Ứng dụng phương pháp xác suất trong lý thuyết số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ QUẢNG TRUNG

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP XÁC SUẤT TRONG LÝ THUYẾT SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - 2023

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ QUẢNG TRUNG

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP XÁC SUẤT TRONG LÝ THUYẾT SỐ

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS LÊ VĂN DŨNG

ĐÀ NẴNG, NĂM 2023

1.1.3 Xác suất có điều kiện 9

1.1.4 Công thức nhân xác suất 10

1.1.5 Các biến cố độc lập 10

1.1.6 Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes 11

1.2 Biến ngẫu nhiên 13

1.2.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên 13

1.2.2 Phân loại biến ngẫu nhiên 14

1.2.3 Hàm phân phối xác suất 17

1.2.4 Kì vọng 20

1.2.5 Phương sai và độ lệch chuẩn 22

1.2.6 Trung vị 24

1.2.7 Biến ngẫu nhiên độc lập 24

1.2.8 Một số phân phối xác suất quan trọng 24

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP XÁC SUẤT 38

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Xác suất là môn học nghiên cứu về các hiện tượng ngẫu nhiên, được ra đời vào cuối thế kỉ XVII ở Pháp Vào năm 1982, nhà toán học Laplace đã dự báo rằng: “Môn khoa học bắt đầu từ việc xem xét các trò chơi may rủi này sẽ hứa hẹn trở thành một đối tượng quan trọng nhất của tri thức loài người” Ngày nay, xác suất đã trở thành một ngành toán học quan trọng, được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học, y tế, công nghệ, sinh học, môi trường, Vì thế mà xác suất đã được đưa vào giảng dạy tại các trường phổ thông và hầu hết các trường cao đẳng, đại học.

Trong lý thuyết xác suất, việc xác định được khả năng xảy ra của các sự kiện nhất định nào đó là quan trọng và cần thiết Do đó nhiều phương pháp xác suất đã được ra đời Như chúng ta đã biết, trong chương trình Toán phổ thông, ứng dụng của phương pháp xác suất chỉ mới dừng lại ở làm quen với việc mô tả những hiện tượng liên quan tới các thuật ngữ: có thể, chắc chắn, không thể thông qua một vài thí nghiệm, trò chơi, hoặc xuất phát từ thực tiễn Tuy nhiên, phương pháp xác suất còn được ứng dụng nhiều vào chương trình học ở bậc đại học, sau đại học Chẳng hạn như: ứng dụng của phương pháp xác suất để thống kê và ước lượng tham số, ứng dụng vào kiểm định giả thuyết, lý thuyết số, .

Chính vì những ứng dụng quan trọng của phương pháp xác suất nên tôi đã chọn đề tài: “Ứng dụng phương pháp xác suất trong lý thuyết số” để nghiên cứu sâu hơn về vấn đề này.

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu các kiến thức cơ bản về xác suất và biến ngẫu nhiên Tổng hợp các ứng dụng của phương pháp xác suất trong lý thuyết số.

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

a Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu tổng quan về các kiến thức liên quan đến định nghĩa, công thức tính xác suất và biến ngẫu nhiên.

b Phạm vi nghiên cứu: Không gian mẫu và biến cố, các định nghĩa xác suất, xác suất có điều kiện, công thức tính xác suất, công thức Bayes, Bernoulli; khái niệm và phân loại biến ngẫu nhiên, hàm phân phối xác suất, kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn, trung vị, biến ngẫu nhiên độc lập và một số phân phối xác

suất quan trọng.

4 Phương pháp nghiên cứu

a Thu thập, tìm hiểu các tài liệu liên quan đến xác suất và biến ngẫu nhiên b Phân tích, hệ thống các tài liệu để từ đó tổng hợp, chọn lọc những nội dung cần thiết đưa vào luận văn.

c Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của người hướng dẫn và của các đồng nghiệp.

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

a Tổng quan các kiến thức cơ bản, trọng tâm liên quan đến xác suất, biến ngẫu nhiên và các áp dụng thông qua các ví dụ cụ thể.

b Đồng thời tài liệu này có thể sử dụng như một tài liệu tham khảo cho học sinh, sinh viên, học sinh giỏi toán, giáo viên phổ thông tìm hiểu về nội dung này.

6 Cấu trúc của luận văn

Luận văn bao gồm: Mở đầu, Nội dung của luận văn, Kết luận, và Tài liệu tham khảo.

Nội dung của luận văn gồm hai chương cụ thể như sau:

Chương 1: Kiến thức cơ bản về xác suất và biến ngẫu nhiên

Chương này trình bày các kiến thức về xác suất và biến ngẫu nhiên, bao gồm các định nghĩa xác suất và biến ngẫu nhiên.

Chương 2: Ứng dụng phương pháp xác suất trong lý thuyết số

Chương này trình bày một số ứng dụng của phương pháp xác suất bao gồm: ứng dụng của phương pháp xác suất trong bài toán cận dưới trên tập số Ramsey, ứng dụng của phương pháp xác suất trong bài toán đồ thị có hướng, Ứng dụng của phương pháp xác suất trong tập thống trị (Dominating sets),

KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT VÀ BIẾN NGẪU NHIÊN

1.1 Xác suất

1.1.1 Không gian mẫu và biến cố

Định nghĩa 1.1 Một trong những khái niệm cơ bản của lí thuyết xác suất là phép thử Một thí nghiệm, một phép đo hay một sự quan sát hiện tượng nào đó, được hiểu là phép thử Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó.

