Ứng dụng phương pháp vectơ trong giải toán hình học phẳng

1.5.1 Tåa ë t¥m t¿ cü cõa h» hai iºm 9

1.5.2 Tåa ë t¥m t¿ cü cõa h» ba iºm 10

1.5.3 Tåa ë t¥m t¿ cü cõa h» nhi·u iºm 11

MÐ †U 1 Lþ do chån · t i

Trong ch÷ìng tr¼nh h¼nh håc phê thæng, chóng ta ÷ñc nghi¶n cùu lþ thuy¸t vectì, vªn döng cæng cö vectì º chùng minh c¡c t½nh ch§t h¼nh håc, x¥y düng c¡c h» thùc l÷ñng công nh÷ thüc hi»n c¡c t½nh to¡n li¶n quan ¸n ë d i, gâc v  di»n t½ch Vi»c x¥y düng kh¡i ni»m vectì ¢ d¨n ¸n sü h¼nh th nh nhúng c¡ch ti¸p cªn mîi v  ph÷ìng ph¡p mîi º gi£i c¡c b i to¡n h¼nh håc, trong â cæng cö chõ y¸u l  c¡c ph²p bi¸n êi ¤i sè C¡c b i to¡n h¼nh håc trong ch÷ìng tr¼nh THCS chõ y¸u ÷ñc nh¼n nhªn b¬ng ph÷ìng ph¡p trüc quan, düa tr¶n nhúng kh¡i ni»m v  t½nh ch§t cì b£n nh§t cõa h¼nh håc (iºm, ÷íng th¯ng, gâc, kho£ng c¡ch, ) Kh¡c vîi c¡c ph÷ìng ph¡p ÷ñc dòng khi gi£i to¡n h¼nh håc ð bªc THCS, vectì ÷ñc x¥y düng düa tr¶n c¡c kh¡i ni»m iºm, ph÷ìng, h÷îng v  ë d i o¤n th¯ng n¶n s³ li¶n quan ¸n c¡c kh¡i ni»m kh¡c trong h¼nh håc v  c¡c quan h» giúa chóng ¥y l  cì sð º chóng ta câ thº di¹n ¤t mët b i to¡n h¼nh håc thu¦n tóy d÷îi d¤ng ngæn ngú vectì Vi»c gi£i c¡c b i to¡n h¼nh håc b¬ng ph÷ìng ph¡p vectì s³ gâp ph¦n ph¡t triºn t÷ duy s¡ng t¤o cho ng÷íi håc, çng thíi r±n luy»n nhúng kÿ n«ng t½nh to¡n, suy luªn logic, bi¸t c¡ch nh¼n nhªn b i to¡n theo nhi·u gâc ë kh¡c nhau Tø nhúng ph¥n t½ch v  ¡nh gi¡ ð tr¶n, tæi lüa chån · t i Ùng döng ph÷ìng ph¡p vectì trong gi£i to¡n h¼nh håc ph¯ng · t i tªp trung l m rã mët sè d¤ng to¡n h¼nh håc ph¯ng câ thº gi£i b¬ng ph÷ìng ph¡p vectì, çng thíi qua â gióp ng÷íi håc th§y ÷ñc t½nh ÷u vi»t cõa ph÷ìng ph¡p vectì.

2 èi t÷ñng nghi¶n cùu

Vectì v  c¡c ph²p to¡n tr¶n vectì 3 Ph¤m vi nghi¶n cùu

C¡c b i to¡n h¼nh håc ph¯ng câ thº gi£i b¬ng ph÷ìng ph¡p vectì 4 Möc ti¶u nghi¶n cùu cõa · t i

- T¼m hiºu v  h» thèng c¡c ki¸n thùc v· vectì.

- Nghi¶n cùu mët sè k¾ thuªt sû döng vectì trong h¼nh håc ph¯ng, bao gçm: ph²p chi¸u vectì, t¥m t¿ cü, kÿ thuªt dòng t½ch væ h÷îng v  t½ch ngo i cõa hai

5 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu

- Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu lþ luªn: åc v  nghi¶n cùu s¡ch gi¡o khoa, gi¡o tr¼nh, t i li»u li¶n quan tîi ùng döng cõa ph÷ìng ph¡p vectì.

