một số phương pháp lặp giải bài toán không điểm chung

Các phương trình tiến hóa như trên có thể xuất hiện trong các phương trình nhiệt, phương trình sóng hay phương trình Schr¨odinger.Ở trạng thái cân bằng, dudt = 0, thì bài toán trên trở t

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN MINH TRANG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP

GIẢI BÀI TOÁN KHÔNG ĐIỂM CHUNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên – 2022

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN MINH TRANG

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi được hoàn thành dưới

sự hướng dẫn của PGS.TS Trương Minh Tuyên và PGS.TS Nguyễn Thị ThuThủy Các kết quả viết chung với các tác giả khác đã được sự nhất trí của cácđồng tác giả trước khi đưa vào luận án Các kết quả được nêu trong luận án làtrung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giảNguyễn Minh Trang

Lời cảm ơn

Luận án này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học – Đại họcThái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Trương Minh Tuyên vàPGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tớiThầy và Cô

Trong quá trình học tập và nghiên cứu, thông qua các bài giảng và seminar,tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và những ý kiến đóng góp quýbáu của GS.TSKH Phạm Kỳ Anh, GS.TSKH Lê Dũng Mưu, TS Trịnh NgọcHải, TS Dương Thị Việt An, TS Nguyễn Song Hà, TS Trần Xuân Quý, TS.Nguyễn Thanh Sơn, TS Mai Viết Thuận Từ đáy lòng mình, tác giả xin đượcbày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các Thầy và Cô

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Chủ nhiệm Khoa Toán – Tin, PhòngĐào tạo – bộ phận Đào tạo Sau đại học và Ban Giám hiệu trường Đại học Khoahọc – Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả có thểhoàn thành luận án của mình

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong Bộ môn Toán ứngdụng và Tin học, khoa Toán – Tin, trường Đại học Khoa học và các thầy côgiáo trong Khoa Quốc tế, trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp cùng toàn thểanh chị em nghiên cứu sinh, bạn bè đồng nghiệp đã luôn quan tâm, động viên,trao đổi và đóng góp những ý kiến quý báu cho tác giả trong suốt quá trìnhhọc tập, nghiên cứu, seminar và hoàn thành luận án

Tác giả xin kính tặng những người thân yêu trong gia đình niềm vinh hạnhnày

Tác giảNguyễn Minh Trang

Mục lục

1.1 Không gian Banach phản xạ, lồi và trơn 10

1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 14

1.3 Phép chiếu mêtric 15

1.4 Ánh xạ L-liên tục Lipschitz và ánh xạ co 16

1.5 Toán tử loại đơn điệu 18

1.6 ε-mở rộng của toán tử đơn điệu cực đại 23

1.7 Một số bổ đề bổ trợ 25

Chương 2 Xấp xỉ không điểm chung của các toán tử loại đơn điệu trong không gian Banach 26 2.1 Xấp xỉ không điểm chung của các toán tử đơn điệu 26

2.2 Xấp xỉ không điểm chung của toán tử j-đơn điệu 35

2.2.1 Thuật toán lặp xoay vòng 37

2.2.2 Thuật toán lặp song song 44

2.3 Một số bài toán liên quan 50

2.3.1 Bài toán điểm cực tiểu chung 50

2.3.2 Bài toán điểm bất động chung 52

2.3.3 Bài toán chấp nhận lồi 52

2.4 Ví dụ số minh họa 55

Chương 3 Xấp xỉ nghiệm của bài toán không điểm chung tách

3.1 Thuật toán và sự hội tụ 61

3.2 Một số bài toán liên quan 68

3.2.1 Bài toán điểm cực tiểu tách 68

3.2.2 Bài toán chấp nhận tách 70

3.3 Ví dụ số minh họa 71

Chương 4 Xấp xỉ nghiệm của bài toán điểm bất động chung tách trong không gian Hilbert 77 4.1 Thuật toán và sự hội tụ 77

4.2 Một số bài toán liên quan 93

4.2.1 Bài toán không điểm chung tách 93

4.2.2 Bài toán chấp nhận tách đa tập 94

4.3 Ví dụ số minh họa 94

Một số ký hiệu và chữ viết tắt

lp (1 ≤ p < ∞) không gian các dãy số khả tổng bậc p

Lp[a, b] (1 ≤ p < ∞) không gian các hàm khả tích bậc p trên [a, b]

hx, yi tích vô hướng của x ∈ H và y ∈ H

lim sup

k→∞

lim inf

Danh sách bảng

2.1 Kết quả số của Ví dụ 2.4.1 với phương pháp lặp (2.36) 562.2 Kết quả số của Ví dụ 2.4.2 trong Trường hợp 1 với phương pháplặp (2.37) 582.3 Kết quả số của Ví dụ 2.4.2 trong Trường hợp 2 với phương pháplặp (2.37) 582.4 Kết quả số của Ví dụ 2.4.2 trong Trường hợp 1 với phương pháplặp (2.38) 592.5 Kết quả số của Ví dụ 2.4.2 trong Trường hợp 2 với phương pháplặp (2.38) 593.1 Kết quả số của Ví dụ 3.3.1 với Thuật toán 3.2.2 723.2 Kết quả số của Ví dụ 3.3.2 trong Trường hợp 1 với Thuật toán3.2.2 733.3 Kết quả số của Ví dụ 3.3.2 trong Trường hợp 2 với Thuật toán3.2.2 733.4 Kết quả số của Ví dụ 3.3.2 với các thuật toán (3.17), (3.18) vàThuật toán 3.2.2 754.1 Kết quả số của Ví dụ 4.3.1 với Thuật toán 4.1.1 và Thuật toán4.1.3 khi f (x) = u = x0 964.2 Kết quả số của Ví dụ 4.3.1 với Thuật toán 4.1.2 và Thuật toán4.1.3 khi f (x) = 1

2x + u . 96

Danh sách hình vẽ

1 Mô hình chụp ảnh X-quang 52.1 Dáng điệu của xn(t) trong Ví dụ 2.4.1 khi n < 10−4 562.2 Dáng điệu của xn(t) trong Ví dụ 2.4.1 khi n < 10−5 572.3 Biến thiên của n trong Ví dụ 2.4.2 với phương pháp lặp (2.37) 582.4 Biến thiên của n trong Ví dụ 2.4.2 với phương pháp lặp (2.38) 59

3.1 Biến thiên của n trong Bảng 3.1 khi n < 10−4 723.2 Dáng điệu của xn(t) trong Ví dụ 3.3.2 với Thuật toán 3.2.2 khi

n < 10−3 743.3 Dáng điệu của xn(t) trong Ví dụ 3.3.2 với các thuật toán (3.17),(3.18) và Thuật toán 3.2.2 754.1 Biến thiên của n trong Bảng 4.1 khi n < 10−5 964.2 Biến thiên của n trong Bảng 4.2 khi n < 10−5 97

Mở đầu

Trong không gian Banach E, dạng đơn giản của bài toán xác định khôngđiểm được phát biểu như sau:

trong đó A : E −→ 2X là toán tử đa trị từ không gian Banach E vào khônggian Banach X Bài toán (0.1) được gọi là Bài toán tìm không điểm của toán

tử loại đơn điệu nếu A là toán tử đơn điệu (với X = E∗) hoặc toán tử j-đơnđiệu (với X = E) v.v

