Đang tải... (xem toàn văn)
1.5.1 Tåa ë t¥m t¿ cü cõa h» hai iºm 9
1.5.2 Tåa ë t¥m t¿ cü cõa h» ba iºm 10
1.5.3 Tåa ë t¥m t¿ cü cõa h» nhi·u iºm 11
Trang 9MÐ U 1 Lþ do chån · t i
Trong ch÷ìng tr¼nh h¼nh håc phê thæng, chóng ta ÷ñc nghi¶n cùu lþ thuy¸t vectì, vªn döng cæng cö vectì º chùng minh c¡c t½nh ch§t h¼nh håc, x¥y düng c¡c h» thùc l÷ñng công nh÷ thüc hi»n c¡c t½nh to¡n li¶n quan ¸n ë d i, gâc v di»n t½ch Vi»c x¥y düng kh¡i ni»m vectì ¢ d¨n ¸n sü h¼nh th nh nhúng c¡ch ti¸p cªn mîi v ph÷ìng ph¡p mîi º gi£i c¡c b i to¡n h¼nh håc, trong â cæng cö chõ y¸u l c¡c ph²p bi¸n êi ¤i sè C¡c b i to¡n h¼nh håc trong ch÷ìng tr¼nh THCS chõ y¸u ÷ñc nh¼n nhªn b¬ng ph÷ìng ph¡p trüc quan, düa tr¶n nhúng kh¡i ni»m v t½nh ch§t cì b£n nh§t cõa h¼nh håc ( iºm, ÷íng th¯ng, gâc, kho£ng c¡ch, ) Kh¡c vîi c¡c ph÷ìng ph¡p ÷ñc dòng khi gi£i to¡n h¼nh håc ð bªc THCS, vectì ÷ñc x¥y düng düa tr¶n c¡c kh¡i ni»m iºm, ph÷ìng, h÷îng v ë d i o¤n th¯ng n¶n s³ li¶n quan ¸n c¡c kh¡i ni»m kh¡c trong h¼nh håc v c¡c quan h» giúa chóng ¥y l cì sð º chóng ta câ thº di¹n ¤t mët b i to¡n h¼nh håc thu¦n tóy d÷îi d¤ng ngæn ngú vectì Vi»c gi£i c¡c b i to¡n h¼nh håc b¬ng ph÷ìng ph¡p vectì s³ gâp ph¦n ph¡t triºn t÷ duy s¡ng t¤o cho ng÷íi håc, çng thíi r±n luy»n nhúng kÿ n«ng t½nh to¡n, suy luªn logic, bi¸t c¡ch nh¼n nhªn b i to¡n theo nhi·u gâc ë kh¡c nhau Tø nhúng ph¥n t½ch v ¡nh gi¡ ð tr¶n, tæi lüa chån · t i Ùng döng ph÷ìng ph¡p vectì trong gi£i to¡n h¼nh håc ph¯ng · t i tªp trung l m rã mët sè d¤ng to¡n h¼nh håc ph¯ng câ thº gi£i b¬ng ph÷ìng ph¡p vectì, çng thíi qua â gióp ng÷íi håc th§y ÷ñc t½nh ÷u vi»t cõa ph÷ìng ph¡p vectì.
2 èi t÷ñng nghi¶n cùu
Vectì v c¡c ph²p to¡n tr¶n vectì 3 Ph¤m vi nghi¶n cùu
C¡c b i to¡n h¼nh håc ph¯ng câ thº gi£i b¬ng ph÷ìng ph¡p vectì 4 Möc ti¶u nghi¶n cùu cõa · t i
- T¼m hiºu v h» thèng c¡c ki¸n thùc v· vectì.
- Nghi¶n cùu mët sè k¾ thuªt sû döng vectì trong h¼nh håc ph¯ng, bao gçm: ph²p chi¸u vectì, t¥m t¿ cü, kÿ thuªt dòng t½ch væ h÷îng v t½ch ngo i cõa hai
Trang 105 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu
- Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu lþ luªn: åc v nghi¶n cùu s¡ch gi¡o khoa, gi¡o tr¼nh, t i li»u li¶n quan tîi ùng döng cõa ph÷ìng ph¡p vectì.
