SKKN phát hiện và tìm giải pháp trong bài toán nguyên hàm và tích phân liên quan đến xác định hàm ẩn

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HÀ TĨNH  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: PHÁT HIỆN VÀ TÌM GIẢI PHÁP TRONG BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN LIÊN QUAN ĐẾN XÁC ĐỊNH HÀM ẨN Lĩnh vực: Toán học MỤC LỤC A PHẦN MỞ ĐẦU……………………………………………………………… I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI………………………………………………………… II ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU………………………………… III MỤC TIÊU VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU………………………………… IV GIẢ THUYẾT KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI………………………………… V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU……………………………………………… VI DỰ BÁO NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA ĐỀ TÀI………………………… B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ……………………………………………………… I CƠ SỞ KHOA HỌC…………………………………………………………… Cơ sở lý luận…………………………………………………………………… 1.1 Một số nguyên hàm đặc biệt………………………………………………… 1.2 Các quy tắc tính đạo hàm…………………………………………………… 1.3 Một số tính chất hàm số………………………………………………… 1.4 Xác định hàm ẩn cách lấy nguyên hàm hai vế ………………………… 1.5 Phương pháp tìm hàm ẩn xác định tích phân với cận thay đổi …… 1.6 Các bước thực dạy học…………………………………………… Cơ sở thực tiển………………………………………………………………… II MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN LIÊN QUAN 1 2 2 3 3 3 3 4 ĐẾN XÁC ĐỊNH HÀM ẨN……………………………………………………… Xác định hàm ẩn cách lấy nguyên hàm hai vế…………………………… Xác định hàm ẩn với cận tích phân thay đổi…………………………………… BÀI TẬP TƯƠNG TỰ…………………………………………………………… BÀI TẬP KHẢO SÁT THỰC NGHIỆM………………………………………… IV THỰC NGHIỆM……………………………………………………………… C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ………………………………………………… I KẾT LUẬN……………………………………………………………………… II KIẾN NGHỊ…………………………………………………………………… TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………………… 5 13 18 23 23 25 25 25 25 A PHẦN MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong cơng đổi tồn diện giáo dục nước nhà, đổi phương pháp dạy học nhiệm vụ quan trọng hàng đầu người thầy Trong q trình cơng tác, trải qua nhiều phương pháp dạy học tích cực tơi nhận thấy phương pháp dạy học “Phát tìm giải pháp” có nhiều ưu điểm phù hợp với việc giảng dạy học tập trường phổ thơng nói chung dạy học mơn tốn nói riêng Tuy nhiên để thành cơng phương pháp dạy học “Phát tìm giải pháp” ngồi lực chun môn khả sư phạm giáo viên đòi hỏi người giáo viên thời gian tâm huyết Để có giảng thu hút học sinh, giúp học sinh phát triển tư mơn tốn dẫn dắt học sinh tới niềm say mê tìm tịi sáng tạo, tơi bao giáo viên yêu nghề thường trăn trở với khó khăn học sinh trình tiếp cận tốn Trong chương trình tốn học phổ thơng, tốn xác định hàm ẩn tốn thường xun có mặt đề thi thử THPT quốc gia trường THPT kỳ thi THPT Quốc gia qua năm Vì ln quan tâm đặc biệt học sinh, bên cạnh tốn khó với đại đa số đối tượng học sinh Băn khoăn trước khó khăn học sinh tơi tìm tịi định chọn phương pháp dạy học “Phát tìm giải pháp” để giúp em học sinh tiếp cận loại toán