Về tính bất khả quy của một số tam thức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC MAI NGỌC ANH VỀ TÍNH BẤT KHẢ QUY CỦA MỘT SỐ TAM THỨC Ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS TRẦN NGUYÊN AN TS PHẠM HỒNG NAM THÁI NGUYÊN - 2024 Mục lục MỞ ĐẦU 1 Chương 1 Đa thức 1 1.1 Đa thức và nghiệm của đa thức 1 1.2 Đa thức bất khả quy và sự phân tích 9 Chương 2 Tính bất khả quy của tam thức 14 2.1 Một asốa tiêu chuẩn cổ điển và tínha bấta khả quy của tam thức đặc biệt 14 2.2 Tính bất khả quy của xn − x − 1 và một số mở rộng 29 2.3 Tính bất khả quy của đa thức x2m ± xm − 1 34 KẾT LUẬN 44 Tài liệu tham khảo 44 ii MỞ ĐẦU Bài toán phân tích một đa thức thành tích các đa thức bất khả quy là bài toán quan trọng trong toán học cũng như trong khoa học máy tính Từ năm 1707 trong cuốn sách Arithmetica Universalis, Isaac Newton đã đưa ra một phương pháp tìm nhân tử tuyến tính và nhân tử bậc hai của đa thức với hệ số nguyên Từ đó đến nay nhiều nhà toán học đã và đang tìm kiếm các tiêu chuẩn bất khả quy của đa thức cũng như việc phân tích đa thức thành các nhân tử bất khả quy Trên các trường số theo Định lý cơ bản của Đại số các đa thức bất khả quy trên C là các đa thức bậc nhất, các đa thức bất khả quy trên R là các đa thức bậc nhất và các đa thức bậc hai không có nghiệm thực Việc phân loại đa thức bất khả quy trên Q cho đến nay vẫn là bài toán mở Có nhiều tiêu chuẩn đã được đưa ra để xét tính bất khả quy của đa thức như tiêu chuẩn Eisenstein, tiêu chuẩn Cohn, tiêu chuẩn Perron, tiêu chuẩn Murty, Một số luận văn đã tìm hiểu các tiêu chuẩn trên Ta phân tích một hướng khác trong bài toán xét tính bất khả quy của đa thức là tìm hiểu tính bất khả quy của đa thức trên Q theo số hạng tử của đa thức Xét tính bất khả quy của nhị thức ta luôn quy được về bài toán xét tính bất khả quy của nhị thức dạng axn + b Vấn đề này đã được giải quyết hoàn toàn bởi Capelli Một cách tự nhiên một bài toán được đặt ra là xét tính bất khả quy của tam thức f (x) = axn + bxm + c, trong đó a ∈ N∗, b, c ∈ Z \ {0} và a, b, c nguyên tố cùng nhau Tiêu chuẩn Eisenstein và một số tiêu chuẩn khác giải quyết một số dạng của bài toán Tuy nhiên bài toán tổng quát cho đến nay vẫn là bài toán mở Mục đích của luận văn là tìm hiểu tính bất khả quy của một số lớp tam thức đặc biệt Cụ thể mục đích thứ nhất vận dụng một số tiêu chuẩn cổ điển xét tính bất khả quy của một số lớp tam thức, mục đích thứ hai là xét tính bất khả quy của một số tam thức đặc biệt dạng 1 xn ± x ± 1, xn ± xm ± 1 với 1 < m < n và m = n/2, x2m ± xm − 1 Tài liệu tham khảo chính là [6], [7] và [4] Luận văn được chia làm hai chương Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị về đa thức, nghiệm của đa thức Lưu ý rằng nghiệm của đa thức cũng là công cụ quan trọng để xét tính bất khả quy của đa thức Chương 1 cũng tổng hợp lại một số vấn đề về đa thức bất khả quy và sự phân tích đa thức thành tích các đa thức bất khả quy, việc phân