Cực trị số phức và hình học

Trong mặt phẳng phức, xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M, M0; số phức z4+3i và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là N, N0... Tập hợp các điể

CỰC TRỊ SỐ PHỨC VÀ HÌNH HỌCCâu 1. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z−1−i| + |z+1+3i| = 6√5 Giá trị lớn nhất của

|z−2−3i|là

Hướng dẫn giải

Ta có|z−1−i| + |z+1+3i| =6√5 ⇔ MA+MB =6√5 với M(x; y)

biểu diễn số phức z =x+yi, A(1; 1)biểu diễn số phức 1+i, B(−1;−3)

biểu diễn số phức−1−3i.

Khi đó điểm M nằm trên elip tâm I có độ dài trục lớn 6√5 và A, B là

hai tiêu điểm

0M

• |z−2−3i| = MCvới C(2; 3)biểu diễn số phức 2+3i

ACngược hướng và AB=2AC

Gọi M0 là điểm nằm trên elip sao cho A, B, M0thẳng hàng và M0khác phía A so với B

Với H(1; 2) Dễ thấy A, B, H thẳng hàng nên H thuộc đoạn AB.

Do đó Pmin ⇔ MHngắn nhất khi và chỉ khi M thuộc trục nhỏ của elip

Khi đó độ dài MH bằng một nửa trục nhỏ hay MH =b =√

3iz−15i−93i

=3 ⇔ |3iz−9−15i| = 9

|iw+4+2i| =2⇔

−i

2 (−2w−4+8i)

=2 và z1−z2 =1 Tìm giá trị nhỏnhất của biểu thức P = z1

2

− z2 2

MN

Xét hai đường tròn(I; 5)và(I0; 5)với I(1;−2), I0(2; 0)

Khi đó max|z−z0| = ABvới AB là các giao điểm của đường thẳng I I0

với (I; 5)và(I0; 5) (A không nằm trong(I0; 5)và B không nằm trong

Câu 29. Cho hai số phức z1 và z2 thỏa mãn|z1−1+2i| = 1, |z2−3−i| = 2 Tìm giá trị lớn nhấtcủa|z1−z2|.