21Chương 2 Tính ổn định tiệm cận của linh hóa tử của môđunđối đồng điều địa phương 27 Trang 6 MỞ ĐẦUTính ổn định tiệm cận của các thành phần thuần nhất của một mơđunphân bậc đã thu hút
Vành và môđun phân bậc
Khái niệm vành phân bậc có thể định nghĩa trên tập chỉ số bất kì (có trang bị phép cộng và chứa phần tử 0) Tuy nhiên, trong luận văn này, chúng tôi chỉ xét tập chỉ số là tập số tự nhiên N Tài liệu tham khảo chính của tiết này là cuốn sách [Mat] của H Matsumura. Định nghĩa 1.1.1 a) Vành R được gọi là vành phân bậc nếu R có thể biểu diễn dưới dạng R = L n∈ N
R n , trong đó R n là nhóm con của của nhóm cộng R thỏa mãn tính chất R n R m ⊆ R n+m với mọi m, n ∈ N Nhóm con R n được gọi là thành phần thuần nhất bậc n của R Phần tử của R n được gọi là phần tử thuần nhất bậc n Chú ý rằng mỗi phần tử a ∈ R đều được biểu diễn duy nhất thành tổng a = a n 1 + +a n t (với n 1 > > n t ) của hữu hạn phần tử thuần nhất 0 6= a n i ∈ R n i , ta gọi các phần tử a n i là các thành phần thuần nhất của phần tử a. b) Cho R = L n∈ N
Rn là vành phân bậc và I là iđêan của R Ta gọi I là iđêan thuần nhất (hay phân bậc) nếu I thỏa mãn tính chất "các thành phần thuần nhất của mỗi phần tử a ∈ I đều thuộc I".
Rn là vành phân bậc Khi đó R0R0 = R0, tức là R0 đóng với phép nhân Do đó R 0 làm thành một vành con của vành R Tuy nhiên nếu n > 0 thì R n R n ⊆ R 2n , có nghĩa là R n không đóng với phép nhân, do đó R n không là vành con của R.
Ví dụ 1.1.2 Cho K là một trường và R = K[x] là vành đa thức một biến trên K Với mỗi số tự nhiên n≥ 0, đặt R n = Kx n = {ax n | a ∈ K} Khi đó
R n là nhóm con của nhóm cộng R và R = L n∈ N
R n Rõ ràng R n R m ⊆ R n+m với mọi m, n ∈ N Do đó K[x] là vành phân bậc Bây giờ ta xác định các iđêan thuần nhất của K[x] Do K là trường, nên K[x] là vành chính (tức là vành mà mọi iđêan được sinh bởi một phần tử) Cho I = (f) với f ∈ K[x].
Ta xét hai trường hợp:
Giả sử f là đơn thức Khi đó f = ax n với n ∈ N và a ∈ K Cho g ∈ I Khi đó g = hf với h ∈ K[x] Gọi h = a 1 x n 1 + + a t x n t là biểu diễn duy nhất của h thành tổng các thành phần thuần nhất (a i ∈ K và n 1 > > n t ) Khi đó g = hax n = aa 1 x n+n 1 + .+aa t x n+n t Rõ ràng các thành phần thuần nhất aa1x n+n 1 , , aatx n+n t của g đều là bội của f, vì thế đều thuộc I Do đó I là iđêan thuần nhất.
Giả sử f không là đơn thức Biểu diễn f = b1x n 1 + .+bsx n s thành tổng các thành phần thuần nhất với 0 6= b i ∈ K, n 1 > > n s và s ≥ 2.
Do n s < n 1 = degf, nên thành phần thuần nhất b s x n s không là bội của f, vì thế b s x n s ∈/ I Suy ra I không là iđêan thuần nhất.
Như vậy, một iđêan I của K[x] là thuần nhất nếu và chỉ nếu I sinh bởi iđêan đơn thức.
Ví dụ 1.1.3 Cho K là một trường Cho R = K[x, y] là vành đa thức hai biến trên K Với mỗi số tự nhiên n, đặt
Khi đó R n là nhóm con của nhóm cộng R và R = L n∈ N
R n+m với mọi m, n ∈ N Do đó vành đa thức R = K[x, y] là vành phân bậc Cho I = (f) với f = x+ x 2 + y 2 Khi đó f ∈ I và x, x 2 + y 2 là hai thành phần thuần nhất của f Vì x không là bội của f nên x /∈ I Do đó I không là iđêan thuần nhất Cho J = (x 2 y, xy 7 , y 9 ) Giả sử g ∈ J Biểu diễn g = h1x 2 y + h2xy 7 + h3y 9 với h1, h2, h3 ∈ K[x, y] Khi khai triển đa thức h1x 2 y+h2xy 7 +h3y 9 thành tổng của các từ (chưa cần ước lược các hạng tử đồng dạng), mỗi từ đều thuộc J vì nó có nhân tử x 2 y hoặc xy 7 hoặc y 9 Do đó, sau khi ước lược các từ đồng dạng, các thành phần thuần nhất củag đều thuộc J Do đó J là thuần nhất.
Tổng quát, bằng các lập luận tương tự như Ví dụ 1.1.3, ta có thể chỉ ra rằng vành đa thức nhiều biến là vành phân bậc với phân bậc tự nhiên và mỗi iđêan sinh bởi các đơn thức đều là iđêan thuần nhất.
Tiếp theo, chúng ta trình bày các tiêu chuẩn để một iđêan trong vành phân bậc là thuần nhất.
R n là vành phân bậc Cho I là một iđêan của R. Với mỗi n ∈ N, đặt I n = I ∩R n Các mệnh đề sau là tương đương:
(a) I là iđêan thuần nhất của R.
(c) I được sinh bởi một hệ các phần tử thuần nhất.
Nếu các điều kiện tương đương (a),(b),(c) thỏa mãn thì ta có đẳng cấu vành
R n /I n Đặc biệt, R/I là vành phân bậc.
I n ⊆ I Lấy một phần tử tùy ý a ∈ I.
