Trang 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN Trang 2 TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN Trang 3 Mở đầu 1Danh mục các ký hiệu 41 Tính chất hình học của nghiệm đa thức Chebyshev 61.1 Đa thức Chebyshev và các tí
Đa thức Chebyshev và các tính chất cơ bản
Định nghĩa
Định nghĩa 1.1 Ta định nghĩa bốn loại đa thức Chebyshev là các đa thức bậc n thoả mãn các công thức như sau: Với mọi n ∈N
2kπ|k ∈Z Để cho gọn, ta định nghĩa các đa thức Chebyshev thu gọn như sau:
• T n ∗ (x) còn gọi là đa thức Vieta-Lucas (xem[7, 8]) hay đa thức Dickson,
• U n ∗ (x) còn gọi là đa thức Vieta-Fibonacci (xem [8]).
Tính chất
Tính chất 1.1 ([8]) Các đa thức T n (x), U n (x) có bậc n, hệ số cao nhất lần lượt là 2 n−1 và 2 n
Tính chất 1.2 ([8]) T n (x), U n (x) là hàm chẵn khi n chẵn, là hàm lẻ khi n lẻ. Tính chất 1.3 ([8]) T n+1 (x) = 2xT n (x) − T n−1 (x).
Chứng minh Để chứng minh (1.2) ta áp dụng công thức de Moivre e iθ n
= (cos θ + i sin θ) n = cos(nθ) + i sin(nθ), với nθ = 2kπ, ta được e iπ2k = e iπ(−2k) = 1.
Do đó kết hợp với (1.1) ta có
= θ 2n−1 + θ −2n+1 Đây là một trong những tính chất đặc biệt của đa thức T n ∗ (x) □
Từ tính chất trên, ta có được một số kết quả sau:
Chứng minh ii) Ta có
2 Áp dụng công thức (1.2) với ξ = e 2n−1 iπ ta được
Sử dụng công thức de Moivre ta suy ra e 2n−1 iπ = cos 2kπ
2n − 1 thay vào biểu thức trên ta được
, với φ ̸= kπ, k ∈Z iii) Ta nhận thấy
Thay vào vế trái của đẳng thức ta được
2 + kπ, k ∈Z iv) Sử dụng biến đổi coth α = coth α
Nghiệm của đa thức Chebyshev thu gọn
Các nghiệm dương của các đa thức T n ∗ , U n ∗ , V n ∗ , W n ∗ được liệt kê lần lượt bên dưới đây: t k,n = 2 cos
Ta chú ý rằng các không điểm của t k,n , k = 1, 2, , j n 2 k có thể được suy ra từ (1.1) với θ = e 4n−2 iπ và từ (1.2) với θ = e 4n iπ
Tính chất hình học của đa thức Chebyshev
Định lý 1.1 ([9]) Cho n ∈ N , n ≥ 4 và A 0 , A 1 , , A n−1 là các đỉnh của n-giác đều P có cạnh bằng 1.
Nếu x = π n và d (A k , A l ) là độ dài khoảng cách từ đỉnh A k đến đỉnh A l của P thì ta có
Chứng minh Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp n-giác đều P tâm O. Khi đó áp dụng định lý sin trong tam giác A 0 A 1 A k nội tiếp đường tròn tâm O
Suy ra d(A 0 , A m ) = sin(mx) sin x = U m−1 (cos x).
2 k , d(A 0 , A m+1 ) − d(A 0 , A m ) (i) = sin (m + 1) x sin x − sin (mx) sin x
(iv) Ta biến đổi vế trái đẳng thức bằng cách chèn các đỉnh thứ 2(m − k) với
(v) Biến đổi tương tự như (iv), với 1 ≤ 2m + 1 ≤ n
□ Bằng cách so sánh số hạng của các tổng iv) và v) với nghiệm của bốn loại đa thức Chebyshev thu gọn T n ∗ , U n ∗ , V n ∗ , W n ∗ ta thu được hệ quả sau
Như vậy, trong Chương 1, các tính chất của các không điểm của đa thứcChebyshev thu gọn đã được mô tả, đó là độ dài đường chéo của một n-giác đều với cạnh bằng1 bằng tổng các nghiệm dương tương ứng của đa thức Chebyshev thu gọn Các công thức phân tích của hiệu các đa thức Chebyshev cũng đã được trình bày cụ thể.
Chương 2 Định lý Chebyshev đối với các elip trong mặt phẳng phức
Một trong những sự kiện cơ bản là các đa thức Chebyshev T n (x) là các giá trị gần đúng tối ưu của hàm không trên đoạn [−1, 1] Ít được biết đến hơn, nhưng vẫn là một thực tế đã được chứng minh, đó là đa thức phức tương ứng T n (z) là các giá trị gần đúng tối ưu của hàm không trên bất kỳ hình elip nào trong mặt phẳng C với tiêu điểm −1và +1 Điều này được phát biểu ngầm trong [3] và có thể tìm thấy một biến thể của nó trong [6], trong đó giải pháp dự định sử dụng lý thuyết về các ký số Chebyshev và xây dựng trên tính chất tách của tập lồi.Chương này trình bày những nguyên lý cơ bản đầu tiên về chủ đề “Đa thứcChebyshev và các elip trong C” như đã đề cập và chứng minh rằng các hình elip phức có thể được phân tích về cơ bản bằng cùng một bộ công cụ giống như những gì đã được sử dụng cho các khoảng trên đường thẳng thực.
