Iđêan nguyên tố p củaR được gọi là iđêan nguyên tố liên kết nếu tồn tại phần tử m của M sao chop= AnnRm.. Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M ký hiệu là AssRM.. Iđêannguyên tố p được
Kiến thức chuẩn bị
Iđêan nguyên tố tối tiểu của iđêan
Mục này trình bày một số tính chất của iđêan nguyên tố, iđêan nguyên tố tối tiểu Nhắc lại tập các iđêan nguyên tố của R được ký hiệu là Spec(R), tập các iđêan tối đại được ký hiệu là Max(R), tập các iđêan nguyên tố tối tiểu của R được ký hiệu là Min(R), tập các iđêan nguyên tố của R chứa iđêan I cho trước là V (I).
Bổ đề 1.1.1 Cho các iđêan I 1 , , I n của R và iđêan nguyên tố p của R sao cho p⊇ n
I i Khi đó tồn tại 1 ≤ i ≤ n sao cho p⊇ I i Đặc biệt, nếu p= n
I i thì tồn tại 1 ≤ i ≤ n sao cho p= I i
Mệnh đề 1.1.2 Cho iđêan nguyên tố p của vành R và các iđêan I 1 , I 2 , , I n của
R Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:
Hệ quả 1.1.3 Cho các iđêan I 1 , I 2 , , I n của R và iđêan nguyên tố p của R sao cho p= n
I i Khi đó tồn tại 1 ≤ j ≤ n sao cho p= I j Định nghĩa 1.1.4 Cho iđêan I trong vành R Iđêan nguyên tố tối tiểu của I là phần tử tối tiểu của tập V (I) theo quan hệ bao hàm Cụ thể p là iđêan nguyên tố tối tiểu của I nếu nó thỏa mãn các điều kiện:
(iii) Nếu q là iđêan nguyên tố và I ⊆q⊆p thì q=p.
Tập các iđêan nguyên tố tối tiểu của I được ký hiệu là Min(I) Iđêan nguyên tố tối tiểu của (0) được gọi là iđêan nguyên tố tối tiểu của R và được ký hiệu là Min(R).
Ví dụ 1.1.5 (i) Nếu p là iđêan nguyên tố thì Min(p) = {p}.
(ii) Cho trường F và R = F [x, y] Đặt I = x 2 , xy
Mọi iđêan nguyên tố chứa
I phải chứa x 2 và do đó, I chứa x Mặt khác (x) là iđêan nguyên tố chứa I Do đó, I chỉ có duy nhất một iđêan nguyên tố tối tiểu hay Min(I) = {(x)}.
Nhận xét 1.1.6 (i) Các iđêan nguyên tố tối tiểu của I không so sánh được, tức là nếu p và q là hai iđêan nguyên tố tối tiểu của I thì p*q và q*p.
Phần cuối của mục trình bày một số tính chất của các iđêan nguyên tố tối tiểu.
Bổ đề 1.1.7 Cho iđêan I của vành R với Min(I) = {p 1 , ,p n } Khi đó nếu xóa p i thì Tn j=1p j 6=T j6=ip j
Bổ đề 1.1.8 Cho iđờan I trong vành R sao cho I =p 1 ∩ ã ã ã ∩p n trong đú cỏc p i là nguyên tố vớii = 1, , nvà p i *p j với mọi i 6= j Khi đóMin(I) = {p 1 , ,p n }. Hơn nữa I là iđêan căn.
T i=1 p i , p i ∈ Spec(R)là các iđêan nguyên tố thìMin(I) ⊆ {p 1 , ,p n }.
Nếu I là iđêan căn thì tồn tại duy nhất một cách viết I như là giao của các iđêan nguyên tố tối tiểu không so sánh được Hơn nữa, mọi iđêan có thể viết thành giao hữu hạn các các iđêan nguyên tố là iđêan căn. Định nghĩa 1.1.10 Cho vành R Phần tử x ∈ R được gọi là phần tử lũy linh nếu tồn tại số nguyên dương n sao cho x n = 0. Định nghĩa 1.1.11 Tậpnil(R)các phần tử lũy linh của vànhR là iđêan vànil(R) được gọi là căn lũy linh củaR Hơn nữa R/ nil(R) không có phần tử lũy linh khác
Mệnh đề 1.1.12 Tập nil(R) gồm là giao của tất cả các iđêan nguyên tố của vành
(0) là giao của các iđêan nguyên tố tối tiểu của R.
Mệnh đề 1.1.14 Cho iđêan I của R Khi đó √ I là giao của tất cả các iđêan nguyên tố của R chứa I, tức là
Nhận xét 1.1.15 Cho vành R và iđêan I của R Khi đó
Môđun hữu hạn sinh và môđun Noether
Cho vành R và R-môđun M, M được gọi là hữu hạn sinh nếu tồn tại hữu hạn phần tử x 1 , , x n củaM sinh ra M Ta có M hữu hạn sinh khi và chỉ khi tồn tại hữu hạn phần tử x 1 , , x n ∈ M sao cho mỗi phần tử m ∈ M là tổ hợp tuyến tính của cỏc phần tử x 1 , , x n, tức là tồn tại r 1 , , r n sao cho m = r 1 x 1 + ã ã ã + r n x n.
Ta có thể tổng hợp một số đặc trưng đơn giản của môđun hữu hạn sinh qua chú ý sau.
Nhận xét 1.2.1 Cho vành R và R-môđun M Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:
(i) M là R-môđun hữu hạn sinh;
(ii) Tồn tại hữu hạn phần tử x 1 , , x n ∈ M sao cho mỗi phần tử m ∈ M tồn tại r 1 , , r n ∈ R sao cho m = r 1 x 1 + ã ã ã + r n x n ;
(iii) Tồn tại hữu hạn phần tử x 1 , , x n ∈ M sao cho M = Rx 1 + ã ã ã + Rx n ; (iv) Tồn tại n ∈N và toàn cấu R n → M (hay dãy R n → M → 0 là dãy khớp).
Bổ đề 1.2.2 Cho vành R, R-môđun hữu hạn sinh M và iđêan I của vành R sao cho IM = M Khi đó tồn tại a ∈ I sao cho (1 − a)M = 0.
Hệ quả 1.2.3 (Bổ đề Nakayama) Cho vành R và R-môđun hữu hạn sinh M Giả sử I là iđêan của vành R sao cho I ⊆ Rad(R) Khi đó nếu IM = M thì M = 0.
Hệ quả 1.2.4 Cho vành R và iđêan I của vành R sao cho I ⊆ Rad(R) Giả sử
M làR-môđun và N là môđun con của M sao cho M/N hữu hạn sinh Khi đó nếu
Mệnh đề dưới đây là một ứng dụng của Bổ đề Nakayama Giả sử W là tập sinh tối tiểu của R-môđun M có nghĩa là không tập con thực sự nào của W sinh ra
M Lưu ý rằng hai tập sinh tối tiểu của R-môđun M không nhất thiết có cùng số phần tử Tuy nhiên, nếuR là vành địa phương thì 2 hệ sinh tối tiểu củaR-môđun hữu hạn sinh luôn có cùng số phần tử Chú ý hai cơ sở của không gian véctơ có cùng số phần tử.
Mệnh đề 1.2.5 Cho vành địa phương (R,m) và R-môđun hữu hạn sinh M Khi đó M = M/mM là R/m-không gian véctơ hữu hạn chiều Giả sử chiều của không gian véctơ M là n.
(i) Nếu B = {v 1 , , v n } là cơ sở của M trên R/m và v i ∈ M là tạo ảnh của v i thì B = {v 1 , , v n } là một hệ sinh tối tiểu của M.
(ii) Ngược lại, nếu B = {v 1 , , v m } là một hệ sinh tối tiểu của M thì B = {v 1 , , v m } là một cơ sở của M trên R/m Khi đó ta có m = n. Định nghĩa 1.2.6 Một dãy tăng các R-môđun con của M
M 0 ⊆ M 1 ⊆ ã ã ã ⊆ M n ⊆ ã ã ã được gọi là dừng, hay còn gọi là thỏa mãn điều kiện dãy tăng nếu tồn tại số tự nhiên k sao cho M k+i = M k , với mọi i ∈N.
Mệnh đề 1.2.7 Cho vành R và R-môđun M Khi đó các mệnh đề sau đây là tương đương:
(i) Mọi dãy tăng các R-môđun con của M
(ii) Mọi tập hợp khác rỗng các môđun con của M đều có phần tử tối đại. Định nghĩa 1.2.8 Một R-môđun M được gọi là môđun Noether nếu mỗi tập khác rỗng các môđun con của M luôn chứa ít nhất một phần tử tối đại (theo quan hệ bao hàm) Vành R được gọi là vành Noether nếu R xem như R-môđun là môđun Noether.
Như vậy, vành R là vành Noether nếu nó thỏa mãn điều kiện dãy tăng trên các iđêan, tức là mọi dãy tăng các iđêan của R
Mệnh đề 1.2.9 (i) Nếu M là R-môđun Noether thì M là R/ Ann R M-môđunNoether.
