Bài tập số phức đại học

Bài tập ðại Số Tuyến Tính Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân - Dương Minh Thành - GV Khoa Vật Lý – ðHSP Tp.HCM 1 Bài tập SỐ PHỨC LÝ THUYẾT:Cần làm rõ các vấn ñề sau 1. Số phức là gì? Thế nào là liên hợp của một số phức? Khi nào hai số phức bằng nhau? 2. Các phép toán của số phức và số phức liên hợp? Modun của số phức? 3. a. Các dạng biểu diễn của số phức? b. Có thể viết dạng lượng giác của số phức là cosu – isinu; sinu ± icosu? c. Khi nào thì sử dụng dạng ñại số của số phức; khi nào sử dụng dạng lượng giác? d. Nâng số phức lên lũy thừa và khai căn số phức? Có thể tìm lũy thừa p của z với p bất kỳ? 4. Hàm số mũ với số mũ phức? Tính chất? Công thức Euler? BÀI TẬP Bài 1. Tính: 1. (-3 + i)(14 + 2i) ð/s -40 + 20i 2. i i 4 1 32 − + ð/s: 17 1110 i + − 3. ( ) i i − + 1 21 2 ð/s: 2 7 i + − 4. ( ) ( ) ( ) ( ) 23 32 223 121 ii ii +−+ −−+ ð/s 5. ( ) ( ) 7 9 1 1 i i − + ð/s: 2 6. i 43 − ð/s: ± ( 2 – i) 7. ( ) 3442 1 i− ð/s: -21721 i 8. 2 2 1 1 i i i i i + − + + − + ð /s: 3 2 2 i + 9. ( ) ( ) 9 3 3131 ii +++ Bài 2. Bi ể u di ễ n các s ố ph ứ c sau d ướ i d ạ ng ñạ i s ố x + iy; x, y ∈ R. a. (1 + i) 12 ð /s: -64 b. 1 + (1 + i) + (1 + i) 2 + … + (1 + i) 99 . ð /s(1 + 2 50 )i c. 6 2 1 −       −i ð /s: –i d. cos z. T ừ ñ ó suy ra cos (1 – 2i) e. sin z. T ừ ñ ó suy ra sini. Bài 3. Cho ( ) 4 sin 4 cos2 π π iz += và ( ) 6 sin 6 cos3 π π iw += Tìm d ạ ng l ượ ng giác c ủ a: a. zw; b. z/w; c. w/z ; d. z 5 /w 2 . Bài 4. Bi ể u di ễ n các s ố ph ứ c sau d ướ i d ạ ng l ượ ng giác: a. z = 322 i+− ð /s:       += 3 2 sin 3 2 cos4 ππ iz b. i i + − 1 1 ð /s: 2 3 sin 2 3 cos π π i+ Bài t ậ p ðạ i S ố Tuy ế n Tính Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân - Dương Minh Thành - GV Khoa Vật Lý – ðHSP Tp.HCM 2 c. 7 sin 7 cos π π i+− ð /s: 7 6 sin 7 6 cos π π i+ d. 3 cos 3 sin π π i+ ð /s: 3 2 sin 3 2 cos π π i+ e . 7 sin 7 cos1 π π i++ ð /s: f. z = (1 + i)(1 + i 3 )( 3 - i) ð /S: ( ) 12 5 sin 12 5 cos2 π π i+ f. z = ( ) ( ) ( ) 4 5 5 3 311 i ii + −+ ð /s: ( ) 12 11 sin 12 11 cos2 2 7 ππ i+ g. z = cos 45 0 + isin 30 0 ð /s 2 3 (cosα + isinα) ; cosα = 3 2 , sinα = 3 1 Bài 5. Tìm z n ế u: a. ( ) ( )( ) ii i 7261 1 4 −+ + ; b. 3 31 62         + +− i i c. ( ) ( ) ( ) ( )( ) iii i i i ++ − − + + 543 231 Bài 6: Tìm modun và argument chính c ủ a các s ố ph ứ c: a. 4 + 3i, -4 + 3i, -4 – 3i, 4 – 3i b.4 + i ð /s: ( ) 4 1 ;17 arctg c. 2 3 i − −       +− 3 1 ; 2 10 : arctgÑs π d 17 1 3         + + i i ð /s: (2 17/2 ; 7π/12) Bài 7. Tìm z tho ả : 1. z 2 = 1 + i 2. iz + (2 - 10i)z = 3z + 2i. ð /s: z = -9 41 - i 41 2. z 2 = -8 - 6i ð /s: z = ±(1 - 3i) 4 . z 2 - (3 + i)z + 4 + 3i = 0. ð /s: z = 2 - i; 1 + 2i 5. iziz 2521 −−=−− ð /S: (x–19/3) 2 + (y–7/3) 2 = 68/9 6. zz = 2 ð /s: z = 0; 1; 2 3 2 1 ±− 7. cosz = 2 ð /s: z = - i ln(2 ± 3 ) Bài 8. Tìm các giá tr ị c ủ a c ă n nh ữ ng s ố ph ứ c sau: 3 i , 4 1 , i−1 , i43+ Bài 9. Ch ứ ng minh | | z 1 + z 2 ≤ | | z 1 + | | z 2 . Gi ả i thích khi nào có d ấ u ñẳ ng th ứ c? Bài 10. Ch ứ ng minh       z | | z -1 ≤ | | arg z & gi ả i thích ý ngh ĩ a hình h ọ c. Bài 11. Ch ứ ng minh     1 - z 1 z 2 2 - | | z 1 - z 2 2 = (1 - | | z 1 2 )(1 - | | z 2 2 ). Bài 12. V ớ i m ọ i z ∈ C, ch ứ ng minh r ằ ng: Re Im 2 z z z + ≤ . một số phức? Khi nào hai số phức bằng nhau? 2. Các phép toán của số phức và số phức liên hợp? Modun của số phức? 3. a. Các dạng biểu diễn của số phức? b. Có thể viết dạng lượng giác của số phức. dụng dạng ñại số của số phức; khi nào sử dụng dạng lượng giác? d. Nâng số phức lên lũy thừa và khai căn số phức? Có thể tìm lũy thừa p của z với p bất kỳ? 4. Hàm số mũ với số mũ phức? Tính chất?. Bài tập ðại Số Tuyến Tính Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân - Dương Minh Thành - GV Khoa Vật Lý – ðHSP Tp.HCM 1 Bài tập SỐ PHỨC LÝ THUYẾT:Cần làm rõ các vấn ñề sau 1. Số phức là