skkn toán thcs

Trong đó điều cơ bản của việc dạy cách giải bài tập toán là dạy cho học sinh tự giải những bài tập quen thuộc, cơ bản để từ đó học sinh liên tưởng, tìm tòi, sáng tạo vào trong các bài tậ

BÁO CÁO SÁNG KIẾN I Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến:

Toán học là một môn khoa học tự nhiên có ứng dụng quan trọng trong đời sống, đó là chìa khoá hình thành, phát triển năng lực và phẩm chất cho học sinh theo mục tiêu giáo dục phổ thông mới, giúp học sinh tiến vào mọi lĩnh vực khoa học, mọi hoạt động xã hội, có tác dụng sâu sắc lâu bền đến đời sống tâm hồn, trí tuệ con người giúp cácem lĩnh hội những tinh hoa cuộc sống.

Qua thực tế giảng dạy môn Toán THCS nói chung và môn Toán lớp 8, 9 nói riêng, môn Toán luôn tạo ra những những điều thú vị đầy bí ẩn riêng biệt Để am hiểu cặn kẽ những điều này, đòi hỏi người học phải luôn có sự đam mê khám phá, tìm hiểu Những kiến thức ở mức độ căn bản của bộ môn thường yêu cầu tất cả người học phải nắm được Những kiến thức mở rộng, nâng cao, luôn tạo ra nhiều cơ hội mới cho tất cả những ai có lòng say mê bộ môn, có tính kiên trì, nghị lực, có bản lĩnh vượt khó tìm hiểu và chinh phục Đối với học sinh THCS bất đẳng thức nói chung là một mảng khó trong chương trình toán Phần lớn học sinh chưa nắm được phương pháp giải và trình bày bài toán bất đẳng thức Nguyên nhân cơ bản của những khó khăn mà học sinh gặp phải khi giải bài tập bất đẳng thức chính là những lập luận (suy luận) từ những kiến thức lí thuyết trừu tượng đến những điều kiện cụ thể chuyển thành lời giải của bài toán Trong đó điều cơ bản của việc dạy cách giải bài tập toán là dạy cho học sinh tự giải những bài tập quen thuộc, cơ bản để từ đó học sinh liên tưởng, tìm tòi, sáng tạo vào trong các bài tập liên quan hoặc cùng dạng Bồi dưỡng, phát triển trí tuệ và năng lực hoạt động sáng tạo của học sinh là nhiệm vụ trọng tâm của mỗi giáo viên và các trường học Trong công tác giảng dạy việc lựa chọn được học sinh giỏi và bồi dưỡng chohoc sinh giỏi là khâu hết sức quan trọng và việc chọn lựa các chuyên đề bồi là việc

làm quan trọng nhất Chính vì điều này, tôi đã viết sáng kiến kinh nghiệm “Phát triểnnăng lực tư duy cho học sinh lớp 8, 9 qua bài toán bất đẳng thức” trong chương

trình Toán lớp 8, 9 nói riêng và vận dụng trong Toán học nói chung Với mong muốn được tích lũy thêm kiến thức kinh nghiệm cho bản thân trong quá trình giảng dạy, đồng thời nhận được thật nhiều các ý kiến góp ý của các thầy cô đồng nghiệp trong và ngoài nhà trường để sáng kiến kinh nghiệm này được trọn vẹn hơn nữa.