Viết a = a n 1 + + a n t thành tổng các thành phần thuần nhất, trong đó a n i ∈ R n i Do I thuần nhất nên a n i ∈ I với mọi i Suy ra a n i ∈ I∩R n i = I n i
(b)⇒(c) Lấy G là một hệ sinh tùy ý của I Với mỗi a ∈ G, theo giả thiết b) ta có thể biểu diễn a = a n 1 + + a n t thành tổng các thành phần thuần nhất với a n i ∈ I n i ⊆ I Suy ra I có một hệ sinh mới gồm các thành phần thuần nhất của các phần tử trong G.
(c)⇒(a) Giả sử a ∈ I Theo giả thiết (c),I có một hệ sinh thuần nhất, nên ta có thể biểu diễn a qua hệ sinh thuần nhất này, tức là a = b1an 1 + .+btan t với các phần tử sinh an i ∈ I là thuần nhất và bi ∈ R Bằng cách khai triển, sau đó nhóm và ước lược các phần tử có cùng bậc, ta được một biểu diễn của a thành tổng các thành phần thuần nhất, mỗi thành phần thuần nhất đều chứa một nhân tử a n i nào đó, do đó các thành phần thuần nhất của a đều thuộc I Vì vậy I là iđêan thuần nhất.
Giả sử các điều kiện tương đương (a),(b),(c) đều thỏa mãn Vì I là iđêan của vành R nên 0 ∈ I Do R n là nhóm con của nhóm cộng R nên
0∈ R n Suy ra 0 ∈ I∩R n = I n Giả sử a, b ∈ I n Khi đó a−b ∈ I∩R n = I n vì cả I và R n đều đóng với phép trừ Vậy I n là nhóm con của nhóm cộng
R n Do đó ta có nhóm thương R n /I n với phép cộng Vì thế L n∈ N
R n /I n là một vành phân bậc với phép cộng trên từng thành phần R n /I n và phép nhân: (a+ I n )(b+ I m ) := ab + I n+m với mọi a ∈ R n , b ∈ R m Xét đồng cấu ϕ :
R n /I n xác định như sau: Vớir+I ∈ R/I, viết r = a n 1 + .+a n t với a n i ∈ R n i Đặt ϕ(r +I) = (a n 1 + I n 1 ) + + (a n t +I n t ) Do I là thuần nhất nên ta có thể kiểm tra được định nghĩa của ϕ không phụ thuộc vào cách chọn đại diện của các phần tử r+I ∈ R/I và ϕ là một đẳng cấu vành.
R n /I n là vành phân bậc, nên R/I là vành phân bậc.
Từ Bổ đề 1.1.4 ta thấy rằng nếu R là vành phân bậc và I là iđêan thuần nhất thì vành thương R/I trở thành vành phân bậc với cấu trúc phân bậc cảm sinh Tuy nhiên, nếuI là iđêan không thuần nhất thì ta vẫn có vành thương R/I, nhưng vành thương này không thừa hưởng cấu trúc phân bậc của R. Định nghĩa 1.1.5 a) Cho R = L n∈ N
R n là vành phân bậc và M là R-môđun.
Ta nói rằng M là môđun phân bậc nếu M có thể biểu diễn được dưới dạng
M n , trong đó M n là nhóm con của của nhóm cộngM thỏa mãn tính chất R m M n ⊆ M n+m với mọi m, n ∈ N Nhóm con M n được gọi là thành phần thuần nhất bậc n của M Phần tử của M n được gọi là phần tử thuần nhất bậc n của M Mỗi phần tử z ∈ M được biểu diễn duy nhất thành tổng z = zn 1 + .+zn t của hữu hạn phần tử thuần nhất 0 6= zn i ∈ Mn i Các phần tử zn i được gọi là các thành phần thuần nhất của z. b) ChoR = L n∈ N
R n là vành phân bậc vàM = L n∈ N
M n là R-môđun phân bậc Cho N là một môđun con của M Ta nói rằng N là môđun con phân bậc (haythuần nhất) nếu các thành phần thuần nhất của mỗi phần tử z ∈ N đều thuộc N.
Chú ý rằng nếu a ∈ R 0 và z ∈ M n , thì az ∈ M n Vì thế ta có phép nhân vô hướng từ R 0 vào M n Do đó M n trở thành R 0 -môđun Tuy nhiên,
M n nhìn chung không là R-môđun vì nó không đóng với phép nhân vô hướng với phần tử trong R Tương tự với iđêan thuần nhất, ta có tiêu chuẩn sau để một môđun con của môđun phân bậc là môđun phân bậc.
Rn là vành phân bậc và M = L n∈ N
Mn là R-môđun phân bậc Cho N là môđun con của M Với mỗi n ∈ N, đặt N n = N ∩ M n Các mệnh đề sau là tương đương: a) N là môđun con phân bậc của M. b) N = L n∈ N
N n c) N được sinh bởi một hệ các phần tử thuần nhất.
Nếu các điều kiện tương đương a), b), c) thỏa mãn thì ta có đẳng cấu giữa các môđun M/N ∼= L n∈ N
M n /N n Đặc biệt, M/N là môđun phân bậc. Định nghĩa 1.1.7 Cho R = L n∈ N
R 0 n là hai vành phân bậc.
Tập iđêan nguyên tố liên kết, chiều và độ sâu
Trong suốt tiết này, luôn giả thiết R là một vành giao hoán có đơn vị và M là một R-môđun Tiết này dành để nhắc lại những khái niệm và tính chất cần thiết về tập iđêan nguyên tố liên kết, chiều và độ sâu cho các môđun bất kì (không nhất thiết phân bậc) Tài liệu tham khảo chính của tiết này là cuốn sách [Mat].
Với mỗi iđêan I của R, kí hiệu Var(I) là tập các iđêan nguyên tố của
Dễ kiểm tra thấy Ann R M là một iđêan của R Ta gọi Ann R M là linh hóa tử của M Kí hiệu Spec(R) là tập các iđêan nguyên tố của R Đặt
Ta gọi Supp R M là tập giá của M.
Bổ đề 1.2.1 Ta có Supp R (M) ⊆ Var(Ann R M) Nếu M là R-môđun hữu hạn sinh thì Supp R (M) = Var(Ann R M).
