Đang tải... (xem toàn văn)
Tuyển tập công thức và thủ thuật tính nhanh – môn Toán CÔNG THỨC VÀ THỦ THUẬT TÍNH NHANH BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC Bài toán cơ bản Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (*) cho trước Tìm giá trị nhỏ nhất, l[.]
Tuyển tập cơng thức thủ thuật tính nhanh – mơn Tốn CƠNG THỨC VÀ THỦ THUẬT TÍNH NHANH BÀI TỐN CỰC TRỊ SỐ PHỨC Bài tốn bản: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (*) cho trước Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn z Phương pháp chung + Bước 1: Tìm tập hợp H điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện (*) + Bước 2: Tìm số phức z tương ứng với điểm biểu diễn M H cho khoảng cách OM lớn nhất, nhỏ VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Biết số phức z có tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ hình vng tơ đậm hình vẽ bên Mơđun lớn số phức z A z max B z max C z max D z max 2 Lời giải zmax nửa độ dài đường chéo hình vng cạnh Chọn đáp án C Ví dụ 2: Biết số phức z có tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ hình vng tơ đậm hình vẽ bên Môđun nhỏ số phức z A z B z 1 C z D z 2 Lời giải zmin , điểm biểu diễn điểm O Chọn đáp án A Ví dụ : Biết số phức z có tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ hình vng tơ đậm hình vẽ bên Mơđun nhỏ số phức z A z max B z max C z max D z max Lời giải Tam giác OAB có góc OAB góc tù nên OZ OB z OB Vậy z max Chọn đáp án C Ví dụ : Biết số phức z có tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ hình vng tơ đậm hình vẽ bên Mơđun nhỏ số phức z A z C z B z D z Lời giải Tam giác OAB có góc OBA góc tù nên OA OB z OB Vậy z Chọn đáp án A Ví dụ : Biết số phức z có tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ đường elip hình vẽ bên Môđun nhỏ số phức z A z B z C z D z Lời giải Elip có độ dài trục nhỏ 2b z Chọn đáp án A Ví dụ : Biết số phức z có tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ hình elip tơ đậm hình vẽ bên Mơđun lớn số phức z A z max B z max C z max D z max Lời giải Elip có độ dài trục lớn 2a z max Chọn đáp án B Ví dụ : Tập hợp điểm biểu diễn hình học số phức z đường thẳng hình vẽ Khi đó, z có giá trị nhỏ A B 1 C D Lời giải Phường trình d : x y M d Gọi M điểm biểu diễn hình học số phức z z OM Vì M d : x y M t ;1 t Suy z t 1 t Vậy z 2 1 1 1 2t 2t t t t 4 2 2 2 Chọn đáp án D MỘT SỐ BÀI TỐN QUAN TRỌNG THƯỜNG GẶP Bài tốn 1: Cho số phức z thỏa mãn z a bi c , c , tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn z Lời giải z a bi c, c Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường trịn có tâm I a; b bán kính R c max z OM OI R a b c z OM Khi : min z OM OI R a b c Tìm tọa độ điểm M1 , M (tức là, tìm số phức z có mơđun nhỏ nhất, lớn nhất) + Phương trình đường trịn C quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z là: C : x a y b c2 + Phương trình đường thẳng d qua hai điểm O, I d : Ax By C Khi đó, M1 , M giao điểm C d x a 2 y b 2 c Giải hệ phương trình: hai nghiệm tọa độ hai điểm Ax By C So sánh khoảng cách từ hai điểm vừa tìm tới O , khoảng cách nhỏ điểm ứng với điểm M điểm lại điểm M Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z1.z z2 r , r Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn z max z Giải min z z2 r z1 z1 z2 r z1 z1 VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Nếu số phức z thỏa mãn z 4i z có giá trị lớn A B C Lời giải Tập hợp điểm M z đường trịn có tâm I 2; bán kính R Vậy max z OM OI R 22 42 Chọn đáp án A Câu hỏi bổ sung 1: z có giá trị nhỏ bao nhiêu? Trả lời: z ON OI R 22 42 Câu hỏi bổ sung 2: Tìm số phức z có mơđun nhỏ nhất, lớn D 13 Trả lời: Phương trình đường thẳng OI y x Tọa độ hai điểm M , N nghiệm hệ phương trình: y x y x 2 2 x y x x x N 1; y y 2x x x 4x M 3;6 y + Số phức z có mơđun lớn z 6i ứng với điểm M 3;6 + Số phức z có mơđun nhỏ z 2i ứng với điểm N 1; Ví dụ 2[Trích đề thi thử chuyên KHTN - Lần 1]: Nếu số phức z thỏa mãn 1 i z 7i z có giá trị lớn A B C D Lời giải 7i Ta có: 1 i z 7i 1 i z 1 i i z 4i z 4i z 4i Tập hợp điểm M z đường trịn có tâm I 3; bán kính R Vậy max z OI R 32 42 Chọn đáp án D Ví dụ 3: Nếu số phức z thỏa mãn A 2 3i z z có giá trị nhỏ 2i B C D Lời giải Ta có: 2 3i z iz i z z i z i 2i i Tập hợp điểm M z đường trịn có tâm I 0; 1 bán kính R Vậy max z OI R 02 1 Chọn đáp án B Bài toán 2: Trong