Bài tập khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau hay

Những bài tập về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau hay, lạ, khó được biên soạn bởi tuýeninh247, file bao gồm cả bài tập lẫn lời giải chi tiết và có đầy đủ các mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng đến vận dụng cao

Trang 1

1

Mục tiêu đề thi:

+) Đề thi gồm các câu hỏi về tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian

+) Sau khi làm xong đề thi này học sinh nắm được phương pháp xác định các dạng toán về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau cũng như củng cố kiến thức về bài toán khoảng cách trong không gian

Câu 1 (NB):Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông với 2

2

a

AC Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB hợp với đáy góc 60 Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AD và SC 0

4

a

2

a

2

a

2

a

d 

Câu 2 (NB): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng 2 Đường thẳng SO

vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SO 3 Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và BD

5

d  C. d 2 2. D. d  2

Câu 3 (NB): Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh có độ dài bằng 2a Hình chiếu vuông

góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của BC Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng

BB’ và A’H

2

a

d  D. 3

3

a

d 

Câu 4 (NB): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Cạnh bên SA vuông góc với đáy

Biết rằng đường thẳng SC tạo với đáy một góc 60 Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD là 0

7

a

d  B d a 7 C. 42

6

a

d  D. 6

7

a

d 

Câu 5 (NB): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, tam giác SBC là tam giác đều

cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC

2

a

4

a

8

a

d  D. d a 3

Câu 6 (NB): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt

phẳng đáy Biết mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60 và M là trung điểm của SD Tính khoảng cách d 0

giữa hai đường thẳng AB và CM

BTVN – KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU CHUYÊN ĐỀ: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG

GIAN

MÔN: TOÁN LỚP 11

BIÊN SOẠN: BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM

Trang 2

2

a

3

a

d  D. 6

3

a

d 

Câu 7 (TH):Cho hình chóp S.ABC có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O Cạnh bên SA = 2a và vuông

góc với mặt đáy (ABCD) Gọi H và K lần lượt là trung điểm của cạnh BC và CD Tính khoảng cách giữa hai

đường thẳng HK và SD

A

3

a

3

a

2

a

Câu 8 (TH): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng 4a Cạnh bên SA = 2a

Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của H của đoạn thẳng AO Tính

khoảng cách d giữa các đường thẳng SD và AB

A 4 22

11

a

11

a

Câu 9 (TH): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD đều và nằm trong mặt

phẳng vuông góc với đáy Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và BD

14

a

2

a

7

a

Câu 10 (TH): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, gọi I là trung điểm của AB Hình

chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là trung điểm của CI Biết chiều cao của khối chóp là a 3 Khoảng cách

giữa hai đường thẳng AB và SC là :

17

a

54

a

17

a

17

a

d 

Câu 11 (TH): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Cạnh bên SA vuông góc với mặt

phẳng đáy Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 0

BD và SC

A 30

12

a

B 30 6

a

C. 30 15

a

D. 30 10

a

Câu 12 (TH): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Cạnh bên SA vuông góc với mặt

phẳng (ABCD) Đường thẳng SC tạo với mặt phẳng đáy góc 45 Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC 0

là

10

a

2

a

5

a

d  D. 10

15

a

d 

Câu 13 (VD): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 3a, BC = 4a Cạnh bên SA

vuông góc với đáy Góc tạo bởi giữa SC và đáy bằng 60 Gọi M là trung điểm của AC, tính khoảng cách d 0

giữa hai đường thẳng AB và SM

Trang 3

3

2

a

79

a

d 

Câu 14 (VD): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a Cạnh bên SA vuông góc

với đáy, góc SBD600 Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AB và SO