Chứng minh Giả sử p ∈ Supp R (M) Suy ra M p 6= 0 Khi đó p ⊇ AnnRM, vì nếu ngược lại thì tồn tại phần tử r ∈ Ann R M\p Suy ra rm= 0 với mọi m ∈ M, và do đó m/s = 0 trong M p với mọi m ∈ M và mọi s ∈ R\p, mâu thuẫn với M p 6= 0 Vì thế Supp R (M) ⊆ Var(Ann R M).
Giả sửM là hữu hạn sinh vàp ∈ Var(Ann R M) Giả sửp ∈/ Supp R (M). Khi đó M p = 0 Ta sẽ chỉ ra mâu thuẫn Giả sử m 1 , , m n là một hệ sinh của M Với mỗi i = 1, , n, phần tử m i /1 = 0 ∈ M p , và do đó tồn tại các s i ∈ R\p sao cho s i m i = 0 Đặt s = s 1 s n ∈ R\p.
Khi đó sm i = 0 với mọi i = 1, , n Do M sinh bởi m 1 , , m n nên sm = 0 với mọi m ∈ M Vì thế s ∈ Ann R M\p Điều này là mâu thuẫn với p ⊇ Ann R M Vì thế p ∈ Supp R (M) và ta có điều phải chứng minh.
Với mỗi x ∈ M, đặt AnnRx = {a ∈ R | ax = 0} Dễ thấy AnnRx là iđêan của R. Định nghĩa 1.2.2 Cho p ∈ Spec(R) Ta nói p là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại một phần tử x ∈ M sao cho p = Ann R x Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là Ass R (M).
Ví dụ 1.2.3 Cho n > 1 là một số tự nhiên Giả sử n = p α 1 1 p α t t là phân tích tiêu chuẩn của n thành tích các thừa số nguyên tố phân biệt p 1 , , p t Khi đó
Chứng minh Trong vành các số nguyên Z, cho n = p α 1 1 p α t t là sự phân tích tiêu chuẩn của n ∈ Z Xét Z-môđun Z/nZ Với mỗi i, đặt b i = n/p i Khi đó b i 6= 0 ∈ Z/nZ và p i Z = Ann Z b i Suy ra p i Z ∈ Ass Z (Z/nZ) Cho pZ ∈ Ass Z (Z/nZ), với p nguyên tố và pZ = Ann Z (¯b) Suy ra p¯b = 0, tức là pb chia hết cho n, trong khi đó b không chia hết cho n Suy ra p = pi với i nào đó Vậy
Ví dụ 1.2.4 Cho R = K[x, y, z] là vành đa thức 3 biến trên một trường
K Cho I = (x 2 , yz) Khi đó Ass R (R/I) = {(x, y),(x, z)}.
I = (x 2 , yz) = (x 2 , y)∩ (x 2 , z) là một phân tích nguyên sơ thu gọn của I và q (x 2 , y) = (x, y), q (x 2 , z) = (x, z).
Kí hiệu R[[x 1 , , x t ]] là vành các chuỗi lũy thừa hình thức t biến với hệ số trong R Khi đó mỗi phần tử f ∈ R[[x 1 , , x t ]] là một chuỗi f = X n 1 , ,n t ∈ N c n 1 n t x n 1 1 x n t t với các hệ số c n 1 n t ∈ R Phép cộng và nhân trong R[[x1, , xt]] được định nghĩa một cách tự nhiên Dễ thấy rằng vành đa thức R[x 1 , , x t ] là vành con của vành các chuỗi lũy thừa hình thức
R[[x 1 , , x t ]], trong đó mỗi chuỗi lũy thừa hình thức là một đa thức khi và chỉ khi nó chỉ có hữu hạn hệ số khác 0.
Ví dụ 1.2.5 Cho R = K[[x, y, z, w]] là vành các chuỗi lũy thừa hình thức
4 biến trên một trường K Cho I = (xy 2 , yz, z 2 ) Khi đó ta có
Chứng minh Ta phân tích I thành giao các iđêan nguyên sơ như sau
I = (xy 2 , yz, z 2 ) = (xy 2 , y, z 2 )∩(xy 2 , z, z 2 ) = (y, z 2 )∩(xy 2 , z)
(y, z 2 ) = p(y 2 , z) = (y, z) nên (y, z 2 )∩ (y 2 , z) là (y, z)-nguyên sơ Vì thế Ass R (R/I) = {(x, z),(y, z)}.
Bổ đề 1.2.6 Các phát biểu sau là đúng. a) Nếu 0→ M 0 → M → M 00 → 0 là một dãy khớp các R-môđun, thì
Ass R (M 0 ) ⊆ Ass R (M) ⊆ Ass R (M 0 )∪Ass R (M 00 ). b) Đặt Λ = {Ann R x | 06= x ∈ M} Xét quan hệ thứ tự trên Λ là quan hệ bao hàm Giả sử p là một phần tử cực đại của Λ Khi đó p ∈ AssR(M). Đặc biệt, nếu R là vành Noether thì M 6= 0 khi và chỉ khi AssR(M) 6= ∅.
Chứng minh a) Hiển nhiên ta có AssR(M 0 ) ⊆ AssR(M) theo định nghĩa iđêan nguyên tố liên kết Giả sử p ∈ AssR(M) Suy ra tồn tại đơn cấu h :R/p →M Đặt H = Imh và H 0 = H ∩M 0
Trường hợp 1 : H 0 = 0 Xét ánh xạ g : R/p → M 00 cho bởi g = ph, trong đó p :M → M 00 là toàn cấu trong dãy khớp trên Vì h là đơn cấu nên
Vậy g là đơn cấu, và do đó p ∈ AssR(M 00 ).
