skkn toán thcs

ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN Trong chương trình giáo dục phổ thông Toán học là môn khoa học tự nhiên mang tính trừu tượng cao, không thể thiếu trong đa số các lĩnh vực của cuộc s

I ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN

Trong chương trình giáo dục phổ thông Toán học là môn khoa học tự nhiên mang tính trừu tượng cao, không thể thiếu trong đa số các lĩnh vực của cuộc sống và các môn khoa học khác, những tri thức và kỹ năng toán học cùng với những phương pháp làm việc trong toán học trở thành công cụ để học tập những môn khoa học khác và nó là cầu nối các ngành khoa học với nhau, đồng thời nó có tính thực tiễn rất cao trong cuộc sống xã hội và với mỗi cá nhân Môn Toán có năng lực tư duy lôgic, phát huy tính linh hoạt, sáng tạo trong học tập và môn Toán là một trong những môn học được coi là khó đối với nhiều học sinh Từ xa xưa con người đã biết đến toán học thông qua đo đạc và tính toán,… Vì thế có

thể nói “Toán học là chìa khoá của mọi ngành khoa học” Vậy làm thế nào để

học tốt môn toán? Làm thế nào hoàn thành tốt các dạng bài tập đã được học kiến thức cơ bản? Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn toán, giúp đánh giá hoạt động của học sinh thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc, phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phố biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ Vì vậy, rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh là một vấn đề quan trọng trong dạy học, việc giải toán phải được tiến hành có kế hoạch, thường xuyên, hệ thống, bền bỉ, liên tục qua tất cả các lớp Việc đó là một quá trình mò mẫm, tìm tòi dựa trên hiểu biết của người giải toán Có người phải mò mẫm rất lâu thử hết cách này đến cách khác trong khi đó lại có người giải bằng cách rất nhanh, chính xác Vậy đâu là bí quyết để giải toán nhanh gọn, chính xác? Cách rèn kỹ năng như thế nào? Những con đường, hướng giải mà người giải toán trải qua để đi đến lời giải thỏa đáng là gì? Đó là câu hỏi đặt ra cho nhiều người giải toán và nhiều thế hệ học sinh

Để đáp ứng mục tiêu Chương trình Giáo dục phổ thông 2018 đòi hỏi học sinh phải thực sự nắm được kiến thức cơ bản, biết phát huy năng lực của bản thân, có phương pháp tự nghiên cứu và phương pháp học tập hợp lý thì mới có thể làm chủ được kiến thức Bên cạnh đó thì giáo viên có vai trò hết sức quan trọng, ngoài việc giúp các em nắm được những kiến thức lý thuyết toán thì việc bồi dưỡng cho các em về mặt phương pháp giải các loại toán là rất quan trọng Nó giúp các em nhận dạng, tìm tòi đường lối giải một cách nhanh chóng, hình thành kỹ năng phát triển tư duy ngày càng sâu sắc hơn và qua đó các em yêu toán hơn, tự tin hơn trong cuộc sống tương lai

Trong chương trình toán Trung học cơ sở nói chung và Toán 9 nói riêng nội dung kiến thức căn thức là một khái niệm trừu tượng và quan trọng vì nó

được sử dụng nhiều trong quá trình dạy Toán ở THCS và THPT Việc nắm vững khái niệm này ở bậc THCS sẽ là nền tảng cơ bản cần thiết để các em có thể tiếp thu những kiến thức cao hơn ở các bậc học sau

Trong toán học: “Giải phương trình vô tỷ” là một vấn đề phức tạp; thế

nhưng nó lại góp phần giải quyết các bài toán phức tạp sau này Mặc dù là lớp cuối cấp nhưng khi gặp các phương trình này không ít học sinh còn “lúng túng, không biết phải bắt đầu từ đâu, hướng giải quyết thế nào?” từ bài tập đơn giản đến phức tạp, từ các bài tập mang tính chất củng cố kiến thức đơn lẻ đến các bài

tập mang tính tổng hợp, các em thường gặp khó khăn trong việc tìm lời giải

Xuất phát từ quan điểm nêu trên, vấn đề giúp học sinh có phương pháp và

kỹ năng giải tốt các bài toán về “Phương trình vô tỷ”, từ đó xây dựng một hệ

thống bài tập từ cơ bản đến nâng cao các dạng toán này là một việc làm hết sức cần thiết với mỗi giáo viên dạy bộ môn Toán 9 Qua nhiều năm tham gia giảng dạy, với những kinh nghiệm được đúc kết từ thực tiễn, học hỏi từ đồng nghiệp

và tham khảo tài liệu, tôi viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm “Phát triển năng lực tư duy, khả năng sáng tạo việc vận dụng các phương pháp, kĩ thuật giải phương trình vô tỷ”

Sáng kiến này xác định nội dung, phương pháp, kĩ thuật và rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trên cơ sở hướng dẫn học sinh giải một số bài toán về phương trình vô tỷ, nhằm góp phần nâng cao hiệu quả của việc dạy và học môn toán Phát huy năng lực tư duy sáng tạo, năng lực tư duy logic toán học, năng lực giải quyết vấn đề đồng thời các em được rèn các phẩm chất yêu thích môn học, chăm chỉ, cẩn thận, …

Tôi nhận thấy nếu xây dựng được một hệ thống các phương pháp giải bài tập theo hướng rèn luyện kỹ năng giải toán và sử dụng có hiệu quả hệ thống các phương pháp, kỹ thuật thì có thể phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh, đồng thời góp phần nâng cao chất lượng dạy và học toán ở các trường THCS

II MÔ TẢ GIẢI PHÁP

1 Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến: * Thuận lợi:

+ Trong chương trình Giáo dục phổ thông 2006 và chương trình Giáo dục phổ thông 2018 luôn lấy học sinh làm trung tâm, đặc biệt được chú trọng phát triển năng lực và phẩm chất, các môn thuộc lĩnh vực khoa học tự nhiên điển hình là môn toán luôn thu hút được số đông học sinh tham gia

+ Với học sinh trường THCS Hải Long phần lớn các em có ý thức học, các em nắm được các kiến thức cơ bản, chăm chỉ làm các bài tập mà thầy cô giao cho

