ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MATHEMATICA GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

Công Nghệ Thông Tin, it, phầm mềm, website, web, mobile app, trí tuệ nhân tạo, blockchain, AI, machine learning - Báo cáo khoa học, luận văn tiến sĩ, luận văn thạc sĩ, nghiên cứu - Sinh học TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA: LÝ – HÓA – SINH ---------- VÕ THỊ HUỲNH TRANG ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MATHEMATICA GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CƠ HỌC LƯỢNG TỬ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Quảng Nam, tháng 5 năm 2016 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trı̀nh nghiên cứu được hoàn thành dưới sự cố gắng và nỗ lực của riêng tôi. Những nội dung và kết quả nghiên cứu nêu trong khóa luận này là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kı̀ một công trı̀nh nào khác. Tam Kỳ, tháng 05 năm 2016 Sinh viên thực hiện Võ Thị Huỳnh Trang ii LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến cô giáo TS. Võ Thị Hoa – người đã tận tı̀nh hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện và hoàn chı̉nh bài khóa luận này. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu cùng quý thầy cô giáo tổ Vật lý, khoa Lý-Hóa-Sinh, trường Đại học Quảng Nam đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành tốt bài khóa luận này cũng như đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Bên cạnh đó, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các bạn học cùng lớp Đại học Sư phạm Vật lý K12 đã ủng hộ và đóng góp những ý kiến hữu ı́ch cho tôi trong quá trı̀nh hoàn thành khóa luận. Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn đến những thành viên trong gia đình, người thân đã luôn bên cạnh, giúp đỡ và động viên tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài. Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn Tam Kỳ, tháng 05 năm 2016 Sinh viên thực hiện Võ Thị Huỳnh Trang iii MỤC LỤC Phần 1. MỞ ĐẦU .................................................................................................................. 1 1. Lý do chọn đề tài ..................................................................................................... 1 2. Mục tiêu của đề tài .................................................................................................. 2 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ........................................................................... 2 4. Nhiệm vụ nghiên cứu .............................................................................................. 2 5. Phương pháp nghiên cứu ......................................................................................... 2 6. Lịch sử nghiên cứu .................................................................................................. 2 7. Giả thuyết khoa học ................................................................................................ 3 8. Cấu trúc của đề tài ................................................................................................... 3 Phần 2. NỘI DUNG ................................................................................................................... 4 Chương 1. TỔNG QUAN LÝ THUYẾT VỀ CƠ HỌC LƯỢNG TỬ ........................ 4 1.1. NHỮNG CƠ SỞ VẬT LÝ CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ ................................... 4 1.1.1. Giả thuyết De Broglie ....................................................................................... 4 1.1.2. Lý thuyết về nguyên tử của Borh ...................................................................... 4 1.1.3. Hàm sóng của hạt vi mô .................................................................................... 5 1.1.4. Toán tử .............................................................................................................. 5 1.2. CÁC TOÁN TỬ THƯỜNG GẶP ........................................................................ 7 1.2.1. Toán tử tọa độ ................................................................................................... 7 1.2.2. Toán tử xung lượng ........................................................................................... 7 1.2.3. Toán tử năng lượng ........................................................................................... 8 1.2.4. Toán tử momen xung lượng .............................................................................. 8 1.3. TRỊ TRUNG BÌNH TRONG PHÉP ĐO CÁC BIẾN SỐ ĐỘNG LỰC .............. 9 1.3.1. Theo cơ học cổ điển .......................................................................................... 9 1.3.2. Theo cơ học lượng tử ........................................................................................ 9 1.4. HỆ THỨC BẤT ĐỊNH ...................................................................................... 10 1.4.1. Sai số của phép đo ........................................................................................... 10 1.4.2. Trị trung bình của bình phương độ lệch.......................................................... 10 iv 1.4.3. Hệ thức bất định Heisenberg ........................................................................... 10 1.5. PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER ................................................................ 11 1.5.1. Phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian ............................................... 11 1.5.2. Phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian .................................... 11 1.5.3. Chuyển động của hạt trong giếng thế có chiều sâu hữu hạn ........................... 12 1.5.4. Chuyển động của hạt trong giếng thế có chiều sâu vô hạn ............................. 13 1.5.5. Dao động tử điều hòa ...................................................................................... 15 1.6. PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ........... 15 1.6.1. Đạo hàm của toán tử theo thời gian ................................................................ 15 1.6.2. Phương trình chuyển động đối với x ............................................................... 15 1.6.3. Phương trình chuyển động đối với Px ............................................................. 16 1.6.4. Tích phân chuyển động ................................................................................... 16 1.7. LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN................................................................................. 16 1.7.1. Khái niệm ........................................................................................................ 16 1.7.2. Biểu diễn năng lượng (E – biểu diễn) ............................................................. 17 1.7.3. Biểu diễn xung lượng (P – biểu diễn) ............................................................. 17 1.7.4. Biểu diễn momen xung lượng (Lz – Biểu diễn) .............................................. 18 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 ....................................................................................................... 18 Chương 2. GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ PHẦN MỀM MATHEMATICA ....... 19 2.1. GIỚI THIỆU SƠ BỘ VỀ NGÔN NGỮ LẬP TRÌNH MATHEMATICA ....... 19 2.1.1. Giới thiệu......................................................................................................... 19 2.1.2. Giao diện tương tác của Mathematica............................................................. 20 2.1.3. Khai thác thư viện của Mathematica............................................................... 20 2.1.4. Các tính năng của Mathematica ...................................................................... 21 2.2. CÁC QUY TẮC CƠ BẢN CỦA MATHEMATICA VỀ NGỮ PHÁP ............. 21 2.2.1. Sử dụng các lệnh trực tiếp trong Mathematica ............................................... 22 2.2.2. Các phép toán cơ bản trong biểu thức ............................................................. 22 2.2.3. Sử dụng các kí hiệu đặc biệt trong Mathematica ............................................ 25 v 2.3. TÍNH TOÁN CƠ BẢN TRONG MATHEMATICA ........................................ 26 2.3.1. Tính giới hạn ................................................................................................... 26 2.3.2. Tính đạo hàm của hàm số................................................................................ 26 2.3.3. Tính tích phân ................................................................................................. 26 2.3.4. Giải phương trình và hệ phương trình............................................................. 27 2.4. CÁC KIỂU SỐ TRONG MATHEMATICA ..................................................... 28 2.5. CÁC PHÉP TÍNH TOÁN SỐ HỌC .................................................................. 28 2.5.1. Số nguyên ........................................................................................................ 28 2.5.2. Số hữu tỷ ......................................................................................................... 28 2.5.3. Số vô tỷ ........................................................................................................... 29 2.5.4. Số phức ............................................................................................................ 29 2.6. ĐỒ HỌA VỚI MATHEMATICA ..................................................................... 29 2.6.1. Đồ họa hai chiều.............................................................................................. 29 2.6.2. Đồ họa ba chiều ............................................................................................... 32 2.6.3. Các tùy chọn quan trọng chung cho các lệnh vẽ đồ thị................................... 34 2.7. MỘT SỐ LƯU Ý KHI SỬ DỤNG PHẦN MỀM MATHEMATICA ............... 35 KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 ....................................................................................................... 35 Chương 3. ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MATHEMATICA GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CƠ HỌC LƯỢNG TỬ....................................................................................... 37 3.1. BÀI TOÁN VỀ HÀM SÓNG CỦA HẠT VẬT CHẤT .................................... 37 3.2. BÀI TOÁN TÌM HÀM RIÊNG, TRỊ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ ....................... 39 3.3. BÀI TOÁN VỀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH TRONG PHÉP ĐO CÁC BIẾN SỐ ĐỘNG LỰC .............................................................................................................. 39 3.4. BÀI TOÁN TÌM NĂNG LƯỢNG CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA .......... 