Ví dụ 1.1.

- Gieo một đồng tiền kim loại - Rút một quân bài từ cỗ bài.

- Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong một lớp.

Định nghĩa 1.2 Tập tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử ngẫu nhiên được gọi là không gian mẫu Kí hiệu không gian mẫu Ω.

Ví dụ 1.2.

- Gieo một đồng tiền Đó là phép thử với không gian mẫu Ω = {S, N } Ở đây, S kí hiệu cho kết quả "Mặt xấp xuất hiện" và N kí hiệu cho kết quả "Mặt ngửa xuất hiện".

- Nếu phép thử là gieo một con súc sắc hai lần, thì không gian mẫu gồm 36 phần tử: Ω = {(i, j)|i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6}, ở đó (1, j) là kết quả "Lần đầu xuất hiện mặt i chấm, lần sau xuất hiện mặt j chấm".

Định nghĩa 1.3.

- Biến cố ngẫu nhiên (gọi tắt là biến cố ) là những hiện tượng, sự kiện có thể xảy ra hoặc không xảy ra trong phép thử ngẫu nhiên Người ta thường dùng các chữ cái in hoa (A,B,C, ) để kí hiệu cho biến cố ngẫu nhiên.

- Tập ∅ được gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không) Còn tập Ω được gọi là biến cố chắn chắn.

Ví dụ 1.3 Một hộp gồm 4 viên bi gồm một bi hồng (H), một bi xanh (X), một bi vàng (V), một bi trắng (T) Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi Khi đó:

- Không gian mẫu Ω = {{H, X}, {H, V }, {H, T }, {X, V }, {X, T }, {V, T }} - Gọi A là biến cố chọn được bi vàng Ta có A = {{V, H}, {V, X}, {V, T }} - Nếu khi thực hiện phép thử, ta chọn được một bi xanh và một bi vàng thì kết quả này là kết quả thuận lợi cho biến cố A.

- Biến cố chọn được 2 viên bi đỏ là biến cố không thể (∅).

- Biến cố chọn được bi xanh hoặc hồng hoặc vàng là biến cố chắc chắc (Ω) Định nghĩa 1.4 Cho A và B là hai biến cố của không gian mẫu Ω

(i) Phép giao: Giao của hai biến cố A và B, kí hiện A ∩ B (hoặc AB), là biến cố xảy ra khi và chỉ khi đồng thời gian biến cố A và B xảy ra.

A ∩ B = {ω ∈ Ω : ω ∈ A và ω ∈ B}

Giao của n biến cốAi, i = 1, n, kí hiệuA1∩A2∩ ∩An(hoặcA1A2A3 An,Tni=1Ai), là biến cố xảy ra nếu đồng thời các biến cố Ai cùng xảy ra Nếu hai biến cố A và B không thể đồng thời xảy ra (A ∩ B =∅) thì ta nói A và B xung khắc. (ii) Phép hợp: Hợp của hai biến cố A và B, kí hiệu A ∪ B, là biến cố xảy ra khi

và chỉ khi có ít nhất một trong hai biến cố A, B xảy ra A ∪ B = {ω ∈ Ω : ω ∈ A hoặc ω ∈ B}

Hợp của n biến cốAi, i = 1, n, kí hiệu A1∪ A2∪ ∪ An (hoặc Sn

i=1Ai), là biến cố xảy ra nếu ít nhất một trong các biến cố A1 xảy ra.

(iii) Biến cố đối: Biến cố A = Ω\A được gọi là biến cố đối của A (biến cố đối của biến cố A còn được kí hiệu làAc) Nếu A xảy ra thì A không xảy ra và ngược

i=1Ai thông qua các biến cố đối của Ai có thể được thực hiện bởi «Luật De Morgan»:

i=1Ai=Tni=1Ai

Ví dụ 1.4 Chọn ngẫu nhiên một chữ số từ tập hợp I = {0, 1, 2, , 9} Gọi A, B và C lần lượt là các biến cố chọn được chữ số chẵn, chọn được chữ số lẻ và

Định nghĩa 1.5 Cho Ωlà một tập hợp khác rỗng Một lớp F các tập con củaΩ được gọi là σ-đại số nếu thỏa mãn 3 điều kiện:

Định nghĩa 1.6 ChoF là mộtσ-đại số trên tậpΩ Hàm tập hợpP : F →R được gọi là độ đo xác suất nếu thỏa mãn 3 điều kiện:

(i) Với mọi A ∈ F , 0⩽P (A)⩽1;

(ii) F là một σ-đại số trên tập Ω (iii) P là một đo xác suất trên F

được gọi là không gian xác suất Mỗi phần tử A ∈ F được gọi là biến cố và giá trị P (A)được gọi là xác suất của biến cố A.