- Ph÷ìng ph¡p têng k¸t kinh nghi»m: Têng k¸t kinh nghi»m cõa b£n th¥n v c¡c b¤n b±, anh chà º têng hñp v h» thèng hâa c¡c ki¸n thùc v· v§n · nghi¶n cùu ¦y õ v khoa håc, k¸t hñp ÷a v o c¡c v½ dö minh håa chi ti¸t.
- Ph÷ìng ph¡p l§y þ ki¸n chuy¶n gia: L§y þ ki¸n cõa gi£ng vi¶n trüc ti¸p h÷îng d¨n v c¡c gi£ng vi¶n kh¡c º ho n thi»n v· m°t nëi dung công nh÷ h¼nh thùc.
6 Þ ngh¾a khoa håc v thüc ti¹n cõa · t i
· t i câ gi¡ trà v· m°t lþ thuy¸t v ùng döng Câ thº sû döng luªn v«n l m t i li»u tham kh£o d nh cho gi¡o vi¶n, sinh vi¶n ng nh To¡n, °c bi»t cho håc sinh trong qu¡ tr¼nh håc to¡n ð ch÷ìng tr¼nh phê thæng Tø â gióp håc sinh câ hùng thó, ph¡t triºn cho håc sinh n«ng lüc t÷ duy, gióp håc sinh nhªn th§y mèi li¶n h» giúa tri thùc to¡n håc.
7 K¸t c§u cõa luªn v«n
Ngo i ph¦n mð ¦u v k¸t luªn, nëi dung luªn v«n dü ki¸n ÷ñc chia th nh hai ch÷ìng:
- Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc cì sð
- Ch÷ìng 2 Kÿ thuªt sû döng ph÷ìng ph¡p vectì trong gi£i to¡n h¼nh ph¯ng.
Trang 11CH×ÌNG 1 KIN THÙC CÌ SÐ
Nëi dung cõa ch÷ìng n y ÷ñc d nh º tr¼nh b y c¡c kh¡i ni»m, t½nh ch§t cì b£n cõa vectì, c¡c ph²p to¡n vectì, t¥m t¿ cü, t½ch væ h÷îng v t½ch ngo i cõa hai vectì Nëi dung cõa ch÷ìng n y ÷ñc tham kh£o tø c¡c t i li»u [1], [2], [5].
1.1 Kh¡i ni»m v t½nh ch§t cõa vectì
ành ngh¾a 1.1 Vectì l mët o¤n th¯ng câ h÷îng Mët vectì k½ hi»u l −→
AB, −CD−→, Vectì câ iºm ¦u v iºm cuèi tròng nhau nh÷−→AA ÷ñc gåi l −→0 ành ngh¾a 1.2 Vîi méi vectì −→AB (kh¡c vectì −→0) ÷íng th¯ng AB ÷ñc gåi l gi¡ cõa vectì −→AB Cán èi vîi vectì −→AA th¼ måi ÷íng th¯ng i qua A ÷ñc gåi l gi¡ cõa nâ.
Hai vectì còng ph÷ìng n¸u gi¡ cõa chóng song song ho°c tròng nhau Ph÷ìng cõa−→AB l ph÷ìng (song song) cõa ÷íng th¯ng AB.
i·u ki»n º hai vectì −→AB, −−→CD còng ph÷ìng l −→AB = k.−−→
CD, k ∈ R H÷îng cõa−→AB l h÷îng tø A ¸n B.
Hai vectì −→AB, −−→CD còng h÷îng khi v ch¿ khi−→AB, −−→CD còng ph÷ìng v hai tia AB, CD còng h÷îng K½ hi»u −→AB^^ −−→CD.
i·u ki»n º hai vectì −→AB , −−→CD ng÷ñc h÷îng l −→AB = k.−−→CD, k < 0.