41 3.5. BÀI TOÁN VỀ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN ...................................................... 42 3.6. BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER PHỤ THUỘC THỜI GIAN ......................................................................................................................... 45 vi 3.7. BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER KHÔNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN .............................................................................................................. 46 KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 ....................................................................................................... 49 Phần 3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ................................................................................ 50 1. KẾT LUẬN ........................................................................................................... 50 2. KIẾN NGHỊ .......................................................................................................... 50 Phần 4. HƯỚNG PHÁT TRIỂN .......................................................................................... 51 Phần 5. TÀI LIỆU THAM KHẢO....................................................................................... 52 PHỤ LỤC...................................................................................................................................P1 vii DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 1.1. Chuyển động của hạt trong giếng thế có chiều sâu hữu hạn ............................ 12 Hình 1.2. Chuyển động của hạt trong giếng thế đối xứng................................................. 13 Hình 1.3. Chuyển động của hạt trong giếng thế không đối xứng ..................................... 14 Hình 2.1. Biểu tượng phần mềm Mathematica 8.0 ............................................................ 20 Hình 2.2. Bảng Basic Math Input trong giao diện của phần mềm Mathematica 8.0 ..... 24 viii DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU Bảng 2.1. Một số hàm cơ bản trong Mathematica ............................................................. 24 Bảng 2.2. Một số lệnh vẽ đồ thị trong Mathematica .......................................................... 34 ix DANH MỤC CÁC ĐỒ THỊ Đồ thị 2.1. Đồ thị hai chiều của hàm f(x). ........................................................................... 29 Đồ thị 2.2. Đồ thị hai chiều của ba hàm f1, f2, f3. ................................................................ 31 Đồ thị 2.3. Đồ thị hai chiều của một hàm 2 tham số. ......................................................... 31 Đồ thị 2.4. Đồ thị ba chiều của một hàm f(x,y) .................................................................. 32 Đồ thị 2.5. Đồ thị ba chiều của hai hàm f1, f2...................................................................... 33 Đồ thị 2.6. Đồ thị ba chiều của một hàm 3 tham số. .......................................................... 33 Đồ thị 3.1. Trạng thái hạt trong hố thế với bức tường cao vô hạn tại x =L. .................... 46 Đồ thị 3.2. Trạng thái hạt trong hố thế dịch chuyển tới vị trı́ x = 2L................................ 47 1 Phần 1. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Với sự phát triển hiện nay của nhiều ngành khoa học, chúng ta có thể dần khám phá ra những điều bí ẩn tồn tại trong thế giới tự nhiên. Một trong những ngành khoa học ngày càng phát triển đó là Vật lý. Trong quá trình học tập và lĩnh hội kiến thức về lý thuyết nói chung và lý thuyết vật lý nói riêng thì việc giải bài tập giữ một vai trò khá quan trọng. Nó giúp ta củng cố, nắm vững và hiểu sâu sắc hơn về phần lý thuyết đã học. Một trong những học phần trong chuyên ngành Vật lý được học ở đại học, cao đẳng đó là Cơ học lượng tử, đây là một bộ môn mới được hình thành vào đầu những năm 30 của thế kỷ XX. Cơ học lượng tử là một trong những lý thuyết cơ bản của Vật lý học. Nó là cơ sở của rất nhiều các chuyên ngành khác của vật lý như Vật lý chất rắn, Vật lý hạt…Cơ học lượng tử được coi là cơ bản hơn cơ học Newton vì nó cho phép mô tả chính xác và đúng đắn rất nhiều các hiện tượng vật lý mà cơ học Newton không thể giải thích được. Các tiên đoán của Cơ học lượng tử chưa bao giờ bị thực nghiệm chứng minh là sai sau thế kỷ. Như vậy, Cơ học lượng tử có tầm quan trọng rất lớn nên việc nghiên cứu Cơ học lượng tử là rất quan trọng đối với sinh viên vật lý. Thế nhưng đa số sinh viên vật lý lại gặp không ít khó khăn trong việc học tập môn học này do có hệ thống bài tập tương đối nhiều và đa dạng, tuy nhiên phần kiến thức toán học được dùng để giải các bài tập về chúng thì lại khá phức tạp, tốn nhiều thời gian và công sức. Hiện nay, trên thế giới đã có những phần mềm được sử dụng như là một công cụ mạnh trong lĩnh vực khoa học kỹ thuật cũng như trong lĩnh vực giáo dục, đào tạo và mang tính thực tiễn cao, Mathematica là một trong những phần mềm đó. Với những ưu điểm vượt trội về giao diện thân thiện, về khả năng vẽ đồ thị siêu việt và khả năng xử lý số liệu nhanh sẽ giúp cho việc xử lý các bài toán vật lý được nhanh chóng và thuận tiện. Xuất phát từ những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Ứng dụng phần mềm Mathematica giải một số bài toán về Cơ học lượng tử”. 2 2. Mục tiêu của đề tài - Nghiên cứu khai thác và sử dụng phần mềm Mathematica để giải các bài toán về Cơ học lượng tử. - Làm rõ được ưu điểm của việc sử dụng phần mềm Mathematica. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Các dạng bài tập trong Cơ học lượng tử. - Ngôn ngữ lập trình Mathematica với các tính năng tính toán. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Để đạt được mục tiêu đề ra, đề tài có những nhiệm vụ chính sau: - Nghiên cứu cơ sở lý thuyết về Cơ học lượng tử. - Khai thác các tính năng tính toán của phần mềm Mathematica. - Nghiên cứu sử dụng cú pháp, cấu trúc câu lệnh của phần mềm Mathematica để giải các bài toán về Cơ học lượng tử. 5. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý thuyết . - Phương pháp giải bài tập. - Phương pháp phân tích tổng hợp. - Sử dụng phần mềm Mathematica. 6. Lịch sử nghiên cứu Trong những năm qua có nhiều người đã ứng dụng phần mềm toán học Mathematica vào dạy giải bài tập vật lý phổ thông trung học ở các chương, các phần chẳng hạn như: - Sử dụng phần mềm toán học Mathematica để giải bài toán chương “ Dòng điện xoay chiều” vật lý 12 nâng cao. (Luận văn thạc sĩ chuyên ngành lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Vật lý – Nguyễn Thị Diệu Ly ). - Sử dụng phần mềm toán học Mathematica trong dạy học phần “Dao động và sóng điện từ” chương trình vật lý 12 trung học phổ thông. (Luận văn thạc sĩ chuyên ngành lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Vật lý – Hoàng Việt Hưng ). 3 - Sử dụng phần mềm toán học Mathematica để vẽ đồ thị. (Khóa luận tốt nghiệp Phạm Thị Hạnh Thảo). 7. Giả thuyết khoa học Đề tài được hoàn thành sẽ làm tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh viên chuyên ngành Vật lý nói chung và đồng thời xây dựng được cách học mới, đó là ứng dụng công nghệ thông tin trong việc giải quyết các bài toán vật lý khó và phức tạp. 8. Cấu trúc của đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, phụ lục và tài liệu tham khảo khóa luận gồm có 3 chương : Chương 1: Tổng quan lý thuyết về Cơ học lượng tử. Chương 2: Giới thiệu tổng quan về phần mềm Mathemetica. Chương 3: Ứng dụng phần mềm Mathematica giải một số bài toán về Cơ học lượng tử. 4 Phần 2. NỘI DUNG Chương 1. TỔNG QUAN LÝ THUYẾT VỀ CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 1.1. NHỮNG CƠ SỞ VẬT LÝ CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 1.1.1. Giả thuyết De Broglie Theo giả thuyết phôtôn thì bức xạ điện từ có tính chất như những dòng hạt. De Broglie đã nêu lên một giả thuyết về vấn đề này (năm 1924): một hạt tự do có năng lượng ߝ và xung lượngܲ ሬԦ tương ứng với một sóng phẳng có tần số góc߱ và véc tơ sóng݇ ሬԦ;߱ và݇ ሬԦ thỏa mãn hệ thức sau đây: ߱ħ ൌ ߝ ܲ ሬԦ ൌ ħ݇ሬԦ Với ħ =h2π ; trong đó h là hằng số Planck, hằng số này chung cho mọi loại hạt, nó có ý nghĩa rất quan trọng trong vật lý. Nhiều thí nghiệm kiểm chứng lại giả thuyết De Broglie đã chứng tỏ rằng: không những một chùm nhiều electron có tính chất sóng mà ngay cả từng electron chuyển động cũng có tính chất sóng. Theo giả thuyết về phôtôn và giả thuyết De Broglie thì ánh sáng cũng như các hạt vi mô vừa có tính chất sóng,vừa có tính chất hạt, người ta nói rằng chúng có lưỡng tính sóng hạt. Bước sóng λ của sóng De Broglie tương ứng là : ൌ ߣ ଶగ ௞ ൌ ଶగħ ௠௩ (1.1) Trong đó : v là vận tốc chuyển động của hạt ݇ ሬԦ là véc tơ sóng của hạt có độ lớn݇ ൌ ௠௩ ħ ൌ ௉ ħ 1.1.2. Lý thuyết về nguyên tử của Borh Để giải thích hiện tượng bền vững của nguyên tử và phổ phát xạ gián đoạn của nguyên tử khi bị kích thích, Borh dã đưa ra một giả thuyết lượng tử: Năng lượng E của nguyên tử chỉ có thể có những giá trị gián đoạn. E ൌ Eଵ , Eଶ , Eଷ , … E୬ , … Khi nguyên tử chuyển từ trạng thái có năng lượng En sang trạng thái có năng lượng Em thì nguyên tử phát ra bức xạ, lượng tử năng lượng ߝ của bức xạ 5 bằng hiệu năng lượng của trạng thái đầu E n và năng lượng của trạng thái cuối Em . Nếu gọi ωmn là tần số góc của bức xạ phát ra thì ta sẽ có : ħωmn ൌ En – Em (1.2) 1.1.3. Hàm sóng của hạt vi mô a. Biểu diễn trạng thái của hạt bằng hàm sóng Trạng thái bất kì của một hạt vi mô vào thời điểm t có thể biểu diễn bởi một hàm߰ ݎሺԦ, ݐሻ gọi là hàm sóng của hạt: ߰ ݎሺԦ, ݐሻ ൌ߰ ݁଴ ቂെ ݌ݔ ௜ ħ ݌ െ ݐܧሺݎԦԦሻቃ (1.3) b. Xác suất tìm thấy hạt trong một miền không gian Gọi ߩ là mật độ xác suất tìm thấy hạt tại điểm M, theo ý nghĩa thống kê của hàm sóng ta có: ߰ܥ ൌ ߩ ݎሺԦ, ݐሻ ଶ. Để đơn giản, chọn C=1 → ߰ ൌ ߩ ݎሺԦ, ݐሻ ଶ Xác suất tìm thấy hạt trong toàn bộ không gian: ܹ ൌ ݎሺߩ ׬ൌ ܸ݀ሻݐԦ, ߰׬ ݎሺԦ, ݐሻ ܸ݀ଶ (1.4) Vậy điều kiện chuẩn hóa hàm sóng được xác định bởi công thức: ߰׬ ݎሺԦ, ݐሻ ܸ݀ଶ ൌ 1 (1.5) Với: ߰ ݎሺԦ, ݐሻ ଶ ߰ൌ ∗ ݎሺ߰ሻݐԦ, ݎሺԦ, ݐሻ Hàm sóng thỏa mãn điều kiện trên được gọi là hàm sóng đã chuẩn hóa. Đối với hàm sóng đã chuẩn hóa thì xác suất tìm thấy hạt trong thể tích dV bao quanh điểm M có vectơ tia r là:݀ ൌ ݓ ߰ ݎሺԦ, ݐሻ ܸ݀ଶ Đối với hàm sóng chưa được chuẩn hóa thì:݀ ܥ ൌ ݓ ߰ ݎሺԦ, ݐሻ ܸ݀ଶ Trong đó C thỏa mãn điều kiện (1.5) →߰ܥ ׬ ݎሺԦ, ݐሻ ܸ݀ଶ ൌ 1 Nếu một hạt chuyển động theo trục x thì hàm sóng có dạng߰ ݎሺԦ, ݐሻ . Xác suất tìm thấy hạt trong khoảng từ x đến x + dx là: Nếu hàm sóng đã chuẩn hóa:݀ ൌ ݓ ߰ ሺݔ, ݐሻ ݀ଶ ݔ Nếu hàm sóng chưa chuẩn hóa:݀ ൌ ݓ టሺ௫,௧ሻ మ ௗ௫ ׬టሺ௫,௧ሻ మ ௗ௫ 1.1.4. Toán tử a. Khái niệm Toán tử là một thực thể toán học tác dụng lên một hàm bất kì (của x chẳng hạn) chuyển nó thành một hàm khác: 6 ܣ߰መ ݔሺ ߮ൌ ሻݔሺ (1.6) Với ܣመ là toán tử tác dụng lên hàm߰ ሻݔሺvà biến hàm này thành hàm߮ ሻݔሺ . Nếu tác dụng của toán tử ܣመ lên hàm߰ ሻݔሺ chỉ đơn giản là phép nhân hàm này cho một số a: ܣ߰መ ሻݔሺ ߮ܽൌ ሻݔሺ (1.7) Lúc đó ta nói rằng߰ ሻݔሺ là hàm riêng của toán tử ܣመ, a gọi là trị riêng của ܣመ . Tập hợp các trị riêng của ܣመ được gọi là phổ trị riêng. Phương trình (1.7) được gọi là phương trình cho trị riêng và hàm riêng của toán tử hay gọi tắt là phương trình trị riêng. b. Các phép tính toán tử - Phép cộng (trừ) toán tử: ܣ߰መ ሺݔሻ േ ܤ߰෠ ሺݔሻ ൌ ሺܣመ ൅ ܤ߰෠ሻ ሻݔሺ - Phép nhân toán tử: ܣܤመ߰෠ ሺݔሻ ൌ ܣܤመሺ߰෠ ሻሻݔሺ ܣܤመ൫ܥ෠෡ ൯ ൌ ሺ ܣܤመܥሻ ෡෡ - Giao hoán tử:ൣ ,ܣܤ ෡෠൧ ൌ ܣܤመ෠ െ ܤܣ෠መ - Phản giao hoán tử:ൣ ,ܣܤ ෡෠൧ ା ܣ ൌܤመ෠ ൅ ܤܣ෠መ c. Toán tử tự liên hợp Hermite Toán tử ܣመ được gọi là toán tử tự liên hợp hermite (toán tử hermite) khi và chỉ khi hệ thức sau được thỏa mãn: ߰׬ ∗ ܣ൫ൌ ܸ݀൯ ߮.