+ Về phía giáo viên, hầu hết các thầy cô có trình độ chuyên môn, được đào tạo cơ bản, tâm huyết với nghề và luôn có ý thức cầu tiến

+ Nhà trường có bề dày về dạy tốt và học tốt, cơ sở vật chất tốt, mỗi phòng học đều có máy chiếu hoặc ti vi thông minh và máy tính hỗ trợ việc dạy và học của giáo viên và học sinh

+ Giáo viên thường xuyên được tham gia các buổi tập huấn chuyên môn nghiệp vụ do Sở giáo dục và Phòng giáo dục tổ chức, thường xuyên dự giờ đồng nghiệp để nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ

* Khó khăn:

Qua trao đổi với các đồng nghiệp tôi thấy thời lượng dành cho nội dung này có hạn, một số giáo viên chưa hiểu hết năng lực học sinh của mình, đôi lúc phương pháp chưa phù hợp với đối tượng khiến các em chán nản, không hứng thú, tiết toán trở thành một áp lực đối với các em, và cũng do trình độ của học sinh ở các lớp không đều nhau nên khó đi sâu vào các dạng bài tập nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh

Trong quá trình giảng dạy tôi thấy đa phần học sinh chưa có kĩ năng giải toán về phương trình vô tỷ là do:

- Không nắm được phần lí thuyết cơ bản của bài học hoặc nắm nội dung bài học một cách thụ động, nên trong quá trình làm bài tập còn gặp nhiều khó khăn, lúng túng

- Không chịu đề cập bài toán theo nhiều hướng khác nhau, không sử dụng hết các dữ kiện đã cho của bài toán

- Học sinh không biết khai thác từ đâu và trên cơ sở nào để trình bày bài toán Không biết vận dụng hoặc vận dụng chưa thành thạo các phương pháp suy luận trong giải toán, không biết sử dụng các bài toán giải mẫu hoặc áp dụng phương pháp giải một cách thụ động

- Không chịu suy nghĩ tìm các cách giải khác nhau cho một bài toán hay mở rộng lời giải tìm được cho các bài toán khác, các em chưa tìm thấy được sau mỗi bài toán không chỉ là lời giải mà còn ẩn chứa nhiều điều bất ngờ thú vị

- Đặc biệt phương trình vô tỷ thường gặp ở những câu vận dụng cao trong các đề kiểm tra và đề thi tuyển sinh, đề thi chọn học sinh giỏi các cấp nên đối với học sinh đại trà thường hay bỏ qua hoặc chưa đầu tư thời gian thích đáng cho các phần bài tập này

- Trong quá trình giảng dạy một số giáo viên không hay để ý tới dạng toán phương trình vô tỷ này vì dạng toán này đòi hỏi học sinh nắm kiến thức cơ bản

một cách sâu sắc, biết tổng hợp kiến thức nhất là đòi hỏi phải có sự tư duy biến đổi linh hoạt

- Khi tôi chưa áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy, thực tế điều tra kết quả về vấn đề giải phương trình vô tỷ đối với các em học sinh ở các năm học trước tôi nhận thấy tỉ lệ học sinh giải đúng còn hạn chế

Bảng số liệu trước khi thực hiện đề tài:

Bảng: Kết quả điều tra đối với học sinh lớp 9A, 9B trường THCS Hải Long

Bảng: Kết quả điều tra đối với học sinh lớp 9A, 9B trường THCS Hải Long học kì 2 từ tháng 5 năm học 2020-2021 đến tháng 5 năm học 2021-2022 về thái độ đối với nội dung giải phương trình vô tỷ

2 Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến: 2.1 Vấn đề cần giải quyết

+ Khơi gợi trong các em tình yêu với bộ môn Toán, sự cần thiết phải học môn Toán thông qua nhiều con đường

+ Học sinh cần phải nắm vững kiến thức cơ bản về dạng toán phương trình vô tỷ, đặc biệt là phương pháp và kỹ năng giải dạng toán này

+ Giáo viên phải nghiên cứu tài liệu, các chuyên đề để cung cấp cho các em những kiến thức, phương pháp và kĩ năng cần thiết

+ Trong quá trình dạy và học giáo viên thường xuyên yêu cầu học sinh tự đặt câu hỏi và tự trả lời các câu hỏi vì sao, tại sao…thông qua các câu hỏi gợi ý yêu cầu học sinh trình bày, tận dụng các phương tiện dạy học như tivi, điện thoại, máy chiếu để trình chiếu các định hướng của giáo viên hay bài làm của học sinh để rút kinh nghiệm bài làm cho học sinh… Đặc biệt sự hỗ trợ từ máy tính cầm tay Casio FX 570ES, FX 580VN, FX 880VN,

+ Giao bài tập về nhà cho học sinh tự làm và có gợi ý cách làm với từng đối tượng học sinh thông qua phần mền SHub Classroom, Microsoft Teams, OLM,…(Phụ lục có ảnh chụp minh chứng)

2.2 Tính mới, sự khác biệt giữa giải pháp cũ và giải pháp mới

Đáp ứng nhu cầu đổi mới trong dạy và học nhằm phát triển năng lực, phẩm chất học sinh Đặc biệt phát triển các năng lực tư duy và lập luận, năng lực tính toán, tự học, giải quyết vấn đề,

Không chỉ phân dạng mà còn hướng dẫn học sinh để các em tự tìm ra định hướng làm cơ sở để lựa chọn lời giải hay và sáng tạo

Các bài tập trong mỗi dạng được sắp xếp các bài tập từ dễ đến khó nhằm dẫn dắt học sinh tư duy logic tự tìm hướng giải toán

Phân dạng bài tập riêng cho các đối tượng học sinh và chỉ ra các sai lầm học sinh hay mắc phải

Trước đây việc dạy học toán thường sa vào phương pháp đọc chép áp đặt kiến thức, học sinh lĩnh hội kiến thức một cách thụ động, người giáo viên thường chú trọng đến số lượng bài tập Nhiều học sinh chỉ hiểu bài thầy dạy mà không tự giải được các bài tập khác Việc phát triển bài toán ít được học sinh quan tâm đúng mức Thực tế dạy học cho thấy chỉ một số học sinh có lực học giỏi thường tự đúc kết những kiến thức, phương pháp cần thiết cho mình bằng con đường kinh nghiệm, còn học sinh có lực học khá trở xuống, gặp nhiều khó khăn, không tự trình bày được bài