Dạng tổng quát của (0.1) là bài toán tìm không điểm chung, cụ thể:

du

dt + Au(t) = 0, u(t0) = u0,trong đó A là toán tử j-đơn điệu trong không gian Banach Các phương trìnhtiến hóa như trên có thể xuất hiện trong các phương trình nhiệt, phương trìnhsóng hay phương trình Schr¨odinger

∂f (x0) = {u ∈ E∗| f (x) − f (x0) ≥ hx − x0, ui, ∀x ∈ E}

là một toán tử đơn điệu cực đại [42] Phần tử x ∈ E làm cực tiểu hàm lồi f khi

và chỉ khi ∂f (x) 3 0 Như vậy, bài toán cực tiểu hóa hàm lồi f tương đươngvới bài toán xác định không điểm của toán tử đơn điệu cực đại ∂f Hoặc, nếu

T : D(T ) ⊆ E −→ E là một ánh xạ không giãn thì A = IE − T là một toán

tử j -đơn điệu (trong trường hợp D(T ) trùng với E thì IE − T là một toán tửm-j-đơn điệu) Khi đó, Fix(T ) = A−10, do đó, bài toán tìm điểm bất động củaánh xạ T tương đương với bài toán xác định không điểm của toán tử j-đơn điệu

A = IE − T

Một trong những phương pháp cổ điển để giải bài toán không điểm là thuậttoán điểm gần kề được đề xuất bởi Martinet [36] để tìm điểm cực tiểu của hàmlồi f trong không gian Hilbert H Martinet đã xây dựng dãy lặp {xn} hội tụyếu đến điểm cực tiểu của f , xác định bởi x1 ∈ H và

Chú ý rằng, dãy {xn} trên có thể viết lại ở dạng

∂f (xn+1) + xn+1 3 xn, n ≥ 1

Năm 1976, thuật toán này được Rockafellar [43] sử dụng cho bài toán tìmkhông điểm của toán tử đơn điệu cực đại A : H −→ 2H trong không gianHilbert H Ông xây dựng dãy lặp {xn} bởi x0 ∈ H và

hay xn+1 = JcAnxn; trong đó JcAn = (IH+ cnA)−1 là toán tử giải của A với cn > 0.Thêm nữa, Rockafellar [43] cũng đưa ra một thuật toán điểm gần kề khôngchính xác với dãy lặp {xn} được xác định bởi

xn+ en ∈ xn+1+ cnAxn+1, n ≥ 0,

hay

xn+1 = JcAn(xn + en), n ≥ 0,trong đó {en} là dãy sai số Rockafellar [43] chỉ ra rằng nếu P∞

n=1kenk < ∞,thì dãy {xn} hội tụ yếu về một không điểm của A

Năm 1991, Guler [26] đã xây dựng một ví dụ để chỉ ra phương pháp điểm gần kề không hội tụ mạnh trong trường hợp tổng quát Một ví dụ gần đây củatác giả Bauschke và cộng sự [6] cũng chỉ ra rằng dãy lặp {xn} xác định bởi (0.2)chỉ hội tụ yếu

Nhiều nhà toán học sau đó đã nghiên cứu cải tiến phương pháp điểm gần kề

để đạt được sự hội tụ mạnh cho lớp toán tử loại đơn điệu, chẳng hạn như kếthợp phương pháp điểm gần kề với phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov (Lehdili vàMoudafi [32], Xu [59]), với phương pháp lặp Halpern (Aoyama [3], Kamimura

và Takahashi [30], Qin và Su [39], Xu [56]), với phương pháp xấp xỉ gắn kết(Chen và Zhu [21, 22], Jung [28, 29]) và với các phương pháp chiếu lai ghép haychiếu co hẹp (Takahashi và các cộng sự [46, 47]) v.v

Cho đến nay, bài toán xác định không điểm (chung) của các toán tử loại đơnđiệu vẫn là một trong những chủ đề thu hút đông đảo người làm toán trên thếgiới quan tâm nghiên cứu Một số hướng nghiên cứu hiện nay về lớp bài toánnày là: nghiên cứu mở rộng các kết quả đã có từ không gian Hilbert sang khônggian Banach, nghiên cứu tính ổn định, tốc độ hội tụ của các phương pháp vànghiên cứu lớp bài toán tổng quát hơn - bài toán không điểm chung tách.Bài toán không điểm chung tách (Split Common Null Point Problem) yêucầu tìm một điểm thuộc tập các không điểm chung của một họ hữu hạn cáctoán tử đơn điệu cực đại sao cho ảnh của nó qua một phép biến đổi tuyến tính(toán tử chuyển) thuộc tập các không điểm chung của một họ hữu hạn cáctoán tử đơn điệu cực đại khác Cụ thể, với Ai : H1 −→ 2H 1, i = 1, 2, , N và

Bk : H2 −→ 2H 2, k = 1, 2, , M , là các toán tử đơn điệu cực đại tương ứngtrong H1, H2 và T : H1 −→ H2 là một toán tử tuyến tính, bị chặn, giả sử

Trước tiên, bài toán chấp nhận tách (Split Feasibility Problem) được giớithiệu lần đầu bởi Censor và Elfving [17], yêu cầu tìm một điểm thuộc một tậpcon lồi, đóng, khác rỗng của không gian nguồn sao cho ảnh của nó qua mộttoán tử tuyến tính, bị chặn thuộc một tập con lồi, đóng, khác rỗng trong khônggian ảnh Cụ thể, cho C và Q tương ứng là các tập con lồi, đóng và khác rỗngcủa các không gian Hilbert H1 và H2 Cho T : H1 −→ H2 là một toán tử tuyếntính, bị chặn sao cho Ω := C ∩ T−1(Q) 6= ∅,

Bài toán chấp nhận tách đa tập (Multiple-set Split Feasibility Problem) làdạng tổng quát của bài toán chấp nhận tách, được phát biểu như sau: Cho

Ci, i = 1, 2, , N và Qk, k = 1, 2, , M , tương ứng là các tập con lồi đóngcủa H1, H2 Cho T : H1 −→ H2 là một toán tử tuyến tính, bị chặn Giả sử

ΩS:= ∩Ni=1Ci∩ T−1(∩Mk=1Qk) 6= ∅,

Bài toán chấp nhận tách xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹthuật, như xử lý tín hiệu, khôi phục hình ảnh và y tế Ví dụ, mô hình chụpảnh X-quang được Qu và Liu [40] giới thiệu như một bài toán chấp nhận tách.Nguyên lý chụp X-quang là khi chiếu chùm tia X qua cơ thể, các tia X đượchấp thụ một phần và suy giảm cường độ khác nhau đối với các mô khác nhau,thể hiện trên phim X-quang thành các vùng đen/xám/trắng tùy thuộc vào hệ

số hấp thụ Từ dữ liệu của hàm suy giảm, ta suy ra thông tin về trạng thái sinh

lý của cơ thể

Qu và Liu xét mô hình trên mặt cắt ngang hai chiều như sau: Đặt một lướiĐề-các gồm các phần tử hình vuông, được gọi là pixel, lên toàn bộ mặt cắt Cácpixel được đánh số từ 1 (pixel góc trên cùng bên trái) đến M (pixel góc dướicùng bên phải) như Hình 1 Nguồn chiếu và bộ thu là các điểm và các tia giữachúng Với i = 1, 2, , N và k = 1, 2, , M , xk là giá trị của hàm suy giảm(được giả sử là không đổi) trên pixel thứ k, yk là tổng suy giảm của tia thứ i

và aik là độ lớn của giao giữa tia thứ i với pixel thứ k (biểu diễn cho đóng gópcủa pixel thứ k vào yi) yi được biểu diễn bằng tích phân đường của hàm suygiảm chưa biết dọc theo đường đi của tia, do đó, được tính bằng một tổng hữuhạn và vì vậy mô hình được mô tả bởi một hệ phương trình tuyến tính

