Đang tải... (xem toàn văn)
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Bất đẳng thức tam giác • 1 2 1 2z z z z , dấu "=" khi 1 2 z kz với k ≥ 0 • 1 2 1 2z z z + z , dấu "=" khi 1 2 z kz với k ≤ 0 • 1 2 1 2z z z z , dấu "=" khi 1 2 z kz v[.]
CỰC TRỊ SỐ PHỨC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Bất đẳng thức tam giác: • z1 z2 z1 z2 , dấu "=" z1 kz2 với k ≥ • z1 - z2 z1 + z2 , dấu "=" z1 kz2 với k ≤ • z1 z2 • z1 - z2 z1 - z2 , dấu "=" z1 kz2 với k ≤ z1 - z2 , dấu "=" z1 kz2 với k ≥ 2 Công thức trung tuyến: z1 z z1 z z1 z 2 Tập hợp điểm: • |z − (a + bi)| = r: Đường trịn tâm I(a; b) bán kính r • z (a1 b1i ) z (a2 b2i ) : Đường trung trực AB với A (a1;b1),(a2 ;b2 ) • z (a1 b1i ) a2 b2i ) 2a : – Đoạn thẳng AB với A a1; b1 , B a2 ; b2 2a = AB – Elip (E) nhận A, B làm hai tiêu điểm với độ dài trục lớn 2a 2a >AB Đặc biệt |z + c| + |z − c| = 2a: Elip (E): x2 y2 với b a2 c y b B CÁC DẠNG BÀI TẬP Phương pháp đại số VÍ DỤ (Sở GD Hưng Yên 2017) Cho số phức z thỏa mãn |z − − 2i| = Gọi M, m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ |z + + i| Tính S M m A S = 34 B S = 82 C S = 68 D S = 36 LỜI GIẢI Ta có z i M z i 3i z i 3i z i z i m Khi S M m 68 Đáp án C VÍ DỤ (Sở GD Hà Tĩnh 2017) Trong số phức z thỏa mãn |z − (2 + 4i)| = 2, gọi z z số phức có mơ đun lớn nhỏ Tổng phần ảo hai số phức z z A 8i B C -8 D LỜI GIẢI Ta có ≥ ||z| − |2 + 4i|| = ||z| − | ⇒ − ≤ |z| ≤ + Do Giá trị lớn |z| − z = k(2 + 4i) với (k − 1) = ⇒ k = + z1 (2 4i ) 5 Giá trị nhỏ |z| − z = k(2 + 4i) với (k − 1) = ⇒ k = - Do z2 1 (2 4i ) ) Như vậy, tổng hai phần ảo z1,z 1 5 5 Đáp án D VÍ DỤ (THPT Chuyên Thái Nguyên 2017 L3) Cho số phức z thỏa mãn | z + 4| = 2|z| Kí hiệu M = max |z|, m = |z| Tìm mô đun số phức w = M + mi A w = B w = C w = LỜI GIẢI Ta có 2 z z z z z 1 M 2 z z z z z 1 m 2 Vậy w M m Đáp án A D w = VÍ DỤ (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc 2017) Trong số phức z thỏa mãn 2z z z i , tìm số phức có phần thực khơng âm cho z 1 đạt giá trị lớn A z i B z i C z i D z i 8 LỜI GIẢI Gọi z = a + bi (a ≥ 0) z = a − bi Khi 9a2 b a2 (b 1)2 2b 8a2 b Ta có z 1 4a2 2 lớn z a b nhỏ z 3 7 1 z a 4a2 16a4 3a2 4a2 z 64 64 2 2 a a 32 Vậy z i Do số phức z cần tìm thỏa mãn 8 b 4a2 Đáp án D Phương pháp hình học VÍ DỤ (THPT Phan Bội Châu-Đăk Lăk 2017) Cho số phức z thỏa mãn |z −3−4i|= Mô đun lớn số phức z là: A LỜI GIẢI B C D Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết đường trịn tâm I(3; 4) bán kính r = Khi |z| = OM với O gốc tọa độ Do max |z| = OI + r = + = Đáp án B VÍ DỤ (THPT Đồng Quan-Hà