Chuong 0 So Phuc Dai So Tuyen Tinh

Mọi đa thức bậc lớn hơn hay bằng 1 với hệ số phức đều có nghiệm phức. Định lý.[r]

(1)

Nội dung chương

Bài giảng mơn học Đại số tuyến tính

Chương 0

SỐ PHỨC

Lê Văn Luyện

lvluyen@yahoo.com

http://www.math.hcmus.edu.vn/∼lvluyen

Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh

(2)

Nội dung chương Nội dung

Chương 0. SỐ PHỨC

1 Dạng đại số số phức

2 Dạng lượng giác số phức

3 Căn số phức

(3)

1 Dạng đại số số phức 1 Dạng lượng giác số phức

Định nghĩa

Ta ký hiệuilà số thỏa mãn điều kiệni2=−1 Khi đói /∈Rnên i gọi làđơn vị ảo

Tập số phức ký hiệu Cvà

C={a+bi|a, b∈R}

Dạng đại số số phức là: z=a+bi,

• a: gọi làphần thực số phứcz, ký hiệu Re(z)

• b : gọi làphần ảo số phứcz, ký hiệu làIm(z)

Ví dụ Cho z= 3−2i Khi đóRe(z) = vàIm(z) =−2

(4)

Định nghĩa

C={a+bi|a, b∈R}

(5)

Định nghĩa

C={a+bi|a, b∈R}

(6)

Định nghĩa

C={a+bi|a, b∈R}

(7)

Định nghĩa

C={a+bi|a, b∈R}

(8)

Định nghĩa

C={a+bi|a, b∈R}

(9)

1 Dạng đại số số phức Phép toán số phức

Ta định nghĩa phép toán cộng trừ, nhân, chia trênCmột cách tự nhiên R(chú ý i2=−1.)

Mệnh đề Cho z=a+ib;z0 =c+id Khi • z=z0⇔a=c, b=d;

• z±z0= (a±c) +i(b±d);

• zz0= (ac−bd) +i(ad+bc);

• Nếu z06= z z0 =

(ac+bd) +i(bc−ad)

c2+d2

Ví dụ

1)(2 + 5i)3 = 23+ 3.22.5i+ 3.2.52i2+ 53i3

= + 60i−150−125i=−142−65i 2) + 5i

3−4i =

(7 + 5i)(3 + 4i) (3−4i)(3 + 4i) =

1 + 43i

25 = 25 +

43 25i

(10)

Mệnh đề Cho z=a+ib;z0 =c+id Khi

• z=z0⇔a=c, b=d;

• z±z0= (a±c) +i(b±d);

• Nếu z06= z z0 =

(ac+bd) +i(bc−ad)

c2+d2

Ví dụ

1)(2 + 5i)3 = 23+ 3.22.5i+ 3.2.52i2+ 53i3

= + 60i−150−125i=−142−65i 2) + 5i

3−4i =

(7 + 5i)(3 + 4i) (3−4i)(3 + 4i) =

1 + 43i

25 = 25 +

(11)

Mệnh đề Cho z=a+ib;z0 =c+id Khi • z=z0 ⇔a=c, b=d;

• z±z0= (a±c) +i(b±d);

• Nếu z06= z z0 =

(ac+bd) +i(bc−ad)

c2+d2

Ví dụ

1)(2 + 5i)3 = 23+ 3.22.5i+ 3.2.52i2+ 53i3

= + 60i−150−125i=−142−65i 2) + 5i

3−4i =

(7 + 5i)(3 + 4i) (3−4i)(3 + 4i) =

1 + 43i

25 = 25 +

43 25i

(12)

• z±z0= (a±c) +i(b±d);

• Nếu z06= z z0 =

(ac+bd) +i(bc−ad)

c2+d2

Ví dụ

1)(2 + 5i)3 = 23+ 3.22.5i+ 3.2.52i2+ 53i3

= + 60i−150−125i=−142−65i 2) + 5i

3−4i =

(7 + 5i)(3 + 4i) (3−4i)(3 + 4i) =

1 + 43i

25 = 25 +

(13)

• z±z0= (a±c) +i(b±d);

• Nếu z06= z z0 =

(ac+bd) +i(bc−ad)

c2+d2

Ví dụ

1)(2 + 5i)3 = 23+ 3.22.5i+ 3.2.52i2+ 53i3

= + 60i−150−125i=−142−65i 2) + 5i

3−4i =

(7 + 5i)(3 + 4i) (3−4i)(3 + 4i) =

1 + 43i

25 = 25 +

43 25i

(14)

• z±z0= (a±c) +i(b±d);

• Nếu z06= z z0 =

(ac+bd) +i(bc−ad)

c2+d2

Ví dụ

1)(2 + 5i)3 = 23+ 3.22.5i+ 3.2.52i2+ 53i3

= + 60i−150−125i=−142−65i 2) + 5i

3−4i =

(7 + 5i)(3 + 4i) (3−4i)(3 + 4i) =

1 + 43i

25 = 25 +

(15)

• z±z0= (a±c) +i(b±d);

• Nếu z06= z z0 =

(ac+bd) +i(bc−ad)

c2+d2

Ví dụ

1)(2 + 5i)3 = 23+ 3.22.5i+ 3.2.52i2+ 53i3

= + 60i−150−125i=−142−65i 2) + 5i

3−4i =

(7 + 5i)(3 + 4i) (3−4i)(3 + 4i) =

1 + 43i

25 = 25 +

43 25i

(16)

• z±z0= (a±c) +i(b±d);

• Nếu z06= z z0 =

(ac+bd) +i(bc−ad)

c2+d2

Ví dụ

1)(2 + 5i)3 = 23+ 3.22.5i+ 3.2.52i2+ 53i3

= + 60i−150−125i=−142−65i

2) + 5i

3−4i =

(7 + 5i)(3 + 4i) (3−4i)(3 + 4i) =

1 + 43i

25 = 25 +

(17)

• z±z0= (a±c) +i(b±d);

• Nếu z06= z z0 =

(ac+bd) +i(bc−ad)

c2+d2

Ví dụ

1)(2 + 5i)3 = 23+ 3.22.5i+ 3.2.52i2+ 53i3

= + 60i−150−125i=−142−65i 2) + 5i

3−4i =

(7 + 5i)(3 + 4i) (3−4i)(3 + 4i) =

1 + 43i

25 = 25 +

43 25i

(18)

1 Dạng đại số số phức Số phức liên hợp

Định nghĩa Cho số phức z=a+ib Ta gọi số phức liên hợp z, ký hiệu là¯z, số phức a−ib

Định lý Với số phức z,z, ta có¯

i) z¯= 0⇔z= 0; ii) z¯¯=z;

iii) Re(z) =z+ ¯z

2 vàIm(z) =

z−z¯ 2i ; iv) z±z0= ¯z±z¯0;

v) zz0= ¯zz¯0; vi)

z

z0

= z¯ ¯

(19)

i) z¯= 0⇔z= 0; ii) z¯¯=z;

iii) Re(z) =z+ ¯z

2 vàIm(z) =

z−z¯ 2i ; iv) z±z0= ¯z±z¯0;

v) zz0= ¯zz¯0; vi)

z

z0

= z¯ ¯

z0 (z 6= 0).

(20)

i) z¯= 0⇔z= 0;

ii) z¯¯=z;

iii) Re(z) =z+ ¯z

2 vàIm(z) =

z−z¯ 2i ; iv) z±z0= ¯z±z¯0;

v) zz0= ¯zz¯0; vi)

z

z0

= z¯ ¯

(21)

i) z¯= 0⇔z= 0; ii) z¯¯=z;

iii) Re(z) =z+ ¯z

2 vàIm(z) =

z−z¯ 2i ; iv) z±z0= ¯z±z¯0;

v) zz0= ¯zz¯0; vi)

z

z0

= z¯ ¯

z0 (z 6= 0).

