PHÒNG GD & ĐT ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG HUYỆN CẨM THỦY NĂM HỌC 2022 - 2023 -*** - Môn thi : Toán - Lớp 7 Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : / /2023 (Đề thi có 01trang, gồm 05 bài) Bài 1: (4,0 điểm) 12 5 62 10 3 52 2 3 − 4 9 5 7 − 25 49 1 Tính giá trị biểu thức: 6 − 3 93 (22.3) + 84.35 (125.7) + 5 14 2 Cho tỉ lệ thức a = c với a ≠ 0,b ≠ 0,c ≠ 0, d ≠ 0, a ≠ ±b, c ≠ ±d Chứng minh: bd a − b 2013 a2013 + b2013 = 2013 2013 c−d c +d 3 Tìm đa thức M biết rằng: M + (5x2 − 2xy) = 6x2 + 9xy − y2 Tính giá trị của M khi x, y thỏa mãn: (2x − 5)2018 + (3y + 4)2020 ≤ 0 Bài 2: (4,0 điểm) 1 Tìm x, biết: x + 1 + x + 2 + x + 3 + + x + 100 =101x 101 101 101 101 2 Số A được chia thành ba phần số tỉ lệ theo 2 : 3 : 1 Biết rằng tổng các bình phương 546 của ba số đó bằng 24309 Tìm số A 3 Biết f (x) chia cho x – 3 thì dư 7; chia cho x – 2 thì dư 5; chia cho (x – 3).(x – 2) được thương là 3x và còn dư Tìm f (x) Bài 3: (4,0 điểm) 1 Tìm các số tự nhiên a; b sao cho: (2008.a + 3.b + 1).(2008a + 2008.a + b) = 225 2 Cho a,b,c,d ∈Z thỏa mãn a3 3 2(c3 − 8d3 ) Chứng minh a + b + c + d chia hết cho 3 +b= Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của AB và DC a) Chứng minh rằng: ∆ADC = ∆ABE b) Chứng minh rằng: DIB = 600 c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE Chứng minh rằng ∆AMN đều d) Chứng minh rằng IA là phân giác của góc DIE Bài 5: (2,0 điểm) Cho ba số dương 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 1 Chứng minh rằng: a + b + c ≤2 bc +1 ac +1 ab +1 - HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh: PHÒNG GD & ĐT ĐÁP ÁN ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG HUYỆN CẨM THỦY NĂM HỌC 2022- 2023 -*** - Môn thi : Toán - Lớp 7 Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : / /2023 (Đáp án gồm 05 trang) Bài Đáp án Điểm 12 5 62 10 3 52 2 3 − 4 9 5 7 − 25 49 1 Tính giá trị biểu thức: A = 6 − 3 93 (22.3) + 84.35 (125.7) + 5 14 12 5 62 10 3 52 2 3 − 4 9 5 7 − 25 49 (22.3)6 + 84.35 − (125.7)3 + 59.143 0,5 12 5 12 4 10 3 10 4 2 3 − 2 3 5 7 − 5 7 = 212.36 + 212.35 − 59.73 + 59.23.73 212.34 (3 −1) 10 3 (1 − 7 ) 5 7 = 212.35 (3 +1) − 59.73 (1+ 8) 12 4 10 3 0,5 2 3 2 5 7 (−6) = 212.35.4 − 59.73.9 1 −10 7 =− = 6 3 2 0,5 Vậy A = 7 2 2 Cho tỉ lệ thức a = c với a ≠ 0,b ≠ 0, c ≠ 0, d ≠ 0, a ≠ ±b, c ≠ ±d Chứng Bài 1 bd (4 điểm) minh: a − b 2013 a2013 + b2013 = 2013 2013 c−d c +d a c a − c a 2013 c 2013 a − c 2013 Ta có: == ⇒ = = (1) 0,5 b d b−d b d b−d a 2013 c 2013 a2013 c2013 a2013 + c2013 Mà: = = = = (2) 0,5 2013 2013 2013 2013 b d b d b +d Từ (1) và (2) ⇒ a − b 2013 a2013 + b2013 (đpcm) = 0,5 2013 2013 c−d c +d 3 Tìm đa thức M biết rằng: M + (5x2 − 2xy) = 6x2 + 9xy − y2 Tính giá trị của M khi x, y thỏa mãn: (2x − 5)2018 + (3y + 4)2020 ≤ 0 Ta có: M + (5x2 − 2xy) = 6x2 + 9xy − y2 ⇒ M = 6x2 + 9xy − y2 − (5x2 − 2xy) ⇒ M = 6x2 + 9xy − y2 − 5x2 + 2xy = x2 +11xy − y2 2018 0,5 (2x − 5) ≥ 0 2018 2020 Lại có: 2020 = > (2x − 5) + (3y + 4) ≥ 0 (3y + 4) ≥ 0 Mà: (2x − 5)2018 + (3y + 4)2020 ≤ 0 ⇒ (2x − 5)2018 + (3y + 4)2020 = 0 2018 x = 5 ⇒ (2x − 5) = 0 2 Thay vào ta được 2020 ⇒ (3y + 4) = 0 y = − 4 0,5 3 5 2 5 4 − 4 2 25 110 16 −1159 M = + 11 . − − = − − = 2 2 3 3 4 3 9 36 1 Tìm x, biết: x + 1 + x + 2 + x + 3 + + x + 100 =101x 101 101 101 101 Vì x + 1 + x + 2 + x + 3 + + x + 100 > 0 nên 101x > 0 101 101 101 101 0,5 Suy ra: x > 0 Từ đó ta bỏ được dấu giá trị tuyệt đối thu được phương trình sau: (x + 1 ) + (x + 2 ) + (x + 3 ) + + (x + 100) = 101.x 101 101 101 101 0,5 ⇒ (x+ x+…+ x) + ( 1 + 2 + 3 + + 100 ) = 101.x 101 101 101 101 ⇒ 100x + 1 (1 + 2 + 3+…+ 100) = 101.x 101 ⇒ 1 (1+100).(100 −1) :1 +1 0,5 = x ⇒ x = 50 (TM) 101 2 Bài 2 2 Số A được chia thành ba phần số tỉ lệ theo 2 : 3 : 1 Biết rằng tổng các 546 (4 điểm) bình phương của ba số đó bằng 24309 Tìm số A Gọi ba phần được chia lần lượt là: a, b, c Theo bài ra ta có: a : b : c = 2 : 3 : 1 và a2 + b2 + c2 =24309 0,5 546 Ta có: a : b : c = 2 : 3 : 1 ⇒ a = b = c 5 4 6 24 45 10 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: a b c a2 b2 c2 a2 + b2 + c2 24309 = =⇒ = = = = =9 24 45 10 576 2025 100 576 + 2025 +100 2701 ⇒ a2 =576.9 =5184 ⇒ a =±72 0,5 b2 =2025.9 =18225 ⇒ b =±135 c2 =100.9 =900 ⇒ c =±30 abc Vì: = = ⇒ a, b, c cùng dấu 24 45 10 ⇒ A =−72 + (−135) + (−30) =−237 0,5 Hoặc: A = 72 +135 + 30 = 235 Vậy: A = −135 hoặc A = 135 3 Biết f (x) chia cho x – 3 thì dư 7; chia cho x – 2 thì dư 5; chia cho (x – 3).(x – 2) được thương là 3x và còn dư Tìm f (x) Theo bài ra, ta có: f (x) = (x − 3).A(x) + 7 (1) f (x) = (x − 2).B(x) + 5 (2) f (x=) 3x(x − 3)(x − 2) + ax + b (3) 0,5 Các đẳng thức trên đúng với mọi x nên: +) Thay x = 2 vào (2); (3) được: 2a + b = 5 (4) +) Thay x = 3 vào (1); (3) được: 3a + b = 7 (5) Từ (4) và (5), suy ra: a = 2; b = 1 Do đó dư là 2x + 1 0,5 Vậy f (x)= 3x(x − 3)(x − 2) + 2x +1= 3x3 −15x2 − 20x +1 1 Tìm các số tự nhiên a; b sao cho: (2008.a + 3.b + 1).