Lưu ý rằng ở mục 1.3 mỗi biến cố A là một tập con (tập tất cả các kết quả thuận lợi cho biến cố đó xảy ra) của không gian mẫu Trong đinh nghĩa ở trên, tập con này chính là một phần tử củaF và là một tập đo được theo độ đo xác suất P nên giá trị P (A)được xác định và được gọi là xác suất của biến cố A.

Từ định nghĩa trên ta có một số tính chất cơ bản của xác suất như sau.

Chứng minh Vì A ⊂ B nên B = A ∪ (AB) Do đó:

P (B) = P (A ∪ (AB)) = P (A) + P (AB) ⩾P (A)

□ Tính chất 1.4 Với A và B là hai biến cố bất kì,

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (AB).

Chứng minh Áp dụng điều kiện (iii) của Định nghĩa 1.6 ta có các đẳng thức sau: (i) P (A ∪ B) = P (AB) + P (AB) + P (AB).

(ii) P (A) + P (AB) = P (A ∪ B)

P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (AB) − P (BC) − P (AC) + P (ABC) Ví dụ 1.5 Có hai học sinh A và B Xác suất A, B đạt trong kì thi sắp tới lần lượt là0, 6 và 0, 5 Xác suất cả hai học sinh đều đạt là 0, 3 Tính xác suất để cả hai học sinh đều không đạt.

Giải Gọi A, B là các biến cố học sinh A, B đạt Ta có: P (A) = 0, 6; P (B) = 0, 5; P (AB) = 0, 3 Xác suất cả hai học sinh đều không đạt:

P (A.B) = 1 − P (A ∪ B) = 1 − [P (A) + P (B) − P (AB)] = 1 − (0, 6 + 0, 5 − 0, 4) = 0, 3 Định nghĩa 1.8 Khái niệm xác suất theo quan điểm cổ điển

Giả sử không gian mẫu Ω là một tập vô hạn đếm được có dạng: Ω = {ω1, ω2, ω3, }.

trong đó |A| là số phần tử của tập A Từ đó, ta có định nghĩa xác suất theo quan niệm cổ điển sau đây.

Định nghĩa 1.9 Xét phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫuΩ hữu hạn và các kết quả đồng khả năng Khi đó, với mọi biến cốA liên quan đến phép thử, xác suất của biến cố |A| được đinh nghĩa:

P (A) =|A||Ω| trong đó |A| là số phần tử của tập A

Ví dụ 1.7 Một lớp có 40 sinh viên, trong đó có 15 sinh viên biết tiếng Anh, 17 sinh viên biết tiếng Pháp và 6 sinh viên biết cả hai thứ tiếng Anh và Pháp Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên Tìm xác suất sinh viên đó biết ít nhất một ngoại ngữ tiếng Anh hoặc tiếng Pháp.

Giải Gọi A là biến cố chọn được sinh viên biết tiếng Anh, B là biến cố chọn được sinh viên biết tiếng Pháp Vậy xác suất cần tìm: Định nghĩa 1.10 Khái niệm xác suất theo quan điểm thống kê

Xét biến cố A trong phép thử G Giả sử ta tiến hành n phép thử thì có m lần xuất hiện biến cố A Tỉ số fn = m

n được gọi là tần suất xuất hiện A Khi số phép thử n tăng lên vô hạn, tần suất fn sẽ hội tụ (hầu chắc chắn) đến giá trị p Giá trị này được xem là xác suất của biến cố A.

Trong thực tế, khi n lớn, ta có thể xem:

p = P (A) ≈ fn.

Định nghĩa 1.11 Khái niệm xác suất theo quan điểm hình học

Giả sử không gian mẫu Ω là một miền đo được (trên đường thẳng, trong mặt phẳng, không gian ba chiều, ) và S là một miền con đo được của Ω Ta lấy ngẫu nhiên một điểm trong miền Ω và đặt A là biến cố M ∈ S Khi đó, xác suất của biến cố A được xác định như sau:

P (A) = m(S) m(Ω).

trong đó m(S), m(Ω) là số đo của miền S và Ω Cụ thể:

- Nếu Ω là đường cong hay đoạn thẳng thì m(.) là hàm chỉ độ dài - Nếu Ω là hình phẳng hay mặt cong thì m(.) là hàm chỉ diện tích - Nếu Ω là hình khối ba chiều thì m(.) là hàm chỉ thể tích.

1.1.3 Xác suất có điều kiện

Định nghĩa 1.12 Cho không gian xác suất (Ω, F , P ) và hai biến cố A, B ∈F với P (B) ̸= 0 Xác suất của A với điều kiệnB xảy ra, kí hiệu P (A \ B), xác định bởi:

P (A|B) = P (A ∩ B) P (B)

Ví dụ 1.8 Tỉ lệ sinh viên thích chơi bóng đá là 55%, tỉ lệ sinh viên vừa thích chơi bóng đá vừa thích chơi cầu lông là 30% Chọn ngẫu nhiên một sinh viên thì thấy bạn này thích chơi bóng đá Tìm xác suất để sinh viên này thích chơi cầu lông.