(22)

i) z¯= 0⇔z= 0; ii) z¯¯=z;

iii) Re(z) =z+ ¯z

2 vàIm(z) =

z−z¯ 2i ;

iv) z±z0= ¯z±z¯0; v) zz0= ¯zz¯0; vi)

z

z0

= z¯ ¯

(23)

i) z¯= 0⇔z= 0; ii) z¯¯=z;

iii) Re(z) =z+ ¯z

2 vàIm(z) =

z−z¯ 2i ; iv) z±z0= ¯z±z¯0;

v) zz0= ¯zz¯0; vi)

z

z0

= z¯ ¯

z0 (z 6= 0).

(24)

i) z¯= 0⇔z= 0; ii) z¯¯=z;

iii) Re(z) =z+ ¯z

2 vàIm(z) =

z−z¯ 2i ; iv) z±z0= ¯z±z¯0;

v) zz0= ¯zz¯0;

vi)

z

z0

= z¯ ¯

(25)

i) z¯= 0⇔z= 0; ii) z¯¯=z;

iii) Re(z) =z+ ¯z

2 vàIm(z) =

z−z¯ 2i ; iv) z±z0= ¯z±z¯0;

v) zz0= ¯zz¯0; vi)

z

z0

= z¯ ¯

z0 (z 6= 0).

(26)

1 Dạng đại số số phức Môđun số phức

Nhận xét

i) z= ¯z⇔Im(z) = 0,nghĩa z∈R

ii) z=−z¯⇔Re(z) = 0,nghĩa z=ib, b∈R Trong trường hợp z=ib ta nói z số ảo

Định nghĩa Cho số phứcz=a+ib.Ta gọimôđun củaz,ký hiệu |z|, số thực khơng âm|z|=√a2+b2.

Ví dụ Vớiz= 3−4i, ta có

(27)

Nhận xét

Định nghĩa Cho số phứcz=a+ib.Ta gọimôđun củaz,ký hiệu |z|, số thực không âm|z|=√a2+b2.

|z|=p32+ (−4)2=√25 = 5.

(28)

Nhận xét

Định nghĩa Cho số phứcz=a+ib.Ta gọimôđun củaz,ký hiệu |z|, số thực khơng âm|z|=√a2+b2.

(29)

Nhận xét

Định nghĩa Cho số phứcz=a+ib Ta gọimôđun củaz,ký hiệu |z|, số thực khơng âm|z|=√a2+b2.

|z|=p32+ (−4)2=√25 = 5.

(30)

Nhận xét

(31)

Nhận xét

|z|=p32+ (−4)2=√25 = 5.

(32)

Ví dụ Cho số phức z= 3−4i;z0=−6 + 8i.Hãy tìm môđun z, z0;z+z0;z−z0;zz0;z/z0;z4 z0−3

Giải

|z|=p32+ (−4)2= 5⇒ z4

= |z|4 = 54= 625; |z0|=p

(−6)2+ 82= 10⇒

z0−3= |z0| −3

= 10−3 = 0,001;

z+z0 =−3 + 4i⇒ |z+z0| =p(−3)2+ 42= 5;

z−z0 = 9−12i⇒ |z−z0| =p92+ (−12)2 = 15;

|zz0|=|z| |z0| = 5.10 = 50;

z z0

=

|z| |z0| =

5 10 =

(33)

Ví dụ Cho số phức z= 3−4i;z0=−6 + 8i.Hãy tìm mơđun z, z0;z+z0;z−z0;zz0;z/z0;z4 z0−3

Giải

|z|=p32+ (−4)2= 5

⇒z4

= |z|4 = 54= 625; |z0|=p

(−6)2+ 82= 10⇒

z0−3= |z0| −3

= 10−3 = 0,001;

z+z0 =−3 + 4i⇒ |z+z0| =p(−3)2+ 42= 5;

z−z0 = 9−12i⇒ |z−z0| =p92+ (−12)2 = 15;

|zz0|=|z| |z0| = 5.10 = 50;

z z0

=

|z| |z0| =

5 10 =

1

(34)

Giải

|z|=p32+ (−4)2= 5⇒ z4

=

|z|4 = 54= 625;

|z0|=p

(−6)2+ 82= 10⇒

z0−3= |z0| −3

= 10−3 = 0,001;

z+z0 =−3 + 4i⇒ |z+z0| =p(−3)2+ 42= 5;

z−z0 = 9−12i⇒ |z−z0| =p92+ (−12)2 = 15;

|zz0|=|z| |z0| = 5.10 = 50;

z z0

=

|z| |z0| =

5 10 =

(35)

Giải

|z|=p32+ (−4)2= 5⇒ z4

= |z|4 = 54= 625;

|z0|=p

(−6)2+ 82= 10⇒

z0−3= |z0| −3

= 10−3 = 0,001;

z+z0 =−3 + 4i⇒ |z+z0| =p(−3)2+ 42= 5;

z−z0 = 9−12i⇒ |z−z0| =p92+ (−12)2 = 15;

|zz0|=|z| |z0| = 5.10 = 50;

z z0

=

|z| |z0| =

5 10 =

1

(36)

Giải

|z|=p32+ (−4)2= 5⇒ z4

= |z|4 = 54= 625; |z0|=p

(−6)2+ 82= 10

⇒

z0−3= |z0| −3

= 10−3 = 0,001;

z+z0 =−3 + 4i⇒ |z+z0| =p(−3)2+ 42= 5;

z−z0 = 9−12i⇒ |z−z0| =p92+ (−12)2 = 15;

|zz0|=|z| |z0| = 5.10 = 50;

z z0

=

|z| |z0| =

5 10 =

(37)

Giải

|z|=p32+ (−4)2= 5⇒ z4

= |z|4 = 54= 625; |z0|=p

(−6)2+ 82= 10⇒

z0−3=

|z0|−3

= 10−3 = 0,001;

z+z0 =−3 + 4i⇒ |z+z0| =p(−3)2+ 42= 5;

z−z0 = 9−12i⇒ |z−z0| =p92+ (−12)2 = 15;

|zz0|=|z| |z0| = 5.10 = 50;

z z0

=

|z| |z0| =

5 10 =

1

(38)

Giải

|z|=p32+ (−4)2= 5⇒ z4

= |z|4 = 54= 625; |z0|=p

(−6)2+ 82= 10⇒

z0−3= |z0| −3

= 10−3 = 0,001;

z+z0 =−3 + 4i⇒ |z+z0| =p(−3)2+ 42= 5;

z−z0 = 9−12i⇒ |z−z0| =p92+ (−12)2 = 15;

|zz0|=|z| |z0| = 5.10 = 50;

z z0

=

|z| |z0| =

5 10 =

(39)

Giải

|z|=p32+ (−4)2= 5⇒ z4

= |z|4 = 54= 625; |z0|=p

(−6)2+ 82= 10⇒

z0−3= |z0| −3

= 10−3 = 0,001;

z+z0=−3 + 4i⇒ |z+z0|

=p(−3)2+ 42= 5;

z−z0 = 9−12i⇒ |z−z0| =p92+ (−12)2 = 15;

|zz0|=|z| |z0| = 5.10 = 50;

z z0

=

|z| |z0| =

5 10 =

1

(40)

Giải

|z|=p32+ (−4)2= 5⇒ z4

= |z|4 = 54= 625; |z0|=p

(−6)2+ 82= 10⇒

z0−3= |z0| −3

= 10−3 = 0,001;

z+z0=−3 + 4i⇒ |z+z0| =p(−3)2+ 42= 5;

z−z0 = 9−12i⇒ |z−z0| =p92+ (−12)2 = 15;

|zz0|=|z| |z0| = 5.10 = 50;

z z0

=

|z| |z0| =

5 10 =

(41)

Giải

|z|=p32+ (−4)2= 5⇒ z4

= |z|4 = 54= 625; |z0|=p

(−6)2+ 82= 10⇒

z0−3= |z0| −3

= 10−3 = 0,001;

z+z0=−3 + 4i⇒ |z+z0| =p(−3)2+ 42= 5;

z−z0= 9−12i⇒ |z−z0|

=p92+ (−12)2 = 15;

|zz0|=|z| |z0| = 5.10 = 50;

z z0

=

|z| |z0| =

5 10 =

1

(42)