- Ph÷ìng ph¡p têng k¸t kinh nghi»m: Têng k¸t kinh nghi»m cõa b£n th¥n v  c¡c b¤n b±, anh chà º têng hñp v  h» thèng hâa c¡c ki¸n thùc v· v§n · nghi¶n cùu ¦y õ v  khoa håc, k¸t hñp ÷a v o c¡c v½ dö minh håa chi ti¸t.

- Ph÷ìng ph¡p l§y þ ki¸n chuy¶n gia: L§y þ ki¸n cõa gi£ng vi¶n trüc ti¸p h÷îng d¨n v  c¡c gi£ng vi¶n kh¡c º ho n thi»n v· m°t nëi dung công nh÷ h¼nh thùc.

6 Þ ngh¾a khoa håc v  thüc ti¹n cõa · t i

· t i câ gi¡ trà v· m°t lþ thuy¸t v  ùng döng Câ thº sû döng luªn v«n l m t i li»u tham kh£o d nh cho gi¡o vi¶n, sinh vi¶n ng nh To¡n, °c bi»t cho håc sinh trong qu¡ tr¼nh håc to¡n ð ch÷ìng tr¼nh phê thæng Tø â gióp håc sinh câ hùng thó, ph¡t triºn cho håc sinh n«ng lüc t÷ duy, gióp håc sinh nhªn th§y mèi li¶n h» giúa tri thùc to¡n håc.

7 K¸t c§u cõa luªn v«n

Ngo i ph¦n mð ¦u v  k¸t luªn, nëi dung luªn v«n dü ki¸n ÷ñc chia th nh hai ch÷ìng:

- Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc cì sð

- Ch÷ìng 2 Kÿ thuªt sû döng ph÷ìng ph¡p vectì trong gi£i to¡n h¼nh ph¯ng.

CH×ÌNG 1 KI˜N THÙC CÌ SÐ

Nëi dung cõa ch÷ìng n y ÷ñc d nh º tr¼nh b y c¡c kh¡i ni»m, t½nh ch§t cì b£n cõa vectì, c¡c ph²p to¡n vectì, t¥m t¿ cü, t½ch væ h÷îng v  t½ch ngo i cõa hai vectì Nëi dung cõa ch÷ìng n y ÷ñc tham kh£o tø c¡c t i li»u [1], [2], [5].

1.1 Kh¡i ni»m v  t½nh ch§t cõa vectì

ành ngh¾a 1.1 Vectì l  mët o¤n th¯ng câ h÷îng Mët vectì k½ hi»u l  −→

AB, −CD−→, Vectì câ iºm ¦u v  iºm cuèi tròng nhau nh÷−→AA ÷ñc gåi l  −→0 ành ngh¾a 1.2 Vîi méi vectì −→AB (kh¡c vectì −→0) ÷íng th¯ng AB ÷ñc gåi l  gi¡ cõa vectì −→AB Cán èi vîi vectì −→AA th¼ måi ÷íng th¯ng i qua A ÷ñc gåi l  gi¡ cõa nâ.

Hai vectì còng ph÷ìng n¸u gi¡ cõa chóng song song ho°c tròng nhau Ph÷ìng cõa−→AB l  ph÷ìng (song song) cõa ÷íng th¯ng AB.

i·u ki»n º hai vectì −→AB, −−→CD còng ph÷ìng l  −→AB = k.−−→

CD, k ∈ R H÷îng cõa−→AB l  h÷îng tø A ¸n B.

Hai vectì −→AB, −−→CD còng h÷îng khi v  ch¿ khi−→AB, −−→CD còng ph÷ìng v  hai tia AB, CD còng h÷îng K½ hi»u −→AB^^ −−→CD.

i·u ki»n º hai vectì −→AB , −−→CD ng÷ñc h÷îng l  −→AB = k.−−→CD, k < 0.