Tìm x ∈ C =x ∈ RM : x ≥ 0 sao cho y = Ax và y ∈ Q =y ∈ RN : y ≥ 0 Một ví dụ khác về bài toán chấp nhận tách đa tập là mô hình của kỹ thuật

xạ trị điều biến cường độ IMRT (Intensity Modulated Radiation Therapy), đây

Hình 1: Mô hình chụp ảnh X-quang

là kỹ thuật xạ trị tiên tiến sử dụng máy gia tốc tuyến tính để đưa liều bức xạchính xác tới khối u hoặc thể tích cần điều trị Các trường chiếu được chia ranhiều chùm tia nhỏ (beamlet) và điều biến, cường độ của các chùm tia nhỏ nàyđược kiểm soát để đảm bảo phân bố chính xác theo yêu cầu của thể tích điềutrị Ưu điểm vượt trội của IMRT so với kỹ thuật xạ trị thông thường là nó chophép nâng cường độ phù hợp tại khối u trong khi hạn chế cường độ chiếu vào

mô lành xung quanh và khả năng kê liều (cường độ) đồng thời vào nhiều thểtích điều trị

Censor và cộng sự [18] đã xét mô hình IMRT có U thể tích cần điều trị và

V chùm tia xạ Với i = 1, , U và k = 1, , V , ký hiệu h = (hi) là vectơ liềuhấp thu, D = (dik) là ma trận liều ảnh hưởng và x = (xk) là vectơ cường độ,khi đó hi = PV

k=1dikxk, hay h = Dx

Giả sử có M ràng buộc trong không gian liều RU và N ràng buộc trong khônggian cường độ RV Gọi Cm, m = 1, , M, là tập các vectơ liều thỏa mãn ràngbuộc liều thứ m và Qn, n = 1, , N , là tập các vectơ cường độ chùm tia thoả

mãn ràng buộc cường độ thứ n (các ràng buộc được thiết lập dựa trên tính chất ysinh học của mô hình, cụ thể xem trong [18]) Ngoài ra, các cường độ phải không

âm, biểu diễn bằng tập C+ = x = (xk) ∈ RV : xk ≥ 0, ∀k = 1, 2, , V Khi

đó, mô hình IMRT là bài toán chấp nhận tách đa tập ở dạng sau

Tìm ¯x ∈ C+∩ ∩Nn=1Cn
sao cho ¯h = D¯x và ¯h ∈ ∩Mm=1Qm

Bài toán (MSFP) có thể coi là một trường hợp đặc biệt của Bài toán(SCNPP) Thật vậy, với iC là hàm chỉ của một tập con lồi và đóng C trongkhông gian Hilbert H1, ta biết rằng

argminH1iC(x) = C = (∂iC)−1(0)

Do đó, Bài toán (MSFP) có thể đưa về dạng Bài toán (SCNPP)

Tiếp theo, ta giới thiệu bài toán điểm bất động chung tách (Split CommonFixed Point Problem) đối với lớp ánh xạ không giãn Bài toán được phát biểunhư sau: Cho Ti : H1 −→ H1, i = 1, 2, , N và Sk : H2 −→ H2, k = 1, 2, , M,tương ứng là các ánh xạ không giãn trên H1 và H2, T : H1 −→ H2 là một toán

tử tuyến tính, bị chặn Giả sử ΩF := ∩Ni=1Fix(Ti) ∩ T−1 ∩M

k=1Fix(Sk)
6= ∅, khiđó,

sự [54, 55]

Một trong những phương pháp phổ biến để xấp xỉ nghiệm của các bài toántrên là phương pháp CQ được Byrne [14] giới thiệu năm 2002: Với x0 bất kỳ,dãy lặp {xn} xác định bởi

xn+1 = PH1

C (xn − γT∗(IH2− PH2

Q )T xn), n ∈ N,

2009 Censor và Segal [20] đã chứng minh sự hội tụ yếu của thuật toán sau:

xn+1 = T1(xn− ρT∗(IH2 − S1)T xn), n ∈ N,

trong đó ρ ∈ 0, 2

kT k 2

.Năm 2012, với Bài toán (SCNPP) trường hợp chỉ có hai toán tử A và B,Byrne và các cộng sự [15] đã chứng minh sự hội tụ yếu của dãy {xn} xác địnhbởi x0 ∈ H1 và

Như vậy, hầu hết các phương pháp này đều dựa trên phương pháp CQ, trong

đó cỡ bước phụ thuộc vào chuẩn của toán tử chuyển T Ta biết rằng trong thực

tế việc tính toán chuẩn toán tử thường không đơn giản Do đó, việc đưa ranhững tiêu chuẩn khác để chọn cỡ bước khi không biết thông tin về kT k cũng

là vấn đề có ý nghĩa và quan trọng trong thực tiễn tính toán

Những năm gần đây, đã có nhiều tác giả nghiên cứu cải tiến phương pháp

CQ sao cho cỡ bước không phụ thuộc vào chuẩn của toán tử chuyển, nhưng đa

số chỉ đạt được sự hội tụ yếu, chẳng hạn như thuật toán của Cui và cộng sự [24],López và cộng sự [33], Yang [61] Sau đó, các thuật toán hội tụ mạnh cho cácBài toán (SFP) và (SCFPP) cũng được đề xuất bởi Boikanyo [7], Tian [52] vàWang [62] Tuy nhiên, những nghiên cứu tương tự cho Bài toán (SCNPP) trongviệc xây dựng thuật toán không yêu cầu thông tin về chuẩn của toán tử hầunhư chưa có

Mục đích của luận án là đề xuất các phương pháp lặp mới giải bài toánkhông điểm chung (tách) trong không gian Banach hay không gian Hilbert vàđưa ra các ứng dụng cho các bài toán liên quan khác Cụ thể, các mục tiêunghiên cứu được đặt ra trong luận án như sau:

1 Đề xuất các phương pháp lặp mới cho bài toán tìm không điểm chung củamột họ hữu hạn toán tử đơn điệu và j-đơn điệu trong không gian Banach;

2 Đề xuất phương pháp lặp song song mới xấp xỉ nghiệm của bài toánkhông điểm chung tách trong không gian Hilbert khi không biết thông tin

về chuẩn của toán tử chuyển;

3 Đưa ra các phương pháp lặp mới xấp xỉ nghiệm của bài toán điểm bấtđộng chung tách trong không gian Hilbert, từ đó ứng dụng cho bài toánkhông điểm chung tách