Giải

|z|=p32+ (−4)2= 5⇒ z4

= |z|4 = 54= 625; |z0|=p

(−6)2+ 82= 10⇒

z0−3= |z0| −3

= 10−3 = 0,001;

z+z0=−3 + 4i⇒ |z+z0| =p(−3)2+ 42= 5;

z−z0= 9−12i⇒ |z−z0| =p92+ (−12)2 = 15;

|zz0|=|z| |z0| = 5.10 = 50;

z z0

=

|z| |z0| =

5 10 =

(43)

Giải

|z|=p32+ (−4)2= 5⇒ z4

= |z|4 = 54= 625; |z0|=p

(−6)2+ 82= 10⇒

z0−3= |z0| −3

= 10−3 = 0,001;

z+z0=−3 + 4i⇒ |z+z0| =p(−3)2+ 42= 5;

z−z0= 9−12i⇒ |z−z0| =p92+ (−12)2 = 15;

|zz0|=|z| |z0|

= 5.10 = 50;

z z0

=

|z| |z0| =

5 10 =

1

(44)

Giải

|z|=p32+ (−4)2= 5⇒ z4

= |z|4 = 54= 625; |z0|=p

(−6)2+ 82= 10⇒

z0−3= |z0| −3

= 10−3 = 0,001;

z+z0=−3 + 4i⇒ |z+z0| =p(−3)2+ 42= 5;

z−z0= 9−12i⇒ |z−z0| =p92+ (−12)2 = 15;

|zz0|=|z| |z0| = 5.10 = 50;

z z0

=

|z| |z0| =

5 10 =

(45)

Giải

|z|=p32+ (−4)2= 5⇒ z4

= |z|4 = 54= 625; |z0|=p

(−6)2+ 82= 10⇒

z0−3= |z0| −3

= 10−3 = 0,001;

z+z0=−3 + 4i⇒ |z+z0| =p(−3)2+ 42= 5;

z−z0= 9−12i⇒ |z−z0| =p92+ (−12)2 = 15;

|zz0|=|z| |z0| = 5.10 = 50;

z z0

=

|z| |z0|

= 10 =

1

(46)

Giải

|z|=p32+ (−4)2= 5⇒ z4

= |z|4 = 54= 625; |z0|=p

(−6)2+ 82= 10⇒

z0−3= |z0| −3

= 10−3 = 0,001;

z+z0=−3 + 4i⇒ |z+z0| =p(−3)2+ 42= 5;

z−z0= 9−12i⇒ |z−z0| =p92+ (−12)2 = 15;

|zz0|=|z| |z0| = 5.10 = 50;

z z0

=

|z| |z0| =

5 10 =

(47)

Cho số phứcz=a+bi Khi xemz điểm M(a, b)

mặt phẳng tọa độ Oxy ta gọi M làbiểu diễn hình học z

6

>

b

a

•M(a, b)⇔z=ai+b y

x O

ϕ

Gọiϕlà góc định hướng (Ox, OM) vàrlà độ dài đoạnOM Khi r=pa2+b2, a=rcosϕ, b=rsinϕ.

(48)

2 Dạng lượng giác số phức 2 Dạng lượng giác số phức

6

>

b

a

x O

ϕ

(49)

6

>

b

a

x O

ϕ

Gọiϕlà góc định hướng (Ox, OM) vàr độ dài đoạnOM Khi

r=pa2+b2, a=rcosϕ, b=rsinϕ.

(50)

6

>

b

a

x O

ϕ

(51)

Như vậyz=a+bi=r(cosϕ+isinϕ)

Dạng biểu số phức theor vàϕđược gọi làdạng lượng giác củaz Trong

• r mơđun củaz,r=|z|

• ϕđược gọi làđối số (hayargument) củaz, ký hiệu ϕ= arg(z)

Ví dụ

• = cos +isin 0; i= cosπ

2 +isin

π

2 ;

• +i√3 = 2(1 2+i

√

3 ) =

cosπ

3 +isin

π

3

;

• −1 +i√3 = 2(−1

2 +i

√

3 ) =

cos2π

3 +isin 2π

3

;

• −1−i√3 = 2(−1

2 −i

√

3 ) =

cos4π

3 +isin 4π

3

(52)

Ví dụ

2 +isin

π

2 ;

• +i√3 = 2(1 2+i

√

3 ) =

cosπ

3 +isin

π

3

;

• −1 +i√3 = 2(−1

2 +i

√

3 ) =

cos2π

3 +isin 2π

3

;

• −1−i√3 = 2(−1

2 −i

√

3 ) =

cos4π

3 +isin 4π

3

(53)

Ví dụ

2 +isin

π

2 ;

• +i√3 = 2(1 2+i

√

3 ) =

cosπ

3 +isin

π

3

;

• −1 +i√3 = 2(−1

2 +i

√

3 ) =

cos2π

3 +isin 2π

3

;

• −1−i√3 = 2(−1

2 −i

√

3 ) =

cos4π

3 +isin 4π

3

(54)

Ví dụ

2 +isin

π

2 ;

• +i√3 = 2(1 2+i

√

3 ) =

cosπ

3 +isin

π

3

;

• −1 +i√3 = 2(−1

2 +i

√

3 ) =

cos2π

3 +isin 2π

3

;

• −1−i√3 = 2(−1

2 −i

√

3 ) =

cos4π

3 +isin 4π

3

(55)

Ví dụ

• =

cos +isin 0; i= cosπ

2 +isin

π

2 ;

• +i√3 = 2(1 2+i

√

3 ) =

cosπ

3 +isin

π

3

;

• −1 +i√3 = 2(−1

2 +i

√

3 ) =

cos2π

3 +isin 2π

3

;

• −1−i√3 = 2(−1

2 −i

√

3 ) =

cos4π

3 +isin 4π

3

(56)

Ví dụ

• = cos +isin 0;

i= cosπ

2 +isin

π

2 ;

• +i√3 = 2(1 2+i

√

3 ) =

cosπ

3 +isin

π

3

;

• −1 +i√3 = 2(−1

2 +i

√

3 ) =

cos2π

3 +isin 2π

3

;

• −1−i√3 = 2(−1

2 −i

√

3 ) =

cos4π

3 +isin 4π

3

(57)

Ví dụ

• = cos +isin 0; i=

cosπ

2 +isin

π

2 ;

• +i√3 = 2(1 2+i

√

3 ) =

cosπ

3 +isin

π

3

;

• −1 +i√3 = 2(−1

2 +i

√

3 ) =

cos2π

3 +isin 2π

3

;

• −1−i√3 = 2(−1

2 −i

√

3 ) =

cos4π

3 +isin 4π

3

(58)

Ví dụ

2 +isin

π

2 ;

• +i√3 = 2(1 2+i

√

3 ) =

cosπ

3 +isin

π

3

;

• −1 +i√3 = 2(−1

2 +i

√

3 ) =

cos2π

3 +isin 2π

3

;

• −1−i√3 = 2(−1

2 −i

√

3 ) =

cos4π

3 +isin 4π

3

(59)

Ví dụ

2 +isin

π

2 ;

• +i√3 =

2(1 2+i

√

3 ) =

cosπ

3 +isin

π

3

;

• −1 +i√3 = 2(−1

2 +i

√

3 ) =

cos2π

3 +isin 2π

3

;

• −1−i√3 = 2(−1

2 −i

√

3 ) =

cos4π

3 +isin 4π

3

(60)

Ví dụ

2 +isin

π

2 ;

• +i√3 = 2(1 2+i

√

3 ) =

2cosπ

3 +isin

π

3

;

• −1 +i√3 = 2(−1

2 +i

√

3 ) =

cos2π

3 +isin 2π

3

;

• −1−i√3 = 2(−1

2 −i

√

3 ) =

cos4π

3 +isin 4π

3

(61)

Ví dụ

2 +isin

π

2 ;

• +i√3 = 2(1 2+i

√

3 ) =

cosπ

3 +isin

π

3

;

• −1 +i√3 = 2(−1

2 +i

√

3 ) =

cos2π

3 +isin 2π

3

;

• −1−i√3 = 2(−1

2 −i

√

3 ) =

cos4π

3 +isin 4π

3

(62)