መ ሻ ߰.መ ܣሺ ߮׬ ܸ݀∗ (1.8) Trong đó: ܣመ ∗ là một toán tử sao cho ܣመ ∗ ߮. ∗ ܣሺ ൌሻ߮መ ∗߮ là một hàm bất kì Các trị riêng của toán tử hermite là số thực: ܣ߮መ ௡ ܽൌ ሻݔሺ ߮௡ ௡ ሻݔሺ (1.9) Các hàm riêng tương ứng với hai trị riêng phân biệt của toán tử hermite là trực chuẩn: ߮׬ ௡ ∗ ߮.ሻݔሺ ௡ ߜ ൌ ܸ݀ሻݔሺ ௠,௡ (1.10) Với ߜ௠,௡ là kí hiệu Kronecker Khi m = n → ߜ௠,௡ ൌ 1 : hệ chuẩn hóa Khi m ≠ n → ߜ௠,௡് 1 : hệ trực giao 7 Các hàm riêng của toán tử hermite hợp thành một hệ đầy đủ: ߰ ሺݔሻ ൌ ∑ ܥ߮௡ ௡ ሻݔሺ (1.11) Với:߮ ௡ là hàm riêng của toán tử ܣመ ܥ௡ là hệ số phân tích, hệ số khai triển. Xác suất để toán tử ܣመ có giá trị ܣ௜ :ܹ ஺ି஺ ೔ ܥ ൌ௡ ଶ 1.2. CÁC TOÁN TỬ THƯỜNG GẶP 1.2.1. Toán tử tọa độ Xét trường hợp hạt chuyển động trên trục x, trạng thái của hạt mô tả bởi hàm sóng߰ ሻݔሺ. Giả sử߰ ሻݔሺ đã được chuẩn hóa. Phương trình trị riêng của toán tử tọa độ ܣመ là: ܣ߰መ ߰ݔ ൌ ሻݔሺ ሻݔሺ (1.12) Trong biểu diễn tọa độ thì tọa độ và hàm của tọa độ là phép nhân thông thường nên: ݔො ൌ ݔ vàܷ ෡ሺݔሻ ൌ ܷሺݔሻ Dựa vào tính chất hàm Delta: ݔ െ ݔሺ଴ ݔ െ ݔሺߜሻ଴ ሻ ൌ 0 Ta có: ݔ െ ݔሺߜݔ଴ ሻ ൌ ݔ଴ ݔ െ ݔሺߜ଴ ሻ hay ݔݔ െ ݔሺߜො଴ ሻ ൌ ݔ଴ ݔ െ ݔሺߜ଴ ሻ Lúc này người ta nói toán tử ݔො có hàm riêng ݔ െ ݔሺߜ଴ ሻ ứng với giá trị ݔ଴ . Trường hợp tổng quát, trong không gian 3 chiều toán tử tọa độ ݎԦመ có: - Dạng : ݎԦመ ݎ ൌԦ → ൝ ݔ ො ൌ ݔ ݕ ො ൌ ݕ ݖ ൌ ̂ݖ - Trị riêng : ݎԦ ൌ ݎ଴ሬሬሬԦ - Hàm riêng :߰ ௥బሬሬሬሬԦ ݎሺԦሻ ൌ ߜሺݎԦ െ ݎ଴ሬሬሬԦሻ với ߜሺݎԦ െ ݎ଴ሬሬሬԦሻ là hàm Delta-Dirac ba chiều. 1.2.2. Toán tử xung lượng Xét trường hợp hạt chuyển động trên trục x, trạng thái của hạt mô tả bởi hàm sóng߰ ሻݔሺ . Trong biểu diễn tọa độ theo trục x, toán tử xung lượng có: - Dạng :ܲ ሬԦ෠ ൌ െ݅ħ డ డ௫ - Trị riêng : liên tục - Hàm riêng :߰ ௉ೣ ሺݔሻ ൌ ଵ √ଶగħ݁ ቀ ೔ ħ ቁ.ሺ௉ೣ ௫ሻ Trường hợp tổng quát trong không gian 3 chiều, xung lượng có: 8 - Dạng :ܲ ሬԦ෠ ׏ħ݅െ ൌሬ ሬԦ → ۖە ۖ۔ ܲۓ෠௫ ൌ െ݅ħ డ ܲడ௫ ෠௬ ൌ െ݅ħ డ ܲడ௬ ෠௭ ൌ െ݅ħ డ డ௭ - Trị riêng :ܲ ෠ có giá trị liên tục - Hàm riêng :߰ ௉ሬԦ ݎሺԦሻ ൌ ଵ ሺ√ଶగħሻ ݁మయ ቀ ೔ ħ ቁ.ሺ௉ೣ ௫ା௉೤ ௬ ା௉೥ ௭ሻ ൌ ଵ ሺ√ଶగħሻ ݁మయ ቀ ೔ ħ ቁ.௉ሬԦ௥Ԧ Các toán tử xung lượng cũng là các toán tử hermite. 1.2.3. Toán tử năng lượng Hàm năng lượng tương ứng với toán tử năng lượng có: - Dạng : ܪ෡ ൌ െ ħ మ ଶ௠ ∆ ൅ ܷሺݎ Ԧ ) - Phương trình trị riêng: ܪ߰෡ ݎሺԦሻ ൌ ߰ܧ ݎሺԦሻ (1.13) hay ߰∆ ݎሺԦሻ ൅ ଶ௠ ħమ ߰Ԧሻሿ ݎሺ ܷെ ܧሾ ݎሺԦሻ ൌ 0 (1.14) Với ∆ là toán tử Laplace. - Trường hợp hạt chuyển động một chiều theo trục x thì phương trình trị riêng có dạng: ௗ మ టሺ௫ሻ ௗ௫ మ ൅ ଶ௠ ħమ ܷെ ܧሾ ߰ሻሿݔሺ ሺݔሻ ൌ 0 (1.15) 1.2.4. Toán tử momen xung lượng Toán tử momen xung lượng có dạng : ܮሬԦ෠ ݎ ൌԦመ.ܲ ሬԦ෠ Trong đó : ݎԦ,ܲ ሬԦ lần lượt là vec tơ định vị và vec tơ xung lượng của hạt. Các thành phần của toán tử mômen xung lượng trong hệ tọa độ Descartes có dạng : ەۖ ۔ۖ ۓܮሬԦ෠ ௫ ൌ െ݅ħ ቀݕ డ డ௭ ݖ െ డ డ௬ ቁ ൌ ܲݕ ෠௭ ෠ ܲݖ െ ௬ ܮሬԦ෠ ௬ ൌ െ݅ħ ቀݖ డ డ௫ ݔ െ డ డ௭ ቁ ൌ ܲݖ ෠௫ ෠ ܲݔ െ ௭ ܮሬԦ෠ ௭ ൌ െ݅ħ ቀݔ డ డ௬ ݕ െ డ డ௫ ቁ ൌ ܲݔ ෠௬ ෠ ܲݕ െ௫ (1.16) Với ܮ෠ là toán tử hermite. 9 Khi khảo sát momen xung lượng người ta thường xét hai toán tử đó là toán tử hình chiếu momen xung lượng trên trục z (ܮ෠ ௭) và toán tử momen xung lượng toàn phần hay gọi là toán tử bình phương momen ܮ෠ଶ. Toán tử ࡸ෠ ࢠ Trong tọa độ Descartes toán tử có: - Dạng : ܮ෠ ௭ ൌ െ݅ħ డ డ∅ - Trị riêng : ܮ௭ ħ ݉ൌ có giá trị gián đoạn: ܮ௭ ൌ 0ħ, േ1ħ, േ2 ħ … - Hàm riêng :߰ ௫ ሺ∅ሻ ൌ ଵ ݁√ଶగ ௜௠∅ Toán tử bình phương momen xung lượng ࡸ෠ ૛ Trong tọa độ cầu toán tử này có: - Dạng : ܮ෠ଶ ൌ െħ ଶ ∆ ఏ,∅ Với ∆ఏ,∅ là phần góc của toán tử Laplace trong hệ tọa độ cầu và có dạng như sau : ∆ఏ,∅ ൌ ଵ ௦௜௡ మ ఏ ߠ݊݅ݏቂ డ డఏ ߠ݊݅ݏቀ డ డఏ ቁ ൅ డ మ డ మ ∅ ቃ (1.17) - Phương trình trị riêng: െħଶ ∆߰∅,ఏ ሺߠ, ∅ሻ ൌ ܮ߰ଶ ሺߠ, ∅ሻ (1.18) Trong đó : ܮଶ ൌ ħ ݈ଶ ሺ ݈൅ 1 ሻ hay ܮൌ ħඥ ݈ሺ ݈൅ 1 ሻ, với݈ nhận các giá trị khả dĩ 0,1,2,… - Hàm riêng :߰ ሺߠ, ∅ሻ ൌܻ ௜௠ ሺߠ, ∅ሻ ൌܲ ௜௠ ݁ሻߠݏ݋ܿሺ ௜௠∅ 1.3. TRỊ TRUNG BÌNH TRONG PHÉP ĐO CÁC BIẾN SỐ ĐỘNG LỰC 1.3.1. Theo cơ học cổ điển Nếu trong phổ gián đoạn thì: ݔ̅ ൌ ∑ ݔܹ௜ ௜ ௡ ௜ୀଵ Với: ݔ௜ giá trị đo được ở lần thứ i. ܹ ௜ xác suất tại i. Nếu trong phổ liên tục thì: ݔ ׬ ൌ ̅ݔ௔ ܹ݀. ௔ 1.3.2. Theo cơ học lượng tử Xét đại lượng vật lý L có giá trị trung bình ܮത ܮ߰׬ ൌ ത ∗ ܮ .ܸ݀. ߰.෠ (1.19) Chú ý:߰ phải là hàm sóng chuẩn hóa. 10 1.4. HỆ THỨC BẤT ĐỊNH 1.4.1. Sai số của phép đo Độ lệch ܮ∆ cho biết độ chính xác của quá trình đo: ܮ െ ܮ ൌ ܮ∆ത (1.20) ܮ∆ ⇒തതതത ൌ ܮെ ܮതതതതതതതത ܮ ൌത െ ܮതത ܮ ൌത െ ܮത ൌ 0 Với: ∆ ܮൌ ∞: độ bất định. ∆ ܮൌ 0: độ chính xác cao. 1.4.2. Trị trung bình của bình phương độ lệch ሻܮሺ∆ ଶതതതതതതത ൌ ሺ ܮെ ܮതሻଶതതതതതതതതതതത ܮ ൌଶ ܮܮ2 െത ൅ ሺܮതሻ ଶതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതത ܮ ൌଶഥ ܮ2 െܮതതത ܮሺ ൅തሻ ଶതതതതതത ܮ ൌଶഥ െ 2ሺܮതሻଶ ܮሺ ൅തሻ ଶ ⇒ ሺ∆ܮሻ ଶതതതതതതത ܮ ൌଶഥ ܮሺ െതሻ ଶ 0 (1.21) Với: ሻܮሺ∆ଶതതതതതതത : trị toàn phương trung bình ሻܮൌ ටሺ∆ ܮߜ ଶതതതതതതത : thăng giáng hoặc là độ bất định của phép đo đại lượng L. 1.4.3. Hệ thức bất định Heisenberg Toán tử ܮ෠và ܯ෡ được đo chính xác đồng thời khi và chỉ khi: ൣ ܯ ,෠ܮ෡൧ ൌ 0 ݄ܽ ݕൣ ܮ ܯ ,෠෡൧ ൌ݅ ܥመ (1.22) Với: ܥመ là toán tử hermite Hệ thức bất định Heisenberg: ሻܮሺ∆ଶതതതതതതത. ሺ∆ܯሻ ଶതതതതതതതത ൐ ሺ஼̅ሻ మ ସ (1.23) Hay ൐ ܯߜ .ܮߜ ஼̅ ଶ (1.24) a. Hệ thức bất định Heisenberg đối với tọa độ và xung lượng ܲߜ .ݔߜ ௫ ൒ ħ ଶ (1.25) Nếu tọa độ được xác định một cách chính xác thì xung lượng sẽ hoàn toàn bất định và ngược lại, hay nói cách khác tọa độ và xung lượng của hạt vi mô không đồng thời đo được chính xác. Chính vì thế không thể xác định được quỹ đạo chính xác của hạt, đây chính là ý nghĩa quan trọng của hệ thức bất định Heisenberg đối với tọa độ và xung lượng. 11 b. Hệ thức bất định Heisenberg đối với năng lượng và thời gian ൒ ݐߜ .ܧߜ ħ ଶ hay ∆ .ܧ∆ݐ ൒ ħ ଶ (1.26) Hệ thức này có ý nghĩa như sau: - Nếu trạng thái của hạt có năng lượng càng xác định (ܧ∆ càng nhỏ) thì thời gian sống của hạt càng lâu (ݐ∆ càng lớn) và ngược lại. Riêng trạng thái có năng lượng xác định (trạng thái dừng) là trạng thái có thời gian sống vô hạn. - Nếu hạt ở trạng thái kích thích trong khoảng thời gian ݐ∆ thì độ bất định về năng lượng là ܧ∆ . - Khi đo năng lượng trong khoảng thời gian ݐ∆ thì gặp phải một sai số là ܧ∆ 1.5. PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER Phương trình Schrodinger là phương trình cơ bản của Cơ học lượng tử, vai trò của nó trong Cơ học lượng tử cũng giống như vai trò của phương trình Newton trong cơ học cổ điển. 1.5.1. Phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian Tiên đề V trong Cơ học lượng tử đưa ra một phương trình tổng quát diễn tả sự thay đổi của hàm trạng thái theo thời gian, phương trình đó gọi là phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian ݅ ħ డటሺ௥ Ԧ,௧ሻ డ௧ ܪ ൌ߰෡ ݎሺԦ, ݐሻ (1.27) Trong đó, ܪ෡ là Hamiltonian của hệ được định nghĩa như sau: ܪ෡ ൌ ܶ෠ ൅ ܷ෡ ൌ െ ħ మ ଶ௠ ׏ଶ ܷ൅ ݎሺԦ, ݐሻ (1.28) ߰ ݎሺԦ, ݐሻ là hàm mô tả trạng thái của hệ. 1.5.2. Phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian Phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng: ߰ ௡ ݎሺԦ, ݐሻ ൌ߰ ௡ ݎሺ݁.Ԧሻ ష೔ಶ೙೟ ħ (1.29) Nghiệm của phương trình có dạng: ߰ ௡ ߰ൌ ሻݐ ,ݔሺ ௡ ݁.ሻݔሺ ష೔ಶ೙೟ ħ (1.30) Do tính chất tuyến tính của phương trình nên nghiệm tổng quát của phương trình có dạng khác nhau tùy vào phổ trị riêng gián đoạn hay liên tục: 12 Khi ܪ෡ có phổ trị riêng gián đoạn: ߰ ୬ ሺx, tሻ ൌ ∑ C߰୬ ୬ ሺxሻe ష౟ు౤౪ ħ ൌ ∑ C୬ ߰ሺtሻ ୬ ሺxሻ୬ (1.31) Khi ܪ෡ có phổ trị riêng liên tục: ߰ ୬ ሺx, tሻ ൌ ׬ C ߰୉ ୉ ሺrԦሻe ష౟ు౪ ħ ൌ ׬ C୉ ߰ሺtሻ ୉ ሺrԦሻ dE (1.32) Trong đó, các hệ số C n(t) và CE (t) được xác định từ điều kiện ban đầu. Phương trình Schrodinger có nghiệm ứng với bất kỳ giá trị nào của E, nhưng không phải giá trị nào của ܧ cũng ứng với một trạng thái vật lý, mà chỉ có những trạng thái thỏa mãn các điều kiện tiêu chuẩn của hàm sóng đó là phải đơn trị, liên tục và hữu hạn mới ứng với một trạng thái vật lý. Trong khóa luận này chỉ xét chuyển động 1 chiều. 1.5.3. Chuyển động của hạt trong giếng thế có chiều sâu hữu hạn U(x) I II III -a 0 a x Hình 1.1. Chuyển động của hạt trong giếng thế có chiều sâu hữu hạn Nếu hạt chuyển động trên một đường thẳng, thế năng U(x) có dạng biểu diễn trên hình 1.1: ܷ ሺݔሻ ൌ ൜ ݄݅݇0 ܷܽ൑ ݔ ଴ ݄݅݇, ݔ൒ , ܽሺ ܧ൒ܷ ଴ ሻ (1.33) Phương trình Schrodinger trong miền x  a: డ మ ఝሺ௫ሻ డ௫ మ ൅ ா.ଶ.௠ ħ߮మ ሺݔሻ ൌ 0 (1.34) Phương trình có nghiệm tổng quát:߮ ூூ ሻݔ݇ሺ݊݅ݏܤ ൅ ሻ ݔ݇ሺ ݏ݋ܿܣ ൌ ሻݔሺ , với ݇ ଶ ൌ ா.ଶ.௠ ħమ Phương trình Schrodinger trong miền x > a: డ మ ఝሺ௫ሻ డ௫ మ ൅ ሺாି௎ ሺ௫ሻሻ.ଶ.௠ ħ߮మ ሺݔሻ ൌ 0 (1.35) 13 Phương trình có nghiệm tổng quát :߮ ܫ ሺݔሻ ߮ൌ ܫܫܫ ሺݔሻ ݁ܥ ൌ ݔܭ ݁ܦ ൅ ݔܭെ , với ܭ2 ൌ ܷെܧሺ ሺ ݔሻ ሻ.2.݉ ħ2 Điều kiện biên: ߮ቊ ܫܫܫ ሺ ݔሻ ஶ ߮0 ൌ ܫ ሺ ݔሻ ି ஶ ൌ 0 Điều kiện liên tục:߮ቊ ܫ ሺ ܽെ ߮ൌ ሻ ܫܫ ሺ ܽെ ߮ሻ ܫܫܫ ܽሺ ߮ൌ ሻ ܫܫܫ ܽሺ ሻ Mặt khác ta có: ߮ቊ ܫ ᇱ ሺܽെ ߮ൌ ሻ ܫܫ ᇱ ሺ ܽെ ߮ሻ ܫܫܫ ᇱ ܽሺ ߮ൌ ሻ ܫܫܫ ᇱ ܽሺ ሻ Từ các điều kiện trên ta suy ra được: ൝ ݉.2.ܧ ħ2 ݊ܽݐ ଶ ܽ݇ሺ ሻ ൌ ݉.2 ħ2 ܷሺ ଴ ሻܧെ ݉.2.ܧ ħ ܿ2 ݐ݋ ଶ ܽ݇ሺ ሻ ൌ ݉.2 ħ 2 ܷെ ܧሺ ଴ ሻ (1.36) Vậy năng lượng của hạt chuyển động trong hố thế có bề sâu hữu hạnܷ ଴ chỉ có thể có một giá trị gián đoạn ܷ൏ ܧ ଴ (E thể hiện tính chất lượng tử). Có thể chứng minh được rằng trong trường hợpܷ൐ ܧ ଴ thì năng lượng thể hiện giá trị liên tục. 1.5.4. Chuyển động của hạt trong giếng thế có chiều sâu vô hạn a. Giếng thế đối xứng  U x x a 0 a Hình 1.2. Chuyển động của hạt trong giếng thế đối xứng Thế năng có dạng biểu diễn trên hình 1.2: ܷ൜ ܷܽ൏ ݔ ൏ ܽെ ݄݅݇,0 ൌ ሻݔሺ ݄݅݇,∞ → ሻݔሺ ܽ൒ ݔ (1.37) Phương trình Schrodinger cho hạt chuyển động trong hố thế: డ మ ఝሺ௫ሻ డ௫ మ ൅ ா.ଶ.௠ ħ ߮మ ሺݔሻ ൌ 0 (1.38) 14 Phương trình có nghiệm dạng tổng quát là :߮ ܫܫ ሺݔሻ ݏ݋ܿܣ ൌ ݇ሺݔ ሻ ሻݔ݇ሺ݊݅ݏܤ ൅ , với݇ 2 ൌ ݉.2.ܧ ħ 2 Điều kiện biên: ߮൜ ሺ ܽെ ሻ ߮0 ൌ ܽሺ ሻ ൌ 0 Vậy hàm sóng của hạt có dạng:߮ ሺݔሻ ൌ ቐ ଵ ܿ√௔ ݏ݋ ௡గ௫ ଶ௔ , ݊ൌ 3,5,7 … ଵ √௔ ݊݅ݏ ௡గ௫ ଶ௔ , ݊ൌ 2,4,6 … Năng lượng của hạt ở trạng thái thứ n: ܧ௡ ൌ ħ మ ଶ௠ గ మ ௡ మ ସ௔ మ ሺ ݊ൌ 1,2,3. . ሻ (1.39) b. Giếng thế không đối xứng U (x) x 0 a Hình 1.3. Chuyển động của hạt trong giếng thế không đối xứng Xét một hạt chuyển động trên đường thẳng, nếu thế năng U(x) có giá trị như sau:ܷ ሺݔሻ ൌ ൜ ܽ൑ ݔ ൑ 0 ݄݅݇,0 ݄݅݇,∞ ݔ൏ 0 và ܽ൐ ݔ (1.40) Phương trình Schrodinger cho hạt chuyển động trong hố thế: డ మ ఝሺ௫ሻ డ௫ మ ൅ ா.ଶ.௠ ħ߮మ ሺݔሻ ൌ 0 (1.41) Phương trình có dạng tổng quát là:߮ ሻݔ݇ሺ݊݅ݏܤ ൅ ሻ ݔ݇ሺ ݏ݋ܿܣ ൌ ሻݔሺ , với݇ 2 ൌ ݉.2.