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận

án được trình bày trong bốn chương Trong Chương 1, chúng tôi trình bày một

số kiến thức chuẩn bị cho việc trình bày các kết quả chính ở các chương sau.Chương 2 trình bày các cải tiến của phương pháp chiếu co hẹp và phương phápđường dốc nhất để đưa ra các thuật toán mới tìm không điểm chung của toán

tử loại đơn điệu trong không gian Banach Trong Chương 3, dựa trên phươngpháp xấp xỉ gắn kết và một cải tiến của phương pháp CQ, chúng tôi đề xuấtmột phương pháp lặp song song mới cho bài toán không điểm chung tách trongkhông gian Hilbert, đặc biệt trong phương pháp này, cỡ bước được xây dựng màkhông cần đến thông tin về chuẩn của toán tử Cuối cùng, ở Chương 4, chúngtôi đưa ra các thuật toán song song để giải quyết bài toán điểm bất động chungtách trong không gian Hilbert Ở cuối các chương từ Chương 2 đến Chương 4,các thuật toán mới được áp dụng cho các bài toán liên quan và được minh họabằng các ví dụ số

Các kết quả của luận án đã được công bố trong các bài báo (1)–(4) trongDanh mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án và được báo cáo tại:

• Hội thảo “Những hướng mới trong tối ưu tính toán và ứng dụng”, ViệnNghiên cứu cao cấp về Toán, 26-27/12/2021

• Hội thảo quốc gia “Ứng dụng công nghệ cao vào thực tiễn” năm 2021, ViệnKhoa học - Công nghệ Quân sự, Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp -Đại học Thái Nguyên, 31/5-04/6/2021

• Seminar của Bộ môn Toán ứng dụng và Tin học, Khoa Toán - Tin, TrườngĐại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên các năm 2018, 2019, 2020

• Seminar “Bài toán cân bằng và các vấn đề liên quan”, Viện Toán ứng dụng

và Tin học, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, 03/11/2020

• Hội thảo Khoa học “Một số vấn đề trong Toán học đương đại”, KhoaToán-Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, 10/11/2020

• Vietnam - USA Joint Mathematical Meeting, Quy Nhon, Vietnam, June10-13, 2019

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian Banach và toán

tử đơn điệu Nội dung của chương được chia thành bảy mục: Mục 1.1 trình bàykhái niệm không gian Banach phản xạ, không gian Banach lồi và trơn cùng một

số tính chất Mục 1.2 trình bày về ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Mục 1.3 trìnhbày phép chiếu mêtric Mục 1.4 nhắc lại khái niệm ánh xạ L-liên tục Lipschitz

và ánh xạ co Mục 1.5 và 1.6 nêu các khái niệm, tính chất của toán tử loại đơnđiệu và ε-mở rộng của toán tử đơn điệu Cuối cùng, trong Mục 1.7 chúng tôitrình bày một số bổ đề bổ trợ dùng đến trong chứng minh các định lý chính ởcác chương tiếp theo

1.1 Không gian Banach phản xạ, lồi và trơn

Cho E là một không gian Banach với chuẩn k · k và E∗ là không gian liênhợp (hay đối ngẫu) của nó, tức là không gian các phiếm hàm tuyến tính liêntục trên E Giá trị của f ∈ E∗ tại x ∈ E được ký hiệu hx, f i Với dãy {xn}trong E, ta ký hiệu xn → x, xn * x, xn * x lần lượt là sự hội tụ mạnh, yếu và∗

∗yếu của dãy {xn} về phần tử x trong E

Định nghĩa 1.1.1 Không gian Banach E được gọi là phản xạ, nếu với mọiphần tử x∗∗ của không gian liên hợp thứ hai E∗∗ của E, tồn tại phần tử x ∈ Esao cho

hx, x∗i = hx∗, x∗∗i với mọi x∗ ∈ E∗

Ví dụ 1.1.2 [1, trang 35] Không gian Rn, không gian Hilbert H, không gian

lp, Lp[a, b] (1 < p < ∞) là các không gian Banach phản xạ

Mệnh đề 1.1.3 [1, trang 42] Cho E là một không gian Banach Khi đó, cáckhẳng định sau là tương đương

i) E là không gian phản xạ

ii) Mọi dãy bị chặn trong E đều có một dãy con hội tụ yếu

Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu giới hạn của dãy tập hợp trong không gianBanach theo nghĩa của Mosco [37]

Định nghĩa 1.1.4 Cho {Cn} là một dãy các tập con lồi, đóng và khác rỗngcủa không gian Banach phản xạ E Các tập con s-LinCn và w-LsnCn của Eđược xác định như sau

i) x ∈ s-LinCn khi và chỉ khi tồn tại dãy {xn} ⊂ E hội tụ mạnh về x và

và C0 ⊂ w-LsnCn

Bây giờ ta sẽ chỉ ra rằng C0 ⊇ s-LinCn và C0 ⊇ w-LsnCn Lấy x ∈ s-LinCn,

từ định nghĩa của s-LinCn, tồn tại dãy {xn} ⊂ E, xn ∈ Cn với mọi n ≥ 1 saocho xn → x khi n → ∞ Vì {Cn} là một dãy giảm nên xn+k ∈ Cn với mọi n ≥ 1

và mọi k ≥ 0 Do đó, cho k → ∞ và từ tính đóng của Cn, ta nhận được x ∈ Cnvới mọi n ≥ 1 Suy ra x ∈ C0 và do vậy C0 ⊇ s-LinCn Tiếp theo, lấy bất kỳ

y ∈ w-LsnCn, từ định nghĩa của w-LsnCn, tồn tại một dãy con {Cnk} của {Cn}

và dãy {yk} ⊂ E sao cho yk * x và yk ∈ Cnk với mọi k ≥ 1 Từ tính giảm củadãy {Cn}, ta có

với mọi k ≥ 1 và p ≥ 0 Vì Cnk là lồi và đóng nên Cnk là đóng yếu trong E vớimọi k ≥ 1 [1, trang 40] Do đó, trong (1.1), cho p → ∞, ta nhận được y ∈ Cnkvới mọi k ≥ 1 Vì Ck ⊇ Cnk nên y ∈ Ck với mọi k ≥ 1 Suy ra, y ∈ C0 và do đó

C0 ⊇ w-LsnCn

Tóm lại, ta thu được s-LinCn = C0 và w-LsnCn = C0 Vậy C0 = M-limn→∞Cn

Nhận xét 1.1.6 Ở Mệnh đề 1.1.5, chúng tôi đưa ra một chứng minh mới, khácvới chứng minh của Mosco [37], cho sự hội tụ của dãy giảm các tập con lồi đóngtrong không gian Banach Chứng minh cho kết quả tương tự trong không gianđịnh chuẩn có thể xem ở [37, Bổ đề 1.3].