Ví dụ

2 +isin

π

2 ;

• +i√3 = 2(1 2+i

√

3 ) =

cosπ

3 +isin

π

3

;

• −1 +i√3 =

2(−1

2 +i

√

3 ) =

cos2π

3 +isin 2π

3

;

• −1−i√3 = 2(−1

2 −i

√

3 ) =

cos4π

3 +isin 4π

3

(63)

Ví dụ

2 +isin

π

2 ;

• +i√3 = 2(1 2+i

√

3 ) =

cosπ

3 +isin

π

3

;

• −1 +i√3 = 2(−1

2 +i

√

3 ) =

2

cos2π

3 +isin 2π

3

;

• −1−i√3 = 2(−1

2 −i

√

3 ) =

cos4π

3 +isin 4π

3

(64)

Ví dụ

2 +isin

π

2 ;

• +i√3 = 2(1 2+i

√

3 ) =

cosπ

3 +isin

π

3

;

• −1 +i√3 = 2(−1

2 +i

√

3 ) =

cos2π

3 +isin 2π

3

;

• −1−i√3 = 2(−1

2 −i

√

3 ) =

cos4π

3 +isin 4π

3

(65)

Ví dụ

2 +isin

π

2 ;

• +i√3 = 2(1 2+i

√

3 ) =

cosπ

3 +isin

π

3

;

• −1 +i√3 = 2(−1

2 +i

√

3 ) =

cos2π

3 +isin 2π

3

;

• −1−i√3 =

2(−1

2 −i

√

3 ) =

cos4π

3 +isin 4π

3

(66)

Ví dụ

2 +isin

π

2 ;

• +i√3 = 2(1 2+i

√

3 ) =

cosπ

3 +isin

π

3

;

• −1 +i√3 = 2(−1

2 +i

√

3 ) =

cos2π

3 +isin 2π

3

;

• −1−i√3 = 2(−1 −i √

3 ) =

2

cos4π

3 +isin 4π

3

(67)

Ví dụ

2 +isin

π

2 ;

• +i√3 = 2(1 2+i

√

3 ) =

cosπ

3 +isin

π

3

;

• −1 +i√3 = 2(−1

2 +i

√

3 ) =

cos2π

3 +isin 2π

3

;

• −1−i√3 = 2(−1

2 −i

√

3 ) =

cos4π

3 +isin 4π

3

(68)

Mệnh đề Cho số phứcz, z0 6= dạng lượng giác z=r(cosϕ+isinϕ), z0 =r0(cosϕ0+isinϕ0) Khi

• zz0=rr0[cos(ϕ+ϕ0) +isin(ϕ+ϕ0)];

• z

z0 = r

r0[cos(ϕ−ϕ

0) +isin(ϕ−ϕ0)].

Ví dụ Viết số phức sau dạng lượng giác: z1 = (1−i)(

√

3−i); z2 = 1−i √

(69)

• z

z0 = r

r0[cos(ϕ−ϕ

0) +isin(ϕ−ϕ0)].

√

3−i); z2 = 1−i √

3−i

(70)

• z

z0 = r

r0[cos(ϕ−ϕ

0) +isin(ϕ−ϕ0)].

√

3−i); z2 = 1−i √

(71)

• z

z0 = r

r0[cos(ϕ−ϕ

0) +isin(ϕ−ϕ0)].

√

3−i); z2 = 1−i √

3−i

(72)

2 Dạng lượng giác số phức Giải.Ta có

1−i =

√

2(

√

2 −i

√

2 ) =

√

2

h

cos(−π

4) +isin(−

π

4)

i

;

√

3−i = 2(

√

3 −i

1 2) =

h

cos(−π

6) +isin(−

π

6)

i Suy

z1 = (1−i)(

√

3−i) = 2√2hcos(−π

4 −

π

6) +isin(−

π

4 −

π

6)

i

= 2√2

cos(−5π

12) +isin(− 5π

12)

;

z2 =

1−i √

3−i = √

2

h

cos(−π

4 +

π

6) +isin(−

π + π 6) i = √ 2 h

cos(−π

12) +isin(−

π

12)

(73)

1−i = √2(

√

2 −i

√

2 ) =

√

2

h

cos(−π

4) +isin(−

π

4)

i

;

√

3−i = 2(

√

3 −i

1 2) =

h

cos(−π

6) +isin(−

π

6)

i Suy

z1 = (1−i)(

√

3−i) = 2√2hcos(−π

4 −

π

6) +isin(−

π

4 −

π

6)

i

= 2√2

cos(−5π

12) +isin(− 5π

12)

;

z2 =

1−i √

3−i = √

2

h

cos(−π

4 +

π

6) +isin(−

π + π 6) i = √ 2 h

cos(−π

12) +isin(−

π

12)

i

(74)

1−i = √2(

√

2 −i

√

2 ) =

√

2

h

cos(−π

4) +isin(−

π

4)

i

;

√

3−i = 2(

√

3 −i

1 2) =

h

cos(−π

6) +isin(−

π

6)

i Suy

z1 = (1−i)(

√

3−i) = 2√2hcos(−π

4 −

π

6) +isin(−

π

4 −

π

6)

i

= 2√2

cos(−5π

12) +isin(− 5π

12)

;

z2 =

1−i √

3−i = √

2

h

cos(−π

4 +

π

6) +isin(−

π + π 6) i = √ 2 h

cos(−π

12) +isin(−

π

12)

(75)

1−i = √2(

√

2 −i

√

2 ) =

√

2

h

cos(−π

4) +isin(−

π

4)

i

;

√

3−i =

2(

√

3 −i

1 2) =

h

cos(−π

6) +isin(−

π

6)

i Suy

z1 = (1−i)(

√

3−i) = 2√2hcos(−π

4 −

π

6) +isin(−

π

4 −

π

6)

i

= 2√2

cos(−5π

12) +isin(− 5π

12)

;

z2 =

1−i √

3−i = √

2

h

cos(−π

4 +

π

6) +isin(−

π + π 6) i = √ 2 h

cos(−π

12) +isin(−

π

12)

i

(76)

1−i = √2(

√

2 −i

√

2 ) =

√

2

h

cos(−π

4) +isin(−

π

4)

i

;

√

3−i = 2(

√

3 −i

1 2) =

2

h

cos(−π

6) +isin(−

π

6)

i Suy

z1 = (1−i)(

√

3−i) = 2√2hcos(−π

4 −

π

6) +isin(−

π

4 −

π

6)

i

= 2√2

cos(−5π

12) +isin(− 5π

12)

;

z2 =

1−i √

3−i = √

2

h

cos(−π

4 +

π

6) +isin(−

π + π 6) i = √ 2 h

cos(−π

12) +isin(−

π

12)

(77)

1−i = √2(

√

2 −i

√

2 ) =

√

2

h

cos(−π

4) +isin(−

π

4)

i

;

√

3−i = 2(

√

3 −i

1 2) =

h

cos(−π

6) +isin(−

π

6)

i

Suy

z1 = (1−i)(

√

3−i) = 2√2hcos(−π

4 −

π

6) +isin(−

π

4 −

π

6)

i

= 2√2

cos(−5π

12) +isin(− 5π

12)

;

z2 =

1−i √

3−i = √

2

h

cos(−π

4 +

π

6) +isin(−

π + π 6) i = √ 2 h

cos(−π

12) +isin(−

π

12)

i

(78)

1−i = √2(

√

2 −i

√

2 ) =

√

2

h

cos(−π

4) +isin(−

π

4)

i

;

√

3−i = 2(

√

3 −i

1 2) =

h

cos(−π

6) +isin(−

π

6)

i Suy

z1 = (1−i)(

√

3−i)

= 2√2hcos(−π

4 −

π

6) +isin(−

π

4 −

π

6)

i

= 2√2

cos(−5π

12) +isin(− 5π

12)

;

z2 =

1−i √

3−i = √

2

h

cos(−π

4 +

π

6) +isin(−

π + π 6) i = √ 2 h

cos(−π

12) +isin(−

π

12)

(79)

