác, phương pháp khống chế sai số theo ý muốn tính tốn Vì vậy, người ta tìm kiếm phương pháp gần phương pháp lặp đơn lặp Jacobi đời để giảm bớt khối lượng tính tốn khống chế sai số tốt PHẦN I: LẶP ĐƠN I Ý TƯỞNG CHUNG Giống phương pháp lặp để giải phương trình x g ( x ) , ta tiến hàn lặp phương trình x x cách: Chọn giá trị nghiệm ban đầu x x0 , thay vào phương trình trên, ta được: x1 x0 x2 x1 Ta cần xây dựng công thức để tính tốn điều kiện hội tụ sai số II PHƯƠNG PHÁP THỰC HIỆN Bước 1: Từ phương trình x x , chọn giá trị nghiệm ban đầu x x0 , thay liên tiếp vào phương trình, ta dãy vector lặp: x1 x0 x2 x1 x3 x2 Bước 2: Làm liên tiếp vậy, ta có biểu thức truy hồi: xk xk 1 Bước 3: Gọi xk vector lặp thứ k, dãy vector lặp có giới hạn: lim xk x* k Thì giới hạn nghiệm phương trình Ax b hay x x Lưu ý: Để tạo điều kiện thuận lợi cho lặp đơn, ta có số cách để biến đổi phương trình từ Ax b x x , 1 11 1n đó: ; m1 mn n Chẳng hạn, từ Ax b , cộng x vào hai vế, ta được: Ax x b x Từ đây, ta có hai cách khác để tìm ma trận : ( A I )x b x Cách 1: x b ( I A) x ( A I ) b Cách 2: ( I A) b III ĐIỀU KIỆN HỘI TỤ Định nghĩa chuẩn vector: a) Định nghĩa Với vector x, ta định nghĩa ‖x‖ số không âm thỏa mãn: ‖x‖ ≥ 0, dấu “ = ” ⇔ =0 ‖ x‖ = | | ‖x‖ , k số ‖x+y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖ b) Một số chuẩn thường dùng với vector n + ‖ ‖(1)= | x | i i 1 n + ‖ ‖(2)= | x | i i 1 + ‖ ‖(∞) = max {| 1|,| 2|,…,| |} c) Sự hội tụ vector vector: Dãy vector {X(k)} gọi hội tụ tới vector X lim xi ( k ) xi i k lim X k X k Định nghĩa chuẩn ma trận: a) Định nghĩa: Với ma trận thực, ta định nghĩa ‖ ‖ số không âm thỏa mãn: ‖ ‖ ≥ 0, dấu “ = ” ⇔ =0 ‖ ‖ = | | ‖ ‖ , k số ‖ + ‖ ≤ ‖ ‖ + ‖ ‖ b) Một số chuẩn thường dùng ma trận: n A max aij : Chuẩn cột j i 1 n 2 A aij : Chuẩn Euclide i, j n A max aij : Chuẩn hàng i j 1 Giới thiệu chuẩn ánh xạ tuyến tính liên tục a, Ánh xạ tuyến tính liên tục Phép ứng A từ không gian n vào không gian m gọi ánh xạ tuyến tính có tính chất sau i, A( x y ) A( x) A( y ) , x, y n ii, A( x) A( x) , , x n ta gọi vectơ e1 1, 0, , , e2 0,1, , , , en 0, 0, ,1 n vectơ đơn vị Ánh xạ tuyến tính biểu diễn qua ảnh vecto trục đơn vị theo công thức sau A( x) x1 A e1 x2 A e2 xn A en , * Mỗi A ei phần tử m gồm m số, ký hiệu ai1 , , , ain ta thiết lập ma trận A gồm n hàng m cột, với cột số A ei tức T A e1 , A e2 , , A en , hay a11 a T 12 a1m a21 an1 a22 an a2 m anm Ma trận gọi ma trận ánh xạ tuyến tính A coi vecto mà trận cột ta viết lại công thức * dạng