Xấp xỉ đều đến 0 trên [−1, 1]
Đa thức T n (x)
Từ Định nghĩa 1.1 của đa thức Chebyshev loại 1, T n (cos(x)), ta định nghĩa hàm T n (x) với x = cos(θ), được cho bởi công thức
T n (cos(θ)) = cos(nθ), 0 ≤ θ ≤ π (2.1) Kết hợp (2.1) với hệ thức cos(nθ) + cos((n − 2)θ) = 2 cos(θ) cos((n − 1)θ) ta nhận được
Công thức (2.2) cho phép ta tính toán quy nạp được tất cả T n (x) bắt đầu từ
T 3 (x) = 4x 3 − 3x. Đồng thời, từ (2.2) ta dễ dàng nhận ra một số tính chất của T n (x): i) T n (x) là một hàm đa thức bậc n với hệ số cao nhất là 2 n−1 , ii) T n là một hàm đối xứng, hàm chẵn khi n chẵn, hàm lẻ khi n lẻ, iii) Tại n + 1 điểm x = cos kπ n , k = 0, 1, , n, (2.3) các giá trị của T n (x k ) = (−1) k luân phiên giữa 1 và −1, trong đó, x k là một dãy giảm nghiêm ngặt, bắt đầu từ x 0 = 1 và kết thúc tại x n = −1 Do đó, đa thức
2 n−1 , (2.4) đa thức Chebyshev lõi bậc n, đạt giá trị tuyệt đối lớn nhất trên [−1; 1] tại những điểm x k Khi đó
Xấp xỉ đều đến 0 trên [-1;1]
Định lý 2.1 ([4]) Trong các đa thức lõi bậc n với hệ số cao nhất là 1 thì đa thức Te n (x) là đa thức duy nhất có giá trị tuyệt đối lớn nhất đạt giá trị nhỏ nhất trên [−1; 1] và bằng 2 1−n Nghĩa là, nếu đa thức P (x) là đa thức lõi bậc n thì
2 n−1 Chứng minh Ta sử dụng phương pháp phản chứng để chứng minh định lý này. Giả sử P (x) là đa thức lõi bậc n bất kì với max
Khi đó R(x) là đa thức lõi bậc không vượt quá (n − 1) và tất cả các giá trị của R(x) bằng 0 hoặc có dấu (−1) k
Xét hai giá trị khác 0 liên tiếp bất kì của {R(x k )} k≥1 làR(x k ) và R(x k+h ), với R(x i ) = 0, k < i < k + h Các x i này tạo thành h − 1 nghiệm của R(x) trong khoảng (x k+h , x k ), vì thế khoảng này chứa ít nhất (h − 1) nghiệm của R(x) Tuy nhiên, vì tất cả các giá trị khác 0 còn lại của R(x k ) đều có dấu (−1) k nên các dấu của R(x) tại các điểm cuối của khoảng đều được liên hệ với nhau bởi hệ số (−1) h , do đó tính chẵn lẻ của số các số 0 ở giữa các khoảng phải bằng tính chẵn lẻ của h Vì thế khoảng (x k+h , x k ) phải chứa ít nhất h số 0.
Sử dụng lập luận này cho mỗi đoạn nghiệm của R(x) và ghép các kết quả này với nhau ta nhận thấy rằng R(x) có ít nhất n nghiệm phân biệt trên [−1, 1] nhưng vì R(x) có bậc không vượt quá n − 1 nên R(x) = 0 và P (x) = Te n (x) Điều này dẫn đến mâu thuẫn □
Xấp xỉ đều đến 0 trên các elip tiêu chuẩn
Các elip tiêu chuẩn E a
Trong phần này, ta sẽ đề cập đến các elip có tiêu cự tại −1và 1 và độ dài bán trục lớn a > 1, chúng gọi là các elip tiêu chuẩn và kí hiệu là E a
Ta xem các đa thức T n (x) và Te n (x) như các đa thức phức T n (z) và Te n (z) với các hệ số là số thực Bây giờ ta tham số hoá các elip tiêu chuẩn bằng một tham số thực β > 0. Đặt I β = [−iβ, 2π − iβ) là đoạn thẳng trong mặt phẳng phức và đặt cos(z) = 1
2 (e iz + e −iz ) là mở rộng giải tích của hàm thực cos(θ) Chú ý rằng khi t chạy từ t = 0 đến t = 2n thì các giá trị của θ t = t π n − iβ (2.6) sẽ trải khắp I β , kết hợp với công thức de Moivre e iθn = cos(nθ) + i sin(nθ) ta có thể viết lại các giá trị cos(θ t ) đó như sau cos(θ t ) = 1
, với các hàm hyperbolic cosh(β) = e β + e −β
2 ta nhận được cos(θ t ) = cos t π n cosh(β) + i sin t π n sinh(β) (2.7)
Biểu thức (2.7) chứng tỏ rằng hàm cos(z) ánh xạ I β lên một elip có tâm ở 0 và có thể được tham số hoá bởi công thức z t = cos(θ t ), 0 ≤ t < 2n, (2.8) có bán trục lớn a = cosh(β) và bán trục bé b = sinh(β) Để thấy được đây là elip tiêu chuẩn, cần chú ý rằng a 2 − b 2 = cosh(β) 2 − sinh(β) 2 = 1.