II Mô tả giải pháp kỹ thuật

II.1 Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến

Trước khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này tôi nhận thấy ở trường nhiều em học sinh khi gặp bài toán bất đẳng thức trong các bài kiểm tra hoặc bài thi đều thấy khó khăn và không làm được, nhiều học sinh giỏi dự thi kì thi cấp tỉnh đạt kết quả chưa cao, mọi kì vọng các thầy cô về học sinh dự thi không như mong đợi dẫn đến các em khóa sau ngại thi bộ môn toán vì thành tích trường không cao so các môn khác Các em thấy những bài thầy cô có dạy qua mà mình không làm được cảm thấy ngại với thầy cô Xuất phát từ nguyên nhân đó tôi thống kê lại nguyên nhân vì sao các em thất bại hình thành cho mình một con đường mới trong công tác bồi dưỡng đội ngũ học sinh khá giỏi Các sáng kiến chuyên đề bồi rộng giáo viên ôn tập hết không có thời gian xuất phát từ đó tôi nhận ra rằng các cấu trúc đề thi hiện nay không chuyên sâu mà dàn trải rộng tập trung ở một số chủ đề chính mà các sáng kiến kinh nghiệm trước đó mang tính chuyên sâu về nội dung từng chủ đề việc người học tiếp thu được là vấn đề rất khó khăn do đó tôi sắp xếp lại cấu trúc các bài vừa sức học sinh, theo từng dạng đặc biệt, dạng gần gũi với các em nên việc tiếp thu không quá khó theo các mảng theo chuyên đề dẫn đến các em hào hứng học tập hơn với mục tiêu đội ngũ học sinh giỏi Toán của Trường THCS Giao Tân đạt điểm cao trong các kì thi khảo sát chất lượng và các kì thi học sinh giỏi cấp huyện và cấp tỉnh mà bài toán về bất đẳng thức luôn có, đó chính là mục đích nguyên cứu đề tài này.

Sau 18 năm công tác, bản thân tôi đã tích lũy được những kiến thức và học hỏi từ đồng nghiệp rất nhiều kinh nghiệm quý báu, điều đó đã giúp tôi có nhiều thuận lợi hơn trong quá trình thực hiện nhiệm vụ giảng dạy được phân công Trong những năm gần đây tôi đã được phân công dạy lớp 8,9, bồi dưỡng đội ngũ học sinh giỏi lớp 8, 9 Từ năm học 2019 – 2020, tôi bắt đầu có ý tưởng tích lũy một số kiến thức về bất đẳng thức và áp dụng vào dạy các năm học 2019 – 2020; 2020 – 2021; 2021– 2022, 2022–

2023 Qua thời gian nghiên cứu, thực hiện viết và áp dụng SKKN “Phát triển nănglực tư duy cho học sinh lớp 8, 9 qua bài toán bất đẳng thức”, bản thân tôi tiếp tục

trao đổi với những giáo viên đã và đang giảng dạy khối 8, 9 trong huyện và trong các huyện khác để tích lũy thêm cho SKKN này Qua đó, tôi thấy:

Trước khi tiến hành nguyên cứu đề tài tôi tiến hành khảo sát đội ngũ học sinh khá giỏi về các bài toán về bất đẳng thức thì 100% học sinh không làm được, lấy ý kiến thì

các em còn mơ hồ về bất đẳng thức trong khi đó hầu hết các đề thi đại trà, đề thi học sinh giỏi, đề thi vào lớp 10 không chuyên, lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong luôn có một bài toán bất đẳng thức chính vì lý do đó mà cá nhân tôi mạnh dạn thực hiện đề tài nguyên cứu này nhằm giúp các em đạt điểm 10 trong các bài thi khảo sát các kì và đạt giải trong các kì thi học sinh giỏi huyện, tỉnh

Với học sinh khối 8 mới bắt đầu làm quen bất đẳng thức Vì thế, năng lực tư duy logic của các em chưa phát triển cao, các em phải làm quen với nhiều kí hiệu toán học và các thuật ngữ mới cũng như lượng kiến thức lí thuyết tương đối nhiều Do vậy, việc áp lý thuyết để làm bài tập toán về bất đẳng thức nói riêng đối với các em là một điều khó Hầu hết chỉ có các học sinh giỏi mới có thể tự làm đúng hướng và trọn vẹn yêu cầu của bài toán Còn hầu hết các học sinh khá lúng túng không biết cách làm, cách thức thực hiện và trình bày lời giải như thế nào là đúng mặc dù được giáo viên hướng dẫn hoặc đã được trình bày bài tập mẫu Với học sinh khối 9 mặc dù đã được làm quen với bất đẳng thức lớp 8 nhưng chưa được rèn luyện nhiều Đồng thời bất đẳng thức được áp dụng cùng kiến thức lớp 9 làm cho các em lớp 9 vẫn vô cùng bỡ ngỡ khi đứng trước bài toán về bất đẳng thức

Bất đẳng thức là một vấn đề hay trong toán học, vận dụng được rộng rãi, có giá trị sử dụng lâu dài và có thể tiếp tục mở rộng theo hướng chuyên sâu hơn Nội dung này là một phần kiến thức tuy ngắn gọn song được bao hàm có thể áp dụng được trực tiếp vào giảng dạy trên lớp cũng như dạy tạo nguồn kiến thức bồi dưỡng học sinh khá giỏi.

