BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN CHỦ ĐỀ CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM

HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ CHƯƠNG BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO NGUN HÀM, TÍCH PHÂN CHỦ ĐỀ CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM Đầu tiên xin nhắc lại khái niệm định lí để quý bạn đọc có kiến thức tảng trước vào toán cụ thể Định nghĩa Cho hàm số y = f ( x ) xác định tập K (khoảng, nửa khoảng, đoạn R) Nếu Ta có hàm số F ( x ) xác định K cho F ' ( x ) = f ( x ) F ( x ) gọi nguyên hàm hàm số f ( x ) K Định lí Nếu F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) K với số C, hàm số G ( x ) = F ( x ) + C nguyên hàm hàm số f ( x ) K Định lí Nếu F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) K nguyên hàm f ( x ) K có dạng G ( x ) = F ( x ) + C với C số Định lí Mọi hàm số f ( x ) liên tục K có nguyên hàm K Tính chất nguyên hàm:  f ' ( x ) dx = f ( x ) + C với C số  kf ( x ) dx = k  f ( x ) dx với k số khác   f ( x )  g ( x ) f ( x ) dx =  f ( x ) dx   g ( x ) dx Bảng nguyên hàm Chú ý: cơng thức tính vi phân f ( x ) d  f ( x ) = f ' ( x ) dx Với u hàm số  0dx = C  0du = C  dx = x + C x  dx =  du = u + C  +1 x + C (  −1)  +1  x dx = ln x + C x x  e dx = e + C u  du =  +1 u + C (  −1)  +1  u du = ln u + C u u  e du = e + C Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ ax  a dx = ln a + C  cos xdx = sin x + C au  a dx = ln a + C  cos udu = sin u + C  sin xdx = − cos x + C  sin udu = − cosu+ C x  cos  sin x u dx = tan x + C  cos dx = − cot x + C  sin u du = tan u + C du = − cot u + C x u Chúng ta tìm hiểu số toán Nguyên Hàm mức độ vận dụng sau đây: BÀI TẬP VẬN DỤNG cos7 x + C Với a số nguyên Tìm a? Bài 1: Biết  ( cos x − sin x ) sin xdx = − a A a = B a = 12 C a = D a = 14 Giải: 2 Đặt f ( x ) =  ( cos2 x − sin x ) sin xdx , Ta có: f ( x ) =  ( cos x − sin x ) sin xdx =  ( cos x ) 2sin x.cos x 5 = 2 cos6 x.sin xdx Đặt t = cos x  dt = −2sin xdx −t cos7 x +C = − +C Vậy F ( x ) = −  t dt = 7 Chọn C Bài 2: Biết sin x + cos x  sin x − cos x dx = a ln sin x − cos x + C Với a số nguyên Tìm a? A a = Giải: B a = C a = D a = ( sin x − cos x ) = sin x + cos x nên Vì  a ln sin x − cos x + C  = sin x − cos x sin x − cos x sin x + cos x Nguyên hàm của: là: ln sin x − cos x + C sin x − cos x CHọn A Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ Bài 3: Tìm nguyên hàm của: + A + cos x Giải: B tan x  2x   tan − 1   + sin x biết nguyên hàm x = C tan x +  D cot x + x x   tan tan  2  = + tan x = f ( x ) = + = 1+   cos x x  2x    + tan  tan − 1 2    Nguyên hàm F ( x ) = tan x + C    Ta có: F   =  tan + C =  C =  F ( x ) = tan x + 4 Chọn C Bài 4: F ( x ) = x + ln 2sin x − cos x