Do đó, tâm sai của elip là e = r
1 − b 2 a 2 = 1 a, các tiêu điểm tại −1 và 1. Khi β chạy qua tất cả các số dương thì a = cosh(β) sẽ chạy khắp tất cả giá trị a > 1 Và theo cấu trúc này ta sẽ tham số hoá tất cả các elip tiêu chuẩn E a Hình 2.1 dưới đây cho ta cái nhìn trực quan về elip tiêu chuẩn E a , khoảng I β và các điểm x k
Hình 2.1: Hình minh hoạ của I β , E và các điểm x k , z h cho n = 7.
Ngoài ra, Hình 2.1 giới thiệu 2n điểm mới z h được đặt trên elip tiêu chuẩn E a và được xác định bởi công thức z h = cos(θ h ), 0 ≤ h ≤ 2n − 1, h ∈Z (2.9)
Các điểm z h là các điểm phức tương ứng của x k và sẽ đóng cùng vai trò đối với
E a như vai trò của x k đối với đoạn [−1, 1]. Để minh hoạ mối quan hệ giữa khoảng giá trị thực và elip phức, ta khảo sát giới hạn mà tại đó tâm sai e tiến tới1 Bán trục lớn a sẽ hội tụ về 1và bán trục bé b sẽ hội tụ về 0, do đó thể hiện trong giới hạn đoạn [−1; 1] như một elip tiêu chuẩn suy biến E 1 với tâm sai e = 1 Trong giới hạn đó giá trị lớn nhất của đa thức P (z) trong định lý dưới đây hội tụ đến 2 1−n , đây cũng là giá trị lớn nhất của Te n (x) trên [−1; 1] Đối với các điểm z h , phương trình (2.7) có thể được sử dụng để xác minh rằng z 0 tiến về x 0 = 1, z n tiến về x n = −1 và các z h còn lại theo các cặp số phức liên hợp tiến về các x k còn lại.
Định lý Chebyshev đối với các elip
Định lý 2.2 ([4]) Giả sử E = E a là elip tiêu chuẩn bất kì trong mặt phẳng phức với bán trục lớn a > 0 và bán trục bé b > 0 Cho đa thức phức bất kì P (z) bậc n với hệ số cao nhất là 1, ta có max z∈E |P (z)| ≥ a + b 2 n + a − b 2 n
(2.10) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi P (z) = Te n (z).
Chú ý rằng đối với E = E a thì tâm sai e = 1/a và độ dài bán trục bé được xác định bởi b 2 = a 2 − 1.
Chứng minh Trước tiên, ta làm quen với hai kí hiệu: Cho elip E bất kì và hàm phức f bất kì trên E, đặt
(2.11) với a, b lần lượt là các bán trục lớn, bán trục nhỏ của E
Chứng minh với E = E a thì ∥ Ten (z)∥ E ∞ = A E Đẳng thức T n (cos(θ)) = cos(nθ) có thể được mở rộng cho tất cả các số phức θ, vì cả hai vế của phương trình đều là các đa thức chứacos(θ) Do vậy, các giá trị
T n (z t ) = cos(nθ t ) có thể được viết lại dưới dạng tương tự phương trình (2.7)
T n (z t ) = cos(tπ) cosh(nβ) + i sin(tπ) sinh(nβ), (2.12) và ta thấy rằng khi z t = cos(θ t ) chạy qua E a với t ∈ [0, 2n), các giá trị của T n (z t ) thực hiện một vòng lặp n-lần qua E A với A = cosh(nβ) Vì A là trục chính của
E A nên A là giá trị lớn nhất của |T n (z)| khi z chạy qua E a hay max z∈E a |T n (z)| = A và giá trị này đạt được tại T n (z h ) = (−1) h A với 0 ≤ h ≤ 2n − 1.
Cuối cùng, kết hợp các công thức a + b = e β và a − b = e −β với
2 n − 1 = A E Kết hợp với lập luận ở trên ta đi đến kết luận max z∈E | Te(z)| = A E
Từ chứng minh trên ta có
Tính chất này của z h cũng giống với tính chất (2.5) của x k và sẽ được sử dụng theo cách tương tự.