cách hiệu Với mong muốn giúp em học sinh lớp 12 trước bước vào kỳ thi Quốc Gia với tâm lý thoải mái hơn, hy vọng hơn, chọn viết đề tài: “ Phát tìm giải pháp tốn ngun hàm tích phân liên quan đến xác định hàm ẩn” II ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Các vấn đề tơi trình bày chun đề hỗ trợ cho em học sinh lớp 12 có học lực em học sinh có học lực giỏi tiếp cận với tốn ngun hàm, tích phân thơng qua việc xác định hàm ẩn Để hồn thành đề tài tơi nghiên cứu tài liệu sách giáo khoa, tài liệu nguyên hàm tích phân, đề thi thử THPT quốc gia, đề thi THPT quốc gia qua năm qua diễn đàn toán học ( strong teem tốn VD-VDC, nhóm tốn VD-VDC, …) III MỤC TIÊU VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU + Mục tiêu nghiên cứu: Mục tiêu nghiên cứu đề tài giúp em học sinh lớp 12 có tham vọng lớn kỳ thi THPT quốc gia, tiếp cận toán xác định hàm ẩn, đồng thời trang bị cho em hướng phát tìm giải pháp, nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn trường trung học phổ thơng thời gian giáo dục nước nhà bước đổi với phương châm phát huy tính tích cực lực chủ động sáng tạo học sinh + Nhiệm vụ nghiên cứu: Nghiên cứu qua tài liệu, sau trình bày có hệ thống dạng, ví dụ điển hình IV GIẢ THÚT KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI Trong trình dạy học người giáo viên biết khơi dậy học sinh tính tị mị thơng qua phát biết xây dựng hệ thống dạng tập, qua phát giúp học sinh phát huy tính tích cực từ em thấy tự tin, vững vàng gặp phải dạng toán V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU + Nghiên cứu luận: Nghiên cứu qua tài liệu ngun hàm tích phân chương trình tốn THPT + Nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát lực học sinh vấn đề tiếp cận giải toán liên quan đến xác định hàm ẩn + Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành dạy ôn thi THPT quốc gia số buổi cho em học sinh lớp 12 để xem xét tính khả thi, hiệu đề tài VI DỰ BÁO NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA ĐỀ TÀI Trong thực tiển dạy ôn thi THPT quốc gia cho em học sinh lớp 12 sử dụng đề tài vào giảng dạy thu kết khả quan, hầu hết em tham gia lớp học chủ động hứng thú tiếp cận với toán liên quan đến việc xác định hàm ẩn Từ phát huy tính tích cực, chủ động học tập Đề tài làm tài liệu cho giáo viên việc dạy ôn thi THPT quốc gia cho em học sinh lớp 12 tham khảo B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I CƠ SỞ KHOA HỌC Cơ sở lý luận 1.1 Một số nguyên hàm đặc biệt: + + f '( x ) dx  �  f ( x)  �  f ( x)  C  f ( x)  f '( x)dx   1 f '( x ) + 1.2 Các quy tắc tính đạo hàm: + �f ( x) dx  ln  u ( x).v( x)   1 '  C ,  �1 f ( x)  C  u '( x ).v( x )  u ( x ).v '( x ) ' �u ( x) � u '( x).v ( x)  u ( x ).v '( x) � � v ( x) + �v( x) � 1.3 Một số tính chất hàm số : a) Tính chất 1: Cho hai hàm số f ( x) g ( x) có nguyên hàm K Khi đó, ta có: + Nếu f ( x)  g ( x), x �K + Nếu f ( x) dx  � g ( x)dx � f ( x) �g ( x), x � a; b  �K b b a a f ( x )dx �� g ( x )dx � b) Tính chất 2: Cho hai hàm số u ( x), v( x) có đạo hàm liên tục đoạn [a; b] thỏa mãn  �u ( x), v( x) � , x � a; b  hàm số f (t ) liên tục đoạn [ ;  ] ' u ( x) � � ��f (t )dt � u '( x) f (u ( x))  v '( x) f (v( x)) � � � Khi đó, ta có: �v( x ) 1.4 Xác định hàm ẩn cách lấy nguyên hàm hai vế Bước : Đưa giả thiết dạng h  f ( x)  f '( x)  g ( x) Bước : Lấy nguyên hàm hai vế đẳng thức h  f ( x )  f '( x )  g ( x ) Bước : Kết luận 1.5 Xác định hàm ẩn với cận tích phân thay đổi Bước : Lấy đạo hàm hai vế đẳng thức chứa tích phân với cận thay đổi Bước : Kết luận 1.6 Các bước thực dạy học Bước : Phân tích phát vấn đề Bước : Tìm giải pháp Bước : Trình bày giải pháp Bước : Nghiên cứu sâu giải pháp Cơ sở thực tiển Trong xu đổi nói chung dạy học mơn tốn nói riêng, việc vận dụng phương pháp vào dạy học quan trọng cần thiết Nhận thức vấn đề nhiều giáo viên tích cực nghiên cứu tìm hình thức dạy học tìm giải pháp Tuy nhiên phần lớn lúng túng việc thực hiện, hiệu dạy học chưa cao đặc biệt việc dạy học chủ đề “ Các tốn ngun hàm tích phân liên quan đến xác định hàm ẩn” chưa có hiệu cao Thơng qua trao đổi với giáo viên tổ toán thuộc hai trường X Y địa bàn huyện khảo sát phiếu điều tra học sinh dạy học chủ đề phương pháp tìm giải pháp, thu kết sau: Nội dung Số lượng Giáo viên biết dạy học tìm giải pháp 15 Giáo viên dạy học tìm giải pháp khơng thường 10 Tỷ lệ (%) 68,18% 45,45% xuyên Giáo viên dạy học tìm giải pháp thường xuyên Giáo viên dạy học tìm giải pháp cách phát 22,73% 9,09% Theo số liệu khảo sát trên, số giáo viên biết đến phương pháp dạy học tìm giải pháp nhiều ( chiếm 68,19%) dừng lại mức độ tiếp cận lý thuyết dạy học tìm giải pháp chưa nghiên cứu sâu cho việc tìm giải pháp Về phía học sinh giáo viên áp dụng dạy học tìm giải pháp em cịn lúng túng, chưa phát huy tính tích cực mình, tính hiệu giải tốn dạng chưa cao Do tơi đưa hình thức “Phát tìm giải pháp” để dạy học tốn ngun hàm tích phân liên quan đến xác định hàm ẩn II MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN LIÊN QUAN ĐẾN XÁC ĐỊNH HÀM ẨN Xác định hàm ẩn cách lấy nguyên hàm hai vế Ví dụ 1; � Cho hàm số f ( x) xác định dương  thỏa mãn f (1)  f '( x) f ( x) = , x �1 x Xác định hàm f ( x) Bước Phân tích phát vấn đề f '( x) f ( x)dx  f � Ta thấy ( x)  C �dx  ln x  C x Bước Tìm giải pháp - Qua ta đề xuất giải pháp lấy nguyên hàm hai vế đẳng thức f '( x) f ( x)  x Bước Trình bày giải pháp Ta có f '( x ) f ( x )  1 �� f '( x ) f ( x )dx  �dx � f ( x)  ln x  C x x f ( x)  2ln x  4, x � 1: � Do f (1)  nên C  Suy Vậy f ( x )  2ln x  4, x �1 (do f ( x )  0, x �1 ) Bước Nghiên cứu sâu giải pháp - Với giải pháp ta thay đẳng thức f '( x)  f ( x)   g ( x) n f '( x ) f ( x)  x đẳng thức với hàm số g ( x) tính ngun hàm ta có toán tổng quát hơn, cụ thể: - Bài toán: Cho hàm số f ( x) xác định có đạo hàm khoảng (a; b) hàm số g ( x) xác định khoảng ( a; b) thỏa mãn f (c)  m, c �( a; b) f '( x )  f ( x)  g ( x), x �(a; b) n Xác định hàm f ( x) Ví dụ Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f (2)  2 , f ( x) �0  �� f '( x)  x  f ( x)  với x �� Tính giá trị f (1) Bước Phân tích phát vấn đề Hàm số cho ta tương ứng giá trị x0 thuộc tập xác định có giá trị hàm số f ( x0 ) Do vấn đề đặt xác định hàm f ( x) cơng việc cịn lại dễ dàng Bước Tìm giải pháp f '( x) - Nhận