loại các đa thức bất khả quy trên các trường số thực và phức Chương 2 là chương chính của luận văn Phần đầu của Chương 2 đề cập đến một số tiêu chuẩn cổ điển như Bổ đề Gauss, tiêu chuẩn chuyển qua module một số nguyên tố, tiêu chuẩn Eisenstein, tiêu chuẩn Eisenstein mở rộng Một số kỹ thuật hay được sử dụng xét tính bất khả quy của đa thức là xét nghiệm, đổi biến, đa thức tương hỗ cũng được đưa ra trong chương này Các ví dụ mô tả cho các tiêu chuẩn và kỹ thuật vừa nêu chủ yếu tập trung vào các tam thức Cũng cần phải nói thêm rằng các tiêu chuẩn cổ điển khác cũng có những ứng dụng tương tự cho việc xét tính bất khả quy của một số tam thức đặc biệt Hai phần cuối của chương trình bày tính chất bất khả quy của một lớp tam thức đặc biệt Trong suốt quá trình làm luận văn, tôi nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của PGS.TS Trần Nguyên An và TS Phạm Hồng Nam Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy hướng dẫn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học toán Khoá 15 đã truyền thụ đến cho tôi nhiều kiến thức và kinh nghiệm nghiên cứu khoa học Thái Nguyên, tháng 01 năm 2024 MAI NGỌC ANH 2 Chương 1 Đa thức Trong chương này ta luôn giả thiết R là vành giao hoán, có đơn vị, D ký hiệu miền nguyên và F ký hiệu một trường 1.1 Đa thức và nghiệm của đa thức Đặt P ⊆ RN là tập các phần tử có hữu hạn tọa độ khác không P = {(a0, a1, , an, ) ∈ RN | ai = 0 với mọi i 0}, trong đó i 0 có nghĩa là khi i đủ lớn hay tồn tại n0 ∈ N và i > n0 Cho (a0, a1, , an, ), (b0, b1, , bn, ) ∈ P , phép cộng và phép nhân được định nghĩa như sau: (a0, , an, ) + (b0, , bn, ) = (a0 + b0, , an + bn, ), (a0, , an, )·(b0, , bn, ) = (c0, , cn, ), trong đó ck = a0bk + a1bk−1 + · · · + akb0 = i+j=k aibj, với mọi số nguyên không âm k Ta kiểm tra dễ dàng đây là các phép toán hai ngôi và P là vành giao hoán với các phép toán hai ngôi trên, trong đó phần tử không là 0 = (0, 0, 0, ) và đơn vị là 1 = (1, 0, 0, ) Đặt ϕ : R → P , ϕ(a) = (a, 0, 0, ), với mọi a ∈ R Khi đó ϕ là đơn cấu vành Vì vậy ta có thể đồng nhất a với dãy (a, 0, 0, ) với mỗi a ∈ R Với đồng nhất này R là vành con của P Ký hiệu x = (0, 1, 0, 0, ) ∈ P Khi đó x ∈ P \ R và bằng quy 1 nạp, ta có x2 = (0, 0, 1, 0, 0, ), x3 = (0, 0, 0, 1, 0, 0, ), xk = (0, 0, , 0, 1, 0, 0, ), k Vậy (0, 0, , 0, a, 0, ) = (a, 0, 0, )(0, 0, , 0, 1, 0, ) = axk, với k k mọi a ∈ R Cho f là một phần tử của P Khi đó tồn tại n ∈ N và a0, a1, , an ∈ R thỏa mãn f = (a0, a1, , an, 0, 0, ) Hơn nữa f = (a0, a1, , an, 0, 0, ) = (a0, 0, ) + (0, a1, 0, ) + · · · + (0, 0, , an, ) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + anxn Định nghĩa 1.1.1 Vành P được gọi là vành đa thức một biến (hay một ẩn và được ký hiệu là R[x] Phần tử x được gọi là biến (hay ẩn) Một phần tử của R[x] được gọi là đa thức một biến với hệ tử trên R và được ký hiệu bởi f (x), g(x), h(x), Với đa thức f (x) ∈ R[x], ta có f (x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + anxn (1.1) là biểu diễn của f (x), trong đó a0, a1, , an ∈ R Ta gọi a0, a1, , an là các hệ tử của f (x) Cho 0 = f (x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + anxn ∈ R[x], trong đó an = 0 Số n được gọi là bậc của f (x) và được ký hiệu bởi deg(f (x)); hệ tử an được gọi là hệ tử cao nhất (hệ tử khởi đầu) của f (x) và được ký hiệu bởi lc(f (x)) Nếu hệ tử cao nhất của f (x) là 1 thì f (x) được gọi là đa thức monic Hệ tử a0 được gọi là hệ tử tự do của f (x) Các phần tử của R thường được gọi là đa thức hằng Đa thức bậc 1 được gọi là đa thức tuyến tính 2 Nhận xét 1.1.2 (i) Bậc của đa thức không được quy ước là không xác định, −1 hay −∞ Trong luận văn này chúng tôi theo quy ước deg(0) = −∞ (ii) Ta có a0 + a1x + · · · + amxm = b0 + b1x + · · · + bnxn trong R[x] nếu và chỉ nếu m = n và ai = bi với i = 0, , m (iii) Mỗi đa thức f (x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + anxn ∈ R[x] xác định hàm f : R → R theo quy tắc f (u) = a0 + a1u + · · · + anun (iv) Cho R và S là các vành giao hoán và ϕ : R → S là đồng cấu vành Khi đó tồn tại đồng cấu ϕ∗ : R[x] → S[x] xác định bởi ϕ∗(anxn + · · · + a1x + a0) = ϕ(an)xn + · · · + ϕ(a1)x + ϕ(a0) Hơn nữa, nếu ϕ là một đẳng cấu thì ϕ∗ cũng là đẳng cấu Ví dụ, đồng cấu vành Z → Zm cảm sinh đồng cấu Z[x] → Zm[x] với các hệ số của ảnh lấy theo modul m Bậc của tổng, tích và hợp thành của hai đa thức liên hệ mật thiết với bậc của đa thức đã cho Bổ đề 1.1.3 Cho f (x), g(x) ∈ R[x] Khi đó (i) deg(f (x) + g(x)) ≤ max{deg(f (x)), deg(g(x))}; (ii) deg(f (x)g(x)) ≤ deg(f (x)) + deg(g(x)) Khi R là miền nguyên ta có đẳng thức ở (i) và (ii) trong Bổ đề 1.1.3 Hệ quả 1.1.4 Nếu R là miền nguyên thì (i) deg(f (x)g(x)) = deg(f (x)) + deg(g(x)) (ii) R[x] là miền nguyên (iii) Tập các phần tử khả nghịch của R[x] và R trùng nhau 3 Định lý 1.1.5 (Định lí chia) Cho F là một trường và f (x), g(x) ∈ F [x] với g(x) = 0 Khi đó tồn tại duy nhất hai đa thức q(x) và r(x) ∈ F [x] thỏa mãn f (x) = g(x)q(x) + r(x), trong đó deg(r(x)) < deg(g(x)) Hệ quả 1.1.6 Cho F là một trường Khi đó F [x] là một miền Euclid Do đó F [x] là miền phân tích duy nhất Kết quả sau là một mở rộng của Hệ quả 1.1.6 Định lý 1.1.7 Cho R là một vành giao hoán khác không Khi đó các điều kiện sau là tương đương (i) R là trường; (ii) R[x] là miền Euclid; (iii) R[x] là miền chính Hệ quả 1.1.8 Z[x] không là miền chính Nếu D là một miền nguyên thì theo Hệ quả 1.1.4, D[x] là miền nguyên Do đó theo định nghĩa ước chung lớn nhất của hai phần tử không đồng thời bằng không trên một miền nguyên, d(x) ∈ D[x] là ước chung lớn nhất của hai đa thức không đồng thời bằng không f (x), g(x) ∈ D[x] nếu (i) d(x) chia hết f (x) và g(x) (ii) Nếu d (x) là một đa thức khác chia hết f (x) và g(x), thì d (x) chia hết d(x) Ta có các ước chung lớn nhất nếu tồn tại thì sai khác nhau một nhân tử khả nghịch của D Đặc biệt nếu D là trường F thì hai đa thức bất kì không đồng thời bằng 0 luôn có ước chung lớn