Chứng minh với E = E a thì ∥P (z)∥ E ∞ ≤ A E chỉ đúng với P (z) = Te n (z). Giả sử rằngP (z)là một đa thức lõi phức bất kì bậcn thoả mãn∥P (z)∥ E ∞ ≤ A E và P (z) biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính là
Ta cần chứng minh các hệ số phức c j đều bằng 0 Đầu tiên, biểu diễn c j dưới dạng đại số c j = d j + ie j và xét đa thức lõi
Vì E a bất biến qua phép liên hợp phức nên điều kiện ∥R(z)∥ E ∞ ≤ A E được giữ nguyên đối với R(z), đồng thời tất cả hệ số của R(z) cũng là số thực Đối với các điểm z h ta thấy rằng
≤ A E = (−1) h Te n (z h ), từ đó ta thấy rằng phần thực của mỗi Pn−1 j=0 d j Te j (z h ) phải bằng 0 hoặc phải có dấu (−1) h+1 , trái với dấu của Te n (z h ) Khi z h = cos(θ h ) và θ h = h π n − iβ thì
= 2 1−j cos jh π n cosh(jβ) + i2 1−j sin jh π n sinh(jβ), ta đi đến kết luận rằng với tất cả giá trị h,
≥ 0 với f j = d j cosh(jβ ) Do đó, đa thức Q(x) = Pn−1 j=0 f j Te j (x) có các hệ số thực, có bậc không vượt quá n − 1 và thoả mãn
Theo lập luận của chứng minh của Định lý 2.1 thì điều này chỉ có thể xảy ra nếuQ(x) = 0 tức là tất cả f j = d j cosh(jβ) = 0 và tất cả d j đều bằng 0 Kết thúc phần đầu của chứng minh tính duy nhất.
Quay trở lại với phân tích ban đầu (2.14), bây giờ
X j=0 e j Te j (z), (2.15) ta sẽ chứng minh rằng tất cả e j = 0. Đặt S(z) = Pn−1 j=0 e j Te j (z) do đó P (z) = Te n (z) + iS(z) Tách P (z h ) thành phần thực và phần ảo ta nhận được
Xem xét phần thực của biểu thức trên, lưu ý điều kiện |P (z h )| ≤ A E ta suy ra rằng với mỗi h
Tuy nhiên, z h = z 2n−h và S(z) có các hệ số thực, tức là S(z h ) = S(z 2n−h ), và Im(S(z h )) = −Im(S(z 2n−h )) Do đó, vế trái của bất đẳng thức (2.17) đổi dấu khi một giá trị h ∈ [1, n − 1] được đổi thành 2n − h và từ bất đẳng thức ta thấy Im(S(z h )) = 0 với h ∈ [1, n − 1] và với h ∈ [n + 1, 2n − 1] Đối với hai giá trị còn lại là h = 0 và h = n, ta lưu ýz 0 = 1, z n = −1 là các số thực nênS(z h ) tương ứng cũng phải là các giá trị thực Do vậy, Im(S(z h )) = 0 với tất cả các giá trị của h.
Vì thế phương trình (2.16) bây giờ sẽ thành
Từ đó, để|P (z h )| ≤ A E thì Re(S(z h )) = 0 Lúc này, cả phần thực và phần ảo đều bằng 0, vì thế S(z h ) = 0 Suy ra S(z) là một đa thức bậc n − 1 với tối thiểu 2n nghiệm phức, và vì vậy nó phải là một đa thức-không, tức là tất cảe j = 0 Điều này kết thúc chứng minh □
Elip tổng quát
Định lý 2.2 có một sự tổng quát hoá gần như nguyên văn cho tất cả các hình elip E có vị trí bất kì trong mặt phẳng phức Thay đổi cần thiết duy nhất là đa thức lõi tối ưu không còn là Te n (z) mà thay bằng một đa thức tổng quát hơn
Te n J (z) trong đó J là đoạn thẳng nối hai tiêu điểm của E
Cho J = [ζ, η], ta định nghĩa đa thức lõi Te n J (z) bằng cách chỉ định n nghiệm của nó Bắt đầu từ các nghiệm r ν = cos
Lưu ý rằng r J ν được đặt trên J và chúng chia J thành các đoạn con tỉ lệ thuận với chiều dài các đoạn con của[−1, 1]được hình thành bởi các nghiệm của Te n (z).
Sử dụng các nghiệm của r J ν để định nghĩa đa thức Te n J (z) như một tích
Rõ ràng với J = [−1, 1] thì Te n J (z) = Ten (z). Đa thức Te n J (z) là đa thức lõi tối ưu cho bất kì elip E với tiêu điểm tại ζ và η, giá trị tuyệt đối lớn nhất của Te n J (z) trên E được cho bởi biểu thức (2.11) Để thấy được điều này, ta lưu ý rằng một hình elip E có thể được biến đổi thành hình elip chuẩn bằng cách: trước tiên thực hiện một phép tịnh tiến tâm của E đến 0 và tiếp theo là một phép quay quanh 0 làm cho đường thẳng đi qua tiêu điểm trùng với trục hoành, cuối cùng là phép vị tự (co giãn) phần thực với tâm vị tự tại0 sao cho các tiêu điểm được đặt tại±1.Các bước biến đối này sẽ mang
E ban đầu qua hai elip trung gian E 1 và E 2 trở thành elip tiêu chuẩn E a , và bằng các lập luận đối xứng, mỗi một trong ba loại biến đổi sẽ được bảo toàn tính hợp lệ (hoặc không hợp lệ) của định lý đã sửa đổi.
