Báo cáo bài tập lớn đại số tuyến tính đề tài 18 sơ sớ lý thuyết phương pháp cùa phương pháp bình phương pháp bình phương cực tiểu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOĐại Học Quốc Gia TP.HCMTrường Đại Học Bách Khoa TP.HCMBáo Cáo Bài Tập Lớn Đại Số Tuyến Tính... ISƠ SỚ LÝ THUYẾT PHƯƠNG PHÁP CÙA PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG PHÁP BÌNH PH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Đại Học Quốc Gia TP.HCM

Trường Đại Học Bách Khoa TP.HCM

Báo Cáo Bài Tập Lớn Đại Số Tuyến Tính

Đề Tài 18:

Lớp: L11

Nhóm: 18

Giảng Viên Hướng Dẫn:

-ThS Nguyễn Xuân Mỹ

Danh Sách Thành Viên:

I)SƠ SỚ LÝ THUYẾT PHƯƠNG PHÁP CÙA PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU

1)lịch sử ra đời, mục đích, khái niệm

-sự ra đời

Bình phương cực tiểu bắt nguồn từ công trình tiên phong của Gauss và

Legender vào

năm 1975 sau khi thưc nghiệm tương đối chính xác vị trí các thiên thể, tạo nền móng cho

các bài toán tuyến tính sau này

-mục đích

Làm giảm bớt sai số phép đo, sai số hệ thống, tối ưu hóa sao cho giá trị sai số ấy

là nhỏ

nhất

Được sử dụng trong các bài toán giải hệ phương trình, tìm đường cong, phương trình hồi

quy trong thống kê

*khái niệm :

Trong toán học, phương pháp bình phương cực tiểu, là một phương pháp tối ưu hóa để

lựa chọn một đường khớp nhất cho một dải dữ liệu ứng với cực trị của tổng các sai số

thống kê giữa đường khớp và dữ liệu

Giả sử ta tập hợp các điểm D={(t1;b1),(t2;b2),…(tm;bm)} Cần tìm hàm f(t) sao cho đồ thị của nó đi qua (hoặc gần) tất cả các điểm của D

Xét trường hợp hàm f(t)=α +βgg (t )+γhh(t ).

Tìm α , βg , γh để ∈(t)=∑

i=1

m

(α +βgg(t i)+γhh(t i)−b i)2=∑

i=1

m

được gọi là phương pháp bình phương cực tiểu

Ta tìm cực trị của hàm ϵ (t ) có ba biến α , βg , γh

Để cho gọn, ta kí hiệu g(ti)=gi, h(ti)=hi.

Điểm dừng của hàm ϵ (t ) là :

{ϑϵ (t) ϑα =0

ϑϵ (t)

ϑβg =0

ϑϵ (t)

ϑγh =0

i=1

m

(α+βg g i+γh h i−b i)=0

i =1

m

(α+βg g i+γh h i−b i)g i= 0

i=1

m

(α +βg g i+γh h i−b i)h i=0

Xét các ma trận A=(1 g1h1

1 g2h2

⋮ ⋯⋮

1 g m h m),X=(α βg

γh),B=(b1

b2

⋮

b m)

=>X=(A¿¿T A)−1.( A T b)¿

Giải hệ phương trình trên ta được α , βg γh, suy ra f(t)

Nếu g(t)=t, h(t)=0, thì ta có đa thức bậc nhất f(t)=α +βgt

Nếu g(t)=t, h(t)=t2, thì ta có đa thức bậc hai f(t)=α +βgt+γh t2

II)chương trình matlap

III) ứng dụng của bài toán bình phương cực tiểu

Bài toán 1)

Tìm hàm tuyến tính và hàm bậc hai khớp nhất với các dữ liệu về độ lệch nhiệt độ trung bình toàn cầu từ năm 1991-2000 được cho như bảng sau

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,29 0,14 0,19 0,26 0,28 0,22 0,43 0,59 0,33 0,29

+Trường hợp là đường thẳng có dạng f(t)=at+b

dùng phương pháp bình phương cực tiểu

i=1

10 (a t i+b− y i)2=∑

i=1

10

g(i)2

{δgg(t) a =0

δgg(t)

b =0

{2∑

i =1

10 (a t i+b− y i)t i=0

i=1

10 (a t i+b− y i)=0

Xét ma trận A=

(

1 1

1 2

1 3

1 4

1 5

1 6

1 7

1 8

1 9

1 10), X=(b a),B=

(

0,29 0,14 0,19 0,26 0,28 0,22 0,43 0,59 0,33 0,29)

=> X=(A¿¿T A)−1.( A T b)¿

Suy ra f(x)=0,034t+0,123

Tương tự như trên ta xét ma trận A, X, B

A=

(

1 11

12 4

1 3 9

1 4 16

1 5 25

1 6 36

17 49

1 864

1 9 81

1 10100),X=(b c

a),B=

(

0,29 0,14 0,19 0,26 0,28 0,22 0,43 0,59 0,33 0,29)

=> X=(A¿¿T A)−1.( A T b)¿

=>f(t)=-0,024t2+0,2997t-0,4078

Bài toán 2

Tìm đường cong khớp nhất với dải dữ liệu có chu kì về nhiệt độ ghi nhận được ở Washington ngày 1/1/2001 được cho như bảng sau

12 mid

3 am

6 am

9 am

12 noon

3 pm

6 pm

9 pm

0 1/8

¼ 3/8

½ 5/8

¾ 7/8

-2,2 -2,8 -6,1 -3,9 0 1,1 -0,6 -1,1

Ta chọn hàm f(t) : a+bcos2πt+c sin2πt

Ta đặt g(t) = cos2πt , h(t) = sin2πt

Xét ma trận A

(

1 g 1 h 1

1 g 2 h 2

1 g 3 h 3

1 g 4 h 4

1 g 5 h 5

1 g 6 h 6

1 g 7 h 7

1 g 8 h 8) =

(

2

√2 2

1 −√2

2 2

1 −√2 2

−√2 2

2

−√2

ma trận B

(

−2,2

−2,8

−6,1

−3,9

0

1,1

−0,6

1,1 )

A T A=(8 0 00 4 0

0 0 4) ; A T B = ( −785

−11√2−44 20

−67√2−110

Giải hệ A T AX= A T B, ta được nghiệm X = (-1,95;-0,7445;-2,5594)

Vậy hàm f (t )=−1,95−0,7445 cos2 πt−2,5594 sin 2 πt

Bài toán 3

Cho bảng dữ liệu (50;86),(15;65),(45;90),(35;78), trong đó các hoành độ cho biết thời gian tính bằng phút mà bạn Tùng học trong đêm trước ngày thi của 5 môn học và tung độ cho biết số điểm bạn Tùng đạt được (thang điểm 100) 1) Xấp xỉ bảng dữ liệu trên bởi 1 hàm bậc nhất

2) Giả sử bạn Tùng bỏ ra 25 phút để học vào đêm trước ngày thi môn đại số tuyến tính Hãy dữ đoán bạn Tùng bao nhiêu điểm môn này?

1)

Hàm cần tìm là f(t)=at+b

A=((1 g 1 1 g 2

1 g 3

1 g 4)=(1 501 15

1 45

1 35), B=(8665

90

78), X=(b a)

X=(A¿¿T A)−1.( A T b)¿=(54,9740,683)

Vậy xấp xỉ bởi những hàm f(t)=0,683t+54,974

Giả sử bạn Tùng bỏ ra 25 phút để học vào đêm trước ngày thi môn đại số tuyến tính thì điểm của bạn ấy là: