Kinh Tế - Quản Lý - Báo cáo khoa học, luận văn tiến sĩ, luận văn thạc sĩ, nghiên cứu - Công nghệ thông tin HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ Group: https:www.facebook.comgroupstailieutieuhocvathcs CHƯƠNG 3. BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN. CHỦ ĐỀ 1. CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM Đầu tiên xin nhắc lại các khái niệm và định lí căn bản để quý bạn đọc có kiến thức nền tảng trước khi đi vào các bài toán cụ thể. 1. Định nghĩa Cho hàm số y f x xác định trên tập K (khoảng, nửa khoảng, đoạn của R). Nếu Ta có hàm số F x xác định trên K sao cho ''''F x f x thì F x được gọi là nguyên hàm của hàm số f x trên K. Định lí 1. Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G x F x C cũng là một nguyên hàm của hàm số f x trên K. Định lí 2. Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì mọi nguyên hàm của f x trên K đều có dạng G x F x C với C là hằng số. Định lí 3. Mọi hàm số f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 2. Tính chất của nguyên hàm: ''''f x dx f x C với C là hằng số. kf x dx k f x dx với k là hằng số khác 0. f x g x f x dx f x dx g x dx Bảng nguyên hàm Chú ý: công thức tính vi phân của f x là ''''d f x f x dx Với u là một hàm số 0dx C 0du C dx x C du u C 11 1 1 x dx x C 11 1 1 u du u C 1 lndx x C x 1 lndu u C u x x e dx e C u u e du e C HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ Group: https:www.facebook.comgroupstailieutieuhocvathcs ln x x a a dx C a ln u u a a dx C a cos sinxdx x C cos sinudu u C sin cosxdx x C sin cosuudu C 2 1 tan cos dx x C x 2 1 tan cos du u C u 2 1 cot sin dx x C x 2 1 cot sin du u C u Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu một số bài toán Nguyên Hàm ở mức độ vận dụng sau đây: BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Biết 7 52 2 cos 2 cos sin .sin 4 x x x xdx C a . Với a là số nguyên. Tìm a ? A. 6.a B. 12.a C. 7.a D. 14.a Giải: Đặt 52 2 cos sin .sin 4f x x x xdx , Ta có: 5 52 2 6 cos sin .sin 4 cos 2 .2sin 2 .cos 2 2 cos 2 .sin 2 f x x x xdx x x x x xdx Đặt cos 2 2sin 2t x dt xdx Vậy 7 7 6 cos 2 7 7 t x F x t dt C C Chọn C. Bài 2: Biết sin cos ln sin cos sin cos x x dx a x x C x x . Với a là số nguyên. Tìm a ? A. 1.a B. 2.a C. 3.a D. 4.a Giải: Vì sin cos sin cos ln sin cos sin cos sin cos x x x x a x x C x x x x nên Nguyên hàm của: sin cos sin cos x x x x là: ln sin cosx x C . CHọn A. HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ Group: https:www.facebook.comgroupstailieutieuhocvathcs Bài 3: Tìm một nguyên hàm của: 2 2 2 tan 21 4. tan 1 2 x x biết nguyên hàm này bằng 3 khi 4 x . A. 2 1 3. cos x B. 2 1 3. sin x C. tan 2x . D. cot 2x . Giải: 2 2 2 2 2 2 2 tan 2 tan 12 21 4. 