Để định nghĩa tính lồi của không gian Banach, trước hết ta ký hiệu mặt cầuđơn vị của không gian Banach E là SE = {x ∈ E | kxk = 1}

Định nghĩa 1.1.7 Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với mọi

x, y ∈ SE, x 6= y, ta có

ktx + (1 − t)yk < 1 với mọi t ∈ (0, 1)

Chú ý 1.1.8 Định nghĩa 1.1.7 còn có thể phát biểu dưới các dạng tương đươngsau: Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với mọi x, y ∈ SE thỏa mãn

kx + yk

2 = 1 thì x = y, hoặc nếu x 6= y mà kxk = 1 và kyk = 1 thì

x + y

2 < 1.Định nghĩa 1.1.9 Không gian Banach E được gọi là lồi đều nếu với mọi

ε ∈ (0, 2], tồn tại δ = δ(ε) > 0 sao cho

x + y

với mọi x, y ∈ E mà kxk ≤ 1, kyk ≤ 1, kx − yk ≥ ε

Ví dụ 1.1.10 [1, trang 53–54] Không gian Hilbert H, không gian lp, Lp[a, b](1 < p < ∞) là các không gian lồi đều

Mệnh đề 1.1.11 [1, trang 105] E lồi đều nếu và chỉ nếu với mỗi r > 0, tồntại một hàm lồi tăng chặt liên tục ϕ : R+ −→ R+ với ϕ(0) = 0 sao cho

kαx + (1 − α)yk2 ≤ αkxk2+ (1 − α)kyk2− α(1 − α)ϕ(kx − yk),

với mọi x, y ∈ E thỏa mãn max{kxk, kyk} ≤ r và α ∈ [0, 1]

Mệnh đề 1.1.12 [1, trang 56] Mọi không gian Banach lồi đều bất kì là khônggian lồi chặt và phản xạ

Ngược lại, không gian Banach lồi chặt nói chung không phải không gian lồiđều

Ví dụ 1.1.15 Mọi không gian Hilbert H đều có tính chất Kadec-Klee.

Thật vậy, giả sử {xn} là một dãy bất kỳ trong H thỏa mãn xn * x và

Định nghĩa 1.1.16 Không gian Banach E được gọi là trơn nếu với mỗi

x ∈ SE, tồn tại duy nhất phiếm hàm fx ∈ E∗ sao cho hx, fxi = kxk và kfxk = 1

Ví dụ 1.1.17 [1, trang 91] Các không gian lp, Lp[a, b] (1 < p < ∞) và khônggian Hilbert là không gian Banach trơn

Mệnh đề 1.1.18 [1, trang 92] Cho E là một không gian Banach Khi đó, ta

có các khẳng định sau:

i) Nếu E∗ là không gian lồi chặt thì E là không gian trơn

ii) Nếu E∗ là không gian trơn thì E là không gian lồi chặt

Định nghĩa 1.1.19 Cho không gian Banach E

i) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Gâteaux nếu với mỗi y ∈ SE, giới hạn

ii) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Gâteaux đều nếu với mỗi y ∈ SE giớihạn (1.2) tồn tại đều với mọi x ∈ SE.

Nhận xét 1.1.20 Tính trơn của không gian Banach có mối liên hệ chặt chẽvới tính khả vi Gâteaux của chuẩn Theo [1, trang 92], không gian Banach Eđược gọi là trơn nếu chuẩn của nó khả vi Gâteaux trên E\{0}

1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc

Định nghĩa 1.2.1 Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn, với mỗi

x ∈ X, ánh xạ đa trị J : X −→ 2X∗ xác định bởi

J (x) = {f ∈ X∗ | hx, f i = kxk2, kxk = kf k}

được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X Khi J là ánh xạ đơn trị ta kýhiệu nó bởi j

Chú ý 1.2.2 Trong không gian tuyến tính định chuẩn bất kỳ, ta luôn có

J (x) 6= ∅ với mọi x ∈ X, điều này được suy ra trực tiếp từ hệ quả của Định lýHahn-Banach

Ví dụ 1.2.3 [1, trang 67] Trong không gian Hilbert H, ánh xạ đối ngẫu chuẩntắc là ánh xạ đồng nhất IH

Mệnh đề 1.2.4 [1, trang 69] Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn

và J là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của nó Khi đó,

i) J là một ánh xạ lẻ, tức là J (−x) = −J (x), ∀x ∈ X;

ii) J là thuần nhất dương, tức là J (λx) = λJ (x), ∀λ > 0, ∀x ∈ X;

iii) J bị chặn, tức là nếu D là một tập con bị chặn của X thì J (D) là một tậphợp bị chặn trong X∗;

iv) Nếu X∗ là lồi chặt thì J là đơn trị

Mệnh đề 1.2.5 [1, trang 69] Cho E là một không gian Banach trơn có j làánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Khi đó,

hx − y, j(x) − j(y)i ≥ 0,với mọi x, y ∈ E Hơn nữa, nếu E là không gian lồi chặt thì

hx − y, j(x) − j(y)i = 0,khi và chỉ khi x = y

151.3 Phép chiếu mêtric

Trước hết, ta có mệnh đề dưới đây là cơ sở để xây dựng phép chiếu mêtrictrong không gian Banach phản xạ và lồi chặt

Mệnh đề 1.3.1 [1, trang 118] Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗngcủa không gian Banach phản xạ và lồi chặt E Khi đó, với mỗi x ∈ E, tồn tạiduy nhất phần tử y ∈ C sao cho

Đặc trưng của phép chiếu mêtric được cho bởi mệnh đề dưới đây

Mệnh đề 1.3.3 [1, trang 119] Cho E là một không gian Banach phản xạ,lồi chặt và trơn Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của E, x ∈ E và

z ∈ C Khi đó, các khẳng định sau là tương đương

i) z = PCx;

ii) hz − y, j(x − z)i ≥ 0 với mọi y ∈ C

Mọi không gian Hilbert đều là không gian phản xạ, lồi chặt và trơn nên từmệnh đề trên ta có điều kiện cần và đủ để ánh xạ PC : H −→ C là một phépchiếu mêtric từ không gian Hilbert H vào tập con lồi đóng C của nó

Hệ quả 1.3.4 Cho C là một tập con lồi đóng của không gian Hilbert H Khi

đó, điều kiện cần và đủ để ánh xạ PC : H −→ C là phép chiếu mêtric từ H lên

C là

hx − PCx, PCx − yi ≥ 0 với mọi x ∈ H và y ∈ C (1.4)

Ví dụ 1.3.5 [5, trang 419] Trong không gian Hilbert H, ta xét phép chiếumêtric PC với một số trường hợp của tập con C

i) C là siêu phẳng C = {x ∈ H | hu, xi = a}, trong đó u ∈ H, u 6= 0 và

a ∈ R Khi đó,

PCx = x −hu, xi − a

kuk2 u, với mọi x ∈ H.

ii) C là nửa không gian Hu,a = {x ∈ H | hu, xi ≤ a}, trong đó u ∈ H, u 6= 0

và a ∈ R Khi đó,

PHu,ax = x − max

(

hu, xi − akuk2 , 0

Mệnh đề sau cho ta tính hội tụ mạnh của dãy hình chiếu của một điểm trêndãy tập con lồi, đóng, khác rỗng theo nghĩa của Mosco (xem Định nghĩa 1.1.4)trong không gian Banach

Mệnh đề 1.3.6 [53] Cho E là không gian Banach lồi chặt, phản xạ, trơn vàthỏa mãn tính chất Kadec-Klee Cho {Cn} là dãy tập con lồi, đóng, khác rỗngcủa E Nếu C0 = M-limn→∞Cn tồn tại và khác rỗng thì {PCnx} hội tụ mạnhđến PC0x với mỗi x ∈ E