Vectì −→0 th¼ còng ph÷ìng, còng h÷îng vîi måi vectì ë d i cõa −→AB l ë d i cõa o¤n th¯ng AB Kþ hi»u |−→AB|.
ành ngh¾a 1.3 Hai vectì −→AB , −−→CD ÷ñc gåi l b¬ng nhau n¸u chóng còng h÷îng v còng ë d i K½ hi»u −→AB = −−→CD.
i·u ki»n º hai vectì −→AB , −−→CD b¬ng nhau n¸u −→AB^^ −−→CD v |−→AB| = |−−→CD| Hai vectì −→AB, −CD−→ èi nhau n¸u −→AB + −−CD→ = −→0 K½ hi»u −→AB = - −CD−→.
ành ngh¾a 1.4 Cho hai vectì −→a v −→b ·u kh¡c vectì −→0 Tø iºm O b§t ký, ta v³ c¡c vectì −→OA = −→a v −OB→ = −→b Gâc [AOB vîi sè o tø 00 ¸n 1800 ÷ñc
Trang 12gåi l gâc giúa hai vectì−→a v −→b Ta k½ hi»u gâc giúa hai vectì −→a v −→b l (−→a,−→b ).
1.2 C¡c ph²p to¡n vectì
1.2.1 Ph²p cëng vectì
ành ngh¾a 1.5 Cho hai vectì −→a v −→b L§y iºm A b§t ký x¡c ành c¡c iºm B v C sao cho −→AB =−→a, −BC→ =−→b Khi â −→AC ÷ñc gåi l têng cõa hai vectì −
→a v −→b K½ hi»u: −→AC = −→a + −→b
Quy tc 3 iºm v· ph²p cëng vectì.
Vîi 3 iºm b§t ký A, B, C ta câ: −→AC = −→AB + −BC→ Khi iºm A v C tròng nhau: −→AB + −→BA = −→AA = −→0.
Trang 131.2.2Ph²p trø vectì
ành ngh¾a 1.6 Hi»u cõa hai vectì−→a v −→b, k½ hi»u −→a - −→b l têng cõa vectì −→a v vectì èi cõa vectì −→b , tùc l −→a - −→b =−→a + (−−b→ ) Ph²p l§y hi»u cõa hai vectì
N¸u k ≥ 0 th¼ vectì k.−→a còng h÷îng vectì −→a N¸u k < 0 th¼ vectì k.−→a ng÷ñc h÷îng vectì −→a H» qu£ 1.1 Vîi måi −→a v sè thüc k, ta câ:
Trang 14ành l½ 1.4 N¸u G l trång t¥m cõa tam gi¡c ABC th¼ vîi måi iºm M ta câ:
N¸u câ mët trong hai vectì −→a ,−→
b l vectì −→0 th¼ (−→a,−→b ) nhªn mët gi¡ trà tòy
Trang 161.4.2 H÷îng v di»n t½ch ¤i sè cõa tam gi¡c
1.4.2.1 H÷îng cõa tam gi¡c
Cho tam gi¡cABC, ta th§y c¡c h÷îngA → B → C; B → C → A; C → A → B tròng nhau C¡c h÷îng tròng nhau â gåi l h÷îng cõa tam gi¡cABC ÷ìng nhi¶n c¡c tam gi¡cABC, BCA, CAB câ còng h÷îng N¸u h÷îng cõa tam gi¡cABC tròng vîi h÷îng cõa m°t ph¯ng th¼ ta nâi tam gi¡c câ h÷îng d÷ìng (thuªn) N¸u tam gi¡c ABC câ h÷îng ng÷ñc vîi h÷îng cõa m°t ph¯ng th¼ ta nâi tam gi¡c ABC câ huîng ¥m (nghàch).
1.4.2.2Di»n t½ch ¤i sè cõa tam gi¡c
Di»n t½ch ¤i sè cõa tam gi¡c ABC l mët sè, k½ hi»u S[ABC]v x¡c ành nh÷ sau: T÷ìng tü ta câ : S[BCA] = S[CAB].