Trường hợp 2: H 0 6= 0 Khi đó chọn được x ∈ H 0 , x 6= 0 Giả sử x = h(¯a) với a /∈ p Ta sẽ chứng minh rằng p = AnnRx ∈ AssR(M 0 ) Thật vậy, với mỗir ∈ Ann R x, ta córx = h(ra) = 0 Suy ra ra ∈ p Do p là iđêan nguyên tố nên r ∈ p, hay Ann R x ⊆ p Mặt khác, ta luôn có p ⊆ Ann R x.Vậy p = Ann R x. b) Cho p = Ann R x là phần tử cực đại của Λ Vì x 6= 0 nên p 6= R. Giả sử ab ∈ p nhưng a /∈ p Khi đó ta có ax 6= 0 và b(ax) = abx = 0 Kéo theo AnnR(ax) ∈ Λ và b ∈ AnnR(ax) ⊇ AnnRx Do p là phần tử cực đại của Λnên p = AnnRx = AnnR(ax) Vậy b ∈ p và do đó p là nguyên tố Suy ra p ∈ AssR(M).
Nếu M = 0 thì Ass R (M) = ∅ Nếu M 6= 0 thì Λ 6= ∅ Do R là vành Noether nên Λ có phần tử cực đại Theo chứng minh trên phần tử cực đại đó phải nằm trong Ass R (M) Vì thế Ass R (M) 6= ∅.
Ta nói phần tử a ∈ R là một ước của 0 trong M nếu tồn tại một phần tử z ∈ M sao cho z 6= 0 và az = 0 Tập các ước của 0 trong M được kí hiệu làZD R (M) Theo Bổ đề 1.2.6 b), nếu a ∈ ZD R (M), thì tồn tạip ∈ Ass R (M) sao cho a ∈ p Do đó ta luôn có
Nhìn chung ta không có bao hàm thức ngược lại Tuy nhiên, nếu môđun là hữu hạn sinh và vành cơ sở là Noether, thì đẳng thức xảy ra.
Bổ đề 1.2.7 Giả sử R là vành Noether và M là R-môđun hữu hạn sinh. Các phát biểu sau là đúng a) ZD R (M) = S p∈Ass R (M ) p. b) Ass R (M) là tập hữu hạn. c) Ass R (M) ⊆ Supp R (M) và min Ass R (M) ⊆ min Supp R (M).
Tính chất của tập iđêan nguyên tố liên kết khi chuyển qua địa phương hóa được thể hiện qua bổ đề sau.
Bổ đề 1.2.8 Giả sử R là vành Noether và M là R-môđun hữu hạn sinh. Cho p ∈ Spec(R) Khi đó
Chứng minh Giả sử q ∈ Ass R (M) sao cho q ⊆ p Khi đó qR p ∈ Spec R p Hơn nữa, tồn tại m ∈ M sao cho q = Ann R m Suy ra qR p = AnnR p (m/1)∈ Spec R p , và do đó qR p ∈ AssR p M p
Ngược lại, giả sửP ∈ Ass R p M p VìP là iđêan nguyên tố của R p nên tồn tại q ∈ Spec(R) sao cho q ⊆ p và P = qR p Hơn nữa, tồn tại m ∈ M và s /∈ p sao cho P = Ann R p (m/s) Vì s/1 là phần tử khả nghịch của vành R p nên ta có
Do R là vành Noether nên iđêan q là hữu hạn sinh, giả sử q sinh bởi các phần tử u 1 , , u n Suy ra u i m/1 = 0 M p với mọi i = 1, , n Kéo theo, với mỗi i = 1, , n, tồn tại s i ∈/ p sao cho s i u i m = 0 Đặt t:= s 1 s n , suy ra t /∈ p và tu i m = 0 với mọi i = 1, , n Vì thế q ⊆AnnR(tm).
Cho r ∈ AnnR(tm) Khi đó rtm = 0, và do đó (rt/1)(m/1) = 0M p Suy ra (rt/1) ∈ Ann R p (m/1) = qR p Suy ra rt ∈ q; và do q nguyên tố, t /∈ q (vì q ⊆ p và t /∈ p), nên r ∈ q Vì thế q ⊇ Ann R (tm), và do đó ta có Ann R (tm) = q ∈ Spec(R) Vậy q ∈ Ass R (M). Đối với môđun phân bậc hữu hạn sinh, tính chất của các iđêan nguyên tố liên kết rất đặc biệt (xem [Mat]).
Tính ổn định tiệm cận của linh hóa tử của môđun đối đồng điều địa phương 27
Môđun đối đồng điều địa phương
Cho I là một iđêan của vành giao hoán R và M là một R-môđun tùy ý (không nhất thiết hữu hạn sinh) Đặt Γ I (M) := S n≥0
Do đóΓ I (M)là một môđun con củaM Giả sửf : M → M 0 là đồng cấu giữa các R-môđun Cho z ∈ ΓI(M), khi đó tồn tại n ∈ N để z ∈ (0 :M I n ), tức là I n z = 0 Suy ra I n f(z) =f(I n z) = 0, tức là f(z) ∈ (0 :M 0 I n ) ⊆ΓI(M 0 ).
Vì thế ta có đồng cấu cảm sinh f ∗ : ΓI(M) → Γ I (M 0 ) cho bởi f ∗ (z) =f(z).
Chúng ta có thể kiểm tra được Γ I (−) là hàm tử khớp trái, hiệp biến từ phạm trù các R-môđun đến phạm trù các R-môđun Ta gọi ΓI(−) là hàm tử I-xoắn. Định nghĩa 2.1.1 Cho M là môđun trên vành giao hoán R và I là iđêan của R Môđun dẫn xuất phải thứ n của hàm tử I-xoắn ứng với M, được kí hiệu là H I n (M), và được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ n của
Nhắc lại rằng một R-môđun E được gọi là nội xạ nếu với mỗi đơn cấu các R-môđun α : M 0 →M và mỗi đồng cấu cácR-môđun β : M 0 → E, luôn tồn tại một đồng cấu γ : M → E sao cho β = γα Khi R là vành Noether, ta có tiêu chuẩn Baer về tính nội xạ của môđun như sau: R-môđun E là nội xạ nếu và chỉ nếu mỗi đồng cấu từ một iđêan I của R đến E luôn mở rộng được thành một đồng cấu từ R đến E.
Theo định nghĩa của hàm tử dẫn xuất, để tính môđun đối đồng điều địa phương H I n (M), ta thực hiện như sau:
- Lấy một giải nội xạ của M, tức là một dãy khớp
→ , trong đó mỗi Ei là R-môđun nội xạ Chú ý rằng mỗi môđun đều nhúng được vào một môđun nội xạ, vì thế mỗi môđun đều có giải nội xạ.