1.4 Ánh xạ L-liên tục Lipschitz và ánh xạ co

Định nghĩa 1.4.1 Cho C là tập con khác rỗng của không gian Banach E

i) Ánh xạ T : C −→ E được gọi là L-liên tục Lipschitz nếu tồn tại hằng số

L ≥ 0, sao cho với mọi x, y ∈ C, ta đều có

Mệnh đề 1.4.3 Cho E là một không gian Banach lồi đều và Ti : E −→ E,

i = 1, 2, , N , là các ánh xạ không giãn với S := ∩Ni=1Fix(Ti) 6= ∅ Khi đóvới mọi số thực dương λi ∈ (0, 1) thỏa mãn PN

i=1λi = 1, ta đều có PN

i=1λiTi làánh xạ không giãn và FixPN

i=1λiTi= ∩Ni=1Fix(Ti)

Chứng minh Dễ thấy PN

i=1λiTi là ánh xạ không giãn và

∩Ni=1Fix(Ti) ⊂ Fix ΣNi=1λiTi

Ta sẽ chỉ ra bao hàm thức ngược lại bằng quy nạp theo N Với N = 2, lấybất kỳ x ∈ Fix(λ1T1+ λ2T2) và p ∈ Fix(T1) ∩ Fix(T2), với λi > 0, i = 1, 2, và

Fix(λ1T1+ λ2T2) = Fix(T1) ∩ Fix(T2)

Giả sử kết luận của mệnh đề đúng với N ≥ 2, ta cần chứng minh nó đúng với

N + 1 Thật vậy, giả sử Ti, i = 1, 2, , N + 1, là các ánh xạ không giãn với

∩N +1i=1 Fix(Ti) 6= ∅ và λi ∈ (0, 1) thỏa mãn PN +1

i=1 λi = 1 Ta có

ΣN +1i=1 λiTi = (1 − λN +1ΣNi=1 λi

1 − λN +1Ti+ λN +1TN +1).

Fix ΣN +1i=1 λiTi
= Fix(T ) ∩ Fix(TN +1) = ∩N +1i=1 Fix(Ti).

Như vậy, kết luận của mệnh đề đúng với N + 1 và ta được điều phải chứngminh

Nhận xét 1.4.4 Ở Mệnh đề 1.4.3, chúng tôi đưa ra một chứng minh mới chotrường hợp họ các ánh xạ không giãn Ti : E −→ E trong không gian Banachlồi đều, kết quả tương tự cho họ các ánh xạ không giãn Ti : C −→ E với C

là tập compact yếu địa phương trong không gian Banach lồi chặt có thể xem

IH − T là demi-đóng, nghĩa là bất kỳ dãy {xn} trong C hội tụ yếu đến x ∈ C

và dãy {(IH− T )xn} hội tụ mạnh đến y thì (IH − T )x = y

Định nghĩa 1.4.6 Ánh xạ F : E −→ E từ không gian Banach E vào chính

nó được gọi là λ-giả co chặt với λ ∈ (0, 1) nếu với mỗi x, y ∈ E, tồn tạij(x − y) ∈ J (x − y) sao cho

hF (x) − F (y), j(x − y)i ≤ kx − yk2− λkx − y − (F (x) − F (y))k2 (1.6)Trong (1.6), nếu λ = 0 thì F được gọi là ánh xạ giả co

Nhận xét 1.4.7 i) Nếu F là ánh xạ không giãn thì F là ánh xạ giả co.ii) Nếu F là λ-giả co chặt thì F là 1 + 1λ
-liên tục Lipschitz (theo [16, Bổ đề2.1 (i)])

1.5 Toán tử loại đơn điệu

Cho X và Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn, A : X −→ 2Y là mộttoán tử đa trị Khi đó, miền miền hữu hiệu, miền giá trị và đồ thị của A đượcđịnh nghĩa tương ứng như sau:

D(A) = {x ∈ X | Ax 6= ∅},

R(A) = ∪{Az | z ∈ D(A)},và

G(A) = {(x, y) ∈ X × Y | x ∈ D(A), y ∈ Ax}

Toán tử nghịch đảo A−1 của A định nghĩa bởi

x ∈ A−1y khi và chỉ khi y ∈ Ax

Tập các không điểm của A được ký hiệu là A−10 và được xác định bởi

∂f (x) = {u ∈ E∗ | f (y) − f (x) ≥ hy − x, ui, ∀y ∈ E}

với mỗi x ∈ E, là một toán tử đơn điệu cực đại

Mệnh đề 1.5.3 [8] Nếu A là toán tử đơn điệu cực đại trên không gian Banachlồi đều và trơn E thì R(j + rA) = E∗ với mọi r > 0, trong đó j là ánh xạ đốingẫu chuẩn tắc của E

Nhận xét 1.5.4 Từ mệnh đề trên, nếu E là không gian Banach lồi đều vàtrơn, A là một toán tử đơn điệu cực đại trên E, thì với mỗi x ∈ E và r > 0,luôn tồn tại duy nhất xr ∈ E sao cho

Thật vậy, đặt y = xr − x Khi đó, phương trình (1.7) trở thành

Đặt By = A(y + x) với mọi y ∈ D(A) Dễ thấy B là một toán tử đơn điệu cựcđại và phương trình (1.8) trở thành

Định nghĩa 1.5.5 Cho A là toán tử đơn điệu cực đại trên không gian Banach

E lồi đều và trơn, r > 0 Khi đó ánh xạ QAr : E −→ E xác định với mỗi x ∈ E,

QArx = xr trong đó xr thỏa mãn

0 ∈ j(xr− x) + rAxr,

được gọi là giải mêtric của A đối với r

Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu khái niệm và một số tính chất của toán tửj-đơn điệu trong không gian Banach

Định nghĩa 1.5.6 Trong không gian Banach E, toán tử đa trị A : D(A) ⊂

E −→ 2E được gọi là

i) j-đơn điệu nếu với mọi x, y ∈ D(A) và mọi u ∈ Ax, v ∈ Ay, tồn tạij(x − y) ∈ J (x − y) sao cho

hu − v, j(x − y)i ≥ 0;

ii) j-đơn điệu cực đại nếu A là j-đơn điệu và đồ thị G(A) của nó không thực

sự chứa trong đồ thị của một toán tử j-đơn điệu nào khác trên E;

iii) m-j-đơn điệu nếu A là j-đơn điệu và R(IE + λA) = E với mọi λ > 0;

iv) thỏa mãn điều kiện miền giá trị nếu

D(A) ⊂ R(IE + λA) với mọi λ > 0,

trong đó D(A) ký hiệu bao đóng của miền hữu hiệu D(A)

Ví dụ 1.5.7 Nếu T : C −→ E là một ánh xạ không giãn từ tập con C củakhông gian Banach E vào E thì toán tử IE− T là j-đơn điệu Trong trường hợp

