Dạng toàn phương docx

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn Đ ạ i S ố T u y ế n T í n h ∑ CHƯƠNG 4 Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn Đ ạ i S ố T u y ế n T í n h ∑ §7: Dạng Toàn phương 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 ( , ) "( , ) 2 "( , ) "( , ) 2 d f x y f x y dx f x y dxdy f x y dy Adx Bdxdy Cdy = + + = + +  Khi tìm cực trị của hàm 2 biến bài toán sẽ dẫn đến việc xác định dấu của vi phân cấp 2 của hàm f, nghĩa là ta cần xác định dấu của:  Khi xét hàm 3 biến thì ta cần xác định dấu của vi phân cấp 2: 2 2 2 2 11 12 13 22 23 33 2 2 2d f a dx a dxdy a dxdz a dy a dydz a dz= + + + + + Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn Đ ạ i S ố T u y ế n T í n h ∑ §7: Dạng Toàn phương  Tổng quát cho hàm nhiều biến thì việc tìm dấu của vi phân cấp 2 không đơn giản, do vậy “Dạng toàn phương” là một lý thuyết hổ trợ cho việc tìm dấu của vi phân cấp 2 của hàm nhiều biến. Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn Đ ạ i S ố T u y ế n T í n h ∑ §7: Dạng Toàn phương  Định nghĩa: Cho V là không gian vector n chiều trên R, hàm xác định như sau: với mỗi :V R ω → 1 2 ( , , , ) n x x x x V= ∈ Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn Đ ạ i S ố T u y ế n T í n h ∑ §7: Dạng Toàn phương 2 11 1 12 1 2 13 1 3 1 1 2 22 2 23 2 3 2 2 2 33 3 3 3 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 n n n n n n n n n x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x a x x a x ω = + + + + + + + + + + + + được gọi là dạng toàn phương trên V. Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn Đ ạ i S ố T u y ế n T í n h ∑ §7: Dạng Toàn phương  Ví dụ: Cho dạng toàn phương: 3 1 2 3 2 1 1 2 1 3 2 2 2 3 2 3 2 2 2 1 1 2 1 3 2 2 3 3 : , ( , , ) ( ) 2 4 6 2 8 2 4 6 2 8 R R x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ω ω → = = + − − + + = + − − + + 11 a 12 2a 13 2a 22 a 23 2a 33 a Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn Đ ạ i S ố T u y ế n T í n h ∑ §7: Dạng Toàn phương  Định nghĩa: Cho dạng toàn phương 2 11 1 12 1 2 13 1 3 1 1 2 22 2 23 2 3 2 2 2 33 3 3 3 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 n n n n n n nn n x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x a x x a x ω = + + + + + + + + + + + + khi đó, ma trận sau: Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn Đ ạ i S ố T u y ế n T í n h ∑ §7: Dạng Toàn phương  Gọi là ma trận của dạng toàn phương 11 12 1 12 22 2 1 2 n n n n n n a a a a a a A a a a ω       =         Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn Đ ạ i S ố T u y ế n T í n h ∑ §7: Dạng Toàn phương  Ví dụ: Cho dạng toàn phương 3 1 2 3 2 2 2 1 1 2 1 3 2 2 3 3 : , ( , , ) ( ) 2 4 6 2 8 R R x x x x x x x x x x x x x x ω ω → = = + − − + +  Khi đó, ma trận của dạng toàn phương là: 2 2 3 2 1 1 3 1 8 A ω −     = −     −   Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn Đ ạ i S ố T u y ế n T í n h ∑ §7: Dạng Toàn phương  Bài tập: Tìm ma trận của dạng toàn phương sau: 2 2 2 1 2 3 1 1 2 2 2 3 3 ( , , ) 6 3 4 5x x x x x x x x x x ω = − + + − 1 3 0 3 3 2 0 2 5 A ω −     = −     −   [...]... TuÊn 2 ∑  §7: Dạng Toàn phương ín h yến T ố Tu Đại S Bài tập: Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phương pháp Lagrange: 2 2 ω ( x) = x12 + 5 x2 − 10 x3 − 4 x1 x2 + 8 x1 x3 + 2 x2 x3 = (x1 )2 Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn ∑    §7: Dạng Toàn phương ín h yến T ố Tu Đại S Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc Phương pháp Jacobi (xem tài liệu) Ví dụ: Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc... của dạng toàn phương là ma trận chéo a11 0    0  0 a22 0 0   0    0 an n   Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương ∑   Hay ín h yến T ố Tu Đại S ω ( x) = a x + a x + + a x 2 11 1 2 22 2 2 nn n Thì ta gọi đó là dạng chính tắc của dạng toàn phương Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn ∑    §7: Dạng Toàn phương ín h yến T ố Tu Đại S Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc Phương pháp...