De giao luu hsg toan 7 nam 2022 2023 phong gddt thanh ha hai duong

UBND HUYỆN THANH HÀ ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 7 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2022 - 2023 MÔN TOÁN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề gồm 05 câu, 01 trang) Câu 1 (2,0 điểm) 219.273 −15.49.94 1) Rút gọn biểu thức A = 69.210 +1210 2) Thực hiện phép tính B= 5 + 5 + 5 + + 5 4.9 9.14 14.19 44.49 Câu 2 (2,0 điểm) ac ac a2 + c2 1) Cho các số a,b, c, d ≠ 0 thoả mãn = Chứng tỏ rằng = 2 2 bd bd b + d 2) Tìm x, biết x +1 + x + 2 + x + 3 =4x Câu 3 (2,0 điểm) 1) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn xy − 3x + 2y = 11 2) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5 Chứng minh rằng (p - 1)(p + 1) chia hết cho 24 Câu 4 (3,0 điểm) Cho ∆ABC có góc A nhọn, AB = AC Gọi M là trung điểm của BC Qua A vẽ đường thẳng xy song song với BC 1) Chứng minh AM ⊥ xy 2) So sánh các cạnh của ∆AMB 3) Gọi O là điểm nằm trong ∆AMC Chứng minh OA + OC < MA + MC Câu 5 (1,0 điểm) Cho x; y; z không âm thoả mãn x + 3z = 2022 và x + 2y = 2023 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x + y + z -Hết - Họ và tên thí sinh: ………………… Số báo danh: ………………………… Họ, tên chữ ký GT1: ………………… Họ, tên chữ ký GT2: ………………… UBND HUYỆN THANH HÀ HƯỚNG DẪN CHẤM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 7 NĂM HỌC 2022 – 2023 MÔN TOÁN (Hướng dẫn gồm 03 trang) Câu Nội dung Điểm = 1) A 219.273 −15.49.94 219.39 − 3.5.218.38 = 0,25 9 10 10 9 9 10 20 10 6 2 +12 3 2 2 + 2 3 219.39 − 5.218.39 0,25 = 9 19 20 10 3 2 + 2 3 = 2 − 5 0,25 2 + 4.3 = −3 0,25 14 Câu 1 2) B= 5 + 5 + 5 + + 5 4.9 9.14 14.19 44.49 2,0đ = 1 − 1 + 1 − 1 + + 1 − 1 0,25 4 9 9 14 44 49 = 1 − 1 0,25 4 49 = 49 − 4 0,25 4.49 = 45 0,25 196 a c a a c a a2 ac 1) = ⇒ = ⇒ 2 = , b d b b d b b bd c2 ac 0,25 tương tự ta có 2 = d bd a2 c2 ac 0,25 ⇒ 2= 2= b d bd ac a2 c2 a2 + c2 0,25 ⇒ = 2= 2= 2 2 bd b d b + d Câu 2 ac a2 + c2 0,25 Vậy = 2 2 bd b + d 2,0đ 2) x +1 + x + 2 + x + 3 =4x (1) Vì x +1 + x + 2 + x + 3 ≥ 0 ⇒ 4x ≥ 0 ⇒ x ≥ 0 0,25 nên x +1 = x +1 x+2 =x+2 x + 3 = x + 3 0,25 Do đó từ (1) ta có: x + 1 + x + 2 + x + 3 = 4x 0,25 Tìm được x = 6 (T/M) 0,25 Câu 3 1) xy − 3x + 2y = 11 2,0đ ⇒x.(y−3)+2.(y−3)+6=11 0,25 ⇒ (x+2).(y−3)=5 0,25 x+2 - 5 - 1 1 5 x - 7 - 3 -1 3 y−3 - 1 - 5 5 1 0,25 y 2 -2 8 4 Vậy cặp (x,y) là (-7;2); (-3;-2); (-1;8); (3;4) 0,25 2) Ta chứng minh ( p −1) ( p +1) 24 Vì p là số nguyên tố lớn hơn 5 nên p / 3 và p / 2 Có p / 2 nên p −1 và p +1 là hai số chẵn liên tiếp → ( p −1).( p +1)8 (1) 0,25 Mặt khác: p / 3 → p có thể có 1 trong 2 dạng là =p 3k +1 hoặc =p 3k + 2 ( k ∈ * ) Nếu =p 3k +1 → p −13 → ( p −1) ( p +1)3 Nếu =p 3k + 2 → p +13 → ( p −1) ( p +1)3 ⇒ ( p −1) ( p +1)3 (2) 0,25 Mà 24 = 3.8 và ƯCLN (8,3) = 1 (3) 0,25 Từ (1), (2) và (3) ⇒ ( p −1) ( p +1)24 (đpcm) 0,25 Vẽ hình đúng đến phần 1) được 0,25 x A y O 0,25 B MIC Câu 4 3,0đ 1) C/m ∆AMB = ∆AMC(c.c.c) (1) 0,5 C/m AM ⊥ BC 0,25 C/m AM ⊥ xy 0,25   B AC 0,25 2) Từ (1) ⇒ BAM = CAM = 2 mà B AC < 900 (gt) ⇒ B AM < 450 suy ra  ABM > 450 0,25 ⇒  AMB >  ABM > B AM 0,25 ⇒ AB > AM > BM (qh giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác) 0,25 3) Gọi I là giao điểm của AO và MC Xét ∆AIC có : AI < AM + MI (BĐT trong tam giác) Xét ∆OIC có : OC < OI + IC (BĐT trong tam giác) 0,25 Suy ra: AI + OC < AM + MI + OI + IC 0,25 ⇒ AO + OI + OC < AM + MC + OI ⇒ AO + OC < AM + MC (đpcm) 0,25 Ta có: x + 3z + x + 2=y 2022 + 2023 ⇔ 2( x + y + z) + z =4045 0,25 Câu 5 Vì z ≥ 0 ⇒ 2( x + y + z) ≤ 4045 0,25 1,0đ Suy ra P ≤ 4045 2 0,25 Dấu “=” xảy ra ⇔ z= 0; x= 2022; y= 12 0,25 Ghi chú: Học sinh làm cách khác, lập luận đúng vẫn cho điểm tối đa