3

a

4

a

2

a

d  D. 5

5

a

d 

Câu 15 (VD): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 10 Cạnh bện SA vuông góc

với mặt phẳng (ABCD) và SC10 5 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD Tính khoảng cách d

giữa BD và MN

Câu 16 (VD): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a Hình chiếu vuông góc của S trên

mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn BD sao cho HD = 3HB Biết góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt đáy

bằng 45 Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD là 0

A 3 34

17

a

B 2 13 3

a

C. 2 51 13

a

D. 2 38 17

a

Câu 17 (VD): Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân, AC = BC = 3a Hình chiếu

vuông góc của B’ lên mặt đáy trùng với trọng tâm của tam giác ABC, mặt phẳng (ABB’A’) tạo với mặt phẳng

(ABC) một góc 60 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và B’C 0

A 3 42

14

a

7

a

4

a

d  D. 42

7

a

d 

Câu 18 (VD): Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, A B' a 3

Gọi M là trung điểm của cạnh BC Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C

7

a

7

a

7

a

7

a

d 

Câu 19 (VDC): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AB = 2a, AD = DC

= a Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy Góc giữa SC và mặt đáy bằng 60 Tính khoảng 0

cách d giữa hai đường thẳng AC và SB

2

a

5

a

d 

Câu 20 (VDC): Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2, AA’ = 2a

Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng BD và CD’

5

a

d  D. 5

5

a

d 

Trang 4

4

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM

Câu 1:

Phương pháp giải:

Dựa vào cách xác định mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng còn lại, đưa về dạng

toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Lời giải:

Tam giác ABC vuông cân tại B nên

2 2

AB BC

Xét tam giác vuông SAB có : tan 600 3 3

Ta có d AD SC ; d AD SBC ;  d A SBC ;  

Kẻ AKSB Khi đó

 

2

3

;

4 3



 

a a

d A SBC AK

Chọn A

Câu 2:

+) Dựa vào cách xác định mặt phẳng (P) chứa đường thẳng SA và vuông góc với đường thẳng BD

+) Xác định giao điểm của mặt phẳng (P) với BD

+) Trong (P) từ giao điểm đó kẻ đường thẳng vuông góc với SA

Lời giải:

Trang 5

5





BD AC

BD SAC

Trong (SAC) kẻ OK SA 1 ta có : OKSACOKBD  2

Từ (1) và (2) ta có OK là đường vuông góc chung của SA và BD Khi

 

2

2 2 3

5

2 2 3

2

SO OA

d SA BD OK

SO OA

Chọn B.

Câu 3:

Lời giải:

Do BB' AA nên ' d BB A H '; ' d BB ';AA H'  d B AA H ; '  

'

BH AH

BH AA H

BH A H







2

BC

Vậy khoảng cách d BB A H '; ' a

Chọn B

Câu 4:

Lời giải:

A

B

C

A'

B'

C'

H

Trang 6

6

Ta có ACa 2. Do SAABCD và SC tạo với đáy góc 0

60 nên SCA600

AB SA



Trong (SAD) dựng AH SD 1 suy ra AB AH  2 là đoạn

vuông góc chung AB và SD

Ta có

7 6

AH

7

a

Chọn A.

Câu 5:

Dựa vào cách xác định mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng còn lại

Lời giải:

Gọi H là trung điểm của BC khi đó SHBC

Mặt khác SBC  ABC do đó SH ABC

2

a

2

ABAC AH  

Do BC AH BC SHA

BC SH





vuông góc chung của BC và SA

Lại có

2 2

4

HK

4

a

Chọn B.

Câu 6:

Lời giải:

Trang 7

7

Ta có BC AB BC SAB SBA

BC SA





SBC và ABC

Ta có SA ABtanSBAa 3

Do AB CD do đó || d AB CM ; d AB CMD ;  d A SCD ;  

Dựng AH SD  1 ta có:







CD AD

CD SAD CD AH

Từ (1) và (2) AH SCD, khi đó d A SCD ;   AH

Lại có

2 3

AH

2

a

Chọn B

Câu 7:

Dựa vào điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai

Lời giải:

Gọi EHKAC. Do HK BD nên suy ra

          1    

2

Kẻ AF SO 1 ta có:





BD AC

BD SAC BD AF

Từ (1) và (2) AF SBD, khi đó

 

2

3 4

2

a a

d A SBD AF

a

Vậy khoảng cách   1

a

Chọn A

Câu 8:

Dựa vào phương pháp xác định mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia đưa về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

S

A

D

H

K E

F

O

Trang 8

8

Lời giải:

3

(Do

 

3

; 4

3

d A SCD AC

AH SCD C

HC

d H SCD

d A SCD d H SCD

)

Kẻ HECD, kẻ HLSE  1 ta có:







CD SH

CD SHE CD HL

Từ (1) và (2) HLSCDd H SCD ;  HL

2

4

11

SH HE a

d H SCD HL

SH HE



a

Chọn A.

Câu 9:

Lời giải:

Gọi I là trung điểm của AD nên suy ra SI  ADSI ABCD và 3

2

 a

SI

Kẻ Ax BD Do đó d BD SA ; d BD SAx ;  d D SAx ;  2d I SAx ;  

Kẻ IEAx, kẻ IK SE  1 ta có:







Ax SI

Ax SIE Ax IK

Từ (1) và (2) IK SAx Khi đó d I SAx ;  IK

Gọi F là hình chiếu của I trên BD , ta dễ dàng chứng minh

IAE IDF chgn IEIF  AO a

E

S

A

C B

D

H O

L

x E

C D

S

K

O I

F

Trang 9

9

Tam giác vuông SIE , có

2 2

14

SI IE a IK

SI IE

7

a

d BD SA  IK 

Chọn C

Câu 10:

Xác định đường vuông góc chung của AB và SC

Lời giải:

Ta có CI AB AB SIC

SH AB







Dựng IF SC  1 khi đó IFSICIF AB 2 , do đó IF

là đoạn vuông góc chung của AB và SC Dựng

/ /

HE SC HE IF ta có: 1

2

Khi đó

 

2

3 3

4

  

 

a a

a

Chọn C

Câu 11:

Dựa vào phương pháp xác định mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia

Lời giải:

Ta có BC AB BC SAB

BC SA





Suy ra SA ABtan 600a 3 Gọi O là tâm hình vuông ABCD ta có:

 

BD AC

BD SAC

BD SA







Trang 10

10

Trong (SAC) dựng OM SC  1 ta có :

OM SAC OM BD Từ (1) và (2) suy ra OM là đường

vuông góc chung BD và SC

CAS∽ CMO gg  SC  SA OM  SA OC

2 3

10

2 5

a a

SA AC



Chọn D.

Câu 12:

Lời giải:

Dựng Bx AC|| d AC SB ; d AC SBx ; 

Dựng AEBx AF, SE  1 ta có:







Bx AE

Bx SAE Bx AF

Bx SA

Từ (1) và (2) AFSBE d AF

Ta có BE AC|| BEBD dễ ràng suy ra OEBO là hình chữ

2

a

AEOB

Vậy khoảng cách

 

2

;

5 2

2 2



 

 

a a

d SB AC

a

Chọn C.

Câu 13:

Lời giải:

Ta có: AC AB2BC2 5a

Trang 11

11

60  SC ABC,  SC AC, SCA và SAAC tanSCA5a 3

Gọi N là trung điểm BC , suy ra MN AB

Lấy điểm E đối xứng với N qua M , suy ra ABNE là hình chữ nhật

Do đó d AB SM ; d AB SME ;  d A SME ;  

79

SA AE a

d A SME AK

SA AE

Chọn D.