(ii) Cho vành R và R-môđun M Khi đó M là Noether nếu và chỉ nếu mọi môđun con của M là hữu hạn sinh.
(iii) Vành R là vành Noether khi và chỉ khi mọi iđêan của R là hữu hạn sinh. (iv) Cho dãy khớp các R-môđun 0 → M 0 → M → M 00 → 0 Khi đó M là Noether khi và chỉ khi M 0 và M 00 là Noether.
(v) Cho họ hữu hạn các R-môđun (M i ) n i=1 Khi đó n
M i là R-môđun Noether nếu và chỉ nếuM i là Noether, với mọii = 1, , n.Đặc biệtR-môđunM là Noether khi và chỉ khi M n là Noether với n ∈N.
(vi) Cho vành Noether R và R-môđun hữu hạn sinh M Khi đó M là môđun Noether.
(vii) Cho vànhRvàR-môđunM NếuM làR-môđun Noether thì vànhR/ Ann R M là Noether.
(viii) Cho vành R và R-môđun Noether M sao cho Ann R (M) = 0 Khi đó R là vành Noether. Định lý 1.2.10 (Định lý cơ sở Hilbert) (i) Cho vành Noether R Khi đó vành R[x] là Noether.
(ii) Cho vành Noether R Khi đó vành R[x 1 , x 2 , , x n ] là vành Noether Đặc biệt, vành đa thức F [x 1 , x 2 , , x n ] trên trường F là vành Noether.
Mệnh đề 1.2.11 Cho vành Noether R và iđêan I của R Khi đó √ I là giao của hữu hạn các iđêan nguyên tố của R. Định lý 1.2.12 Cho vành Noether R và iđêan I của R Giả sử n ∈ N là số bé nhất sao cho √ I có thể viết dưới dạng giao của n iđêan nguyên tố của R chứa I. Giả sử √ I = n
T i=1 p i Khi đó tập tất cả các iđêan nguyên tố tối tiểu của R chứa I là {p i | 1 ≤ i ≤ n}.
Hệ quả 1.2.13 Cho iđêan I của vành Noether R Khi đó tồn tại hữu hạn các iđêan nguyên tố tối tiểu của R chứa I.
Địa phương hóa và tích tenxơ
Cho M là một R-môđun và S ⊆ R là một tập đóng nhân của R, tức là S là một vị nhóm con của vị nhóm nhân R Trong tập tích Descartes M × S ta xác định một quan hệ P như sau: (x, a) P (y, b) nếu tồn tạis ∈ S để s(bx − ay) = 0 Khi đó dễ kiểm tra được quan hệ P là một quan hệ tương đương trong M × S Tập các lớp tương đương của M × S theo quan hệ tương đương này được kí hiệu là
S −1 M, còn mỗi lớp tương đương có đại diện (x, a) được kí hiệu bởi x a Với phép cộng trong S −1 M được xác định bởi: x a + y b = bx + ay ab với mọi x a , y b ∈ S −1 M và phép nhân ngoài của mỗi phần tử a b ∈ S −1 R với một phần tử x c ∈ S −1 M được cho bởi: a b x c = ax bc, sẽ làm cho S −1 M trở thành một S −1 R-môđun S −1 R-môđun
S −1 M được gọi là môđun địa phương hoá của môđun M bởi S Tất nhiên, S −1 M cũng luôn là một R-môđun với phép nhân ngoài a x b = ax b với mọi a ∈ R và mọi x b ∈ S −1 M R-đồng cấu h : M −→ S −1 M cho bởi x 7−→ h(x) = x
1 được gọi là đồng cấu tự nhiên NếuM không có ước của 0 thì h là một đơn cấu Trong trường hợp này, người ta đồng nhất x ≡ x
1 , và có thể coi M ⊂ S −1 M như là một R-môđun con của R-môđun S −1 M NếuN ∗ là một môđun con của S −1 R-môđun S −1 M, thì h −1 (N ∗ ) = N là một R-môđun con của R-môđun M và N ∗ = S −1 N Ta có nếu u : M −→ N là một đồng cấu R-môđun, thì quy tắc S −1 u : S −1 M −→ S −1 N xác định bởi m s 7−→ u(m) s sẽ là một đồng cấuS −1 R-môđun NếuP là một iđêan nguyên tố của R thì S = R\P là một vị nhóm con nhân của R Kí hiệu M P = S −1 M và gọi là địa phương hoá của M tại iđêan nguyên tố P.
Mệnh đề 1.3.1 Cho iđêan I của vành R Khi đó
S −1 I := n i s | i ∈ I, s ∈ S o là iđêan của S −1 R Hơn nữa, mọi iđêan của S −1 R đều có dạng S −1 I với iđêan I của R. Định lý 1.3.2 Iđêan nguyên tố của S −1 R là và chỉ là các tập có dạng S −1 p, trong đó p là iđêan nguyên tố của R sao cho p∩ S = ∅ Như vậy, tồn tại song ánh giữa tập các iđêan nguyên tố của S −1 R và tập các iđêan nguyên tố của R không giao với S.
Mệnh đề 1.3.3 Cho tập con đóng nhân S của vành R và R-môđun M Khi đó các mệnh đề sau là đúng.
(i) Với mọi môđun con N của M, S −1 N = a s | a ∈ N là môđun con của
(ii) Nếu L là môđun con của S −1 M thìϕ −1 (L) = {m ∈ M | ϕ(m) ∈ L} là môđun con của M.
(iii) Nếu N là môđun con của M thì N ⊆ ϕ −1 S −1 N
N = ϕ −1 (L) với L là môđun con của S −1 M thì L = S −1 N.
Hệ quả 1.3.4 Mọi môđun con của S −1 M có dạng S −1 N với N là môđun con của
M. Định lý 1.3.5 Cho vành R và dãy khớp của R-môđun
→ S −1 M 00 cũng là dãy khớp các S −1 R-môđun.
Bổ đề 1.3.6 Cho R-môđun M Khi đó ta có đẳng cấu chính tắc f : S −1 R ⊗ R M → S −1 M giữa các S −1 R-môđun được cho bởi f( a s ⊗ m) = am s , với mọi a ∈ R, m ∈ M, s ∈ S.
Bổ đề 1.3.7 Cho các R-môđun M, N Khi đó tồn tại đẳng cấu f : S −1 M ⊗ S −1 R S −1 N → S −1 (M ⊗ R N ), của các S −1 R-môđun được xác định bởi f( m s ⊗ n t ) = m⊗n st
Bổ đề 1.3.8 Cho các R-môđun M, N Khi đó tồn tại đẳng cấu f : S −1 M ⊗ S −1 R S −1 N → S −1 (M ⊗ R N ), của các S −1 R-môđun được xác định bởi f( m s ⊗ n t ) = m⊗n st
Hệ quả 1.3.9 Cho môđun con N của M Khi đó
Mệnh đề 1.3.10 Cho tập đóng nhân S của R và ảnh S của S trong S 0−1 R Khi đó, ta có
Mệnh đề 1.3.11 Cho R-môđun S 0−1 M Khi đó ta có
S −1 (S 0−1 M ) ∼ = (SS 0 ) −1 M, như là các R-môđun. Định nghĩa 1.3.12 Cho vành R và iđêan nguyên tố p của R Khi đó S = R\p là tập đóng nhân và vành S −1 R được gọi là địa phương hóa của R tại p, ký hiệu là R p Định lý 1.3.13 Cho vành R và iđêan nguyên tố p của R Khi đó a s ∈ R p khả nghịch nếu và chỉ nếu a / ∈ p Do đó, R p là vành địa phương với iđêan tối đại duy nhất pR p. Định lý 1.3.14 Cho R-môđun M Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: (i) M = 0;
(iii) M m = 0 với mọi iđêan tối đại m của R.
Hệ quả 1.3.15 Cho vành R và các đồng cấu của các R-môđun
Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:
−→ L p là khớp với mọi iđêan nguyên tối p;
(iii) Dãy M m −→ f m N m −→ g m L m là khớp với mọi iđêan tối đại m. Định lý 1.3.16 Giả sử N 0 → f N → g N 00 → 0 là dãy khớp các R-môđun Khi đó với mọi R-môđun M hai dãy sau là khớp:
→ M ⊗ N 00 → 0, (ii) N 0 ⊗ M → f ∗ N ⊗ M → g ∗ N 00 ⊗ M → 0, trong đó f ∗ = id M ⊗ f, g ∗ = id M ⊗ g, f ∗ = f ⊗ id M , g ∗ = g ⊗ id M
Ví dụ 1.3.17 Dãy 0 → N 0 → f N → g N 00 → 0 là khớp nhưng nhìn chung ta không có dãy khớp
Lấy N 0 = N = Z và f : Z → Z cho bởi f (x) = 2x Rõ ràng f là đơn cấu Nếu
M =Z 2 thì f ∗ :Z 2 ⊗ ZZ → Z 2 ⊗ ZZ là ánh xạ không vì f ∗ (1 ⊗ x) = 1 ⊗ 2x = 2(1 ⊗ x) = 0 ⊗ x = 0, vơi mọi x ∈Z Nhưng Z 2 ⊗ ZZ ∼ = Z 2 6= 0 nên f ∗ không là đơn cấu.