1−i = √2(

√

2 −i

√

2 ) =

√

2

h

cos(−π

4) +isin(−

π

4)

i

;

√

3−i = 2(

√

3 −i

1 2) =

h

cos(−π

6) +isin(−

π

6)

i Suy

z1 = (1−i)(

√

3−i) = 2√2hcos(−π

4 −

π

6) +isin(−

π

4 −

π

6)

i

= 2√2

cos(−5π

12) +isin(− 5π

12)

;

z2 =

1−i √

3−i = √

2

h

cos(−π

4 +

π

6) +isin(−

π + π 6) i = √ 2 h

cos(−π

12) +isin(−

π

12)

i

(80)

1−i = √2(

√

2 −i

√

2 ) =

√

2

h

cos(−π

4) +isin(−

π

4)

i

;

√

3−i = 2(

√

3 −i

1 2) =

h

cos(−π

6) +isin(−

π

6)

i Suy

z1 = (1−i)(

√

3−i) = 2√2hcos(−π

4 −

π

6) +isin(−

π

4 −

π

6)

i

= 2√2

cos(−5π

12) +isin(− 5π

12)

;

z2 =

1−i √

3−i = √

2

h

cos(−π

4 +

π

6) +isin(−

π + π 6) i = √ 2 h

cos(−π

12) +isin(−

π

12)

(81)

1−i = √2(

√

2 −i

√

2 ) =

√

2

h

cos(−π

4) +isin(−

π

4)

i

;

√

3−i = 2(

√

3 −i

1 2) =

h

cos(−π

6) +isin(−

π

6)

i Suy

z1 = (1−i)(

√

3−i) = 2√2hcos(−π

4 −

π

6) +isin(−

π

4 −

π

6)

i

= 2√2

cos(−5π

12) +isin(− 5π

12)

;

z2 =

1−i √

3−i

=

√

2

h

cos(−π

4 +

π

6) +isin(−

π + π 6) i = √ 2 h

cos(−π

12) +isin(−

π

12)

i

(82)

1−i = √2(

√

2 −i

√

2 ) =

√

2

h

cos(−π

4) +isin(−

π

4)

i

;

√

3−i = 2(

√

3 −i

1 2) =

h

cos(−π

6) +isin(−

π

6)

i Suy

z1 = (1−i)(

√

3−i) = 2√2hcos(−π

4 −

π

6) +isin(−

π

4 −

π

6)

i

= 2√2

cos(−5π

12) +isin(− 5π

12)

;

z2 =

1−i √

3−i = √

2

h

cos(−π

4 +

π

6) +isin(−

π + π 6) i = √ 2 h

cos(−π

12) +isin(−

π

12)

(83)

1−i = √2(

√

2 −i

√

2 ) =

√

2

h

cos(−π

4) +isin(−

π

4)

i

;

√

3−i = 2(

√

3 −i

1 2) =

h

cos(−π

6) +isin(−

π

6)

i Suy

z1 = (1−i)(

√

3−i) = 2√2hcos(−π

4 −

π

6) +isin(−

π

4 −

π

6)

i

= 2√2

cos(−5π

12) +isin(− 5π

12)

;

z2 =

1−i √

3−i = √

2

h

cos(−π

4 +

π

6) +isin(−

π + π 6) i = √ 2 h

cos(−π

12) +isin(−

π

12)

i

(84)

2 Dạng lượng giác số phức Công thức Moivre

Định lý.[công thức Moivre] Cho số phức z6= dạng lượng giác: z=r(cosϕ+isinϕ) Khi với số ngun n ta có

zn=rn(cosnϕ+isinnϕ) (4)

Ví dụ Tính(1−i)1945

Giải.Ta viết 1−idưới dạng lượng giác

1−i=√2hcos−π

4

+isin−π

4

i Theo cơng thức Moivre ta có

(1−i)1945 =h√2cos−π

4

+isin−π

4

(85)

Định lý.[công thức Moivre] Cho số phức z6= dạng lượng giác: z=r(cosϕ+isinϕ) Khi với số nguyên n ta có

1−i=√2hcos−π

4

+isin−π

4

(1−i)1945 =h√2cos−π

4

+isin−π

4

i1945

(86)

1−i=√2hcos−π

4

+isin−π

4

i Theo công thức Moivre ta có

(1−i)1945 =h√2cos−π

4

+isin−π

4

(87)

1−i=√2hcos−π

4

+isin−π

4

(1−i)1945 =h√2cos−π

4

+isin−π

4

i1945

(88)

1−i=√2hcos−π

4

+isin−π

4

i

Theo cơng thức Moivre ta có

(1−i)1945 =h√2cos−π

4

+isin−π

4

(89)

1−i=√2hcos−π

4

+isin−π

4

i Theo công thức Moivre ta có

(1−i)1945 =h√2cos−π

4

+isin−π

4

i1945

(90)

(1−i)1945 =

h√

2

cos

−π

4

+isin

−π

4

i1945

= √21945

cos

−1945π

4

+isin

−1945π

4

= 2972√2

h

cos

−π

4

+isin

−π

4

i

= 2972(1−i)

(91)

(1−i)1945 =

h√

2

cos

−π

4

+isin

−π

4

i1945

= √21945

cos

−1945π

4

+isin

−1945π

4

= 2972√2

h

cos

−π

4

+isin

−π

4

i

= 2972(1−i)

Ví dụ Tínhcos 3x theocosx vàsin 3x theosinx

(92)

(1−i)1945 =

h√

2

cos

−π

4

+isin

−π

4

i1945

= √21945

cos

−1945π

4

+isin

−1945π

4

= 2972√2

h

cos

−π

4

+isin

−π

4

i

= 2972(1−i)

(93)

(1−i)1945 =

h√

2

cos

−π

4

+isin

−π

4

i1945

= √21945

cos

−1945π

4

+isin

−1945π

4

= 2972√2

h

cos

−π

4

+isin

−π

4

i

= 2972(1−i)

Ví dụ Tínhcos 3x theocosx vàsin 3x theosinx

(94)

(1−i)1945 =

h√

2

cos

−π

4

+isin

−π

4

i1945

= √21945

cos

−1945π

4

+isin

−1945π

4

= 2972√2

h

cos

−π

4

+isin

−π

4

i

= 2972(1−i)

(95)

Giải.Đặt z= cosx+isinx Theo cơng thức Moivre ta có z3 = cos 3x+isin 3x

Mặt khác

z3 = (cosx+isinx)3

= cos3x+ cos2x(isinx) + cosx(isinx)2+ (isinx)3 = (cos3x−3 cosxsin2x) +i(3 cos2xsinx−sin3x) Suy

cos 3x = cos3x−3 cosxsin2x= cos3x−3 cosx; sin 3x = cos2xsinx−sin3x= sinx−4 sin3x

(96)

Mặt khác

z3 = (cosx+isinx)3

(97)

Giải.Đặt z= cosx+isinx Theo công thức Moivre ta có z3 = cos 3x+isin 3x

Mặt khác

z3 = (cosx+isinx)3

= cos3x+ cos2x(isinx) + cosx(isinx)2+ (isinx)3

= (cos3x−3 cosxsin2x) +i(3 cos2xsinx−sin3x) Suy

cos 3x = cos3x−3 cosxsin2x= cos3x−3 cosx; sin 3x = cos2xsinx−sin3x= sinx−4 sin3x

(98)

Mặt khác

z3 = (cosx+isinx)3

= cos3x+ cos2x(isinx) + cosx(isinx)2+ (isinx)3 = (cos3x−3 cosxsin2x) +i(3 cos2xsinx−sin3x)

Suy

(99)

Mặt khác

z3 = (cosx+isinx)3

cos 3x = cos3x−3 cosxsin2x= cos3x−3 cosx;

sin 3x = cos2xsinx−sin3x= sinx−4 sin3x

(100)

Mặt khác

z3 = (cosx+isinx)3

(101)

3 Căn số phức 3 Căn số phức

Định nghĩa Căn bậc n >0của số phức u số phứczthỏazn=u.