Câu 14:

Lời giải:

Ta có SAB SAD c g c, suy ra SBSD

60

SBD SBD đều cạnh SBSDBDa 2

Tam giác vuông SAB , có SA SB2AB2 a

Gọi E là trung điểm AD , suy ra OE AB và AEOE

Do đó d AB SO ; d AB SOE ;  d A SOE ;  

Kẻ AK SE  1 ta có:







OE AD

OE SAD OE AK

OE SA

Từ (1) và (2) AK SOE

 

;

5



SA AE a

d A SOE AK

SA AE

Chọn D

Câu 15:

Lời giải:

K

E

N

S

A

B

C M

K

E

B

D

C A

S

O

Trang 12

12

Gọi P là trung điểm BC và ENPAC , suy ra PN BD

nên BD MNP

Do đó

          1    

3

Kẻ AK ME  1 ta có:

 





 



Từ (1) và (2) AK MNP Khi đó d A MNP ;  AK

Tam giác vuông MAE , có

2 2

3 5

MA AE AK

MA AE

3

Chọn B

Câu 16:

Lời giải:

Ta có HKDvuông cân tại K, do vậy

Dựng

Dựng HFSE  1 ta có:







Ax SH

Ax SHE Ax HF

Từ (1) và (2) HFSAxd H SAx ;  HF

O

D

C B

A

N K

E P

S

M

SCD ABCD SKH 

0

tan 45

/ /

Ax BD d SA BD ; d BD SAx ;  d H ;SAx 

2

HE AxHEOAa

Trang 13

13

Vậy

 

2

3

17 3

2 2

   

 

a a

a

Chọn A

Câu 17:

Xác định đường vuông góc chung của AB và B’C

Cách giải:

Dựng CI AB , suy ra I là trung điểm của AB

Ta có:

'







AB B G

AB B GI ABB A ABC B IG

' tan 60

2

Dựng IHB C ta có ' IH B IC' IH  AB

; '

'

d AB B C IH  B G CI

B C

Ta có :

2

14

Chọn A

Câu 18:

Lời giải:

Trang 14

14

Ta có AA' A B' 2AB2 a 2

Dựng Cx AM|| khi đó d AM B C ; ' d AM ;B Cx'  

2

Dựng

 

' 1







BE Cx

BF B E ta có:

 '   2 '





Cx BE

Cx BB E Cx BF

Cx BB

Từ (1) và (2) BFB Cx' d B B Cx ; '  BF

Lại có BE2BP, trong đó

2

5 4

a a

BP

a

Suy ra



Do đó

7

a

d 

Chọn D.

Câu 19:

Lời giải:

   











60  SC ABCD;  SC AC; SCA và

2 2

Gọi M là trung điểm AB, suy ra ADCM là hình vuông

nên CM = AD = a

Xét tam giác ACB, ta có trung tuyến 1

2

CM  a AB

nên tam giác ACB vuông tại C

S

B

C D

M A

E K

Trang 15

15

Lấy điểm E sao cho ACBE là hình chữ nhật, suy ra AC BE

Do đó d AC SB ; d AC SBE ;  d A SBE ;  



BE AE

BE SAE BE AK

BE SA

Từ (1) và (2) AK SBE



SA AE

d A SBE AK

SA AE

2 2

2



a a

Chọn A

Câu 20:

Lời giải:

Gọi I là điểm đối xứng của A qua D, suy ra

BCID là hình bình hành nên BD // CI

Do đó

 ; '  ; '    ; '  

Kẻ DECI tại E , kẻ DK D E'  1 ta có:

'







CI DE

CI DD E CI DK

Từ (1) và (2) DK CD I' d D CD I ; '  DK

Xét tam giác IAC, ta có DE // AC (do cùng vuông góc với CI) và có D là trung điểm của AI nên suy ra DE là

đường trung bình của tam giác ACI Suy ra 1 2

Tam giác vuông D DE , có '

5

DK

D D DE a a

Chọn C

A

D

A'

D'

E

I K

Tiêu đề	Khoảng Cách Giữa Hai Đường Thẳng Chéo Nhau
Người hướng dẫn	Ban Chuyên Môn Tuyensinh247.Com
Trường học	tuyensinh247.com
Chuyên ngành	toán lớp 11
Thể loại	bài tập

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	864,22 KB