Cho R-môđun M, kí hiệu E là dãy các R-môđun và R-đồng cấu
Ta cũng kí hiệu E ⊗ R M hoặc đơn giản là E ⊗ M cho dãy cảm sinh sau
E ⊗ R M : ã ã ã → N i−1 ⊗ R M → N i ⊗ R M → N i+1 ⊗ R M → ã ã ã Định nghĩa 1.3.18 R-môđun M được gọi là R-môđun phẳng hoặc R-phẳng nếu với mỗi dãy khớp E , dãy E ⊗ R M cũng là dãy khớp Nếu mỗi dãy E là khớp khi và chỉ khi E ⊗ R M là khớp thì ta nói M là môđun hoàn toàn phẳng trên R hoặc
Mệnh đề sau cho ta đặc trưng cơ bản của môđun phẳng.
Mệnh đề 1.3.19 Cho R-môđun M Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: (i) M là R-môđun phẳng;
(ii) Với mỗi dãy khớp ngắn E 0 : 0 → N 1 → N 2 → N 3 → 0 dãy E 0 ⊗ R M : 0 →
(iii) Với mỗi dãy khớpE 00 : 0 → N 1 → N 2 dãyE 00 ⊗ R M : 0 → N 1 ⊗ R M → N 2 ⊗ R M khớp.
Hệ quả 1.3.20 Cho vành R và tập đóng nhân S của R Khi đó S −1 R là
R-môđun phẳng. Định nghĩa 1.3.21 Cho đồng cấu vành f : R → R 0
(i) Nếu R 0 là phẳng như R-môđun thìf được gọi là đồng cấu phẳng và R 0 được gọi là R-đại số phẳng.
(ii) Nếu R 0 là hoàn toàn phẳng như R-môđun thì f được gọi là đồng cấu hoàn toàn phẳng và R 0 được gọi là R-đại số hoàn toàn phẳng.
Mệnh đề 1.3.22 Cho R-đại số R 0 và R 0 -môđun M Khi đó các mệnh đề sau là đúng.
(i) Nếu R 0 là R-phẳng và M là R 0 -phẳng thì M là R-phẳng.
(ii) Nếu R 0 làR-hoàn toàn phẳng và M là R 0 -hoàn toàn phẳng thì M là R-hoàn toàn phẳng.
(iii) Nếu M là R 0 -hoàn toàn phẳng và là R-phẳng thì R 0 là R- phẳng.
(iv) Nếu M đồng thời là R và R 0 -hoàn toàn phẳng thì R 0 là R-hoàn toàn phẳng.
Hệ quả 1.3.23 Cho các vành R, R 0 , R 00 với các đồng cấu vành f : R → R 0 và g : R 0 → R 00 Đặt h = gf : R → R 00 Khi đó các mệnh đề sau là đúng.
(i) Nếu f, g là các đồng cấu phẳng thì h cũng là đồng cấu phẳng.
(ii) Nếu f, g là các đồng cấu hoàn toàn phẳng thì h cũng là đồng cấu hoàn toàn phẳng.
(iii) Nếu h là đồng cấu phẳng và g là đồng cấu hoàn toàn phẳng thì f là đồng cấu phẳng.
Mệnh đề 1.3.24 Cho R-đại số R 0 và R-môđun M Khi đó các mệnh đề sau là đúng.
(i) Nếu M là R-phẳng thì M ⊗ R R 0 là R 0 -phẳng.
(ii) Nếu M là R-hoàn toàn phẳng thì M ⊗ R R 0 là R 0 -hoàn toàn phẳng. Định lý 1.3.1 Cho R-môđun M Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: (i) M là hoàn toàn phẳng trên R;
(ii) M là R-phẳng và N ⊗ R M 6= 0 với mọi R-môđun N khác 0;
(iii) M là R-phẳng và mM 6= M với mọi iđêan cực đại m của R. Định lý 1.3.2 (i) Cho R-phẳng M và hai môđun con N 1, N 2 của R-môđun N. Khi đó, xét như là các môđun con của N ⊗ R M, ta có
(ii) Cho đồng cấu phẳng ϕ : R → R 0 và các iđêan I 1 , I 2 của R Khi đó các mệnh đề sau là đúng.
(b) Nếu I 2 là iđêan hữu hạn sinh thì (I 1 : I 2 )R 0 = I 1 R 0 : I 2 R 0 Định lý 1.3.3 Cho đồng cấu phẳng f : R → R 0
(i) Với mọi R-môđun M, ánh xạ M → M ⊗ R R 0 cho bởi m 7→ m ⊗ 1 là đơn cấu.
Do đó f : R → R 0 là đơn cấu.
(ii) Nếu I là iđêan của R thì IR 0 ∩ R = I.
Tập iđêan nguyên tố liên kết và tập iđêan nguyên tố liên kết yếu
Tập giá của môđun
Định nghĩa 2.1.1 Cho vành R và R-môđun M Tập
Supp(M ) = {p∈ Spec(R) | M p 6= 0} được gọi là tập giá củaM.
Bổ đề 2.1.2 Cho vành R và R-môđun M Khi đó
M = (0) nếu và chỉ nếu Supp(M ) = ∅.
Chứng minh Vì M = 0 khi và chỉ khi M p = 0 với mọi p∈ Spec(R).
Mệnh đề 2.1.3 Cho vành Rvà R-môđun hữu hạn sinhM Khi đó tập Supp(M) =
V (Ann(M)) là tập đóng theo tôpô Zariski.
Chứng minh Giả sử p ∈ Supp(M ) Khi đó M p 6= 0 Vậy tồn tại m/s ∈ M p và m/s 6= 0 Do đó rm 6= 0 với mọi r ∈ R \p Nếu r ∈ Ann(M ), thì rm = 0 Do đó r ∈p Vậy Ann(M ) ⊆p.
Ngược lại, lấy Ann(M ) ⊆ p Giả sử p 6∈ Supp(M ) Ta có M p = 0 Vì M hữu hạn sinh nên tồn tại x 1 , , x n ∈ M là tập sinh của M Vì M p = 0 nên x i /1 = 0/1 với mọi i = 1, , n Điều này suy ra tồn tại s i ∈ R \p sao cho s i x i = 0 với mọi i = 1, , n Đặt s = s 1 s 2 s n ta có sx i = 0 với mọi i = 1, , n Vì x 1 , , x n ∈ M là tập sinh của M nên sM = 0 hay s ∈ Ann(M ) ⊆p Vì p nguyên tố nên tồn tại s i ∈p mâu thuẫn với cách chọn s i Vậy p6∈ Supp(M ).
Hệ quả 2.1.4 Cho vành R và R-môđun M và m ∈ M Khi đó m/1 6= 0 trong M p nếu và chỉ nếu p∈ V (Ann(m)).
Chứng minh Ta có Ann(m) = Ann(Rm) Khi đó p ∈ V (Ann(m)) nếu và chỉ nếu p∈ Supp(Rm) Điều này tương đương với m/1 6= 0 trong M p Định nghĩa 2.1.5 Cho vànhR và x ∈ R Ta nóixlà phần tử lũy linh của môđun
M nếu tồn tại n ≥ 1 thỏa mãn x n m = 0 với mọi m ∈ M, tức là x ∈p
Ann(M ) Ta ký hiệu các phần tử lũy linh của M là nil(M ) Như vậy nil(M ) :=p
Ann(M ). Mệnh đề 2.1.6 Cho vành R và R-môđun hữu hạn sinh M Khi đó nil(M) = \ p∈Supp(M ) p.
Chứng minh Theo Hệ quả 1.1.14,nil(M ) = T p⊇Ann(M ) p Nhưng theo Mệnh đề 2.1.3, p⊇ Ann(M ) nếu và chỉ nếu p∈ Supp(M ) Do đó ta có điều phải chứng minh.
Mệnh đề 2.1.7 Cho vành R và R-môđun M Khi đó các mệnh đề sau là đúng. (i) Nếu M là R-môđun hữu hạn sinh thì Supp(M/IM) = Supp(M ) ∩ V (I ) Đặc biệt Supp(R/I ) = V (I).
(ii) Nếu N ⊆ M thì Supp(N ) ⊆ Supp(M ).
(iii) Nếu L là môđun thương của M thì Supp(L) ⊆ Supp(M ).
0 → N → M → L → 0 là dãy khớp ngắn thì Supp(M ) = Supp(L) ∪ Supp(N ).
Chứng minh (i) Với mọip∈ Spec(R)ta có(M/IM) p = M p /IM p Nếup∈ Supp(M/IM ) ta có M p /IM p 6= 0 Kéo theo M p 6= 0 và IM p 6= M p Theo Bổ đề Nakayama, đẳng thức thứ hai tương đương với I ⊆ p Ngược lại, lấy p ∈ Supp(M ) ∩ V (I) Ta có
M p 6= 0vàI ⊆p Lại theo Bổ đề Nakayama, ta cóIM p 6= M p Kéo theoM p /IM p 6= 0 hay (M/IM) p 6= 0 Vậy ta có p∈ Supp(M/IM ) = Supp(M ).