Vectì −→0 th¼ còng ph÷ìng, còng h÷îng vîi måi vectì ë d i cõa −→AB l  ë d i cõa o¤n th¯ng AB Kþ hi»u |−→AB|.

ành ngh¾a 1.3 Hai vectì −→AB , −−→CD ÷ñc gåi l  b¬ng nhau n¸u chóng còng h÷îng v  còng ë d i K½ hi»u −→AB = −−→CD.

i·u ki»n º hai vectì −→AB , −−→CD b¬ng nhau n¸u −→AB^^ −−→CD v  |−→AB| = |−−→CD| Hai vectì −→AB, −CD−→ èi nhau n¸u −→AB + −−CD→ = −→0 K½ hi»u −→AB = - −CD−→.

ành ngh¾a 1.4 Cho hai vectì −→a v  −→b ·u kh¡c vectì −→0 Tø iºm O b§t ký, ta v³ c¡c vectì −→OA = −→a v  −OB→ = −→b Gâc [AOB vîi sè o tø 00 ¸n 1800 ÷ñc

gåi l  gâc giúa hai vectì−→a v  −→b Ta k½ hi»u gâc giúa hai vectì −→a v  −→b l  (−→a,−→b ).

1.2 C¡c ph²p to¡n vectì

1.2.1 Ph²p cëng vectì

ành ngh¾a 1.5 Cho hai vectì −→a v  −→b L§y iºm A b§t ký x¡c ành c¡c iºm B v  C sao cho −→AB =−→a, −BC→ =−→b Khi â −→AC ÷ñc gåi l  têng cõa hai vectì −

→a v  −→b K½ hi»u: −→AC = −→a + −→b

ˆ Quy t­c 3 iºm v· ph²p cëng vectì.

Vîi 3 iºm b§t ký A, B, C ta câ: −→AC = −→AB + −BC→ Khi iºm A v  C tròng nhau: −→AB + −→BA = −→AA = −→0.

1.2.2Ph²p trø vectì

ành ngh¾a 1.6 Hi»u cõa hai vectì−→a v  −→b, k½ hi»u −→a - −→b l  têng cõa vectì −→a v  vectì èi cõa vectì −→b , tùc l −→a - −→b =−→a + (−−b→ ) Ph²p l§y hi»u cõa hai vectì

ˆ N¸u k ≥ 0 th¼ vectì k.−→a còng h÷îng vectì −→a ˆ N¸u k < 0 th¼ vectì k.−→a ng÷ñc h÷îng vectì −→a H» qu£ 1.1 Vîi måi −→a v  sè thüc k, ta câ:

ành l½ 1.4 N¸u G l  trång t¥m cõa tam gi¡c ABC th¼ vîi måi iºm M ta câ:

ˆ N¸u câ mët trong hai vectì −→a ,−→

b l  vectì −→0 th¼ (−→a,−→b ) nhªn mët gi¡ trà tòy

1.4.2 H÷îng v  di»n t½ch ¤i sè cõa tam gi¡c

1.4.2.1 H÷îng cõa tam gi¡c

Cho tam gi¡cABC, ta th§y c¡c h÷îngA → B → C; B → C → A; C → A → B tròng nhau C¡c h÷îng tròng nhau â gåi l  h÷îng cõa tam gi¡cABC ÷ìng nhi¶n c¡c tam gi¡cABC, BCA, CAB câ còng h÷îng N¸u h÷îng cõa tam gi¡cABC tròng vîi h÷îng cõa m°t ph¯ng th¼ ta nâi tam gi¡c câ h÷îng d÷ìng (thuªn) N¸u tam gi¡c ABC câ h÷îng ng÷ñc vîi h÷îng cõa m°t ph¯ng th¼ ta nâi tam gi¡c ABC câ huîng ¥m (nghàch).

1.4.2.2Di»n t½ch ¤i sè cõa tam gi¡c

Di»n t½ch ¤i sè cõa tam gi¡c ABC l  mët sè, k½ hi»u S[ABC]v  x¡c ành nh÷ sau: T÷ìng tü ta câ : S[BCA] = S[CAB].

