Đang tải... (xem toàn văn)
BÀI TOÁN MAX – MIN SỐ PHỨC Gv Lương Văn Huy Giaovienvietnam com CỰC TRỊ SỐ PHỨC Kỹ năng Phương pháp đại số Phương pháp hình học Phương pháp bđt modun Phương pháp casio Một số tính chất cần nhớ 1 Môđun của số phức Số phức được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy Độ dài của véctơ được gọi là môđun của số phức z Kí hiệu Tính chất ( ( ( ( ( Chú ý Lưu ý dấu bằng xảy ra dấu bằng xảy ra dấu bằng xảy ra dấu bằng xảy ra EMBED Equation DSMT4 2 Một số quỹ tích nên nhớ Biểu thức liên hệ Quỹ tích đ[.]
Giaovienvietnam.com Gv: Lương Văn Huy CỰC TRỊ SỐ PHỨC Kỹ năng: • Phương • Phương • Phương • Phương pháp pháp pháp pháp đại số hình học bđt modun casio Một số tính chất cần nhớ Mơđun số phức: Số phức z = a+ bi biểu diễn điểm M(a; b) mặt phẳng Oxy Độ dài uuuur véctơ OM gọi môđun số phức z Kí hiệu z = a + bi = a + b Tính chất uuuur • z = a2 + b2 = zz = OM • z ≥ 0, ∀z ∈ £ , z = ⇔ z = • z.z' = z z' z z = ,( z' ≠ 0) z' z ' • • z − z' ≤ z ± z' ≤ z + z ' • kz = k z , k∈ ¡ 2 Chú ý: z2 = a2 − b2 + 2abi = (a2 − b2 )2 + 4a2b2 = a2 + b2 = z = z = z.z Lưu ý: • z1 + z2 ≤ z1 + z2 dấu xảy ⇔ z1 = kz2 ( k ≥ 0) • • z1 − z2 ≤ z1 + z2 dấu xảy ⇔ z1 = kz2 ( k ≤ 0) z1 + z2 ≥ z1 − z2 dấu xảy ⇔ z1 = kz2 ( k ≤ 0) • z1 − z2 ≥ z1 − z2 dấu xảy ⇔ z1 = kz2 ( k ≥ 0) • z1 + z2 + z1 − z2 = z1 + z2 • z = z z= z 2 2 ( z − a− bi = z − c − di (2) ) ∀z ∈ £ 2.Một số quỹ tích nên nhớ Biểu thức liên hệ x, y ax + by + c = (1) ( x − a) + ( y − b) Quỹ tích điểm M (1)Đường thẳng ∆:ax + by + c = (2) Đường trung trực đoạn AB với A ( a,b) , B( c,d) ( ) = R2 Đường trịn tâm I ( a; b) , bán kính R ≤ R2 Hình trịn tâm I ( a; b) , bán kính R z − a− bi = R ( x − a) + ( y − b) z − a− bi ≤ R r ≤ ( x − a) + ( y − b) ≤ R2 r ≤ z − a− bi ≤ R Hình vành khăn giới hạn hai đường tròn đồn tâm I ( a; b) , bán kính Giaovienvietnam.com Gv: Lương Văn Huy r , R Parabol y = ax + bx + c ( c ≠ 0) x = ay + by + c ( x + a) 2 ( y + c) + 2 ( 1) = 1( 1) b d z − a1 − bi + z − a2 − b2i = 2a ( x + a) b2 ( y + c) − d2 Elip ( 2) Elip 2a > AB , A ( a1 ,b1 ) , B( a2 ,b2 ) Đoạn AB 2a = AB Hypebol =1 Một số dạng đặc biệt cần lưu ý: Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường thẳng TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z − a − bi = z , tìm z Min Khi ta có ( ) Quỹ tích điểm M x;y biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn OA với A ( a;b) 1 2 z Min = z0 = a + b z = a + bi 2 TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z − a− bi = z − c − di Tìm z Ta có ( ) Quỹ tích điểm M x;y biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn AB với A ( a;b) ,B( c;d ) z Min = d( O , AB) = a2 + b2 − c2 − d2 ( a− c) + ( b− d) 2 Lưu ý: Đề suy biến tốn thành số dạng, ta cần thực biến đổi để đưa dạng Ví dụ 1: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z − a− bi = z − c − di Khi ta biến đổi z − a− bi = z − c − di ⇔ z − a+ bi = z − c − di Cho số phức thỏa mãn điều kiện iz − a− bi = z − c − di Khi ta biến đổi iz − a− bi = iz − c − di ⇔ z + −a− bi −c − di = z+ ⇔ z + b+ = z + d + ci i i Giaovienvietnam.com Gv: Lương Văn Huy Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường tròn ( ) TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − a − bi = R > z − z0 = R Tìm z Max , z Min Ta có ( ) ( ) Quỹ tích điểm M x;y biểu diễn số phức z đường tròn tâm I a;b bán kính R 2 z Max = OI + R = a + b + R = z0 + R 2 z Min = OI − R = a + b − R = z0 − R Lưu ý: Đề cho dạng khác, ta cần thực phép biến đổi để đưa dạng Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz − a − bi = R ⇔ z + −a − bi R = (Chia hai i i vế cho i ) ⇔ z + b + = R Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − a − bi = R ⇔ z − a + bi = R (Lấy liên hợp vế) Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( c + di ) z − a − bi = R ⇔ z + −ca+−dibi Hay viết gọn z0z − z1 = R ⇔ z − = R R = c + di c2 + d2 z1 R = (Chia hai vế cho z0 ) z0 z0 Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức Elip ( ) TQ1: (Elip tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − c + z + c = 2a, a > c Khi ta có x2 Quỹ tích điểm M x;y biểu diễn số phức z Elip: + ( ) a y2 =1 a2 − c2 z Max = a 2 z Min = a − c TQ2: (Elip khơng tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − z1 + z − z2 = 2a Thỏa mãn 2a > z1 − z2 Khi ta thực phép biến đổi để đưa Elip dạng tắc (Kỹ thuật đổi hệ trục tọa độ) Gv: Lương Văn Huy Giaovienvietnam.com Ta có ( ) Khi đề cho Elip dạng khơng tắc z − z1 + z − z2 = 2a, z1 − z < 2a z1 ,z2 ≠ ± c, ±ci ) Tìm Max, Min P = z − z0 z1 − z2 = 2c 2 b = a − c Đặt Nếu z0 − z1 + z2 =0 z1 + z2 >a z0 − Nếu z − z = k ( z − z ) z1 + z2 c) ta ln có Giaovienvietnam.com Gv: Lương Văn Huy 2 y x Tập hợp điểm biểu diễn z Elip + 2 = a a −c z Max = a 2 z Min = a − c Câu 3: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho số phức z thỏa mãn z − − 3i = Giá trị lớn z + 1+ i A 13 + C Hướng dẫn giải B D 13 + Chọn D Cách 1: Gọi z = x + yi ta có z − − 3i = x + yi − − 3i = x − 2+ ( y − 3) i Theo giả thiết ( x − 2) + ( y − 3) = nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm 2 đường tròn tâm I ( 2;3) bán kính R = Ta có z + 1+ i = x − yi + 1+ i = x + 1+ ( 1− y) i = Gọi M ( x; y) H ( −1;1) HM = ( x + 1) + ( y − 1) ( x + 1) + ( y − 1) 2 Do M chạy đường tròn, H cố định nên MH lớn M giao HI với đường tròn x = + 3t Phương trình HI : , giao HI đường tròn ứng với t thỏa mãn: y = 3+ 2t ;3+ ;3− nên M + ÷, M − ÷ 13 13 13 13 13 Tính độ dài MH ta lấy kết HM = 13 + 9t2 + 4t2 = ⇔ t = ± Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z − − 3i = Giá trị lớn w = z + 1+ i ( ) Ta có z − 2− 3i = 1⇔ z − 2+ 3i = 1⇔ z + 1+ i − 3+ 2i = 1⇔ w − 3+ 2i = (Đường tròn tâm I ( 3, −2) , R = ) Vậy w Max = OI + R = 32 + 22 + 1= 1+ 13 Lưu ý: Cho số phức z thỏa mãn z − a− bi = R > 0, ta có quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường tròn I ( a,b) ,bk = R ) 2 z Max = OI + R = a + b + R 2 z Min = OI − R = a + b − R Ngồi ta ln có cơng thức biến đổi z − a− bi = z − a+ bi Giaovienvietnam.com Gv: Lương Văn Huy Câu 4: (BIÊN HÒA – HÀ NAM) Cho số phức z thỏa mãn z ≤ Đặt A = 2z − i Mệnh đề + iz sau đúng? A A ≤ B A ≥ C A < D A > Hướng dẫn giải Chọn A 2 Cách 1: Đặt Có a = a+ bi , ( a, b∈ ¡ ) ⇒ a + b ≤ (do z ≤ 1) 2a+ ( 2b− 1) i 4a2 + ( 2b+ 1) 2z − i A = = = 2 + iz 2− b+ ( 2− b) + a2 Ta chứng minh 4a2 + ( 2b+ 1) ( 2− b) + a 4a + ( 2b+ 1) ( 2− b) + a Thật ta có 2 2 2 ≤ ≤ ⇔ 4a2 + ( 2b+ 1) ≤ ( − b) + a2 ⇔ a2 + b2 ≤ 2 Dấu “=” xảy a2 + b2 = Vậy A ≤ Cách : Trắc nghiệm z=1 2z − i = ⇒ A ≤1 Chọn 1⇒ A = + iz 34 < z= 17 Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn z = Tìm giá trị lớn biểu thức A = 1+ A 5i z B C D Hướng dẫn giải 5i 5i ≤ 1+ = 1+ = Khi z = i ⇒ A = Cách 1: Ta có: A = 1+ z z z ⇒ Chọn đáp án C z + 5i 5i = = z + 5i Cách 2: A = 1+ z z Theo z = ⇔ z + 5i − 5i = 1⇔ z + 5i Max = 52 + 1= Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn z = Tìm giá trị lớn M max giá trị nhỏ M biểu thức M = z + z + + z + A M max = 5; M = B M max = 5; M = C M max = 4; M = D M max = 4; M = Hướng dẫn giải Giaovienvietnam.com Gv: Lương Văn Huy Ta có: M ≤ z + z + 1+ z + = , z = 1⇒ M = ⇒ M max = Mặt khác: M = 1− z3 1− z + 1+ z ≥ 1− z3 + 1+ z3 ≥ 1− z3 + 1+ z3 = 1, z = −1⇒ M = 1⇒ M = ⇒ Chọn đáp án A Câu 7: Cho số phức z thỏa z ≥ 2 Tìm tích giá trị lớn nhỏ biểu thức P= z+ i z A B C 2 D Hướng dẫn giải i i 1 ≤ Mặt khác: 1+ ≥ 1− ≥ Ta có P = 1+ ≤ 1+ z | z| z | z| Vậy, giá trị nhỏ P là , xảy z = −2i ; giá trị lớn P xảy z = 2i ⇒ Chọn đáp án A Câu 8: Cho số phức z thỏa mãn z − 1+ 2i = Tìm môđun lớn số phức z − 2i A B C 26 + 17 D 26 − 17 Hướng dẫn giải Cách 1: Gọi z = x + yi ; ( x ∈ ¡ ; y ∈ ¡ ) ⇒ z − 2i = x + ( y − 2) i Ta có: 26 + 17 26 − 17 z − 1+ 2i = ⇔ ( x − 1) + ( y + 2) = 2 Đặt x = 1+ 3sin t; y = −2 + 3cost; t ∈ 0;2π ⇒ z − 2i = ( 1+ 3sin t ) + ( −4+ 3cost ) = 26 + 6( sin t − 4cost ) = 26 + 17sin ( t + α ) ; ( α ∈ ¡ ) 2 ⇒ 26 − 17 ≤ z − 2i ≤ 26 + 17 ⇒ z − 2i max = 26+ 17 = 3+ 17 ⇒ Chọn đáp án A Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z − 1+ 2i = Tìm môđun lớn số phức z − 2i Ta có z − 1+ 2i = ⇔ ( z − 2i ) − 1+ 4i = ⇒ z Max = 12 + 42 + = 3+ 17 (đáp án A) Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = 1+ z + 1− z A 15 B C 20 Hướng dẫn giải D 20 Giaovienvietnam.com Gv: Lương Văn Huy Cách 1: Gọi z = x + yi ; ( x ∈ ¡ ; y ∈ ¡ ) Ta có: z = 1⇒ x2 + y2 = 1⇒ y2 = 1− x2 ⇒ x∈ − 1;1 ( 1+ x) + y + ( 1− x) + y = 2( 1+ x) + 2( 1− x) 2( 1+ x) + 2( 1− x) ; x ∈ − 1;1 1;1 Hàm số liên tục − Ta có: P = 1+ z + 1− z = Xét hàm số f ( x) = với x ∈ ( −1;1) ta có: f ′ ( x) = Ta có: ff( 1) = 2; 2( 1+ x) ( −1) = 6; f − 45 ÷ = ⇒ Chọn đáp án D Cách 2: (Casio) 2 − = ⇔ x = − ∈ ( −1;1) 2( 1− x) 20 ⇒ Pmax = 20 x = sin t Từ z = 1, đặt z = x + yi ⇒ Thay vào P dùng mode đáp án D y = cost Cách 3: Hình học (Xem video live thầy) Câu 10: Cho số phức z thỏa mãn z = Gọi M mlần lượt giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = z + + z − z + Tính giá trị M m A 13 B 39 C 3 D 13 Hướng dẫn giải Gọi z = x + yi ; ( x ∈ ¡ ; y ∈ ¡ ) Ta có: z = ⇔ z.z = Đặt t = z + , ta có = z − 1≤ z + ≤ z + 1= ⇒ t ∈ 0;2 t2 − Ta