Lưu ý Supp(R) = V (0) = Spec(R) nên Supp(R/I) = V (I) Ta cũng có R/I là
R-môđun hữu hạn sinh và Ann(R/I) = I nên đẳng thức này cũng là hệ quả trực tiếp của Mệnh đề 2.1.3.
(ii), (iii), (iv) được suy ra từ dãy khớp 0 → N p → M p → L p → 0 với mọi p∈ Spec(R) theo Hệ quả 1.3.15.
Mệnh đề 2.1.8 Cho đồng cấu phẳng R → R 0 , R-môđun M và m ∈ M Khi đó Ann R (m)R 0 = Ann R 0 (m ⊗ 1) Nếu M là R-môđun hữu hạn sinh thì Ann R (M )R 0 = Ann R 0 (M ⊗ R R 0 ).
Chứng minh Đặt I = Ann R (m) Ta có dãy khớp 0 → I → R → M, trong đó ánh xạ R → M biến f thành f m Vì R 0 là R-môđun phẳng nên ta có dãy khớp
0 → I ⊗ R R 0 → R 0 → M ⊗ R R 0 Từ đó ta có khẳng định thứ nhất.
VìM hữu hạn sinh nên tồn tạim 1 , , m n là tập sinh củaM Ta cóAnn R (M) = n
Ann R (m i ) Đặt I i = Ann R (m i ) Ta có
Bổ đề 2.1.9 Cho vành R và R-môđun hữu hạn sinh M Khi đó tồn tại dãy các
0 = M 0 ( M 1 ( ã ã ã ( M n = M sao cho tồn tại các iđêan I i của R và M i /M i−1 ∼ = R/I i , với mọi i = 1, , n.
Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo số phần tử sinh củaM Giả sửx 1 , , x r ∈
M là một tập sinh tối tiểu củaM Đặt M 1 = Rx 1 ⊆ M ĐặtI 1 = {f ∈ R | f x 1 = 0}.
Ta cóM 1 ∼ = R/I 1 Nếur = 1 từ tập luận vừa rồi ta có điều phải chứng minh Giả sử r > 2.Khi đó M/M 1 có r − 1 phần tử sinh nên ta có thể áp dụng giả thiết quy nạp tồn tại M 1 ( M 2 ( M 3 ( ã ã ã ( M n = M và cỏc iđờan I i của R và M i /M i−1 ∼ = R/I i với i = 2, , n − 1 Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Bổ đề 2.1.10 Cho vành giao hoán R khác không và R-môđun M khác không. Đặt Σ = {Ann R x | 0 6= x ∈ M } Giả sử p là một phần tử tối đại của Σ theo quan hệ bao hàm Khi đó p là iđêan nguyên tố.
Chứng minh Cho p = Ann R x là phần tử tối đại của Σ Vì x 6= 0 nên p 6= R. Giả sử ab ∈ p nhưng a / ∈ p Khi đó ta có ax 6= 0 và b(ax) = abx = 0 Kéo theo Ann R (ax) ∈ Λ và b ∈ Ann R (ax) ⊇ Ann R x Do p là phần tử tối đại của Σ nên p= Ann R x = Ann R (ax) Vậy b ∈p và do đó p là nguyên tố.
Bổ đề 2.1.11 Cho vành Noether R và R-môđun hữu hạn sinh M khác không. Khi đó tồn tại dãy các môđun con
0 = M 0 ( M 1 ( ã ã ã ( M n = M thỏa mãn tồn tại p i ∈ Spec(R) và M i /M i−1 ∼ = R/p i , với i = 1, , n.
Chứng minh Đặt Λ là tập các môđun con N của M sao cho tồn tại dãy
0 = N 0( N 1 ( ã ã ã ( N t = N thỏa mãn tồn tại q i ∈ Spec(R) và N i /N i−1 ∼ = R/q i , với t ∈ N và i = 1, , t Vì
M 6= 0 nên Σ = {Ann R x | 0 6= x ∈ M } là tập con khác rỗng các môđun con của M.
Vì R là vành Noether và M là R-môđun hữu hạn sinh nên M là môđun Noether.
Do đó Σ có phần tử tối đại là iđêan nguyên tố q và q= Ann R (x) với x ∈ M Đặt
L = Rx ta có L ∼ = R/q Điều này chứng tỏ L ∈ Λ Lại vì M là môđun Noether nên Λ có phần tử tối đại N Giả sử N ( M Vì M/N là R-môđun Noether khác không Lập luận tương tự như trên tồn tại môđun N 0 sao cho N ( N 0 ⊆ M sao cho N 0 /N đẳng cấu với R-môđun R/p 0 với p 0 là iđêan nguyên tố Điều này vô lý với tính tối đại của N Vậy N = M và ta có điều phải chứng minh.
Bổ đề 2.1.12 ChoR,M, M i ,p i như trong Bổ đề 2.1.11 Khi đó ta có Supp(M) = n
Chứng minh Theo Bổ đề 2.1.7, ta có các dãy khớp
0 → M i−1 → M i → R/p i → 0 với mọi i = 1, , n Theo Bổ đề 2.1.7, ta có
Supp(M i ) = V (p i ) ∪ Supp(M i−1 ), với mọi i = 1, , n Do đó Supp(M ) = n
Một cách đối ngẫu với vành, môđun Noether là vành, môđun Artin Giao của hai lớp môđun Noether và Artin là môđun có độ dài hữu hạn Các lớp môđun này đã được tìm hiểu trong học phần Đại số giao hoán trong chương trình cao học. Chú ý rằng nếu M là môđun có độ dài hữu hạn thì vành R/ Ann R (M ) là Artin. Trong vành Artin căn Jacobson (giao các iđêan tối đại) là căn lũy linh (căn của iđêan không hay là tập các phần tử lũy linh) cũng là iđêan lũy linh Đặc biệt nếu
R là vành địa phương với iđêan tối đại duy nhất m và M là R-môđun có độ dài hữu hạn thì tồn tại n ∈N sao cho (m/ Ann R (M )) n = 0 hay m n M = 0.
Bổ đề 2.1.13 Cho vành địa phương Noether R với iđêan tối đại duy nhất m và
R-môđun hữu hạn sinh M khác không Khi đó Supp(M ) = {m} nếu và chỉ nếu M có độ dài hữu hạn trên R.
Chứng minh Giả sử Supp(M) = {m} Theo Bổ đề 2.1.12 p i = m với mọi i =
1, , n Như vậy dãy trong Bổ đề 2.1.11 là dãy hợp thành của M Do đó M có độ dài hữu hạn.
Giả sử M là môđun có độ dài hữu hạn Khi đó tồn tạin ∈N sao chom n M = 0.
Do đó Ann R (M ) ⊇ m n Điều này kéo theo Supp(M ) ⊆ V (m) Vì M 6= 0 nên Supp(M ) = {m}.
Bổ đề 2.1.14 Cho vành Noether R, iđêan I của R và R-môđun hữu hạn sinh M. Khi đó tồn tại n ≥ 0 sao cho I n M = 0 nếu và chỉ nếu Supp(M) ⊆ V (I).
Chứng minh Giả sử tồn tại n ≥ 0 sao cho I n M = 0 Khi đó Supp(M ) ⊆ V (I). Ngược lại, giả sử Supp(M ) ⊆ V (I ) Khi đó tồn tại dãy
0 = M 0 ( M 1 ( ã ã ã ( M n = M như trong Bổ đề 2.1.11 Hơn nữa theo Bổ đề 2.1.12, ta có p i ∈ V (I) Do đó I ⊆p i và kéo theo I(M i /M i−1 ) = 0 Do đó I n M = 0.
Bổ đề 2.1.15 Cho R, M, M i, pi như trong Bổ đề 2.1.11 Khi đó các phần tử tối tiểu của tập {p 1 ,p 2 , ,p n } là các phần tử tối tiểu của Supp(M ) Hơn nữa nếu p là iđêan nguyên tố tối tiểu của M thì
Chứng minh Theo Bổ đề 2.1.12, Supp(M ) =S
V (pi ) Do đó các phần tử tối tiểu của tập {p 1 ,p 2 , ,p n } là các phần tử tối tiểu củaSupp(M ) Vì p là iđêan nguyên tố tối tiểu nên Supp(M p ) = {pR p } Do đó theo Bổ đề 2.1.13, ta có 0 < `(M p ) < ∞. Theo Bổ đề 2.1.11, môđun M có dãy
0 = M 0 ( M 1 ( ã ã ã ( M n = M thỏa mãn tồn tại p i ∈ Spec(R) và M i /M i−1 ∼ = R/p i , với i = 1, , n Do đó môđun
M p có dãy với các môđun thương (R/p i ) p = R p /p i R p Ta có R p /p i R p = 0 nếu p i 6⊆ p và R p /p i R p = κ(p) nếu p i ⊆ p Lại vì p là iđêan tối tiểu trong Supp(M ) và p i ∈ Supp(M ) nên R p /pi R p = κ(p) nếu pi =p Vì κ(p) có đội dài 1 nên từ dãy của
M p ta có điều phải chứng minh.