Giải Gọi A là biến cố sinh viên được chọn thích chơi bóng đá, B là biến cố sinh viên được chọn thích chơi cầu lông Xác suất để sinh viên này thích cầu lông là: (ii) P (A|B) + P (A|B) = 1

(iii) Nếu (Ai; 1⩽ i⩽n) là các biến cố đôi một xung khắc thì:

(iv) Nếu P (B) ̸= 0 thì P (A ∩ B) = P (B)P (A|B). Nếu P (A) ̸= 0 thì P (A ∩ B) = P (A)P (B|A) (v) P (B|A) = P (B)P (A|B)

P (A) nếuP (A)P (B) ̸= 0. 1.1.4 Công thức nhân xác suất

Định lí 1.1 Cho A1, A2, An là các biến cố của không gian mẫu Ω thỏa Ví dụ 1.9 Trong một trường đại học có 40%sinh viên học tiếng Anh, 30% sinh viên học tiếng Pháp, trong số sinh viên học tiếng Anh có 55% sinh viên học tiếng Pháp Chọn ngẫu nhiên một sinh viên, biết sinh viên đó học tiếng Pháp Tính xác suất để sinh viên đó học tiếng Anh.

Giải Gọi A là biến cố chọn được sinh viên biết tiếng Anh, B là biến cố chọn được sinh viên biết tiếng Pháp.

Định nghĩa 1.13 Một tập hữu hạn các biến cố {A1; A2; ; An} (n ⩾ 2) được gọi là độc lập nếu với mọi k(2⩽k ⩽n) biến cố bất kì

An1, An2, , Ank, 1⩽ n1 < n2< < nk ⩽n ta có:

P (An1, An2, , Ank) = P (An1)P (An2) P (Ank).

Dễ thấy rằng, một tập con các biến cố của một tập hữu hạn các biến cố độc lập cũng độc lập.

Định lí 1.2 Nếu A và B độc lập thì A và B, A và B, A và B là những cặp biến cố độc lập.

Giải Giả sử A và B là hai biến cố độc lập, ta chứng minh A và B độc lập Việc chứng minh A và B, A và B độc lập hoàn toàn tương tự.

Theo định nghĩa hai biến cố độc lập ta có:

P (AB) = P (A)P (B) ⇔ P (AB) = P (A)[1 − P (B)]⇔ P (A) − P (AB) = P (A)P (B)⇔ P (AB) = P (A)P (B)

Nhận xét 1.2 Từ Định lí 1.2 ta có: Nếu A1; A2; ; An là các biến cố độc lập thì các biến cố B1, B2, Bn trong đó Bi là Ai hoặc Ai, cũng độc lập

Ví dụ 1.10 Hộp thứ nhất có 9 viên bi đỏ và 11 viên bi xanh, hộp thứ hai có 7 viên bi đỏ và 8 viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 viên bi Tính xác suất:

a Lấy được hai viên bi cùng màu xanh b Lấy được một bi đỏ và một bi xanh.

Giải Gọi A và B lần lượt là biến cố lấy từ hộp thứ nhất và thứ hai được viên bi màu xanh Ta cóA và B là 2 biến cố độc lập 1.1.6 Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Định nghĩa 1.14 Một hệ gồm n biến cố E1; E2; ; En được gọi là hệ đầy đủ nếu thỏa mãn hai điều kiện:

(i) Ei∩ Ej =∅ nếu i ̸= j (các biến cố đôi một xung khắc) (ii) E1∪ E2 ∪ En= Ω (chắc chắn có 1 biến cố xảy ra).

Nhận xét 1.3 Từ định nghĩa hệ đầy đủ ta suy ra: NếuE1; E2; ; En là hệ đầy đủ thì:

P (E1) + P (E2) + + P (En) = 1

Điều ngược lại nói chung là không đúng Ví dụ 1.11.

a Cho A và B là hai biến cố bất kỳ Khi đó, các hệ {∅, Ω}, {A, A}{AB, AB, AB, AB} là các hệ đầy đủ.

b Trong lớp học có 15 nam và 20 nữ Lấy ngẫu nhiên 5 bạn Gọi Ai là biến cố lấy đượci học sinh nam, i = 0, 15 Khi đó hệ {H0, H1, H2, H15} là hệ đầy đủ.

Định lí 1.3 Giả sử {Ei; 1⩽i⩽n} là một hệ đầy đủ sao cho P (Ei) > 0, A là biến cố bất kì Khi đó:

(1) P (A) = P (E1)P (A|E1) + + P (En)P (A|En).

Nếu thêm điều kiện P (A) > 0 thì: P (Ei|A) = P (Ei)P (A|Ei) P (A)

(2) P (Ei|A) = P (Ei)P (A|Ei)

P (E1)P (A|E1) + + P (En)P (A|En)

Công thức (1) được gọi là công thức xác suất toàn phần (hay công thức xác suất đầy đủ) Công thức (2) được gọi là công thức Bayes.