có t = ( 1+ z) ( 1+ z ) = 1+ z.z + z + z = 2+ 2x ⇒ x = 2 Suy z2 − z + = z2 − z + z.z = z z − 1+ z = ( 2x − 1) = 2x − = t2 − Xét hàm số f ( t ) = t + t − ,t ∈ 0;2 Bằng cách dùng đạo hàm, suy 13 13 ; f ( t ) = ⇒ M n = 4 ⇒ Chọn đáp án A Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + = z Khẳng định sau max f ( t ) = đúng? A 3−1 3+ ≤ z≤ 6 C − 1≤ z ≤ + B − 1≤ z ≤ + 2−1 ≤ z≤ Hướng dẫn giải D 2+1 10 Giaovienvietnam.com Gv: Lương Văn Huy Câu 67: Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z − − 4i = z − 2i Tìm số phức z có mơđun nhỏ A z = −1+ i B z = −2+ 2i C z = + 2i D 3+ 2i Lời giải Chọn C Gọi số phức z có dạng z = a+ bi z thỏa mãn z − 2− 4i = z − 2i ⇔ a− 2+ ( b− 4) i = a+ ( b− 2) i ⇔ ( a− 2) + ( b− 4) = a2 + ( b− 2) 2 ⇔ a2 − 4a+ + b2 − 8b+ 16 = a2 + b2 − 4b+ ⇔ 4a+ 4b = 16 ⇔ a+ b = Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ( )( ) 16 = ( a+ b) ≤ 12 + 12 a2 + b2 ⇒ z = a2 + b2 ≥ 2 z ≥2 a b = = ⇔ Dấu xảy 1 ⇔ a = b = ⇒ z = + 2i a+ b = Câu 68: Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z − − 4i = z − 2i Số phức z có mơ đun bé B A C 2 D Lời giải Chọn C Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) Khi z − − 4i = z − 2i ⇔ x + yi − − 4i = x + yi − 2i ⇔ ( x − 2) + ( y − 4) = x2 + ( y − 2) ⇔ −4x − 4y + 16 = ⇔ x + y − = 2 Số phức có mô đun nhỏ khoảng cách từ O đến đường thẳng ∆ : x + y − = 42 Giaovienvietnam.com Gv: Lương Văn Huy z = d( O; ∆ ) = Câu 69: = 2 (Đề Star Education) Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn z1 + z2 = z1 − z2 = Giá trị lớn biểu thức P = z1 + z2 là: A 26 B 26 D − C Lời giải Chọn A Ta gọi M , N điểm biểu diễn số phức z1 ; z2 uuuur uuur uur Từ giả thiết : z1 + z2 = ⇔ OM + ON = ⇔ OI = với I trung điểm đoạn thẳng MN uuuu r uuur z1 − z2 = ⇔ OM − ON = ⇔ MN = Ta OI = có ⇔ OM + ON = 2OI + MN = 13 ( OM + ON MN − )( ) P = z1 + z2 = OM + ON ⇒ P ≤ 12 + 12 OM + ON = 26 Vậy Pmax = 26 Câu 70: Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn z1 + z2 = z1 − z2 = Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = z1 + z2 Khi mô đun số phức M + m.i : A 76 B 76 C 10 Lời giải Chọn A Ta gọi M , N điểm biểu diễn số phức z1 ; z2 uuuur uuur D 11 uur Từ giả thiết : z1 + z2 = ⇔ OM + ON = ⇔ OI = với I trung điểm đoạn thẳng MN 43 Giaovienvietnam.com Gv: Lương Văn Huy uuuu r uuur z1 − z2 = ⇔ OM − ON = ⇔ MN = Ta có OI = MN OM + ON MN = 20 − ⇔ OM + ON = 2OI + ( )( P = z1 + z2 = OM + ON ⇒ P ≤ 12 + 12 OM + ON ) = 40 Vậy max P = 10 = M uuuu r uuur uuuu r uuur P = z1 + z2 = OM + ON ≥ OM + ON = Vậy P = = m Suy M + m.i = 40 + 36 = 76 Câu 71: Cho số phức z thỏa mãn i.z + = Giá trị lớn biểu thức P = 2z + − 4i + z − − 5i là: A B.3 C D Lời giải Chọn C Ta gọi M ( x; y ) điểm biểu diễn số phức z i.z + = 5 5 ⇔ x + ( y − 3) = Suy M ( x; y ) ∈ C I (0;3); R = ÷ 2÷ 2 Khi đó: uuur uuur P = 2z + − 4i + z − − 5i = z + − 2i + z − − 5i = MA + MB , với A − ; ÷; B ( 1;5 ) uu r uur uu r uur Ta có: IA = − ; −1÷ ; IB = ( 1; ) suy IB = −2.IA 5 2 MB = 5÷ Theo định lý Stewart ta có: 5MA + MI + ÷ ⇒ MA + MB = 15 2 (Hoặc chứng minh theo phương pháp véc tơ uuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur MI = MA + AB = MA + AB = MA + MB − MA = MA + MB 3 3 Suy ra: uuur uuur 4 4 · MI = MA2 + MB + MA.MB.cos MA, MB = MA2 + MB + MA.MB.cos AMB 9 9 9 ( ( ) ) MA2 + MB − AB 4 2 2 MA2 + MB + MA.MB ÷ = MA + MB − AB 9 2.MA.MB 2 ⇒ 2MA2 + MB = 3MI + AB = 15 ) = 44 Gv: Lương Văn Huy uuur uuur Vậy P = MA + MB = 2.MA + MB ≤ ( ) ( )( Giaovienvietnam.com ) + 12 2MA2 + MB = 45 = 3i 3i Gọi z số phức thỏa mãn 3z − 3i = Đặt + , z2 = − + 2 2 M ,n giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ biểu thức T = z + z − z1 + z − z2 Tính modun số phức w = M + ni Câu 72: Cho hai số phức z1 = 21 Lời giải A B 13 C 3 D 3 Giả sử z = x + yi ,( x, y ∈ R ) Ta có 3z − 3i = ⇔ x + y − = 1(C) ÷ ÷ 3 3 ,B − ; z, z1 , z2 ÷ ÷ Gọi K ( x; y) , A ; ÷ ÷ điểm biểu diễn số phức 2 2 Ta tìm Max – Min T = OK + OA + OB Ta có A , B,O thuộc đường trịn (C) ∆ABO ⇒ TMin = 2OA = » Ta có KA.OB = OA.BK + ABOK ⇔ KA = KB + OK Gọi K thuộc cung OB ⇒ T = 2KA ≤ 2.2R = = TMax 3 21 ⇒ w = + 22 = ÷ ÷ Câu 73: ? Cho số phức z thỏa mãn z − i = z + 1− 3i + z − 1+ i Tìm giá trị lớn M z − + 3i A M = 10 B M = 1+ 13 C M = D M = Lời giải Chọn D Gọi A ( −1;3) , B( 1; −1) ,C ( 0;1) ⇒ C trung điểm AB Suy MC = MA + MB2 AB2 − ⇒ MA + MB2 = 2MC + 10 Mặt khác z − i = z + 1− 3i + z − 1+ i ⇒ 5MC = MA + 3MB ≤ 10 MA + MB2 ( ) ⇒ 25MC ≤ 10 2MC + 10 ⇒ MC ≤ Mà z − 2+ 3i = z − i + ( −2 + 4i ) ≤ z − i + −2+ 4i ≤ MC + ≤ Dấu “ = “ xẩy z = −2+ 5i 45 Giaovienvietnam.com Gv: Lương Văn Huy Câu 74: [ Phạm Minh Tuấn, lần 3, năm 2018- Câu 46] Cho số phức z thỏa mãn z + 1− 2i + z − 1− 2i = Tìm giá trị nhỏ biểu thức z − 2i P = z − 2i A P = B P = C D Lời giải Chọn A 2 Áp dụng tính chất: z + z1 + z − z1 = z + z1 Ta có: 2 2 = z + 1− 2i + z − 1− 2i ≤ 2 z − 2i + + z − 2i − = z − 2i + z − 2i ⇔ z − 2i + z − 2i − ≥ ⇒ P = z − 2i ≥ [2D4-4] [THPT Chuyên LQĐ, LAI CHÂU, lần 1, 2018] Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn điều Câu 75: kiện z1 + i = z1 − z1 − 2i z2 − i − 10 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức z1 − z2 ? A 10 + B − C 101 + D 101 − Lời giải Chọn B +) Gọi z1 = a+ bi ; ( a,b∈ ¡ ) Nên z1 + i = z1 − z1 − 2i ⇔ a2 + ( b− 1) = ( 2b+ 2) Do tập hợp điểm biểu diễn số phức z1 Parabol y = ⇔ b= a2 x2 +) Gọi z2 = a+ bi , ( a,b∈ ¡ ) Khi z2 − i − 10 = ⇔ ( a− 10) + ( b− 1) = 2 Nên tập hợp điểm biểu diễn số phức z2 đường tròn ( C ) ( x − 10) + ( y − 1) = tâm I ( 10;1) 2 bamns kính r = 46 Giaovienvietnam.com Gv: Lương Văn Huy z1 − z2 nhỏ MN nhỏ Ta có: MN + IN ≥ IM ⇒ MN ≥ IM − IN = IM − Nên MN nhỏ IM nhỏ 2 x2 x2 Ta có: IM = ( x − 10) + − 1÷ = − 4÷ + ( x − 4) + 45 2 ⇒ IM ≥ 45 = Do MN ≥ − Vậy z1 − z2 = MN ≥ − 1⇒ z1 − z2 = − Câu 76: [2D4-4] Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + 1− i = z2 = iz1 Tìm giá trị lớn m biểu thức z1 − z2 A m= 2 + B m= + D m= C m= 2 Lời giải Chọn A Ta có z1 − z2 = z1 − iz1 = 1− i z1 = z1 Đặt z1 = a+ bi với ( a, b∈ ¡ ) theo đề ta có ( a+ 1) + ( b− 1) = (*) Ta cần tìm GTLN 2 m= a2 + b2 