Định lý Mọi số phức u 6= có đúngn bậcn định zk= n

√ r

cosϕ+k2π

n +isin

ϕ+k2π n

, (1)

với k∈0, n−1, r=|z|, ϕ= arg(z)

Ví dụ Tìm bậc5 của1

Giải.Ta viết dạng lượng giác

1 = cos +isin

(102)

√ r

cosϕ+k2π

n +isin

ϕ+k2π n

, (1)

với k∈0, n−1, đór =|z|, ϕ= arg(z)

(103)

√ r

cosϕ+k2π

n +isin

ϕ+k2π n

, (1)

1 = cos +isin

(104)

√ r

cosϕ+k2π

n +isin

ϕ+k2π n

, (1)

(105)

√ r

cosϕ+k2π

n +isin

ϕ+k2π n

, (1)

1 = cos +isin

(106)

3 Căn số phức

1 = cos +isin

Theo cơng thức (1), ta có bậc5 của1 zk= cos

k2π

5 +isin

k2π

5 với k= 0,1,2,3,4

Đó số phức:

z0 = 1;

z1 = cos 2π

5 +isin 2π

5 ;

z2 = cos 4π

5 +isin 4π

5 ;

z3 = cos 6π

5 +isin 6π

5 ;

z4 = cos 8π

5 +isin 8π

(107)

3 Căn số phức

1 = cos +isin

Theo công thức (1), ta có bậc5của1

zk= cos k2π

5 +isin

k2π

5 với k= 0,1,2,3,4

Đó số phức:

z0 = 1;

z1 = cos 2π

5 +isin 2π

5 ;

z2 = cos 4π

5 +isin 4π

5 ;

z3 = cos 6π

5 +isin 6π

5 ;

z4 = cos 8π

5 +isin 8π

5

(108)

3 Căn số phức

1 = cos +isin

Theo công thức (1), ta có bậc5của1 zk= cos

k2π

5 +isin

k2π

5 với k= 0,1,2,3,4

Đó số phức:

z0 = 1;

z1 = cos 2π

5 +isin 2π

5 ;

z2 = cos 4π

5 +isin 4π

5 ;

z3 = cos 6π

5 +isin 6π

5 ;

z4 = cos 8π

5 +isin 8π

(109)

3 Căn số phức

1 = cos +isin

Theo cơng thức (1), ta có bậc5của1 zk= cos

k2π

5 +isin

k2π

5 với k= 0,1,2,3,4

Đó số phức:

z0 = 1;

z1 = cos 2π

5 +isin 2π

5 ;

z2 = cos 4π

5 +isin 4π

5 ;

z3 = cos 6π

5 +isin 6π

5 ;

z4 = cos 8π

5 +isin 8π

5

(110)

3 Căn số phức

1 = cos +isin

k2π

5 +isin

k2π

5 với k= 0,1,2,3,4

Đó số phức:

z0 = 1;

z1 = cos 2π

5 +isin 2π

5 ;

z2 = cos 4π

5 +isin 4π

5 ;

z3 = cos 6π

5 +isin 6π

5 ;

z4 = cos 8π

5 +isin 8π

(111)

3 Căn số phức

1 = cos +isin

k2π

5 +isin

k2π

5 với k= 0,1,2,3,4

Đó số phức:

z0 = 1;

z1 = cos 2π

5 +isin 2π

5 ;

z2 = cos 4π

5 +isin 4π

5 ;

z3 = cos 6π

5 +isin 6π

5 ;

z4 = cos 8π

5 +isin 8π

5

(112)

3 Căn số phức

1 = cos +isin

k2π

5 +isin

k2π

5 với k= 0,1,2,3,4

Đó số phức:

z0 = 1;

z1 = cos 2π

5 +isin 2π

5 ;

z2 = cos 4π

5 +isin 4π

5 ;

z3 = cos 6π

5 +isin 6π

5 ;

z4 = cos 8π

5 +isin 8π

(113)

3 Căn số phức

1 = cos +isin

k2π

5 +isin

k2π

5 với k= 0,1,2,3,4

Đó số phức:

z0 = 1;

z1 = cos 2π

5 +isin 2π

5 ;

z2 = cos 4π

5 +isin 4π

5 ;

z3 = cos 6π

5 +isin 6π

5 ;

z4 = cos 8π

5 +isin 8π

5

(114)

3 Căn số phức

Ví dụ Tìm bậc 3của1 +i

Giải.Ta viết +idưới dạng lượng giác

1 +i=√2cosπ

4 +isin

π

4

Theo công thức (1), bậc3 của1 +ilà

zk =

6

√

2cos

π

4 +k2π

3 +isin

π

4 +k2π

với k= 0,1,2 Vậy1 +icó 3căn bậc3

z0 =

6

√

2cos π

12 +isin

π

12

;

z1 =

√

2

cos9π

12 +isin 9π

12

;

z2 =

6

√

2

cos17π

12 +isin 17π

12

(115)

3 Căn số phức

Ví dụ Tìm bậc 3của1 +i Giải.Ta viết +idưới dạng lượng giác

1 +i=

√

2cosπ

4 +isin

π

4

zk =

6

√

2cos

π

4 +k2π

3 +isin

π

4 +k2π

z0 =

6

√

2cos π

12 +isin

π

12

;

z1 =

√

2

cos9π

12 +isin 9π

12

;

z2 =

6

√

2

cos17π

12 +isin 17π

12

(116)

3 Căn số phức

1 +i=√2cosπ

4 +isin

π

4

zk =

6

√

2cos

π

4 +k2π

3 +isin

π

4 +k2π

z0 =

6

√

2cos π

12 +isin

π

12

;

z1 =

√

2

cos9π

12 +isin 9π

12

;

z2 =

6

√

2

cos17π

12 +isin 17π

12

(117)

3 Căn số phức

1 +i=√2cosπ

4 +isin

π

4

zk =

6

√

2cos

π

4 +k2π

3 +isin

π

4 +k2π

với k= 0,1,2

Vậy1 +icó 3căn bậc3 z0 =

6

√

2cos π

12 +isin

π

12

;

z1 =

√

2

cos9π

12 +isin 9π

12

;

z2 =

6

√

2

cos17π

12 +isin 17π

12

(118)

3 Căn số phức

1 +i=√2cosπ

4 +isin

π

4

zk =

6

√

2cos

π

4 +k2π

3 +isin

π

4 +k2π

z0 =

6

√

2cos π

12 +isin

π

12

;

z1 =

√

2

cos9π

12 +isin 9π

12

;

z2 =

6

√

2

cos17π

12 +isin 17π

12

(119)

3 Căn số phức

1 +i=√2cosπ

4 +isin

π

4

zk =

6

√

2cos

π

4 +k2π

3 +isin

π

4 +k2π

z0 =

6

√

2cos π

12 +isin

π

12

;

z1 =

√

2

cos9π

12 +isin 9π

12

;

z2 =

6

√

2

cos17π

12 +isin 17π

12

(120)

3 Căn số phức

1 +i=√2cosπ

4 +isin

π

4

zk =

6

√

2cos

π

4 +k2π

3 +isin

π

4 +k2π

z0 =

6

√

2cos π

12 +isin

π

12

;

z1 =

6

√

2cos9π

12 +isin 9π

12

;

z2 =

6

√

2

cos17π

12 +isin 17π

12

(121)

3 Căn số phức

1 +i=√2cosπ

4 +isin

π

4

zk =

6

√

2cos

π

4 +k2π

3 +isin

π

4 +k2π

z0 =

6

√

2cos π

12 +isin

π

12

;

z1 =

6

√

2cos9π

12 +isin 9π

12

;

z2 =

6

√

2

cos17π

12 +isin 17π

12

(122)

3 Căn số phức Căn bậc hai số phức

Định lý Cho số phức u=a+ib6= Khi u có bậc hai đối z=x+iy,

   

  

x2 = a+

√ a2+b2

2 ;

y2 = −a− √

a2+b2

2

Hơn nữa, tích số xy luôn dấu với b (nếu b6= 0)

Ví dụ Tìm bậc hai số phức z= + 4i

Giải.Ta cóa= 3, b= 4.Suy  



x2 = 4;

y2 = 1;

(123)