Chứng minh Để chứng minh (1) ta có:

A = A ∪ Ω = A ∪ (E1∪ E2∪ ∪ En) = AE1∪ AE2∪ ∪ AEn Do AE1∪ AE2∪ ∪ AEn đôi một xung khắc nên

P (A) = P (AE1) + P (AE2) + + P (AEn)= P (E1)P (A|E1) + + P (En)P (A|En)

Công thức (2) được chứng minh từ tính chất xác suất và công thức (1) □ Ví dụ 1.12 Một nhà máy có 3 phân xưởng sản xuất Phân xưởng I, II, III sản xuất lần lượt được 40%, 20%, 10% sản phẩm Biết rằng tỉ lệ phế phẩm do phân xưởng I, II, III tương ứng là 2%, 1%, 3% Lẫy ngẫu nhiên 1 sản phẩm của nhà máy.

a Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra là phế phẩm.

b Giả sử sản phẩm lấy ra là chính phẩm Tính xác suất để sản phẩm đó do phân xưởng I sản xuất.

Giải Gọi E1, E2, E3 lần lượt là các biến cố snar phẩm lấy ra là của phân xưởng I, II, III Khi đó {E1; E2; E3} là hệ đầy đủ.

a Gọi A là biến cố sản phẩm lấy ra là phế phẩm Theo công thức xác suất

1.2 Biến ngẫu nhiên

1.2.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên

Ví dụ 1.13 Xét phép thử ngẫu nhiên tung đồng thời 2 con xúc xắc Gọi X là tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con xúc xắc Ta có không gian mẫu Ω = {(m, n) : m = 1, 6 = 1, 6} Khi đó X là một ánh xạ từ không gian mẫu vào tập số thực R xác định bởi X(m, n) = m + n Ở đây X không chỉ là một ánh xạ thông thường mà nó còn có một tính chất là mỗi lần tung xúc xắc thì giá trị nhận được củaX là một số ngẫu nhiên phụ thuộc vào kết quả thu được của phép thử Vì vậy X được gọi là biến ngẫu nhiên.

Ta có định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.15 Cho không gian xác suất (Ω, O, P) ánh xạ X : Ω → R được gọi là biến ngẫu nhiên nếu với mọi A ∈ B(R) :

X−1(A) = {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ A} ∈ F

Tập tất cả các giá trị của X được gọi là miền giá trị của X và kí hiệu là X(Ω) Ví dụ 1.14.

a Tung một đồng xu cho đến khi nào xuất hiện mặt sấp thì dừng lại Gọi X là số lần tung Kí hiệu hai mặt sấp và ngửa của đồng xu là S và N Ta có không gian mẫu: Ω = {S, N S, N N S, } và σ−đại số F là tập tất cả các tập con của Ω.

b Chọn ngẫu nhiên một sinh viên của trường đại học A, gọiX là chiều cao của sinh viên đó.

Ta có không gian mẫu Ω = {toàn bộ sinh viên của đại học A}, σ−đại số F là tập tất cả các tập con của Ω.

Khi đó với mỗisv ∈ Ω, X(sv) = chiều cao củasv Tương tự Ví dụ trên ta có X là biến ngẫu nhiên.

Nhận xét 1.4 Để cho gọn trong trình bày, với A ⊂R, ta kí hiệu: (X ∈ A) := {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ A}.

Chẳng hạn:

(a < X ⩽b) := {ω ∈ Ω : a < X(ω)⩽b},(X = a) := {ω ∈ Ω : X(ω = a)}.

1.2.2 Phân loại biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.16 Nếu biến ngẫu nhiênX có miền giá trị có số lượng hữu hạn hoặc vô hạn đếm được thì X được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc.

Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X có miền giá trị X(Ω) = {x1, x2, }, hàm số p(x)

được gọi là hàm xác suất (the probability mass function) của biến ngẫu nhiên X Trong trường hợp X(Ω) hữu hạn thì ta có thể lập bảng các giá trị của p(x) như

Bảng trên được gọi là bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X Ví dụ 1.15 Một hộp đựng 3 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh, các viên bi giống nhau về kích thước và khối lượng Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi, gọi X là số bi đỏ có trong 3 viên bi lấy ra.

a Lập bảng phân phối xác suất của X b Tính xác suất P (X ⩽ 1).

Giải a Ta có X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị 0, 1, 2, 3 P (X = 0) = P (lấy ra được 3 bi xanh)= C

Ví dụ 1.16 Tung một con xúc xắc cho đến khi xuất hiện mặt một chấm thì dừng lại GọiX là số lần tung.

a Tìm hàm xác suất của biến ngẫu nhiên X.

Ví dụ 1.17 Trong một tháng, số học sinh vắng họcX của một lớp có phân phối như sau:

P (X − k) = C

1 + k, k = 0, 5.

Tìm C và tính xác suất trong một tháng có ít nhất 2 học sinh nghỉ học Định nghĩa 1.17 Cho biến ngẫu nhiên X : Ω → R. Nếu tồn tại hàm số y = f (x) thỏa mãn f (x)⩽0 ∀x sao cho với mọi a⩽b ta có:

Chọn ngẫu nhiên một thiết bị điện loại trên Tính xác suất: a Thiết bị đó có tuổi thọ thấp hơn 1 năm.

b Thiết bị đó có tuổi thọ cao hơn 2 năm.