1.4.2.3Mèi li¶n h» giúa di»n t½ch ¤i sè v di»n t½ch h¼nh håc cõa tam gi¡c Kh¡i ni»m di»n t½ch h¼nh håc ch½nh l kh¡i ni»m di»n t½ch m ta v¨n hiºu theo ngh¾a thæng th÷íng Tuy nhi¶n, khi c¦n ph¥n bi»t kh¡i ni»m di»n t½ch v di»n t½ch ¤i sè th¼ ng÷íi ta th÷íng thay thuªt ngú "di»n t½ch" bði thuªt ngú "di»n t½ch h¼nh håc".
* èi vîi mët tam gi¡c th¼ di»n t½ch ¤i sè v di»n t½ch h¼nh håc cõa nâ ÷ñc li¶n h» vîi nhau bði ành l½ sau ¥y :
N¸u tam gi¡c ABC câ h÷îng d÷ìng th¼ S[ABC] = S(ABC) N¸u tam gi¡c ABC câ h÷îng ¥m th¼ S[ABC] = −S(ABC) Ð ¥y, S(ABC) ch¿ di»n t½ch h¼nh håc cõa tam gi¡c ABC.
Trang 17ii) Vîi måi iºm M ta câ S[ABC] = S[MAB] + S[MBC] + S[MCA] (h» thùc Sa-lì) Nhªn x²t 1.1 Tø kh¡i ni»m v t½nh ch§t cõa t½ch ngo i hai vectì, ta câ ngay k¸t qu£ sau ¥y:
Di»n t½ch tam gi¡c: SABC = 1
1.5.1 Tåa ë t¥m t¿ cü cõa h» hai iºm
M»nh · 1.1 Cho hai iºm A, B v hai sè thüc x, y khæng çng thíi b¬ng 0 Khi â, tçn t¤i duy nh§t iºm I sao cho
V¸ ph£i cõa (1.2) l mët vectì ho n to n x¡c ành, n¶n tø (1.2) suy ra tçn t¤i duy nh§t iºmI thäa m¢n (1.1) M»nh · ÷ñc chùng minh □ ành ngh¾a 1.10 C¡c sè x, y (x + y ̸= 0) ÷ñc gåi l tåa ë t¿ cü cõa iºm I v
Trang 18vi¸t I(x, y) èi vîi h» hai iºm A, B, n¸u câ h» thùc (1.1).
Nhªn x²t 1.4 Kh¡i ni»m t¥m t¿ cü I(x, y) ÷ñc coi l mð rëng cõa kh¡i ni»m trung iºm cõa mët o¤n th¯ngAB v¼ I(1, 1) ch½nh l trung iºm cõa o¤n th¯ng
l cæng thùc trung iºm quen thuëc trong h¼nh håc 1.5.2 Tåa ë t¥m t¿ cü cõa h» ba iºm
M»nh · 1.2 Cho ba iºm A, B, C v ba sè thüc x, y, z thäa m¢n i·u ki»n x +y + z ̸= 0 Khi â, tçn t¤i duy nh§t iºm I = I(x, y, z) sao cho
V¸ ph£i cõa (1.6) l mët vectì ho n to n x¡c ành, n¶n tø (1.6) suy ra tçn t¤i duy nh§t iºmI = I(x, y, z) thäa m¢n (1.6), tùc l thäa m¢n y¶u c¦u m»nh · □
Trang 19ành ngh¾a 1.11 C¡c sè x, y, z(x + y + z ̸= 0) ÷ñc gåi l tåa ë t¿ cü cõa iºm I v vi¸t I(x, y, z) èi vîi h» ba iºm A, B, C ( èi vîi tam gi¡c ABC n¸u A, B, C
Nhªn x²t 1.6 Kh¡i ni»m t¥m t¿ cü I(x, y, z) ÷ñc coi l mð rëng cõa kh¡i ni»m trång t¥m cõa tam gi¡c ABC v¼ I(1, 1, 1) ch½nh l trång t¥m G cõa tam gi¡c ABC.
l cæng thùc trång t¥m quen thuëc èi vîi tam gi¡c.