   

  

x2 = a+

√ a2+b2

2 ;

y2 = −a− √

a2+b2

2

Hơn nữa, tích số xy ln ln dấu với b (nếu b6= 0)



x2 = 4;

y2 = 1;

xy > (vìb= 4>0) Vậy bậc hai củazlà z1 =−2−i; z2 = +i

(124)

   

  

x2 = a+

√ a2+b2

2 ;

y2 = −a− √

a2+b2

2



x2 = 4;

y2 = 1;

(125)

   

  

x2 = a+

√ a2+b2

2 ;

y2 = −a− √

a2+b2

2



x2 = 4;

y2 = 1;

(126)

   

  

x2 = a+

√ a2+b2

2 ;

y2 = −a− √

a2+b2

2



x2 = 4;

y2 = 1;

(127)

   

  

x2 = a+

√ a2+b2

2 ;

y2 = −a− √

a2+b2

2

Giải.Ta cóa= 3, b=

Suy  



x2 = 4;

y2 = 1;

(128)

   

  

x2 = a+

√ a2+b2

2 ;

y2 = −a− √

a2+b2

2



x2 = 4;

y2 = 1;

xy > (vìb= 4>0)

(129)

   

  

x2 = a+

√ a2+b2

2 ;

y2 = −a− √

a2+b2

2



x2 = 4;

y2 = 1;

(130)

   

  

x2 = a+

√ a2+b2

2 ;

y2 = −a− √

a2+b2

2



x2 = 4;

y2 = 1;

(131)

3 Căn số phức Phương trình bậc hai

Định lý Phương trình bậc hai az2+bz+c= vớia, b, c∈C, a6= 0, ln ln có nghiệm định

z= −b±

√

∆

2a , ∆ =b

2−4ac,

với quy ước √∆là hai bậc hai số phức ∆

Ví dụ Giải phương trình phức

2z2+ (2i+ 1)z+ 8i+ 11 = Giải.Ta có

∆ =b2−4ac= (2i+ 1)2−4.2(8i+ 11) = −91−60i

(132)

z= −b±

√

∆

2a , ∆ =b

2−4ac,

2z2+ (2i+ 1)z+ 8i+ 11 = Giải.Ta có

(133)

z= −b±

√

∆

2a , ∆ =b

2−4ac,

2z2+ (2i+ 1)z+ 8i+ 11 = Giải.Ta có

∆ =b2−4ac= (2i+ 1)2−4.2(8i+ 11) = −91−60i

(134)

z= −b±

√

∆

2a , ∆ =b

2−4ac,

2z2+ (2i+ 1)z+ 8i+ 11 =

Giải.Ta có

(135)

z= −b±

√

∆

2a , ∆ =b

2−4ac,

2z2+ (2i+ 1)z+ 8i+ 11 = Giải.Ta có

∆ =b2−4ac=

(2i+ 1)2−4.2(8i+ 11) = −91−60i

(136)

z= −b±

√

∆

2a , ∆ =b

2−4ac,

2z2+ (2i+ 1)z+ 8i+ 11 = Giải.Ta có

∆ =b2−4ac= (2i+ 1)2−4.2(8i+ 11) =

(137)

z= −b±

√

∆

2a , ∆ =b

2−4ac,

2z2+ (2i+ 1)z+ 8i+ 11 = Giải.Ta có

∆ =b2−4ac= (2i+ 1)2−4.2(8i+ 11) = −91−60i

(138)

3 Căn số phức

Gọiz=x+iy bậc hai của∆ =−91−60i Khi

x2 = −91 +

√

912+ 602

2 = 9;

y2 = −−91− √

912+ 602

2 = 100

xy < (cùng dấu với−60)

Vậyz=±(3−10i) bậc hai của∆ =−91−60i Suy nghiệm phương trình cho

z1 =

−b+√∆

2a =

−(2i+ 1) + (3−10i)

2.2 =

1 −3i;

z2 =

−b−√∆

2a =

−(2i+ 1)−(3−10i)

(139)

3 Căn số phức

Gọiz=x+iy bậc hai của∆ =−91−60i Khi x2 = −91 +

√

912+ 602

2 = 9;

y2 = −−91− √

912+ 602

2 = 100

z1 =

−b+√∆

2a =

−(2i+ 1) + (3−10i)

2.2 =

1 −3i;

z2 =

−b−√∆

2a =

−(2i+ 1)−(3−10i)

2.2 =−1 + 2i

(140)

3 Căn số phức

√

912+ 602

2 = 9;

y2 = −−91− √

912+ 602

2 = 100

z1 =

−b+√∆

2a =

−(2i+ 1) + (3−10i)

2.2 =

1 −3i;

z2 =

−b−√∆

2a =

−(2i+ 1)−(3−10i)

(141)

3 Căn số phức

√

912+ 602

2 = 9;

y2 = −−91− √

912+ 602

2 = 100

z1 =

−b+√∆

2a =

−(2i+ 1) + (3−10i)

2.2 =

1 −3i;

z2 =

−b−√∆

2a =

−(2i+ 1)−(3−10i)

2.2 =−1 + 2i

(142)

3 Căn số phức

√

912+ 602

2 = 9;

y2 = −−91− √

912+ 602

2 = 100

z1 =

−b+√∆

2a =

−(2i+ 1) + (3−10i)

2.2 =

1 −3i;

z2 =

−b−√∆

2a =

−(2i+ 1)−(3−10i)

(143)

3 Căn số phức

√

912+ 602

2 = 9;

y2 = −−91− √

912+ 602

2 = 100

z1 =

−b+√∆

2a =

−(2i+ 1) + (3−10i)

2.2 =

1 −3i;

z2 =

−b−√∆

2a =

−(2i+ 1)−(3−10i)

2.2 =−1 + 2i

(144)

3 Căn số phức

√

912+ 602

2 = 9;

y2 = −−91− √

912+ 602

2 = 100

z1 =

−b+√∆

2a =

−(2i+ 1) + (3−10i)

2.2 =

1 −3i;

z2 =

−b−√∆

2a =

−(2i+ 1)−(3−10i)

(145)

3 Căn số phức

√

912+ 602

2 = 9;

y2 = −−91− √

912+ 602

2 = 100

z1 =

−b+√∆

2a =

−(2i+ 1) + (3−10i)

2.2 =

1 −3i;

z2 =

−b−√∆

2a =

−(2i+ 1)−(3−10i)

2.2 =−1 + 2i

(146)

3 Căn số phức

√

912+ 602

2 = 9;

y2 = −−91− √

912+ 602

2 = 100

z1 =

−b+√∆

2a =

−(2i+ 1) + (3−10i)

2.2 =

1 −3i;

z2 =

−b−√∆

2a =

−(2i+ 1)−(3−10i)

(147)

3 Căn số phức Ví dụ Giải phương trình phức

144z2+ 192z+ 73 =

Giải.Ta có

∆0 =b02−ac= 962−144.73 =−1296

Vậy√∆0=√−1296 =p(36i)2=±36i Suy nghiệm phương

trình cho

z= −b

0±√∆0

a =

−96±36i

144 = −

2 3±

1 4i

Ví dụ Giải phương trình

z2−2z+ =

Giải.Đặt z=x+iy Ta viết lại phương trình cho dạng

(x2−y2+ 2ixy)−2(x−iy) + =

hay

(x2−y2−2x+ 1) + 2i(x+ 1)y=

(148)

144z2+ 192z+ 73 = Giải.Ta có

∆0 =b02−ac= 962−144.73 =−1296

trình cho

z= −b

0±√∆0

a =

−96±36i

144 = −

2 3±

1 4i

z2−2z+ =

(x2−y2+ 2ixy)−2(x−iy) + =

hay

(149)

144z2+ 192z+ 73 = Giải.Ta có

∆0 =b02−ac= 962−144.73 =−1296

trình cho

z= −b

0±√∆0

a =

−96±36i

144 = −

2 3±

1 4i

z2−2z+ =

(x2−y2+ 2ixy)−2(x−iy) + =

hay

(x2−y2−2x+ 1) + 2i(x+ 1)y=

(150)