Như vậy trong Chương 2 đã chứng minh được khẳng định nói rằng đa thứcChebyshev T n (x) là tối ưu cho các hình elip trong Ctheo cách mở rộng các tính chất cổ điển của T n (x) đối với khoảng thực [−1, 1].
Dạng toàn phương và các bất đẳng thức hình học
Chương này dành cho việc thảo luận về bất đẳng thức hình học đối với các 2n-giác được chứng minh trong công trình [5] của O Mushkarov và N Nikolov năm 2006 và chỉ ra cách thức mà người ta sử dụng lý thuyết dạng toàn phương để chứng minh các bất đẳng thức đại số Ngoài ra, chương này cũng đề cập đến một phiên bản “lẻ” của bất đẳng thức hình học mà nó sẽ dẫn đến một số bài toán hình học thú vị về đa giác có số cạnh lẻ.
3.1 Bất đẳng thức hình học cho đa giác số cạnh chẵn và dạng toàn phương
Bất đẳng thức hình học cho đa giác số cạnh chẵn
Định lý 3.1 ([1]) Gọi A 1 , A 2 , A 3 , , A 2n (n ≥ 2) là các điểm bất kì trong mặt phẳng Kí hiệu a k là độ dài đoạn thẳng A k A k+1 (1 ≤ k ≤ 2n) và m k là khoảng cách giữa các trung điểm của các đoạn thẳng đối nhau A k A k+1 và A n+k A n+k+1
(1 ≤ k ≤ n), trong đó các chỉ số dưới được lấy modulo 2n Khi đó n
Sử dụng các số phức người ta có thể đưa (3.1) về dạng bất đẳng thức đại số cos π n
− x n x 1 , (3.2) đúng cho tất cả các số thực x 1 , x 2 , , x n
Chứng minh Ta giả thiết các điểm A 1 , A 2 , , A 2n được đặt trong mặt phẳng phức và kí hiệu z k là toạ độ phức của A k trong mặt phẳng phức Đặt w k = z n+k − z k Khi đó từ bất đẳng thức tam giác ta có n
Từ đó ta nhận được
Bất dẳng thức (3.2) đã được chứng minh trong [5, Lemma 2.2] bằng cách biểu diễn hiệu của các biểu thức ở vế trái và vế phải dưới dạng tổng các bình phương Mục đích chính ở đây là chỉ ra cách chứng minh bất đẳng thức đại số trên bằng cách sử dụng lý thuyết cơ bản của dạng toàn phương Điều này dẫn đến việc tìm ra nghiệm lớn nhất của phương trình T n (x) + 1 = 0, trong đó T n (x) là đa thức Chebyshev loại 1 Chúng ta có thể chứng minh một phiên bản “lẻ” của bất đẳng thức hình học (3.1) Việc này đưa đến một vài bài toán hình học khá thú vị cho các đa giác có số cạnh lẻ.
Dạng toàn phương với đa thức Chebyshev
Trước hết ta nhắc lại một số kết quả đã biết của dạng toàn phương. Định nghĩa 3.1 Một dạng toàn phương n biến x 1 , x 2 , , x n là một đa thức thuần nhất cấp hai n
X i,j=1 a ij x i x j , trong đó A = (a ij ) là một ma trận thực đối xứng n × n.
Bất kì ma trận A nào như vậy cũng có giá trị riêng thực, nghĩa là đa thức đặc trưng của A được cho bởi công thức det(A − λI) = 0, có n nghiệm thực, trong đó I là ma trận đơn vị n × n.
Gọi λ max , λ min lần lượt là giá trị riêng lớn nhất và giá trị riêng nhỏ nhất của
A Khi đó, như đã được biết trong [2] thì bất đẳng thức λ max n
X i=1 x 2 i (3.3) đúng với mọi số thực x 1 , x 2 , , x n
Chứng minh Ta viết lại dạng toàn phươngPn i,j=1 a ij x i x j dưới dạngQ(x) = x T Ax trong đó vectơ x ∈ R n , A là ma trận đối xứng n × n có các giá trị riêng λ i với λ max = λ 1 ≥ λ 2 ≥ λ 3 ≥ ≥ λ n = λ min
Kí hiệu ∥x∥ =p x 2 1 + x 2 2 + ã ã ã + x 2 n Khi đú, ∥x∥ 2 =Pn i=1 x 2 i
VìA là ma trận đối xứng nênA chéo hoá được bởi ma trận ma trận trực giao
P và ma trận chéo D, với các cột của P là các vectơ riêng trực chuẩn p i của A.