1.4.2.3Mèi li¶n h» giúa di»n t½ch ¤i sè v  di»n t½ch h¼nh håc cõa tam gi¡c Kh¡i ni»m di»n t½ch h¼nh håc ch½nh l  kh¡i ni»m di»n t½ch m  ta v¨n hiºu theo ngh¾a thæng th÷íng Tuy nhi¶n, khi c¦n ph¥n bi»t kh¡i ni»m di»n t½ch v  di»n t½ch ¤i sè th¼ ng÷íi ta th÷íng thay thuªt ngú "di»n t½ch" bði thuªt ngú "di»n t½ch h¼nh håc".

* èi vîi mët tam gi¡c th¼ di»n t½ch ¤i sè v  di»n t½ch h¼nh håc cõa nâ ÷ñc li¶n h» vîi nhau bði ành l½ sau ¥y :

ˆ N¸u tam gi¡c ABC câ h÷îng d÷ìng th¼ S[ABC] = S(ABC) ˆ N¸u tam gi¡c ABC câ h÷îng ¥m th¼ S[ABC] = −S(ABC) Ð ¥y, S(ABC) ch¿ di»n t½ch h¼nh håc cõa tam gi¡c ABC.

ii) Vîi måi iºm M ta câ S[ABC] = S[MAB] + S[MBC] + S[MCA] (h» thùc Sa-lì) Nhªn x²t 1.1 Tø kh¡i ni»m v  t½nh ch§t cõa t½ch ngo i hai vectì, ta câ ngay k¸t qu£ sau ¥y:

ˆ Di»n t½ch tam gi¡c: SABC = 1

1.5.1 Tåa ë t¥m t¿ cü cõa h» hai iºm

M»nh · 1.1 Cho hai iºm A, B v  hai sè thüc x, y khæng çng thíi b¬ng 0 Khi â, tçn t¤i duy nh§t iºm I sao cho

V¸ ph£i cõa (1.2) l  mët vectì ho n to n x¡c ành, n¶n tø (1.2) suy ra tçn t¤i duy nh§t iºmI thäa m¢n (1.1) M»nh · ÷ñc chùng minh □ ành ngh¾a 1.10 C¡c sè x, y (x + y ̸= 0) ÷ñc gåi l  tåa ë t¿ cü cõa iºm I v 

vi¸t I(x, y) èi vîi h» hai iºm A, B, n¸u câ h» thùc (1.1).

Nhªn x²t 1.4 Kh¡i ni»m t¥m t¿ cü I(x, y) ÷ñc coi l  mð rëng cõa kh¡i ni»m trung iºm cõa mët o¤n th¯ngAB v¼ I(1, 1) ch½nh l  trung iºm cõa o¤n th¯ng

l  cæng thùc trung iºm quen thuëc trong h¼nh håc 1.5.2 Tåa ë t¥m t¿ cü cõa h» ba iºm

M»nh · 1.2 Cho ba iºm A, B, C v  ba sè thüc x, y, z thäa m¢n i·u ki»n x +y + z ̸= 0 Khi â, tçn t¤i duy nh§t iºm I = I(x, y, z) sao cho

V¸ ph£i cõa (1.6) l  mët vectì ho n to n x¡c ành, n¶n tø (1.6) suy ra tçn t¤i duy nh§t iºmI = I(x, y, z) thäa m¢n (1.6), tùc l  thäa m¢n y¶u c¦u m»nh · □

ành ngh¾a 1.11 C¡c sè x, y, z(x + y + z ̸= 0) ÷ñc gåi l  tåa ë t¿ cü cõa iºm I v  vi¸t I(x, y, z) èi vîi h» ba iºm A, B, C (èi vîi tam gi¡c ABC n¸u A, B, C

Nhªn x²t 1.6 Kh¡i ni»m t¥m t¿ cü I(x, y, z) ÷ñc coi l  mð rëng cõa kh¡i ni»m trång t¥m cõa tam gi¡c ABC v¼ I(1, 1, 1) ch½nh l  trång t¥m G cõa tam gi¡c ABC.

l  cæng thùc trång t¥m quen thuëc èi vîi tam gi¡c.