144z2+ 192z+ 73 = Giải.Ta có

∆0 =b02−ac= 962−144.73 =−1296

trình cho

z= −b

0±√∆0

a =

−96±36i

144 = −

2 3±

1 4i

z2−2z+ =

(x2−y2+ 2ixy)−2(x−iy) + =

hay

(151)

144z2+ 192z+ 73 = Giải.Ta có

∆0 =b02−ac= 962−144.73 =−1296

trình cho

z= −b

0±√∆0

a =

−96±36i

144 =

−2

3± 4i

z2−2z+ =

(x2−y2+ 2ixy)−2(x−iy) + =

hay

(x2−y2−2x+ 1) + 2i(x+ 1)y=

(152)

144z2+ 192z+ 73 = Giải.Ta có

∆0 =b02−ac= 962−144.73 =−1296

trình cho

z= −b

0±√∆0

a =

−96±36i

144 = −

2 3±

1 4i

z2−2z+ =

(x2−y2+ 2ixy)−2(x−iy) + =

hay

(153)

144z2+ 192z+ 73 = Giải.Ta có

∆0 =b02−ac= 962−144.73 =−1296

trình cho

z= −b

0±√∆0

a =

−96±36i

144 = −

2 3±

1 4i

z2−2z+ =

(x2−y2+ 2ixy)−2(x−iy) + =

hay

(x2−y2−2x+ 1) + 2i(x+ 1)y=

(154)

144z2+ 192z+ 73 = Giải.Ta có

∆0 =b02−ac= 962−144.73 =−1296

trình cho

z= −b

0±√∆0

a =

−96±36i

144 = −

2 3±

1 4i

z2−2z+ =

(x2−y2+ 2ixy)−2(x−iy) + =

hay

(155)

144z2+ 192z+ 73 = Giải.Ta có

∆0 =b02−ac= 962−144.73 =−1296

trình cho

z= −b

0±√∆0

a =

−96±36i

144 = −

2 3±

1 4i

z2−2z+ =

(x2−y2+ 2ixy)−2(x−iy) + =

hay

(x2−y2−2x+ 1) + 2i(x+ 1)y=

(156)

144z2+ 192z+ 73 = Giải.Ta có

∆0 =b02−ac= 962−144.73 =−1296

trình cho

z= −b

0±√∆0

a =

−96±36i

144 = −

2 3±

1 4i

z2−2z+ =

(157)

3 Căn số phức

(x2−y2+ 2ixy)−2(x−iy) + =

hay

(x2−y2−2x+ 1) + 2i(x+ 1)y=

⇐⇒

x2−y2−2x+ = 0; (1) (x+ 1)y= (2)

Từ (2) ⇒

x = −1

y =

• x=−1, (1) trở thành4−y2 = 0⇔y =±2 • y= 0, (1 ) trở thànhx2−2x+ = 0⇔x= Vậy phương trình có3 nghiệm

z1 =−1 + 2i; z2 =−1−2i; z3 =

(158)

3 Căn số phức

(x2−y2+ 2ixy)−2(x−iy) + =

hay

(x2−y2−2x+ 1) + 2i(x+ 1)y=

⇐⇒

x2−y2−2x+ = 0; (1) (x+ 1)y= (2)

Từ (2) ⇒

x = −1

y =

(159)

3 Căn số phức

(x2−y2+ 2ixy)−2(x−iy) + =

hay

(x2−y2−2x+ 1) + 2i(x+ 1)y=

⇐⇒

x2−y2−2x+ = 0; (1) (x+ 1)y= (2)

Từ (2) ⇒

x = −1

y =

z1 =−1 + 2i; z2 =−1−2i; z3 =

(160)

3 Căn số phức

(x2−y2+ 2ixy)−2(x−iy) + =

hay

(x2−y2−2x+ 1) + 2i(x+ 1)y=

⇐⇒

x2−y2−2x+ = 0; (1) (x+ 1)y= (2)

Từ (2) ⇒

x = −1

y =

• x=−1, (1) trở thành4−y2 = 0⇔y =±2

• y= 0, (1 ) trở thànhx2−2x+ = 0⇔x= Vậy phương trình có3 nghiệm

(161)

3 Căn số phức

(x2−y2+ 2ixy)−2(x−iy) + =

hay

(x2−y2−2x+ 1) + 2i(x+ 1)y=

⇐⇒

x2−y2−2x+ = 0; (1) (x+ 1)y= (2)

Từ (2) ⇒

x = −1

y =

• x=−1, (1) trở thành4−y2 = 0⇔y =±2 • y= 0, (1 ) trở thànhx2−2x+ = 0⇔x=

Vậy phương trình có3 nghiệm

z1 =−1 + 2i; z2 =−1−2i; z3 =

(162)

3 Căn số phức

(x2−y2+ 2ixy)−2(x−iy) + =

hay

(x2−y2−2x+ 1) + 2i(x+ 1)y=

⇐⇒

x2−y2−2x+ = 0; (1) (x+ 1)y= (2)

Từ (2) ⇒

x = −1

y =

(163)

4 Định lý Đại số 4 Định lý Đại số

Bổ đề Cho f(x)∈R[x]là đa thức với hệ số thực Giả sử α ∈Clà nghiệm f(x) Khi α nghiệm f(x)

Định lý.[Định lý Đại số]

Mọi đa thức bậc lớn hay với hệ số phức có nghiệm phức

Định lý Nếu f(x)∈R[x]và bậc f(x)lớn hay thìf(x)

có thể phân tích thành tích đa thức R[x]có bậc tối đa

Ví dụ Giải phương trìnhz4+ 4z3+ 11z2+ 14z+ 10 = Biết phương trình có nghiệm z1=−1 +i

(164)

(165)

(166)

(167)

(168)

4 Định lý Đại số

Giải.Nhận xét z1=−1 +ilà nghiệm phương trình

z2 =−1−icũng nghiệm phương trình

Ta có

(z−z1) (z−z2) = (z+ 1−i) (z+ +i) =z2+ 2z+

Chia đa thức ta

z4+ 4z3+ 11z2+ 14z+ 10 = z2+ 2z+

z2+ 2z+ Phương trìnhz2+ 2z+ = 0có hai nghiệm −1±2i Vậy phương trình ban đầu có nghiệm

(169)

Ta có

(z−z1) (z−z2) =

(z+ 1−i) (z+ +i) =z2+ 2z+

Chia đa thức ta

z4+ 4z3+ 11z2+ 14z+ 10 = z2+ 2z+

−1 +i; −1−i; −1−2i; −1 + 2i

(170)

Ta có

(z−z1) (z−z2) = (z+ 1−i) (z+ +i)

=z2+ 2z+ Chia đa thức ta

z4+ 4z3+ 11z2+ 14z+ 10 = z2+ 2z+

(171)

Ta có

(z−z1) (z−z2) = (z+ 1−i) (z+ +i) =z2+ 2z+

Chia đa thức ta

z4+ 4z3+ 11z2+ 14z+ 10 = z2+ 2z+

−1 +i; −1−i; −1−2i; −1 + 2i

(172)

Ta có

(z−z1) (z−z2) = (z+ 1−i) (z+ +i) =z2+ 2z+

Chia đa thức ta

z4+ 4z3+ 11z2+ 14z+ 10 = z2+ 2z+

z2+ 2z+

Phương trìnhz2+ 2z+ = 0có hai nghiệm −1±2i Vậy phương trình ban đầu có nghiệm

(173)

Ta có

(z−z1) (z−z2) = (z+ 1−i) (z+ +i) =z2+ 2z+

Chia đa thức ta

z4+ 4z3+ 11z2+ 14z+ 10 = z2+ 2z+

z2+ 2z+ Phương trìnhz2+ 2z+ = 0có hai nghiệm −1±2i

Vậy phương trình ban đầu có nghiệm

−1 +i; −1−i; −1−2i; −1 + 2i

(174)

Ta có

(z−z1) (z−z2) = (z+ 1−i) (z+ +i) =z2+ 2z+

Chia đa thức ta

z4+ 4z3+ 11z2+ 14z+ 10 = z2+ 2z+