Nội 2017,THPT Chuyên Biên Hòa-Hà Nam 2017) Trong số phức z thỏa mãn |z − − 4i| = |z − 2i| Tìm số phức z có mơ đun nhỏ A z = − 2i B z = + i C z = + 2i D z = − i LỜI GIẢI điểm z thỏa mãn giả thiết đề Gọi A(2; 4), B(0; 2), tập hợp đường trung trực d AB có phương trình x + y − = Khi |z| = OM nhỏ M hình chiếu O d H(2; 2) Đáp án C VÍ DỤ (THPT Trần Phú-Hà Nội 2017) Cho số phức z thỏa mãn |z + 3| + |z − 3| = 10 Giá trị nhỏ |z| A B C D LỜI GIẢI Gọi A(−3; 0), B(3; 0) có trung điểm O(0; 0) Điểm M biểu diễn số phức z Theo cơng thức trung tuyến z MO MA MB AB Ta có (MA MB )2 MA MB 50 2 Do m 50 36 4 Vậy z Đáp án B C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Phương pháp đại số BÀI (Sở GD Long An 2017) Cho số phức z thỏa mãn |z − − 3i| = Tìm giá trị lớn |z| A 1 B C 13 13 13 D BÀI (THPT Hưng Nhân-Thái Bình 2017 L3) Tìm giá trị lớn |z| biết 2 3i z 2i A B C D BÀI (THPT Nguyễn Huệ-Huế 2017 L2, Hà Huy Tập-Hà Tĩnh 2017 L2) Cho số phức z thỏa mãn z i Tìm giá trị lớn |z| A 2` B C 2 D BÀI (Chuyên Nguyễn Trãi-Hải Dương 2017 L3) Xác định số phức z thỏa mãn z 2i mà |z| đạt giá trị lớn A i B i C 3i D 3i BÀI (THPT Yên Khánh A-Ninh Bình 2017,THPT Kim Liên-Hà Nội 2017) Cho số phức z thỏa mãn |z − − 3i| = Giá trị nhỏ |z + + i| A 13 B C D 13 BÀI (THPT Đống Đa-Hà Nội 2017) Cho số phức z thỏa mãn z 2z z i Biểu thức |z| có giá trị lớn A 1 B C 22 D 1 BÀI (THPT Hùng Vương-Phú Thọ 2017) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z − 1| = |(1 + i)z| Đặt m = |z|, tìm giá trị lớn m 2 1 A B 1 C BÀI (THPT Chuyên Lào Cai 2017 L2) Cho số phức z thỏa mãn z D 4i Gọi M, m lần z lượt giá trị lớn nhỏ |z| Tính M + m? A B C 13 D BÀI (THPT Hưng Nhân-Thái Bình 2017 L3) Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1 4i 1 z2 i Tính tổng Giá trị lớn Giá trị nhỏ biểu thức z1 z A 18 B C D BÀI 10 (Sở GD Điện Biên 2017,Gia Lộc-Hải Dương 2017 L2) Cho số phức z thỏa mãn |z| ≤ Đặt A 2z Mệnh đề đúng? iz A |A| < B |A| ≤ C |A| ≥ D |A| > BÀI 11 (Sở GD Hải Dương 2017) Cho số phức z thỏa mãn z z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P z 3z z z z A 15 B C 13 D BÀI 12 (Chuyên Ngoại Ngữ-Hà Nội 2017) Cho số phức z thỏa mãn |z| = Tìm giá trị lớn biểu thức T = |z + 1| + 2|z − 1| A maxT B maxT 10 C max D maxT BÀI 13 (Sở GD Bắc Ninh 2017) Cho số phức z thỏa mãn |z| = Tìm giá trị lớn biểu thức T = |z + 1| + 3|z − 1| A maxT 10 B maxT 10 C max D maxT BÀI 14 (Chu Văn An-Hà Nội 2017 L2) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z Tìm giá trị lớn T = |z + i| + |z − − i| A maxT B maxT C max D maxT Phương pháp hình