Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– VŨ DUY HƯNG VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP XÁC SUẤT VÀO GIẢI MỘT SỐ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Thái Nguyên, 2017 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– VŨ DUY HƯNG VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP XÁC SUẤT VÀO GIẢI MỘT SỐ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Thái Nguyên, 2017 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– VŨ DUY HƯNG VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP XÁC SUẤT VÀO GIẢI MỘT SỐ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PSG.TS TRỊNH THANH HẢI Thái Nguyên, 2017 c i Mục lục Lời cảm ơn ii Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt iii Mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm xác suất số tính chất 1.1.1 Khái niệm xác suất 1.1.2 Tính chất xác suất 1.2 Một số tập tổ hợp 10 Vận dụng phương pháp xác suất vào giải số đề thi học sinh giỏi 15 2.1 Ý tưởng vận dụng xác suất vào giải toán 15 2.2 Vận dụng phương pháp xác suất vào giải số đề thi học sinh giỏi nước 20 2.3 Vận dụng phương pháp xác suất vào giải số đề thi học sinh giỏi quốc tế 26 2.4 Một vài dạng tập vận dụng kiến thức xác suất để giải 52 Kết luận 55 Tài liệu tham khảo 56 c ii Lời cảm ơn Luận văn thực trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn Phó Giáo sư - Tiến sĩ Trịnh Thanh Hải Tác giả xin trân trọng bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy, người tận tình bảo, hướng dẫn, động viên khích lệ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu luận văn Qua luận văn này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin, giảng viên tham gia giảng dạy tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu suốt thời gian qua Tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp tất người quan tâm, động viên giúp đỡ để tác giả hồn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày tháng năm 2017 Tác giả luận văn Vũ Duy Hưng c iii Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt P (A) Xác suất biến cố A Ω Không gian biến cố sơ cấp ω Pn Biến cố sơ cấp Số hoán vị n phần tử Akn m Xn Số chỉnh hợp chập k n phần tử Số chỉnh hợp lặp chập m n phần tử Cnk E(X) Số tổ hợp chập k n phần tử Kỳ vọng toán đại lượng ngẫu nhiên X D(X) σ(X) Phương sai đại lượng ngẫu nhiên X Độ lệch tiêu chuẩn c Mở đầu Lý chọn đề tài Trong đề thi học sinh giỏi nước quốc tế, nhiều toán tổ hợp giải ta vận dụng tính chất xác suất q trình giải tốn Tuy nhiên chương trình, sách giáo khoa mơn tốn THPT khơng trình bày phương pháp xác suất nên việc vận dụng xác suất vào giải toán vấn đề khó nhiều học sinh Với mong muốn tạo tài liệu đầy đủ phương pháp xác suất dành cho giáo viên ôn thi học sinh giỏi em học sinh giỏi có tài liệu tham khảo trình học tập, tác giả lựa chọn đề tài "Vận dụng phương pháp xác suất vào giải số đề thi học giỏi" Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu trình bày cách hệ thống kiến thức tổ hợp xác suất Trình bày việc vận dụng phương pháp xác suất vào giải số toán dành cho học sinh giỏi nước quốc tế Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn có nhiệm vụ sau: • Tìm hiểu ý tưởng phương pháp xác suất c • Sưu tầm trình bày việc vận dụng xác suất vào giải số toán dành cho học sinh giỏi, đề thi chọn học sinh giỏi nước quốc tế • Đưa lời giải chi tiết, đầy đủ cho toán mà tài liệu tham khảo có lời giải tóm tắt gợi ý Nội dung luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn trình bày ngắn gọn hai chương: Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm xác suất số tính chất 1.2 Một số tập tổ hợp Chương Vận