Đặt t = a2 + b2 Ta có: (*) ⇔ = a2 + 2a+ 1+ b2 − 2b+ 1⇒ 2(a− b) = − t ( )( ) 2 2 Mà ( a− b) ≤ + (−1) a + b (**) nên ( 2− t) ≤ 4(a− b)2 ≤ 8t ⇔ t2 − 12t + ≤ ⇔ − ≤ t ≤ 6+ Kết hợp với t = a2 + b2 ≥ suy ≤ t ≤ 6+ Suy m= 2t ≤ 12 + = 2 + a b ⇔ a = −b Kết hợp (*) ta z1 = −1± ( 1− i ) Dấu "=" xảy (**) xảy = −1 Vậy giá trị lớn m 2 + ( Câu 77: ) [Chuyên Ngoại Ngữ - Hà Nội - 2018] Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn z1 − 3i + = 47 Giaovienvietnam.com Gv: Lương Văn Huy iz2 − 1+ 2i = Tìm giá trị lớn biểu thức T = 2iz1 + 3z2 A 313 + 16 B 313 C 313 + Lời giải D 313 + Chọn A Ta có z1 − 3i + = ⇒ 2iz1 + + 10i = Suy điểm M biểu diễn số phức 2iz1 nằm đường trịn ( T1 ) có tâm I ( −6; −10) có bán kính R1 = Mặt khác, iz2 − 1+ 2i = ⇒ −3z2 − 6− 3i = 12 nên điểm biểu diễn số phức −3z2 điểm N nằm đường trịn ( T2 ) có tâm I ( 6;3) có bán kính R2 = 12 Ta thấy 2iz1 + 3z2 = 2iz1 − ( −3z2 ) = MN T lớn MN lớn nhất, bốn điểm M , I , I , N theo thứ tự thẳng hàng Vậy giá trị lớn MN = I 1I + R1 + R2 = 313 + 16 z − 3− 2i ≤ Cho hai số phức z, w thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức w + 1+ 2i ≤ w − 2− i Câu 78: P = z− w A Pmin = 2− B Pmin = + C Pmin = 2− D Pmin = 2− Lời giải Chọn C Cách : Giả sử z = a+ bi ( a,b∈ ¡ ) , w = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) 48 Giaovienvietnam.com Gv: Lương Văn Huy z − 3− 2i ≤ ⇔ ( a− 3) + ( b− 2) ≤ (1) 2 2 2 w + 1+ 2i ≤ w − − i ⇔ ( x + 1) + ( y + 2) ≤ ( x − 2) + ( y − 1) Suy x + y = P = z− w = ( a− x) + ( b− y) 2 = ( a− x) + ( b+ x) 2 Từ (1) ta có I ( 3;2) , bán kính r = Gọi H hình chiếu I d : y = − x x = 3+ t Đường thẳng HI có PTTS y = 2+ t M ∈ HI ⇒ M ( 3+ t;2 + t ) t = M ∈ ( C ) ⇔ 2t2 = ⇔ t = − 1 5+ t = ⇒ M 3+ ;2+ ÷, MH = 2 1 5− t = ⇒ M 3− ;2 − ÷, MH = 2 Vậy Pmin = 2− Cách : z − 3− 2i ≤ điều cho thấy M ( z) nằm hình trịn tâm I ( 3;2) bán kính w + 1+ 2i ≤ w − − i điều cho thấy N ( w) thuộc nửa mặt phẳng tạo đường thẳng ∆ trung trực đoạn AB với A ( −1; −2) , B( 2;1) ∆ : x + y = (Minh hoạ hình vẽ) 49 Giaovienvietnam.com Gv: Lương Văn Huy P = z − w = MN Pmin = d( I , ∆ ) − R = Câu 79: 3+ 2 − 1= 2− [Nguyễn Khuyến, Bình Dương, 18/3,2018] Cho z1 = a+ bi z2 = c + di số phức thỏa mãn: z1 = z1 ( c + d) = 10 Gọi M giá trị lớn biểu thức T = ac + bd + cd Hãy chọn khẳng định M A M ∈ ( 11;15) ( ) B M ∈ 15;17 C M ∈ ( 11;12) D Không tồn M Lời giải Chọn A z12 = a2 + b2 = ⇔ Ta có c + d = z1 ( c + d) = 10 Khi đó: T = ac + bd + cd ≤ ( a + b ) ( c + d ) + c(5− c) = 2 2 c2 + ( 5− c) + 5c − c2 Đặt f (c) = 2c2 − 10c + 25 + 5c − c2 Ta có f ′ ( c) = − 2c2 − 10c + 25 + 5− 2c = ( 2c − 5) ÷ ⇔ c= 2 ÷ 2c − 10c + 25 2c − 10c + 25 4c − 10 Bảng biến thiên: 50 Giaovienvietnam.com Gv: Lương Văn Huy −∞ c + f ′ ( c) f ( c) +∞ − 2+ −∞ Dựa thiên ta 25 −∞ vào bảng biến có 25 ≈ 13,3 a = b = Dấu xảy c = d = M = 2+ Câu 80: Cho số phức z thỏa mãn z3 + ( 1 ≤ M = max z + Khẳng định sau đúng? z z ) 7 2 A M ∈ −1;2 B M ∈ 2; ÷ 5 C M ∈ 1; ÷ 2 D M + M < Lời giải Chọn C 3 1 1 1 1 Ta có z + ÷ = z3 + + 3 z + ÷ ⇔ z3 + = z + ÷ − 3 z + ÷ z z z z z z 3 1 1 1 1 ⇔ z + = z + ÷ − 3 z + ÷ ⇔ z + ÷ − 3 z + ÷ ≤ z z z z z 3 Mặt khác: 1 1 1 z + z ÷ − 3 z + z ÷ ≥ z + z − z + z 1 Suy ra: z + − z + ≤ Đặt t = z + ≥ ta được: z z z t3 − 3t − ≤ ⇔ ( t − 2) ( t + 1) ≤ ⇔ t ≤ Vậy M = 2 Cho số phức z = x + yi với x, y số thực không âm thỏa mãn Câu 81: z− = biểu thức z − 1+ 2i 2 + i z2 − z ÷ z ( 1− i ) + z ( 1+ i ) Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ P Môđun M + mi P = z2 − z 51 A B Giaovienvietnam.com Gv: Lương Văn Huy C D Lời giải Chọn B Ta có z− = ⇔ z − = z − 1+ 2i ⇔ x + y = z − 1+ 2i P = z2 − z 2 + i z2 − z ÷ z ( 1− i ) + z ( 1+ i ) = 16x2y2 − 8xy(x + y) = 16x2y2 − 8xy x + y) Đặt t = xy ta có ≤ t ≤ ( = 1 Tính giá trị lớn nhỏ P = 16t2 − 8t , với t ∈ 0; ta Pmax = 0; Pmin = −1 4 Vậy M + mi = Câu 82: z1 = (THPT Nguyễn Đăng Đạo – Bắc Ninh lần 3-2018) Cho hai số phức 3 + i , z2 = − + i Gọi z số phức thỏa mãn 3z − 3i = Đặt M , m giá trị lớn 2 2 nhỏ biểu thức T = z + z − z1 + z − z2 Tính mơ đun số phức w = M + mi A 21 B 13 C 3 D Lời giải Chọn A Giả sử M , A , B biểu diễn số phức z = x + yi , z1 , z2 2 ) = Từ giả thiết 3z − 3i = ta có: x + (y − 3 Nên M thuộc đường trịn tâm I 0; ÷, R = 3 Ta có T = MO + MA + MB Để Tmin M trùng O , A , B nên 2 1 Tmin = 2OA = ÷ + ÷ = ÷ Để Tmax OM max (MA + MB)max nên OM = 2R M nằm » M 0; cung nhỏ AB ÷ Do 3 2 1 Tmax = OM + 2MA = +2 ÷ + − = ÷ ÷ 3 2 2 52 Giaovienvietnam.com Gv: Lương Văn Huy 21 Vậy w = M + m2 = ÷ +2 = 3 Cho hai số phức z w thỏa mãn điều kiện sau: iz − 2i − ≤ z − max w + − i , w ≤ Tìm giá trị nhỏ z − w Câu 83: { A 13 B } Lời giải C D Chọn B Gọi M , N điểm biểu diễn z, w với M ( x; y) Ta có iz − 2i − ≤ z − ⇔ z − + 2i ≤ z − ⇔ ( x − 2) + ( y + 2) ≤ ( x − 1) + y2 ⇔ −2x + 4y + ≤ 2 Do đó, M thuộc nửa mặt phẳng bờ ∆ : −2x + 4y + = không chứa O , kể bờ Ta có max w + − 2i , w ≤ suy { } w + − 2i ≤ NI ≤ , I ( −2; 2) ⇒ w ≤ NO ≤ Do đó, N thuộc phần chung hai hình ( ) ( ) tròn I ; O; Dễ thấy hai hình trịn tiếp xúc ngồi điểm E ( −1; 1) Do đó, N ( −1; 1) Ta thấy z − w = MN nên z − w nhỏ MN ngắn nhất, M hình chiếu N ∆ −2( −1) + 4.1+ 13 = Ta có d( N , ∆ ) = 2 ( −2) + 42 Vậy z − w = 13 [CHUYÊN NGỮ LẦN 1-2018] Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn z1 − 3i + = Câu 84: iz2 − 1+ 2i = Tìm giá trị lớn biểu thức T = 2iz1 + 3z2 A 313 + 16 B 313 C 313 + Lời giải D 313 + Chọn A 53 Giaovienvietnam.com Gv: Lương Văn Huy Đặt 2iz1 = a+ bi , −3z2 = c + di ( a; b; c; d∈ ¡ ) , gọi A ( a; b) , B( c; d) Có z1 − 3i + = ⇔ a+ bi 2 − 3i + = ⇔ ( a+ 6) + ( 10 + b) i = ⇔ ( a+ 6) + ( b+ 10) = 16 2i nên A ∈ ( I ) có tâm I ( −6; − 10) bán kính R = Có iz2 − 1+ 2i = ⇔ i c + di 2 − 1+ 2i = ⇔ ( 3− d) + ( c − 6) i = 12 ⇔ ( c − 6) + ( d − 3) = 122 −3 nên B ∈ ( J ) có tâm J ( 6; 3) , bán kính R′ = 12 Có T = 2iz1 + 3z2 ( a− c) + ( b− d) = ( a− c) + ( b− d) 2 = AB Do A ∈ ( I ) , B ∈ ( J ) , IJ = 313 > R + R′ = 16 nên ABMax = R + R′ + IJ = 16 + 313 Câu 85: Xét số phức z = a+ bi ,(a,b∈ ¡ ) thỏa mãn z − 3− 2i = Tính a+ b biết biểu thức S = z + 1− 2i + z − − 5i đạt