Để có kĩ năng giải bài toán phương trình vô tỷ cần phải qua quá trình luyện

tập Tuy rằng, không phải cứ giải bài tập nhiều là có kĩ năng, việc luyện tập sẽ có hiệu quả nếu như học sinh nắm chắc được lí thuyết và biết khéo léo khai thác từ một bài tập này sang một loại bài tập tương tự, nhằm vận dụng một tính chất nào đó, rèn luyện một phương pháp học tập cho mình

Luôn diễn ra sự tương tác giữa giáo viên với học sinh hoặc giữa học sinh với học sinh qua các câu hỏi; ''Vì sao, Tại sao?'' để học sinh trả lời cho đến khi câu trả lời là "theo đề bài, theo tính chất" thì mới kết thúc vấn đề Sử dụng công nghệ thông tin trong giảng dạy, chiếu bài tập, các gợi ý, tổng hợp các cách trình bày khác nhau, sử dụng máy tính cầm tay Casio FX570, FX580, FX880 để hỗ trợ trong quá trình giải bài toán

Nếu người thầy biết hướng cho học sinh cách học chủ động thì học sinh không những không ái ngại mà sẽ hứng thú với việc học Khi đó việc học toán sẽ thoải mái hơn, có như thế mới đem lại thành công trong việc dạy học môn toán

* Cơ sở lý luận

Năng lực tư duy và lập luận Toán học

• Tư duy và năng lực tư duy

- Tư duy là sản phẩm của bộ não con người và là quá trình phản ánh tích

cực thế giới khách quan Tư duy là một quá trình sáng tạo giúp con người hình thành nên tri thức nhận biết vấn đề và cách giải quyết những vấn đề đó

- Tư duy do con người tiến hành với tư cách là chủ thể có những đặc điểm cơ bản sau:

+ Tính có vấn đề của tư duy + Tính gián tiếp của tư duy

+ Tính trừu tượng và khái quát của tư duy

+ Tư duy có mối quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ

+ Tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính

- Quá trình tư duy và các thao tác cơ bản của tư duy: Tư duy là hoạt động trí tuệ, với quá trình bao gồm bốn bước cơ bản sau:

+ Xác định được vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ tư duy

+ Huy động tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tưởng, hình thành giả thuyết về cách giải quyết vấn đề, cách trả lời câu hỏi

+ Xác minh giả thuyết trong thực tiễn

+ Quyết định đánh giá kết quả và đưa ra sử dụng:

Quá trình tư duy được diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành các thao tác: Phân tích - Tổng hợp; So sánh - Tương tự, Khái quát hóa - Đặc biệt hóa; Trừu tượng hóa - Cụ thể hóa

- Những loại hình tư duy thường gặp trong dạy học Toán: Trong quá trình học, học sinh có thể được trang bị, rèn luyện và phát triển các loại tư duy:

+ Tư duy logic + Tư duy thuật toán + Tư duy trừu tượng + Tư duy biện chứng + Tư duy phê phán + Tư duy sáng tạo

- Năng lực tư duy: Năng lực tư duy là tổng hợp những khả năng ghi nhớ, tái hiện, trừu tượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận - giải quyết vấn đề, xử lý và linh cảm trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng chúng vào thực tiễn Năng lực tư duy của con người vừa như là yếu tố bẩm sinh, sẵn có, vừa như là sản phẩm của lịch sử phát triển xã hội Cái vốn có ấy, thông qua rèn luyện trong thực tiễn mới trở nên sức mạnh thật sự có hiệu quả của con người và xã hội

• Khái niệm năng lực tư duy và lập luận Toán học

- Tư duy Toán học: Môn Toán vừa có tính trừu tượng cao độ và tính thực tiễn phổ dụng, vừa có tính logic và tính thực nghiệm; môn Toán có vai trò quan trọng trong phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh:

+ Thứ nhất là rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác Do đặc điểm của khoa học Toán học, môn Toán có tiềm năng quan trọng có thể khai thác để rèn luyện cho học sinh tư duy logic Nhưng tư duy không thể tách rời ngôn ngữ, nó phải diễn ra với hình thức ngôn ngữ, được hoàn thiện trong sự trao đổi bằng ngôn ngữ của con người và ngược lại, ngôn ngữ được hình thành nhờ có tư duy Vì vậy, việc phát triển tư duy logic gắn liền với việc rèn luyện ngôn ngữ chính xác Có thể thực hiện việc rèn luyện này theo ba hướng có liên hệ chặt chẽ với nhau là làm cho học sinh hiểu đúng và sử dụng đúng những liên kết logic; phát triển khả năng định nghĩa và làm việc với những định nghĩa; phát triển khả năng chứng minh, trình bày lại chứng minh và độc lập tiến hành chứng minh

+ Thứ hai là phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng thông qua việc làm cho học sinh quen và có ý thức sử dụng những quy tắc suy đoán như xét tương tự, khái quát hóa, quy lạ về quen…, tập cho học sinh khả năng hình dung

được những đối tượng, quan hệ không gian và làm việc với chúng dựa trên những dữ liệu bằng lời hay những hình phẳng, từ những biểu tượng của những đối tượng đã biết có thể hình thành, sáng tạo ra hình ảnh của những đối tượng chưa biết hoặc không có trong đời sống

+ Thứ ba là rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản Môn Toán đòi hỏi học sinh phải thường xuyên thực hiện những hoạt động trí tuệ cơ bản như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa,… do đó có tác dụng rèn luyện cho học sinh những hoạt động này

+ Thứ tư là hình thành những phẩm chất trí tuệ Qua dạy học môn Toán, có thể rèn luyện cho học sinh các phẩm chất trí tuệ là: Tính linh hoạt; tính độc lập; tính sáng tạo