M»nh · 1.3 Gi£ sû (x, y, z) v (x′, y′, z′) l c¡c tåa ë t¿ cü cõa còng iºm I èi vîi h» ba iºm A, B, C Khi â,
1.5.3 Tåa ë t¥m t¿ cü cõa h» nhi·u iºm
ành ngh¾a 1.12 Cho n iºm A1, A2, , An v n sè thüc k1, k2, , kn thäa m¢n i·u ki»n:k1+ k2+ + kn̸= 0 Khi â, n¸u tçn t¤i duy nh§t mët iºm G sao cho: th¼ G ÷ñc gåi l t¥m t¿ cü cõa h» iºm Ai gn vîi c¡c h» sè ki.
Trong tr÷íng hñp c¡c h» sèki b¬ng nhau th¼ i = (1, n) th¼ G ÷ñc gåi l trång t¥m cõa h» n iºm Ai, i = 1, n.
Trang 20ành l½ 1.8 N¸u G l t¥m t¿ cü th¼ måi iºm O b§t ký ta câ:
AB l vectì b§t k¼ Qua A, B k´ c¡c ÷íng th¯ng song song vîi ℓ, chóng ct ∆ theo thù tü A', B' Vectì−−→A′B′ ÷ñc gåi l h¼nh chi¸u cõa vectì −→AB qua ph²p chi¸u ph÷ìng ℓ l¶n ÷íng th¯ng ∆.
Hiºn nhi¶n, n¸u hai vectì b¬ng nhau th¼ c¡c h¼nh chi¸u cõa chóng qua còng mët ph²p chi¸u vectì công b¬ng nhau.
Nhªn x²t 1.7 Khi nâi ¸n ph²p chi¸u vectì m khæng nâi rã ph÷ìng chi¸u th¼ ta hiºu â l ph²p chi¸u vectì câ ph÷ìng vuæng gâc vîi ÷íng th¯ng chi¸u ành l½ 1.9 Gåi f l ph²p chi¸u vectì ph÷ìng ℓ l¶n ÷íng th¯ng ∆ Ta câ:
f(−→a +−→
b ) = f (−→a ) + f (−→b ) f(k.−→a ) = k.f (−→a ).
f(−→a ) =−→
0 ⇔ Gi¡ cõa −→a song song vîi ℓ f(−→a ) = −→a ⇔ Gi¡ cõa −→a song song vîi ∆.
Trang 21CH×ÌNG 2
Kß THUT SÛ DÖNG PH×ÌNG PHP VECTÌ TRONG GII TON HNH HÅC PHNG
Trong ch÷ìng n y, chóng ta s³ sû döng c¡c k¾ thuªt vectì: Ph²p chi¸u, t¥m t¿ cü, t½ch væ h÷îng, t½ch ngo i trong vi»c gi£i to¡n h¼nh håc ph¯ng C¡c t i li»u tham kh£o ÷ñc sû döng trong ch÷ìng bao gçm [1], [2], [3], [4], [5], [6], [?], [?].
V½ dö 2.1 Cho h¼nh b¼nh h nh ABCD vîi c¡c iºm X, Y, Z, T theo thù tü thuëc c¡c ÷íng th¯ng AB, BC, CD, DA Gåi O1, O2, O3, O4 theo thù tü l t¥m ÷íng trán ngo¤i ti¸p c¡c tam gi¡cBXY , CY Z, DZT , AT X Chùng minh r¬ng O1O2O3O4 l h¼nh b¼nh h nh.
Gåi f, g l c¡c ph²p chi¸u vectì vuæng gâc l¶n AB, AD.