1 1 tan cos1 tantan 1 22 x x f x x x xx Nguyên hàm của tanF x x C Ta có: 3 tan 3 2 tan 2 4 4 F C C F x x Chọn C. Bài 4: ln 2sin cosF x x x x là nguyên hàm của: A. sin cos sin 3cos x x x x . B. sin 2cos 2sin cos x x x x . C. sin cos sin 3cos x x x x . D. 3sin cos 2sin cos x x x x . Giải: Ta chỉ cần đạo hàm của F(x), rồi sau đó quan sát kết quả đúng. Ta có: 2sin cos '''' 2sin cos 3sin cos '''' 1 1 2sin cos 2sin cos 2sin cos x x x x x x F x x x x x x x F x là một nguyên hàm của 3sin cos 2sin cos x x x x . Chọn D. Bài 5: Biết 5 2 1 1 25 20 4 5 2 dx C x x a x . Với a là số nguyên. Tìm a ? A. 4.a B. 100.a C. 5.a D. 25.a Giải: Chú ý nếu chúng ta biến đổi: 4 2 3 2 3 2 25 20 41 25 20 4 425 20 4 x x dx x x dx C x x . Là sai HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ Group: https:www.facebook.comgroupstailieutieuhocvathcs Điều sau đây mới đúng: 4 2 32 2 25 20 4 25 20 4 25 20 4 4 x x x x d x x C Trở lại bài, ta sẽ biến đổi biểu thức 3 2 25 20 4x x về dạng n ax b như sau: 6 3 6 2 5 5 1 1 5 2 5 225 20 4 5 21 1 5 5 25 5 2 dx dx x dx xx x x C C x Chọn D. Bài 6: Biết 2 1 ln 2 7 2 5 7 x a dx x C x x b , với a, b là cá số nguyên. Tính S = a + b ? A. 4.S B. 2.S C. 3.S D. 5.S Giải: Ta quan sát mẫu cso thể phân tích được thành nhân tử, sử dụng MTCT bấm giải phương trình bậc 2: 2 2 5 7 0x x thấy có hai nghiệm là: 7 1, 2 x x . Áp dụng công thức 2 1 2ax bx c a x x x x với 1 2,x x là hai nghiệm ta có: 2 2 5 7 1 2 7x x x x Do đó: 2 1 1 1 1 ln 2 7 2 5 7 1 2 7 2 7 2 x x dx dx dx x C x x x x x Chọn C. Bài 7: Biết 2 sin 2 cos 2 cos 4 a x x dx x x C b , với a, b là cá số nguyên. Tính S = a + b ? A. 4.S B. 2.S C. 3.S D. 5.S Giải: Nếu áp dụng ngay: 1 1 n n t t dt C n thì ta có: 3 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 3 x x x x dx C . Là sai. Ta phải khai triển 2 sin 2 cos 2x x để xem thử HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ Group: https:www.facebook.comgroupstailieutieuhocvathcs 2 1 sin 2 cos 2 1 sin 4 4 4 x x dx x dx x cos x C Chọn D. Bài 8: Biết 1 . 1 cos x dx a tan C x b , với a, b là cá số nguyên. Tính S = a + b ? A. 4.S B. 2.S C. 3.S D. 5.S Giải: Chưa áp dụng ngay được công thwucs nguyên hàm cơ bản, ta quan sát mẫu và thấy rằng có thể biến đổi 2 1 cos 2cos 2 x x dựa trên công thức hạ bậc: 2 1 cos 2 cos 2 . Do đó: 2 1 1 tan 1 cos 22cos 2 x dx dx C xx . Ta thấy rằng 1, 2a b do đó S=3. Chọn C. Bài 9: Biết 1 tan 1 sin 2 4 a dx x C x b , với a, b là cá số nguyên. Tính S = a + b ? A. 4.S B. 2.S C. 3.S D. 5.S Giải: 2 1 1 1 1 sin 2 1 cos 2 2cos 2 4 dx dx dx x x x 1 1 tan tan 2 4 2 4 x C x C Ta thấy a=1,b=2 suy ra S=3 Chọn C. Bài 10: Ch...