học BÀI 15 (Sở GD Đà Nẵng 2017) Cho số phức z thỏa mãn |z − + 2i| = Mô đun lớn số phức z là: 14 A B 15(14 5) C 14 D 15(14 5) BÀI 16 (THPT Bình Xuyên-Vĩnh Phúc 2017 L3) Cho số phức z thỏa mãn |z−1−2i| = Tìm giá trị nhỏ |z| A B C D 1 BÀI 17 (Chuyên Nguyễn Trãi-Hải Dương 2017 L3) Cho số phức z, w thỏa mãn |z − + 2i| = |z + 5i|, w = iz + 20 Giá trị nhỏ m |w| A m 10 B m 10 C m 10 BÀI 18 (THPT Cổ Loa-Hà Nội 2017 L3) Cho số phức z thỏa mãn z D m 10 i z 2i 2 Biết biểu thức Q = |z − − 4i| + |z − − 6i| đạt giá trị nhỏ z = a + bi (a, b ∈ R) Tính P = a − 4b A P 2 B P 1333 272 C P 1 D P 691 272 BÀI 19 (THPT Cao Nguyên-Dăk Lăk 2017) Cho số phức z thỏa mãn iz 2 + iz Gọi M m Giá trị lớn Giá trị nhỏ |z| 1 i i 1 Tính M.m A Mm = B Mm = C Mm 2 D Mm BÀI 20 (Lương Đức Trọng 2017) Xét số phức z thỏa mãn 4|z + i| + 3|z − i| = 10 Gọi M, m tương ứng giá trị lớn nhỏ |z| Tính M + m A 35 15 B 80 C 50 11 D 30 BÀI 21 (THPT Thăng Long-Hà Nội 2017 L2) Cho z số phức thay đổi thỏa mãn z z Trong mặt phẳng tọa độ, gọi M, N điểm biểu diễn z z Tính giá trị lớn diện tích tam giác OMN A B C D 2 BÀI 22 (THPT Chun Hồng Văn Thụ-Hịa Bình 2017 L3) Cho z1, z hai nghiệm phương trình |6 − 3i + iz| = |2z − − 9i| thỏa mãn z1 z A 31 B 56 | Giá trị lớn z1 z C D D LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN GIẢI BÀI TẬP Ta có z 2 3i z 13 z 1 13 Đáp án A GIẢI BÀI TẬP Ta có 1 2 3i 2 3i z 1 z z z 2i 2i Đáp án B GIẢI BÀI TẬP Ta có 2 z i z z z Đáp án D GIẢI BÀI TẬP Ta có z 2i z 2 z Dấu "=" z = k(2 + 2i) với 2k 2 k Vậy k = + 3i Đáp án C GIẢI BÀI TẬP Ta có |z + + i| = |z + − i| = |(z − − 3i) + (3 + 2i)| ≥ ||z − − 3i| − |3 + 2i|| = 13 − Vậy min z i 13 Đáp án A GIẢI BÀI TẬP Ta có z 1 i z 2z (z 1)2 i z 1 i z 1 i z 1 i z 1 i • Nếu z = i − z • Nếu |z + + i| = ≥ |z| − |1 + i| = |z| − Do |z| ≤ + Đáp án A GIẢI BÀI TẬP Ta có |z − 1| = 2|z| ≤ |z| + ⇒ |z| ≤ Do max |z| = Đáp án B GIẢI BÀI TẬP Ta có 2 z z z z z 1 M 2 z z z z z 1 m Vậy M + m = Đáp án B GIẢI BÀI TẬP Ta có z1 z2 (z1 4i ) (z i ) (3 3i ) z1 4i z i 3i max z1 z2 (z1 4i ) (z i ) (3 3i ) 3i z1 4i z i Do tổng Giá trị lớn Giá trị nhỏ Đáp án B GIẢI BÀI TẬP 10 Ta có 2A Aiz 2z i (2 Ai )z 2A i z Đặt A = a + bi Suy 2A i Ai | z 2A i Ai 4a2 (2b 1) a2 (b 2) 3a2 3b2 A a2 b2 Đáp án B GIẢI BÀI TẬP 11 Ta có 2 z 3z z z 3.z 3z z z z z (z z )2 Suy 1 3 P (z z ) (z z ) z z 2 4 Vậy giá trị nhỏ P Đáp án C GIẢI BÀI TẬP 12 Áp dụng cơng thức trung tuyến ta có 2 1 z 1 z 1 z 4 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki 2 T ( z z )(12 22 ) 20 T Đáp án A GIẢI BÀI TẬP 13 Áp dụng cơng thức trung tuyến