Ta s³ chùng minh hai vectì −−−→O1O4 v −−−→O2O3 câ h¼nh chi¸u qua hai ph²p chi¸u f v g l b¬ng nhau Thªt vªy,
Trang 22V½ dö 2.2 Cho tam gi¡c ABC v O, H l¦n l÷ñt l t¥m ÷íng trán ngo¤i ti¸p v trüc t¥m cõa tam gi¡c Chùng minh r¬ng
Trang 23Theo k¸t qu£ vøa chùng minh ta câ −−→OH = 3−→
OG, d¨n ¸n k¸t qu£ quen thuëc: Trong tam gi¡c, tröc t¥m, trång t¥m v t¥m ÷íng trán ngo¤i ti¸p n¬m tr¶n mët ÷íng th¯ng ( ÷íng th¯ng Euler).
V½ dö 2.3 Cho tam gi¡c ABC, M l iºm b§t k¼ trong tam gi¡c AM , BM, CM l¦n l÷ñt ct BC, CA, AB t¤i A′, B′, C′ Chùng minh r¬ng M l trång t¥m tam gi¡c ABC khi v ch¿ khi M l trång t¥m tam gi¡c A′B′C′.
Gi£i Ta câ M n¬m trong tam gi¡c ABC n¶n ∃α, β, γ ̸= 0 sao cho
Trang 24V½ dö 2.4 Cho tam gi¡cABC, c¡c iºmM, N, P thuëc c¡c ÷íng th¯ngBC, CA, AB Chùng minh r¬ng: AM , BN , CP çng quy t¤i t¥m t¿ cü cõa h» iºm A, B, C ùng vîi c¡c h» sè {α, β, γ} khi v ch¿ chi
Trang 25V½ dö 2.5 Cho△ABC, v³ c¡c trung tuy¸nAM , BN , CP v c¡c ph¥n gi¡cAD, BE, CF C¡c iºm X, Y, Z thuëc c¡c c¤nh BC, CA, AB sao cho \M AD =XAD[, [N BE =
Y BE,P CF =[ ZCF[ Chùng minh r¬ng AX, BY , CZ çng quy Gi£i.
Trang 26L§y C1, B1 t÷ìng ùng thuëc c¡c tia AB, AC sao cho: AC1 = AC, AB1 = AB Gåi M1= AX ∩ B1C1, d¹ th§y M1 l trung iºm cõa B1C1.
▷ 2.1 Cho tam gi¡c ABC v iºm M thay êi trong tam gi¡c H, I, K theo tù tü l h¼nh chi¸u cõa M tr¶n c¡c ÷íng th¯ng BC, CA, AB T¼m quÿ t½ch trång t¥m G cõa tam gi¡c HIK.
Trang 27▷ 2.2 Cho tam gi¡c ABC v iºm M n¬m trong tam gi¡c C¡c ÷íng th¯ng AM, BM, CM theo th÷ tü ctBC, CA, AB t¤i A1, B1, C1 Gåi A2, B2, C2 theo thù tü l trung iºm cõaB1C1, C1A1, A1B1 C¡c ÷íng th¯ng M A2, M B2, M C2 theo thù tü ct BC, CA, AB t¤i A3, B3, C3 Chùng minh r¬ng:
a) AA3, BB3, CC3 çng quy t¤i mët iºm (k½ hi»u l K) b) M K i qua trång t¥m cõa tam gi¡c A1B1C1 th¼ G ÷ñc gåi l t¥m t¿ cü cõa h» iºm Ai gn vîi c¡c h» sè ki.
N¸u trong mët b i to¡n h¼nh håc m gi£ thi¸t v k¸t luªn cõa nâ chùa biºu thùc d¤ng (*) ho°c li¶n quan ¸n biºu thùc d¤ng (*) th¼ i·u â gñi cho ta dòng t¥m t¿ cü trong (*) º rót gån v· d¤ng ìn gi£n nh§t v ti¸n h nh gi£i b i to¡n trong tr÷íng hñp â Ph¦n lîn nhúng b i to¡n nh÷ t¼m tªp hñp iºm, kh£o s¡t ë d i c¡c vectì, kh£o s¡t t½nh th¯ng h ng cõa 3 iºm ta th÷íng sû döng t¥m t¿ cü º gi£i chóng.