Trang 1CHƯƠNG 3
BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN
CHỦ ĐỀ 1
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM
Đầu tiên xin nhắc lại các khái niệm và định lí căn bản để quý bạn đọc có kiến thức nền tảng trước khi
đi vào các bài toán cụ thể
1 Định nghĩa
Cho hàm số y f x xác định trên tập K (khoảng, nửa khoảng, đoạn của R) Nếu Ta có hàm số F x
xác định trên K sao cho F x' f x thì F x được gọi là nguyên hàm của hàm số f x trên K
Định lí 1 Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số
G x F x C cũng là một nguyên hàm của hàm số f x trên K
Định lí 2 Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì mọi nguyên hàm của f x trên
K đều có dạng G x F x C với C là hằng số
Định lí 3 Mọi hàm số f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K
2 Tính chất của nguyên hàm:
'
f x dx f x C
kf x dxk f x dx
f x g x f x dx f x dx g x dx
Bảng nguyên hàm
Chú ý: công thức tính vi phân của f x là d f x f ' x dx
Với u là một hàm số 0dxC
dx xC
1 1
1 1
1 1
1
ln
e dx e C
Trang 2x
a
ln
u
a
cosxdxsinxC
sinxdx cosxC
2
1
tan
2
1
cot sin x dx xC
Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu một số bài toán Nguyên Hàm ở mức độ vận dụng sau đây:
BÀI TẬP VẬN DỤNG
a
Giải:
2 2 5 5
6
2 cos 2 sin 2
Đặt t cos 2xdt 2sin 2xdx
F x t dt C C
Chọn C
Giải:
là: ln sinxcosx C CHọn A
Trang 3Bài 3: Tìm một nguyên hàm của:
2
2 2
tan 2
1 4
2
x x
biết nguyên hàm này bằng 3 khi
4
1 3
Giải:
2 2
2 2
2
1
cos
1 tan
2 2
x
Nguyên hàm của F x tanxC
Chọn C
Bài 4: F x xln 2sinxcosx là nguyên hàm của:
Giải:
Ta chỉ cần đạo hàm của F(x), rồi sau đó quan sát kết quả đúng
F x
F x
Chọn D
Bài 5: Biết
25x 20x4 dx a 5x2 C
Giải:
Chú ý nếu chúng ta biến đổi:
3 2
3 2
1
4
Trang 4Điều sau đây mới đúng:
4 2
3
4
Trở lại bài, ta sẽ biến đổi biểu thức 2 3
25x 20x4 về dạng ax b n như sau:
6
2
5
5
x
x
x
Chọn D
Giải:
Ta quan sát mẫu cso thể phân tích được thành nhân tử, sử dụng MTCT bấm giải phương trình bậc 2:
2
2x 5x70 thấy có hai nghiệm là: 1, 7
2
x x
ax bx c a xx xx với x x là hai nghiệm ta có: 1, 2
2
2x 5x 7 x1 2x7
Do đó:
2
Chọn C
Bài 7: Biết sin 2x cos 2x2dx x acos 4x C
b
Giải:
Nếu áp dụng ngay:
1 1
n
n
3
sin 2 cos 2
3
Ta phải khai triển sin 2xcos 2x2 để xem thử
Trang 5sin 2 cos 2 2 1 sin 4 1 4
4
x x dx x dxx cos xC
Chọn D
1 cos
x
dx a tan C
Giải:
Chưa áp dụng ngay được công thwucs nguyên hàm cơ bản, ta quan sát mẫu và thấy rằng có thể biến đổi 1 cos 2 cos2
2
x x
2
2
tan
2
x
x
Ta thấy rằng a1,b do đó S=3 2
Chọn C
a
Giải:
2
1 sin 2
x
Ta thấy a=1,b=2 suy ra S=3
Chọn C
8sin
12