Tập iđêan nguyên tố liên kết
Định nghĩa 2.2.1 Cho vành R và R-môđun M Iđêan nguyên tố p của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại m ∈ M sao cho p = Ann R (m). Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M được ký hiệu là Ass R (M ) hoặc Ass(M).
Ví dụ 2.2.2 Cho số tự nhiên n > 1 Giả sử n = p α 1 1 p α t t là phân tích tiêu chuẩn của n thành tích các thừa số nguyên tố phân biệt p 1 , , p t Khi đó
Thật vậy, trong vành các số nguyênZ, chon = p α 1 1 p α t t là sự phân tích tiêu chuẩn của n ∈ Z Xét Z-môđun Z /n Z Với mỗi i, đặt b i = n/p i Khi đó b i 6= 0 ∈ Z /n Z và p i Z = Ann Z b i Suy ra p i Z ∈ Ass Z (Z /n Z ) Cho pZ ∈ Ass Z (Z /n Z ), với p nguyên tố và pZ = Ann Z (¯ b) Suy ra p ¯ b = 0, tức là pb chia hết cho n, trong khi đó b không chia hết cho n Suy ra p = p i với i nào đó Vậy
Ta quan tâm nhiều đến tập iđêan nguyên tố liên kết của vành thương R/I, trong đóI là iđêan củaR Lạm dụng ký hiệu đôi khi ta cũng viết tập iđêan nguyên tố liên kết của R/I bởi Ass R (I) và cũng gọi là các iđêan nguyên tố liên kết của I.
Ví dụ 2.2.3 Cho trường F và R = F [x, y] Xét iđêan I = x 2 , xy và
R-môđun M = R/I Phần tử x + I trong M triệt tiêu bởi x và y Do đó ta có (x, y) ⊆ Ann(x + I) Mặt khác x + I 6= 0 nên Ann(x + I) 6= R Vì (x, y) là iđêan tối đại của R nên Ann(x + I) = (x, y) Do đó (x, y) ∈ Ass(M ) Ta cũng nói (x, y) là iđêan nguyên tố liên kết của I vì M = R/I.
Bổ đề 2.2.4 Cho vành R và R-môđun M Khi đó p∈ Ass R (M ) khi và chỉ khi tồn tại đơn cấu R/p→ M.
Chứng minh Cho p ∈ Ass R (M ) Khi đó tồn tại m ∈ M khác không sao cho p= Ann R (m) Xét đồng cấu ϕ : R → M cho bởi 1 7→ m Khi đó Ker ϕ = Ann R (m).
Do đó ϕ : R/p→ M là đơn cấu.
Giả sử ϕ : R/p → M là đơn cấu Khi đó ta có p = Ker ϕ = Ann R (m), với m = ϕ(1) Do đó p∈ Ass R (M ).
Bổ đề 2.2.5 Cho iđêan nguyên tố p Khi đó Ass R (R/p) = {p}.
Chứng minh Một phần tử r +p ∈ R/p khác không nếu và chỉ nếu r / ∈ p Cho phần tử khác không bất kỳ r +p∈ R/p Ta có
Bổ đề 2.2.6 Cho vành R và R-môđun M Khi đó Ass(M ) ⊆ Supp(M).
Chứng minh Lấy p∈ Ass(M ) Khi đó tồn tại m ∈ M sao cho p= Ann(m) Giả sử m/1 = 0/1 trong M p Ta có tồn tại s / ∈ p sao cho sm = 0 Nhưng vì p = Ann(m) nên s ∈ p Điều vô lý này chứng tỏ m/1 6= 0/1 và kéo theo M p 6= 0 Do đó p∈ Supp(M).
Bổ đề 2.2.7 Cho vành R và dãy khớp ngắn các R-môđun
Ass(M 0 ) ⊆ Ass(M ) ⊆ Ass(M 0 ) ∪ Ass(M 00 ). Đặc biệt ta có Ass(M 0 ⊕ M 00 ) = Ass(M 0 ) ∪ Ass(M 00 ).
Chứng minh Ta có thể giả sử M 0 là môđun con của M và M 00 = M/M 0 Rõ ràngAss(M 0 ) ⊆ Ass(M ) Giả sử p ∈ Ass(M ) Khi đó p = Ann(m), trong đó m ∈ M.Nếu tồn tại g ∈ R sao cho g 6∈ p và gm ∈ M 0 Đặt m 0 = gm Ta chứng minh p= Ann(m 0 ) Thật vậy ta cóp= Ann(m) ⊆ Ann(m 0 ) Ngược lại, giả sửr ∈ Ann(m 0 ). Suy ra rgm = 0 Kéo theo rg ∈ p Vì g 6= 0 nên r ∈ p Vậy p= Ann(m 0 ) và ta có p∈ Ass(M 0 ) Nếu không tồn tại g ∈ R, g 6∈p và gm ∈ M 0 Đặt m 00 = m + M 0 là ảnh của m trong M 00 Ta chứng minh p = Ann(m 00 ) Với mọi r ∈ p ta có rm = 0 nên rm 00 = 0 Kéo theo p⊆ Ann(m 00 ) Ngược lại, lấy r ∈ Ann(m 00 ) Ta có rm 00 = 0 trong M/M 0 hay rm ∈ M 0 Theo giả thiết r ∈p Vậy p= Ann(m 00 ) Do đó p∈ Ass(M 00 ). Khẳng định cuối được suy ra từ dãy khớp
Nhận xét 2.2.8 ChoR = F [x] trên trường F Ta có dãy khớp ngắn các R-môđun
Ta có Ass(R/(x)) = {(x)} và Ass(R) = Ass((x)) = {(0)} Do đó ta có Ass(R) ( Ass(R/(x)) ∪ Ass((x)).
Bổ đề 2.2.9 Cho vành Noether R và R-môđun M Khi đó M = (0) nếu và chỉ nếu Ass(M ) = ∅.
Chứng minh Nếu M = (0)thì Ass(M ) = ∅ theo định nghĩa NếuM 6= 0 thì tồn tại môđun con khác không hữu hạn sinh M 0 ⊆ M, chẳng hạn chọn M 0 là môđun con sinh bởi một phần tử khác0 ĐặtΣ = {Ann R x | 0 6= x ∈ M 0 }.VìRlà vành Noether và M 0 là R-môđun hữu hạn sinh nên theo Bổ đề 2.1.10, Σ có phần tử tối đại theo quan hệ bao hàm gọi là p, plà iđêan nguyên tố Do đó p∈ Ass(M 0 ) ⊆ Ass(M ).
Bổ đề 2.2.10 Cho vành R và R-môđun M khác không Giả sử tồn tại dãy các môđun con
0 = M 0 ( M 1 ( ã ã ã ( M n = M thỏa mãn tồn tại pi ∈ Spec(R) và M i /M i−1 ∼ = R/pi, với i = 1, , n Khi đóAss(M ) ⊆ {p 1 , ,p n }.
Chứng minh Ta có Ass(R/p) = {p} với p ∈ Spec(R) Từ Bổ đề 2.2.7 và các dãy khớp 0 → M i−1 → M i → R/p i → 0 ta có điều phải chứng minh.
Ta cũng có thể chứng minh quy nạp theo n độ dài của dãy Giả sử n = 1 Ta có M = M 1 ∼ = R/p 1 Ta có Ass(M ) = {p 1 } Giả sử n > 1 và phát biểu đúng cho n − 1 Lấyp∈ Ass(M ) Ta cóp= Ann(m) Nếum ∈ M n−1 thì ta có điều phải chứng minh theo giả thiết quy nạp Nếu m / ∈ M n−1 thì ảnh của m khác không trong M/M n−1 ∼ = R/p n Do đó p ⊆ p n Nếu p = p n ta có điều phải chứng minh Nếu p(p n thì tồn tại f ∈pn và f 6∈p Điều này kéo theo f m ∈ M n−1 và p= Ann(f m). Theo giả thiết quy nạp ta có điều phải chứng minh.
Bổ đề 2.2.11 Cho vành Noether R và R-môđun hữu hạn sinhM Khi đó Ass(M ) là tập hữu hạn.
Chứng minh Được suy ra từ Bổ đề 2.2.10 và và Bổ đề 2.1.11.
Mệnh đề 2.2.12 Cho vành Noether R và R-môđun hữu hạn sinh M Khi đó các tập sau bằng nhau.
(i) Tập các iđêan nguyên tố tối tiểu của Supp(M ).
(ii) Tập các iđêan nguyên tố tối tiểu của Ass(M ).
(iii) Phần tử tối tiểu của tập {p 1 ,p 1 , ,p n }, trong đó
0 = M 0 ( M 1 ( ã ã ã ( M n−1 ( M n = M là dãy bất kỳ các môđun con của M thỏa mãn M i /M i−1 ∼ = R/pi, p i ∈ Spec(R), với mọi i = 1, 2, n.