1.2.3 Hàm phân phối xác suất

Định nghĩa 1.18 Cho biến ngẫu nhiên X, hàm số: FX(x) = P (X < x), x ∈R.

được gọi là hàm phân phối xác suất củaX.

1 NếuX là biến ngẫu nhiên rời rạc với miền giá trị{x1, x2, , xn, } và hàm

Tìm hàm phân phối xác suấtF (x) của biến ngẫu nhiên X Giải Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X là:

Tìm hàm phân phối xác suấtF (x) của biến ngẫu nhiên X Giải Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X là:

(ii) Không giảm: nếu x1⩽x2 thì F (x1)⩽F (x2) (iii) Liên tục trái trên R, tức là: lim

b Tìm hàm phân phối của Y = 2X + 1. Giải a Vì F (x) liên tục trái nên:

Định nghĩa 1.19 Cho biến ngẫu nhiên X xác định trên không gian xác suất (Ω, F , P) có hàm phân phối xác suất FX(x) Khi đó, nếu:

Tính chất 1.10.

(i) Nếu X = C là hằng số thì E(C) = C

(ii) Nếu a, b ∈ R và X, Y là hai biến ngẫu nhiên cùng xác định trên không gian

Ví dụ 1.25 Tính kì vọng của biến ngẫu nhiênX trong hai trường hợp sau: a X có phân phối rời rạc với bảng phân phối xác suất:

Định lí 1.5 Cho X là biến ngẫu nhiên và g(x) là hàm Borel trên R sao

Ví dụ 1.26 Trong hộp có 7 bút xanh và 3 bút đỏ Một sinh viên rút ngẫu nhiên 2 bút để mua Giá bút xanh và đỏ lần lượt 2000 đồng và 3000 đồng Tìm số tiền trung bình sinh viên này phải trả.

Giải Gọi X (ngàn đồng) là số tiền sinh viên này phải trả Ta có X nhận các giá 1.2.5 Phương sai và độ lệch chuẩn

Định nghĩa 1.20 Cho biến ngẫu nhiên X xác định trên không gian xác suất (Ω,F , P) Khi đó, nếu tồn tại kỳ vọng E(X − E(X))2 thì giá trị này được gọi là phương sai của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu V (X) (V ar(X), D(X)), tức là:

V (X) = E(X − E(X))2

Giá trị SD(X) =pV (X) được gọi là độ lệch chuẩn của X Tính chất 1.11.

(i) V (X)⩾ 0, V (X) = 0 khi và chỉ khi P (X = C) = 1 (C-hằng số) (ii) V (X) = E(X2) − (E(X))2.

(iii) V (aX + b) = a2V (X) với mọi a, b ∈ R.

Nhận xét 1.6 Phương sai cũng như độ lệch chuẩn, dùng để đo mức độ phân tán các giá trị của biến ngẫu nhiên quanh kỳ vọng của nó Phương sai càng lớn thì các giá trị của biến ngẫu nhiên phân tán càng rộng Khi phương sai nhỏ, các giá trị của biến ngẫu nhiên tập trung xung quanh giá trị kỳ vọng của nó.

Ví dụ 1.27 Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất:

Giải a Vì P (X < 2) = 0, 4 < 0, 5 và P (X > 2) = 0, 2 < 0, 5 nênmed(X) = 2.

b Ta cómed(X) = m ∈ [1; 2] vì P (X < m) ⩽0, 5 và P (X > m)⩽0, 5 với mọi

1.2.7 Biến ngẫu nhiên độc lập

Định nghĩa 1.22 Các biến ngẫu nhiên X1, X2, Xn(n ⩾ 2) được gọi là độc lập nếu với mọi x1, x2, xn ∈R ta có:

Dãy biến ngẫu nhiên(Xn; n⩾1) được gọi là độc lập nếu mọi dãy con hữu hạn của nó là các biến ngẫu nhiên độc lập.

Định lí 1.7 Nếu hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập thì: (i) E(XY ) = E(X)E(Y )

(ii) V (X ± Y ) = V (X) + V (Y )

Định nghĩa 1.23 Dãy biến ngẫu nhiên (Xn; n ⩾ 1) được gọi là đôi một độc lập nếu với mọi i ̸= j ta có:

P ({Xi < x} ∩ {Xj < y}) = P ({Xi < x}).P ({Xj < y}) ∀x, y ∈R 1.2.8 Một số phân phối xác suất quan trọng

Định nghĩa 1.24 Biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là có phân phối Bernoulli với tham sốp(0 < p < 1) nếu X có miền giá trị X(Ω) = {0, 1} và hàm xác suất:

Tính chất 1.12 Nếu X ∼Ber(p) thì E(X) = p và V (X) = p(1 − p)

Định nghĩa 1.25 Biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là có phân phối nhị thức với tham sốnvàp(n ∈R∗và0 < p < 1)nếuXcó miền giá trịX(Ω) = {0, 1, , n}

(i) Nếu X ∼B(n, p) thì E(X) = np và V (X) = np(1 − p).