2.2.1.1 Düng v t¼m iºm
º düng iºmM thäa m¢n i·u ki»n (*) ta c¦n rót gån v¸ tr¡i cõa (*) v· mët biºu thùc ch¿ cán 1 vectì phö thuëc v o M Sau â sû döng quy tc ba iºm ho°c quy tc h¼nh b¼nh h nh ho°c quy tc nh¥n mët vectì vîi mët sè thüc.
V½ dö 2.6 Cho tam gi¡c ABC T¼m iºm M sao cho:
Trang 28Gi£i Tø gi£ thi¸t ta suy ra:
Cho c¡c iºm A1, A2, , An v n + 1 sè thüc x1, x2, , xn, k vîi k > 0 T¼m tªp hñp iºm M sao cho: º gi£i b i to¡n tr¶n ta c¦n thüc hi»n c¡c b÷îc sau:
- Rót gån biºu thùc vectì trong d§u ë d i v· mët vectì phö thuëc M - T¼m iºm cè ành câ li¶n quan ¸n M.
V½ dö 2.7 Cho bèn iºm ph¥n bi»t A, B, C, D T¼m tªp hñp iºm M sao cho:
Gi£i Nh¼n v o v¸ tr¡i cõa gi£ thi¸t ta th§y tçn t¤i duy nh§t iºmM0 l t¥m t¿ cü cõa 4 iºm ¢ cho vîi c¡c t¿ cü t÷ìng ùng l 1, 2, 3, 4 Ta câ:
AC| = 2AD (D l iºm cè ành) Tø c¡c k¸t qu£ tr¶n ta suy ra 5M0M = AD v i·u n y cho th§y:
- N¸u AD = 0 th¼ tªp M l iºm M0
- N¸u AD ̸= 0 th¼ tªp M l ÷íng trán t¥m M0, b¡n k½nh R = AD
Trang 29B i to¡n 2.
Cho c¡c iºm A1, A2, , An v n sè thüc x1, x2 xk Vîi iºm M thuëc mët ÷íng th¯ng (d)(ho°c ÷íng trán (O) ho°c mët h¼nhF n o dâ), ta x¡c ành iºm
º gi£i b i to¡n tr¶n ta c¦n thüc hi»n c¡c b÷îc sau:
- Rót gån biºu thùc v²ctì ð v¸ tr¡i v· mët v²ctì phö thuëc M - Ch¿ ra t½nh ch§t cõa M vîi N.
V½ dö 2.8 Cho hai iºm A, B v ÷íng trán (O) Vîi méi iºm M thuëc (O) ta x¡c ành iºm N sao cho −−→M N =−−→
M A +−−→M B T¼m tªp hñp N khi M thay êi tr¶n (O) Gi£i Gåi I l trung iºm cõa o¤n AB, ta câ: Gåi O' l iºm èi xùng cõa O qua I.
V¼ I v O cè ành n¶n O' cè ành Hiºn nhi¶n O'N = OM = R (khæng êi).
2.2.1.3 B i to¡n cüc trà v· ë d i vectì
Cho c¡c iºm A1, A2, , An v n sè thüc x1, x2 xk Vîi iºm M thuëc mët ÷íng th¯ng (d)(ho°c ÷íng trán (O) ho°c mët h¼nhF n o dâ), ta x¡c ành iºm
min ho°c max.
Muèn vªy, ta c¦n rót gån biºu thùc vectì trong d§u ë d i v· mët vectì phö thuëc M Sau â, ta t¼m min ho°c max ë d i vectì â.
Trang 302.2.2 V½ dö minh håa
V½ dö 2.9 Cho △ABC câ ba c¤nh BC = a, CA = b, AB = c Gåi I l t¥m ÷íng trán nëi ti¸p △ABC Chùng minh r¬ng I l t¥m t¿ cü cõa h» ba iºm A,B,C ùng
Trang 31V½ dö 2.10 Cho tam gi¡c ABC.