Khi đó A = P DP T Do đó x T Ax = x T P DP T x
Chứng minh tương tự ta có được x T Ax = x T P DP T x
Ta sẽ sử dụng (3.3) để chứng minh bất đẳng thức (3.1) Muốn vậy, ta phải tìm giá trị riêng lớn nhất của ma trận đối xứng A tương ứng với dạng toàn phương
Từ đó, ta cần tìm ra nghiệm lớn nhất của đa thức đặc trưng A, điều này ta sẽ làm ở mục sau.
Dạng toàn phương đối với đa thức Chebyshev
Ta sẽ chỉ ra rằng đa thức đặc trưng của A có thể được biểu diễn bởi đa thức Chebyshev bậc n loại 1 Điều này cho phép chúng ta tìm được tất cả các giá trị riêng của A n và cụ thể hơn là các giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của nó.
Sử dụng công thức truy hồi (2.2) của đa thức Chebyshev loại 1, ta dễ dàng thấy được chúng có dạng định thức dưới đây
Kí hiệu A n (x) là định thức cấp n × n như sau:
Bổ đề 3.1 ([1]) Với mọi số nguyên n ≥ 3 thì đẳng thức sau đúng
Chứng minh Đặt △ n (x)là định thức thu được khi thay thế −1 thành0 ở hàng đầu tiên và hàng thứ n của định thức A n (x) Tức là
Khai triển T n (x) theo các phần tử ở hàng đầu tiên, ta nhận được
T n (x) = x△ n−1 (2x) − △ n−2 (2x) (3.5) Ngoài ra, khai triển định thức A n (x) theo hàng đầu tiên, ta được
Chú ý rằng việc khai triển định thức B n−1 (x) theo cột đầu tiên cho ta
Định thức thứ nhất trong khai triển trên rõ ràng là△ n−2 (x) Định thức hai bằng
1vì nó là định thức của ma trận tam giác dưới có đường chéo chính là 1 Do đó,
B n−1 (x) = △ n−2 (x) − (−1) n (3.7) Tương tự, ta có được
A n (2x) = 2x△ n−1 (2x) − 2△ n−2 (2x) + 2(−1) n Kết hợp với (3.5) ta nhận được
Bổ đề 3.2 ([1]) Các giá trị riêng của ma trận đối xứng A là λ k = cos
, 1 ≤ k ≤ n. Đặc biệt, giá trị riêng lớn nhất và giá trị riêng nhỏ nhất của A là λ max = 2 cos π n
Chứng minh Từ định nghĩa củaT n (x) ta dễ dàng có đượcT n (−x) = (−1) n T n (x). Khi đó, sử dụng Bổ đề 3.1 cho 2x = −λ, đa thức đặc trưng của A có sự liên hệ với đa thức Chebyshev bậc n bởi đẳng thức: det(A − λI ) = A n (−λ)
Sử dụng tính chất lượng giác của T n (cos θ) = cos(nθ), với λ
2 = cos θ ta được cos(nθ) = −1 hay θ = (2k − 1)π n , 1 ≤ k ≤ n, nên λ
Do đó các giá trị riêng của A là λ k = 2 cos
Nếu n là số chẵn thì phương trình T n (x) = −1 có n/2 nghiệm kép Lúc này, các giá trị riêng lớn nhất và nhỏ nhất của A là λ max = 2 cos π n
Nếu n là số lẻ thì phương trình T n (x) = −1 có một nghiệm đơn bằng −1 và có (n − 1)/2 nghiệm kép (xem Hình 3.1).
Hình 3.1: Đồ thị của đa thức Chebyshev T 4 (x) và T 5 (x).
Bổ đề đã được chứng minh □
Từ đây, bất đẳng thức (3.2) được suy ra từ bất đẳng thức (3.3) và Bổ đề 3.2. Nhận xét Với n chẵn, bất đẳng thức (3.3) và Bổ đề 3.2 thoả mãn bất đẳng thức cos π n
, bất đẳng thức trên mạnh hơn bất đẳng thức (3.2).
Với n lẻ, (3.3) và Bổ đề 3.2 thoả mãn bất đẳng thức
X k=1 x 2 k , và rõ ràng nó có thể được viết lại ở dạng
Một bất đẳng thức hình học cho đa giác số cạnh lẻ
Một bất đẳng thức hình học cho đa giác số cạnh lẻ
Định lý 3.2 ([1]) Giả sử A 1 , A 2 , , A 2n+1 (n ≥ 1) là các điểm bất kì trên mặt phẳng, đặt a k là độ dài đoạn thẳng A k A k+1 (1 ≤ k ≤ 2n + 1) và m k là khoảng cách giữa trung điểm của đoạn thẳng A k A k+1 với điểm A n+k+1 , trong đó các chỉ số dưới đồng dư modulo 2n + 1 Khi đó ta có bất đẳng thức sau đây:
Chứng minh Ta xét 4n + 2 điểm B 1 , B 2 , , B 4n+2 sao cho B 2k = B 2k+1 = A k+1 ,
1 ≤ k ≤ 2n + 1. Đặt b k = B k B k+1 , 1 ≤ k ≤ 4n + 2, d k là đoạn thẳng nối trung điểm của các đoạn đối diện B k B k+1 với B 2n+1+k B 2n+1+k+1 Vì B 2k = B 2k+1 = A k+1 , nên b 2k = 0, a k = b 2k−1 , và d k = m k với 1 ≤ k ≤ 2n + 1 Do đó, áp dụng bất đẳng thức (3.1) ta được
□ Bây giờ ta cùng bàn luận đến trường hợp đẳng thức trong (3.10).