thấy nguyên hàm �  f ( x) dx tìm f '( x ) - Qua ta đề xuất giải pháp lấy nguyên hàm hai vế đẳng thức  f ( x)   2x Bước Trình bày giải pháp f '( x)  x  f ( x ) � Ta có Do Vậy f (2)  f (1)  f '( x)  f ( x)  f '( x) 1  2x � � dx  � xdx �  x2  C f ( x)  f ( x)  2 C  4 nên 2 Suy f ( x)  1 x2  2 Bước Nghiên cứu sâu giải pháp - Với giải pháp ta thấy, hai vế đẳng thức lấy nguyên hàm khơng tính ngun hàm tính ngun hàm gặp nhiều khó khăn giải pháp khơng thực Do ta đề xuất hướng mỡ rộng toán sau: f ( x) f ( x) Thay 2x hàm số g ( x) tính nguyên hàm; thay   n - Bài toán: Cho hai hàm số f ( x) g ( x) xác định tập K thỏa mãn f ( x) �0, x �K , f (a)  b,a �K f '( x)  g ( x)  f ( x)  , x �K , n �Z Xác định n hàm f ( x) * Chú ý: Từ giải pháp hai toán ta đến toán tổng quát h  f ( x)  , g ( x) sau: Cho hai hàm số có nguyên hàm tập K ; hàm số f ( x) thỏa f '( x) h  f ( x)   g ( x) mãn f (a)  b, a �K với x �K Tìm hàm số f ( x) Ví dụ Cho hàm số f ( x) xác định có đạo hàm đến cấp hai liên tục khoảng (0; �) thỏa mãn   f '( x)  x f (1)  0, f (e)  Tính giá trị f ''( x) f ( x)  2 f (e ) Bước Phân tích phát vấn đề  u ( x )v ( x )  '  u '( x )v ( x )  u ( x )v '( x ) ta suy - Ta thấy từ cơng thức tính đạo hàm f ''( x) f ( x)   f '( x)    f '( x) f ( x )  ' - Do để tìm hàm f ( x) ta phải tìm hàm f '( x) f ( x) Bước Tìm giải pháp  f '( x) f ( x)  dx tìm - Nhận thấy nguyên hàm � ' - Qua ta đề xuất giải pháp lấy nguyên hàm hai vế đẳng thức  f '( x) f ( x )   ' x ta tìm hàm f '( x ) f ( x ) toán trở tốn tương tự ví dụ Bước Trình bày giải pháp Ta có f ''( x) f ( x)  1 2 '   f '( x) � f ''( x) f ( x)   f '( x )   �  f '( x) f ( x)   2 x x x Suy  f '( x) f ( x)  � ' 1 �1 � dx  �2 dx � f '( x) f ( x)   C1 � � f '( x ) f ( x)dx  � dx �  C1 � x x �x � � f ( x)   ln x  C1 x  C2 � C1  � C  C  �1 �f (1)  � e 1 �� �� � eC1  C2  2 �f (e)  � � C2  e  Suy � Theo giả thiết ta có f ( x)   ln x  2x  e 1 � 2e  � f (e )  � 2  � e e 1 � � Vậy 2 Bước Nghiên cứu sâu giải pháp - Nếu ta thay x hàm số g ( x) xác định (0; �) tính ngun hàm ta có tốn Ví dụ Cho hàm số f ( x) xác định có đạo hàm đến cấp hai liên tục � thỏa mãn f ''( x)  f ( x)   x  f ( x)  f '( x)  , x �� 2 f (0)  3, f (1)  Tính giá 3 trị f ( 2) Bước Phân tích phát vấn đề  u ( x )v ( x )  '  u '( x)v( x )  u ( x )v '( x) ta suy - Ta thấy từ cơng thức tính đạo hàm  f ''( x)  f ( x)  f ( x)  f '( x)   f '( x)  f ( x)  2  ' f '( x)  f ( x)  - Do để tìm hàm f ( x) ta phải tìm hàm Bước Tìm giải pháp I � f ( x)dx Tính Bước Phân tích phát vấn đề - Để tính f ( x) dx � ta phải xác định hàm f ( x) - Đây biểu thức tích phân với cận thay đổi đương nhiên ta khơng tìm ngun hàm hàm tf (t ) để đưa vế trái đẳng thức qua biến x Do ta phải tìm giải pháp khác đủ mạnh khơng phải tính tích phân x tf (t )dt � Bước Tìm giải pháp ' ' �v ( x ) � �x � ��f (t )dt � v '( x ) f  v( x )   u '( x ) f  u ( x )  tf ( t ) dt � � xf ( x) � � � u ( x ) � � � - Từ tính chất � ta có - Qua ta đề xuất giải pháp lấy đạo hàm hai vế đẳng thức x tf (t ) dt  ln( x �  1)  Bước Trình bày giải pháp x tf (t )dt  ln( x � Lấy đạo hàm hai vế đẳng thức  1)  ta có 5 2x 2dx � �1 xf ( x)  � f ( x)  �� f ( x)dx  �2 �  dx � � x 1 x 1 x  �x  x  �  ln Vậy I  ln Bước Nghiên cứu sâu giải pháp - Với giải pháp ta thấy, ta thay biểu thức ln( x  1)  biểu thức g ( x) ta có tốn 14 - Bài toán: Cho hai hàm số f ( x) g ( x ) liên tục � thỏa mãn x f (t) dt  g ( x), a ��, x  a � a Xác định hàm f ( x) Ví dụ Cho hàm số f ( x) dương có đạo hàm liên tục � thỏa mãn x   f ( x)  �  f (t)    f '(t )  2  dt  2020 Tính f (1) Bước Phân tích phát vấn đề - Nếu thay x  vào đẳng thức vấn đề đặt tích phân  4 f (t)   f '(t ) � 2  dt chưa tính chưa xác định hàm f (t ) - Do cần phải xác định hàm f ( x) trước thay x  vào Bước Tìm giải pháp ' �v ( x ) � ��f (t )dt � v '( x ) f  v( x )   u '( x ) f  u ( x )  � � u( x) � - Từ tính chất � ta có   ' �x � 2 2  f (t )   f '(t )  dt �  f ( x)   f '( x)  �� �0 � - Qua ta đề xuất giải pháp lấy đạo hàm hai vế đẳng thức x    f ( x)   �  f (t)   f '(t )  dt  2020 2 theo biến x Bước Trình bày giải pháp 15 Lấy đạo hàm hai vế theo biến x đẳng thức x    f ( x)  �  f (t)    f '(t )  dt  2020 2 ta có f ( x) f '( x)   f ( x)    f '( x)  �  f ( x)  f '( x)   � f '( x)  f ( x) 2 � f '( x) f '( x)  � � dx  � 2dx � ln f (1)  ln f (0)  f ( x) f ( x ) 0 Mặt khác Suy  f (0)   �  f (t )    f '(t ) dt  2020  2020 � f (0)  1010 2 ln f (1)   ln 1010 � f (1)  e2 1010 Vậy f (1)  e 1010 Bước Nghiên cứu sâu giải pháp f ( x) ,  f (t ) - Với giải pháp ta thấy, ta thay hệ số  2 f '(t )   cho sau đạo hàm hai vế ta phương trình đẳng cấp bậc hai f ( x) f '( x) có nghiệm ta toán tổng quát - Bài toán: Cho hàm số f ( x ) dương có đạo hàm liên tục � thỏa mãn x  b  f ( x)  � a  f (t )  c  f '(t )  2  dt  m , với b  ac  m  Tính f ( x0 ) Ví dụ 0;1 Cho hàm số f ( x) xác định khơng âm có đạo hàm liên tục   Đặt x g ( x)   � f (t ) dt g ( x ) � f ( x )  , x � 0;1 Biết Tìm giá trị lớn 0;1 hàm số h( x)  g ( x)  x  x đoạn   16 Bước Phân tích phát vấn đề - Ta thấy hàm số h( x ) phụ thuộc vào hàm g ( x) nên để tìm giá trị lớn hàm h( x) ta phải xác định hàm g ( x ) tìm đặc tính - Do hàm g ( x ) có mặt hai giả thiết tốn nên tính chất đặc trưng kết hợp hai giả thiết nêu Bước Tìm giải pháp ' �v ( x ) � ��f (t )dt � v '( x ) f  v( x )   u '( x ) f  u ( x )  � � u( x) � - Từ tính chất � , ta có g '( x)  f ( x) g ( x ) � f ( x)  , x � 0;1 - Kết hợp với giả thiết ta tìm thuộc tính g ( x ) Bước Trình bày giải pháp x Ta có g ( x)   2� f (t) dt f ( x) �0, x � 0;1 suy g ( x) �1, x � 0;1 x Lấy đạo hàm hai vế theo biến x đẳng thức g ( x)   � f (t) dt , ta có g '( x)  f ( x) Mặt khác g ( x)  f� ( x) t 2 g ( x) �g '( x) � � �2 � � g '( x) g ( x) g '( x) g ( x) t g '( x) �� � dx g ( x ) dx � g (t ) g (0) t 0 g(t ) (t 1) , g (0) � f (t )dt    g ( x) ( x 1) h( x) 0;1 Vậy giá trị lớn h( x) đoạn   Bước Nghiên cứu sâu giải pháp 17 - Với giải pháp ta thấy  x  x bị triệt tiêu, ta thay ddosbawngf biểu thức t ( x) cho việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ thực ta có tốn - Nếu thay đổi cận tích phân hệ số đẳng thức x g ( x )   2� f (t )dt có lớp tốn dạng Ví dụ 0;1 Cho hàm số f ( x) có giá trị khơng âm có đạo hàm liên tục đoạn   x thỏa mãn f ( x) �2020  � f (t )dt , x � 0;1 Biết