ܧ ħ 2 Điều kiện biên: ߮൜ ሺ 0ሻ ߮0 ൌ ܽሺ ሻ ൌ 0 Vậy hàm sóng của hạt ở trạng thái dừng là:߮ ሺݔሻ ൌ ට ଶ ௔ ݊݅ݏ ௡గ௫ ௔ Ta có biểu thức năng lượng của hạt trong hố thế là : ܧ௡ ൌ ħ మ ଶ௠ గ మ ௡ మ ௔ మ ሺ ݊ൌ 1,2,3. . ሻ (1.42) 15 Hay ܧ௡ ݊ൌ ଶ ܧ଴, trong đó ܧ଴ ൌ గ మħ మ ଶ௠௔ మ là năng lượng ứng với n=1 và được gọi là năng lượng của hạt ở trạng thái cơ bản. Như vậy, hạt ở trong hố có thể được tìm thấy với một trong các giá trị năng lượng: E଴ , 4E଴ , 9E଴ , 16E଴ … 1.5.5. Dao động tử điều hòa Phương trình Schrodinger cho dao động tử điều hòa: ௗ మ టሺ௫ሻ ௗ మ ௫ ൅ ଶ௠ ħమ െ ܧቀ ௠ఠ మ ௫ మ ଶ ߰ቁ ሺݔሻ ൌ 0 (1.43) Năng lượng của dao động tử điều hòa có giá trị gián đoạn và được xác định bởi công thức: ܧ௡ ൌ ħ߱ሺ݊ ൅ ଵ ଶ ሻ (1.44) Với n là một số nguyên dương. Mức năng lượng thấp nhất của dao động tử điều hòa ứng với n = 0 là ܧ଴ ൌ ħఠ ଶ 1.6. PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 1.6.1. Đạo hàm của toán tử theo thời gian Đạo hàm theo thời gian của toán tử ܮ෠, kí hiệu ˆ dL dt , là một toán tử ܣመ được xác định sao cho giá trị trung bình ̅ܣ của nó bằng đạo hàm theo thời gian của giá trị trung bình ܮത của toán tử ܮ෠. Nếu ܮ߰׬ ൌ ത ∗ ܣൌ ݔ݀߰መ ௗሺ௅ തሻ ௗ௧ thì ܣመ ൌ ௗ௅ ෠ ௗ௧ ⇒ ௗ௅ ෠ ௗ௧ ൌ డ௅ ෠ డ௧ ܪ൛ ൅ܮ ,෡෠ൟ , với ܪ൛ܮ ,෡෠ൟ ൌ ௜ ħ ܪ൫ܮ෡෠ െ ܮܪ෠෡൯ là dấu ngoặc Poátxông lượng tử. Phương trình này được gọi là phương trình Heisenberg. Nếu toán tử ܮ෠ không phụ thuộc rõ vào thời gian thì: ௗ௅ ෠ ௗ௧ ܪ൛ ൌܮ ,෡෠ൟ (1.45) 1.6.2. Phương trình chuyển động đối với x Áp dụng phương trình Heisenberg, chọn toán tử ܮ෠ ൌ ݔො với ܮ෠ không phụ thuộc rõ vào thời gian, ta có: ௗ௫ ௗ௧ ܪ൛ ൌݔ ,෡ොൟ (1.46) Với ܪ෡ ൌ ௉෠ೣ మ ା ௉෠ ೤ మ ା ௉෡ ೥ మ ଶ௠ ݕ ,ො ݔሺ ܷ൅ො, ݖ̂ሻ 16 Vì ൛ܪݔ ,෡ොൟ ൌ ௜ ଶ௠ħ ሺെ2݅ħܲ ෠௫ ሻ ൌ ௉ ෠ೣ ݊ ௠ ݊ê : ௗ௫ ௗ௧ ൌ ௉ ෠ೣ ௠ (1.47) Biểu thức (1.47) chính là phương trình chuyển động đối với x. 1.6.3. Phương trình chuyển động đối với Px Áp dụng phương trình Heisenberg, chọn toán tử ܮ෠ ൌܲ ෠௫ với ܮ෠ không phụ thuộc rõ vào thời gian, ta có: ௗ௉ ෠ೣ ௗ௧ ܪ൛ ൌ෡,ܲ ෠௫ ൟ (1.48) Vớiܪ෡ ൌ ௉෠ೣ మ ା ௉෠ ೤ మ ା ௉෡ ೥ మ ଶ௠ ݕ ,ො ݔሺ ܷ൅ො, ݖ̂ሻ Vìܲൣ ෠௫ , ܷሺݔሻ൧ ൌ ሺെ݅ħሻ డ௎ డ௫ ܷ⇒ൣ ሺݔሻ,ܲ ෠௫ ൧ ൌ݅ ħ డ௎ డ௫ Nên ௗ௉ ෠ೣ ௗ௧ ൌ ௜ ħ ħ݅ቀ డ௎ డ௫ ቁ ൌ െ డ௎ డ௫ Vậy ௗ௉ ෠ೣ ௗ௧ ൌ െ డ௎ డ௫ (1.49) Biểu thức (1.49) được gọi là phương trình chuyển động đối vớiܲ ෠௫ . 1.6.4. Tích phân chuyển động Trong Cơ học lượng tử, nếu toán tử ܮ෠ có đạo hàm theo thời gian bằng không : ௗ௅ ෠ ௗ௧ ൌ 0 thì đại lượng L được gọi là tích phân chuyển động. Theo phương trình Heisenberg nếu L là tích phân chuyển động thì: డ௅ ෠ డ௧ ܪ൛ ൅ܮ ,෡෠ൟ ൌ 0 (1.50) Trường hợp nếu ܮ෠ không phụ thuộc rõ vào thời gian thì ta có: ܪ൛ܮ ,෡෠ൟ ൌ 0 Nghĩa là đối với tích phân chuyển động (không phụ thuộc rõ vào thời gian) thì dấu ngoặc Poátxông lượng tử bằng không. 1.7. LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN 1.7.1. Khái niệm Để biểu diễn trạng thái của một hệ người ta sử dụng hàm sóng߰ ௔ ሻݐ ,ݔሺ là hàm của tập hợp các tọa độ x ở thời điểm t. Trong đó: a là các đại lượng vật lý (các lượng tử số) x là chỉ số biểu diễn 17 Trong biểu diễn tọa độ Khi hàm sóng phụ thuộc vào tọa độ, thời gian và mật độ xác suất tìm thấy hạt: ߰ห ௔ ሻหݔሺ ଶ thì hàm sóng đó được gọi là hàm của tọa độ và ta nói hàm đó đã được cho trong biểu diễn tọa độ hay trong x- biểu diễn. Trong biểu diễn tọa độ, các toán tử có dạng: ݔො ൌ ܲ ;ݔ ෠௫ ߲߲ħ݅െ ൌݔ ܮ ;෠ ௭ ߲߲߮ħ݅െ ൌ ܮ ;෠ଶ ൌ െħ ଶ ∆߮,ఏ Xét một toán tử ˆL biểu diễn một biến số động lực có hàm riêng߮ ௡ ሻݔሺ . Phương trình trị riêng có dạng: ܮ߮෠ ௡ ߮ܮ ൌ ሻݔሺ ௡ ሻݔሺ (1.51) Trong đó:߮ ௡ ሻݔሺ là hàm riêng của toán tử ܮ෠ trong x - biểu diễn ߮ ௡ ∗ ሻݔሺ là hàm riêng của toán tử ݔො trong L - biểu diễn Cn là hàm sóng trong L - biểu diễn Với : ܥ௡ ߮׬ ൌ ௡ ߰∗ ௔ ݔ ݀ሻݔሺ ߰ ௔ ሺݔሻ ൌ ∑ ܥ߮௡ ௡ ሻݔሺ௡ 1.7.2. Biểu diễn năng lượng (E – biểu diễn) Xét trạng thái của một hạt chuyển động trong trường ngoài có năng lượng âm, như vậy trị riêng của năng lượng En là gián đoạn. Phương trình trị riêng có dạng: ܪ߮෡ ௡ ሺݔሻ ൌ ܧ߮௡ ௡ ሻݔሺ (1.52) Trong đó:߮ ௡ ሻݔሺ là hàm riêng của toán tử ܪ෡ trong x- biểu diễn ߮ ௡ ∗ ሻݔሺ là hàm riêng của toán tử ݔො trong E - biểu diễn ܥ௡ ߮׬ ൌ ௡ ߰∗ ௔ ݔ݀ሻݔሺ : là hệ số khai triển hay hàm sóng của trạng thái a trong E –biễu diễn. ܥ௡ ૛ là xác suất để năng lượng đạt giá trị ܧ௡ 1.7.3. Biểu diễn xung lượng (P – biểu diễn) Xét toán tử xung lượng có hàm riêng߮ ௉ ሻݔሺ ứng với trị riêng p. Phương trình trị riêng có dạng: ܪ߮෡ ௉ ߮ܲൌ ሻݔሺ ௉ ሻݔሺ (1.53) Hàm sóng߰ ሻݔሺ theo hàm riêng toán tử xung lượng߰ ௉ ሻݔሺ: ߰ ܥ ׬ ൌ ሻݔሺ߰௉ ௉ ݌݀ሻݔሺ (1.54) 18 Trong đó:߰ ௉ ሻݔሺ là hàm sóng trong biễu diễn tọa độ ߮ ௉ ሻݔሺ là hàm riêng của toán tửܲ ෠ trong x- biểu diễn ߮ ௉ ∗ ሻݔሺ là hàm riêng của toán tử ݔො trong P – biểu diễn ܥ௉ ߮׬ ൌ ௉ ߰∗ ௉ ݔ݀ሻݔሺ : hệ số khai triển hay hàm sóng của trạng thái a trong P – biễu diễn. ܥ௉ ૛ là xác suất để năng lượng đạt giá trị p 1.7.4. Biểu diễn momen xung lượng (Lz – Biểu diễn) Xét toán tử hình chiếu momen động lượng trên trục x có hàm riêng߮ ௠ ሻݔሺ và trị riêng ܮ௭. Phương trình trị riêng có dạng: ܮ෠ ߮௭ ௠ ሺݔሻ ൌ ܮ ߮௭ ௠ ሻݔሺ (1.55) Trong đó:߰ ௠ ሺݔሻ ൌ ଵ √ଶగħ݁ ೔ ħ ௉௫: hàm sóng trong biễu diễn tọa độ ߮ ௠ ൌ ଵ ݁ଶగ ௜௠ఝ: là hàm riêng của toán tử ܮ෠ ௓ trong x - biểu diễn ߮ ௠ ∗ ሻݔሺ: hàm riêng của toán tử ݔො trong L z - biểu diễn ܥ௠ ߮׬ ൌ ௠ ݉߰∗ ሺ ݔݔ݀ሻ : hệ số khai triển hay hàm sóng của trạng thái a trong P – biễu diễn. ܥ௠ ૛ là xác suất để momen động lượng đạt giá trị Lz KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 Qua việc tìm hiểu cơ sở lý thuyết, trong chương đầu tiên chúng tôi đã trình bày tổng quan về Cơ học lượng tử bao gồm một số vấn đề như sau: - Tı̀m hiểu cơ sở vật lý của cơ học lượng tử, khái niệm hàm sóng của hạt, toán tử, trị trung bı̀nh của các biến số động lực, phương trı̀nh Schrodinger, phương trı̀nh chuyển động trong Cơ học lượng tử và lý thuyết biểu diễn. - Đồng thời đưa ra các tı́nh chất của toán tử để tı́nh toán; các công thức để: xác định hàm sóng, tı́nh trị trung bı̀nh, giải phương trình Schrodinger, tı́nh năng lượng, tı̀m xác suất tı̀m thấy hạt và mật độ dòng xác suất… Đây sẽ là cơ sở cho việc ứng dụng phần mềm Mathematica giải các bài toán về Cơ học lượng tử. 19 Chương 2. GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ PHẦN MỀM MATHEMATICA 2.1. GIỚI THIỆU SƠ BỘ VỀ NGÔN NGỮ LẬP TRÌNH MATHEMATICA 2.1.1. Giới thiệu Trong các môn học ứng dụng cần giải quyết các bài toán cụ thể với thời gian nhanh nhất là yêu cầu cấp thiết. Thế hệ ngôn ngữ giải tích đầu tiên là Macsyma, Reduce…ra đời từ những năm 60 của thế kỷ XX. Các ngôn ngữ này chủ yếu dùng cho bài toán giải năng lượng cao. Nhược điểm của chúng là định hướng trên các máy tính lớn. Thế hệ tiếp theo là Maple, Mathlab, Mathematica… Các ngôn ngữ này có ưu điểm là chạy nhanh hơn và chấp nhận bộ nhớ nhỏ hơn chạy hoàn hảo trên máy tính cá nhân. Nổi bật lên là Mathematica với ưu điểm vượt trội về giao diện thân thiện, khả năng vẽ đồ thị siêu việt và khả năng tính toán không thua kém gì các ngôn ngữ khác. Mathematica là một công cụ mạnh với hơn 700 hàm có trong thư viện của hàm để giải quyết các vấn đề nêu trên. Mathematica là môi trường ngôn ngữ tích hợp đầy đủ nhất cho các tính toán kỹ thuật được sử dụng cho các ngành khoa học vật lý, công nghệ, toán học và các lĩnh vực khác của kỹ thuật máy tính. Mathematica là thế hệ thứ 3 của dạng ngôn ngữ dựa trên nguyên lý xử lý các dữ liệu tượng trưng. Nó là ý tưởng của Stephen Wolfram, người được xem là nhà sáng tạo quan trọng nhất trong lĩnh vực khoa học tính toán. Version đầu tiên của Mathematica được công bố ngày 2361988. Trong những năm tiếp theo, việc sử dụng Mathematica ngày càng nhiều nên Stephen Wolfram đã cho ra đời nhiều phiên bản như Mathematica 5.0, 6.0, 7.0, 8.0, 9.0… Mathematica ngoài thế mạnh về ngôn ngữ tự nhiên, gần gũi được viết dưới dạng ngôn ngữ tự nhiên trong định dạng tự do và chuyển hoá điều kiện thành cú pháp ngôn ngữ riêng của mathematica. Các phiên bản về sau có thêm nhiều chức năng mới như về lý thuyết xác suất thống kê, khả năng phân tích hình ảnh, đồ hoạ, lồng ghép...Trong giới hạn thời gian và khả năng cho phép chúng tôi xin giới thiệu với các bạn các lưu ý và những thao tác cần thiết trong việc khai báo khi tính toán và vẽ đồ thị khi làm việc với phần mềm mathematica 8.0 . 20 Hình 2.1. Biểu tượng phần mềm Mathematica 8.0 2.1.2. Giao diện tương tác của Mathematica Mathematica đưa ra một giao diện rất thân thiện với người được sử dụng, được đặt tên là bản ghi (notebook – thường được gọi tắt là nb). Các bản ghi là dạng của số biểu diễn một lượt sử dụng Mathematica bao gồm đầy đủ các ghi chép cả về chương trình nguồn, cả về kết quả thực hiện trên cùng một bản ghi và được ghi lại dưới dạng một file riêng của Mathematica có đuôi là nb. Các bản ghi được tổ chức thành các ô (cell) một cách có trật tự và thứ bậc. Ta có thể nhóm một nhóm ô lại sao cho chỉ thấy ô đầu của nhóm ô đó (với số nhóm lồng tùy ý). Mathematica còn đưa ra một giao diện phụ là các bảng lệnh (palettes) và các nút lệnh (Button). Người sử dụng chỉ cần nhấp chuột rất đơn giản và có thể tùy biến theo ý mình. 2.1.3. Khai thác thư viện của Mathematica Một trong những kĩ năng quan trọng mà người học cần thành thạo khi sử dụng Mathematica là khai thác thư viện của Mathematica. Có thể nói thư viện của Mathematica chứa một lượng lớn kiến thức toán học khổng lồ với các định nghĩa khá chi tiết giúp người học có thể tự học và làm việc trên Mathematica. Việc khai thác thư viện tiến hành cũng rất đơn giản trong mục Help ( Help Browser). Trong đó có một số phương pháp khai thác cơ bản : Khai thác đối tượng theo tên: 21 - Gõ chữ cái (ví dụ chữ A) nếu đối tượng cần tìm hiểu có tên bắt đầu bằng chữ cái đó (chữ A). - Gõ tên đối tượng vào mục tìm kiếm nếu biết tên đối tượng. Khai thác đối tượng theo chuyên mục (vẽ hình, tính giải tích,…) - Tìm đối tượng trong các chuyên mục của Built-in Functions,…Trong các chuyên mục này đều có định nghĩa, giới thiệu cú pháp, hướng dẫn và ví dụ minh họa để bạn đọc tham khảo. 2.1.4. Các tính năng của Mathematica a. Khả năng tính toán bằng số Mathematica cho phép tính toán một cách trực tiếp giống như dùng một Calculator với độ chính xác bất kì một biểu thức phức tạp nào bằng cách viết biểu thức và nhấn tổ hợp phím Shift + Enter . b. Khả năng tính toán với biến tượng trưng Mathematica cho phép giải các phương trình hay tính toán các biểu thức mà nghiệm hay các kết quả được biểu diễn bằng biến tượng trưng : Ví dụ: Inሾ1ሿ: ൌ ׬√ݔ√ ܽ൅ ݀ݔ ݔ Outሾ1ሿ ൌ ଵ ସ ሺ√ݔ√ ܽ൅ ݔሺ ܽ൅ 2ݔሻ െܽ ଶ Logሾ√ ݔ൅ √ ܽ൅ ݔ ሿሻ c. Khả năng đồ họa Mathematica cho phép vẽ tất cả các dạng đồ thị có thể có của hàm số với cấu trúc lệnh đơn giản nhất như đồ thị 2 chiều, đồ thị 3 chiều, đồ thị đường viền, đồ thị mật độ… 2.2. CÁC QUY TẮC CƠ BẢN CỦA MATHEMATICA VỀ NGỮ PHÁP Mathematica phân biệt chữ hoa, chữ thường, các hàm của nó đều bắt đầu bằng chữ hoa. Các biến đi theo hàm đều được đặt trong ngoặc vuông và được dùng để nhóm các toán tử, các vecto, các ma trận. Cú pháp hình thức như sau: Hàmexpr. Có thể lấy ví dụ như: Cosx, Sinx. Danh mục được liệt kê trong dấu {…}. Ví dụ : {1,2,3…}, {Sint,Cost}... Dấu (…) dùng để nhóm các biểu thức lại. Ví dụ: Sinx(x+3) Để thực hiện một câu lệnh, ta dùng tổ hợp phím “Shift + Enter”. 22 Phép nhân được hiển thị bởi một khoảng trắng hoặc bởi kí tự “ ”. Để kết thúc một câu lệnh ta đặt dấu chấm phẩy (;), nếu không có dấu (;) thì kết quả sẽ được hiển thị bên dưới. Lệnh Nexpr dùng để hiện thị kết quả thành số thập phân. Ví dụ: nếu bạn gõ Cos1 thì kết quả hiển thị chỉ là Cos1, nếu bạn gõ NCos1,6 thì kết quả sẽ là 0.540302. Không được chạy nhiều chương trình cùng một lúc vì các biến vẫn còn lưu giá trị của nó, khi đó kết quả của bạn sẽ bị sai, để khắc phụ...