Vấn đề hay, nhiều nội dung nhỏ, đơn giản nhưng dễ mắc sai lầm trong suy nghĩ, trong lời giải, trong trình bày, …Vì vậy, đây là một chú ý để chúng ta thật thận trọng, tự rút kinh nghiệm cho bản thân với mục đích cuối cùng là đạt được kết quả cao về nội dung của sáng kiến kinh nghiệm đề ra.

Thực tế cho thấy có nhiều nguyên nhân, nhiều yếu tố tác động tạo nên những khó khăn, hạn chế nêu trên Trước hết phải kể đến là ý thức tự giác trong học tập của người học chưa cao, khả năng tự học, tự rèn của học sinh hiện nay giảm sút nhiều Nhiều học sinh thông minh nhưng ngại va chạm ý thức vươn lên chưa cao Các em ít có những suy nghĩ, trăn trở khi làm bài tập khó hoặc khi làm bài tập sai thì động lực để các em quyết tâm tự làm lại cho đúng chưa nhiều Một điều nữa là việc lưu giữ (quá

trình ghi nhớ), tái hiện (trình bày bằng lời hoặc viết) của học sinh chưa tốt, các em chưa chịu khó làm bài tập ở nhà Trong mảng kiến thức về bất đẳng thức, các em tỏ ra lúng túng khi lập luận, khi trình bày một số dạng bài tập nêu trên Vì vậy mà các em quên nhanh nhiều kiến thức cơ bản của phần này dẫn đến ngại làm bài tập Trong khi đó, để học môn toán tốt, nhớ lâu kiến thức thì con đường vô cùng hiệu quả là luyện giải bài tập.

II.2 Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến

2.1 Cơ sở lý luận của vấn đề.

Kiến thức về bất đẳng thức được giới thiệu trong chương IV đại số 8 Đây là cơ sở lý luận để nhận biết được bất đẳng thức Nó còn được vận dụng để giải quyết một lượng không nhỏ các bài tập liên quan đến bất đẳng thức Giả sử A và B là hai biểu

Tính chất giao hoán: Cho các số thực A và B bất kì, ta luôn có

Tính chất bắc cầu: Cho các số thực A, B, C bất kì, ta luôn có

Tính chất liên hệ với phép cộng: Cho các số thực A, B và M bất kì, ta luôn có Cho các số thực A, B, C, D bất kì , ta luôn có

Tính chất liên hệ với phép nhân: Cho các số thực A, B bất kì, ta luôn có

Để giải quyết các bài tập này học sinh phải nắm chắc hệ thống lý thuyết cơ bản bất đẳng thức, biết vận dụng kiến thức một cách linh hoạt, hợp lí, qua đó học sinh có khả năng phát triển tư duy, đặc biệt là tư duy sáng tạo trong giải toán.

Kiến thức về bất đẳng thức không chỉ được ứng dụng trong thi học sinh giỏi các cấp, kì thi đại học mà ngay những bài toán trong các đề kiểm tra một tiết, học kì chúng ta thường xuyên gặp Vì vậy muốn nắm chắc được hệ thống lý thuyết cơ bản bất đẳng thức học sinh có thể vận dụng để giải quyết rất nhiều bài tập trong chương trình THCS.

Qua tham khảo một số tài liệu tôi đã cố gắng hệ thống lại một số dạng bài tập cơ bản liên quan đến bất đẳng thức Ngoài ra, mở rộng đối với một số bài toán lớp 8; 9 trong phần bài tập nhằm giúp các em có tư duy sáng tạo trong suy nghĩ Mỗi dạng bài tập đều có phần gợi ý nhận xét, định hướng cách giải thông qua kiến thức áp dụng.

2.2 Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề.