giá trị lớn tích phân f ( x)dx � có dạng ae  b với a, b �Z Tính a  b Bước Phân tích phát vấn đề - Để tìm giá trị lớn f ( x)dx � ta phải tìm miền giá trị 0;1 hàm f ( x) đoạn   x - Do f ( x) �2020  � f (t )dt , x � 0;1 nên ta cần đánh giá vế phải bất đẳng thức nhỏ biểu thức chứa biến nào? Bước Tìm giải pháp x - Để đơn giản ta đặt g ( x)  2020  � f (t) dt 18 ' �v ( x ) � ��f (t )dt � v '( x ) f  v( x )   u '( x ) f  u ( x )  � � u( x) � - Từ tính chất � , ta có g '( x)  f ( x) - Kết hợp với giả thiết f ( x) �g ( x ) ta tìm mối liên hệ g '( x) với g ( x) - Qua ta lấy tích phân hai vế cận từ đến t liên hệ Bước Trình bày giải pháp x g ( x )  2020  � f (t) dt Đặt Theo giả thiết g '( x) f ( x ) � g ( x), t g (t ) g ( x) g '( x) g ( x)  0;1 t g '( x) dx � � 2dx ��ln g (t ) � g ( x ) 0 Suy ln g (0) 2t ln g (t ) 2t ln 2020 2020  e 2t Do , ta có �g (0)  2020 � g ( x) 2020, x � �g '( x )  f ( x ) �0 1 f ( x) dx �� g ( x) dx �� 2020e � 0 2x dx  1010e2  1010 Vậy a  b  Bước Nghiên cứu sâu giải pháp - Với giải pháp ta thấy thay đổi chiều bất đẳng thức x f ( x) �2020  � f (t )dt , x � 0;1 ta tốn tìm giá trị nhỏ - Nếu thay đổi cận tích phân hệ số bất đẳng thức x f ( x) �2020  � f (t )dt , x � 0;1 có lớp tốn dạng Nhận xét: Qua ví dụ ta thấy tầm quan trọng tính chất nguyên hàm, tích phân đạo hàm nêu Việc định hướng áp dụng cần có số kỷ thuật phân tích khéo léo tinh tế, phân tích hướng việc lựa chọn cơng cụ ( tính chất) để giải đơn giản BÀI TẬP TƯƠNG TỰ 19 �1 � �\ � � f '( x)  �2 thỏa mãn x  Câu 1: Cho hàm số f ( x) xác định f (0)  1, f (1)  Giá trị biểu thức f (1)  f (3) A  ln B  ln15 Câu 2: Cho hàm số f ( x) xác định C  ln15 �\  �2 thỏa mãn D ln15 f '( x)  x  f (3)  0, f (0)  1, f (3)  Giá trị biểu thức f (4)  f (1)  f (4) A  ln 25  ln C B  ln  ln D 0; � Câu 3: Cho hàm số f ( x) xác định dương có đạo hàm liên tục  thỏa mãn f (2)  A 15 f '( x)   x    f ( x)  Tính f (1)  f (2)  f (3) 11 B 15 11 C 30 D 30 Câu 4: Cho hàm số f ( x) xác định có đạo hàm liên tục � thỏa mãn f (0)  f ( x ) f '( x)  12 x  13 Khi phương trình f ( x )  có nghiệm ? A B C D �� 0; � � f ( x ) � Câu 5: Cho hàm số liên tục, không âm đoạn �, thỏa mãn f (0)  �� f ( x ) f '( x )  cos x  f ( x ), x �� 0; � 2� � Tìm giá trị nhỏ m giá trị lớn  � � ; � � M hàm f ( x) đoạn �6 � 20 A C m 21 , M  2 m , M  B m , M  D m  3, M  2 Câu 6: Cho hàm số f ( x) xác định có đạo hàm liên tục � thỏa mãn f '( x)   2x f ( x)  0, x �� Biết f ( x) f (0)  Tìm giá trị tham số m để phương trình f ( x)  m có hai nghiệm phân biệt A m  e B  m �1 C  m  e D  m  e Câu 7: Cho hàm số f ( x) xác định có đạo hàm liên tục �, f ( x) �0, x �� Biết f '( x)  (2 x  1) f ( x) , f (1)  1 a b a với ( a �Z, b ��) b tối giản Mệnh đề sau A a  b  1 B a � 2017;2017  a  1 C b D b  a  4035 f (1)  f (2)   f (2017)  ? Câu 8: Cho hàm số f ( x) xác định dương có đạo hàm liên tục � thỏa mãn f '( x ) 1 f ( x) f (0)  e Tính A I  e  �f ( x)dx 1 I  1 e B C I  e D I  21 Câu 9: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục � thỏa mãn f '( x ) f ( x )  f (0)  Tính xf ( x) dx � 3 205 28 207 B 28 A 209 C 28 203 D 28 0; 2 Câu 10: Cho hàm số f ( x ) đồng