M»nh · 1.3 Gi£ sû (x, y, z) v  (x′, y′, z′) l  c¡c tåa ë t¿ cü cõa còng iºm I èi vîi h» ba iºm A, B, C Khi â,

1.5.3 Tåa ë t¥m t¿ cü cõa h» nhi·u iºm

ành ngh¾a 1.12 Cho n iºm A1, A2, , An v  n sè thüc k1, k2, , kn thäa m¢n i·u ki»n:k1+ k2+ + kn̸= 0 Khi â, n¸u tçn t¤i duy nh§t mët iºm G sao cho: th¼ G ÷ñc gåi l  t¥m t¿ cü cõa h» iºm Ai g­n vîi c¡c h» sè ki.

Trong tr÷íng hñp c¡c h» sèki b¬ng nhau th¼ i = (1, n) th¼ G ÷ñc gåi l  trång t¥m cõa h» n iºm Ai, i = 1, n.

ành l½ 1.8 N¸u G l  t¥m t¿ cü th¼ måi iºm O b§t ký ta câ:

AB l  vectì b§t k¼ Qua A, B k´ c¡c ÷íng th¯ng song song vîi ℓ, chóng c­t ∆ theo thù tü A', B' Vectì−−→A′B′ ÷ñc gåi l  h¼nh chi¸u cõa vectì −→AB qua ph²p chi¸u ph÷ìng ℓ l¶n ÷íng th¯ng ∆.

Hiºn nhi¶n, n¸u hai vectì b¬ng nhau th¼ c¡c h¼nh chi¸u cõa chóng qua còng mët ph²p chi¸u vectì công b¬ng nhau.

Nhªn x²t 1.7 Khi nâi ¸n ph²p chi¸u vectì m  khæng nâi rã ph÷ìng chi¸u th¼ ta hiºu â l  ph²p chi¸u vectì câ ph÷ìng vuæng gâc vîi ÷íng th¯ng chi¸u ành l½ 1.9 Gåi f l  ph²p chi¸u vectì ph÷ìng ℓ l¶n ÷íng th¯ng ∆ Ta câ:

ˆ f(−→a +−→

b ) = f (−→a ) + f (−→b ) ˆ f(k.−→a ) = k.f (−→a ).

ˆ f(−→a ) =−→

0 ⇔ Gi¡ cõa −→a song song vîi ℓ ˆ f(−→a ) = −→a ⇔ Gi¡ cõa −→a song song vîi ∆.

CH×ÌNG 2

Kß THUŠT SÛ DÖNG PH×ÌNG PHP VECTÌ TRONG GIƒI TON HœNH HÅC PHNG

Trong ch÷ìng n y, chóng ta s³ sû döng c¡c k¾ thuªt vectì: Ph²p chi¸u, t¥m t¿ cü, t½ch væ h÷îng, t½ch ngo i trong vi»c gi£i to¡n h¼nh håc ph¯ng C¡c t i li»u tham kh£o ÷ñc sû döng trong ch÷ìng bao gçm [1], [2], [3], [4], [5], [6], [?], [?].

V½ dö 2.1 Cho h¼nh b¼nh h nh ABCD vîi c¡c iºm X, Y, Z, T theo thù tü thuëc c¡c ÷íng th¯ng AB, BC, CD, DA Gåi O1, O2, O3, O4 theo thù tü l  t¥m ÷íng trán ngo¤i ti¸p c¡c tam gi¡cBXY , CY Z, DZT , AT X Chùng minh r¬ng O1O2O3O4 l  h¼nh b¼nh h nh.

Gåi f, g l  c¡c ph²p chi¸u vectì vuæng gâc l¶n AB, AD.