(2008a + 2008.a + b) = 225 Theo đề bài ⇒ 2008a + 3b + 1 và 2008a + 2008a + b là 2 số lẻ Nếu a ≠ 0 ⇒ 2008a + 2008a là số chẵn 0,5 Để 2008a + 2008a + b lẻ ⇒ b lẻ Nếu b lẻ ⇒ 3b + 1 chẵn do đó 2008a + 3b + 1 chẵn (không thoả mãn) 0,5 Với a = 0 ⇒ (3b + 1)(b + 1) = 225 Vì b ∈ N ⇒ (3b + 1)(b + 1) = 3.75 = 5 45 = 9.25 0,5 Mặt khác: 3b + 1 không chia hết cho 3 và 3b + 1 > b + 1 3b +1 =25 ⇒ ⇒ b =8 0,5 b +1 =9 Vậy a = 0 ; b = 8 Bài 3 2 Cho a,b,c,d ∈Z thỏa mãn a3 3 2(c3 − 8d3 ) +b= (4 điểm) Chứng minh a + b + c + d chia hết cho 3 Ta có a3 + b3 = 2(c3 − 8d3 ) ⇔ a3 + b3 + c3 + d3 = 3c3 −15d3 0,5 Mà 3c3 −15d 3 3 nên a3 + b3 + c3 + d 3 3 (1) 0,5 Dư trong phép chia a cho 3 là {0;±1} suy ra dư trong phép chia a3 cho 3 cũng là {0;±1} hay a ≡ a3 (mod3) Tương tự ta có b ≡ b3 (mod 3) ; c ≡ c3 (mod3) ; d ≡ d 3 (mod3) 0,75 ⇒ a + b + c + d ≡ a3 + b3 + c3 + d 3 (mod3) (2) Từ (1) và (2) suy ra a + b + c + d chia hết cho 3 0,25 E A 0,25 D K I BC a) Chứng minh rằng: ∆ADC = ∆ABE Ta có: AD = AB; D AC = B AE và AC = AE 1,5 Suy ra: ∆ADC = ∆ABE (c.g.c) b) Chứng minh rằng: DIB = 600 Từ ∆ADC = ∆ABE (câu a) ⇒ A BE = A DC 0,75 Lại có: BKI = A KD (đối đỉnh) Khi đó xét ∆BIK và ∆DAK, suy ra BIK = D AK = 600 (đpcm) 0,75 c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE Chứng minh rằng (6 điểm) Bài 4 ∆AMN đều E A D J N 0,25 KM I BC Từ ∆ADC = ∆ABE (câu a) ⇒ CM = EN và A CM = A EN 0,5 ⇒ ∆ACM = ∆AEN (c.g.c) ⇒ AM = AN và C AM = E AN 0,5 M AN = C AE = 600 Do đó ∆AMN đều d) Chứng minh rằng IA là phân giác của góc DIE Trên tia ID lấy điểm J sao cho IJ = IB ⇒ ∆BIJ đều ⇒ BJ = BI và JBI = D BA = 600 0,5 Suy ra: I BA = J BD , kết hợp BA = BD 0,5 0 0 ⇒ ∆IBA = ∆JBD (c.g.c) ⇒ AIB = DJB = 120 mà BID = 60 ⇒ DIA = 600 Từ đó suy ra IA là phân giác của góc DIE 0,5 Cho ba số dương 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 1 Chứng minh rằng: a + b + c ≤2 bc +1 ac +1 ab +1 a −1≤ 0 Vì 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 1 ⇒ ⇒ (a −1)(b −1) ≥ 0 ⇒ ab − a − b +1 ≥ 0 0,5 b −1 ≤ 0 ⇒ ab +1 ≥ a + b ⇒ 1 ≤ 1 ⇒ c ≤ c (c ≥ 0) 0,5 ab +1 a + b ab +1 a + b Bài 5 (2 điểm) Mà: c a + b ≤ 2c a + b + c ⇒ c ab +1 ≤ 2c a + b + c b 2b a 2a 0,5 Chứng minh tương tự, ta có: ac +1 ≤ a + b + c và bc +1 ≤ a + b + c Cộng theo vế, ta được: a + b + c ≤ 2a + 2b + 2c = 2 (đpcm) bc +1 ac +1 ab +1 a + b + c Vậy với ba số dương 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 1 thì a + b + c 0,5 ≤ 2 bc +1 ac +1 ab +1 Chú ý: - Các cách làm khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa, điểm thành phần giám khảo tự phân chia trên cơ sở tham khảo điểm thành phần của đáp án - Bài hình nếu không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm điểm