biến, có đạo hàm đến cấp hai đoạn  thỏa mãn  f ( x )  f ( x ) f ''(x)   f '( x )   Biết f (0)  1, f(2)  e Khi f (1) B e A e D e C e x Câu 11: Cho hàm số f (t ) thỏa mãn điều kiện: t f (t ) dt   x �  2x với x  Tính f ( x )dx � A I   ln B I   8ln C I   ln D I   ln x Câu 12: Cho f (t )dt  x � a A a  96  96 Tìm a B a  2 C a  D a  15 x Câu 13: Cho f ( x)  � 3( f '(t))2  f '(t )  3dt B 1  A Tính f '( x) C  D 2 x y Câu 14: Cho cos tdt , ( x  0) � Tính y ' 22 A C y'  cos x x y'  cos x x B D y'  2cos x x y'   cos x x x2 Câu 15: Cho A C F ( x)  � cos tdt F '( x)  cos( x ) B F '( x)  x cos x F '( x)  2 x sin( x ) Câu 16: Cho Tính F '( x) hàm D F '( x)  x cos( x ) y  f ( x) số liên tục �1 � � ; �� �2 � thỏa mãn x x   11  � f (t ) dt a Tìm a A a  120 B a  60 C a  121 D a  61 x2 Câu 17: Cho hàm số y  f ( x ) liên tục � thỏa mãn �f (t )dt  x cos  x Tính f (4) A B C D f ( x) �t dt  x cos  x Câu 18: Cho hàm số y  f ( x) thỏa mãn Mệnh đề sau ? A f '(2)( f (2))  B f '(2)( f (2))   2 C f '(2)( f (2))  1 D f '(2)( f (2))  2  x Câu 19: Cho hàm số y  f ( x) liên tục � thỏa mãn � f ( x)  �  t f '(t ) � dt � � Mệnh đề sau ? A f (1)  f (2)  f (3) B f (1)  f (2)  f (3) 23 C f (1)  f (2)  f (3) D f (1)  f (2) �2 f (3) Câu 20: Cho hàm số y  f ( x) dương có đạo hàm liên tục � thỏa mãn x � ( f ( x))2  � ( f (t ))  ( f '(t )) � dt  2018 � � Mệnh đề sau ? A f (1)  2018e B f (1)  2018 C f (1)  2018 D f (1)  2018e x3 Câu 21: Cho hàm số y  f ( x ) thỏa mãn B 2 A �f (t )dt  2x  Tính f (1) C D 0;1 Câu 22: Cho hàm số f ( x) xác định không âm có đạo hàm liên tục   x Đặt g ( x)   � f (t )dt Biết g ( x ) � f ( x ), x � 0;1 Tích phân dx � g ( x) có giá trị lớn B A C D 0;1 Câu 23: Cho hàm số f ( x) xác định không âm có đạo hàm liên tục   x Đặt g ( x )   3� f (t ) dt Biết f ( x) �g ( x), x � 0;1 Tích phân �g ( x)dx có giá trị lớn A B C 5 D 24 0;1 Câu 24: Cho hàm số f ( x) xác định không âm có đạo hàm liên tục   x2 Đặt g ( x)   � f (t )dt Biết g ( x) �2 xf ( x), x � 0;1 Tích phân g ( x )dx � có giá trị lớn B e  A D e C BẢNG ĐÁP ÁN 1.C 11.A 21.D 2.B 12.B 22.B 3.D 13.C 23.B 4.A 14.A 24.B 5.A 15.D 6.C 16.B 7.D 17.A 8.D 18.A 9.B 19.B 10.C 20.D BÀI TẬP KHẢO SÁT THỰC NGHIỆM Thời gian: 45 phút Câu 1: Cho hàm số f ( x) xác định dương có đạo hàm liên tục � cho f '( x)  1, x �� f ( x) f (0)  Tính f (1) A B e C e D e 0; � Câu 2: Cho hàm số f ( x) xác định dương có đạo hàm liên tục  cho f ( x) f '( x)  x, x  f (1)  Tính f (5) A B 25 C D 25 Câu 3: Cho hàm số f ( x) xác định dương có đạo hàm cấp hai liên tục � f ''( x) f ( x)   f ( x)    f '( x)  cho f (0)  1, f (1)  e Tính f ( e ) 2 B e A e e D e e C e x Câu 4: Cho A C f (t ) dt  e � x f ( x)  e x  x2  x, x �� Mệnh đề sau ? x B f ( x )  e  f ( x)  e x  x D f ( x)  e x Câu 5: Cho 1 A f (t ) x2 dt  ln x  , x  � t e2 B e Tính f ( e) e3 C  e D e BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 2.A 3.D 4.B 5.C IV THỰC NGHIỆM Mục đích thực nghiệm: Kiểm tra tính khả thi hiệu đề tài Nội dung thực nghiệm - Triển khai đề tài: “ Phát tìm giải pháp tốn ngun hàm tích phân liên quan đến xác định hàm ẩn” - Đối tượng áp dụng: Học sinh lớp 12 khá, giỏi