Ta s³ chùng minh hai vectì −−−→O1O4 v  −−−→O2O3 câ h¼nh chi¸u qua hai ph²p chi¸u f v  g l  b¬ng nhau Thªt vªy,

V½ dö 2.2 Cho tam gi¡c ABC v  O, H l¦n l÷ñt l  t¥m ÷íng trán ngo¤i ti¸p v  trüc t¥m cõa tam gi¡c Chùng minh r¬ng

Theo k¸t qu£ vøa chùng minh ta câ −−→OH = 3−→

OG, d¨n ¸n k¸t qu£ quen thuëc: Trong tam gi¡c, tröc t¥m, trång t¥m v  t¥m ÷íng trán ngo¤i ti¸p n¬m tr¶n mët ÷íng th¯ng (÷íng th¯ng Euler).

V½ dö 2.3 Cho tam gi¡c ABC, M l  iºm b§t k¼ trong tam gi¡c AM , BM, CM l¦n l÷ñt c­t BC, CA, AB t¤i A′, B′, C′ Chùng minh r¬ng M l  trång t¥m tam gi¡c ABC khi v  ch¿ khi M l  trång t¥m tam gi¡c A′B′C′.

Gi£i Ta câ M n¬m trong tam gi¡c ABC n¶n ∃α, β, γ ̸= 0 sao cho

V½ dö 2.4 Cho tam gi¡cABC, c¡c iºmM, N, P thuëc c¡c ÷íng th¯ngBC, CA, AB Chùng minh r¬ng: AM , BN , CP çng quy t¤i t¥m t¿ cü cõa h» iºm A, B, C ùng vîi c¡c h» sè {α, β, γ} khi v  ch¿ chi

V½ dö 2.5 Cho△ABC, v³ c¡c trung tuy¸nAM , BN , CP v  c¡c ph¥n gi¡cAD, BE, CF C¡c iºm X, Y, Z thuëc c¡c c¤nh BC, CA, AB sao cho \M AD =XAD[, [N BE =

Y BE,P CF =[ ZCF[ Chùng minh r¬ng AX, BY , CZ çng quy Gi£i.

L§y C1, B1 t÷ìng ùng thuëc c¡c tia AB, AC sao cho: AC1 = AC, AB1 = AB Gåi M1= AX ∩ B1C1, d¹ th§y M1 l  trung iºm cõa B1C1.

▷ 2.1 Cho tam gi¡c ABC v  iºm M thay êi trong tam gi¡c H, I, K theo tù tü l  h¼nh chi¸u cõa M tr¶n c¡c ÷íng th¯ng BC, CA, AB T¼m quÿ t½ch trång t¥m G cõa tam gi¡c HIK.

▷ 2.2 Cho tam gi¡c ABC v  iºm M n¬m trong tam gi¡c C¡c ÷íng th¯ng AM, BM, CM theo th÷ tü c­tBC, CA, AB t¤i A1, B1, C1 Gåi A2, B2, C2 theo thù tü l  trung iºm cõaB1C1, C1A1, A1B1 C¡c ÷íng th¯ng M A2, M B2, M C2 theo thù tü c­t BC, CA, AB t¤i A3, B3, C3 Chùng minh r¬ng:

a) AA3, BB3, CC3 çng quy t¤i mët iºm (k½ hi»u l  K) b) M K i qua trång t¥m cõa tam gi¡c A1B1C1 th¼ G ÷ñc gåi l  t¥m t¿ cü cõa h» iºm Ai g­n vîi c¡c h» sè ki.

N¸u trong mët b i to¡n h¼nh håc m  gi£ thi¸t v  k¸t luªn cõa nâ chùa biºu thùc d¤ng (*) ho°c li¶n quan ¸n biºu thùc d¤ng (*) th¼ i·u â gñi cho ta dòng t¥m t¿ cü trong (*) º rót gån v· d¤ng ìn gi£n nh§t v  ti¸n h nh gi£i b i to¡n trong tr÷íng hñp â Ph¦n lîn nhúng b i to¡n nh÷ t¼m tªp hñp iºm, kh£o s¡t ë d i c¡c vectì, kh£o s¡t t½nh th¯ng h ng cõa 3 iºm ta th÷íng sû döng t¥m t¿ cü º gi£i chóng.