Từ những đặc điểm trên, có thể thấy, trong dạy học môn Toán, việc phát triển “Năng lực tư duy và lập luận toán học” cho học sinh là một việc rất quan trọng Trong đó, “Năng lực tư duy” toán học là tổ hợp các thuộc tính độc đáo của phẩm chất riêng biệt của khả năng con người để tìm ra lời giải của bài toán, khái quát, mở rộng, phát triển bài toán, còn lập luận được xem là một thành phần, một phương thức đặc thù của tư duy và là một thành phần của năng lực tổng hợp Khi dạy học giải phương trình vô tỷ, việc rèn luyện và phát triển “Năng lực tư duy và lập luận toán học” cho học sinh để giải bài toán càng rất cần thiết Bởi vì một bài toán, một bài tập cụ thể chỉ có thể giải được khi học sinh có hướng tư duy đúng và lập luận logic

- Các dạng lập luận thường dùng trong quá trình tư duy Toán học: Suy luận là một hình thức cơ bản của tư duy đang nhận thức, nó xuất phát từ những phán đoán đã biết để rút ra phán đoán mới Phán đoán đã biết gọi là tiền đề, phán đoán mới rút ra gọi là kết luận của suy luận, cách thức rút ra kết luận từ tiền đề gọi là lập luận

+ Suy diễn + Quy nạp + Ngoại suy + Chứng minh

- Năng lực phát hiện vấn đề: Năng lực phát hiện vấn đề trong môn toán là

năng lực hoạt động trí tuệ của học sinh khi đứng trước những vấn đề, những bài toán cụ thể, có mục tiêu và tính hướng đích cao đòi hỏi phải huy động khả năng tư duy tích cực và sáng tạo nhằm tìm ra lời giải cho vấn đề

Một số biện pháp tăng khả năng phát hiện vấn đề cho học sinh: + Sử dụng đặc biệt hóa, khái quát hóa và tương tự hóa

+ Tạo ra bài toán mới + Chuyển đổi bài toán

Có hai loại năng lực cơ bản là năng lực chung và năng lực riêng biệt

+ Năng lực chung: là những năng lực cần cho nhiều hoạt động khác nhau Là điều kiện cần thiết để giúp cho nhiều lĩnh vực hoạt động có kết quả

+ Năng lực riêng biệt: là những năng lực thể hiện độc đáo các sản phẩm riêng biệt có tính chuyên môn nhằm đáp ứng yêu cầu của một lĩnh vực, hoạt động chuyên biệt với kết quả cao Hai loại năng lực chung và năng lực riêng biệt luôn bổ sung, hỗ trợ cho nhau

- Năng lực tư duy sáng tạo: Năng lực tư duy sáng tạo trong Toán học là khả năng tư duy và sáng tạo trong hoạt động nghiên cứu Toán học, tạo ra những kết quả tốt, mới, khách quan, những lời giải hay, những công trình toán học có giá trị đối với việc dạy học, giáo dục và sự phát triển của khoa học nói riêng cũng như đối với hoạt động thực tiễn của xã hội nói chung

Do đó, ngay từ khi còn ngồi trên ghế nhà trường trung học cơ sở, học sinh phải được phát triển năng lực tư duy sáng tạo, coi nó như là hành trang để bước vào tương lai

* Cơ sở thực tiễn: Với mỗi bài toán đưa ra nhằm mục đích

- Củng cố cho học sinh những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học

- Hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất

- Phát triển năng lực tư duy và lập luận, sáng tạo cho học sinh, đặc biệt phát triển các thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học

- Đánh giá mức độ, kết quả dạy học, đánh giá khả năng độc lập học toán của học sinh

Thông qua việc nghiên cứu cơ sở lí luận và thực tiễn đặc biệt qua nhiều

năm giảng dạy Toán 9 Sau đây tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến “Phát triển năng lực tư duy, khả năng sáng tạo việc vận dụng các phương pháp, kĩ thuật giải phương trình vô tỷ”

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

* Khái niệm về phương trình một ẩn:

- Khái niệm:A x( ), B x( ) là hai biểu thức chứa biến x, khi đó A x( )=B x( ) gọi là

phương trình một ẩn Trong đó:

+ x được gọi là ẩn

+ A x( ), B x( ) là biểu thức hai vế của phương trình

+ Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình: Là tập những giá trị của biến làm cho mọi biểu thức trong phương trình có nghĩa

+ Quá trình tìm giá trị của ẩn x gọi là giải phương trình

+ Giá trị tìm được của biến x thỏa mãn điều kiện gọi là nghiệm của phương trình

+ S: Tập hợp nghiệm của phương trình

- Khái niệm về hai phương trình tương đương:

+ Là hai phương trình có cùng một tập hợp nghiệm hoặc tập nghiệm của phương trình này là nghiệm của phương trình kia và ngược lại

* Phương trình vô tỉ:

- Định nghĩa: Phương trình vô tỉ là phương trình chứa biểu thức chứa

ẩn ở dưới dấu căn

Ví dụ: x+ −13x+ =24; (x 2)(x 3)−+ =5, x 1 62x 3− =

+ ,

- Các bước giải phương trình vô tỉ (dạng chung):

+ Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình

+ Bước 2: Biến đổi làm mất dấu căn; biến đổi đưa phương trình về dạng phương trình đơn giản hơn phương trình ban đầu

+ Bước 3: Giải phương trình vừa tìm được sau khi biến đổi

+ Bước 4: Đối chiếu giá trị tìm được của ẩn với ĐKXĐ; thay giá trị của ẩn đã tìm được vào phương trình đã cho rồi so sánh giá trị hai vế của phương trình rồi kết luận

* Một số phương pháp và kỹ thuật giải phương trình vô tỷ bậc THCS 1 Phương pháp nâng lên lũy thừa

1.1 Cơ sở phương pháp

Trong bài toán phương trình vô tỷ thì phép nâng lên lũy thừa (bình phương hoặc lập phương hai vế) là một biến đổi tự nhiên và tương đối dễ thực hiện Có lúc phương pháp này được sử dụng trực tiếp hoặc gián tiếp nhưng mục đích chính vẫn là đi tìm nghiệm của phương trình vô tỷ Những bài toán sử dụng phương pháp nâng lên lũy thừa là những phương trình thuộc dạng cơ bản hoặc phương trình chứa các hằng đẳng thức Điều quan trọng của phép nâng lên lũy thừa đó là ta thu được phương trình tương đương hay phương trình hệ quả Để

có thể biến đổi các phương trình ta cần kiểm tra dấu của hai vế phương trình xem có cùng dấu hay không, khi đó ta sẽ quyết định được phương trình thu được là phương trình tương đương hay phương trình hệ quả