Chứng minh Lấy dãy bất kỳ như ở (iii), theo Bổ đề 2.1.15, ta có tập trong (i) và (iii) là bằng nhau.
Lấy p là phần tử tối tiểu của Supp(M ), tức là p là phần tử tối tiểu của tập {p 1 ,p 1 , ,p n } Gọi i là chỉ số nhỏ nhất sao cho p=p i Lấy m ∈ M i và m 6∈ M i−1
Theo cách chọn i và p, ta có p j 6⊆p với j < i và do đó ta có p 1 p 2 p i−1 6⊆p i Lấy f ∈p 1 p 2 p i−1 , f 6∈p Khi đó p= Ann(f m) Do đó p∈ Ass(M ) Theo Bổ đề 2.2.6, ta có Ass(M ) ⊆ Supp(M ) Do đó p là phần tử tối tiểu của Ass(M ) Như vậy tập ở (i) chứa trong tập ở (ii).
Lấy p là phần tử tối tiểu của Ass(M ) Vì Ass(M ) ⊆ Supp(M ) nên tồn tại phần tử tối tiểu q của Supp(M ) sao cho q⊆ p Theo chứng minh trên q∈ Ass(M ) Do đó q=p theo tính tối tiểu của p Như vậy tập ở (ii) chứa trong tập ở (i).
Bổ đề 2.2.13 Cho vành Noether R và R-môđun M Khi đó mọi iđêan nguyên tố tối tiểu của M đều thuộc Ass(M ).
Chứng minh Nếu M là R-môđun hữu hạn sinh, thì kết quả là hệ quả của Mệnh đề 2.2.12 Tổng quát, ta luôn có M = S
M λ , trong đó M λ là R-môđun hữu hạn sinh Do đó từ Supp(M ) =S
Ass(M λ ), ta nhận được kết quả.
Ta nói phần tử a ∈ R là mộtước của 0trongM nếu tồn tại một phần tửz ∈ M sao cho z 6= 0 và az = 0 Tập các ước của 0 trong M được kí hiệu là ZD R (M ) Kết quả sau đưa ra mối liên hệ giữa ZD R (M ) và tập các iđêan nguyên tố liên kết.
Bổ đề 2.2.14 Cho vành R và R-môđun M Khi đó ta có
Dấu bằng xảy ra nếu R là vành Noether.
Chứng minh Theo định nghĩa của iđêan nguyên tố liên kết, ta có
Ngược lại, giả sử x là ước của không trên M Đặt N = {m ∈ M | xm = 0} Vì
N 6= 0 và R là vành Noether, theo Bổ đề 2.2.9, tồn tại iđêan nguyên tố liên kết q của N Khi đó x ∈q và qlà iđêan nguyên tố liên kết của M theo Bổ đề 2.2.7.
Mệnh đề 2.2.15 Cho vành Noether R và R-môđun hữu hạn sinh M Khi đó nil(M ) =p
Chứng minh Theo Mệnh đề 2.2.12, ta có Min(Ass(M )) = Min(Supp(M )) Do đó theo Mệnh đề 2.1.6, ta có nil(M ) = p
Ann(M ) = \ p∈Supp(M ) p= \ p∈Min Supp(M ) p= \ p∈Min Ass(M ) p
Tính chất của tập iđêan nguyên tố liên kết khi chuyển qua địa phương hóa được thể hiện qua bổ đề sau.
Bổ đề 2.2.16 Cho vành Noether R và R-môđun hữu hạn sinh M Cho p∈ Spec(R) Khi đó
Chứng minh Giả sử q ∈ Ass R (M ) sao cho q ⊆ p Khi đó qR p ∈ Spec (R p ) Hơn nữa, tồn tại m ∈ M sao cho q= Ann R m Suy ra qR p = Ann R p (m/1) ∈ Spec (R p ) , và do đó qR p ∈ Ass R p (M p ).
Ngược lại, giả sử Q ∈ Ass R p (M p ) Vì Q là iđêan nguyên tố của R p nên tồn tại q∈ Spec(R) sao cho q⊆ p và Q =qR p Hơn nữa, tồn tại m ∈ M và s / ∈p sao cho
Q = Ann R p (m/s) Vì s/1 là phần tử khả nghịch của vành R p nên ta có
Do R là vành Noether nên iđêan q là hữu hạn sinh, giả sử q sinh bởi các phần tử u 1 , , u n Suy ra u i m/1 = 0 M p với mọi i = 1, , n Kéo theo, với mỗi i = 1, , n, tồn tại s i ∈ / p sao cho s i u i m = 0 Đặt t := s 1 s n , suy ra t / ∈pvà tu i m = 0 với mọi i = 1, , n Vì thế q⊆ Ann R (tm).
Cho r ∈ Ann R (tm) Khi đó rtm = 0 và do đó (rt/1)(m/1) = 0 M p Suy ra (rt/1) ∈ Ann R p (m/1) = qR p Suy ra rt ∈ q; và do q nguyên tố, t / ∈ q (vì q ⊆ p và t / ∈ p), nên r ∈ q Vì thế q ⊇ Ann R (tm) và do đó ta có Ann R (tm) = q ∈ Spec(R) Vậy q∈ Ass R (M). Định lý 2.2.17 Cho vành Noether R và tập nhân đóng S và R-môđun M Khi đó
Chứng minh Chop∈ Ass R (M )sao chop∩S = ∅, theo Định lý 1.3.2,S −1 plà iđêan nguyên tố của vành S −1 R Vì p∈ Ass(M ), tồn tại ánh xạ bao hàm R/p⊆ M Từ Định lý 1.3.5 và Hệ quả 1.3.9, ta có
Do đó S −1 p là iđêan nguyên tố liên kết của S −1 M.
Giả sử P ∈ Spec S −1 R là iđêan nguyên tố liên kết của S −1 M Theo Định lý 1.3.2, ta có P = S −1 p với iđêan nguyên tố p nào đó của R sao cho p∩S = ∅ Bây giờ ta cần chứng minh p ∈ Ass(M ) Vì R là Noether, p là hữu hạn sinh, tức là p= (f 1 , , f n ) trong R Khi đó P = f 1
Từ giả thiết ta có P = ann m w với m ∈ M, w ∈ S Vì w khả nghịch trong
Theo định nghĩa, với mỗi i, ta có f i 1 m
1 khi và chỉ khi u i f i m = 0 với u i ∈ S.
Tập iđêan nguyên tố liên kết qua đồng cấu
Cho R → S là đồng cấu vành và N là một S-môđun Trong mục này ta sẽ tìm hiểu tập các iđêan nguyên tố q của S được định nghĩa như sau:
2 A 0 = {q∈ Spec(S) |p= R∩q,qthuộcAss S⊗κ(p) (N ⊗ R κ(p))qua đồng cấu tự nhiên Spec(S ⊗ R κ(p)) → Spec(S)},
4 A 0 f in = {q∈ Spec(S) |tồn tạip 0 ⊆ R,q∈ Ass S (N/p 0 N ),
5 B = {q∈ Spec(S) |tồn tại R-môđunM,q∈ Ass S (N ⊗ R M )},
6 B f in = {q∈ Spec(S) |tồn tại R-môđun hữu hạn sinhM,q∈ Ass S (N ⊗ R M)}. Mệnh đề sau đưa ra một số liên hệ giữa các tập iđêan nguyên tố vừa nêu.
Bổ đề 2.3.1 Cho R → S là một đồng cấu vành Cho N là một S-môđun Giả sử
A, A 0 , A f in , B và B f in là các tập con của Spec(S) được đưa ra ở trên Khi đó (i) A = A 0
(ii) A f in ⊆ A, B f in ⊆ B, A f in ⊆ A 0 f in ⊆ B f in và A ⊆ B.
(iii) Nếu S là Noether thì A = A f in và B = B f in
(iv) Nếu N là R-môđun phẳng thì A = A f in = A 0 f in và B = B f in
(v) Nếu R là Noether và N R-môđun phẳng thì tất cả các tập bằng nhau, tức là A = A 0 = A f in = A 0 f in = B = B f in
Chứng minh (i) Lấy p là iđêan nguyên tố của R Khi đó
Ass S (N ⊗ R κ(p)) = Ass S/pS (N ⊗ R κ(p)) = Ass S⊗ R κ(p) (N ⊗ R κ(p)), trong đó đẳng thức thứ nhất được suy ra từ Bổ đề 2.2.23 và đẳng thức thứ hai được suy ra từ Bổ đề 2.2.25(i) Từ đó suy ra A = A 0 Bao hàm thức A f in ⊆ A 0 f in là hiển nhiên.
(ii) Các bao hàm thức đều được suy ra từ định nghĩa trừ bao hàm thức A f in ⊆ A được suy ra từ Bổ đề 2.2.25 với chú ý p= R ∩q.