nguyên hàm của: A sin x − cos x sin x + 2cos x sin x − cos x 3sin x + cos x B C D sin x + 3cos x 2sin x − cos x sin x + 3cos x 2sin x − cos x Giải: Ta cần đạo hàm F(x), sau quan sát kết ( 2sin x − cos x ) ' = + 2sin x + cos x = 3sin x + cos x Ta có: F ' ( x ) = + 2sin x − cos x 2sin x − cos x 2sin x − cos x 3sin x + cos x  F ( x ) nguyên hàm 2sin x − cos x Chọn D Bài 5: Biết  ( 25x 1 dx = − + C Với a số nguyên Tìm a? − 20 x + ) a ( 5x − 2) A a = B a = 100 Giải: Chú ý biến đổi:  ( 25x2 − 20 x + 4) dx =  ( 25 x − 20 x + ) C a = −3 ( 25x dx = D a = 25 − 20 x + ) −4 −4 + C Là sai Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ Điều sau đúng:  ( 25x − 20 x + ) d ( 25 x − 20 x + ) −3 ( 25x = − 20 x + ) −4 −4 +C Trở lại bài, ta biến đổi biểu thức ( 25 x − 20 x + ) dạng ( ax + b ) sau:  ( 25x − 20 x + ) dx =  (5x − 2) n dx =  ( x − ) dx −6 (5x − 2) = +C = − +C 5 −5 25 ( x − ) −5 Chọn D Bài 6: Biết  2x 1+ x a dx = ln x − + C , với a, b cá số nguyên Tính S = a + b? − 5x − b B S = C S = D S = A S = Giải: Ta quan sát mẫu cso thể phân tích thành nhân tử, sử dụng MTCT bấm giải phương trình bậc 2: x2 − 5x − = thấy có hai nghiệm là: x = −1, x = 2 Áp dụng công thức ax + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) với x1 , x2 hai nghiệm ta có: x − x − = ( x + 1)( x − ) Do đó: 1+ x x +1 1 dx = dx = dx = ln x − + C  x − x −  ( x + 1)( x − )  x + Chọn C Bài 7: Biết a dx = x + cos x + C , với a, b cá số nguyên Tính S = a + b? b B S = C S = D S =  (sin x − cos x ) A S = Giải: t n+1 + C ta có: Nếu áp dụng ngay:  t dt = n +1 n  ( sin x − cos x ) ( sin x − cos x ) dx = 3 + C Là sai Ta phải khai triển ( sin x − cos x ) để xem thử Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ  (sin x − cos x ) dx =  (1 − sin x ) dx = x cos x + C Chọn D Bài 8: Biết x  + cos x dx = a.tan b + C , với a, b cá số nguyên Tính S = a + b? A S = B S = C S = D S = Giải: Chưa áp dụng công thwucs nguyên hàm bản, ta quan sát mẫu thấy x + cos 2 biến đổi + cos x = 2cos dựa công thức hạ bậc: cos  = Do đó: 2 1 x  + cos x dx =  x dx = tan + C 2cos Ta thấy a = 1, b = S=3 Chọn C Bài 9: Biết a    + sin x dx = b tan  x −  + C , với a, b cá số nguyên Tính S = a + b? A S = Giải: B S =  + sin x dx =  C S = D S = 1 dx =  dx =    2 + cos  − x  2cos  − x  2  4  1     = − tan  − x  + C = tan  x −  + C 2 4 4   Ta thấy a=1,b=2 suy S=3 Chọn C    Bài 10: Cho f ( x ) = 8sin  x +  Một nguyên hàm F ( x ) f ( x ) thỏa F ( ) = là: 12     A x + 2sin  x +  + 6    B x − 2sin  x +  + 6    C x + 2sin  x +  + 6  Giải:   D x − 2sin  x +  + 6  Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ Ta cần phải tính  f ( x ) dx =  8sin f ( x ) sau:     x +  dx Đầu tiên sử dụng công thức hạ bậc để đổi 12       − cos  x +         f ( x ) = 8sin  x +  =  12             f ( x ) = − 4cos  x +   F ( x ) = x − 2sin  x +  + C 6 6     f ( ) =  −2sin   + C =  C = 6 Chọn B Bài 11: Cho f ( x ) = + x Một nguyên hàm F ( x ) f ( x ) thỏa F (1) = là:   x + B  x −  A x + x +  x2  − x + C1 x  C  x  x − + C x   Giải: x2 − x  2 x2 + C2 x  − x + x + C1 x   D  x2 x − + C x   2    x + 1 + x x   F ( x) =  Ta có: f ( x ) =  − x x   x −    x + Theo đề F (1) =  C1 = − đó:  x −  Chọn B x2 + C1 x  x2 + C2 x  x2 − x  2 x2 + C2 x  Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ Bài 12: Biết F ( x) nguyên hàm của F ( x) là: A 24 Giải: Ta có: F ( x) =  B 20 5x2 + 8x − x (1 − x )  5x2 + 8x − x (1 − x ) 2 1 dx với  x  F   = 26 Giá trị nhỏ 2 C 25 dx =  D 26 x − ( x − x + 1) x (1 − x ) dx  4   = − dx = + +C 2 x (1 − x )  (1 − x ) x  1 + C = 26  C = Vì F   = 26 nên +  1 2 1−   Lúc F ( x ) = + với  x  Sử dụng MTCT bấm Mode chọn start end Step x (1 − x ) 0.1: Quan sát bảng giá trị ta thấy giá trị nhỏ F(x) 25 xảy x =0,4 Chọn C Bài 13: Khi tính nguyên hàm  ( x + 1)( x + 1) dx người ta đặt t = g ( x ) (một hàm biểu diễn theo biến x) nguyên hàm trở thành  2dt Biết g ( ) = , giá trị g ( ) + g (1) là: 3+ 1+ 2+ 2+3 B C D 2 2 Giải: Đối với HS cần pahir nắm kĩ thuật biến đổi tính nguyên hàm Hs cần phải dự đoán phép đặt ẩn phụ, ta thấy nguyên hàm biến đổi thành: 1 dx = dx   2x + ( x + 1)( x + 1) ( x + 1) x +1 Do ta đặt: A Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ t= 2x +  dt = x +1 Vì suy dx ( x + 1) 2x + x +1  ( x + 1)( x + 1)  2dt = dx ( x + 1) 2x + x +1 dx =  2dt Tuy nhiên lời giải sai, ta thấy đặt t= 2x + + C  dt = x +1 dx dx  2dt = 2x + 2x + ( x + 1) x +1 x +1 Với C số, kết khơng thay đổi Vì xác là: t= ( x + 1) 2x + n33n suy C=0 + C = g ( x ) Theo đề g ( ) = x +1 2+ 2x + g ( ) + g (1) = x +1 Cuối ta g ( x ) = Chọn C Chú ý: Bài tốn hồn tồn dùng MTCT để chọn kết quả, Ta có: 1 dx  t =  dx  2dt = 3 ( x + 1)( x + 1) ( x + 1)( x + 1)  g ( x) = 2 ( x + 1)( x + 1) dx Do g ( x ) nguyên hàm g ( 0) − g ( 4) =  ( x + 1)( x + 1)  g ( 0) =  ( x + 1)( x + 1) 3 ( x + 1)( x + 1) Suy ra: dx dx + g ( ) Và: 1 g (1) − g ( ) =  1  g (1) =  ( x + 1)( x + 1) ( x + 1)( x + 1) 3 dx dx + g ( ) Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ Sử dụng MTCT bấm: 4 1 ( x + 1)( x + 1) dx + g ( ) +  ( x + 1)( x + 1) dx + g ( ) Là kết C CHỦ ĐỀ CÁC BÀI TỐN TÍCH PHÂN Định nghĩa Cho hàm số y = f ( x ) thỏa: + Liên tục đoạn  a; b  + F ( x ) nguyên hàm f ( x ) đoạn  a; b  Lúc hiệu số F ( b ) − F ( a ) gọi tích phân từ a đến b kí hiệu b  f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) a Chú ý: + a, b gọi cận tích phân b + a = b  f ( x ) dx = a + a > b b a a b  f ( x ) dx = − f ( x ) dx b + Tích phân khơng phụ thuộc biến số, tức  a b f ( x ) dx =  f ( t ) dt = F ( b ) − F ( a ) a Tính chất tích phân: b +  a c b f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx, ( a  c  b ) a c b b a a +  kf ( x ) dx = k  f ( x ) dx, với k số khác b b b a a a +   f ( x ) + g ( x )  dx =  f ( x ) dx   g ( x ) dx Chú ý: Để tính tích phân từ a đến b, ta tiến hành tìm nguyên hàm sau thay cận vào theo cơng thức b  f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) a Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ BÀI TẬP ÁP DỤNG Một lần xin nhắc lại sách đề cập đến toán vận dụng vận dụng cao nên trước sử dụng sách quý bạn đọc cần có kiến thwucs tốt Bây nghiên cứu tốn tích phân khó:   3  Bài 1: Nếu a số thỏa mãn điều kiện sau: a   ;   cos ( x + a )dx = sin a thì: 2  a A a =  Giải: C a =  B a =  a  cos ( x + a )dx  sin ( x + a ) 2 a D a = 2 = sin a  sin ( a + a ) − sin a = sin a a + 2a a a a sin = 2sin cos (1) 2 2 a   3  a   3  Vì a   ;  nên   ;   sin  , vậy: 4  2   2cos (1)  cos a + 2a a a + a2 a = cos  cos − cos = 2 2  a2 + a  a2 + a sin =   = k (1) a2 + a a2  −2sin sin =    (k,l  2  a2 a ( 2) sin =  = l )   3  nên (1) không thỏa mãn với a   ;  ,hoặc thay vào đáp án (1) ta thấy 2  không thỏa   3  Đối với (2) Vì a   ;  nên chọn l=1 lúc a = 2 2  Chọn D Vì k  e k Bài 2: Gọi S tập hợp tất số nguyên dương k thỏa mãn điều kiện  ln dx  e − Khi đó: x A S = 1 B S = 2 C S = 1, 2 D S =  Giải: e k ln 1 x dx Dùng phương pháp tích phân phần Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ 3 S =  ( x − 3) − ( − x + x − 3) dx +  ( −2 x + ) − ( − x + x − 3) dx 3 =  x dx +  ( x − x + ) dx = = 2, 25 Chọn C Bài 12: Gọi K hình tạo đồ thị hàm số y = x3 − x2 − x đoạn [-1;2] trục hoành Khi diện tích K bằng: 25 37 A (đvdt) B (đvdt) C (đvdt) D (đvdt) 37 12 Giải: x = Phương trình hồnh độ giao điểm x3 − x − x =   x = Đồ thị gồm hai phần, phần nằm trục hoành ứng với x thuộc đoạn [-1;0] phần nằm trục hoành ứng với x thuộc đoạn [0;2] Do đó: S= −1 3  ( x − x − x )dx +  ( − x + x + x )dx = 37 + = đvdt 12 12 Chọn D Bài 13: Gọi M hình phẳng giới hạn đường y = x2 + 1, x + y = Diện tích hình N A 5,1 B 4,5 C 6,25 D 4,75 Giải: f ( x )1 = x + 1, f ( x) = − x  x = −2 f1 ( x) − f ( x) = ( x + 1) − ( − x ) = x + x − =   x = 1 S=  f1 ( x) − f ( x) dx = −2  x3 x  =  + − 2x    x −2 + x − dx =  (x + x − )dx −2 = −2 Chọn B Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ Bài 14: : Gọi M hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = sin x đoạn  0; 2  trục hồnh Diện tích hình M A B Hình: C D 10 y π 2π x O -1 Giải: 2 S=  2  sin x dx =  sin xdx +  ( − sin x )dx = − cos x  2 + cos x  = Chọn B Bài 15: Xét hai phát biểu: (1) Cho hai hàm y = f ( x ) y = g ( x ) có đồ thị cắt hai điểm A, B Giả sử a, b tương ứng hoành độ giao điểm A, B (với a