1.2 Các bước giải

Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ)

Bước 2: Biến đổi làm mất dấu căn: Bình phương (hoặc lập phương) hai vế để mất dấu căn

Bước 3: Giải phương trình vừa tìm được

Bước 4: Đối chiếu giá trị tìm được của ẩn với ĐKXĐ sau đó kết luận

- Phân tích: Ta thấy f x( )=2x−1; g x( )= −x 1 là các đa thức bậc nhất một ẩn dạng ax b a+ ( 0)nên ta tìm ĐKXĐ của phương trình:

+) Bước 2: Bình phương hai vế nắm chắc các bước giải và kỹ năng biến đổi, dễ dàng tìm được giá trị của x, tuy nhiên ta chú ý đến ĐKXĐ: ta thấy biểu f x g x( ) ( ), có dạng ax b a+ ( 0) nên

g x = +xx−  đơn giản ta có thể sử dụng đến sự hỗ trợ của máy tính Casio FX570VNX, Casio FX580VN, Casio FX880VN

+) Hướng dẫn giải bất phương trình ( ) 2

25 0

g x = +xx−  bằng máy tính cầm tay FX 580VNX

Bước 1: Nhấn phím MENU nhấn phím A để chọn Inequality

Bước 2: Nhấn phím 2 để khai báo bậc của bất phương trình

Bước 3: Nhấn phím 3 để chọn dấu lớn hơn hoặc bằng

+) Bước 4: Ta thấy x =2( Thỏa mãn ĐK), x = −2 (Không thỏa mãn ĐK) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x =2

+ Đối với đa thức f x( ) và g x( ) nếu đa thức nào có dạng ax2+ +bx c a( 0) để đơn giản khi thực hiện ta cần sự hỗ trợ của máy tính cầm tay Casio FX570ES, Casio FX580VN, Casio FX880VN

ax + +bx c a nên việc tìm ĐKXĐ khó khăn hơn rất nhiều so với ví dụ 1) a) và ví dụ 1) b) Với sự hỗ trợ của máy tính cầm tay tìm ĐKXĐ của phương trình thuận lợi hơn rất nhiều, tuy nhiên khi kết hợp điều kiện người giải hay lúng

túng, mất thời gian nên giáo viên phải hướng dẫn, phân tích cụ thể để HS có kỹ

- Nhận xét: Thực tế khi gặp phương trình vô tỷ có ĐKXĐ phức tạp như

phương trình (1.3) ta không cần phải giải hai điều kiện 2

Việc chọn điều kiện nào trong phép biến đổi phụ thuộc vào sự thuận tiện cho quá trình kiểm tra lại và lời giải cho bài toán ngắn gọn hơn

Chú ý:

+ Trong việc giải phương trình vô tỷ nếu việc tìm những giá trị của xđể ( ) 0

f x  hoặc g x ( ) 0 là phức tạp, chúng ta nên triển khai việc tìm nghiệm của phương trình sau đó thử vào điều kiện để xét xem nghiệm vừa tìm được có thỏa mãn điều kiện bài toán hay không

+ Chẳng hạn bài toán trên ta cần thử xem x =1 có thỏa mãn điều kiện

( ) 2

3x 69x 27 0

f x = ++ không bằng cách thay trực tiếp giá trị cần tìm được vào

hàm f x( ), ta sẽ thấy f ( )1=99 0 nên giá trị x =1 là nghiệm của phương trình đã

+ Ta sử dụng phép biến đổi nâng lên lũy thừa Khi nâng lên lũy thừa ta được phương trình có bậc 3, tuy nhiên nhận thấy x =0 là nghiệm của phương trình nên ta dễ dàng phân tích được phương trình bậc 3 Ta trình bày lời giải như

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 0;3 33

 suy ra điều kiệnx 0, học sinh gặp

nhiều khó khăn, mất thời gian, đối với ĐKXĐ của phương trình (1.4) ta có thể suy luận theo một cách ngắn gọn, đơn giản hơn như sau: để ()2

+ Một số sai lầm thường gặp khi biến đổi phương trình của ví dụ trên • Vội vàng phát hiện nhân tử và biến đổi phương trình mà chưa đặt điều

Ta biết rằng với biểu thức dạng A B.2 thì khi khai căn phải lấy dấu giá trị tuyệt đối cho biểu thức đưa ra ngoài dấu căn 2

A B = BA Với điều kiện x 0 ta chưa xác định được (x −1) mang dấu gì nên khi khai căn ta cần lấy dấu giá trị

- Phân tích: Phương trình (1.5) ta tìm được ĐKXĐ: x 3 hoặc x  −3 + Giải hương trình (1.5) học sinh dễ mắc sai lầm sau:

Học sinh mắc sai lầm vì: Nếu biểu thức x + 5 0 khi đó giá trị vế trái không âm, còn giá trị vế phải không dương do đó phương trình (*) chưa chắc tương đương với phương trình đã cho

+ Tránh gặp sai lầm khi giải phương trình (1.5) ta cần chú ý điều kiện của

biểu thức x+    −5 0 x 5 khi đó bình phương hai vế ta được phương trình tương đương với phương trình đã cho Ta có lời giải đúng như sau:

+) Bước 4: Kết hợp điều kiện đối chiếu với giá trị tìm được của biến x Vậy phương trình có tập nghiệm là T = − 3;11

Phương trình (2.1) có dạng f x( )=g x( ) nên ta sử dụng phương pháp nâng lên lũy thừa để giải Trước khi bình phương hai vế ta nhận xét giá trị của các biểu thức có ở hai vế để tìm ĐKXĐ: ta thấy vế trái của phương trình luôn không âm với ĐK 21 0 1

x+   x − , do đó nếu vế phải của phương trình âm thì

phương trình vô nghiệm Do đó ta chỉ có thể biến đổi nâng lên lũy thừa phương trình khi có điều kiện 3x + 1 0 Khi đó hai vế đều không âm và bình phương ta thu được phương trình tương đương

(Không thỏa mãn điều kiện);