Với n = 1 thì (3.10) chính là công thức về ba đường trung tuyến trong tam giác a 2 1 + a 2 2 + a 2 3 = 4
Với n ≥ 2, theo kết quả trong [5] (xem công thức (2.6)), ta biết rằng với một2n-giác A 1 A 2 A 2n thì đẳng thức trong (3.1) đạt được nếu và chỉ nếu các cạnh đối diện của nó song song nhau và
A n A 2n , 1 ≤ k ≤ n, trong đó −→ AB là vectơ đi từ A đến B.
Nếun ≥ 2, ta xét4n+2điểmB 1 , B 2 , , B 4n+2 sao choB 2k = B 2k+1 = A k+1 , 1 ≤ k ≤ 2n + 1 Trong trường hợp này, các điều kiện trên được rút gọn thành các đẳng thức sau đây:
A n+1 A 1 , 1 ≤ k ≤ n − 1 (3.12) Đặc biệt, ta thu được kết quả bên dưới đây.
Hệ quả 3.1 ([1]) Ngũ giác lồi bất kìA 1 A 2 A 3 A 4 A 5 nếu đạt được đẳng thức trong (3.10) thì nó được tạo ra từ hình bình hành A 2 A 3 A 4 B bằng cách lấy tương ứng các đỉnh A 1 và A 5 trên các tia −−→ A 4 B và −−→ A 2 B, sao cho
Chứng minh Đầu tiên, chú ý rằng sin 2π
Do đó đối với một ngũ giác lồi A 1 A 2 A 3 A 4 A 5, đẳng thức trong (3.10) đạt được nếu và chỉ nếu
Mặc khác, từ (3.13) ta dễ dàng có được
Do dó, A 1 A 4 song song A 2 A 3 , A 2 A 5 song song A 3 A 4 Gọi B là giao điểm của các đường thẳng A 1 A 4 và A 2 A 5 (xem Hình 3.2).
Hình 3.2: Một ngũ giác thoả mãn đẳng thức trong (3.10)
Xét hình bình hành A 2 A 3 A 4 B Vì
5 > 1, nên điểm B nằm trên đoạn thẳng A 1 A 4 Tương tự, vì
5 > 1,nên điểm B nằm trên đoạn thẳng A 2 A 5 Hệ quả đã được chứng minh □
Đa giác bán đều
Định nghĩa 3.2 Một đa giác lồi 2n đỉnh được gọi là đa giác bán đều nếu khoảng cách giữa các trung điểm của hai cạnh đối nhau bất kì bằng cot(π/2n)
2 lần tổng các độ dài của chúng.
Một đa giác lồi 2n + 1 đỉnh được gọi là đa giác bán đều nếu khoảng cách giữa trung điểm của mỗi cạnh A k A k+1 với đỉnh đối diện A k+n+1 bằng cot( π 4n + 2 )
Ví dụ 3.1 Tam giác đều là một đa giác bán đều Thật vậy, xét tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng a với H là trung điểm của BC (xem Hình 3.3) Khi đó
Hình 3.3: Tam giác ABC đều là một đa giác bán đều
Ví dụ 3.2 Hình thoi là một đa giác bán đều Thật vậy, xét hình thoi ABCD có độ dài cạnh là a và M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD
2 a. Định lý 3.3 ([5]) Một 2n-giác lồi M 2n với độ dài các cạnh a 1 , a 2 , , a 2n là đa giác bán đều nếu và chỉ nếu i) n = 2 và M 4 là hình thoi;
Hình 3.4: Hình thoi ABCD là một đa giác bán đều ii) n ≥ 3, tất cả các góc của M 2n đều bằng nhau, và a n = a n+1 − n−2
Một cách tự nhiên thì phiên bản “lẻ” của Định lý 3.3 cho đa giác bán đều cũng được tìm kiếm Tuy nhiên, như ta sẽ thấy, trường hợp “lẻ” rất cứng nhắc vì định lý dưới đây. Định lý 3.4 ([1]) Mọi đa giác bán đều có số cạnh lẻ đều là đa giác đều.
Chứng minh Để chứng minh định lý thì ta sẽ sử dụng bất đẳng thức tam giác của bổ đề dưới đây.
