Bài tập nhóm lý thuyết xác suất công thức xác suất đầy đủ vàbayes

Bộ môn này trang bị cho sinh viên chúngta một số vấn đề cơ sở của biến ngẫu nhiên để từ đó chúng ta có thể tiếp cận vào việcnghiên cứu lý thuyết vận dụng vào nghiên cứu phương pháp thu t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

──────── * ────────

BÀI TẬP NHÓM

HỌC PHẦN: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

TÊN CHỦ ĐỀ: Công thức xác suất đầy đủ và

Bayes

Sinh viên thực hiện : Nguyễn Thị Ánh Hồng

Ngô Thị Huệ Đinh Nguyễn Lan Hương

Trịnh Liên Hương Trịnh Thị Lan Hương Đàm Thị Hường

Kiều Quang Huy Đặng Thị Huyền Phan Thảo Huyền

Đỗ Thị Lam Phan Hoàng Vũ

Tên lớp học phần: 20231BS6012011 Giảng viên: Giáp Văn Huynh

MỤC LỤC

A LỜI MỞ ĐẦU 3

B LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ 4

1 Công thức xác suất đầy đủ - Công thức xác suất Bayes 4

1.1 Công thức xác suất đầy đủ 4

1.2 Công thức xác suất Bayes 4

2 Ví dụ minh họa: 4

2.1 Bài 1 4

2.2 Bài 2 6

2.3 Bài 3 7

2.4 Bài 4 8

2.5 Bài 5 9

C LỜI KẾT 11

D TÀI LIỆU THAM KHẢO 11

A LỜI MỞ ĐẦU

Môn học “Lí thuyết xác suất” là môn học có lịch sử phát triển lâu đời, và là bộ môn học nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên Bộ môn này trang bị cho sinh viên chúng

ta một số vấn đề cơ sở của biến ngẫu nhiên để từ đó chúng ta có thể tiếp cận vào việc nghiên cứu lý thuyết vận dụng vào nghiên cứu phương pháp thu thập xử lý thông tin

và làm bài tập, nhằm đưa ra những kết luận cần thiết Công thức xác suất Bayes là một công cụ quan trọng trong lĩnh vực xác suất và thống kê, có rất nhiều ứng dụng thực tế Chuẩn đoán bệnh: Công thức xác suất Bayes được sử dụng trong lĩnh vực y tế để đưa

ra chuẩn đoán bệnh dựa trên các triệu chứng và kết quả xét nghiệm Bằng cách tính toán xác suất điều kiện, các bác sĩ có thể đánh giá xác suất mắc bệnh dựa trên các thông tin khách quan và chủ quan

Phân loại email rác: Công thức Bayes cũng được sử dụng trong các hệ thống lọc email

để phân loại email là rác (spam) hoặc không phải rác (non-spam) Các mô hình Bayes dựa trên việc tính toán xác suất điều kiện của các từ hoặc thuộc tính trong email để dự đoán xem một email mới có phải là rác hay không

Trích xuất thông tin: Trong lĩnh vực xử lý ngôn ngữ tự nhiên, công thức Bayes có thể được sử dụng để trích xuất thông tin từ văn bản

Nhận dạng khuôn mặt: Trong các hệ thống nhận dạng khuôn mặt, công thức Bayes có thể được sử dụng để tính toán xác suất rằng một hình ảnh mới chứa khuôn mặt của một người cụ thể Các thông tin như hình dạng khuôn mặt, màu da, đặc điểm hình học

và các đặc trưng khác có thể được sử dụng để tính toán xác suất này

Tối ưu hóa quảng cáo trực tuyến: Công thức Bayes cũng có thể được áp dụng trong lĩnh vực quảng cáo trực tuyến để tối ưu hóa hiệu quả chiến dịch quảng cáo Dựa trên lịch sử tương tác của người dùng và các thuộc tính quảng cáo, xác suất Bayes có thể được sử dụng để dự đoán xác suất người dùng sẽ nhấp vào một quảng cáo cụ thể và điều chỉnh chiến dịch quảng cáo để tăng tỷ lệ chuyển đổi

Bài tiểu luận này được thực hiện bởi nhóm 3, trong suốt quá trình hoàn thiện có thể xảy ra sai sót, mong thầy và các bạn bỏ qua và góp ý

Xin chân thành cảm ơn!

B LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ

1 Công thức xác suất đầy đủ - Công thức xác suất Bayes:

1.1 Công thứ xác suất đầy đủ:

Giả sử là A i một nhóm biến cố đầy đủ (ⅈ=1,2 , … n) trong một phép thử, A là một biến

cố thỏa mãn, A xảy ra chỉ khi ít nhất 1 trong các biến cố xảy ra Khi đã biết P(A i) và

P(A / A i) thì:

Ta có công thức xác suất đầy đủ như sau:

i=1

n

1.2 Công thức xác suất Bayes:

Cùng với giả thiết của công thức xác suất đầy đủ và thêm giả thiết là phép thử đã được thực hiện – nghĩa là biến cố A đã xảy ra, khi đó:

P(A i / A)=P(A i)× P ( A / A i)

P ( A) =

P(A i)× P ( A / A i)

∑

i=1

n

P(A i)× P(A ∕ A i)

Chú ý: Nhận dạng bài toán xác suất đầy đủ phép thử (hành động) diễn ra qua 2 giai

đoạn: biến cố cần tính xác suất ở giai đoạn 2, các kết quả ở giai đoạn 1 là nhóm đầy đủ cần tìm

2 Ví dụ minh họa:

Bài 1: Có hai hộp đựng bi Hộp 1 có 3 viên bi đỏ và 7 viên bi trắng Hộp 2 có 4 viên bi

đỏ và 6 viên bi trắng Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên ra 1 viên bi Sau đó từ hai viên bi thu được ta lấy ngẫu nhiên ra 1 viên bi a, Tìm xác suất để viên bi lấy ra sau cùng là viên

bi màu trắng b, Lấy được viên bi màu trắng tính xác suiất để viên bi đó nằm ở hộp 2

Giải

a) Gọi A là biến cố để viên bi lấy được cuối cùng là viên bi màu trắng

A1là biến cố lấy được 1 viên bi màu đỏ ở hộp 1 và 1 biên bi đỏ ở hộp 2

A2là biến cố lấy được 1 viên bi màu đỏ ở hộp 1 và 1 biên bi trắng ở hộp 2

A3là biến cố lấy được 1 viên bi màu trắng ở hộp 1 và 1 biên bi đỏ ở hộp 2.

A4là biến cố lấy được 1 viên bi màu trắng ở hộp 1 và 1 biên bi trắng ở hộp 2 Với A1, A2, A3, A4 là hệ biến cố đầy đủ và A chỉ xảy ra khi hoặc A1 xảy ra hoặc A2 xảy

ra hoặc A3 xảy ra hoặc A4 xảy ra

1

C101 ⋅

C41

25 =0,12

1

C101 ⋅

C61

50 =0,18

1

C101 .

C41

25 =0,28

1

C101 .

C61

50 =0,42

1

2 =0,5

1

1

2 =1

Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có:

¿0,12 ×0 +0,5× 0,18+0,28 ×0,5+0,42× 1=0,65

Vậy xác suất để viên bi cuối cùng là viên bi màu trắng là 0,65

b) Áp dụng công thức Bayes:

P(A i / A)=P(A i)× P ( A / A i)

Ta có:

0,18 × 0,5

0,65 = 9

P(A4/ A)=P(A4)× P ( A / A4)

0,42× 1

0,65 =42

Vậy xác suất lấy được viên bi màu trắng cuối cùng là từ hộp thứ 2 là:

65 +42

65 =51

Bài 2: Cho 30 hộp đựng bút bi: trong đó 15 hộp loại I, trong mỗi hộp loại I đựng 9 bút

bi xanh, 10 bút bi đỏ; 10 hộp loại II, trong mỗi hộp loại II đựng 13 bút bi xanh, 15 bút

bi đỏ; 5 hộp loại III, trong mỗi hộp loại III có 6 bút bi xanh, 12 bút bi đỏ Lấy ngẫu nhiên ra một hộp rồi từ đó lấy ra 2 cái bút

a) Tìm xác suất để lấy được 1 bút bi xanh, 1 bút bi đỏ

b) Biết lấy được 1 bút bi xanh, 1 bút bi đỏ Tìm xác suất để lấy ra 2 cái bút đó là của 1 hộp loại II

Giải

Gọi A i là biến cố “lấy được hộp loại i” ¿

⇒ A1, A2, A3là biến cố đầy đủ

a) Gọi A là biến cố lấy được một bút bi xanh và một bút bi đỏ

1

2 P(A / A1)=C9

1

⋅C101

19

1

3 P(A / A2)=C15

1

⋅ C131

126

1

6

Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có:

Vậy xác suất để lấy ra được 1 bút bi xanh và 1 bút bi đỏ là 0,5135

b) Gọi là biến cố để lấy được 2 bút bi lấy ra được đó của hộp loại 2:

Áp dụng công thức xác suất Bayes:

Vậy xác suất để lấy được 1 chiếc bút bi xanh và 1 chiếc bút bi đỏ là từ hộp loại 2 là 0,3349

Bài 3: Tan giờ học buổi chiều một học sinh có 50% về nhà ngay, nhưng do giờ cao

điểm nên có 30% ngày bị tắc đường nên bị về nhà muộn (từ 30 phút trở lên) còn 30%

số ngày học sinh đó là cà quán ăn vặt lề đường, những ngày này xác suất về nhà muộn

là 80% Còn lại những ngày khác học đó đi chơi với bạn bè có xác suất về muộn là 90%

a Tính xác suất để trong một ngày nào đó học sinh không về muộn

b Hôm nay học sinh đó về muộn Tính xác suất để để học sinh đó la cà quán đồ ăn vặt