∑  §7: Dạng Toàn phương ín h yến T ố Tu Đại S Bài tập: Tìm ma trận của dạng toàn phương sau: ω ( x) = 3x − 7 x + 3 x + 8 x1 x2 − 10 x1 x3 − 8 x2 x3 2 1 2 2 2 3  3 4 −5   4 −7 −4  Aω =    −5 −4 3    Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn ∑  §7: Dạng Toàn phương ín h yến T ố Tu Đại S Ví dụ: Cho dạng toàn phương có ma trận:  1 −2 3   −2 4 1  Aω =    3 1 −5    Khi đó, dạng toàn phương tương... Dạng Toàn phương ín h yến T ố Tu Đại S Nhận xét:  Xác định dấu của các dạng toàn phương sau: ω1 ( x) = x + 2 x − x + 6 x1 x2 + 2 x1 x3 − 8 x2 x3 2 1 2 2 2 3 ω2 ( x) = 3x + 2 x + 5 x 2 1 2 2 2 3 2 2 ω3 ( x) = −2 x12 − 3x2 − 4 x3 ω4 ( x) = x + 5 x − 3x 2 1 2 2 2 3 Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn ∑ §7: Dạng Toàn phương ín h yến T ố Tu Đại S  Dạng chính tắc của dạng toàn phương  Khi ma trận của dạng toàn. .. Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương ∑ ín h yến T ố Tu Đại S 1 − 2 2 A= 1 3 − 3   − 2 − 3 − 1    Đặt D0 = 1, D1 = a11 = 2, D2 = a11 D3 = a21 a12 a22 a13 2 a23 = 1 a31 a32 a33 1 3 a11 a12 a21 a22 = 2 1 1 3 = 5, −2 −3 = −35, −2 −3 −1 Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn ∑  §7: Dạng Toàn phương ín h yến T ố Tu Đại S Nếu Di ≠ 0, ∀i = 1,2, thì dạng toàn phương có dạng chính tắc là: D1 2 D2 2... phương có dạng chính tắc là: D1 2 D2 2 D3 2 ω ( y) = y1 + y2 + y3 D0 D1 D2 2 2 5 2 −35 2 ω ( y ) = y1 + y2 + y3 1 2 5 Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn ∑  §7: Dạng Toàn phương ín h yến T ố Tu Đại S Bài tập: Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phương pháp Jacobi: 2 2 ω ( x) = − x12 + 2 x2 − 3x3 − 4 x1 x2 + 2 x1 x3 − 8 x2 x3  −1 − 2 1  A =  − 2 2 − 4    1 − 4 − 3   Gi¶ng viªn: Phan §øc...  §7: Dạng Toàn phương ín h yến T ố Tu Đại S Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc Phương pháp Lagrange (xem tài liệu) Ví dụ: Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc 2 2 ω ( x) = x12 + 2 x2 + 10 x3 + 2 x1 x2 − 4 x1 x3 − 8 x2 x3 Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương ∑ ín h yến T ố Tu Đại S ω ( x) = x + 2 x + 10 x + 2 x1 x2 − 4 x1 x3 − 8 x2 x3 2 1 2 2 2 3 = ( x1 + x2 − 2 x3 ) + x + 6 x −... 2 = ( x1 + x2 − 2 x3 ) 2 + ( x2 − 2 x3 ) 2 + 2 x3  Đặt y1 = x1 + x2 − 2 x3 y2 = x2 − 2 x3 y3 = x3 ⇒ ω ( y) = y + y + 2 y 2 1 2 2 2 3 Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn ∑  §7: Dạng Toàn phương ín h yến T ố Tu Đại S Ví dụ: Đưa DT phương sau về dạng chính tắc: ω ( x) = x + 6 x + 13 x + 4 x1 x2 − 6 x1 x3 − 2 x2 x3 2 1 2 2 2 3 2 2 2 = ( x1 + 2x2 −3x3 ) +2x2 +4x3 +10x2 x3 2 2 = ( x1 + 2 x2 − 3x3 ) 2 + 2[ x2 + 2 . S ố T u y ế n T í n h ∑ §7: Dạng Toàn phương  Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc  Phương pháp Jacobi (xem tài liệu)  Ví dụ: Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc. 2 2 2 1 2 3 1. T u y ế n T í n h ∑ §7: Dạng Toàn phương  Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc  Phương pháp Lagrange (xem tài liệu)  Ví dụ: Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc. 2 2 2 1 2 3 1 2 1. Phan §øc TuÊn Đ ạ i S ố T u y ế n T í n h ∑ §7: Dạng Toàn phương  Dạng chính tắc của dạng toàn phương  Khi ma trận của dạng toàn phương là ma trận chéo               nn a a a 000