giá trị nhỏ A + B + C − Lời giải: D Chọn A 2 Giả thiết z − 3− 2i = ⇔ (T ) :(a− 3) + (b− 2) = Gọi A(−1;2), B(2;5), M (a; b) điểm biểu diễn số phức z1 = −1+ 2i , z2 = 2+ 5i , z3 = a+ bi Bài tốn trở thành: Tìm M ∈ (T ) cho biểu thức S = MA + 2MB nhỏ Ta có MA = (a+ 1)2 + (b− 2)2 = a2 + b2 + 2a− 4b+ = a2 + b2 − 4a− 4b+ = (a− 2)2 + (b− 2)2 = 2MC với C(2;2) 54 Gv: Lương Văn Huy Giaovienvietnam.com MA + MB = 2( MB + MC ) ≥ BC Ta có dấu “=”xảy B, M , C theo thứ tự thẳng hàng Phương trình đường thẳng BC : x = M giao của BC (T ) ⇒ M (2;2 + 3) ⇒ a+ b = + Câu 86: Cho số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1 = z2 = z1 − z2 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = z + z − z1 + z − z2 A P = + B P = + C P = + D P = 2+ Lời giải Chọn C Chọn A , B, M điểm biểu diễn số phức z1 , z2 , z , Dựa vào điều kiện z1 = z2 = z1 − z2 = ⇒ OA = OB = 6, AB = Suy ta có tam giác OAB vng cân O Phép quay tâm B góc quay −600 ta có: Q B,−600 : A a A′ ( ) M a M′ Do tam giác ∆ BMM ′ ⇒ AM = A ′M ′ , BM = MM ′ Suy P = z + z − z1 + z − z2 = OM + AM + BM = OM + MM ′ + A ′M ′ ≥ OA ′ Dấu " = " xảy O , M , M ′ , A ′ thẳng hàng · Khi tam giác OBA ′ có OB = , BA ′ = BA = OBA ′ = 1050 Từ suy OA ′ = OB2 + BA ′2 − 2OB.BA ′.cos1050 = + Vậy P = + Câu 87: Cho hai số phức z,ω thỏa mãn z − = z + 3− 2i ; ω = z + m+ i với m∈ ¡ tham số Giá trị 55 Giaovienvietnam.com Gv: Lương Văn Huy m để ta ln có ω ≥ là: m≥ A m≤ m≥ B m ≤ −3 C −3 ≤ m< D ≤ m≤ Lời giải Chọn B Đặt z = a+ ib,( a,b∈ ¡ ) có biểu diễn hình học điểm M ( x; y) z − = z + 3− 2i ⇔ x − 1+ iy = x + 3+ ( y − 2) i ⇔ ( x − 1) + y2 = ( x + 3) + ( y − 2) 2 ⇔ −2x + = 6x + − 4y + ⇔ 2x − y + = Suy biểu diễn số phức z đường thẳng ∆ :2x − y + = Ta có: ω ≥ ⇔ z + m+ i ≥ ⇔ x + m+ + ( y + 1) i ≥ ( x + m) + ( y + 1) Mà ta có MI ≥ d( I , ∆ ) ⇔ ≥ ⇔ MI ≥ với I ( −m; −1) Nên MI ≥ ⇔ d( I , ∆ ) ≥ ⇔ −2m+ ≥ ⇔ −2m+ ≥ 10 −2m+ ≥ 10 m≤ −3 ⇔ ⇔ −2m+ ≤ −10 m≥ Câu 88: Cho số phức z thỏa mãn z−1 = Tìm giá trị lớn biểu thức z + 3i P = z + i + z − + 7i A 20 B 10 C 12 D Lời giải Chọn A Gọi z = x + yi , ( x, y ∈ ¡ ) z−1 = ⇔ z − = z + 3i ⇔ z + 3i ⇔ x2 + y2 − 4x − 6y − = Ta có ( x − 1) + y2 = x2 + ( y + 3) 2 2 Lại có P = z + i + z − + 7i = x2 + ( y + 1) + ( x − 4) + ( y − 7) = 4x + 8y + + −4x − 8y + 72 Mặt khác ( ) 4x + 8y + + −4x − 8y + 72 ≤ 5.80 ⇒ 4x + 8y + + −4x − 8y + 72 ≤ 20 Suy P ≤ 20 56 ... ⇒ PMax = 38 + 10 Câu 50: (CHuyên Hạ Long-lần 2-2 018-Mã đề 108)Cho số phức z1 = −2 + i, z2 = + i số phức z 2 thay đổi thỏa mãn z − z1 + z − z2 = 16 Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ z Giá trị. .. = 1⇔ z + 5i Max = 52 + 1= Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn z = Tìm giá trị lớn M max giá trị nhỏ M biểu thức M = z + z + + z + A M max = 5; M = B M max = 5; M = C M max = 4; M = D M max = 4; M =... CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH - ĐỒNG NAI)Cho số phức z thỏa mãn z2 − 2z + = ( z − 1+ 2i ) ( z + 3i − 1) Tính min| w| , với số phức w = z − 2+ 2i A min| w|= B min| w|= C min| w|= D min| w|= Lời giải