C trùng với E thì IE − T là một toán tử m-j-đơn điệu

Nhận xét 1.5.8 i) Nếu A là m-j-đơn điệu thì A là j-đơn điệu cực đại,nhưng chiều ngược lại nói chung không đúng [4, trang 74] Trong khônggian Hilbert, khái niệm toán tử j-đơn điệu trùng với toán tử đơn điệu, vàkhái niệm toán tử m-j-đơn điệu trùng với khái niệm toán tử đơn điệu cựcđại;

ii) Nếu A là toán tử m-j-đơn điệu thì A thoả mãn điều kiện miền giá trị [41].Định nghĩa 1.5.9 Ánh xạ F : E −→ E từ không gian Banach E vào chính

nó được gọi là δ-j-đơn điệu mạnh với δ ∈ (0, 1) nếu với mỗi x, y ∈ E, tồn tạij(x − y) ∈ J (x − y) sao cho

hF (x) − F (y), j(x − y)i ≥ δkx − yk2

F : E −→ E Nếu F là δ-j-đơn điệu mạnh và λ-giả co chặt với δ + λ > 1, thìvới τ ∈ (0, 1] bất kỳ, IE − τ F là ánh xạ co với hệ số co 1 − τ



1 −r 1 − δ

λ



Trong không gian Hilbert, khái niệm ánh xạ η-đơn điệu mạnh được địnhnghĩa như sau

Định nghĩa 1.5.11 Ánh xạ F : H −→ H từ không gian Hilbert H vào chính

nó được gọi là η-đơn điệu mạnh với η > 0 nếu với mỗi x, y ∈ H, ta luôn có

hF (x) − F (y), x − yi ≥ ηkx − yk2

Mệnh đề 1.5.12 [60] Cho H là không gian Hilbert và F : H −→ H là toán

tử L-Lipschitz và η-đơn điệu mạnh, thì IH − λµF là ánh xạ co với hệ số co

c = 1 −p1 − µ(2η − µL2), với mỗi µ ∈ (0, 2η/L2) và λ ∈ [0, 1]

Định nghĩa 1.5.13 Cho A là một toán tử j-đơn điệu trên không gian Banach

E Khi đó, với mỗi r > 0, ánh xạ JrA : R(IE + λA) −→ D(A) xác định bởi

JrA = (IE + λA)−1,

được gọi là toán tử giải của A

Chú ý 1.5.14 Toán tử giải JrA của toán tử j-đơn điệu A là ánh xạ đơn trị,không giãn [4, trang 104] Trong không gian Hilbert, giải mêtric của A trùngvới giải của A

Mệnh đề 1.5.15 [10] Nếu toán tử j-đơn điệu A thoả mãn điều kiện miền giátrị thì với mọi r > 0, ta đều có

Mệnh đề 1.5.17 Cho A : D(A) ⊂ E −→ 2E là toán tử j-đơn điệu trong khônggian Banach E Với r ≥ s > 0, ta có

Mệnh đề 1.5.18 [5, trang 335] Cho A : D(A) ⊂ H −→ 2H là toán tử đơnđiệu trong không gian Hilbert H Với mọi r > 0 và x, y ∈ R(IH + rA), ta có

hx − y, JrAx − JrAyi ≥ kJrAx − JrAyk2.Mệnh đề 1.5.19 Cho A : D(A) ⊂ H −→ 2H là toán tử đơn điệu trong khônggian Hilbert H Với mọi r > 0 và x, y ∈ R(IH + rA), ta có

h(IH− JrA)x − (IH − JrA)y, x − yi ≥ k(IH − JrA)x − (IH − JrA)yk2.Chứng minh Ta có

h(IH − JrA)x − (IH − JrA)y, x − yi

= h(IH − JrA)x − (IH − JrA)y, (IH − JrA)x − (IH − JrA)y+ (JrAx − JrAy)i

= k(IH− JrA)x − (IH− JrA)yk2+ h(IH − JrA)x − (IH − JrA)y, JrAx − JrAyi

= k(IH− JrA)x − (IH− JrA)yk2+ hx − y, JrAx − JrAyi − kJrAx − JrAyk2

Do đó, từ Mệnh đề 1.5.18, ta được

h(IH− JrA)x − (IH − JrA)y, x − yi ≥ k(IH − JrA)x − (IH − JrA)yk2.Mệnh đề được chứng minh

1.6 ε-mở rộng của toán tử đơn điệu cực đại

Trước hết ta nhắc lại khái niệm ε-xấp xỉ dưới vi phân của một hàm lồi.Định nghĩa 1.6.1 Cho E là một không gian Banach và f : E → [−∞, ∞]

là hàm lồi, chính thường Ta kí hiệu ∂εf (x) là ε-xấp xỉ dưới vi phân của f vàđược xác định như sau

∂εf (x) = {u ∈ E∗ | f (y) − f (x) − hy − x, ui ≥ −ε, ∀y ∈ E}

Burachik và Svaiter [13] đã đưa ra khái niệm ε-mở rộng của toán tử đơn điệutrong không gian Banach như sau

Định nghĩa 1.6.2 Cho A : E −→ 2E∗ là toán tử đơn điệu cực đại Với mỗi

ε ≥ 0, ε-mở rộng của A được ký hiệu là Aε và được xác định với mỗi x ∈ Enhư sau

Aεx = {u ∈ E∗ | hy − x, v − ui ≥ −ε, ∀y ∈ E, v ∈ Ay}

Nhận xét 1.6.3 Dễ thấy A0x = Ax và nếu 0 ≤ ε1 ≤ ε2, thì Aε1x ⊆ Aε2x vớibất kỳ x ∈ E.

Mệnh đề 1.6.4 [13] Cho E là một không gian Banach và f : E → [−∞, ∞]

là hàm lồi, đóng, chính thường Nếu A = ∂f thì ∂εf (x) ⊂ Aεx với mọi x ∈ E

2[−1, −1 − ε

x] khi x < −

ε2

do đó Aε(0) = ∂εf (0) với ε = εp1/(p−1)

Mệnh đề 1.6.6 [13] Cho A : E −→ 2E∗ là một toán tử đơn điệu cực đại.Khi đó đồ thị của Aε : R+× E −→ 2E∗ là demi-đóng, nghĩa là ta có các khẳngđịnh sau:

i) Nếu dãy {xn} ⊂ E hội tụ mạnh đến x0, {un ∈ Aε nxn} hội tụ yếu đến u0trong E∗ và {εn} ⊂ R+ hội tụ đến ε, thì u0 ∈ Aεx0;

ii) Nếu dãy {xn} ⊂ E hội tụ yếu đến x0, {un ∈ Aε nxn} hội tụ mạnh đến u0trong E∗ và {εn} ⊂ R+ hội tụ đến ε, thì u0 ∈ Aεx0

251.7 Một số bổ đề bổ trợ

Bổ đề 1.7.1 [5, trang 30] Trong không gian Hilbert H, với mọi x, y ∈ H và

λ ∈ R, ta luôn có

i) 2hx, yi = kx + yk2− kxk2− kyk2 = kxk2+ kyk2− kx − yk2;

ii) kλx + (1 − λ)yk2 = λkxk2+ (1 − λ)kyk2− λ(1 − λ)kx − yk2

Bổ đề 1.7.2 [34] Cho {sn} là một dãy số thực không giảm ở vô cùng theonghĩa tồn tại một dãy con {snk} sao cho