- Tác động hàm tử Γ I (−) vào giải nội xạ trên ta có dãy cảm sinh
- Dãy cảm sinh này là một đối phức, tức là Kerd ∗ n ⊇ Imd ∗ n−1 với mọi n > 1 Khi đó H I n (M) = Kerd ∗ n /Imd ∗ n−1 với n > 1 và H I 0 (M) = Kerd ∗ 0
Chú ý rằng Kerd ∗ n /Imd ∗ n−1 và Kerd ∗ 0 không phụ thuộc vào việc chọn giải nội xạ của M.
Cho M là R-môđun trên vành giao hoán R và I là iđêan của R Ta gọi M là I-xoắn nếu M = Γ I (M) Bổ đề sau đây cho ta một số tính chất cơ bản của môđun đối đồng điều địa phương.
Bổ đề 2.1.2 Các phát biểu sau là đúng. a) H I 0 (M) ∼= ΓI(M). b) Nếu M là môđun nội xạ thì H I n (M) = 0 với mọi n > 0. c) Nếu M là I-xoắn thì H I n (M) = 0 với mọi n > 0. d) H I n (M) là I-xoắn với mọi n ≥ 0 Đặc biệt, H I i (H I n (M)) = 0 với mọi i > 0 và mọi n≥ 0.
Chứng minh a) Với các kí hiệu như phía trên, ta có H I 0 (M) = Kerd ∗ 0 Vì α : M → E0 là đơn cấu nên đồng cấu cảm sinh α ∗ : ΓI(M) → Γ(E0) cũng là đơn cấu Do đó Γ I (M) ∼= Imα ∗ Vì hàm tử I-xoắn là khớp trái, nên
Imα ∗ = Kerd ∗ 0 Do đó ta có
H I 0 (M) = Kerd ∗ 0 = Imα ∗ ∼= ΓI(M). b) Cho M là nội xạ Chọn 0 → M → α E 0 → E 1 → (trong đó
E 0 = M, α là ánh xạ đồng nhất trên M và E n = 0 với mọi n ≥ 1) là giải nội xạ của M Tác động Γ I (−) vào giải nội xạ này ta được đối phức
0 → α ∗ Γ I (E 0 ) → Γ I (E 1 ) → , trong đó Γ I (E n ) = 0 với mọi n ≥ 1 Lấy đối đồng điều của đối phức này ta được H I n (M) = 0 với mọi n ≥ 1. c) Cho M là I-xoắn Khi đó ta có thể chọn được một giải nội xạ của
M mà mỗi môđun nội xạ E n đều là I-xoắn Do đó Γ I (E n ) =E n Vì thế, sau khi tác động hàm tử I-xoắn vào giải nội xạ này, ta thu được đối phức cảm sinh chính là giải nội xạ ban đầu (loại đi mắt M đầu tiên) Do đó đối đồng điều thứ n của nó bằng 0 với mọi n ≥1, tức là H I n (M) = 0 với mọi n ≥1. d) Với các kí hiệu như phía trên, ta có H I n (M) = Kerd ∗ n /Imd ∗ n−1
Vì Kerd ∗ n ,Imd ∗ n−1 ⊆ Γ I (E n ), nên Kerd ∗ n ,Imd ∗ n−1 là các môđun I-xoắn Suy ra H I n (M) là I-xoắn với mọi n ≥ 0 Do đó, theo khẳng định c) ta suy ra
Chú ý rằng ứng với mỗi dãy khớp ngắn, ta có một dãy khớp dài các môđun dẫn xuất của hàm tử I-xoắn sau đây (xem [BS]).
Bổ đề 2.1.3 Cho 0 → M 0 → M → M 00 → 0 là dãy khớp các R-môđun. Khi đó với mỗi n ∈ N, có một đồng cấu δ n : H I n (M 00 ) →H I n+1 (M 0 ) sao cho dãy sau là khớp
Bổ đề sau đây chỉ ra rằng dãy chính quy và độ sâu có thể đặc trưng thông qua tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương.
Bổ đề 2.1.4 Cho R là vành giao hoán Noether và M là R-môđun hữu hạn sinh Cho I ⊆ Jac(R) là iđêan của R Với mỗi số tự nhiên n, các mệnh đề sau là tương đương: a) Tồn tại một M-dãy có độ dài n trong I. b) H I i (M) = 0 với mọi i < n. Đặc biệt, depth(I;M) = inf{n ∈ N | H I n (M) 6= 0}.
Chứng minh a)⇒b) Ta chứng minh bằng quy nạp theo n Cho n = 1 và c 1 ∈ I là M-chính quy Khi đó c t 1 là M-chính quy với mọi t Suy ra (0 : M c t 1 ) = 0 và do đó (0 : M I t ) = 0 với mọi t Vì thế H I 0 (M) = 0.
Cho n > 1 và (c 1 , , c n ) là M-dãy trong I Vì c 1 là M-chính quy nên
H I 0 (M) = 0 Do (c 2 , , c r ) là M/c 1 M-dãy, nên H I i (M/c 1 M) = 0 với mọi i < n−1theo giả thiết quy nạp Theo chứng minh trên, vì c 1 là M-chính quy nên ta có dãy khớp H I i (M/c 1 M) → H I i+1 (M) → c 1 H I i+1 (M) với mọi i ≥ 0. Nếu i < n−1 thì H I i (M/c 1 M) = 0, do đó phép nhận bởi c 1 ở dãy khớp trên là đơn cấu, do đóH I i+1 (M) c t
→1 H I i+1 (M)là đơn cấu, tức là (0 : H i+1
I (M ) c t 1 ) = 0 với mọi t Vì H I i+1 (M) là I-xoắn (theo Bổ đề 2.1.2) và c 1 ∈ I, nên H I i+1 (M) là c 1 R-xoắn Do đó H I i+1 (M) = S t≥0
I (M ) c t 1 ) = 0 Vì thế, H I i (M) = 0 với mọi i < n. b)⇒a) Ta chứng minh bằng quy nạp theo n Cho n= 1.Theo giả thiết b), ta có H I 0 (M) = 0 Nếu tồn tại p ∈ Ass R (M) sao cho I ⊆ p, thì tồn tại
06= z ∈ M sao cho I ⊆ p = Ann R z Suy ra Iz = 0, vì thế 06= z ∈ H I 0 (M), điều này không thể xảy ra Do đó I 6⊆ p với mọi p ∈ Ass R M Theo Định lí tránh nguyên tố, tồn tại c1 ∈ I sao cho c1 ∈/ p với mọi p ∈ AssR(M) Do
I ⊆ Jac(R), nên theo Bổ đề 1.2.14, c1 là M-chính quy, mệnh đề đúng với n= 1.