Giải:

a) Gọi A là biến cố học sinh đó đi học về muộn

A là biến cố học sinh đó đi học không về muộn

A1 là biến cố học sinh đó về nhà ngay

A2 là biến cố học sinh đó la cà quán ăn vặt lề đường

A3 là biến cố học sinh đó đi chơi với bạn bè

⇒ A1, A2, A3là biến cố đầy đủ

Ta có:

Theo công thức xác suất đầy đủ:

= 0,5 ×0,3 +0,3× 0,8+0,2 ×0,9=0,57

P(A)=1−0,57=0,43

Vậy xác suất để trong 1 ngày nào đó học sinh không về muộn là 0,43

b) Theo công thức Bayes, xác suất để học sinh đó về muộn do la cà quán đồ ăn vặt là:

P ( A2/ A)= P(A2)× P ( A / A2)

0,3 ×0,8

0,52 =0,42

Bài 4: Tỷ lệ người dân nghiện các chất kích thích rượu, bia, thuốc lá là 60%, biết rằng

tỷ lệ người mắc các bệnh về tim mạch trong số người nghiện đó là 80%, còn tỷ lệ người bị các bệnh về tim mạch trong số người không nghiện đó là 20%

a Chọn ngẫu nhiên một người biết rằng người đó bị bệnh tim mạch Tìm xác suất để người đó nghiện các chất kích thích

b Nếu người đó không bị bệnh, tìm xác suất để người đó nghiện các chất kích thích

Giải

Gọi A là biến cố “người được chọn ra nghiện chất kích thích”

A1 là biến cố “người được chọn ra không nghiện chất kích thích”

A2 là biến cố “người được chọn ra bị mắc các bệnh tim mạch”

⇒ A1, A2 là hệ biến cố đầy đủ và A xảy ra khi hoặc A1 xảy ra hoặc A2 xảy ra

Theo công thức xác suất đầy đủ thì:

a) Xác suất chọn được người bị bệnh tim mạch do nghiện chất kích thích là:

Áp dụng công thức xác suất Bayes:

0,6 ×0,8

0,56 =0,86

b) Gọi A là biến cố “người được chọn ra không bị mắc các bệnh về tim mạch”

⇒ P(A)=1−P(A)=1−0,56=0,44

Xác suất để chọn ra người nghiện các chất kích thích biết rằng người đó không mắc các bệnh về tim mạch là:

Áp dụng công thức xác suất Bayes:

0,6×(1−0,8)

0,44 =0,27

Bài 5: Một loại linh kiện do 3 nhà máy số I, số II, số III cùng sản xuất Tỷ lệ phế phẩm

của các nhà máy lần lượt là: I; 0,02; II: 0,05 và III: 0,03 Trong 1 lô linh kiện để lẫn lộn 90 sản phẩm của nhà máy số I, 100 của nhà máy số II và 130 của nhà máy số III a) Một khách hàng lấy ngẫu nhiên 1 linh kiện từ lô hàng đó Tính XS để được linh kiện tốt

b) Biết khách hàng lấy được một linh kiện loại tốt từ lô hàng đó Tính XS để được linh kiện đó thuộc nhà máy số II

Giải

a) Gọi A i là biến cố “lấy được hộp loại i” ¿

⇒ A1, A2, A3là biến cố đầy đủ

Gọi A là biến cố khách hàng lấy được 1 linh kiện tốt

Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có:

¿ C90

1

C3201 ×(1 −0,02)+C100

1

C3201 ×(1 −0,05)+C130

1

C3201 ×(1 −0,03)=3093

Vậy xác suất để linh kiện được lấy ra là linh kiện tốt là 0,966

b) Biết khách hàng lấy được một linh kiện loại tốt từ lô hàng đó XS để được linh kiện đó thuộc nhà máy số II là:

Áp dụng công thức xác suất Bayes:

P(A2A)=P(A1)× P(A A2)

C1001

C3201 ×(1−0,05)

3093≈ 0,3071

C LỜI KẾT

Qua quá trình thực hành và nghiên cứu đề tài, nhóm chúng tôi đã nhận thấy nhiều lợi ích mà bộ môn “Lý thuyết xác suất - Thống kê toán” mang lại cho sinh viên chúng tôi không những trong thời điểm hiện tại mà còn sau này khi giải quyết những vấn đề trong cuộc sống Với quỹ thời gian giới hạn và quy mô thông tin nhỏ nhóm chúng tôi

có thể vẫn chưa thể hoàn thành tiểu luận một cách hoàn chỉnh nhất, vì vậy mong thầy

và các bạn thông cảm! Nhóm chúng tôi mong nhận được sự nhận xét và đánh giá của thầy cho cuốn tiểu luận của chúng tôi hoàn chỉnh hơn

D TÀI LIỆU THAM KHẢO

1