nhất, hơn nữa còn tồn tại thuật toán tìm ước chung lớn nhất đó vì F [x] là vành Euclid (xem Định lí 1.1.7) Các phần tử khả nghịch của trường là các phần tử khác không do đó nếu t(x) = anxn + + a1x + a0, trong đó an = 0, là một ước chung lớn nhất của hai đa thức f (x) và g(x) thì các ước 4 chung lớn nhất của f (x) và g(x) là và chỉ là các đa thức có dạng rt(x) với 0 = r ∈ F Đặc biệt, đa thức d(x) = a−n 1t(x) là ước chung lớn nhất duy nhất của f (x) và g(x) mà có có hệ tử cao nhất bằng 1 Khi đó ta viết d(x) = gcd(f (x), g(x)) Để tiện theo dõi ta đưa ra định nghĩa ước chung lớn nhất của hai đa thức với hệ số trên trường là đa thức monic như vừa nêu Định nghĩa 1.1.9 Cho F là một trường và f (x), g(x) ∈ F [x] Ước chung của f (x) và g(x) là đa thức h(x) ∈ F [x] thỏa mãn h(x)|f (x) và h(x)|g(x) Nếu f (x) và g(x) không đồng thời bằng 0 thì ước chung lớn nhất của f (x) và g(x), được ký hiệu bởi gcd(f (x), g(x)) là đa thức monic d(x) ∈ F [x] sao cho (i) d(x) chia hết f (x) và g(x) (ii) Nếu d (x) là một đa thức khác chia hết f (x) và g(x), thì d (x) chia hết d(x) Hai đa thức f (x) và g(x) được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu gcd(f (x), g(x)) = 1 Định lý 1.1.10 Cho F là một trường và f (x), g(x) ∈ F [x] không đồng thời bằng không Khi đó, tồn tại duy nhất ước chung lớn nhất d(x) của f (x) và g(x) Hơn nữa, tồn tại các đa thức u(x) và v(x) sao cho d(x) = f (x)u(x) + g(x)v(x) Định nghĩa 1.1.11 Cho R ⊆ S là các vành giao hoán Cho f (x) = anxn + · · · + a1x + a0 ∈ R[x] Với v ∈ S, ta có f (v) = anvn + · · · + a1v + a0 ∈ S và được gọi là giá của đa thức f (x) tại x = v Nếu f (v) = 0 thì v được gọi là nghiệm hay không điểm của f (x) hay của phương trình f (x) = 0 trong S √ Ví dụ 1.1.12 Các số ± 2 ∈ R là các nghiệm của đa thức f (x) = x2 −2 ∈ R[x]; các số ±i là các nghiệm của đa thức g(x) = x2 +1 ∈ C[x] 5 Kết quả sau giúp ta tính giá trị của đa thức f (x) tại x = a ∈ R, từ đó kiểm tra a có là nghiệm của f (x) Phương pháp này thường dễ dàng hơn việc thay trực tiếp x = a vào đa thức, đặc biệt khi ta phối hợp với Lược đồ Horner Định lý 1.1.13 (Định lí dư) Cho f (x) ∈ R[x] và a ∈ R Khi đó tồn tại q(x) ∈ R[x] thỏa mãn f (x) = (x − a)q(x) + f (a) Để xác định f (a) theo Định lí dư ta cần thực hiện phép chia f (x) cho x − a và f (a) là phần dư trong phép chia đó Phương pháp Horner giúp ta thực hiện phép chia và xác định f (a) dễ dàng hơn Phần tiếp theo của mục ta xét phép chia đặc biệt, chia đa thức f (x) = anxn + · · · + a1x + a0 ∈ R[x], an = 0 cho đa thức bậc nhất monic x − a, a ∈ R theo phương pháp Horner Theo Định lí 1.1.5 f (x) = (x − a)g0(x) + r0, trong đó r0 = f (a) và g0(x) = bn−1xn−1 +· · ·+b1x+b0 ∈ R[x], bn−1 = 0 So sánh hai vế, ta có  bn−1 = an       bi−1 = ai + abi (1.2)    b0 = a1 + ab1  r0 = a0 + ab0 Ta có thể đặt các công thức trên vào bảng sau và gọi là Lược đồ Horner an an−1 a1 a0 a bn−1 bn−2 b0 r0 Ví dụ 1.1.14 Chia x5 − 2x4 + 5x2 + 6x − 8 cho x + 1 6