ta có 2 z 1 z 1 z 1 2 4 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki 2 T ( z z )(12 32 ) 40 T 10 Đáp án B GIẢI BÀI TẬP 14 Áp dụng công thức trung tuyến ta có z 1 z 2 i 2 z 1 2i 2 8 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki 2 T ( z z )(12 12 ) 16 T Đáp án B GIẢI BÀI TẬP 15 Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết đường trịn tâm I(1; −2) bán kính r = Khi |z| = OM với O gốc tọa độ Do max |z| = OI + r = + Đáp án A GIẢI BÀI TẬP 16 Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết đường tròn tâm I(1; −2) bán kính r = Khi |z| = OM với O gốc tọa độ Do |z| = OI − r = − Đáp án D GIẢI BÀI TẬP 17 Gọi A (1; −2), B (0; −5), tập hợp điểm z thỏa mãn giả thiêt đề đường trung trực d AB có phương trình x + 3y + 10 = Ta có |w| = |iz + 20| = |z − 20i| = OM với M điểm biểu diễn số phức z C(0; 20) Do |w| = d(C.∆) = 10 Đáp án B GIẢI BÀI TẬP 18 A ;2 , B ; 2 , tập hợp Gọi điểm z thỏa mãn giả thiêt đề đường trung trực d AB có phương trình x−4y + = Xét hai điểm M(2; 4), N(4; 6) Q = IM + IN với I ∈ d Do Q nhỏ I 58 28 ; 17 17 giao điểm M0N với M ' 62 24 62 24 i ; , ứng với z 17 17 17 17 điểm đối xứng M qua d Vậy I Đáp án A GIẢI BÀI TẬP 19 Ta có iz 2 iz 2iz z M 1 i i 1 Theo giả thiết số phức z thỏa mãn z 2 z z i z i i (i 1) i (i 1) Gọi A(−1; 1), B(1; −1) có trung điểm O(0; 0) Điểm M biểu diễn số phức z Theo cơng thức trung tuyến z MO MA MB AB Ta có (MA MB )2 MA MB 8 2 Do 8 2 m Vậy Mn = 2 Đáp án C GIẢI BÀI TẬP 20 Gọi A(0; −1), B(0; 1) có trung điểm O(0; 0) Điểm M biểu diễn số phức z Theo cơng thức trung tuyến MA MB AB z MO 2 Theo giả thiết 4MA 3MB 2 Đặt a MA MB MA MB 10 7a 10 4a Do AB 6 10 7a 16 a 7 Ta có 10 4a 25a 80a 100 5a 8 36 MA MB a 9 2 Do 2 36 34 11296 5a (5a 8)2 Suy 7 49 MA MB nên z z m 1296 36 340 121 z M MA MB 49 49 49 Vậy M m Đáp án C 60 49 GIẢI BÀI TẬP 21 Gọi điểm M biểu diễn số phức z = x + iy N biểu diễn số phức z M, M0 đối xứng qua Ox Diện tích tam giác OMN SOMN xy Do z z nên tập hợp M biểu diễn x Elip (E): x2 y2 Do xy x2 y2 x2 y2 1 2 SOMN xy 2 8 2 Đáp án D ... z ) (12 32 ) 40 T 10 Đáp án B GIẢI BÀI TẬP 14 Áp dụng công thức trung tuyến ta có z 1 z 2 i 2 z 1 2i 2 8 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki 2 T ( z z ) (12 12 ) ... 8 36 MA MB a 9 2 Do 2 36 34 1129 6 5a (5a 8)2 Suy 7 49 MA MB nên z z m 129 6 36 340 121 z M MA MB 49 49 49 Vậy M m Đáp án... giá trị nhỏ P Đáp án C GIẢI BÀI TẬP 12 Áp dụng công thức trung tuyến ta có 2 1 z 1 z 1 z 4 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki 2 T ( z z ) (12 22 ) 20 T Đáp án A GIẢI BÀI