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x =0

- Nhận xét: Học sinh thường mắc sai lầm khi tìm ĐKXĐ:

2x+ =1 3x+1

dàng lựa chọn phương pháp bình phương hai vế để giải Tuy nhiên có vấn đề ta cần chú ý đó chính là biểu thức trong căn bậc hai có chứa ẩn ở mẫu nên khi tìm ĐKXĐ cần nhớ thêm điều kiện x − 2 0

x − + =x có  = −'4 1.1 2 0=  do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt: x = −1 23(Không thỏa mãn điều kiện); x = +2 23(Thỏa mãn điều

* Các bước trình bày và phương pháp giải phương trình

+ Bước 1: Tìm ĐKXĐ của phương trình:

• Nếu F x( ) và G x( ) là các biểu thức không chứa ẩn ở mẫu, khi đó ĐKXĐ

Do đó phương trình vô nghiệm

- Nguyên nhân sai lầm: Học sinh không nắm chắc kiến thức cơ bản giữa căn bậc hai và căn bậc ba

Biểu thức A x( ) xác định khi và chỉ khi A x ( ) 0 Đối với biểu thức 3 A x( )

+ Nếu A x( )là biểu thức không chứa ẩn ở mẫu, ta có 3 A x( ) đã cho luôn

xác định với mọi x

+ NếuA x( )là biểu thức chứa ẩn ở mẫu, ta có 3 A x( ) đã cho luôn xác định

với biểu thức ở mẫu khác không

+) Bước 4: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = −11

Nhận xét: Phương trình cho trong ví dụ có dạng tổng quát

phương hai vế và đưa phương trình về dạng phương trình đa thức f x( )=g x( ) biểu thức dưới dấu căn không có dạng chứa ẩn ở mẫu nên phương trình luôn xác định với mọi xR, do đó sử dụng phương pháp lập phương hai vế của phương

Phân tích: Ta thấy biểu thức −3 x2+2x+1 có dạng 3 f x( )=3 g x( ) giải phương trình tương tự ví dụ 3) câu a, b) Tuy nhiên ta cần lưu ý biểu thức

này có dấu âm (-) trước căn bậc ba

* Tổng quát: Một trong những đặc điểm để phân loại, nhận dạng được các

dạng bài tập sử dụng phương pháp lập phương hai vế là phương trình thường có 32

một trong các dạng tổng quát như sau: 2n+1 f x( )=2n+1g x( ) vớinN; n 1, ta có

+= trước khi lập phương hai vế ta cần tìm ĐKXĐ: B x ( ) 0, sau đó thực hiện lời giải tương tự như phương trình (3.1),

* Các bước trình bày và phương pháp giải phương trình:

+ Bước 1: Tìm ĐKXĐ của phương trình

• Nếu F x( ) là các biểu thức không chứa ẩn ở mẫu, khi đó ĐKXĐ là: xR

Đối chiếu ĐKXĐ Vậy tập nghiệm của phương trình là S =  0;1

- Nguyên nhân sai lầm: Học sinh không nắm chắc kiến thức cơ bản giữa căn bậc hai và căn bậc ba

Biểu thức A x( ) xác định khi và chỉ khi A x ( ) 0 Đối với biểu thức 3 A x( )

+ Nếu A x( ) là biểu thức không chứa ẩn ở mẫu, ta có 3 A x( ) đã cho luôn xác

định với mọi x

+ Nếu A x( ) là biểu thức chứa ẩn ở mẫu, ta có 3 A x( ) đã cho luôn xác định với biểu thức ở mẫu khác không

+) Bước 4: Vậy tập nghiệm của phương trình là S = −4;0;1

Nhận xét: Phương trình cho trong ví dụ có dạng tổng quát n+1 f x( )=g x( ) với n N n,2 Để giải phương trình dạng này ta lập phương hai vế và đưa phương trình về dạng phương trình đa thức

Ta thấy các biểu thức dưới căn bậc ba: x +1 và 7 x− không chứa ẩn ở mẫu nên phương trình (4.1) luôn xác định với mọi , ta sử dụng phương pháp lập phương hai vế để giải phương trình :

Đến đây có thể học sinh rất lúng túng vì sau khi lập phương hai vế, vế trái nhìn rất phức tạp, giáo viên hướng dẫn học sinh nghĩ đến hằng đẳng thức:

()3 3 3 2 2 3 3 ()

a b+= + +aba b+ ab = + +abab a b+

Vậy (**) có thể viết: x+1+7−x+33 (x+1)(7−x).(3 x+1+37−x)=8 (I) (đến đây thay 3 x+1+37−x =2 vào phương trình (I)) ta được:

Giải ra: x1 = −1; x2 =7; thay lại vào PT đã cho ta thấy nghiệm đúng, nên đó là 2 nghiệm của PT ban đầu

Chú ý:

+ Ở phương trình (4.3) ngoài việc lập phương hai vế cần sử dụng hằng đẳng thức một cách linh hoạt để đưa phương trình về dạng đơn giản a.b = 0 rồi giải

+ Do từ phương trình (I) và phương trình (4.3) suy ra phương trình (II), ta thực hiện phép biến đổi không tương đương, vì nó chỉ tương đương khi x thoả mãn: 3 x+1+37−x =2 nên việc thay lại nghiệm của (II) vào phương trình (4.3) đã cho là cần thiết Nếu không thử lại có thể sẽ có nghiệm ngoại lai

Bài tập tự luyện: Giải phương trình

* Tổng quát: Một trong những đặc điểm để phân loại, nhận dạng được các

dạng bài tập dử dụng phương pháp nâng lên lũy thừa là phuương trình thường có

một trong các dạng tổng quát như sau: n+1 f x( )=g x( )với n N n,2, ta có

• Tìm điều kiện của biểu thức h x ( ) 0 (nếu cần)

• Bình phương hai vế đưa phương trình đã cho về dạng F x( )=G x( ) +) Bước 3: Giải phương trình F x( )=G x( )

+) Bước 4: Đối chiếu về sự thỏa mãn giá trị tìm được của ẩn với các điều kiện rồi kết luận

* Ví dụ 5.1: Giải phương trình

a) x+ +1 x+ =4 3 (5.1)

Phân tích:

Đây là phương trình vô tỷ có căn bậc hai, do đó ĐKXĐ của phương trình được giải như sau: 1 0 1 1 phương hai vế để giải phương trình, vấn đề cần giải quyết đối với phương trình (5.1) này là ở vế trái có hai biểu thức chứa căn bậc hai do đó để triệt tiêu được căn bậc hai ta cần bình phương hai lần sau đó giải phương trình thu được

=  = (Thỏa mãn điều kiện)

+) Bước 4: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất làx =0

Nhận xét:

• Phương trình đã cho có dạng f x( )+ g x( )=h x( ) để tránh sai lầm trong quá trình giải ta cần một số lưu ý:

- Chú ý điều kiện của biểu thức h x( ) nếu cần, khi đó bình phương hai vế của phương trình ta thu được phương trình mới tương đương với phương trình đã cho

- Sau khi bình phương hai vế lần thứ nhất, thu gọn ta được phương trình có dạng F x( ) =G x( ) trước khi bình phương hai vế lần thứ hai để triệt tiêu căn bậc hai ta cần đặt điều G x ( ) 0

• Đối với phương trình (5.1) ta có thể giải bằng cách biến đổi sau

Phương trình (5.2) có chứa hai biểu thức căn bậc hai, ta tìm ĐKXĐ tương tự như phương trình (5.1) sau đó bình phương hai vế để giải, khi giải ta thấy quá trình biến đổi sẽ phức tạp hơn so với chuyển biểu thức 2 3x −2 sang vế trái, phương trình đã cho trở thành x− +1 2 3x− =25 đến đây ta có thể bình phương hai vế như phương trình (5.1) Từ đó ta có lời giải như sau:

Nhận xét:

Ngoài biến đổi nâng lên lũy thừa như trên ta có thể giải phương trình trên theo phương pháp đánh giá như sau:

Điều kiện xác định của phương trình là 1 0 1

Đối chiếu với ĐKXĐ ta có x =2 (Thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 2

c) 2x− +1 x+ =3 3 (5.3)

Phân tích

Phương trình đã cho có dạng cơ bản và biểu thức trong căn là các đa thức bậc nhất Do đó giáo viên lưu ý cho học sinh: ta bình phương hai vế để giải phương trình Sau hai lần bình phương hai vế ta thu được một phương trình bậc

+) Ta thấy x =1(Thỏa mãn điều kiện); x =61(Không thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x =1 (Bước 4)

Bài tập tự luyện: Giải phương trình

+) Bước 3: Tìm điều kiện G x ( ) 0 và giải phương trình F x( )=G x( )

+) Bước 4: Đối chiếu về sự thỏa mãn giá trị tìm được của ẩn với ĐKXĐ rồi kết luận

* Ví dụ 5.2: Giải phương trình

d) x−1−5x−1=3x−2 (5.3)

Phân tích

- Ở phương trình (5.3) hai vế đều có căn bậc hai, học sinh có thể mắc sai lầm: để nguyên hai vế như vậy và bình phương hai vế để làm mất căn Vì vậy giáo viên cần phân tích kỹ sai lầm mà học sinh có thể mắc phải tức cần khắc sâu cho học sinh tính chất của luỹ thừa bậc hai: a b=  =a2 b2 (khi a b, cùng dấu) khi bình phương hai vế được phương trình mới tương đương với phương trình ban đầu khi hai vế cùng dấu

Ở phương trình (5.3), VP0 , nhưng vế trái chưa chắc đã có giá trị không âm vì vậy ta nên chuyển vế đưa về phương trình có hai vế cùng có giá trị không âm

(5.3) x−1=5x−1+3x−2

Đến đây học sinh có thể bình phương hai vế:

Ta lại gặp phương trình có một vế chứa căn, học sinh có thể mắc sai lầm là bình phương tiếp hai vế để vế phải mất căn mà không để ý hai vế đã cùng dấu

Một số sai lầm mà học sinh có thể mắc phải

+ Khi giải chưa chú ý đến điều kiện để các căn thức có nghĩa nên sau khi giải không đó chiếu với điều kiện ở phương trình (5.3): ĐK: x1 vì vậy

112

không phải là nghiệm của phương trình (5.3)

+ Khi bình phương hai vế của phương trình (*) cần có điều kiện

720

2− xx , vậy x2 =2 không là nghiệm của phương trình (5.3)

- Sau khi phân tích sai lầm mà học sinh thường gặp, từ đó tôi cho học sinh tìm ra cách giải đúng không phạm sai lầm đã phân tích

Cách 1: Sau khi tìm được

112=

x ;x=2 thử lại phương trình (5.3) không nghiệm đúng Vậy phương trình (5.3) vô nghiệm

(cách thử lại này làm khi việc tìm ĐKXĐ của phương trình đã cho tương đối phức tạp)

Cách 2: Đặt điều kiện tồn tại của các căn thức của phương trình (5.3) Sau khi giải đến (*) chú ý điều kiện

nên phương trình (5.3) vô nghiệm

Cách 3: Có thể dựa vào điều kiện của ẩn để xét nghiệm của phương trình Điều kiện của phương trình (5.3): x1, do đó

Vế trái (VT) < 0 Vế phải (VP) 0 nên phương trình (5.3) vô nghiệm

Nhận xét: Đối với phương trình (5.3) học sinh có thể trình bày theo một

trong ba cách nêu trên

Biến đổi trên không phải là phép biến đổi tương đương vì biểu thức chứa căn bậc hai chưa có nghĩa vì chưa có ĐKXĐ, để khắc phục vấn đề này giáo viên cần lưu ý cho học sinh phải thử lại các giá trị tìm được của x vào phương trình ban đầu để kiểm tra nó là nghiệm hay không

- Vì vậy giáo viên cần phân tích kỹ, chỉ ra những sai lầm mà học sinh có thể mắc phải để các em tránh sai lầm trong quá trình giải Ở phương trình (5.4) để sử dụng phép biến đổi tương đương thì việc đưa phương trình đã cho về dạng

3− =x 3x+ +7 x+1 để đảm bảo cả hai vế không âm là cần thiết

x = (Không thỏa mãn điều kiện), x =1 (Thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x =1

Bài tập tự luyện tập: Giải phương trình

a) 4x+1−3x+4= x−2 b) x−2− x+1=2x−1− x+3

c) 4x+ +3 x =4x+1 d) x− −32x = x+1

* Lưu ý: Một trong những đặc điểm để phân loại, nhận dạng được các

dạng bài tập dử dụng phương pháp nâng lên lũy thừa là phuương trình thường có

một trong các dạng tổng quát như sau: f x( )+ g x( )= h x( ) * Các bước trình bày và phương pháp giải phương trình

(Trong đó a1+ =a2 a3 hoặc a1+ =a3 a2 hoặc a2+ =a3 a1)

trình

Trường hợp: a1+a2 =a3bình phương hai vế đưa phương trình đã cho về dạng F x( )=G x( ), sau giải phương trình tiếp theo

Trường hợp:a1+ =a3 a2 (hoặc a2+a2 =a1) bình phương hai vế đưa phương

+) Bước 3: Giải phương trình nhận được sau khi bình phương hai vế

+) Bước 4: Kiểm tra sự thỏa mãn giá trị của x vừa tìm được với ĐKXĐ rồi

- Trường hợp: a1+ =a3 a2 ở trong dạng toán này việc sử dụng hệ điều kiện để biến đổi giúp chúng ta vừa sử dụng được phép biến đổi tương đương cũng vừa sử dụng được phép biến đổi hệ quả

x − +  xxx + +  xx nên vấn đề tìm ĐKXĐ của phương trình (6.1) tương đối đơn giản, do đó giải phương trình bằng cách bình phương hai vế

- Nếu ta bình phương hai vế phương trình đã cho khi đó biểu thức trong căn bậc hai phương trình thu được có dạng bậc 4 nên khi bình phương hai vế lần hai sẽ gặp phương trình bậc 4 sẽ gặp khó khăn hơn khi giải Để gặp thuận lợi hơn trong quá trình giải ta chuyển vế một trong hai biểu thức vế trái sang vế phải rồi

+) Bước 2: Chuyển vế biểu thức 21

x + +x sang vế phải rồi bình phương hai vế và bình phương hai vế của phương trình

Nhận xét: Đối với dạng phương trình như phương trình (6.1) sau khi bình

phương hai vế lần hai thường gặp phương trình bậc ba hoặc bậc bốn nên giáo viên cần ôn tập cho học sinh nắm vững phương pháp giải phương trình bậc ba và

x + x+ x +xx + x+ ta thấy ĐKXĐ của phương trình (6.2) khá phức tạp, để thuận lợi trong quá trình giải ta đặt ĐK để các biểu thức chứa căn bậc hai có nghĩa sau đó giải phương trình tìm được giá trị của x

rồi thay vào biểu thức ở ĐKXĐ

- Ở phương trình (6.2) phương pháp giải tương tự phương trình (6.1) Tuy nhiên có thể vẫn có những học sinh gặp khó khăn nếu giải theo hướng xét tích

A B= A B, cụ thể như sau:

Khi đó học sinh gặp khó khăn phải giải các phương trình như phương trình (*), giải tương tự như trên rất dài mất nhiều thời gian

Để trách rắc rối như trên giáo viên hướng dẫn học sinh lựa chọn phương

thay vào (**) và (*) đều không thỏa mãn điều kiện

+) Bước 4: Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 1; 8 2 19

• Theo cách giải trên ta thấy khi đối chiếu giá trị của x với các ĐKXĐ của phương trình tương đối phức tạp, dài do đó khi giải phương trình (6.2) ta sử dụng phép biến đổi hệ quả để trình bày

+) Bước 1: Bình phương hai vế

+) Bước 3: Lần lượt thay giá trị x = −1; 8 2 19; 8 2 19

Ta thấy vế phải của phương trình không viết được dưới dạng bình phương một tổng hoặc bình phương một hiệu Do đó ta nghĩ đến biến đổi phương trình có

+) Bước 2, 3: Quy đồng khử mẫu, nhân cả hai vế của phương trình với 2, tách và thêm bớt hạng tử; viết phương trình xuất hiện dạng 22 trình có hai nghiệm phân biệt: x = − +1 331 (Thỏa mãn điều kiện);

x = − −2 331 (Không thỏa mãn điều kiện) trình có hai nghiệm phân biệt x = − +1 4 2 4(Thỏa mãn điều kiện); x = − −2 4 2 4 (Không thỏa mãn điều kiện)

+) Bước 4: Vậy tập nghiệm của phương trìn là − +331;− +4 2 4

Bài tập tự luyện tập: Giải phương trình

5x +14x+ −9 x − −x 20=5 x+1 b) 222

x + + x − = x +

- Mục đích của phép nâng lên lũy thừa chính là làm triệt tiêu các căn thức

và đưa phương trình vô tỷ về dạng phương trình hữu tỷ

- Do phép biến đổi nâng lên lũy thừa thường làm cho lũy thừa của ẩn tăng lên Vì thế để làm triệt tiêu các biểu thức chứa x mũ cao ta cần khéo léo lựa chọn sử dụng biến đổi tương đương hay biến đối hệ quả Trong một số ví dụ được nếu trên có nhiều bài toán được kết hợp giữa phép biến đổi tương đương

và phép biến đổi hệ quả một cách hoàn hảo

- Trong một số trường hợp ta cần kết hợp phép nâng lên lũy thừa với các phương pháp khác như đặt ấn phụ, phân tích thành tích, đánh giá,

- Một số sai lầm thường gặp khi sử dụng phép nâng lên lũy thừa + Sử dụng dấu "" và dấu " " một cách tùy tiện

+ Thực hiện phép khai phương một tích A B.= A B. , 2

A = A khi chưa xác định được dấu của các biêu thức A và B

+ Không phân biệt được biến đổi tương đương hay biến đổi hệ quả

* Lưu ý:

- Một trong những đặc điểm để phân loại, nhận dạng được các dạng bài tập dử dụng phương pháp nâng lên lũy thừa là phuương trình thường có một trong

các dạng tổng quát như sau:

- Phương pháp bình phương hai vế không phải lúc nào cũng là tối ưu và duy nhất, do đó người giải có thể áp dụng các phương pháp khác để giải sao cho