Một nguyên hàm F x của f x thỏa F 0 là: 8
6
6
Trang 6Ta cần phải tính 2
8sin
12
f x như sau:
2
1 cos 2
6
x
0 8 2sin 8 9
6
Chọn B
Bài 11: Cho f x 1 x Một nguyên hàm F x của f x thỏa F 1 là: 1
2
2 2
1 khi 0
khi 0 2
x
x
C
2
1 2
2
khi 0 2
khi 0 2
x
x
2
1 2 2
khi 0
khi 0 2
x
Giải:
f x
2 1 2 2
khi 0 2
khi 0 2
x
F x
x
1
2
2
2 2
1 khi 0
khi 0 2
x
x
Chọn B
Trang 7Bài 12: Biết ( )F x là nguyên hàm của
2
2 2
1
dx
2
F
Giá trị nhỏ nhất của ( )F x là:
Giải:
Ta có:
2
2
2 2
1 1
1 1
x
2
F
1
Lúc này
1
F x
với 0x1 Sử dụng MTCT bấm Mode 7 chọn start 0 end 1 Step 0.1:
Quan sát bảng giá trị ta thấy giá trị nhỏ nhất của F(x) là 25 xảy ra khi x =0,4
Chọn C
Bài 13: Khi tính nguyên hàm
3
1
dx
x x
biến x) thì nguyên hàm trở thành 2dt Biết 4 3
5
g , giá trị của g 0 g 1 là:
2
2
2
2
Giải:
Đối với bài này HS cần pahir nắm được kĩ thuật biến đổi khi tính nguyên hàm Hs cần phải dự đoán phép đặt ẩn phụ, đầu tiên ta thấy nguyên hàm có thể biến đổi thành:
3 2
1
x
x
Do đó ta đặt:
Trang 8 2 2
2
Vì vậy suy ra
3
1
2
Tuy nhiên đây là lời giải sai, ta có thể thấy khi đặt
2 2
2
Với C là hằng số, kết quả không thay đổi Vì vậy chính xác ở đây là:
1
x
x
5
1
x
g x
x
2
Chọn C
Chú ý: Bài toán này hoàn toàn có thể dùng MTCT để chọn kết quả, Ta có:
3
2
2
Do đó g x là nguyên hàm của
3
2 2x1 x1 Suy ra:
0
3 4
0
3 4
Và:
1
3 4
1
3 4
Trang 9
Sử dụng MTCT bấm:
Là kết quả C
CHỦ ĐỀ 2
CÁC BÀI TOÁN TÍCH PHÂN
1 Định nghĩa
Cho hàm số y f x thỏa:
+ Liên tục trên đoạn a b ;
+ F x là nguyên hàm của f x trên đoạn a b ;
Lúc đó hiệu số F b F a được gọi là tích phân từ a đến b và kí hiệu
b a
f x dxF b F a
Chú ý:
+ a, b được gọi là 2 cận của tích phân
b a
f x dx
f x dx f x dx
f x dx f t dt F b F a
2 Tính chất của tích phân:
f x dx f x dx f x dx a c b
kf x dxk f x dx
Chú ý:
Để tính tích phân từ a đến b, ta tiến hành tìm nguyên hàm rồi sau đó thay cận vào theo công thức
b
a
f x dxF b F a
Trang 10BÀI TẬP ÁP DỤNG
Một lần nữa xin nhắc lại rằng đây là cuốn sách đề cập đến các bài toán vận dụng và vận dụng cao nên trước khi sử dụng sách này quý bạn đọc cần có kiến thwucs cơ bản tốt Bây giờ chúng ta cùng nghiên cứu các bài toán tích phân khá khó:
Bài 1: Nếu a là một số thỏa mãn các điều kiện sau: ;3
a
0
a
xa dx a
Giải:
0 0
2
2
a
a
a
nên
3
2
k
k l
l
Vì k nên (1) không thỏa mãn với mọi ;3
a
,hoặc thay 4 vào đáp án (1) ta thấy đều không thỏa
a
nên chọn l=1 lúc đó a 2 Chọn D
Bài 2: Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên dương k thỏa mãn điều kiện
1
e k
dx e
A S 1 B S 2 C S 1, 2 D S
Giải:
1
ln
e
k
dx
x
Dùng phương pháp tích phân từng phần