NỘI DUNG

Theo giả thuyết phôtôn thì bức xạ điện từ có tính chất như những dòng hạt

De Broglie đã nêu lên một giả thuyết về vấn đề này (năm 1924): một hạt tự do có năng lượng và xung lượng tương ứng với một sóng phẳng có tần số góc và véc tơ sóng ; và thỏa mãn hệ thức sau đây: ħ ħ

Với ħ =h/2π ; trong đó h là hằng số Planck, hằng số này chung cho mọi loại hạt, nó có ý nghĩa rất quan trọng trong vật lý

Nhiều thí nghiệm kiểm chứng lại giả thuyết De Broglie đã chứng tỏ rằng: không những một chùm nhiều electron có tính chất sóng mà ngay cả từng electron chuyển động cũng có tính chất sóng

Theo giả thuyết về phôtôn và giả thuyết De Broglie thì ánh sáng cũng như các hạt vi mô vừa có tính chất sóng,vừa có tính chất hạt, người ta nói rằng chúng có lưỡng tính sóng hạt

Bước sóng λ của sóng De Broglie tương ứng là : ħ (1.1)

Trong đó : v là vận tốc chuyển động của hạt là véc tơ sóng của hạt có độ lớn ħ ħ

1.1.2 Lý thuyết về nguyên tử của Borh Để giải thích hiện tượng bền vững của nguyên tử và phổ phát xạ gián đoạn của nguyên tử khi bị kích thích, Borh dã đưa ra một giả thuyết lượng tử: Năng lượng E của nguyên tử chỉ có thể có những giá trị gián đoạn

Khi nguyên tử chuyển từ trạng thái có năng lượng En sang trạng thái có năng lượng Em thì nguyên tử phát ra bức xạ, lượng tử năng lượng của bức xạ

TỔNG QUAN LÝ THUYẾT VỀ CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

NHỮNG CƠ SỞ VẬT LÝ CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

Theo giả thuyết phôtôn thì bức xạ điện từ có tính chất như những dòng hạt

De Broglie đã nêu lên một giả thuyết về vấn đề này (năm 1924): một hạt tự do có năng lượng và xung lượng tương ứng với một sóng phẳng có tần số góc và véc tơ sóng ; và thỏa mãn hệ thức sau đây: ħ ħ

Với ħ =h/2π ; trong đó h là hằng số Planck, hằng số này chung cho mọi loại hạt, nó có ý nghĩa rất quan trọng trong vật lý

Nhiều thí nghiệm kiểm chứng lại giả thuyết De Broglie đã chứng tỏ rằng: không những một chùm nhiều electron có tính chất sóng mà ngay cả từng electron chuyển động cũng có tính chất sóng

Theo giả thuyết về phôtôn và giả thuyết De Broglie thì ánh sáng cũng như các hạt vi mô vừa có tính chất sóng,vừa có tính chất hạt, người ta nói rằng chúng có lưỡng tính sóng hạt

Bước sóng λ của sóng De Broglie tương ứng là : ħ (1.1)

Trong đó : v là vận tốc chuyển động của hạt là véc tơ sóng của hạt có độ lớn ħ ħ

1.1.2 Lý thuyết về nguyên tử của Borh Để giải thích hiện tượng bền vững của nguyên tử và phổ phát xạ gián đoạn của nguyên tử khi bị kích thích, Borh dã đưa ra một giả thuyết lượng tử: Năng lượng E của nguyên tử chỉ có thể có những giá trị gián đoạn

Khi nguyên tử chuyển từ trạng thái có năng lượng En sang trạng thái có năng lượng Em thì nguyên tử phát ra bức xạ, lượng tử năng lượng của bức xạ

5 bằng hiệu năng lượng của trạng thái đầu En và năng lượng của trạng thái cuối Em Nếu gọi ωmn là tần số góc của bức xạ phát ra thì ta sẽ có : ħωmn En – Em (1.2)

1.1.3 Hàm sóng của ha ̣t vi mô a Bi ể u di ễ n tr ạ ng thái c ủ a h ạ t b ằ ng hàm sóng

Trạng thái bất kì của một hạt vi mô vào thời điểm t có thể biểu diễn bởi một hàm , gọi là hàm sóng của hạt:

, ħ (1.3) b Xác su ấ t tìm th ấ y h ạ t trong m ộ t mi ề n không gian

Gọi là mật độ xác suất tìm thấy hạt tại điểm M, theo ý nghĩa thống kê của hàm sóng ta có: | , | Để đơn giản, chọn C=1 → | , |

Xác suất tìm thấy hạt trong toàn bộ không gian:

Vậy điều kiện chuẩn hóa hàm sóng được xác định bởi công thức:

Hàm sóng thỏa mãn điều kiện trên được gọi là hàm sóng đã chuẩn hóa Đối với hàm sóng đã chuẩn hóa thì xác suất tìm thấy hạt trong thể tích dV bao quanh điểm M có vectơ tia r là: | , | Đối với hàm sóng chưa được chuẩn hóa thì: | , |

Trong đó C thỏa mãn điều kiện (1.5) → | , | 1

Nếu một hạt chuyển động theo trục x thì hàm sóng có dạng , Xác suất tìm thấy hạt trong khoảng từ x đến x + dx là:

Nếu hàm sóng đã chuẩn hóa: | , |

Nếu hàm sóng chưa chuẩn hóa: | | , | , |

Toán tử là một thực thể toán học tác dụng lên một hàm bất kì (của x chẳng hạn) chuyển nó thành một hàm khác:

(1.6) Với là toán tử tác dụng lên hàm và biến hàm này thành hàm

Nếu tác dụng của toán tử lên hàm chỉ đơn giản là phép nhân hàm này cho một số a:

(1.7) Lúc đó ta nói rằng là hàm riêng của toán tử , a gọi là trị riêng của Tập hợp các trị riêng của được gọi là phổ trị riêng Phương trình (1.7) được gọi là phương trình cho trị riêng và hàm riêng của toán tử hay gọi tắt là phương trình trị riêng b Các phép tính toán t ử

- Phép cộng (trừ) toán tử:

- Phản giao hoán tử: , c Toán t ử t ự liên h ợ p Hermite

Toán tử được gọi là toán tử tự liên hợp hermite (toán tử hermite) khi và chỉ khi hệ thức sau được thỏa mãn:

Trong đó: ∗ là một toán tử sao cho ∗ ∗ ∗ là một hàm bất kì

Các trị riêng của toán tử hermite là số thực:

Các hàm riêng tương ứng với hai trị riêng phân biệt của toán tử hermite là trực chuẩn:

Với , là kí hiệu Kronecker

Các hàm riêng của toán tử hermite hợp thành một hệ đầy đủ:

Với: là hàm riêng của toán tử là hệ số phân tích, hệ số khai triển

Xác suất để toán tử có giá trị : | | |

CÁC TOÁN TỬ THƯỜNG GẶP

Xét trường hợp hạt chuyển động trên trục x, trạng thái của hạt mô tả bởi hàm sóng Giả sử đã được chuẩn hóa

Phương trình trị riêng của toán tử tọa độ là:

Trong biểu diễn tọa độ thì tọa độ và hàm của tọa độ là phép nhân thông thường nên: và

Dựa vào tính chất hàm Delta: 0

Lúc này người ta nói toán tử có hàm riêng ứng với giá trị

Trường hợp tổng quát, trong không gian 3 chiều toán tử tọa độ có:

- Hàm riêng : với là hàm Delta-Dirac ba chiều

Xét trường hợp hạt chuyển động trên trục x, trạng thái của hạt mô tả bởi hàm sóng Trong biểu diễn tọa độ theo trục x, toán tử xung lượng có:

Trường hợp tổng quát trong không gian 3 chiều, xung lượng có:

- Trị riêng : có giá trị liên tục

Các toán tử xung lượng cũng là các toán tử hermite

Hàm năng lượng tương ứng với toán tử năng lượng có:

Với ∆ là toán tử Laplace

- Trường hợp hạt chuyển động một chiều theo trục x thì phương trình trị riêng có dạng: ħ 0 (1.15)

1.2.4 Toán tử momen xung lượng

Toán tử momen xung lượng có dạng :

Trong đó : , lần lượt là vec tơ định vị và vec tơ xung lượng của hạt Các thành phần của toán tử mômen xung lượng trong hệ tọa độ Descartes có dạng : ħ ħ ħ

Với là toán tử hermite

Khi khảo sát momen xung lượng người ta thường xét hai toán tử đó là toán tử hình chiếu momen xung lượng trên trục z ( ) và toán tử momen xung lượng toàn phần hay gọi là toán tử bình phương momen

Trong tọa độ Descartes toán tử có:

- Trị riêng : ħ có giá trị gián đoạn: 0ħ, 1ħ, 2 ħ …

* Toán tử bình phương momen xung lượng

Trong tọa độ cầu toán tử này có:

Với ∆ ,∅ là phần góc của toán tử Laplace trong hệ tọa độ cầu và có dạng như sau :

Trong đó : ħ 1 hay ħ 1 , với nhận các giá trị khả dĩ 0,1,2,…

TRI ̣ TRUNG BÌNH TRONG PHÉP ĐO CÁC BIẾN SỐ ĐỘNG LỰC

Nếu trong phổ gián đoạn thì: ̅ ∑

Với: giá trị đo được ở lần thứ i xác suất tại i

Nếu trong phổ liên tục thì: ̅

1.3.2 Theo cơ học lượng tử

Xét đại lượng vật lý L có giá trị trung bình

Chú ý: phải là hàm sóng chuẩn hóa

HỆ THỨC BẤT ĐI ̣NH

1.4.1 Sai số của phép đo Độ lệch ∆ cho biết độ chính xác của quá trình đo:

1.4.2 Trị trung bình của bình phương độ lệch

Với: ∆ : trị toàn phương trung bình

∆ : thăng giáng hoặc là độ bất định của phép đo đại lượng L

1.4.3 Hệ thức bất định Heisenberg

Toán tử và được đo chính xác đồng thời khi và chỉ khi:

Với: là toán tử hermite

Hệ thức bất định Heisenberg:

Hay ̅ (1.24) a H ệ th ứ c b ấ t đị nh Heisenberg đố i v ớ i t ọ a độ và xung l ượ ng