Nhằm nâng cao chất lượng học sinh khá giỏi chia sẻ một số kinh nghiệm cùng đồng nghiệp nhằm nâng cao chất lượng học sinh giỏi toán, khi dạy kiến thức về bất đẳng thức, theo ý kiến chủ quan của bản thân, tôi suy nghĩ và đã thực hiện như sau:

a) Trước hết, truyền đạt chính xác, đầy đủ các kiến thức cơ bản của bất đẳng thức trong sách giáo khoa.

* Một số bất đẳng thức cơ bản cần nhớ

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi:

Mục đích giúp cho học sinh có kiến thức nền tốt Giáo dục được ý thức ham học và nghiêm túc trong học tập, nghiêm khắc với bản thân cho học sinh ngay từ đầu vì thói quen xấu rất khó bỏ và nề nếp chặt chẽ mau vững bền.

b) Đưa ra dạng bài tập cơ bản thường hay gặp Ví dụ :

.

Yêu cầu và bắt buộc học sinh phải học thuộc lòng các bất đẳng thức thường gặp để từ đó hình thành tư duy, kỹ năng nhận dạng bất đẳng thức thuộc loại nào để đưa ra cách giải hợp lí đỡ tốn thời gian.

Mục đích cho các em làm bài tập áp dụng trong tiết dạy lý thuyết và trong tiết dạy luyện tập với các dạng bài tập cụ thể đa dạng từ dễ đến khó có hướng dẫn gợi mở của giáo viên, được trình bày ngắn gọn có các căn cứ rõ ràng Ngoài ra, có thể tổ chức thi làm bài nhanh giữa các em, để kích thích tính tích cực, ganh đua trong học tập Giao bài tập về nhà đồng thời tăng cường biện pháp để kiểm tra việc học bài và làm bài ở nhà của học sinh để đảm bảo chất lượng của bài dạy

c) Đưa ra dạng bài có quy tắc để học sinh dễ nhận dạng, không lúng túng khi làm

bài trong các kì thi

c.I) PHÂN DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI 1 Dạng hai số không âm

Ví dụ 2 Cho và Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Dấu “=” xảy ra khi a = 18, b = 8, c = 2

Ví dụ 3: Cho a ≥ 0, b ≥ 0, a2+ b2≤ 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = Lời giải

Xét:

Vậy MaxM = 2 khi a = b = 1

Ví dụ 4 Cho , và Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Dấu "=" xảy ra khi

DẠNG 3: QUA MỘT BƯỚC BIẾN ĐỔI RỒI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI Ví dụ 1 Cho , , và Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Vì là độ dài ba cạnh của nên

; ; Nhân ba đẳng thức dương cùng chiều ta được

(điều phải chứng minh) DẠNG 5: DỰ ĐOÁN KẾT QUẢ RỒI TÁCH THÍCH HỢP

Bước 1: Kẻ bảng dự đoán giái trị lớn nhất,nhỏ nhất và đạt tại giá trị nào của

Từ bảng thứ hai, ta suy ra sẽ đi với nên sẽ đi với Trình bày lời giải

Vậy khi (thỏa mãn).

Ví dụ 2 Cho và Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Từ bảng thứ hai, ta suy ra sẽ đi với nên sẽ đi với ; sẽ đi

Trình bày lời giải

Phân tích bài toán

Từ bảng thứ nhất dự đoán khi

Từ bảng thứ hai, ta suy ra sẽ đi với nên ta biến đổi

DẠNG 6: KẾT HỢP ĐẶT ẨN PHỤ VÀ DỰ ĐOÁN KÊT QUẢ Khi đặt ẩn phụ ta cần tìm điều kiện của ẩn phụ Một số bất đẳng thức trung gian thường dùng:

bằng xảy ra khi

Dấu bằng xảy ra khi

Dấu bằng xảy ra khi Ví dụ 1 Cho và Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Ví dụ 7: Cho x,y >0 và Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải

ta được

Đặt , điều kiện , ta được:

Sử dụng và , ta được

Đặt , điều kiện , ta được

DẠNG 7: TÌM LẠI ĐIỀU KIỆN CỦA ẨN

Ví dụ 1 Cho và Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

nhất của biểu thức

Lời giải Có

Sử dụng ta được

Ví dụ 3: Cho và Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Ví dụ 5: Cho và Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Quy ước trong dấu xảy ra, nếu mẫu nào bằng 0 thì tử tương ứng bằng 0.