Bổ đề 3.3 ([1]) Cho tam giác ABC với ∠ C ≥ π/n Gọi M là trung điểm của
CM. Đẳng thức xảy ra nếu và chỉ nếu ∠ C = π/n và CA = CB trong trường hợp n ≥ 3. Chứng minh Áp dụng Định lý Cosin trong tam giác ABC ta có
AB 2 = CA 2 + CB 2 − 2 ã CA ã CB ã cos∠ C, kết hợp với bất đẳng thức AM-GM ta được
AB 2 = CA 2 + CB 2 − 2 ã CA ã CB ã cos∠ C ≥ (CA 2 + CB 2 )
4CM 2 = 2(CA 2 + CB 2 ) − AB 2 ≤ 2AB 2
Bổ đề 3.3 được chứng minh xong □
Bây giờ, giả sử A 1 A 2 A 2n+1 là một (2n + 1)-giác bán đều Dễ thấy
Thật vậy, theo định lý tổng ba góc trong tam giác thì
∠ A k A k+n+1 A k+1 = π −∠ A k+n+1 A k A k+1 −∠ A k A k+1 A n+k+1 , 1 ≤ k ≤ 2n + 1. Đồng thời, ta cũng có
Nhưng vì tổng các góc trong của đa giác 2n + 1 cạnh là
∠ A k A k+1 A k+2 = (2n − 1)π và ta cũng nhận xét thấy
∠ A k A k+n+1 A k+1 = (2n + 1)π − (2n − 1)π = 2π. Đẳng thức (3.14) đã được chứng minh.
Bây giờ, theo đẳng thức (3.14), có một chỉ số l, 1 ≤ l ≤ 2n + 1, l ̸= k ta được
Khi đó Bổ đề 3.3 suy rằng A l A l+n+1 = A l+1 A l+n+1 và ∠ A l A l+n+1 A l+1 ≥ π
Thực hiện theo cách tương tự ta kết luận rằng ∠ A k A k+n+1 A k+1 = π
A k A k+n+1 = A k+1 A k+n+1 , 1 ≤ k ≤ 2n +1.Bây giờ thì ta dễ dàng suy ra được tất cả các đường chéo A k A k+n+1 bằng nhau Vì thế, tất cả các tam giác A k A k+1 A k+n+1 đều bằng nhau Do đó, tất cả các cạnh và các góc của đa giác A 1 A 2 A 2n+1 bằng nhau và, vì thế ta có một (2n + 1)-giác đều.
Kết thúc chứng minh Định lý 3.4 □
Như vậy trong Chương 3 đã chứng minh một số bất đẳng thức đại số bằng cách sử dụng lý thuyết dạng toàn phương Sử dụng điều này, một phiên bản “lẻ” của bất đẳng thức hình học liên quan đến một số bài toán hình học thú vị về đa giác có số cạnh lẻ cũng đã được trình bày.
Luận văn đã hoàn thành các mục tiêu đã đặt ra, đó là nghiên cứu một số góc nhìn hình học của một số yếu tố liên quan đến đa thức Chebyshev và tìm hiểu việc ứng dụng chúng trong việc giải một số bài toán khó trong chương trình toán phổ thông Cụ thể là:
• Đã khảo sát một tính chất của các không điểm của đa thức Chebyshev thu gọn.
• Đã chứng minh được rằng độ dài đường chéo của một n-giác đều với cạnh bằng 1 bằng tổng các nghiệm dương tương ứng của đa thức Chebyshev thu gọn.
• Đã trình bày chi tiết chứng minh các công thức phân tích của hiệu các đa thức Chebyshev.
• Đã trình bày chứng minh chi tiết cho khẳng định rằng đa thức Chebyshev
T n (x) là tối ưu cho các hình elip trong C theo cách mở rộng các tính chất cổ điển của T n (x) đối với khoảng thực [−1, 1].
• Đã sử dụng lý thuyết dạng toàn phương để chứng minh một số bất đẳng thức đại số Từ đó dẫn đến trình bày chi tiết một phiên bản “lẻ” của bất đẳng thức hình học liên quan đến một số bài toán hình học thú vị về đa giác có số cạnh lẻ.
[1] T Andreescu, O Mushkarov,Quadratic Forms, Chebyshev Polynomials, and Geometric Inequalities, The Amer Math Monthly, 125(9) (2018), 811-819,
[2] David C Lay, S Lay, J McDonald, Linear Algebra and Its Applications, 5th ed Boston, MA: Pearson, 2015.
[3] O.J Munch, Opgave 144 (Problem 144), Nordisk Matematisk Tidsskrift, 6
[4] N J Munch, A Chebyshev Theorem for Ellipses in the Complex Plane, The Amer Math Monthly, 126(5) (2019), 430-436,
[5] O Mushkarov, N Nikolov, Semiregular polygons., Amer Math Monthly, 113(4) (2006) 339-344.
[6] T J Rivlin,Chebyshev Polynomials - From Approximation Theory to Algebra and Number Theory, 2nd ed New York: John Wiley & Sons, 1990.
[7] N Robbins, Vieta’s triangular array and a related family of polynomials, Internat J Math Math Sci., 14 (1991), 239-244.
[8] R Witu la, D S lota, On modified Chebyshev polynomials, J Math Anal.Appl 324, (2006), 321-343.