Cho n > 1 Khi đó H I 0 (M) = 0 Vì thế tồn tại c 1 ∈ I là M-chính quy Do đó ta có dãy khớp 0 → M → c 1 M → M/c 1 M → 0 Theo Bổ đề 2.1.3 ta có dãy khớp H I i (M) → H I i (M/c 1 M) → H I i+1 (M) với mọi i ≥ 0.
Vì H I i (M) = 0 với mọi i < n nên H I i (M/c 1 M) = 0 với mọi i < n− 1. Theo giả thiết quy nạp, tồn tại một M/c 1 M-dãy (c 2 , , c r ) trong I Vì thế (c 1 , , c n ) là M-dãy độ dài n trong I.
Từ sự tương đương của các mệnh đề a) và b), ta suy ra depth(I;M) = inf{n ∈ N | H I n (M) 6= 0}.
Kết quả sau đây thường được gọi làĐịnh lí triệt tiêu của Grothendieck cho ta mối liên hệ giữa chiều của môđun hữu hạn sinh với tính triệt tiêu và không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương (xem [BS]).
Bổ đề 2.1.5 Cho R là vành giao hoán Noether và M là R-môđun hữu hạn sinh Giả sử dim R (M) = d < ∞ Cho I là iđêan của R Các phát biểu sau là đúng. a) H I i (M) = 0 với mọi i > d. b) Nếu R là vành địa phương với iđêan tối đại duy nhất m, thì d = max{i ∈ N | H m i (M) 6= 0}.
Môđun Cohen-Macaulay
Trong suốt tiết này, luôn giả thiết R là vành Noether địa phương với iđêan tối đại duy nhất m Cho M là R-môđun hữu hạn sinh.
Bổ đề 2.2.1 Cho M 6= 0 Khi đó depth R (M) ≤ dimR(M).
Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp theo d := dim R (M) Cho d = 0. Khi đóm ∈ Ass R (M) Vì thếdepth R (M) = 0, kết quả đúng vớid = 0 Giả sử d > 0và kết quả đúng với các môđun có chiều nhỏ hơnd Nếum ∈ AssR(M), thì depth R (M) = 0 < d Vì thế ta giả thiết m ∈/ AssR(M) Theo Định lí tránh nguyên tố, tồn tại c ∈ m sao cho c /∈ p với mọi p ∈ AssR(M) Suy ra c là M-chính quy Do đó dim(M/cM) = d−1 Theo giả thiết quy nạp, depth R (M/cM) ≤d−1 Suy ra depth R (M) ≤ d. Định nghĩa 2.2.2 Ta nói môđun M là Cohen-Macaulay nếu M = 0 hoặc depth R (M) = dim R (M) Vành R được gọi là Cohen-Macaulay nếu R là
Chú ý rằng dim R (M) = max p∈Ass R (M )dim(R/p) (xem [Mat]) Vì thế kết hợp với tính chất depth R (M) ≤ dim(R/p) với mọi p ∈ Ass R (M) (Bổ đề 2.2.1) ta có ngay tính chất sau (gọi là tínhkhông trộn lẫn của môđun Cohen- Macaulay).
Bổ đề 2.2.3 Nếu M 6= 0 là Cohen-Macaulay, thì dim(R/p) = dim R (M) với mọi p ∈ Ass R (M).
Theo Bổ đề 2.1.4 ta có depth R (M) = min{n ∈ N | H m n (M) 6= 0}. Theo Bổ đề 2.1.5b) ta có dim R (M) = max{n ∈ N | H m n (M) 6= 0} Vì thế môđun Cohen-Macaulay được đặc trưng qua tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương như sau.
Bổ đề 2.2.4 M là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu H m i (M) = 0 với mọi i 0 Khi đó pR p ∈/ Ass R p (M p ) Vì thế p không nằm trong mọi iđêan nguyên tố liên kết của M Do đó p chứa phần tử chính quy x Áp dụng giả thiết quy nạp cho môđun M/xM ta có depth R p M p /xM p = dim R p M p /xM p
Do x cũng là M p -chính quy nên depth R p M p /xM p = depth R p M p − 1 và dim R p M p /xM p = dim R p M p −1 Vì thế depth R p M p = dim R p M p Vậy M p là
R p -môđun Cohen-Macaulay. Để chứng minh chiều ngược lại ta xét hai trường hợp Nếu m ∈/Supp R (M) thì M ∼= M m = 0 là Cohen-Macaulay Nếu m ∈ Supp R (M) thì theo giả thiết M ∼= M m là Cohen-Macaulay.
Tính ổn định tiệm cận của linh hóa tử của môđun đối đồng điều địa phương
Trong suốt tiết này, luôn giả thiết R = L n∈ N
R n là một vành phân bậc chuẩn Noether và M = L n∈ N
M n là một R-môđun phân bậc hữu hạn sinh. Theo Định lí 1.3.3, tồn tại sốn 0 sao cho depth R 0 (M n ) = depth R 0 (M n 0 ) với mọi n ≥ n 0 Với mỗi p ∈ Spec(R 0 ), vành R p = L n∈ N
(R n ) p là một vành phân bậc chuẩn Noether và M p = L n∈ N
(Mn) p là R p -môđun phân bậc hữu hạn sinh Do đó tồn tại số t(p) (phụ thuộc vào p) sao cho depth (R 0 ) p (M n ) p depth (R 0 ) p (M t(p) ) p với mọi n ≥ t(p) C Rotthaus và L M Sega [RS, Định lí 4.2] đã chỉ ra một chặn đều của các t(p) với p chạy trong Spec(R 0 ) khi R là vành excellent Năm 2021, trong bài báo [CNN], T Đ M Châu, N T K. Nga, L T Nhàn đã chứng minh chặn đều này khi R là vành phân bậc chuẩn Noether tùy ý (không nhất thiết excellent).