2.2.1.1 Düng v  t¼m iºm

º düng iºmM thäa m¢n i·u ki»n (*) ta c¦n rót gån v¸ tr¡i cõa (*) v· mët biºu thùc ch¿ cán 1 vectì phö thuëc v o M Sau â sû döng quy t­c ba iºm ho°c quy t­c h¼nh b¼nh h nh ho°c quy t­c nh¥n mët vectì vîi mët sè thüc.

V½ dö 2.6 Cho tam gi¡c ABC T¼m iºm M sao cho:

Gi£i Tø gi£ thi¸t ta suy ra:

Cho c¡c iºm A1, A2, , An v  n + 1 sè thüc x1, x2, , xn, k vîi k > 0 T¼m tªp hñp iºm M sao cho: º gi£i b i to¡n tr¶n ta c¦n thüc hi»n c¡c b÷îc sau:

- Rót gån biºu thùc vectì trong d§u ë d i v· mët vectì phö thuëc M - T¼m iºm cè ành câ li¶n quan ¸n M.

V½ dö 2.7 Cho bèn iºm ph¥n bi»t A, B, C, D T¼m tªp hñp iºm M sao cho:

Gi£i Nh¼n v o v¸ tr¡i cõa gi£ thi¸t ta th§y tçn t¤i duy nh§t iºmM0 l  t¥m t¿ cü cõa 4 iºm ¢ cho vîi c¡c t¿ cü t÷ìng ùng l  1, 2, 3, 4 Ta câ:

AC| = 2AD (D l  iºm cè ành) Tø c¡c k¸t qu£ tr¶n ta suy ra 5M0M = AD v  i·u n y cho th§y:

- N¸u AD = 0 th¼ tªp M l  iºm M0

- N¸u AD ̸= 0 th¼ tªp M l  ÷íng trán t¥m M0, b¡n k½nh R = AD

B i to¡n 2.

Cho c¡c iºm A1, A2, , An v  n sè thüc x1, x2 xk Vîi iºm M thuëc mët ÷íng th¯ng (d)(ho°c ÷íng trán (O) ho°c mët h¼nhF n o dâ), ta x¡c ành iºm

º gi£i b i to¡n tr¶n ta c¦n thüc hi»n c¡c b÷îc sau:

- Rót gån biºu thùc v²ctì ð v¸ tr¡i v· mët v²ctì phö thuëc M - Ch¿ ra t½nh ch§t cõa M vîi N.

V½ dö 2.8 Cho hai iºm A, B v  ÷íng trán (O) Vîi méi iºm M thuëc (O) ta x¡c ành iºm N sao cho −−→M N =−−→

M A +−−→M B T¼m tªp hñp N khi M thay êi tr¶n (O) Gi£i Gåi I l  trung iºm cõa o¤n AB, ta câ: Gåi O' l  iºm èi xùng cõa O qua I.

V¼ I v  O cè ành n¶n O' cè ành Hiºn nhi¶n O'N = OM = R (khæng êi).

2.2.1.3 B i to¡n cüc trà v· ë d i vectì

Cho c¡c iºm A1, A2, , An v  n sè thüc x1, x2 xk Vîi iºm M thuëc mët ÷íng th¯ng (d)(ho°c ÷íng trán (O) ho°c mët h¼nhF n o dâ), ta x¡c ành iºm

min ho°c max.

Muèn vªy, ta c¦n rót gån biºu thùc vectì trong d§u ë d i v· mët vectì phö thuëc M Sau â, ta t¼m min ho°c max ë d i vectì â.

2.2.2 V½ dö minh håa

V½ dö 2.9 Cho △ABC câ ba c¤nh BC = a, CA = b, AB = c Gåi I l  t¥m ÷íng trán nëi ti¸p △ABC Chùng minh r¬ng I l  t¥m t¿ cü cõa h» ba iºm A,B,C ùng

V½ dö 2.10 Cho tam gi¡c ABC.

