Chuyên đề Số phức - Đại số tổ hợp (Trường THPT Tân Quới)

Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận  làm nghiệm biết: a.. Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo: a.[r]

Trường THPT Tân Quới Chuyên đề SỐ PHỨCĐẠI SỐ TỔ HỢP I SỐ PHỨC A LÝ THUYẾT I Dạng đại số (vẫn còn nhớ) II Dạng lượng giác số phức z  r  cos   i sin   (r > 0) là dạng lương giác z = a + bi (a, b  R, z  0) * r  a  b là môđun z a  cos   r *  là acgumen z thỏa  sin   b  r Nhân chia số phức dạng lượng giác Nếu z  r  cos   i sin   , z '  r '  cos  ' i sin  ' thì: * z.z '  r.r ' cos    '  i sin    '  * z r  cos    '  i sin    '  z' r' n Công thức Moivre: n  N * thì  r  cos   i sin     r n  cos n  i sin n  Căn bậc hai số phức dạng lượng giác       Căn bậc hai số phức z  r  cos   i sin   (r > 0) là r  cos  i sin  và  r  cos  i sin  2 2   B BÀI TẬP (ĐH_Khối A 2009) 2 Gọi z1, z2 là hai nghiệm phương trình z2+2z+10=0 Tính giá trị biểu thức A  z1  z ĐS: A=20 Cho z1, z2 là các nghiệm phức phương trình z  z  11  Tính giá trị biểu thức A z1  z2  z1  z2  2 ĐS: A=11/4 (CĐ_Khối A 2009) a Số phức z thỏa mãn (1+i)2(2i)z=8+i+(1+2i)z Tìm phần thực, phần ảo z z   7i  z  2i b Giải phương trình sau trên tập số phức: z i ĐS: a a=2, b=3 b z=1+2i, z=3+i Tìm số phức z thoả mãn: z   i  Biết phần ảo nhỏ phần thực đơn vị     ĐS: z     i, z     i (ĐH_Khối B 2009) Tìm số phức z thỏa mãn z  2  i   10 và z.z  25 ĐS: z=3+4i z=5  z 1  z i 1  Tìm số phức z thỏa mãn:   z  3i   z  i HD: Gọi z=x+yi; (1)x=y, (2)y=1 1  2 ĐS: z=1+i Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC Lop12.net Trường THPT Tân Quới  zi Giải phương trình:     z i  ĐS: z{0;1;1} Giải phương trình: z  z  HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình  x, y  z ĐS: z{0;i;i} Giải phương trình: z  z  HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình  x, y  z ĐS: z=0, z=1, z   i 2 z2  z   10 Giải phương trình: z  z  HD: Chia hai vế phương trình cho z2 1 ĐS: z=1±i, z    i 2 11 Giải phương trình: z5 + z4 + z3 + z2 + z + =0 HD: Đặt thừa số chung 3  i, z    i 2 2 12 Cho phương trình: (z + i)(z22mz+m22m)=0 Hãy xác định điều kiện tham số m cho phương trình: a Chỉ có đúng nghiệm phức b Chỉ có đúng nghiệm thực c Có ba nghiệm phức 13 Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận  làm nghiệm biết: a  = 25i b  = 2i c  = - i 14 Giải phương trình sau biết chúng có nghiệm ảo: a z3iz22iz2 = b z3+(i3)z2+(44i)z7+4i = 15 (ĐH_Khối D 2009) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thõa mãn điều kiện z  3  4i   ĐS: z  1, z  ĐS: (x3)2+(y+4)2=4 16 Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức: z  i  z  z  2i ĐS: y  x2 Tìm số phức z có môđun nhỏ 2 HD: *Gọi z=x+yi z   3i   …   x     y  3  * Vẽ hình |z|min z 26  13 78  13  i ĐS: z  13 26 18 Tìm phần thực, phần ảo các số phức sau: (1  i)10    a b  cos  i sin  i5  i 3  i 17 Trong các số phức thỏa mãn z   3i      HD: Sử dụng công thức Moivre ĐS: a Phần thực  , phần ảo 0, b Phần thực 0, phần ảo 128 16 Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC Lop12.net Trường THPT Tân Quới 19 Tìm phần thực và phần ảo số phức sau: 1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+ … + (1+i)20 HD: Áp dụng công thức tính tổng CSN ĐS: phần thực 210, phần ảo: 210+1 II ĐẠI SỐ TỔ HỢP A LÝ THUYẾT Giai thừa: n!= n.(n1)!=n.(n1).(n2) … 3.2.1, n≥0 n! Số chỉnh hợp chập k n phần tử: Ank  , n≥k>0 n  k ! n! Số tổ hợp chập k n phần tử: C nk  , n≥k≥0 k!n  k ! Quy ước n!=0!