Bổ đề 2.3.1 Tồn tại n 0 ∈ N sao cho depth (R 0 ) p (M n ) p = depth (R 0 ) p (M n 0 ) p với mọi số tự nhiên n≥ n 0 và mọi p ∈ Spec(R 0 ).
Chứng minh Gọit 0 > 0là số nguyên lớn nhất sao choAss R 0 M n = Ass R 0 M t 0 với mọi n ≥ t 0 (số nguyên t 0 như vậy luôn tồn tại theo [ME]) Khi đó, với mọi n ≥ t0 và với mọi p ∈ Spec(R0), ta có dim (R 0 ) p (Mn) p = dim (R 0 ) p (Mt 0 ) p Theo [Mat, Định lý 23.2] ta có
R c 0Mcn} với mọi n ∈ N Vì thế, t 0 cũng là số nguyên nhỏ nhất sao cho Ass
R c 0 Mc n AssR c 0Mc t 0 với mọi n ≥ t 0 Do đó, với mọi n ≥ t 0 và với mọi P ∈ Spec(Rc 0 ), ta có dim (c R
0 ) P (Mc t 0 ) P Cho n ≥ t 0 Đặt R ∗ = R ⊗ R 0 Rb 0 ∼= L n≥0 Rb n và M ∗ = M ⊗ R 0 Rb 0 ∼ L n≥0Mc n Khi đó R ∗ là vành phân bậc Noether thuần nhất và M ∗ là R ∗ - môđun phân bậc thuần nhất Chú ý rằng R ∗ là vành excellent Vì thế, theo
[RS, Định lý 4.2], tồn tại số nguyên n 0 ≥ t 0 sao cho depth (
R c 0 ) P(Mc t ) P với mọi n ≥ n 0 và với mọi P ∈ Spec(Rc 0 ) Giả sử p ∈ Spec(R 0 ) và P ∈ Ass(Rc 0 /pRc 0 ) Vì ánh xạ tự nhiên (R 0 ) p → (Rc 0 ) P là phẳng hoàn toàn và(Mc n ) P ∼= (M n ) p ⊗ R p Rb P , nên theo công thức tính depth (xem [BH, Mệnh đề 1.2.16(a)]) ta có depth (R 0 ) p (M n ) p + depth (Rc 0 ) P /p(Rc 0 ) P = depth (c R
Vì thế depth (R 0 ) p (M n ) p = depth (R 0 ) p (M t ) p với mọi số nguyên n ≥ n 0 và với mọi p ∈ Spec(R 0 ).
Cho n, i ≥ 0 là các số tự nhiên M Brodmann và R.Y Sharp [BS1] đã định nghĩa tập giả giá thứ i của M n , kí hiệu là Psupp i R 0 (M n ), được cho bởi công thức sau
Chú ý rằng môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại H m i (M n ) là R0-môđun Artin (xem [BS]), tức là nó thỏa mãn điều kiện mọi dãy giảm các môđun con đều dừng Tập giả giá đóng vai trò quan trọng đối với môđun ArtinH m i (M n )giống như vai trò của tập giá đối với môđun hữu hạn sinh (xem [BS1]) Có một số tính chất của tập giả giá tương tự như tính chất của tập giá Cụ thể, ta luôn có bao hàm thức Psupp i R 0 (M n ) ⊆ Var(Ann R 0 H m i (M n )), dầu bằng xảy ra nếu R 0 là thương của vành Cohen-Macaulay địa phương (xem [BS1, Mệnh đề 2.5]) Trong bài báo [BS1], M Brodmann và R Y. Sharp đã sử dụng một cách rất hiệu quả tập giả giá để nghiên cứu chiều và số bội của môđun đối đồng điều địa phương Gần đây, nhóm nghiên cứu Đại số giao hoán của Đại học Thái Nguyên cũng có nhiều kết quả quan trọng liên quan đến tập giả giá.
Với mỗi số tự nhiên i cố định, câu hỏi tự nhiên đặt ra là liệu rằng tập giả giá Psupp i R 0 (Mn) không phụ thuộc vào n khi n đủ lớn? Đến thời điểm hiện tại, câu hỏi này vẫn đang là câu hỏi mở, tức là chưa có câu trả lời trọn vẹn Tuy nhiên, nếu ta lấy hợp của các tập giả giá thứ j với j ≤ i, thì ta có tính ổn định tiệm cận sau đây.