(iii) VìS là Noether nên theo Bổ đề 2.2.25(iii) ta cóA = A f in Lấyq= (g 1 , , g m ) là một iđêan nguyên tố hữu hạn sinh của S và z ∈ N ⊗ R M là một phần tử có linh hóa tử là q Lấy M 0 ⊆ M là một môđun con hữu hạn sao cho z là ảnh của z 0 ∈ N ⊗ R M 0 Khi đóAnn S (z 0 ) ⊆q= Ann S (z) VìN ⊗ R −giao hoán với giới hạn trực tiếp và M là giới hạn trực tiếp của R-môđun hữu hạn nên tồn tại M 0 ⊆ M 00 ⊆ M sao cho ảnh z 00 ∈ N ⊗ R M 00 bị triệt tiêu bởi g 1 , , g m Do đó Ann S (z 00 ) = q Nói cách khác nếu S là Noether thì B = B f in
(iv) Nếu N là phẳng thì hàm tử N ⊗ R − là khớp Đặc biệt, nếu M 0 ⊆ M thì
N ⊗ R M 0 ⊆ N ⊗ R M Do đó nếu z ∈ N ⊗ R M là phần tử có q = Ann S (z) là iđêan nguyên tố thì với mỗiR-môđun con hữu hạn M 0 ⊆ M sao cho z ∈ N ⊗ R M 0 và linh hóa tử của z xem như một phần tử của N ⊗ R M 0 bằng q Do đó B = B f in Lấy p 0 là một iđêan nguyên tố của R và q là một iđêan nguyên tố của S mà không là iđêan nguyên tố liên kết của N/p 0 N Từ đó suy ra p 0 S ⊆q Vì N là phẳng trên R nên N/p 0 N là phẳng trên miền nguyên R/p 0 Do đó mọi phần tử khác không của R/p 0 không là ước của không trên N/p 0 Do đó các phần tử trên không thể ánh xạ đến phần tử của q và do đó p 0 = R ∩q Vì vậy A f in = A 0 f in Do đó theo Bổ đề 2.2.26 ta có Ass S (N/p 0 N ) = Ass S (N ⊗ R κ(p 0 )), tức là , A 0 f in = A.
(v) Từ (iv) ta chỉ cần chứng minh rằng A 0 f in = B f in Giả sử M là một R-môđun hữu hạn Theo Bổ đề 2.1.11 tồn tại dãy các R-môđun con
0 = M 0 ⊆ M 1 ⊆ ⊆ M n = M sao cho với mỗi i ta có M i /M i−1 đẳng cấu với R/p i với iđêan nguyên tố p i của R.
Vì N là phẳng nên tồn tại dãy các S-môđun con
0 = N ⊗ R M 0 ⊆ N ⊗ R M 1 ⊆ ⊆ N ⊗ R M n = N ⊗ R M sao cho mỗi thương trong dãy trên đẳng cấu với N/p i N Theo Bổ đề 2.2.7 ta có Ass S (N ⊗ R M ) ⊆ S
Ass S (N/p i N ) Do đó B f in ⊆ A 0 f in Kết hợp với (ii) ta có điều phải chứng minh. Định lý 2.3.2 Cho R → S là một đồng cấu vành, M là một R-môđun và N là một S-môđun Khi đó nếu N là R-môđun phẳng thì
Ass S (M ⊗ R N ) ⊇[ p∈Ass R (M ) Ass S (N/pN ), và nếu R là Noether thì dấu bằng ở trên xảy ra.
Chứng minh Nếu p∈ Ass R (M )thì tồn tại đơn ánh R/p→ M Vì N là phẳng trên
R nên tồn tại đơn ánh R/p⊗ R N → M ⊗ R N Vì R/p⊗ R N = N/pN nên theo Bổ đề 2.2.7 ta suy raAss S (N/pN ) ⊆ Ass S (M ⊗ R N ) Do đó vế phải chứa trong vế trái. Viết M = S
M λ dưới dạng hợp của các R-môđun con hữu hạn sinh Khi đó
N ⊗ R M λ vì N làR-môđun phẳng Theo định nghĩa của iđêan nguyên tố liên kết ta có Ass S (N ⊗ R M ) =S
Ass(M λ ) Do đó ta có thể giả sử rằng M là hữu hạn sinh.
Lấy q∈ Ass S (M ⊗ R N ), giả sử R là Noether và M là R-môđun hữu hạn Tiếp theo ta chứng minh q là một phần tử của vế phải Trước hết theo Bổ đề 2.2.24 ta có qS q ∈ Ass S q ((M ⊗ R N ) q ) Lấy p là iđêan nguyên tố tương ứng của R Chú ý rằng ta có
Nếu pR p 6∈ Ass R p (M p ) thì theo Bổ đề 2.2.27 tồn tại phần tử x ∈ pR p không là ước của không trong M p Vì N q là phẳng trên R p nên ảnh của x trong qS q không là ước của không trong (M ⊗ R N ) q Điều này mâu thuẫn với giả thiết qS q ∈ Ass S ((M ⊗ R N ) q ) Do đó p là một iđêan nguyên tố liên kết của M.
Tiếp tục như trên, tồn tại dãy
0 = M 0 ⊆ M 1 ⊆ ⊆ M n = M sao cho thương M i /M i−1 đẳng cấu với R/p i với p i là iđêan nguyên tố của R, theo
Bổ đề 2.1.11 Theo Bổ đề 2.2.10 ta có tồn tại i sao cho p i =p Từ đó tồn tại lọc
0 = M 0 ⊗ R N ⊆ M 1 ⊗ R N ⊆ ⊆ M n ⊗ R N = M ⊗ R N với các thương đẳng cấu với N/p i N Nếu p i 6=p thì vìAss R (R/p i ) = {p i } nên theo chứng minh trên q không thể liên kết với môđun N/p i N Do đó q liên kết vớiN/pN.
Bổ đề 2.3.3 Cho R → S là một đồng cấu vành và N là một S-môđun Giả sử N là R-môđun phẳng và R là một miền với trường các thương K Khi đó
Ass S (N ) = Ass S (N ⊗ R K) = Ass S⊗ R K (N ⊗ R K) thông qua phép nhúng chính tắc Spec(S ⊗ R K ) ⊆ Spec(S).
Chứng minh Chú ý rằng S ⊗ R K = (R \ {0}) −1 S và N ⊗ R K = (R \ {0}) −1 N Với mỗi phần tử khác không x ∈ R nhân với x trên N là đơn ánh vì N là phẳng trên
R Do đó từ Bổ đề 2.2.26 và 2.2.25(i) ta có điều phải chứng minh. Định lý 2.3.4 Cho R → S là một đồng cấu vành, M là một R-môđun và N là một S-môđun Giả sử N là R-môđun phẳng Khi đó
Ass S (M ⊗ R N ) ⊇[ p∈Ass R (M) Ass S⊗ R κ(p) (N ⊗ R κ(p)) trong đó ta xem phổ của vành thớ như là tập con của Spec(S) Nếu R là Noether thì bao hàm thức trên trở thành đẳng thức.
Chứng minh Theo Bổ đề 2.2.23, 2.3.2 và 2.3.3, Bổ đề 2.3.4 tương đương với Bổ đề 2.3.2.
Nhận xét 2.3.5 Cho R → S là một đồng cấu vành, N là một S-môđun và p là một iđêan nguyên tố của R Khi đó
Ass S (N ⊗ R κ(p)) = Ass S/pS (N ⊗ R κ(p)) = Ass S⊗ R κ(p) (N ⊗ R κ(p)). Đẳng thức thứ nhất được suy ra từ Bổ đề 2.2.23, đẳng thức thứ hai được suy ra từ Bổ đề 2.2.25(i).
Tập iđêan nguyên tố liên kết yếu
Mục này tìm hiểu tập iđêan nguyên tố hữu ích cho các vành không Noether và các môđun không hữu hạn sinh. Định nghĩa 2.4.1 ChoR là một vành vàM là mộtR-môđun Iđêan nguyên tốp củaR được gọi làiđêan nguyên tố liên kết yếu củaM nếu tồn tạim ∈ M thỏa mãn p là tối tiểu trong tập các iđêan nguyên tố chứa Ann(m) = {f ∈ R | f m = 0} Tập các iđêan nguyên tố liên kết yếu được ký hiệu là WeakAss R (M) hoặc WeakAss(M ). Nhận xét 2.4.2 Mỗi iđêan nguyên tố liên kết là iđêan nguyên tố liên kết yếu.
Mệnh đề sau đưa ra đặc trưng của iđêan nguyên tố liên kết yếu khi chuyển qua địa phương hóa.
Bổ đề 2.4.3 Cho R là một vành và M là một R-môđun Cho p là một iđêan nguyên tố của R Khi đó các phát biểu sau là tương đương
(i) p là iđêan nguyên tố liên kết yếu của M,
(ii) pR p là iđêan nguyên tố liên kết yếu của M p ,
Chứng minh Giả sử ta có (i) Khi đó tồn tại m ∈ M thỏa mãn p là phần tử tối tiểu trong tập các iđêan nguyên tố chứa linh hóa tử I = {x ∈ R | xm = 0} của m.