đơn giản là: A x Tx x1 x với x xn Khi n=m T ma trận vng cấp n ánh xạ tương ứng với khơng gian n vào b, Chuẩn ánh xạ tuyến tính liên tục Nếu A: X , X Y , ánh xạ tuyến tính liên tục ta định nghĩa chuẩn A bởi: Y A sup A x x x X x0 Y X Từ định nghĩa ta dễ thấy tính chất sau A sup A x i, x X 1 Y sup A x x X 1 Y ii, A tuyến tính liên tục A x A x X Y , x X iii, A tuyến tính tồn số dương M cho A x M x Y X , x X Thì A liên tục A M c, Liên hệ với phương pháp lặp đơn Ta cần giả phương trình F x , F(x) hàm khơng gian định chuẩn hiểu phần tử không gian ta xét khơng gian n vecto T 0, 0, ,0 ta biến đổi phương trình dạng tương đương x=G(x) thực lặp đơn Ta phát biểu định lý sau : Định lý: giả sử y=G(x) hàm liên tục không gian định chuẩn phép lặp xn G xn1 n=1,2… hội tụ tới x* với xuất phát ban đầu x0 x* nghiệm phương trình x=G(x), tức ta có x* G x* Chứng minh: từ xn G xn1 ,với lưu ý hàm G(x) liên tục ,ta có : lim xn lim G ( xn 1 ) G lim xn 1 x* G x* n n n Định lý hội tụ phương pháp: Nếu có chuẩn thoả mãn ( p) phương trình Ax b có nghiệm x* dãy x( k ) hội tụ tới x* theo chuẩn tương ứng Chứng minh: a) Phương trình Ax b có nghiệm nhất: Xét hệ : hay x x x x ( p) ( p) Theo giả thiết: (1 q) x x ( p) ( p) ( p) ( p) x ( p) q 1 0 0 Hay nói cách khác: Nếu ma trận thoả mãn ( p) thường, hay ệ x x có nghiệm b) dãy x( k ) hội tụ tới x* theo chuẩn tương ứng Ta có: lim xk 1 lim ( xk ) x x lim xk 1 lim xk x x Do: lim xk 1 lim xk x* x x Như vậy: x* x* Mặt khác, từ x* x* , ta được: xk x* xk 1 x* xk 1 x* xk x* ( p) ( p) xk 1 x* Truy hồi theo k , ta được: xk x* ( p) q k x1 x* ( p) ( p) q xk 1 x* ( p) thì: hệ x x có nghiệm tầm Do q nên: xk x* ( p) k Hay lim xk x* điều phải chứng minh k IV CÔNG THỨC SAI SỐ Ta chứng minh hai công thức sai số sau: xk x* xk x* ( p) ( p) q xk xk 1 1 q qk x1 x0 1 q ( p) ( p) Theo công thức truy hồi: xk 1 xk xk xk 1 Trừ theo vế: xk 1 xk ( xk xk 1 ) xk 1 xk ( xk xk 1 ) xk xk 1 q xk xk 1 Suy ra: xk 1 xk q xk xk 1 Với l N * bất kỳ, ta được: xk l xk l 1 q xk l 1 xk l 2 Sử dụng phép truy hồi, ta được: xk l xk l 1 q l xk xk 1 Mặt khác, xét: xk l xk ( xk l xk l 1 ) ( xk l 1 xk l 2 ) ( xk 1 xk ) Lấy chuẩn toàn bộ: xk l xk ( xk l xk l 1 ) ( xk l 1 xk l 2 ) ( xk 1 xk ) xk l xk l 1 xk l 1 xk l 2 xk 1 xk Hay: xk l xk xk l xk l 1 xk l 1 xk l 2 xk 1 xk Sử dụng công thức: xk l xk l 1 q l xk xk 1 chứng minh trên, ta được: xk l xk q l 1 q l 2 1 xk 1 xk q l 1 q l 2 1 q xk xk 1 Như vậy: xk l xk q ql xk xk 1 1 q Cố định k cho l , ta được: xk x* q xk xk 1 1 q Cho k