Ví dụ 1 Cho 4x + 9y = 13 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 4x2+ 9y2

Lời giải

Có 132= (4x + 9y)2 = (2.2x + 3.3y)2 (22+ 32)(4x2+ 9y2) = 13A Ví dụ 2 Cho 4x + 3y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 4x2+ 3y2

Lời giải

Có 12= (4x + 3y)2 = (2.2x + y)2 (4 + 3)(4x2+ 3y2) = 7A

Vậy MinA = khi

Ví dụ 3 Cho x ≥ 0; y ≥ 0; z ≥ 0 và x + y + z = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2+ y2+ z2

Lời giải

Có 22= (1.x + 1.y + 1.z)2 (12+ 12+ 12)( x2+ y2+ z2) = 3A

Vậy MinA = khi

Ví dụ 4 Cho 3x2+ 2y2= Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2x + 3y

Ví dụ 6 Cho x2+ y2+ z2= Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x + y + z Lời giải

Có P2= (1.x + 1.y + 1.z)2 (12+ + 12+ 12)(x2+ y2+ z2) = 3 = P ≤

Vậy MaxP = khi

Ví dụ 7 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức khi 1 ≤ x ≤ 3 Lời giải

Ví dụ 8 Cho a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 và a + b + c = 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Lời giải

Có K2=

(12+ + 12+ 12)( 4a + 5 + 4b + 5 + 4c + 5) = 3[4(a + b + c) + 15] = 3(4.3 + 15) = 81 K ≤ 9 Vậy MaxK = 9 khi

Ví dụ 9 Cho a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 và a + b + c = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Lời giải

Có P2=

(12+ + 12+ 12)

= 6 (a +b + c) = 6 P 6

Vậy MaxP = khi

Ví dụ 10 Cho a, b, c ≥ 0 và Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải

Ta có

Suy ra

hay M ≥ 3 Vậy MinM = 3 khi a = b = c = 1

c.III)PHÂN DẠNG BÀI TẬP THEO PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG Dấu “=” xảy ra khi A = 0, B = 0.

Ví dụ 1 Cho x ≥ - 2; y ≥ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Lời giải

Có

Vậy MinA = 18 khi ( thỏa mãn) Ví dụ 2 Cho x ≥ - Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải Có

Ví dụ 3 Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T =

Lời giải Xét 2T =

Ví dụ 4 Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải Xét

Ví dụ 5 Cho và Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Vậy MaxT khi a = b = c =2.

Ví dụ 6 Cho , Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S =

Lời giải

Vận dụng vào bài toán, ta có Vậy MinS khi

DẠNG 2: TẠO RA BẬC HAI BẰNG CÁCH NHÂN HAI BẬC MỘT

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải Vì 2− a 3 nên

Vậy MinA = 12 khi

Cách 2 (Sử dụng bất đẳng thức Côsi – dự đoán min đạt tại x=y=z=2)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải

Tìm Max K

Cách 1(Sử dụng bất đẳng thức Bunhia) Xét

Vậy MaxK khi

Cách 2 (Sử dụng bất đẳng thức Côsi – dự đoán min đạt tại a=b=c=1)

Vậy Max khi

Vậy MaxP=18 khi (a,b,c) là hoán vị của (1;1;4)

DẠNG 4: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT TRONG BA SỐ BẤT KÌ LUÔN TÒN TẠI HAI SỐ CÓ TÍCH KHÔNG ÂM

Tính chất 1: Nếu -1 a 1 thì

Dấu “=” xảy ra khi a=0 hoặc a=1 nếu n lẻ, khi a=0 hoặc a= 1 nếu n chẳn Tính chất 2: Nếu hai số a và b có tích ab 0 thì

Tính chất 3: Với ba số x, y, z bất kỳ, luôn tồn tại hai số có tích không âm Bài toán cơ bản: Cho -1 x, y, z 1, x+ y+ z =0

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T = Lời giải:

Với ba số x, y, z bất kỳ, luôn tồn tại hai số có tích không âm Giả sử xy 0 =>