dụng phương pháp xác suất vào giải số đề thi học sinh giỏi Chương trình bày kết tài liệu tham khảo Dự kiến nội dung: 2.1 Ý tưởng vận dụng xác suất vào giải toán 2.2 Vận dụng phương pháp xác suất vào giải số đề thi học sinh giỏi nước 2.3 Vận dụng phương pháp xác suất vào giải số đề thi học sinh giỏi quốc tế Một cách cụ thể, luận văn trình bày kết tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7] c Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Khái niệm xác suất số tính chất Khái niệm xác suất Quan sát biến cố phép thử, khẳng định biến cố có xảy hay khơng người ta đốn khả xảy biến cố hay nhiều Khả xảy khách quan biến cố gọi xác suất (probality) biến cố P (A) số đặc trưng cho khả xảy nhiều hay cho biến cố Xác suất biến cố A, kí hiệu P (A), định nghĩa nhiều dạng sau: • Dạng cổ điển • Dạng hình học • Dạng thống kê • Dạng tiên đề Kolmogorow 1.1.1 Định nghĩa cổ điển Nếu A biến cố có n(A) biến cố sơ cấp thích hợp với khơng gian biến cố sơ cấp gồm n(Ω) biến cố khả xuất c n(A) gọi xác suất A n(Ω) Như điều kiện để áp dụng định nghĩa là: +) n(Ω) < ∞ tỉ số P (A) = +) Các biến cố sơ cấp phải có khả xuất Để tính xác suất cổ điển ta sử dụng phương pháp đếm giải tích tổ hợp Sau đây, ta nhắc lại số cơng thức: • Quy tắc cộng Nếu có m1 cách chọn loại đối tượng X1 , m2 cách chọn loại đối tượng X2 , ,mn cách chọn loại đối tượng Xn Các cách chọn đối tượng Xi không trùng với cách chọn Xj i 6= j; i, j = 1, n có m1 + m2 + + mn cách chọn đối tượng cho • Quy tắc nhân Giả sử cơng việc H gồm nhiều công đoạn liên tiếp H1 , H2 , , Hk công đoạn Hi có ni cách thực có tất n1 n2 ni cách thực công việc H • Hoán vị Cho tập hợp A gồm n phần tử, (n ≥ 1) Mỗi cách xếp n phần tử tập hợp A gọi hoán vị n phần tử Số hốn vị n phần tử kí hiệu Pn Pn = n(n − 1) 2.1 = n! (1.1) • Chỉnh hợp Cho tập hợp A gồm n phần tử Một phận gồm k phần tử thứ tự tập hợp A gọi chỉnh hợp chập k n phần tử (1 ≤ k ≤ n) Số chỉnh hợp chập k n phần tử kí hiệu Akn Akn = n(n − 1) (n − k + 1) = c n! (n − k)! (1.2) • Chỉnh hợp lặp Cho tập hợp X gồm n, (n ∈ N ∗ ) phần tử Một dãy có độ dài m, (m ∈ N ∗ ) phần tử X, phần tử lặp lặp lại nhiều lần, xếp theo thứ tự định gọi chỉnh hợp chập m n phần tử ¯ nm Số chỉnh hợp lặp chập m n phần tử kí hiệu X ¯ m = nm X n (1.3) • Tổ hợp Cho tập hợp A gồm n phần tử Một tập gồm k phần tử tập hợp A gọi tổ hợp chập k n phần tử cho (0 ≤ k ≤ n) Cũng xem tổ hợp chập k n phần tử cách chọn đồng thời k tập n phần tử Hai chỉnh hợp chập k n phần khác nếu: - Có phần tử chỉnh hợp khơng có chỉnh hợp - Các phần tử thứ tự khác Vậy với tổ hợp chập k n phần tử có k! chỉnh hợp tương ứng Mặt khác, hai chỉnh hợp khác ứng với hai tổ hợp khác Do đó, số tổ hợp chập k n, kí hiệu Cnk là: Cnk = n! k!(n − k)! (1.4) 1.1.2 Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học Giả sử điểm rơi ngẫu nhiên vào miền D, A miền D Khi xác suất để điểm rơi ngẫu nhiên vào miền A xác định công thức: số đo miền A P (A) = (1.5) số đo miền D Số đo độ dài, diện tích, hay thể tích tùy thuộc vào miền xét đường thẳng, mặt phẳng hay không gian ba chiều c ... phương pháp xác suất vào giải số đề thi học sinh giỏi 15 2.1 Ý tưởng vận dụng xác suất vào giải toán 15 2.2 Vận dụng phương pháp xác suất vào giải số đề thi học sinh giỏi nước ... Vận dụng phương pháp xác suất vào giải số đề thi học sinh giỏi nước 2.3 Vận dụng phương pháp xác suất vào giải số đề thi học sinh giỏi quốc tế Một cách cụ thể, luận văn trình bày kết tài liệu... Vận dụng phương pháp xác suất vào giải số đề thi học sinh giỏi Chương trình bày kết tài liệu tham khảo Dự kiến nội dung: 2.1 Ý tưởng vận dụng xác suất vào giải toán 2.2 Vận dụng phương pháp xác