số phức z thỏa mãn z z1 r1 , r1 Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn P z z2 Lời giải Gọi I z1 , A z2 , M z max P AM1 r1 r2 Khi đó: IA z1 z2 r2 min P AM r1 r2 Muốn tìm số phức cho Pmax , Pmin ta tìm hai giao điểm M1 , M đường tròn I , r1 với đường thẳng AI Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z1.z z2 r1 , r1 Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn P z z3 Giải: max P z2 r z r z3 P z3 z1 z1 z1 z1 VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z 2i Giá trị nhỏ z i A B C D Lời giải Ta có: z 2i z 2i r1 z i z 1 i 1 z2 z1 z1 z2 2i 1 i r2 z i Chọn đáp án B Ví dụ 2: Trong số phức z thỏa mãn z 5i , số phức có z nhỏ có phần ảo bao nhiêu? A B C D Lời giải Tập hợp điểm M z đường trịn có tâm I 0;5 bán kính R Vì z OM nên số phức z có mơđun nhỏ z 2i ứng với điểm M 0; Chọn đáp án C Ví dụ [ Trích đề thi HK – THPT Phan Đình Phùng – HN]: Trong tất số phức z thỏa mãn z 2i ,gọi z a bi, a, b ¡ số phức có z 4i đạt giá trị nhỏ Tính giá trị biểu thức P a b 2 A P 1 C P 2 Lời giải B P D P 2 Ta có: z 2i z 2i I 2; 2 z 4i z 4i A 0; 4 { 14 43 z2 z1 Tập hợp điểm M z đường trịn có tâm I 2; 2 bán kính r1 Phương trình đường thẳng IA là: x y Tọa độ hai điểm M , N nghiệm hệ phương trình: y x x y y x 2 2 x y x x x 1 x 2 x 2 y x 1 1 M1 ; 2 ;M2 ; 2 x 1 2 2 y 2 y 2 uuuur AM Khi uuuuur AM 1 ;2 2 AM AM M điểm biểu diễn số phức cần tìm 1 ;2 2 a 2 z a bi z 2 2 P a b Chọn đáp án A i 2 2 b 2 Bài toán 3: Trong số phức z thỏa mãn z z1 z z2 k , k Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn P z Lời giải Gọi M z , M z1 , M z2 Khi : z z1 z z2 k MM MM k M elip E nhận M1 , M làm tiêu điểm có độ dài trục lớn k 2a Vì chương trình Tốn lớp 10, học elip có hai tiêu điểm F1 c;0 , F1 c;0 nên thường đề cho dạng: z c z c k , c, k ¡ M elip E nhận F1 c;0 , F1 c;0 làm tiêu điểm có độ dài trục lớn k 2a k z max a 2 z b k 4c Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z1.z z2 z1.z z2 k , Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn P z k z2 k Giải: max z z z1 z1 VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ: Trong tất số phức z thỏa mãn z z 10 , gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z Khi đó, giá trị biểu thức P M m2 A P 6 B P 13 C P 5 D P 4 Lời giải 10 M z max Áp dụng cơng thức trên, ta có: P M m2 32 4 2 m z 10 4.4 Chọn đáp án D Bài toán 4: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 z2 m ni z1 z2 p Tìm giá trị lớn P z1 z2 Lời giải z1 a bi a c m z1 z2 a c b d i m ni Giả sử: c d n z2 c di Ta có: z1 z2 a c b d i z1 z2 a c b d p 2 Khi đó: P z1 z2 a b2 c d Mà a b c d 2 12 a b2 c d a b2 c d a c b d a c b d 2 1 2 2 m2 n2 p Suy ra: a b c d m2 n p P m2 n p max P m2 n p VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ [Trích đề thi thử chuyên KHTN - Lần 4]: Với hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 z2 6i z1 z2 Tìm giá trị lớn P z1 z2 B A C 26 D 34 Lời giải Áp dụng công thức ta : P z1 z2 82 62 22 26 Chọn đáp án C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN Câu Cho số phức z thỏa mãn z 2i Giá trị lớn giá trị nhỏ z A 2 1;2 1 B 1; 1 C 2;1 D 1; 1 Câu 2.Cho số phức z thỏa mãn z 2i Giá trị nhỏ z A B 5 C 5 D Câu Trong số phức z thỏa mãn z 4i z số phức z có mơđun nhỏ A z 11 i B z 2i C z 5 i D z 3 i Câu Trong số phức z thỏa mãn z 4i z 2i số phức z có mơđun nhỏ A z 2 2i B z 2 2i C z 2i D z 2i Câu Trong số phức z thỏa mãn z 4i z , biết số phức z a bi, a, b ¡ nhỏ Khi đó, giá trị P a b có mơđun A P B P C P D P Câu Trong số phức z thỏa mãn z 5i z i , biết số phức z a bi , a, b ¡ môđun nhỏ Khi đó, tỉ số A có a b B C D P Câu Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z i Giá trị lớn z A 1 B 1 C D Câu Cho số phức z thỏa mãn z 2i Tích giá trị lớn giá trị nhỏ z i A B C D Câu Cho số phức z thỏa mãn i z Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ z A B 2 C D Câu 10 Cho số phức z thỏa mãn z 2i 10 Giá trị lớn z 4i A> 10 B 10 C 10 D 10 Câu 11 Cho số phức z thỏa mãn z 2i Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ z i Giá trị T M m2 A T 50 B T 64 C T 68 D T 16 ... a 2 y b 2 c Giải hệ phương trình: hai nghiệm tọa độ hai điểm Ax By C So sánh khoảng cách từ hai điểm vừa tìm tới O , khoảng cách nhỏ điểm ứng với điểm M điểm cịn lại... z2 a c b d p 2 Khi đó: P z1 z2 a b2 c d Mà a b c d 2 12 a b2 c d a b2 c d a c b d a c b d