1)H¢y düng iºm I l t¥m t¿ cü cõa ba iºm A, B, C ùng vîi bë sè (3; −2; 1) 2)Chùng minh r¬ng ÷íng th¯ng nèi hai iºm M N ÷ñc x¡c ành tø h» thùc −−→
M N = 3−−→
M A − 2−−→
M B +−−→
M C luæn i qua mët iºm cè ành 3) T¼m quÿ t½ch cõa M sao cho: |3−−→M A − 2−−→
Gi£i 1) iºm I l t¥m t¿ cü cõa bë ba iºm A, B, C ùng vîi bë sè (3; −2; 1) n¶n iºm I c¦n t¼m tho£ m¢n h» thùc sau:
Trang 322)Theo t½nh ch§t cõa t¥m t¿ cü ta câ:
Do â ba iºm M, N, I luæn th¯ng h ng, hay måi ÷íng th¯ng nèi hai iºm M, N ·u i qua mët iºm cè ành.
3) Theo t½nh ch§t cõa t¥m t¿ cü ta suy ra:
Trang 334) Gåi G l trång t¥m cõa △ABC v F l trung iºm cõa c¤nh BC.
Suy ra quÿ t½ch cõa M ch½nh l ÷íng trung trüc cõa o¤n th¯ng GF vîi G l trång t¥m cõa △ABC v F l trung iºm cõa BC.
5) Gåi P l t¥m t¿ cü cõa hai iºm A, B ùng vîi bë sè (2;1) v K l trung iºm
Trang 34Theo t½nh ch§t cõa t¥m t¿ cü ta câ :
Trang 35Gåidl ÷íng th¯ng quaG 4
3; −1 v vuæng gâc vîi ÷íng th¯ng∆ : x−2y −3 = 0 n¶n ÷íng th¯ngd câ vec tì ph¡p tuy¸n −→nd(2; 1).
V½ dö 2.12 Chùng minh r¬ng c¡c ÷íng th¯ng i qua mët ¿nh cõa tam gi¡c v ti¸p iºm cõa ÷íng trán nëi ti¸p vîi c¤nh èi çng quy t¤i mët iºm K.
Trang 36Do â K ∈ AA1.
T÷ìng tü, ta chùng minh ÷ñcK ∈ BB1 v K ∈ CC1 Vªy ba ÷íngAA1, BB1, CC1
2.2.3 B i tªp tü luy»n
▷ 2.3 Cho tam gi¡c ABC câ trång t¥m G, v iºm M b§t ký Gåi A′, B′, C′ l¦n luñt èi xùng vîiM qua trung iºm BC, CA, AB Chùng minh r¬ng AA′, BB′, CC′ çng quy t¤i mët diºm thuëc M G.
▷ 2.4 Cho tam gi¡c ABC.
1) X¡c ành iºm I sao cho nâ l t¥m t¿ cü cõa ba iºm A, B, C ùng vîi bë sè: (1; 3; −2) X¡c ành iºm D sao cho nâ l t¥m t¿ cü cõa hai iºm B, C ùng vîi bë
2.3.1.1 T½nh ë d i o¤n th¯ng ho°c kho£ng c¡ch giúa hai iºm
- Chån mët c°p vectì l m cì sð â l c°p vectì câ ë d i x¡c ành v gâc t¤o bði chóng x¡c ành C°p vectì cì sð luæn tçn t¤i trong gi£ thi¸t cõa b i to¡n Xem AB l mët vectì v biºu thà nâ qua cì sð ¢ chån.
- Sû döng cæng thùc t½nh t½ch væ h÷îng cõa ch½nh −→AB v phèi hñp vîi c¡c h¬ng ¯ng thùc v· t½ch væ h÷îng.
- Kho£ng c¡ch giúa hai iºm ch½nh l ë d i o¤n th¯ng nèi hai iºm â.
V½ dö 2.13 ChoB, C, D l ba iºm theo thû tü còng n¬m tr±n mët ÷íng th¯ng