Nếu tọa độ được xác định một cách chính xác thì xung lượng sẽ hoàn toàn bất định và ngược lại, hay nói cách khác tọa độ và xung lượng của hạt vi mô không đồng thời đo được chính xác Chính vì thế không thể xác định được quỹ đạo chính xác của hạt, đây chính là ý nghĩa quan tro ̣ng của hệ thức bất định Heisenberg đối với tọa độ và xung lượng

11 b H ệ th ứ c b ấ t đị nh Heisenberg đố i v ớ i n ă ng l ượ ng và th ờ i gian

Hệ thức này có ý nghĩa như sau:

- Nếu trạng thái của hạt có năng lượng càng xác định (∆ càng nhỏ) thì thời gian sống của hạt càng lâu (∆ càng lớn) và ngược lại Riêng trạng thái có năng lượng xác định (trạng thái dừng) là trạng thái có thời gian sống vô hạn

- Nếu hạt ở trạng thái kích thích trong khoảng thời gian ∆ thì độ bất định về năng lượng là ∆

- Khi đo năng lượng trong khoảng thời gian ∆ thì gặp phải một sai số là ∆

PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER

Phương trình Schrodinger là phương trình cơ bản của Cơ học lượng tử, vai trò của nó trong Cơ học lượng tử cũng giống như vai trò của phương trình

Newton trong cơ học cổ điển

1.5.1 Phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian

Tiên đề V trong Cơ học lượng tử đưa ra một phương trình tổng quát diễn tả sự thay đổi của hàm trạng thái theo thời gian, phương trình đó gọi là phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian ħ , , (1.27) Trong đó, là Hamiltonian của hệ được định nghĩa như sau: ħ , (1.28) , là hàm mô tả trạng thái của hệ

1.5.2 Phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian

Phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng:

Nghiệm của phương trình có dạng:

Do tính chất tuyến tính của phương trình nên nghiệm tổng quát của phương trình có dạng khác nhau tùy vào phổ trị riêng gián đoạn hay liên tục:

* Khi có phổ trị riêng gián đoạn: x, t ∑ C x e ħ ∑ C t x (1.31)

* Khi có phổ trị riêng liên tục: x, t C r e ħ C t r dE (1.32)

Trong đó, các hệ số Cn(t) và CE(t) được xác định từ điều kiện ban đầu Phương trình Schrodinger có nghiệm ứng với bất kỳ giá trị nào của E, nhưng không phải giá trị nào của cũng ứng với một trạng thái vật lý, mà chỉ có những trạng thái thỏa mãn các điều kiện tiêu chuẩn của hàm sóng đó là phải đơn trị, liên tục và hữu hạn mới ứng với một trạng thái vật lý Trong khóa luận này chỉ xét chuyển động 1 chiều

1.5.3 Chuyển động của hạt trong giếng thế có chiều sâu hữu hạn

I II III -a 0 a x Hình 1.1 Chuyển động của hạt trong giếng thế có chiều sâu hữu hạn Nếu hạt chuyển động trên một đường thẳng, thế năng U(x) có dạng biểu diễn trên hình 1.1:

* Phương trình Schrodinger trong miền |x|  a:

Phương trình có nghiệm tổng quát: , với

* Phương trình Schrodinger trong miền |x| > a: ħ 0 (1.35)

Phương trình có nghiệm tổng quát : , với

Từ các điều kiện trên ta suy ra được:

Vậy năng lượng của hạt chuyển động trong hố thế có bề sâu hữu hạn chỉ có thể có một giá trị gián đoạn (E thể hiện tính chất lượng tử)

Có thể chứng minh được rằng trong trường hợp thì năng lượng thể hiện giá trị liên tục

1.5.4 Chuyển động của hạt trong giếng thế có chiều sâu vô hạn a Gi ế ng th ế đố i x ứ ng

Hình 1.2 Chuyển động của hạt trong giếng thế đối xứng Thế năng có dạng biểu diễn trên hình 1.2:

Phương trình Schrodinger cho hạt chuyển động trong hố thế:

Phương trình có nghiệm dạng tổng quát là : , với 2 2 ħ 2 Điều kiện biên: 0

Vậy hàm sóng của hạt có dạng: √ , 3,5,7 …

Năng lượng của hạt ở trạng thái thứ n: ħ 1,2,3 (1.39) b Gi ế ng th ế không đố i x ứ ng

Hình 1.3 Chuyển động của hạt trong giếng thế không đối xứng Xét một hạt chuyển động trên đường thẳng, nếu thế năng U(x) có giá trị như sau: 0, 0

Phương trình Schrodinger cho hạt chuyển động trong hố thế:

Phương trình có dạng tổng quát là: , với 2

0 Vậy hàm sóng của hạt ở trạng thái dừng là:

Ta có biểu thức năng lượng của hạt trong hố thế là : ħ 1,2,3 (1.42)

Hay , trong đó ħ là năng lượng ứng với n=1 và được gọi là năng lượng của hạt ở trạng thái cơ bản Như vậy, hạt ở trong hố có thể được tìm thấy với một trong các giá trị năng lượng: E , 4E , 9E , 16E …

1.5.5 Dao động tử điều hòa

Phương trình Schrodinger cho dao động tử điều hòa: ħ 0 (1.43)

Năng lượng của dao động tử điều hòa có giá trị gián đoạn và được xác định bởi công thức: ħ (1.44)

Với n là một số nguyên dương

Mức năng lượng thấp nhất của dao động tử điều hòa ứng với n = 0 là ħ

PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

Đạo hàm theo thời gian của toán tử , kí hiệu dL ˆ dt , là một toán tử được xác định sao cho giá trị trung bình ̅ của nó bằng đạo hàm theo thời gian của giá trị trung bình của toán tử

Nếu ∗ thì ⇒ , , với , ħ là dấu ngoặc Poátxông lượng tử

Phương trình này được gọi là phương trình Heisenberg Nếu toán tử không phụ thuộc rõ vào thời gian thì:

1.6.2 Phương trình chuyển động đối với x Áp dụng phương trình Heisenberg, chọn toán tử với không phụ thuộc rõ vào thời gian, ta có:

(1.47) Biểu thức (1.47) chính là phương trình chuyển động đối với x

1.6.3 Phương trình chuyển động đối với P x Áp dụng phương trình Heisenberg, chọn toán tử với không phụ thuộc rõ vào thời gian, ta có:

Biểu thức (1.49) được gọi là phương trình chuyển động đối với

Trong Cơ ho ̣c lươ ̣ng tử, nếu toán tử có đạo hàm theo thời gian bằng không : 0 thì đại lượng L được gọi là tích phân chuyển động

Theo phương trình Heisenberg nếu L là tích phân chuyển động thì:

Trường hợp nếu không phụ thuộc rõ vào thời gian thì ta có: , 0 Nghĩa là đối với tích phân chuyển động (không phụ thuộc rõ vào thời gian) thì dấu ngoặc Poátxông lượng tử bằng không.

LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN

1.7.1 Khái niệm Để biểu diễn trạng thái của một hệ người ta sử dụng hàm sóng , là hàm của tập hợp các tọa độ x ở thời điểm t

Trong đó: a là các đại lượng vật lý (các lượng tử số) x là chỉ số biểu diễn

Khi hàm sóng phụ thuộc vào tọa độ, thời gian và mật độ xác suất tìm thấy hạt: thì hàm sóng đó được gọi là hàm của tọa độ và ta nói hàm đó đã được cho trong biểu diễn tọa độ hay trong x- biểu diễn

Trong biểu diễn tọa độ, các toán tử có dạng:

Xét một toán tử L ˆ biểu diễn một biến số động lực có hàm riêng Phương trình trị riêng có dạng:

Trong đó: là hàm riêng của toán tử trong x - biểu diễn

∗ là hàm riêng của toán tử trong L - biểu diễn

Cn là hàm sóng trong L - biểu diễn

1.7.2 Biểu diễn năng lượng (E – biểu diễn)

Xét trạng thái của một hạt chuyển động trong trường ngoài có năng lượng âm, như vậy trị riêng của năng lượng En là gián đoạn

Phương trình trị riêng có dạng:

Trong đó: là hàm riêng của toán tử trong x- biểu diễn

∗ là hàm riêng của toán tử trong E - biểu diễn

∗ : là hệ số khai triển hay hàm sóng của trạng thái a trong E –biễu diễn

| | là xác suất để năng lượng đạt giá trị

1.7.3 Biểu diễn xung lượng (P – biểu diễn)

Xét toán tử xung lượng có hàm riêng ứng với trị riêng p Phương trình trị riêng có dạng:

Hàm sóng theo hàm riêng toán tử xung lượng :

Trong đó: là hàm sóng trong biễu diễn tọa độ là hàm riêng của toán tử trong x- biểu diễn

∗ là hàm riêng của toán tử trong P – biểu diễn

∗ : hệ số khai triển hay hàm sóng của trạng thái a trong P – biễu diễn

| | là xác suất để năng lượng đạt giá trị p

1.7.4 Biểu diễn momen xung lượng (L z – Biểu diễn)

Xét toán tử hình chiếu momen động lượng trên trục x có hàm riêng và trị riêng Phương trình trị riêng có dạng:

√ ħ ħ : hàm sóng trong biễu diễn tọa độ : là hàm riêng của toán tử trong x - biểu diễn ∗ : hàm riêng của toán tử trong Lz - biểu diễn

∗ : hệ số khai triển hay hàm sóng của trạng thái a trong P – biễu diễn

| | là xác suất để momen động lượng đạt giá trị Lz

Qua việc tìm hiểu cơ sở lý thuyết, trong chương đầu tiên chúng tôi đã trình bày tổng quan về Cơ ho ̣c lươ ̣ng tử bao gồm một số vấn đề như sau:

- Tı̀m hiểu cơ sở vâ ̣t lý của cơ ho ̣c lượng tử, khái niê ̣m hàm sóng của ha ̣t, toán tử, tri ̣ trung bı̀nh của các biến số đô ̣ng lực, phương trı̀nh Schrodinger, phương trı̀nh chuyển đô ̣ng trong Cơ ho ̣c lượng tử và lý thuyết biểu diễn

- Đồng thời đưa ra các tı́nh chất của toán tử để tı́nh toán; các công thức để: xác đi ̣nh hàm sóng, tı́nh tri ̣ trung bı̀nh, giải phương trình Schrodinger, tı́nh năng lượng, tı̀m xác suất tı̀m thấy ha ̣t và mật độ dòng xác suất… Đây sẽ là cơ sở cho việc ứng du ̣ng phần mềm Mathematica giải các bài toán về Cơ ho ̣c lươ ̣ng tử

GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ PHẦN MỀM MATHEMATICA

GIỚI THIỆU SƠ BỘ VỀ NGÔN NGỮ LẬP TRÌNH MATHEMATICA

Trong các môn học ứng dụng cần giải quyết các bài toán cụ thể với thời gian nhanh nhất là yêu cầu cấp thiết Thế hệ ngôn ngữ giải tích đầu tiên là Macsyma, Reduce…ra đời từ những năm 60 của thế kỷ XX Các ngôn ngữ này chủ yếu dùng cho bài toán giải năng lượng cao Nhược điểm của chúng là định hướng trên các máy tính lớn Thế hệ tiếp theo là Maple, Mathlab, Mathematica… Các ngôn ngữ này có ưu điểm là chạy nhanh hơn và chấp nhận bộ nhớ nhỏ hơn chạy hoàn hảo trên máy tính cá nhân Nổi bật lên là Mathematica với ưu điểm vượt trội về giao diện thân thiện, khả năng vẽ đồ thị siêu việt và khả năng tính toán không thua kém gì các ngôn ngữ khác Mathematica là một công cụ mạnh với hơn 700 hàm có trong thư viện của hàm để giải quyết các vấn đề nêu trên Mathematica là môi trường ngôn ngữ tích hợp đầy đủ nhất cho các tính toán kỹ thuật được sử dụng cho các ngành khoa học vật lý, công nghệ, toán học và các lĩnh vực khác của kỹ thuật máy tính Mathematica là thế hệ thứ 3 của dạng ngôn ngữ dựa trên nguyên lý xử lý các dữ liệu tượng trưng Nó là ý tưởng của Stephen Wolfram, người được xem là nhà sáng tạo quan trọng nhất trong lĩnh vực khoa học tính toán Version đầu tiên của Mathematica được công bố ngày 23/6/1988 Trong những năm tiếp theo, việc sử dụng Mathematica ngày càng nhiều nên Stephen Wolfram đã cho ra đời nhiều phiên bản như Mathematica 5.0, 6.0, 7.0, 8.0, 9.0… Mathematica ngoài thế mạnh về ngôn ngữ tự nhiên, gần gũi được viết dưới dạng ngôn ngữ tự nhiên trong định dạng tự do và chuyển hoá điều kiện thành cú pháp ngôn ngữ riêng của mathematica Các phiên bản về sau có thêm nhiều chức năng mới như về lý thuyết xác suất thống kê, khả năng phân tích hình ảnh, đồ hoạ, lồng ghép Trong giới hạn thời gian và khả năng cho phép chúng tôi xin giới thiệu với các bạn các lưu ý và những thao tác cần thiết trong việc khai báo khi tính toán và vẽ đồ thị khi làm việc với phần mềm mathematica 8.0

Hình 2.1 Biểu tượng phần mềm Mathematica 8.0

2.1.2 Giao diện tương tác của Mathematica

Mathematica đưa ra một giao diện rất thân thiện với người được sử dụng, được đặt tên là bản ghi (notebook – thường được gọi tắt là nb) Các bản ghi là dạng của số biểu diễn một lượt sử dụng Mathematica bao gồm đầy đủ các ghi chép cả về chương trình nguồn, cả về kết quả thực hiện trên cùng một bản ghi và được ghi lại dưới dạng một file riêng của Mathematica có đuôi là *nb

Các bản ghi được tổ chức thành các ô (cell) một cách có trật tự và thứ bậc

Ta có thể nhóm một nhóm ô lại sao cho chỉ thấy ô đầu của nhóm ô đó (với số nhóm lồng tùy ý)

Mathematica còn đưa ra một giao diện phụ là các bảng lệnh (palettes) và các nút lệnh (Button) Người sử dụng chỉ cần nhấp chuột rất đơn giản và có thể tùy biến theo ý mình

2.1.3 Khai thác thư viện của Mathematica

Một trong những kĩ năng quan trọng mà người học cần thành thạo khi sử dụng Mathematica là khai thác thư viện của Mathematica Có thể nói thư viện của Mathematica chứa một lượng lớn kiến thức toán học khổng lồ với các định nghĩa khá chi tiết giúp người học có thể tự học và làm việc trên Mathematica Việc khai thác thư viện tiến hành cũng rất đơn giản trong mục Help ( Help Browser) Trong đó có một số phương pháp khai thác cơ bản :

* Khai thác đối tượng theo tên:

- Gõ chữ cái (ví dụ chữ A) nếu đối tượng cần tìm hiểu có tên bắt đầu bằng chữ cái đó (chữ A)

- Gõ tên đối tượng vào mục tìm kiếm nếu biết tên đối tượng

* Khai thác đối tượng theo chuyên mục (vẽ hình, tính giải tích,…)

- Tìm đối tượng trong các chuyên mục của Built-in Functions,…Trong các chuyên mục này đều có định nghĩa, giới thiệu cú pháp, hướng dẫn và ví dụ minh họa để bạn đọc tham khảo

2.1.4 Các tính năng của Mathematica a Kh ả n ă ng tính toán b ằ ng s ố

Mathematica cho phép tính toán một cách trực tiếp giống như dùng một Calculator với độ chính xác bất kì một biểu thức phức tạp nào bằng cách viết biểu thức và nhấn tổ hợp phím Shift + Enter b Kh ả n ă ng tính toán v ớ i bi ế n t ượ ng tr ư ng

Mathematica cho phép giải các phương trình hay tính toán các biểu thức mà nghiệm hay các kết quả được biểu diễn bằng biến tượng trưng :

Out 1 √ √ 2 Log √ √ c Kh ả n ă ng đồ h ọ a

Mathematica cho phép vẽ tất cả các dạng đồ thị có thể có của hàm số với cấu trúc lệnh đơn giản nhất như đồ thị 2 chiều, đồ thị 3 chiều, đồ thị đường viền, đồ thị mật độ…

CÁC QUY TẮC CƠ BẢN CỦA MATHEMATICA VỀ NGỮ PHÁP

Mathematica phân biệt chữ hoa, chữ thường, các hàm của nó đều bắt đầu bằng chữ hoa

Các biến đi theo hàm đều được đặt trong ngoặc vuông và được dùng để nhóm các toán tử, các vecto, các ma trận Cú pháp hình thức như sau: Hàm[expr]

Có thể lấy ví dụ như: Cos[x], Sin[x]

Danh mục được liệt kê trong dấu {…} Ví dụ : {1,2,3…}, {Sin[t],Cos[t]} Dấu (…) dùng để nhóm các biểu thức lại Ví dụ: Sin[x/(x+3)] Để thực hiện một câu lệnh, ta dùng tổ hợp phím “Shift + Enter”

Phép nhân được hiển thị bởi một khoảng trắng hoặc bởi kí tự “ *” Để kết thúc một câu lệnh ta đặt dấu chấm phẩy (;), nếu không có dấu (;) thì kết quả sẽ được hiển thị bên dưới

Lệnh N[expr] dùng để hiện thị kết quả thành số thập phân Ví dụ: nếu bạn gõ Cos[1] thì kết quả hiển thị chỉ là Cos[1], nếu bạn gõ N[Cos[1],6] thì kết quả sẽ là 0.540302

Không được chạy nhiều chương trình cùng một lúc vì các biến vẫn còn lưu giá trị của nó, khi đó kết quả của bạn sẽ bị sai, để khắc phục, bạn chỉnh lại như sau : Evaluation/Quit Kernel/Local

Cách đặt biến bình thường như a, b, c, x, y, z, … , không được đặt XY_a, XY-a, không được dùng các chữ cái sau để đặt tên biến : I, E, C

Tổ hợp Ctrl + K để tìm các hàm có tên giống nhau ở phần đầu

Cần phân biệt List và Matrix trong Mathematica Nếu viết {1,2,3,4} thì đây là một List gồm 4 phần tử, còn nếu viết {{1},{2},{3},{4}} thì đây là một matrix

4 dòng 1 cột, đối với 1 List thì không thể dùng hàm chuyển vị Transpose được, tuy nhiên bạn có thể sử dụng các phép toán ma trận giữa Matrix và List, kết quả vẫn đúng như khi tính toán giữa các ma trận

2.2.1 Sử dụng các lệnh trực tiếp trong Mathematica

Lệnh trong Mathematica là các Cell gồm :

Out[n]= Trả về kết quả

Trong đó n là số thứ tự câu lệnh Lệnh trong Mathematica có thể sử dụng trực tiếp

Ví dụ : Để tính 5 + 6 ta nhập In[]:= 5 + 6 sẽ cho kết quả là Out[]

Trong Mathematica ta có thể gán kết quả cho một tên

2.2.2 Các phép toán cơ bản trong biểu thức a M ộ t s ố phép toán c ơ b ả n :

Out[7]= False b M ộ t s ố kí hi ệ u trong Mathematica:

Số : Infinity Đơn vị ảo: I c Trong Mathematica ph ầ n gi ữ a (* *) thì không có giá tr ị , nó ch ỉ là m ộ t l ờ i chú thích

Out[8]= 2 Để biết thông tin về hàm đang sử dụng, ta sử dụng dấu ? trước tên hàm đó Để tìm tất cả các hàm bắt đầu bằng một tên hàm nào đó ta dùng ? tên hàm*

Ta có thể dùng lệnh ?* tên hàm * để tìm tất cả các tên hàm khác bắt nguồn từ một tên hàm

Có hơn 700 hàm được xây dựng trong Mathematica, tên của một hàm trong Mathematica nói chung là chỉ ra mục đích sử dụng hàm đó

24 d Một số hàm có sẵn trong Mathematica:

Bảng 2.1 Một số hàm cơ bản trong Mathematica Hàm số cơ bản

Hàm số cơ bản Khai báo trong

Mathematica x Abs[x] x Sqrt[x] hoặc x^(1/2) sin x Sin[x] cos x Cos[x] tgx Tan[x] cot g x Cot[x] arcsin x ArcSin[x] arccos x ArcCos[x] arctgx ArcTan[x] arccotg x ArcCot[x] log a x Log[a,x] ln x Log[x] a x a^x e x E^x hoặc Exp(x)

Ta có thể vào Palettes → Other → Basic Math Input có sẵn trong Mathematica 8.0 để nhập nhanh hơn Bảng Basic Math Input có dạng :

Hình 2.2 Bảng Basic Math Input trong giao diê ̣n của phần mềm Mathematica 8.0

2.2.3 Sử dụng các kí hiệu đặc biệt trong Mathematica

Trong bất kì ngôn ngữ lập trình nào cũng có những kí hiệu đặc biệt giúp cho người sử dụng thực hiện nhanh hơn trong thao tác lập trình của mình, đối với ngôn ngữ Mathematica cũng vậy

*Chú ý: phép nhân 2 ma trận với nhau được kí hiệu dấu chấm A.B (điều này khá quan trọng vì bạn dễ nhầm sang dấu * )

* Các kí hiệu logic cũng cần chú ý đến, nó rất có ích cho chúng ta khi dùng vòng lặp While hay If: And – &&, Or – ||, Not – !

Ví dụ : + Câu lệnh “Nếu A bằng B thì …” được viết trong Mathematica như sau: If[A==B,…] Ở đây bạn chú ý kí hiệu 2 dấu bằng “==”, nếu chỉ viết 1 dấu bằng thì câu lệnh sẽ bị sai

+ Câu lệnh “Nếu A khác B thì …” được viết trong Mathematica như sau: If[A!=B,…]

*Một kí hiệu rất “tếu” trong Mathematica là “===” – 3 dấu bằng – tương ứng với lệnh SameQ[] Nó được dùng để so sánh sự giống nhau của 2 đối tượng, ngược lại với nó sẽ có lệnh UnsameQ[], kí hiệu tắt là “=!=”

*Một trong những kí hiệu thường hay dùng khi viết một chương trình đó là @

Kí hiệu này sẽ giúp cho chương trình bớt rườm rà hơn Kí hiệu này tương ứng với lệnh Apply[ ]

Ví dụ:+ Thay vì ta viết: Panel[Grid[Table[{i,j},{i,3},{j,3}]]]

+ Ta viết lại: Panel@Grid@Table[{i,j},{i,3},{j,3}]

*Kí hiệu @ và @@ đôi lúc có cùng tác dụng

Cả hai đều cho kết quả là Sin[3]

*Kí hiệu % dùng để lấy kết quả Cell liền kề trước đó

TÍNH TOÁN CƠ BẢN TRONG MATHEMATICA

2.3.1 Tính giới hạn Để tính các giới hạn : lim

Ta dùng các lệnh tương ứng sau đây :

Ví dụ: Limit[(1+x/n)^n,n→Infinity] Limit[(Sin[x] – Tan[x])/ ,x→0] 2.3.2 Tính đạo hàm của hàm số

- Đạo hàm cấp 1 của hàm 1 biến f(x): D[f[x],x] hoặc nếu sử dụng bảng BasicInput: hoặc f '[x]

- Đạo hàm cấp n của hàm 1 biến f(x): D[f[x],{x,n}] hoặc nếu sử dụng bảng BasicInput: ,

- Đạo hàm của hàm nhiều biến f(x,y,z)

Ví dụ: Đạo hàm 2 lần theo x, 1 lần theo y và 4 lần theo z như sau :

- Đạo hàm toàn phần : + Dt[f,{x,n}, n là bậc của đạo hàm

+ Dt[f,{x, },{y, },…], đạo hàm nhiều biến

Ví dụ: Dt[ax+b,x] = a + xDt[a,x] + Dt[b,x]

2.3.3 Tính tích phân Để tính nguyên hàm của một f(x) ta dùng lệnh : Integrate[f(x),x] Để tính tích phân xác định của f(x) trên [a,b] ta dùng lệnh : Integrate[f(x),{x,a,b}]

27 Để tính tích phân xác định của f(x) trên [a,b] kết quả hiển thị dưới dạng số thập phân ta dùng lệnh: NIntegrate[f(x),{x,a,b}]

* Lưu ý : Ta có thể sử dụng bảng Basic Input Vào File → Palettes → BasicInput hoặc Palettes có sẵn trên thanh công cụ

2.3.4 Giải phương trình và hệ phương trình Đầu tiên chúng ta làm quen với lệnh Solve: cú pháp và cách lấy giá trị nghiệm, hãy chú ý đến trường hợp có nghiệm bội như trong ví dụ sau đây:

Theo ví dụ trên ta thấy cú pháp để giải một phương trình đơn một biến: Solve[equation,variable] Cú pháp tổng quát đối với các đối số của lệnh Solve bao gồm một list các phương trình phụ thuộc vào một list các biến, có nghĩa là: Solve[equation_list,variable_list] Ví dụ sau đây sẽ cho thấy được điều đó

* Chú ý : Không phải tất cả các phương trình đa thức đều có nghiệm chính xác Theo lý thuyết phương trình thì các phương trình bậc 4 trở xuống đều có công thức nghiệm chính xác được xây dựng từ các hệ số Theo Galois đối với các phương trình bậc 5 trở lên chúng ta lại không có những công thức nghiệm như thế, Mathematica sẽ không đánh giá các phương trình bậc 5 trở lên (các phương

28 trình không thể phân tích thành nhân tử) Tuy nhiên có thể tìm tất cả các nghiệm của phương trình đa thức bằng phương pháp số thông qua lệnh N[].

CÁC KIỂU SỐ TRONG MATHEMATICA

Có 4 kiểu số thông dụng trong Mathematica :

Complex: Số phức Để kiểm tra một số thuộc kiểu nào đó ta dùng hàm Head

Ngoài các kiểu số trên còn có một kiểu số đặc biệt được gọi là số ngẫu nhiên Để tìm số ngẫu nhiên Mathematica cung cấp cho ta hàm Random

Random[ ] cho một số thực biến thiên trong đoạn [0,1]

Random[Integer] cho giá trị ngẫu nhiên là 0 hoặc 1

Random[Kiểu số, khoảng biến thiên]; cho giá trị ngẫu nhiên là “kiểu số” và có giá trị nằm trong “ khoảng biến thiên”

CÁC PHÉP TÍNH TOÁN SỐ HỌC

Như một máy tính tay, Mathematica có thể thực hiện được tất cả các phép tính : cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa…

Khi làm việc với số nguyên, Mathematica luôn hiển thị kết quả chính xác và đầy đủ trên màn hình, ngay cả khi tính toán với những con số lớn

Số hữu tỷ là một số được biểu diễn bởi tỷ số của một số nguyên chia cho một số nguyên khác 0 Thông thường khi sử dụng máy tính hay các phần mềm khác ta chỉ nhận được giá trị xấp xỉ, chẳng hạn 2/4 + 24/144 thì ta được kết quả là : 0,6666667 Đối với Mathematica khi nói về số hữu tỷ là nói về phân số

Mathematica luôn hiển thị kết quả một cách chính xác theo yêu cầu chính xác của người sử dụng nó Nhưng số vô tỷ thì không thể biểu diễn một cách chính xác như số nguyên hoặc số hữu tỷ Vì vậy Mathematica sẽ cho kết quả chính xác theo yêu cầu của người sử dụng

Ví dụ: Sqrt[17] có nghĩa là √17

Một hàm số thường dùng để làm việc với số phức

Re : Lấy phần thực của số phức

Rm : Lấy phần ảo của số phức

Conjugate : Tìm liên hợp của số phức

Abs : Cho môđun của số phức

Round : Làm tròn số cả phần thực và phần phức

ĐỒ HỌA VỚI MATHEMATICA

- Vẽ đồ thị của hàm f(x) trên khoảng [a,b] cú pháp: Plot [f[x],{x, a, b}]

 Ví dụ 1:Plot[Sin[x]/x,{x,0,20}] Đồ thi ̣ 2.1 Đồ thi ̣ hai chiều của hàm f(x)

- Vẽ trên cùng một trục toạ độ các hàm f1, f2, f3… trên đoạn [a, b] cú pháp: Plot[{f1, f2,f3, }, {x, a, b}]

 Ví dụ 2:Plot[{Sin[x],Sin[2*x],Sin[3*x]},{x,0,2*Pi}] Đồ thi ̣ 2.2 Đồ thi ̣ hai chiều của ba hàm f1, f2, f3

- Vẽ đồ thi ̣ hàm cho bởi phương tı̀nh tham số : với t ∈ , , ta dùng lê ̣nh : ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,a,b}].

 Ví dụ 3: ParametricPlot[{Cos[5*t],Sin[3*t]},{t,0,2*Pi}] Đồ thi ̣ 2.3 Đồ thi ̣ hai chiều của mô ̣t hàm 2 tham số.