Vì địa phương hóa có tính khớp nên linh hóa tử của m trong M p là I p Do đó pR p là iđêan nguyên tố tối tiểu của R p chứa linh hóa tử I p của m trong M p Điều này kéo theo (ii) Ta cũng có (iii) vì p
I p =pR p Áp dụng (i) ⇒ (iii) cho M p trên R p , ta có (ii) ⇒ (iii).
Cuối cùng, giả sử ta có (iii) Khi đó tồn tại m/f ∈ M p có căn của linh hóa tử của nó bằng pR p Khi đó linh hóa tử I = {x ∈ R | xm = 0} của m trong M thỏa mãn pI p =pR p Điều này chứng tỏ pchứa I và là iđêan nguyên tố tối tiểu chứaI, tức là ta có (i).
Bổ đề 2.4.4 Với các vành thu gọn, các iđêan nguyên tố liên kết yếu của vành là các iđêan nguyên tố tối tiểu.
Chứng minh Giả sử (R,m) là một vành địa phương rút gọn Giả sử x ∈ R là một phần tử có căn của linh hóa tử của nó là m Nếu m6= 0 thì x không khả nghịch.
Vì vậy x ∈m Khi đó tồn tại n sao chox 1+n = 0 Từ đó suy ra x = 0 Điều này vô lý với giả sử x chứa trong m Kéo theo m = 0, tức là R là một trường Theo Bổ đề 2.4.3, ta có điều phải chứng minh.
Bổ đề 2.4.5 Cho vành R và 0 → M 0 → M → M 00 → 0 là dãy khớp các R-môđun. Khi đó
Chứng minh Ta sẽ sử dụng đặc trưng của iđêan nguyên tố liên kết yếu được đưa ra trong Bổ đề 2.4.3 Giả sử p là iđêan nguyên tố của R Ta có dãy khớp
0 → M p 0 → M p → M p 00 → 0 Giả sử m ∈ M p là phần tử có căn của linh hóa tử làpR p Khi đó ảnh m củam trong M p 00 bằng không và ta có m ∈ M p 0 hoặc căn của linh hóa tử của m là pR p Điều này chứng tỏ WeakAss(M ) ⊆ WeakAss(M 0 ) ∪ WeakAss(M 00 ). Bao hàm thức WeakAss(M 0 ) ⊆ WeakAss(M) được suy trực tiếp từ định nghĩa.
Bổ đề 2.4.6 Cho R là một vành và M là R-môđun Khi đó
Mọi môđun khác không có ít nhất một iđêan nguyên tố liên kết yếu.
Chứng minh Nếu M = (0)thì WeakAss(M) = ∅theo định nghĩa Ngược lại, giả sử
M 6= 0 Khi đó tồn tại 0 6= m ∈ M Đặt I = {x ∈ R | xm = 0} là linh hóa tử của m. Khi đó R/I ⊆ M Do đó WeakAss(R/I) ⊆ WeakAss(M ) theo Bổ đề 2.4.5 Vì I 6= R nên ta có V (I) = Spec(R/I ) chứa ít nhất một iđêan nguyên tố tối tiểu Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Bổ đề 2.4.7 Cho R là một vành và M là một R-môđun Khi đó
Chứng minh Bao hàm thức đầu được suy ra từ định nghĩa Nếu p∈ WeakAss(M ) thì theo Bổ đề 2.4.3, ta có M p 6= 0 Do đó p∈ Supp(M ).
Bổ đề 2.4.8 ChoR là một vành vàM là mộtR-môđun Khi đó hợpS q∈WeakAss(M )q là tập các phần tử của R không là ước của không trên M.
Chứng minh Giả sử f ∈ q ∈ WeakAss(M ) Khi đó tồn tại m ∈ M sao cho q là iđêan nguyên tố tối tiểu của I = {x ∈ R | xm = 0} Do đó tồn tại g ∈ R, g 6∈q và n > 0 thỏa mãn f n gm = 0 Chú ý rằng gm 6= 0 as g 6∈ I Lấy n tối tiểu như trên ta cóf(f n−1 gm) = 0vàf n−1 gm 6= 0, vì vậyf là một ước của không trênM Ngược lại, giả sửf ∈ R là một ước của không trênM Xét môđun conN = {m ∈ M | f m = 0}.
VìN khác không nên theo Bổ đề 2.4.6 tồn tại iđêan nguyên tố liên kết yếu q Khi đó f ∈q và theo Bổ đề 2.4.5 ta có qiđêan nguyên tố liên kết yếu của M.
Bổ đề 2.4.9 Cho R là một vành vàM là mộtR-môđun Khi đó mỗi p∈ Supp(M ) tối tiểu trong các phần tử của Supp(M ) đều là phẩn tử của WeakAss(M ).
Chứng minh Chú ý rằng Supp(M p ) = {pR p } trong Spec(R p ) Đặc biệt ta có M p khác không, và do đó theo Bổ đề 2.4.6 ta có WeakAss(M p ) 6= ∅ Theo Bổ đề 2.4.7 ta suy ra WeakAss(M p ) ⊆ Supp(M p ) Do đó theo Bổ đề 2.4.3 ta có WeakAss(M p ) = {pR p }, trong đó p∈ WeakAss(M ).
Bổ đề 2.4.10 Cho R là một vành và M là một R-môđun Giả sử p là một iđêan nguyên tố hữu hạn sinh của R Khi đó p∈ Ass(M ) ⇔p∈ WeakAss(M ). Đặc biệt, nếu R là Noether thì Ass(M ) = WeakAss(M ).
Chứng minh Giả sử p= (g 1 , , g n ) với g i ∈ R Theo Bổ đề 2.4.7 ta chỉ cần chứng minh chiều “⇐” Giả sử p ∈ WeakAss(M ) Theo Bổ đề 2.4.3 tồn tại m ∈ M p sao cho I = {x ∈ R p | xm = 0} có căn là pR p Do đó với mỗi i tồn tại e i > 0 nhỏ nhất sao cho g e i i m = 0 trong M p Nếu tồn tại i để e i > 1 thì thay m bằng g i e i −1 m 6= 0 giảm tổng P e i Do đó ta giả sử linh hóa tử của m ∈ M p là (g 1 , , g n )R p =pR p Theo Bổ đề 2.2.24 ta có p∈ Ass(M ).
Nhận xét 2.4.11 Cho ϕ : R → S là một đồng cấu vành và M là một S-môđun. Khi đó bao hàm thức dưới đây chưa chắc đúng
Spec(ϕ)(WeakAss S (M)) ⊆ WeakAss R (M), điều này không giống như đối với tập iđêan nguyên tố liên kết (xem Bổ đề 2.2.20). Chẳng hạn ta xét ví dụ sau.
R = k[x 1 , x 2 , x 3 , ] → S = k[x 1 , x 2 , x 3 , , y 1 , y 2 , y 3 , ]/(x 1 y 1 , x 2 y 2 , x 3 y 3 , ) và M = S Khi đó q = P x i S là tối tiểu của S, và do đó là iđêan nguyên tố liên kết yếu của M = S (xem Bổ đề 2.4.9) Mặt khác, với mỗi phần tử khác không của S linh hóa tử trong R là hữu hạn sinh và do đó không có căn bằng
Bổ đề 2.4.12 Cho ϕ : R → S là một đồng cấu vành và M là một S-môđun Khi đó ta có Spec(ϕ)(WeakAss S (M )) ⊇ WeakAss R (M ).
Chứng minh Lấy p là một phần tử của WeakAss R (M) Khi đó tồn tại m ∈ M p sao cho linh hóa tử I = {x ∈ R p | xm = 0} của m có căn là pR p Xét linh hóa tử
J = {x ∈ S p | xm = 0} của m trong S p Vì IS p ⊆ J nên các phần tử nguyên tố tối tiểu q ⊆ S p trên J đều nằm trên p Hơn nữa mỗi q như vậy tương ứng với một iđêan nguyên tố liên kết yếu của M, xem Bổ đề 2.4.3.
Nhận xét 2.4.13 Cho ϕ : R → S là một đồng cấu vành và M là một S-môđun.
Kí hiệu f : Spec(S) → Spec(R) là ánh xạ tương ứng trên các phổ Khi đó ta có f(Ass S (M )) ⊆ Ass R (M ) ⊆ WeakAss R (M) ⊆ f (WeakAss S (M )).
Các bao hàm thức trên có thể la thực sự, xem Nhận xét 2.2.21 và 2.4.11 Nếu
S là Noether thì các bao hàm thức trên là đẳng thức vì theo Bổ đề 2.4.10 ta có hai tập ngoài cùng là bằng nhau.
Bổ đề 2.4.14 Cho R là một vành,I là một iđêan củaR và M là mộtR/I-môđun. Thông qua phép nhúng chính tắc Spec(R/I) → Spec(R) ta có WeakAss R/I (M ) = WeakAss R (M).
Chứng minh Đây là trường hợp đặc biệt của Bổ đề ??.
Mệnh đề 2.4.15 Cho R là một vành, M là một R-môđun và S ⊆ R là một tập đóng nhân Thông qua phép nhúng chính tắc Spec(S −1 R) → Spec(R) ta có WeakAss R (S −1 M ) = WeakAss S −1 R (S −1 M ) và