1)H¢y düng iºm I l  t¥m t¿ cü cõa ba iºm A, B, C ùng vîi bë sè (3; −2; 1) 2)Chùng minh r¬ng ÷íng th¯ng nèi hai iºm M N ÷ñc x¡c ành tø h» thùc −−→

M N = 3−−→

M A − 2−−→

M B +−−→

M C luæn i qua mët iºm cè ành 3) T¼m quÿ t½ch cõa M sao cho: |3−−→M A − 2−−→

Gi£i 1) iºm I l  t¥m t¿ cü cõa bë ba iºm A, B, C ùng vîi bë sè (3; −2; 1) n¶n iºm I c¦n t¼m tho£ m¢n h» thùc sau:

2)Theo t½nh ch§t cõa t¥m t¿ cü ta câ:

Do â ba iºm M, N, I luæn th¯ng h ng, hay måi ÷íng th¯ng nèi hai iºm M, N ·u i qua mët iºm cè ành.

3) Theo t½nh ch§t cõa t¥m t¿ cü ta suy ra:

4) Gåi G l  trång t¥m cõa △ABC v  F l  trung iºm cõa c¤nh BC.

Suy ra quÿ t½ch cõa M ch½nh l  ÷íng trung trüc cõa o¤n th¯ng GF vîi G l  trång t¥m cõa △ABC v  F l  trung iºm cõa BC.

5) Gåi P l  t¥m t¿ cü cõa hai iºm A, B ùng vîi bë sè (2;1) v  K l  trung iºm

Theo t½nh ch§t cõa t¥m t¿ cü ta câ :

Gåidl  ÷íng th¯ng quaG 4

3; −1 v  vuæng gâc vîi ÷íng th¯ng∆ : x−2y −3 = 0 n¶n ÷íng th¯ngd câ vec tì ph¡p tuy¸n −→nd(2; 1).

V½ dö 2.12 Chùng minh r¬ng c¡c ÷íng th¯ng i qua mët ¿nh cõa tam gi¡c v  ti¸p iºm cõa ÷íng trán nëi ti¸p vîi c¤nh èi çng quy t¤i mët iºm K.

Do â K ∈ AA1.

T÷ìng tü, ta chùng minh ÷ñcK ∈ BB1 v K ∈ CC1 Vªy ba ÷íngAA1, BB1, CC1

2.2.3 B i tªp tü luy»n

▷ 2.3 Cho tam gi¡c ABC câ trång t¥m G, v  iºm M b§t ký Gåi A′, B′, C′ l¦n luñt èi xùng vîiM qua trung iºm BC, CA, AB Chùng minh r¬ng AA′, BB′, CC′ çng quy t¤i mët diºm thuëc M G.

▷ 2.4 Cho tam gi¡c ABC.

1) X¡c ành iºm I sao cho nâ l  t¥m t¿ cü cõa ba iºm A, B, C ùng vîi bë sè: (1; 3; −2) X¡c ành iºm D sao cho nâ l  t¥m t¿ cü cõa hai iºm B, C ùng vîi bë

2.3.1.1 T½nh ë d i o¤n th¯ng ho°c kho£ng c¡ch giúa hai iºm

- Chån mët c°p vectì l m cì sð â l  c°p vectì câ ë d i x¡c ành v  gâc t¤o bði chóng x¡c ành C°p vectì cì sð luæn tçn t¤i trong gi£ thi¸t cõa b i to¡n Xem AB l  mët vectì v  biºu thà nâ qua cì sð ¢ chån.

- Sû döng cæng thùc t½nh t½ch væ h÷îng cõa ch½nh −→AB v  phèi hñp vîi c¡c h¬ng ¯ng thùc v· t½ch væ h÷îng.

- Kho£ng c¡ch giúa hai iºm ch½nh l  ë d i o¤n th¯ng nèi hai iºm â.

V½ dö 2.13 ChoB, C, D l  ba iºm theo thû tü còng n¬m tr±n mët ÷íng th¯ng