công thức xk l xk l 1 q l xk xk 1 : xl 1 xl q l x1 x0 Thay l k , ta được: xk xk 1 q k 1 x1 x0 Thay vào công thức xk x* xk x* q xk xk 1 , được: 1 q q qk xk xk 1 x1 x0 1 q 1 q Hay: qk xk x x1 x0 1 q * PHẦN II: LẶP JACOBI I ĐẶT VẤN ĐỀ Lặp Jacobi cung cấp cách xử lý chuẩn không thoả mãn điều kiện lặp đơn, cách dựa vào tính chất chéo trội ma trận II CÁC LOẠI LẶP JACOBI Tuỳ vào đề bài, ta sử dụng lặp Jacobi hai loại ma trận, là: - Jacobi ma trận chéo hàng - Jacobi ma trận chéo cột Jacobi chéo hàng: a) Nội dung phương pháp: a11 a1n Cho ma trận: , ta định nghĩa chéo trội hàng: a a nn n1 n aii aij với i 1, n j 1, j i Với ma trận chéo trội hàng hiển nhiên aii i 1, n Xét phương trình Ax b , với aii , chia hàng thứ i cho aii Các ma trận trở thành: a12 b1 a1n a11 a a 11 11 a21 b * a * A 22 , b a22 an1 an bn a a nn ann nn Khi đó, phương trình trở thành: A* x b* x A* x b* x x ( I A* ) x b* * I A* a21 * Trong đó: a22 an1 a nn a12 a11 an ann a1n a11 a2 n a22 Các bước tiếp theo, ta tiến hành lặp đơn b) Điều kiện hội tụ: n Do: aii aij j 1, j 1 n 1 j 1, j 1 * aij aii 1 Do đó, cách lặp Jacobi, ta ln thu mà trận thoả mãn điều kiện lặp đơn c) Công thức sai số: Ta áp dụng công thức sai số giống lặp đơn: xk x* xk x* ( p) ( p) q xk xk 1 1 q qk x1 x0 1 q ( p) ( p) Jacobi chéo cột a) Nội dung phương pháp a11 a1n Cho ma trận: , ta định nghĩa chéo trội cột: a a nn n1 n a jj aij , j 1, n i 1,i j Với ma trận chéo trội hàng hiển nhiên aii i 1, n Từ hệ phương trình: Ax b , ta đặt ẩn phụ: x1' a11 x1 x2' a22 x2 xn' ann xn Hệ phương trình trở thành: A* x ' b* a12 a 1n a22 ann b1 a21 a2 n b a * * ann , b Trong đó: A 11 bn an1 an a 11 a22 Vậy nên: x ' * x ' * , với * I A* , * b* Khi đó: a21 * a11 an1 a 11 a12 a22 an a22 a1n ann a2 n ann Ta tiến hành lặp đơn với ma trận * trên, ý sau bước tìm x* , ta cần trả lại ẩn x cho phương trình b) Điều kiện hội tụ n Ta có: a jj aij , j 1, n i 1,i j n Suy ra: i 1,i j aij a jj * 1 (luôn thoả mãn điều kiện lặp đơn) c) Công thức sai số Ta thực lặp đơn với * I A* , * b* trên, nhiên ta có đáp số nghiệm gần x ' nghiệm hệ ban đầu Nên ta cần đánh giá để liên hệ sai số: n n n x ' k x '* xi ' k xi '* aii xi k xi* aii xi k xi* aii x k x* 1i n 1in i1 i 1 i 1 x ' x '* 1 k Như với đầu vào sai số : aii x x* k 1 1i n Lưu ý: sau giải nghiệm x ' ta phải đưa nghiệm x nghiệm ban đầu đề u cầu PHẦN III: THUẬT TỐN, CHƯƠNG TRÌNH VÀ VÍ DỤ I SƠ ĐỒ THUẬT TỐN Lặp đơn Nhập , , , , ≔0 Type equation here Det(A)=0 Đ In cần tìm phương pháp khác S Đ A#At s s : = ‖ ‖( )