(ii) Nếu X1, X2, , Xn là n biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối xác suất với X ∼B(n, p) thì biến ngẫu nhiên T = X1+ X2+ + Xn có phân phối nhị thức B(n, p)

Nhận xét 1.7.

(i) B(1, p) là phân phối Ber(p).

(ii) Xét dãy n phép thử Bernoulli với xác suất thành công là p Lúc đó, nếu gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần thành công trong dãy n phép thử này thì X ∼B(n, p).

Hình 1.1: Đồ thị hàm xác suất của B(10; 0; 4)

Hình 1.2: Đồ thị hàm xác suất của B(20; 0; 6)

Ví dụ 1.29 Tỉ lệ phế phẩm của một nhà máy là 12% Các sản phẩm của nhà máy được đóng gói thành từng hộp, mỗi hộp 20 sản phẩm.

a Trung bình mỗi hộp chứa bao nhiêu phế phẩm? Tính độ lệch chuẩn số

Ví dụ 1.30 Một sinh viên thi vấn đáp trả lời 5 câu hỏi một cách độc lập Khả năng trả lời đúng mỗi câu hỏi đều bằng 60% Nếu trả lời đúng thì sinh viên được 4 điểm, ngược lại bị trừ 2 điểm.

a Tìm xác suất để sinh viên đó trả lời đúng 3 câu b Tìm số điểm trung bình mà sinh viến đó đạt được.

c Một sinh viên khác vào thi với khả năng trả lời đúng mỗi câu đều như nhau và cho rằng số điểm trung bình đạt được không ít hơn 14 Hỏi sinh viên này phán đoán khả năng trả lời đúng mỗi câu tối thiểu là bao nhiêu?

Giải Ta có mô hình Bernoulli với n = 5 và p = 0, 6 Gọi X là số câu trả lời đúng của sinh viên này Lúc đó: X ∼ B(n = 5; p = 0, 6).

a P (X = 3)p5(3) = C53.0, 63.0, 42.

b GọiY là số điểm sinh viên này đạt được Ta cóY = 4X −2(5−X) = 6X −10 Số điểm trung bình sinh viên này đạt được:

E(Y ) = 6E(X) − 10 = 6np − 10 = 6.5.0, 6 − 10 = 8(điểm)

c Gọi p là xác suất trả lời đúng mỗi câu của sinh viên mới này: Gọi Z và T là số câu trả lời đúng và số điểm đạt được Tương tự, ta có:

Z ∼ B(n = 5; p); T = 6Z − 10 Theo giả thiết:

E(T )⩾14 ⇔ 6np − 10 = 30p − 10 ⩾14 ⇔ p⩾0, 8

Vậy sinh viên này dự đoán khả năng trả lời đúng tối thiểu mỗi câu là 80% □ Định nghĩa 1.26 Biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là có phân phối Poisson với tham số λ (λ > 0) nếu X có miền giá trị N = {0, 1, 2, } và hàm xác

(i) Nếu X ∼P oi(λ) thì E(X) = λ, V (X) = λ

(ii) Nếu X1, X2, Xn là n biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối với P oi(λ) thì biến ngẫu nhiên T = X1+ X2+ + Xn có phân phối Poisson P oi(nλ).

Nhận xét 1.8 Trong thực tế phân phối Poisson phản ánh phân phối số lượng các biến cố xuất hiện trong mỗi khoảng thời gian (số cuộc điện thoại gọi đến tổng đài, số khách hàng đến rút tiền từ một ngân hàng, ) và có tham số tỉ lệ với độ dài khoảng thời gian đó.

Ta có thể giải thích hiện tượng này như sau: Gọi N (t) là số biến cố xuất hiện trong khoảng thời gian [0; t] Giả sử 3 giả thiết sau đây được thỏa mãn:

(i) Xác suất có đúng 1 biến cố xuất hiện trong khoảng thời gian có độ dàih bằng λh + o(h) với λ > 0 - hằng số.

(ii) Xác suất có ít nhất 2 biến cố xuất hiện trong khoảng thời gian có độ dài h bằng o(h2).

(iii) Số biến cố xuất hiện trong các khoảng thời gian không giao nhau là các biến ngẫu nhiên độc lập nhau.

Khi đó, người ta chứng minh được rằng: P (N (t) = k) = (λt)

k! , k ⩾0.

Điều này có nghĩa N (t) ∼ P oi(λt). Tham số λ chính là số biến cố trung bình xuất hiện trong một đơn vị thời gian.

Ví dụ 1.31 Một gara cho thuê xe ô tô có 2 ô tô loại A số đơn đặt hàng ô tô loại này vào ngày cuối tuần có phân phối Poisson với số đơn trung bình 2 đơn/ngày Tính xác suất trong ngày cuối tuần:

a Có 1 ô tô loại A được thuê b Có 2 ô tô loại A được thuê.

c Gara không đáp ứng nhu cầu thuê ô tô loại này.