mơn tốn - Thời gian thực hiện: buổi ( tiết) Kết thực nghiệm Tôi phân công hỗ trợ giảng dạy lớp khối A, khối B khối D nhiều năm nay, có điều kiện thử nghiệm đề tài nhiều lần Tùy theo mức độ kiến thức lớp khối tơi đưa hệ thống ví dụ tập phù hợp nên tạo hứng thú học tập em tiếp cận chuyên đề 26 Kết thật đáng khích lệ, đại đa số em theo cấp độ kiến thức tiếp thu tốt giải tốt tập tương tự, đồng thời em có lực tốt tìm cho tốn tổng quát lớp toán sử dụng tính chất Kiểm tra lớp 12A2 năm học 2018-2019 T Lớp Tổng số HS Điểm �8 �Điểm  �Điểm  Điểm  T 12A1 39 25 em 10 em em em (64,10%) (25,64%) (7,69%) (2,57%) Trong đơn vị kiến thức này, với việc thực phương pháp dạy học khác đưa đến kết sau: Kiểm tra lớp 12A1 năm học 2017-2018 T Lớp Tổng số HS Điểm �8 �Điểm  �Điểm  Điểm  T 12A2 40 em 10 em 15 em 10 em (12,5%) (25%) (37,5%) (25%) Qua phép so sánh ta thấy việc áp dụng phương pháp dạy học “Phát tìm giải pháp” hiệu nào? Tuy nhiên để có hiệu người thầy phải đầu tư thời gian thực tâm huyết với nghề C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I KẾT LUẬN Thông qua số giải pháp xác định hàm ẩn nói thấy việc giải tốn ngun hàm, tích phân liên quan đến hàm ẩn khơng phải vấn đề q khó Xuất phát từ phân tích hợp lý phát vấn đề, cách liên hệ với công thức, hay tính chất nguyên hàm tích phân biết trước, tìm 27 giải pháp để giải vấn đề Qua giải pháp tạo hướng mở cho việc giải toán xác định hàm ẩn Với việc triển khai giảng dạy cho em học sinh có lực giỏi dạy học lớp khối A, B khối D qua số buổi, chủ yếu hướng dẫn cho em tự nghiên cứu đề tài giúp em tự tin hơn, khơng cịn lúng túng gặp dạng tốn II KIẾN NGHỊ Trong viết đưa số giải pháp để xác định hàm ẩn Trong thời gian tới tiếp tục nghiên cứu lớp toán xác định hàm ẩn dựa vào bảng biến thiên, dựa vào đồ thị, đồng thức Qua viết thấy đề tài mở khai thác tiếp, theo nhiều hướng khác Do mong bạn đồng nghiệp người u thích mơn tốn tiếp tục khai thác để đề tài ngày phát triển theo chiều rộng lẫn chiều sâu Mặc dù nghiên cứu nhiều tài liệu nguyên hàm tích phân để viết đề tài song thời gian lực có phần hạn chế, mong đóng góp bạn đồng nghiệp để đề tài có ý nghĩa thiết thực việc giảng dạy, góp phần nhỏ bé vào việc nâng cao chất lượng giáo dục theo hướng đổi TÀI LIỆU THAM KHẢO Bộ sách giáo khoa, sách tập giải tích lớp 12 nâng cao Học toán online chất lượng cao (Vted online) Đề thi THPT quốc gia qua năm Đề thi thử THPT quốc gia trường THPT nước Qua diễn đàn toán học ( strong teem tốn VD-VDC, nhóm tốn VD-VDC,…) 28 ... TOÁN VỀ NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN LIÊN QUAN 1 2 2 3 3 3 3 4 ĐẾN XÁC ĐỊNH HÀM ẨN? ??…………………………………………………… Xác định hàm ẩn cách lấy nguyên hàm hai vế…………………………… Xác định hàm ẩn với cận tích phân thay... đến xác định hàm ẩn II MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN LIÊN QUAN ĐẾN XÁC ĐỊNH HÀM ẨN Xác định hàm ẩn cách lấy nguyên hàm hai vế Ví dụ 1; � Cho hàm số f ( x) xác định dương... định hàm ẩn nói thấy việc giải tốn ngun hàm, tích phân liên quan đến hàm ẩn khơng phải vấn đề q khó Xuất phát từ phân tích hợp lý phát vấn đề, cách liên hệ với công thức, hay tính chất nguyên hàm