Bổ đề 1.7.3 [57] Cho {sn} là dãy số thực không âm, {αn} là dãy trong [0, 1]

và {cn} là dãy số thực thỏa mãn các điều kiện

Chương 2

Xấp xỉ không điểm chung của các toán tử loại đơn điệu trong không gian Banach

Trong chương này, chúng tôi đề xuất các cải tiến của phương pháp chiếu

co hẹp và phương pháp đường dốc nhất cho bài toán không điểm chung củatoán tử loại đơn điệu trong không gian Banach Cụ thể, Mục 2.1 đưa ra phươngpháp chiếu co hẹp tìm không điểm chung của toán tử đơn điệu Mục 2.2 giớithiệu phương pháp đường dốc nhất tìm không điểm chung của toán tử j-đơnđiệu với hai thuật toán xoay vòng và song song Mục 2.3 dành cho việc áp dụngcác phương pháp nêu trên vào một số bài toán liên quan Cuối cùng, Mục 2.4xây dựng các ví dụ số để minh họa cho các phương pháp đã đề xuất Nội dungchương này được viết dựa trên kết quả của hai bài báo (1) và (2) trong Danhmục các công trình đã công bố liên quan đến luận án

2.1 Xấp xỉ không điểm chung của các toán tử đơn điệu

Ở mục này, chúng tôi xét bài toán không điểm chung: Cho E là không gianBanach lồi đều và trơn, Ai: E −→ 2E∗, i = 1, 2, , N , là các toán tử đơn điệucực đại từ E vào 2E∗ sao cho S := ∩Ni=1A−1i 0 6= ∅;

Khi E là không gian Hilbert H và N = 1, (2.1) trở thành bài toán tìm khôngđiểm của một toán tử:

với A là toán tử đơn điệu cực đại trong H

Một phương pháp cổ điển để giải (2.2) là thuật toán điểm gần kề được đềxuất bởi Martinet [36] Cụ thể, với xn ∈ H, phương pháp điểm gần kề xác địnhphần tử lặp tiếp theo xn+1 bằng cách giải bài toán phụ

trong đó µn > 0 Nếu dãy tham số {µn} bị chặn trên thì dãy {xn} xác định bởi(2.3) hội tụ yếu đến không điểm của toán tử đơn điệu cực đại A

Chú ý rằng toán tử A + µnI là đơn điệu mạnh nên (2.3) có duy nhất nghiệm

Do đó, nói chung việc giải chính xác hay xấp xỉ bài toán phụ (2.3) đơn giản hơngiải bài toán ban đầu (2.2)

Năm 1999, Solodov và Svaiter [44] đã giải gần đúng Bài toán (2.3) như sau:Tìm phần tử yn ∈ H và vn ∈ Ayn sao cho

trong đó

kenk ≤ σ max{kvnk, µnkyn− xnk},với σ ∈ [0, 1) Phần tử lặp tiếp theo xn+1 nhận được bằng cách chiếu xn lênsiêu phẳng

{z ∈ H | hvn, z − yni = 0}

Sau đó, trong [45], vẫn sử dụng cặp nghiệm xấp xỉ (yn, vn) từ (2.4), Solodov

và Svaiter đưa ra thuật toán chiếu lai ghép (hybrid projection method) cho phépxác định phần tử lặp tiếp theo bởi

với x0 ∈ H tùy ý và

Cn = {z ∈ H | hz − yn, vni ≤ 0},

Qn = {z ∈ H | hz − xn, x0− xni ≤ 0}

Solodov và Svaiter [45] đã chứng minh rằng nếu dãy tham số hiệu chỉnh {µn}

bị chặn trên thì dãy {xn} xác định bởi (2.5) hội tụ mạnh đến PA−1 0x0

Lấy ý tưởng từ kết quả trên, kết hợp với phương pháp lặp Mann [35], hashi và cộng sự [46] đã đưa ra phương pháp chiếu co hẹp (shrinking projectionmethod) để tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại A như sau

với JcAn là toán tử giải của A ứng với cn Họ chỉ ra rằng nếu {αn} ⊂ [0, a), với

a ∈ [0, 1) và cn → ∞ thì dãy {xn} xác định bởi (2.6) hội tụ mạnh đến PA−1 0x0

Nhận xét 2.1.1 Trong thuật toán chiếu co hẹp (2.6), Takahashi và cộng sự

đã sử dụng phương pháp điểm gần kề chính xác (exact proximal point), các tácgiả cũng không quan tâm đến sai số tính toán khi thực hiện phép chiếu phần

tử x0 lên tập Cn+1 để tìm phần tử xn+1

Từ nhận xét đó, chúng tôi đề xuất các cải tiến của phương pháp chiếu cohẹp để đưa ra hai phương pháp lặp song song cho Bài toán (2.1) Điểm cải tiếncủa các phương pháp mới là chúng tôi sẽ sử dụng thuật toán điểm gần kề khôngchính xác (inexact proximal point) theo nghĩa thay toán tử ban đầu bằng toán

tử mở rộng của nó, thêm nữa, phép chiếu sử dụng trong phương pháp là phépchiếu “gần đúng” (quan tâm đến sai số tính toán khi thực hiện phép chiếu).Với j là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của không gian Banach lồi đều và trơn

E và Aεn

i là εn-mở rộng của Ai, chúng tôi xây dựng các thuật toán sau

Thuật toán 2.1.1 Dãy {xn} được xác định bởi

x1 = x ∈ E, C1 = E,

Tìm yi,n ∈ E sao cho j(yi,n− xn) + ri,nAεn

i yi,n 3 0, i = 1, 2, , N,Chọn in sao cho kyin,n − xnk = max

i=1, ,N{kyi,n− xnk}, đặt yn = yin,n,

Cn+1 = {z ∈ Cn | hyn − z, j(xn− yn)i ≥ −εnrin,n},

Tìm xn+1 ∈ {z ∈ Cn+1 | ku − zk2 ≤ d2(u, Cn+1) + δn+1}, n = 1, 2, ;

trong đó u ∈ E cho trước, {εn} và {δn} là các dãy số thực không âm và {ri,n},

i = 1, 2, , N , là các dãy số thực dương sao cho mini{infn{ri,n}} ≥ r > 0

Thuật toán tiếp theo đưa ra cách khác để xây dựng các tập con Cn

Thuật toán 2.1.2 Dãy {xn} được xác định bởi

trong đó u ∈ E cho trước, {εn} và {δn} là các dãy số thực không âm và {ri,n},

i = 1, 2, , N , là các dãy số thực dương sao cho mini{infn{ri,n}} ≥ r > 0.Trước hết ta cần bổ đề sau để chứng minh sự hội tụ của các thuật toán nêutrên

Ta có định lý sau về sự hội tụ của Thuật toán 2.1.1.

Định lý 2.1.3 Cho E là không gian Banach lồi đều và trơn, Ai : E −→ 2E∗,

i = 1, 2, , N , là các toán tử đơn điệu cực đại của E vào 2E∗ sao cho

Do đó, v ∈ Cn+1 Vì v là bất kỳ trong S nên S ⊂ Cn+1 Như vậy, bằng quy nạp

ta được S ⊂ Cn với mọi n ≥ 1

Hơn nữa, Cn là tập con lồi, đóng, khác rỗng của E với mọi n Do đó, theo Mệnh

đề 1.3.1, dãy {xn} là hoàn toàn xác định

Với mỗi n ≥ 1, ký hiệu pn = PCnu Từ Bổ đề 2.1.2, ta có các dãy {xn} và {pn}hội tụ mạnh đến cùng một điểm p0 = PC0u với C0 = ∩∞n=1Cn