=1 n Nhị thức Newton a  b   C n0 a n  C n1 a n 1b  C n2 a n  b    C nn  a b n   C nn 1 ab n 1  C nn b n Công thức số hạng tổng quát: Tk 1  C nk a n  k b k , B BÀI TẬP (CĐ_Khối D 2008) 0≤k≤n 18   Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton  x   , (x>0) x  ĐS: 6528 (ĐH_Khối D 2004)   Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton  x   với x>0 x  ĐS: 35 (ĐH_Khối A 2003) n   Tìm số hạng chứa khai triển nhị thức Newton   x  , biết C nn41  C nn3  7n  3 , x  k (n nguyên dương, x>0, ( C n là số tổ hợp chập k n phần tử) ĐS: 495 (ĐH_Khối D 2005) A  An3 Tính giá trị biểu thức M  n 1 , biết C n21  2C n2  2C n23  C n2  149 (n là số nguyên n  1! dương, Ank là số chỉnh hợp chập k n phần tử và C nk là số tổ hợp chập k n phần tử) ĐS: M  (ĐH_Khối A 2006) x8 n   Tìm số hạng chứa x26 khai triển nhị thức Newton   x  , biết x  n 20 k C n 1  C n 1    C n 1   , (n nguyên dương và C n là số tổ hợp chập k n phần tử) ĐS: 210 (ĐH_Khối D 2008) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức C 21n  C 23n    C 22nn 1  2048 ( C nk là số tổ hợp chập k n phần tử) ĐS: n=6 (ĐH_Khối D 2007) Tìm hệ số x5 khai triển thành đa thức x(12x)5+x2(1+3x)10 ĐS: 3320 (ĐH_Khối D 2003) Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC Lop12.net Trường THPT Tân Quới Với n là số nguyên dương, gọi a3n3 là hệ số x3n3 khai triển thành đa thức (x2+1)n(x+2)n Tìm n để a3n3=26n ĐS: n=5 (ĐH_Khối D 2002) Tìm số nguyên dương n cho Cn0  2C1n  4Cn2    2n Cnn  243 ĐS: n=5 10 (ĐH_Khối B 2008) n 1  1   k  k 1   k (n, k là các số nguyên dương, k≤n, C nk là số tổ hợp chập k Chứng minh n   C n 1 C n 1  C n n phần tử) 11 (ĐH_Khối B 2007) Tìm hệ số số hạng chứa x10 khai triển nhị thức Newton (2+x)n, biết: 3nCn03n1Cn1+3n2Cn23n3Cn3+ … +(1)nCnn=2048 (n là số nguyên dương, C nk là số tổ hợp chập k n phần tử) ĐS: 22 12 (ĐH_Khối B 2006) Cho tập A gồm n phần tử (n≥4) Biết rằng, số tập gồm phần tử A 20 lần số tập gồm phần tử A Tìm k{1,2,…,n} cho số tập gồm k phần tử cua A lớn ĐS: k=9 13 (ĐH_Khối B 2003) 2  1 23  2 n 1  n Cn  Cn    C n , ( C nk là số tổ hợp chập Cho n là số nguyên dương Tính tổng C n0  n 1 k n phần tử) n 1  n 1 ĐS: n 1 14 (ĐH_Khối B 2002) Cho đa giác A1A2…An (n≥2, n nguyên) nội tiếp đường tròn tâm (O) Biết số tam giác có các đỉnh là 2n điểm A1A2…An nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 2n điểm A1A2…An, tìm n ĐS: n=8 15 (ĐH_Khối A 2008) Cho khai triển (1+2x)n=a0+a1x+ … +anxn, đó nN* và các hệ số a0, a1,…an thỏa mãn hệ thức a a a     nn  4096 Tìm số lớn các số a0, a1,…an 2 ĐS: a8=126720 16 (ĐH_Khối A 2007) Chứng minh 1 1 2n 1 22n  C2n  C23n  C25n    C2n  , ( C nk là số tổ hợp chập k n phần 2n 2n  tử) 17 (ĐH_Khối A 2005) Tìm số nguyên dương n cho C 21n 1  2.2C 22n 1  3.2 C 23n 1  4.2 C 24n 1    2n  1.2 n C 22nn11  2005 , ( C nk là số tổ hợp chập k n phần tử) ĐS: n=1002 18 (ĐH_Khối A 2004) Tìm hệ số x8 khai triển thành đa thức [1+x2(1x)]8 ĐS: 238 Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC Lop12.net Trường THPT Tân Quới 19 (ĐH_Khối A 2002) Cho khai triển nhị thức n n n 1 n 1 n x  x21   x   x 1   x 1    x   x 1   x      C n0  2   C n1  2       C nn 1  2    C nn                             (n là số nguyên dương) Biết khai triển đó C n  5C n và số hạng thứ 20n, tìm n và x ĐS: n=7, x=4 20 Cho số phức z=1+i a Viết khai triển nhị thức Newton nhị thức (1+i)n b Tính các tổng S1=1Cn2+Cn4Cn6+… S2=Cn1Cn3+Cn5… 21 Chứng minh C1000–C1002+C1004–C1006+ … –C10098+C100100=–250 o0o Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC Lop12.net