Mệnh đề 2.3.2 Với số tự nhiên i ≥ 0 cho trước, tồn tại số tự nhiên n 0 sao cho
Chứng minh Gọi n 0 là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho depth (R 0 ) p (Mn) p = depth (R 0 ) p (Mn 0 ) p với mọi số nguyên n ≥ n 0 and với mọi p ∈ Spec(R 0 ) (số n 0 như vậy luôn tồn tại theo Bổ đề 2.3.1) Cho n ≥ n0 Giả sử p ∈ S j≤i Psupp j R
0(Mn) Khi đó p ∈ Psupp r R 0 (M n ) với r ≤ i nào đó Suy ra H pR r−dim(R 0 / p)
Vì n ≥ n 0 , nên theo giả thiết ta có depth (R 0 ) p (M n 0 ) p ≤ r − dim(R 0 /p). Đặt r 0 := depth R 0p (M n 0 ) p + dim(R 0 /p) Khi đó r 0 ≤ r ≤ i và ta có
0 ) p (M n 0 ) p 6= 0 Suy ra, p ∈ Psupp r R 0 0 (M n 0 ) Do đó p ∈ [ j≤i
0(Mn). Định lí sau đây là kết quả chính của Chương này, cho ta tính ổn định tiệm cận của linh hóa tử của môđun đối đồng điều địa phương của các thành phần thuần nhất với giá cực đại m Với các số tự nhiên n, i ≥ 0, ta đặt a i (M n ) := Ann R 0 H m i (M n ). Định lý 2.3.3 Vơi mỗi số tự nhiên i ≥ 0, tồn tại n 0 ∈ N sao cho
Chứng minh Xét R ∗ vàM ∗ xác định như trong chứng minh Bồ đề 2.3.1 Khi đó cũng theo chứng minh của Bổ đề 2.3.1, ta có depth (c R
R c 0 ) P(Md n 0 ) P với mọi n ≥ n 0 và với mọl P ∈ Spec(Rb 0 ) Vì thế áp dụng Mệnh đề 2.3.2 cho
(Mc n 0 ) với mọi số nguyên n ≥ n 0 và với mọi i ≥ 0 Lấy p ∈ S j≤i Var(a j (M n )) Khi đóp ∈ Var(a r (M n )) vớir ≤ inào đó Suy ra tồn tạiq ∈ min Var(a r (M n ))sao chop ⊇q.Domin Var(a r (M n )) = min Att R (H m r (M n ))nênq ∈ Att R (H m r (M n )). Chú ý rằng theo [BS1, 8.2.5] ta có
Vì thế tồn tại Q ∈ Att
R b 0 (H m r (Mn)) sao cho Q ∩ R0 = q Suy ra Q ⊇ AnnR b 0(H m r (M n )) Theo [BS1, Mệnh đề 2.5] ta có
R b 0(Mc n )và do đó Q ∈ S j≤i Psupp j
R b 0 (Mc n ) Điều này dẫn đến Q ∈ S j≤i Psupp j
(Mc n 0 ) theo lập luận trên.Vì thế, tồn tại r 0 ≤ i sao cho Q ∈ Psupp r 0
R b 0(H m r 0 (M n 0 )) theo [BS1, Mệnh đề 2.5] Do đó, q ⊇ Ann R (H m r 0 (M n 0 )) và vì thế p ∈ Var(a r 0 (M n 0 )) Kéo theo
Chứng minh tương tự ta có bao hàm thức ngược lại.
Nhắc lại rằng chiều hữu hạn Faltings của Mn ứng với m, kí hiệu bởi f m (M n ), được định nghĩa như sau f m (M n ) := inf{i | H m i (M n ) không hữu hạn sinh}.
Chiều hữu hạn Faltings cho ta nhiều thông tin quan trọng của môđun (xem [BS]) Hệ quả sau đây cho ta tính ổn định tiệm cận của chiều hữu hạn Faltings của các môđun Mn.
Hệ quả 2.3.4 Tồn tại số tự nhiên n0 sao cho f m (Mn) = f m (Mn 0 ) với mọi n≥ n 0
Chứng minh Gọi n 0 là số tự nhiên xác định như trong Bổ đề 2.3.1 Cho n ≥ n 0 Vì mỗi môđun là hữu hạn sinh khi và chỉ khi chiều của nó không vượt quá 0 nên thực chất f m (M n ) := inf{i | dimH m i (M n ) ≥ 1}.
Ta cũng có công thức tương tự cho f m (M n 0 ) Đặt i = f m (M n 0 ) Khi đó dim R 0 (Hm j (M n 0 )) < 1 với mọi j ≤ i−1 và dim R H m i (M n 0 )) ≥ 1 Vì thế theo Định
≥1 6= ∅ Vì thế i là chỉ số nhỏ nhất sao cho dim R 0 (H m i (M n )) ≥ 1 Do đó f m (M n ) = i Vậy f m (M n ) = f m (M n 0 ) với mọi n ≥ n 0
Phần cuối của tiết này dành để chứng minh tính ổn định tiệm cận của quỹ tich không Cohen–Macauly và quỹ tích không Cohen–Macauly suy rộng. Nhắc lai rằng quỹ tích không Cohen-Macaulay của R 0 -môđun M n , kí hiệu là nCM R 0 (M n ), được định nghĩa như sau nCM R 0 (M n ) = {p ∈ Spec(R 0 ) | (M n ) p không Cohen-Macaulay}.
Khái niệm môđun Cohen-Macaulay suy rộng được giới thiệu bởi N T Cường,
P Schenzel, N V Trung [CST] thông qua hiệu số giữa độ dài và số bội ứng với các hệ tham số Tuy nhiên, để tránh việc trình bày các khái niệm hệ tham số, số bội trong luận văn này, chúng tôi dùng một điều kiện tương đương để định nghĩa môđun Cohen-Macaulay suy rộng Ta nói M n là Cohen-Macaulay suy rộng nếu các môđun đối đồng điều địa phương H m i (M n ) có độ dài hữu hạn với mọi i < dim R 0 (M n ) Quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng của
Mn, kí hiệu bởi nGCMR 0 (Mn), được định nghĩa như sau nGCM(M n ) = {p ∈ Spec(R 0 ) | (M n ) p không Cohen-Macaulay suy rộng}.
Với mỗi số tự nhiên i ≥ 0, chú ý rằng H m i (M n ) có độ dài hữu hạn nếu và chỉ nếu Var(AnnR 0 H m i (Mn)) ⊆ {m} Vì thế ta có đặc trưng sau cho môđun Cohen-Macaulay suy rộng.
Bổ đề 2.3.5 M n là Cohen-Macaulay suy rộng nếu và chỉ nếu
Var(Ann R 0 H m i (M n )) ⊆ {m}. Định lí sau đây là kết quả chính thứ hai của Chương này, chỉ ra tính ổn định tiệm cận của quỹ tích không Cohen-Macaulay và quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng của các thành phần thuần nhất. Định lý 2.3.6 Tồn tại số tự nhiên n0 sao cho nCMR 0 (Mn) = nCMR 0 Mn 0 và nGCMR 0 (Mn) = nGCMR 0 Mn 0 vói mọi n ≥ n0.
Chứng minh Theo Định lí 1.3.2, ta có thể chọn số tự nhiên n ∗ sao cho Ass R 0 (M n ) = Ass R 0 (M n ∗ ) với mọi n≥ n ∗ Vì thế, theo Bổ đê 1.2.8,