Khi vẽ đồ thị trục nằm ngang, và trục thẳng đứng chưa chắc đã là trục tung và trục hoành Để biết được danh sách các tham số được dùng kèm với hàm Plot, ta gõ câu lệnh Options[Plot] Các tham số này được khai báo ở dạng: nam → value Các giá trị hay dùng nhất của tham số là:

- Automatic: sự chọn lựa sẽ được tự động

- None: tham số không được sử dụng

- All: được sử dụng trong trường hợp bất kì

- False: không được sử dụng

- Vẽ đồ thị của hàm với ta dùng lệnh:

 Ví dụ 1: Plot3D[sin[x,y],{x,0,4},{y,0,4}] Đồ thi ̣ 2.4 Đồ thi ̣ ba chiều của mô ̣t hàm f(x,y)

- Vẽ đồ thi ̣ các hàm f 1 , f2,…trong cùng mô ̣t hê ̣ to ̣a đô ̣ ta có cú pháp: Plot3D[{f1,f2 ,…},{x,a,b},{y,c,d}]

 Ví dụ 2: Plot3D[{(x^2)/10-(y^2)/8},{x,-10,10},{y,-8,8}] Đồ thi ̣ 2.5 Đồ thi ̣ ba chiều của hai hàm f 1 ,f 2

- Vẽ đồ thị của một hàm cho bởi phương trình tham số: ,

 Ví dụ 3: ParametricPlot3D[{Sin[t],Cos[t],u},{t,0,2*Pi},{u,0,4}] Đồ thi ̣ 2.6 Đồ thi ̣ ba chiều của mô ̣t hàm 3 tham số.

2.6.3 Các tùy chọn quan trọng chung cho các lệnh vẽ đồ thị

Bảng 2.2 Một số lê ̣nh vẽ đồ thi ̣ trong Mathematica

Aspecratio Tỉ lệ chiều cao/ chiều rộng

Axes Đặt tự động cho các giá trị cực đại của x và y bao gồm các trục tọa độ AxesLabel Nhãn cho các trục; Cú pháp: AxesLabel -> {“ nhãn x”, “nhãn y”}

AxesOrigin Điểm cắt của hai trục; AxesOrigin -> {x,y}

TextStyle Kiểu mẫu cho Text trong đồ thị (dạng Text: title, subtile, section, text,…

FormatType Kiểu mẫu cho định dạng text (Input, Output, Traditional ) DisplayFunction Cách hiển thị đồ thị ( không hiển thị : -> Identity)

Frame Có hay không có khung viền Có -> True

FrameLabel Có hay không có nhãn cho khung; -> {“nhãn 1”, “nhãn

2”,…} Nhãn được đặt xung quanh 4 cạnh theo chiều kim đồng hồ từ trên cao

GridLines Vẽ các đường lưới cho mỗi chỗ đánh dấu trên trục tọa độ của đồ thị

PlotLabel Nhãn của đồ thị; -> StyleForm[“nhãn”, “dạng text”,

Ticks Các điểm đánh dấu trên đồ thị

FrameTicks Các điểm đánh dấu trên khung viền

PlotRange Khoảng tọa độ hiển thị; -> { ymin, ymax}

PlotStyle Kiểu vẽ: Grayleve[i] cho độ xám i, Thickness[r] cho độ dày của đường đồ thị; RGBColor[r,g,b] cho màu của đồ thị

Background Cho màu nền đồ thị

DefaultColor Mô tả màu mặc định của toàn đồ thị

Prolog Vẽ thêm vào đồ thị một đối tượng đơn giản trước đồ thị chính với mục đích đánh dấu hoặc so sánh; -> g ( đồ thị g) PlotPoints Số điểm tối thiểu để lấy mẫu cho đồ thị

MaxBend Góc vặn tối đa cho 2 đoạn đồ thị

PlotDivision Số phần tử tối đa để chia nhỏ hơn nữa trong phép làm liền nét đồ thị trong khi lấy mẫu để vẽ đồ thị

MỘT SỐ LƯU Ý KHI SỬ DỤNG PHẦN MỀM MATHEMATICA

Mathematica phân biệt chữ hoa và chữ thường Do đó, chữ cái nào cần viết hoa thì viết hoa chữ cái đó

Những lệnh, hàm, các kı́ hiệu, các biến có sẵn trong Mathematica luôn được bắt đầu bằng chữ in hoa Để thực hiện một lệnh trong Mathematica, ấn đồng thời hai phím Shift + Enter Vai trò của 3 cặp ngoặc ( ), [ ], { } :

+ Cặp ngoặc ( ) dùng để ngoặc các biểu thức toán học

+ Cặp ngoặc [ ] dùng để chứa các đối số, biến số của lệnh, của hàm

+ Cặp ngoặc{ } dùng để liệt kê các miền cho đối số, liệt kê các công việc, dùng cho các mảng hoặc ma trận

Các hàm, các biến tự khai báo không cần viết hoa chữ cái đầu tiên nhưng khai báo thế nào khi dùng phải dùng đúng như vậy

Các chữ cái không được dùng để đặt tên: C, D, E, I, N

Tên của các biến,các hàm tự khai báo bao gồm các chữ cái và chữ số, bắt đầu bằng một chữ cái, có thể là chữ thường hoặc hoa Tên này phải khác với tên các lệnh, các hàm đã có sẵn trong chương trình

+ x:=1 là lệnh gán giá trị 1 cho hằng số x

+ x=1 là lệnh gán giá trị 1 cho biến x (x có thể thay đổi giá trị trong khi thực hiện chương trình

+ x==1 là so sánh giữa giá trị vế trái x có bằng giá trị vế phải là 1 hay không

Trong chương 2, chúng tôi đã trình bày một cách tổng quan một số nội dung liên quan đến phần mềm Mathematica, cu ̣ thể như sau:

- Giới thiê ̣u giao diện tương tác đô ̣c đáo cùng với thư viê ̣n đầy đủ tư liê ̣u giúp người ho ̣c có thể tự ho ̣c và làm viê ̣c trên Mathematica

- Các quy tắc sử du ̣ng các lê ̣nh, các kı́ hiê ̣u, kiểu số để tı́nh toán các phép tı́nh: giới ha ̣n, tı́ch phân, đa ̣o hàm , giải phương trı̀nh…và cách vẽ đồ thi ̣ hai chiều, ba chiều trong Mathematica

- Những lưu ý khi sử dụng phần mềm Mathematica

Qua đó cho thấy những ưu điểm đặc biệt mạnh mẽ của Mathematica trong ứng dụng thực hành giúp cho chúng ta xử lý công việc hay giải một bài toán một cách nhanh chóng

ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MATHEMATICA GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

BÀI TOÁN VỀ HÀM SÓNG CỦA HẠT VẬT CHẤT

Bài 1: Hạt ở trạng thái được mô tả bởi hàm sóng , trong đó

0 x L Chuẩn hóa hàm sóng xác định A

Kết quả: Hằng số chuẩn hóa là √ ⁄

Hàm sóng của hạt là √ ⁄

Bài 2: Hàm sóng của hạt ở trạng thái cơ bản có dạng Hãy xác định hệ số A từ điều kiện chuẩn hóa Biết

Kết quả: Hằng số chuẩn hóa là A ⁄

Hàm sóng của hạt ở trạng thái cơ bản là x e ⁄

Bài 3: Hàm sóng của một hạt chuyển động trên trục x có dạng: sin khi đó 0 và 0 ở ngoài khoảng đó Tìm mật độ xác suất tìm thấy hạt để 0

Kết quả: Hằng số chuẩn hóa là √ √

Hàm sóng của hạt là x √ √ Mật độ xác suất tìm thấy hạt để 0 ̀

BÀI TOÁN TÌM HÀM RIÊNG, TRI ̣ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ

Bài 1: Tìm hàm riêng và trị riêng của toán tử nếu hàm riêng thỏa mãn điều kiện:

Kết quả: Hàm riêngcủa toán tử A là

Trị riêngcủa toán tử A là 0

Bài 2: Tìm hàm riêng của toán tử B với hàm riêng thỏa mãn điều kiện : u x 0 khi x=0

Kết quả: Hàm riêng của toán tử B là √ √

Bài 3: Chứng tỏ rằng : là một hàm riêng của toán tử A x và tìm trị riêng tương ứng

Kết quả: Trị riêng của toán tử A là 1

BÀI TOÁN VỀ GIÁ TRI ̣ TRUNG BÌNH TRONG PHÉP ĐO CÁC BIẾN SỐ ĐỘNG LỰC

Kết quả: Hằng số chuẩn hóa là √ √

Hàm sóng của hạt là √ √

Bài 2: Hạt ở trạng thái được mô tả bởi hàm sóng , trong đó: 0 Hãy tìm động năng trung bình của hạt

Kết quả: Động năng trung bình của hạt là đ

BÀI TOÁN TÌM NĂNG LƯỢNG CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA

Dùng phương pháp biến phân tìm năng lượng trung bình của dao động tử điều hòa ở trạng thái cơ bản Biết hàm thử có dạng :

Kết quả: Hằng số chuẩn hóa là ⁄ √

Hàm sóng của hạt là ⁄ √

Năng lượng trung bình của hệ ở trạng thái x là

Bài 2: Một dao động tử phi điều hòa có Hamiltonian: ħ Dùng phương pháp biến phân tìm năng lượng trung bình của dao động tử điều hòa ở trạng thái cơ bản Biết hàm thử có dạng :

Kết quả: Năng lượng trung bình của hệ ở trạng thái , là

BÀI TOÁN VỀ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN

Bài 1: Cho hàm sóng trong không gian tọa độ: ħ Chuyển hàm sóng trong biểu diễn tọa độ sang biểu diễn xung lượng

Kết quả: Hằng số chuẩn hóa là √

Hàm sóng trong biểu diễn tọa độ :

Hàm sóng trong biểu diễn xung lượng : √ħ

Bài 2: Cho hàm sóng trong không gian tọa độ :

Chuyển hàm sóng trong biểu diễn tọa độ sang biểu diễn momen xung lượng

Kết quả: Hằng số chuẩn hóa là √

Hàm sóng trong biểu diễn tọa độ : √

Hàm sóng trong biểu diễn momen xung lượng :

Bài 3: Cho hạt chuyển động trong hố thế một chiều thành cao vô hạn được mô tả bởi hàm sóng : với 0 x d Tìm hàm sóng của hạt trong biểu diễn năng lượng

Kết quả: Hằng số chuẩn hóa là √ ⁄

Hàm sóng trong biểu diễn tọa độ : √ ⁄

Hàm sóng trong biểu diễn năng lượng : √

BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER PHỤ THUỘC THỜI

Bài 1: Hàm sóng của một hạt có khối lượng m chuyển động tự do có dạng :

, ħ Tìm biểu thức của thế năng U(x) để hàm sóng thỏa mãn phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian Trong đó là hằng số dương

Bài 2: Tìm biểu thức của thế năng U(x) để hàm sóng : , ħ ħ thỏa mãn phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian Trong đó a là hằng số dương

3.7 BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER KHÔNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN

Bài 1: Một hạt có khối lượng m bị giam trong một hố thế đối xứng có bề sâu vô hạn Nếu hạt ở trạng thái biểu diễn bởi hàm số sóng: x x a khi |x| a

Tìm mật độ xác suất để một phép đo năng lượng cho kết quả là

Kết quả: Mật độ xác suất để một phép đo năng lượng cho kết quả là

Bài 2: Giải phương trình Schrodinger đối với hạt chuyển động một chiều trong hố thế có bề sâu vô hạn và có trạng thái : 0 0

Hạt đang ở trạng thái cơ bản nằm trong hố thế với các bức tường cao vô hạn tại x

= 0 và x = L Bức tường hố thế tại x = L đột nhiên dịch chuyển tới vị trí x = 2L a) Vẽ đồ thị biểu diễn trạng thái của hạt b) Tìm xác suất tìm thấy hạt ở trạng thái cơ bản trong hố thế đã được dãn nở

, → " ", " " Đồ thi ̣ 3.1 Tra ̣ng thái ha ̣t trong hố thế với bức tường cao vô ha ̣n ta ̣i x =L

48 Đồ thi ̣ 3.2 Tra ̣ng thái ha ̣t trong hố thế di ̣ch chuyển tới vi ̣ trı́ x = 2L.

Kết quả: Xác suất tìm thấy hạt ở trạng thái cơ bản trong hố thế đã được dãn nở là

Trong chương này, chúng tôi đã trình bày cách giải một số bài tập cụ thể về

Cơ học lượng tử bằng phần mềm Mathematica theo từng nội dung sau: Tìm hàm sóng của hạt vật chất, tính giá trị trung bình trong phép đo các biến số động lực, bài toán tìm năng lượng của dao động tử điều hòa, bài toán giải phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian, bài toán về lý thuyết biểu diễn Đối với việc ứng dụng phần mềm Mathematica trong việc giải toán ta cần phải tìm hiểu kĩ về cấu trúc câu lệnh, các biến số, các từ không được dùng để đặt tên, Khi giải các bài toán cơ học lượng tử bằng phần mềm Mathematica, ta chỉ nhập các dữ kiện đề bài đã cho và nhập các câu lệnh liên quan đến việc tính toán mà không cần phải thế số trực tiếp vào biểu thức như đối với việc giải thông thường bằng tay, việc làm này giúp tiết kiệm được thời gian tính toán, đặc biệt là cho kết quả chính xác cao vì máy tính đã tính toán và xử lý các dữ liệu khi ta nhập vào

Các dữ kiện mà ta nhập vào được kí hiệu là “ In[ ]:= ” phân biệt với kết quả máy tính xử lý là “Out = ” giúp chúng ta không bị nhầm lẫn khi giải các bài toán dài phải dùng nhiều câu lệnh

Dựa vào cách giải và bài tập mẫu có thể giải các bài toán khác có dạng tương tự, bạn đọc có thể tham khảo ở phụ lục có cách giải thông thường bằng phương pháp đại số để đối chiếu

HƯỚNG PHÁT TRIỂN

Căn cứ vào những kết quả đã đa ̣t được nêu trên, dựa vào những điều kiê ̣n thực tiễn về tư liê ̣u, phương tiê ̣n kỹ thuâ ̣t và kỹ năng của bản thân, chúng tôi nhâ ̣n thấy trong điều kiê ̣n cho phép, đề tài có thể được phát triển theo các hướng sau:

- Sử dụng phần mềm Mathematica vào trong dạy học

- Sử dụng phần mềm Mathematica để giải các bài tập vật lý khác không chı̉ riêng về Cơ ho ̣c lượng tử như : Vâ ̣t lý chất rắn, Vâ ̣t lý lý thuyết, Điê ̣n và từ, Dao đô ̣ng và sóng

Tiêu đề	Ứng Dụng Phần Mềm Mathematica Giải Một Số Bài Toán Về Cơ Học Lượng Tử
Tác giả	Võ Thị Huỳnh Trang
Người hướng dẫn	TS. Võ Thị Hoa
Trường học	Trường Đại Học Quảng Nam
Chuyên ngành	Lý - Hóa - Sinh
Thể loại	khóa luận tốt nghiệp đại học
Năm xuất bản	2016
Thành phố	Quảng Nam

Định dạng
Số trang	75
Dung lượng	1,15 MB