Giải GọiXlà số đơn đặt hàng thuê ô tô ngày cuối tuần của gara Ta cóX ∼P oi(2)

Định lí 1.8 (Luật biến cố hiếm) Cho Xn; n⩾1 là dãy biến ngẫu nhiên phân phối nhị thứcXn ∼ B(n; pn) Nếu tồn tại giới hạn lim

Các thừa số khác có giới hạn bằng 1 Từ đó ta có điều phải chứng minh □

Ví dụ 1.32 Tỉ lệ phế phẩm của một nhà máy là 0,006 Lấy ngẫu nhiên 1000 sản phẩm của nhà máy, tính xác suất có đúng 9 phế phẩm.

Giải Gọi X là số phế phẩm trong 1000 sản phẩm Khi đó X ∼ B(1000; 0; 0, 006) Vìn = 1000 khá lớn và p = 0, 006 khá bé nên ta có thể xem X có phân phối xấp xỉ phân phối Poisson với λ = np = 6:

P (X = 0) ≈ e−6.6 9

9!≈ 0, 069

□ Ví dụ 1.33 Một xưởng in sách thấy rằng trung bình một cuốn sách 500 trang có chứa 300 lỗi Giả sử số lượng chữ trên mỗi trang là như nhau Tính xấp xỉ xác suất trong một trang: Định nghĩa 1.27 Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối đều trên đoạn [a; b](a < b) nếu có hàm mật độ xác suất: Ví dụ 1.34 Xe buýt đến trạm dừng A tại một thời điểm cố định bắt đầu từ 7h và liên tục lặp lại trong khoảng thời gian 15ph (tức là: 7h, 7h15, 7h30, ).

Giả sử một khách đến trạm dừng A tại thời điểm có phân phối đều trên đoạn [7h, 7h30] Tình xác suất người này chờ xe buýt ít hơn 5ph.

Giải Gọi X (ph) là thời gian tính từ lúc 7h người này đến trạm dừng A Theo giả thiết X có phân phối đều trên [0; 30] Hàm mật độ của X: Định nghĩa 1.28 Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối mũ với tham số λ(λ > 0) nếu có hàm mật độ:

Nhận xét 1.10 Trong thực tế, phân phối mũ thường thể hiện phân phối khoảng thời gian chờ giữa các lần xảy ra biến cố hay thời gian sống của các đối tượng.

Để giải thích điều này, ta gọi Tn là thời điểm mà biến cố thứ n xuất hiện và N (t) là số biến cố xuất hiện trong khoảng thời gian [0, t] Khi đó:

Từ đó, hàm mật độ của Tn:

fTn(t) = λe

−λt(λt)n−1 (n − 1)!

- Phân phối của Tn thường được gọi là phân phối Gamma với tham số (n; λ) (đôi lúc còn gọi là phân phối n - Erlang)

- Khi n = 1, T1 có phân phối mũ với tham số λ

Ví dụ 1.35 Giả sử tuổi thọ (X)của một chiếc quạt trong máy tính là một biến ngẫu nhiên phân phối mũ với tuổi thọ trung bình là 3300 giờ Tính xác suất:

a Chiếc quạt hỏng trước 10000 giờ.

b Chiếc quạt có tuổi thọ lớn hơn 7000 giờ Giải Theo giả thiết E(X) = 1 Định nghĩa 1.29 Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối chuẩn với tham số µ và σ(−∞ < µ < +∞, σ > 0) nếu có hàm mật độ xác suất:

Dưới đây là hình dáng đồ thị của hàm mật độ xác suất f (x):

Hình 1.4: Phân phối chuẩn N (µ, σ2)

Hình 1.5: Đồ thị hàm mật độ có cùng phương sai, khác giá trị trung bình

Hình 1.6: Đồ thị hàm mật độ có cùng giá trị trung bình, khác phương sai

Định nghĩa 1.30 Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với tham số µ = 0 và σ = 1 được gọi là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc và kí hiệu là Z Khi đó, hàm mật độ xác suất được kí hiệu là φ(x),

3 Nếu X1, , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn Xi ∼ N (µi, σi2), i = 1, nthì biến ngẫu nhiên X = λ1X1+ + λnXn+ C (λi, C là các hằng

Ví dụ 1.37 Giả sử số đo chiều dài của một sợi dây kim loại do một máy tự động cắt ra là một biến ngẫu nhiên chuẩn với µ = 10mm, σ2= 4mm2.

a Tính xác suất lấy ra được một sợi dây có chiều dài lớn hơn 13mm b Tìm tỉ lệ sợi dây do máy cắt ra có chiều dài tử 8, 5mm đến 12, 5mm Giải Gọi X(mm) là số đo chiều dài sợi dây kim loại Theo giả thiết, X ∼ N (10; 4) Do đó:

a P (X > 13) = 1 − P (X ⩽13) = 1 − Φ(1, 5) = 0, 067.

b P (8, 5⩽X ⩽12, 5) = Φ(1, 25) − Φ(−0, 75) = 0, 668 □ Ví dụ 1.38 Đường kính của một trục trong ổ đĩa quang là một biến ngẫu nhiên chuẩn với đường kính trung bình là 0, 2508inch và độ lệch chuẩn 0, 0005inch Thông số kỹ thuật ghi trên trục là0, 25 ± 0, 0015inch Tìm tỉ lệ trục có đường kính